UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
ELOISA MYRELA DE ARAÚJO NUNES
ESTUDO SOBRE A MATEMÁTICA RECREATIVA E SUA INSERÇÃO NO ENSINO DE MATEMÁTICA
NATAL 2019
ELOISA MYRELA DE ARAÚJO NUNES
ESTUDO SOBRE MATEMÁTICA RECREATIVA E SUA INSERÇÃO NO ENSINO DE MATEMÁTICA
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito para obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências Naturais e Matemática.
Orientadora: Prof.ª Dra. Bernadete Barbosa Morey
NATAL 2019
ELOISA MYRELA DE ARAÚJO NUNES
BANCA EXAMINADORA
Dra. Bernadete Barbosa Morey - presidente
Ana Carolina da Costa Pereira – examinador externo
Francisco de Assis Bandeira – examinador interno
A Deus, quе nos criou. Sеu fôlego dе vida еm mіm fоі sustento е mе dеu coragem para propor sempre um novo mundo dе possibilidades.
AGRADECIMENTOS
A Deus, por ter me dado saúde e força para superar as dificuldades.
Aos meus professores do curso de graduação, em especial a Paulo Roberto Ferreira dos Santos Silva, que sempre esteve me orientando e aconselhando durante o meu percurso na graduação, além de persistir comigo para o ingresso no programa do mestrado, sendo essencial na minha trajetória.
Aos educadores do programa, pelo apoio dado durante as disciplinas ministradas.
Aos professores que participaram da banca de qualificação e defesa: Dr. Severino Carlos Gomes, Dr. Francisco de Assis Bandeira e Dra. Ana Carolina da Costa Pereira, cujas contribuições foram muito importantes para a finalização deste trabalho.
Aos meus amigos Neto Souza e Maria Alves Bezerra, que contribuíram significativamente neste processo.
Ao meu esposo e família, pelo apoio durante esta caminhada.
Enfim, agradeço a todos os demais que contribuíram para a construção desta obra.
“Talvez não tenha conseguido fazer o melhor, mas lutei para que o melhor fosse feito. Não sou o que deveria ser, mas Graças a Deus, não sou o que era antes” (Marthin Luther King).
RESUMO
Na busca de soluções que promovam um melhor aprendizado da matemática, os pesquisadores em Educação Matemática têm examinado e colocado em prática diversos recursos e estratégias de ensino. Pretende-se neste estudo sobre a Matemática Recreativa trazer à tona as concepções vigentes e as justificativas apresentadas para seu uso. O objetivo geral do presente trabalho dissertativo é realizar um estudo exploratório sobre a Matemática Recreativa (MR), na busca de caracterizar, a partir das publicações em periódicos, sua conceituação, sua diversidade, os argumentos defensores de seu uso, a concentração ou não das publicações sobre MR temporal ou geográfica, sua expansão ou retração atual, possibilidades de continuidade no futuro próximo e interligação com a História da Matemática. Utilizaremos a metodologia de pesquisa qualitativa, do tipo exploratória, na medida em que abre uma possibilidade muito importante, a de explorar um tema pouco conhecido. A partir dos trabalhos analisados, adotamos uma concepção de Matemática Recreativa, a qual inferimos ser a mais potencialmente frutífera para o ensino de matemática. Analisamos também algumas experiências de aplicação da Matemática Recreativa no ensino da Matemática. Adotamos uma divisão da Matemática Recreativa em três campos, o que nos levou a anexar três relatos de experiência que nos pareceram representativos dessas divisões, a saber: jogos, problemas recreativos e quebra-cabeças matemáticos. Discutimos ainda a ideia de que o desenvolvimento da álgebra levou ao declínio dos problemas recreativos e as perspectivas atuais de atividades com a Matemática Recreativa. Assim, concluímos que a Matemática Recreativa é um vasto campo de possibilidades que deveria ser mais utilizado em sala de aula para facilitar o processo de ensino-aprendizagem, na medida em que, além dessa ferramenta ser atrativa, ela desenvolve várias habilidades.
ABSTRACT
In the search of solutions that promote a better mathematics learning, researchers in Mathematics Education have examined and put into practice various teaching resources and strategies. The aim with this study on Recreational Mathematics is to bring to enlight current concepts and justifications for their use, as well as know how Recreational Mathematics is adopted in the curriculum, in other countries and in Brazil. The main objective of this dissertation is to conduct an exploratory study on Recreational Mathematics (RM), seeking to characterize, from publications in journals, its conception, its diversity, the arguments defending its use, as well as the concentration or not of publications about temporal or geographical RM, its current expansion or retraction, possibilities of continuation in a near future and connection with the History of Mathematics. Starting from the analyzed works, we adopted a conception of Recreational Mathematics which we consider the most potentially fruitful for mathematics teaching. We also analyzed some application experiences of Recreational Mathematics in the teaching process. We adopted a division of Recreational Mathematics into three fields, which led us to attach three experience reports that seemed representative: games, recreational problems and mathematical puzzles. We also discussed the idea that the algebra development has led to the decline of recreational problems and current prospects for activities with Recreational Mathematics. As it is, it is concluded that Recreational Mathematics has a large field of possibilities, which should be more used in the classroom to facilitate the teaching-learning process, for being this tool attractive as well as develops various skills.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1: Fluxograma do Percurso Metodológico 16
Figura 2: Esquema da estratégia proposta por Josefo. 24
Figura 3: Kolam. 28
Figura 4: Quebra-cabeça Sudoku. 31
Figura 5: O cavalo. 56
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Artigos sobre MR com perfil de relato de experiência, produzidos no Brasil 37 Quadro 2: Artigos sobre MR com perfil de relato de experiência, produzidos no
exterior 38
Quadro 3: Artigos sobre MR que trazem alguma discussão teórica, todos produzidos
no exterior. 41
Quadro 4: Artigos sobre MR que trazem à tona alguma vertente histórica, produzidos
no Brasil. 43
Quadro 5: Artigos sobre MR de ênfase histórica, produzidos no exterior. 44 Quadro 6: Outros tipos de publicação, produzidos no exterior. 47
Quadro 7: Síntese quantitativa. 47
Quadro 8: Teses e Dissertações obtidas pelo termo de busca “Matemática
Recreativa”, produzidas no Brasil. Total de 17 trabalhos. 72
Quadro 9: Teses e Dissertações obtidas pelo termo de busca “Matemática Recreativa”, produzidas no exterior. Total de 13 trabalhos. 74
LISTA DE TABELAS
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 13
1.1 O OBJETO DE ESTUDO 14
1.2 OBJETIVOS DA PESQUISA 15
1.3 PERCURSO METODOLÓGICO DA PESQUISA 15
1.4 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO 17
2 MATEMÁTICA RECREATIVA: UMA VISÃO GERAL A PARTIR DA TESE DE
BÁRTLOVÁ (2016) 18
2.1 DEFININDO E CARACTERIZANDO A MATEMÁTICA RECREATIVA SEGUNDO
BÁRTLOVÁ (2016) 18
2.1.1 Definição de Matemática Recreativa 18
2.1.2 Alguns exemplos ilustrativos envolvendo as características da MR 23
2.2 OS TIPOS MAIS FREQUENTES DE ATIVIDADES RECREATIVAS 29
2.2.1 Jogos matemáticos 29
2.2.2 Quebra-cabeças matemáticos 31
2.2.3 Problemas recreativos 32
3 UM PANORAMA DAS PESQUISAS ENVOLVENDO MATEMÁTICA
RECREATIVA EM PERIÓDICOS NACIONAIS E INTERNACIONAIS 34
3.1 METODOLOGIA DA PESQUISA 34
3.2 ARTIGOS PRODUZIDOS NO BRASIL E NO EXTERIOR 37
4 O QUE MAIS PODEMOS SABER SOBRE A MR 49
4.1 A MATEMÁTICA RECREATIVA ESTÁ PRESENTE NOS CURRÍCULOS? 49
4.2 SOBRE A ANTIGUIDADE DA MR 55
4.3 A QUESTÃO DA ATUALIDADE DA MR 60
4.3.1 O uso de exemplos e contraexemplos 61
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS 66
6 CONCLUSÃO 68
1 INTRODUÇÃO
Na medida em que a sociedade vai se tornando mais complexa e mais tecnológica, aumentam as exigências de conhecimento nas diversas áreas, particularmente na área de matemática. Na busca de soluções que promovam um melhor aprendizado da matemática, os pesquisadores em Educação Matemática, nos primeiros anos do século XXI, buscavam colocar em prática diversos recursos e estratégias de ensino. Foi neste caminho que se definiram cinco tendências na Educação Matemática. Cada uma de tais tendências buscava aliar ao ensino de matemática um recurso que ajudasse na elaboração de novas práticas pedagógicas para o ensino de Matemática. Os cinco recursos são: a História da Matemática, os Jogos, a Modelagem Matemática, a Etnomatemática e as Tecnologias da Informação e comunicação.
Com o passar dos anos, algumas tendências acabaram por se configurar como uma área de pesquisa própria dentro do campo maior da Educação Matemática, como é o caso da História da Matemática, que hoje conta com uma sociedade própria (Sociedade Brasileira de História da Matemática – SBHMat), eventos próprios (Encontro Luso-Brasileiro de História da Matemática – ELBHM, Seminário Nacional de História da Matemática – SNHM) e publicações próprias (Revista Brasileira de História da Matemática – RBHM, Histemat – Revista de História da Educação Matemática, Revista de História da Matemática para Professores – RHMP).
Foi justamente a partir da leitura do último periódico citado, a Revista de História da Matemática para Professores – RHMP, que se iniciou o interesse no tema de nossa pesquisa. O periódico RHMP, criado em 2014, foi idealizado para publicar artigos de História da Matemática destinados aos professores de matemática do ensino básico, classificados nas seguintes seções:
● História da Matemática – artigos de algum tópico da História da Matemática;
● Sugestão para sala de aula – artigos que indiquem alguma forma de inserção da História da Matemática nas aulas de matemática;
● Brincadeiras e diversões - artigos que proponham jogos, quebra-cabeças e outras atividades de entretenimento matemático;
● Merece ser lido, visto, divulgado – artigos que divulguem livros, filmes ou lugares (passeios) de interesse histórico-matemático.
Os editores da RHMP (Bernadete Morey e Ligia Arantes Sad) perceberam desde o início 1 a escassez de submissões ao periódico RHMP de material histórico de caráter recreativo. Ao tomar conhecimento de tal situação, surgiu uma série de indagações: por que houve poucas submissões em História da Matemática de caráter recreativo? Será que a dificuldade surgiu quando se fez a exigência de que o material a ser submetido deveria ser ao mesmo tempo histórico e recreativo? Seriam estas duas características inconciliáveis?
Os editores da revista, por meio de conversas informais, nos falaram dessas ocorrências, o que nos levou a propor um estudo que pudesse tematizar sobre uma matemática de entretenimento, uma matemática que incluísse jogos, quebra-cabeças e outras atividades de entretenimento. Temos de deixar claro que nosso tema não se confunde com a tendência jogos no ensino de matemática, citada logo no início deste texto. Ali se tratava de uma prática pedagógica dirigida mais para a matemática do ensino fundamental, que tratava de usar jogos no ensino de matemática. O que temos em mente é algo distinto; para apontar ao menos uma distinção: a matemática de entretenimento ou divertida sobre a qual nos detemos se destina também aos adultos.
1.1 O OBJETODEESTUDO
Tomamos então como objeto de estudo a Matemática Recreativa (MR) tal como definida na próxima seção. Obviamente, julgamos que não será possível, nos limites de uma dissertação de mestrado, fazer um estudo exaustivo de todos os aspectos e nuances da MR, então nos concentramos mais em dois dos seus aspectos. Faremos então um recorte das questões que definirão nosso estudo. Vamos considerar para estudo a MR no que concerne:
1 O que nos foi dito em conversa pessoal entre uma das editoras do periódico e a autora desta dissertação.
● às questões de aspecto pedagógico, isto é, o que, na literatura da Educação Matemática, é apontado como argumento para o uso da MR nas aulas de matemática e até que ponto a MR é considerada nos currículos;
● às questões da historicidade da MR, isto é, como se configurou a MR através dos tempos. Como se configura a compatibilidade História da Matemática e MR.
O desdobramento dos pontos referentes ao objeto de estudo nos permite enunciar o seguinte objetivo.
1.2 OBJETIVOSDAPESQUISA
O objetivo geral do presente trabalho dissertativo é conhecer um panorama das pesquisas envolvendo Matemática Recreativa em periódicos nacionais e internacionais, apresentando sua interligação com a história da matemática.
Por sua vez, os objetivos específicos podem ser assim enunciados:
1. - Descrever o significado e as características da Matemática Recreativa, a partir da concepção de Bártlová (2016), para sua incorporação na Educação Básica;
2. - Conhecer o estado da arte de pesquisas envolvendo Matemática Recreativa a partir de artigos produzidos por pesquisadores brasileiros e estrangeiros entre 1969 a 2019;
3. - Relatar um problema matemático recreativo presente no renascimento, a partir da literatura estudada, vinculado à história da matemática.
1.3 PERCURSOMETODOLÓGICODA PESQUISA
A pesquisa qualitativa, do tipo exploratória, abre uma possibilidade muito importante, que é a de explorar um tema pouco conhecido. As informações
encontradas em documentos permanecem as mesmas durante muito tempo. Porém, como todo método tem suas falhas, é necessário explicitar que os documentos muitas vezes não foram produzidos com o objetivo de fornecer informações e é fato que nem sempre os documentos possibilitarão dados válidos e confiáveis. Esse método baseado no objetivo da pesquisa nos sugere uma boa base de obtenção dos dados e possibilita o controle sobre os meios de pesquisa.
Deste modo, o percurso metodológico a ser seguido pode ser visto conforme as etapas a seguir:
- realizar uma varredura na bibliografia da Educação Matemática buscando publicações em artigos sobre a Matemática Recreativa;
- examinar a frequência da MR nas publicações em Educação Matemática;
- investigar se a MR se faz presente nos documentos oficiais que determinam o currículo escolar;
- apresentar exemplos de uso da MR de acordo com as publicações da EM. - fazer um estudo da historicidade da MR;
- examinar fatores que talvez sejam empecilhos para o uso amplo da MR no ensino da Matemática atual e propor possíveis soluções.
Assim, na Figura 1, apresentamos uma visualização do percurso metodológico.
Figura 1: Fluxograma do Percurso Metodológico
1.5 ESTRUTURADADISSERTAÇÃO
A presente dissertação constitui-se de quatro capítulos, sendo o primeiro deles a presente introdução, na qual tratamos dos objetivos, do percurso metodológico, como se iniciou o interesse no tema desta pesquisa e sobre a estrutura desta monografia.
O segundo capítulo foi dedicado à análise da tese de Teresa Bártlová defendida na Kárlova, Universidade de Praga, em 2016, e que se constitui num trabalho fundamental para os que querem se iniciar em Matemática Recreativa. Nesta parte da dissertação, falamos sobre a definição de Matemática Recreativa dada por Teresa Bártlová, colocamos alguns exemplos ilustrativos de MR que podem ajudar na caracterização da MR e os tipos mais frequentes de atividades recreativas.
O terceiro capítulo trata do processo de levantamento bibliográfico, que no nosso caso foi limitado às publicações na forma de artigos de periódicos. Neste capítulo, articulamos os parâmetros da busca pelos artigos em MR e separamos os artigos produzidos no Brasil e no exterior.
O quarto capítulo trata de questões de interesse pedagógico, tais como: a presença da MR nos documentos oficiais escolares; o quão antiga é a MR; como a álgebra estragou com a MR e uma proposta de possível solução.
Nas considerações finais, discorremos brevemente sobre os resultados de cada capítulo.
2 MATEMÁTICA RECREATIVA: UMA VISÃO GERAL A PARTIR DA TESE DE BÁRTLOVÁ (2016)
Este segundo capítulo é dedicado ao esclarecimento do significado do termo Matemática Recreativa (Recreational Mathematics). Nesta etapa, contamos com o trabalho de doutorado History and current state of recreational mathematics and its relation to serious mathematics, da autora Teresa Bártlová. O trabalho é uma monografia que discorre sobre vários aspectos de nosso tema. A seguir, traremos alguns exemplos de atividades com matemática recreativa que podem completar mais a nossa ideia de matemática recreativa.
2.1 DEFININDOECARACTERIZANDOA MATEMÁTICA RECREATIVASEGUNDO BÁRTLOVÁ (2016) 2.1.1 Definição de Matemática Recreativa
A tese de doutorado de Bártlová (2016) é um estudo abrangente do que ela chama de recreational mathematics. Ela investiga a acepção do termo, a história dessa matemática, dá exemplos esmiuçados e faz considerações de seu uso no ensino de matemática.
A autora considera que a melhor definição de Matemática Recreativa (MR) seja de Martin Gardner, que diz que MR é qualquer parte da matemática que tenha um espírito de jogo. Mesmo concordando com a definição até certo ponto, a autora faz a objeção dizendo que pessoas diferentes terão opiniões diferentes sobre qual parte da matemática é considerada divertida. Para alguns, seria um sudoku, um quadrado mágico, um jogo de xadrez. Porém, um matemático profissional gosta do que estuda, mesmo sendo tópicos matemáticos avançados. Muitos matemáticos olham para o seu trabalho como uma forma de jogo. Assim, é difícil definir com precisão o que faz parte da Matemática Recreativa. A autora alega que a matemática é considerada recreativa se tiver um aspecto lúdico que possa ser entendido e apreciado por não-matemáticos, ressalvando, porém, que essa definição ainda não é precisa, pois ainda abrangeria quase todos os tipos de matemática e, portanto, seria muito geral.
Desse modo, Bártlová (2016) destaca quatro aspectos que cobrem a maioria dos tópicos que podem ser rotulados pela MR. São eles: o aspecto científico-popular; o aspecto de entretenimento; o aspecto pedagógico e o aspecto histórico.
Vejamos de modo breve o que se entende por cada um destes aspectos. No primeiro aspecto, o aspecto científico-popular, a autora fala o seguinte:
O aspecto científico-popular é o que faz com que a Matemática Recreativa seja divertida e popular. Ou seja, os problemas correspondentes devem ser compreensíveis para um leigo interessado, embora as soluções possam ser mais difíceis. Por Matemática Recreativa, podemos entender a abordagem com a qual podemos tornar a matemática séria compreensível ou, pelo menos, mais palatável (Bartlová, 2016, tradução nossa).
Grande parte da combinatória surgiu de jogos e quebra-cabeças. Bártlová (2016) justifica isso pelo fato de os problemas de combinatória serem de difícil compreensão (uma vez que não são necessários requisitos extensos); geralmente, para resolver estes problemas é necessário apenas ter paciência, persistência, imaginação e intuição. Ela dá alguns exemplos de problemas recreativos de combinatória, a saber: o quebra-cabeça do anel, o problema de Josefo, o quebra-cabeça da Torre de Hanói e os problemas de travessia do rio. Vale ressaltar que nem todo problema matemático é um problema recreativo.
Bártlová (2016) afirma que o desenvolvimento da probabilidade também começou a partir da Matemática Recreativa. Isso devido aos jogos de azar. Ela considera que a teoria da probabilidade deveria ter se tornado um dos mais importantes objetos de conhecimento humano porque a probabilidade está cheia de resultados e paradoxos surpreendentes, mais do que qualquer outro ramo da matemática, por causa do nosso senso de riscos e muitos aspectos do acaso, que tornam necessária uma boa estimativa dos resultados.
No segundo aspecto, o aspecto de entretenimento, de acordo com Bártlová, temos que:
O aspecto de entretenimento faz com que a Matemática Recreativa seja uma matemática usada como um desvio para a diversão. Por exemplo, um dos proeminentes matemáticos contemporâneos dessa tendência, Ian Stewart, percebe o papel da matemática recreativa precisamente nesse sentido. Ele está tentando ver a matemática
como uma fonte de inspiração e alegria. Ele frequentemente escreve em seus livros que a matemática divertida é aquela parte que não é ensinada na escola. O mesmo ponto de vista foi defendido por Martin Gardner, que, além disso, acreditava que, mesmo na escola, a matemática ensinada ali deveria ser divertida até certo ponto (Bartlová, 2016, tradução nossa).
No aspecto do entretenimento, temos que a Matemática Recreativa é uma matemática usada como um desvio da matemática séria para a diversão de alguém. Bártlová (2016) divide em três campos independentes, que são: os jogos matemáticos, os quebra-cabeças matemáticos e os problemas recreativos. Assim, ela descreve cada um desses três campos.
A autora explica que para um jogo ser um jogo matemático é necessário que as regras, estratégias e resultados sejam definidos por parâmetros matemáticos claros. Os jogos matemáticos não exigem nenhum conhecimento matemático profundo. Além disso, os jogos de estratégias e de azar são tão antigos quanto a própria civilização humana. Os jogos matemáticos de azar, particularmente, começaram na idade média e o seu desenvolvimento por Pascal e Fermat, em 1650, chegou até a probabilidade.
Enquanto os jogos matemáticos não requerem nenhum conhecimento profundo de matemática, os quebra-cabeças matemáticos exigem desenvoltura matemática específica para completar. Alguns exigem apenas certo grau de destreza; outros apenas pensamento lógico, ao passo que outros exigem a aplicação sistemática de ideias ou padrões matemáticos, como são os casos do cubo de Rubik, os anéis chineses, a Torre de Hanói e o Relógio de Rubik.
Muitos cientistas, tais como Leonhard Paul Euler (1707-1783), George Howard Darwin (1845-1912) e John Tyndall (1820-1893), começaram a partir dos quebra-cabeças matemáticos e foi esta ferramenta que deu a eles habilidades para resolverem problemas de maior magnitude, depois de anos. O matemático Sam Loyd (apud Bártlová, 2016, p. 7) diz que provavelmente o menino que abomina raiz quadrada ou álgebra vai encontrar prazer em trabalhar com enigmas que envolvem identicamente os mesmos princípios. Assim, Bártlová (2016) chega à conclusão de que os que possuem o cargo da Educação não sabem como despertar interesse nos estudos matemáticos de vários estudantes que realmente gostam de aprender, que, por isso, acabam tendo aversão a figuras e o desejo de esquecer tudo sobre
matemática assim que deixam a escola e, no entanto, se o assunto tivesse sido ensinado de maneira mais agradável, a matemática poderia ter sido desenvolvida de forma a surpreender.
Não importa se estamos jogando um jogo, completando um quebra-cabeça ou resolvendo um problema, sempre que é necessário utilizar a nossa paciência e persistência, estamos utilizando os mesmos atributos que contribuem para o desenvolvimento da pesquisa. Então, a Matemática Recreativa deveria ser um recurso sempre utilizado em sala de aula.
No terceiro aspecto, o aspecto pedagógico, Bártlová define da seguinte maneira:
O aspecto pedagógico permite que a Matemática Recreativa possa ser usada para fins de ensino. É visto como uma grande utilidade pedagógica. Partes do que hoje se chama Matemática Recreativa estiveram presentes na mais antiga matemática conhecida e esta situação continua até os dias atuais (Bártlová, 2016, tradução nossa).
Alguns exemplos de Matemática Recreativa que estiveram presentes desde a antiguidade matemática são: a lenda de Josefo, o problema da bolsa e o problema do cavalo, descritos nesta dissertação.
No aspecto pedagógico, Bártlová argumenta que memorizar fórmulas sem compreendê-las leva a criança a não gostar da matemática. E a solução dada por ela é tentar resolver um bom problema em sala de aula, de maneira que haja maior experiência de aprendizagem. É nesse ponto que entra a Matemática Recreativa, pois a MR fornece muitos desses problemas e quase todos os problemas podem ser adequados, alterados (dá para fazer modificações; mudando, acrescentando ou retirando algum elemento). Além disso, os quebra-cabeças matemáticos fornecem forte motivação intrínseca e os alunos que gostam de resolver estes quebra-cabeças podem desenvolver atitudes em relação a outras formas de matemática também.
Por último, no aspecto histórico, Bártlová diz:
O aspecto histórico da Matemática Recreativa sempre desempenhou um papel muito importante na História da Matemática e foi responsável pela origem de teorias e conceitos matemáticos, inteiros, importantes que não existiriam sem ela (Bartlová, 2016, tradução nossa).
Quanto à origem histórica da MR, a autora diz ser impossível saber com exatidão; o que se sabe é que os problemas recreativos são frequentemente muito antigos2 e servem como marcadores históricos úteis, rastreando o desenvolvimento e a transmissão da matemática no lugar e no tempo. Bártlová (2016) alega que em séculos passados quase todos os problemas matemáticos existiam, principalmente, para o prazer intelectual. E com o passar do tempo, um número significativo de problemas recreativos tornaram-se parte integrante no desenvolvimento de novos ramos no campo da matemática. É interessante ver que a História da Matemática está repleta de enigmas, jogos e problemas recreativos. Estes problemas, por sua vez, atraíram tanto as mentes dos cientistas que foram encontradas importantes conexões entre os problemas e os conceitos críticos da geometria, teoria da otimização, análise combinatória e teoria dos números.
A autora termina sua apreensão da noção de Matemática Recreativa ressaltando que todos os quatro aspectos nomeados estão interligados e influenciam uns aos outros. Eles se sobrepõem consideravelmente e não há limites claros entre eles e a matemática “séria”. A Matemática Recreativa está em algum lugar na fronteira entre todos esses quatro aspectos e tenta encontrar o equilíbrio entre a seriedade e a frivolidade.
O estudo de Bartlová nos dá elementos suficientes para enunciar uma definição de MR:
O enunciado feito por nós anteriormente sobre a MR indica que temos uma apreensão do que seria MR, e que, além disso, o conceito caracteriza o tipo de
O enunciado que acabamos de fazer indica que temos uma apreensão do que seria MR e que, além disso, o conceito caracteriza o tipo de matemática com que queremos trabalhar em ao menos quatro aspectos muito importantes:
2 Exemplos destes problemas recreativos são: o problema do cavalo e o da bolsa, conhecidos desde a época medieval (476-1492), os quais veremos mais adiante.
● uma matemática científico-popular, isto é, capaz de atrair a atenção do não matemático profissional;
● uma matemática divertida;
● uma matemática propícia à criação de práticas pedagógicas inovadoras; ● uma matemática histórica, isto é, cujas origens remontam ao despertar da
própria matemática.
Todos estes aspectos a tornam o objeto adequado ao estudo no nosso texto dissertativo. Porém, vamos dar maior ênfase ao aspecto pedagógico e ao aspecto da historicidade.
Na seção seguinte, apresentaremos três exemplos de atividades recreativas que podem melhorar mais ainda nossa ideia a respeito do assunto.
2.1.2 Alguns exemplos ilustrativos envolvendo as características da MR A lenda de Josefo
Pedro Alegría Ezquerra (2012), no artigo Entre la matemática y la magia: la leyenda de Josefo y la mezcla australiana, relata um problema muito antigo, que é o da Lenda de Josefo.
A lenda de Josefo tem como protagonista o historiador judeu Flávio Josefo, autor do livro De bello judaico (A guerra dos judeus). Sem nos determos nos detalhes historiográficos, ocorre a situação na qual Josefo e outros 40 companheiros judeus se viram encurralados em uma caverna, depois que os romanos capturaram a cidade de Jotapat. Para evitar serem aprisionados e transformados em escravos, os cativos preferiram a morte e decidiram que eles formariam um círculo, matando um ao outro pelo seguinte ritual: o primeiro matou o segundo e passou a arma para o terceiro, quem matou o próximo, e assim por diante, até que ficasse um sozinho, que cometeria suicídio. A questão que se coloca é sobre a possibilidade de alguém ocupar uma posição em que seja possível escapar da morte.
Figura 2: Esquema da estratégia proposta por Josefo.
Fonte: https://www.calendario.cnt.br/Paginas/Josefo.htm.
Segundo Ezquerra (2012), há outras versões dessa lenda e todas se resumem a colocar pessoas em círculo e submeter todos a uma ação recorrente. A questão é sempre saber qual posição leva a pessoa a ser eliminada, ou a ganhar o prêmio ou a punição, etc. É basicamente um problema de permutação e o autor do artigo desenvolve a matemática subjacente ao problema.
A matemática subjacente ao jogo é de fato interessante para ser trazida para a sala de aula. No entanto, uma observação que nos parece pertinente é a indagação de por que um episódio trágico na história dos judeus é transformado num jogo que supostamente deveria ser divertido. Como a citada guerra foi um fato e considerando que pode ter sido muito doloroso para os judeus serem massacrados pelos romanos, pensamos que deveríamos adaptar o jogo para versões mais amigáveis. O autor apresenta um jogo, mas não sua aplicação em sala de aula.
Observamos que nesse artigo, de Ezquerra (2012), não há muitas reflexões sobre aprendizagem. O autor descreve o problema (ou jogo) e suas variantes, a matemática subjacente. O interessante no problema é que ele pode ser adaptado aos diversos níveis de ensino, utilizando o tratamento matemático correspondente e no artigo o autor faz isso, dá algumas ideias de adaptação para serem utilizadas em sala de aula.
Jogos de Matix e Senha
Por sua vez, o artigo Jogos Matix e Senha: motivando conteúdos da 2ª série do Ensino Médio, de Fanti e Suleiman (2012), relata uma intervenção em sala de aula usando dois jogos.
Essas autoras afirmam tão somente que a MR é constituída por uma vasta composição de problemas, anedotas, charadas, quebra-cabeças e jogos. Para estas autoras, os jogos desenvolvem habilidades porque criam condições para o progresso da linguagem, de processos de raciocínio e de interação, abrindo, portanto, possibilidades para o aluno defender pontos de vista, ser crítico e obter confiança em si mesmo, características essenciais para aprender matemática.
Fanti e Suleiman (2012) afirmam que nas últimas décadas ocorreram numerosas pesquisas científicas sobre o jogo na educação escolar, uma afirmação que pode levar o leitor a um falso entendimento de que existem no Brasil muitos estudos com o foco na MR, do que discordamos. Pelo que vimos até agora, existem estudos sobre uso de jogos nas séries iniciais, conceito distinto da MR.
Um ponto importante o qual as autoras destacam é sobre o cuidado com o jogo em sala de aula; elas se apoiam em Kamii (1992) para argumentar a favor do cuidado necessário ao aplicar o jogo em sala de aula, para não se tornar apenas o jogo pelo jogo.
No artigo de Fanti e Suleiman (2012), encontram-se posições teóricas e enunciados sobre os benefícios de uso pedagógico de jogos, como tais tentativas de enunciar argumentos e posições teóricas a favor do uso do uso pedagógico dos jogos. No entanto, devido à falta de clareza dessas posições e argumentos, nós os deixamos de lado e prosseguimos com a análise do artigo.
As autoras deixam explícito o motivo pelo qual foram selecionados para intervenção os dois jogos enunciados no título do artigo: elas buscavam jogos que auxiliassem no aprendizado dos tópicos do conteúdo de matemática do ensino médio: Matrizes, determinantes e sistemas lineares; análise combinatória (princípios multiplicativo e aditivo) e probabilidade.
Sem descrever o desenvolvimento do processo de intervenção propriamente dito, as autoras explicam as regras e o funcionamento de ambos os jogos, fornecem
informações sobre as escolas e número de alunos que participaram da experiência, enunciam as tarefas que foram atribuídas aos alunos.
Comentando os resultados obtidos, Fanti e Suleiman (2012, p. 326) dizem que:
o Matix foi aplicado na 2a série do Ensino Médio e possibilitou explorar os conceitos: de matriz como tabela, de linha, de coluna, da localização de um elemento a ij e sua posição na matriz, do tipo da matriz (mxn; retangular ou quadrada), de diagonal da matriz, do total de elementos da matriz. Boa parte da “ideia” do conceito de matriz e seus elementos foi aprendida/compreendida pelos alunos, quando tiveram a oportunidade de jogar o Matix, e isso foi verificado quando respondiam prontamente aos monitores/bolsistas, na avaliação, às questões/atividades que lhes foram propostas.
Dizem também que jogo da Senha contribuiu para desencadear o desenvolvimento do raciocínio para a resolução de problemas de Contagem . A Profa. Amal, que é uma das autoras, relata o trabalho com o jogo da Senha como:
extremamente proveitoso, de muita participação, prazeroso, os alunos estavam estimulados, uma vez que foi aplicado antes de abordarmos o conteúdo de Análise Combinatória e eles se sentiram desafiados a encontrar a senha e a resolver as problematizações que os monitores/bolsistas lançaram a eles. Quando eu fui trabalhar o conteúdo, muitos deles resolveram os problemas de Contagem, fazendo a associação com as questões que os monitores haviam proposto durante o jogo. Alguns diziam: “Ah, igual no jogo.” (id., ibid.).
As autoras relatam também melhoria no aprendizado dos tópicos de matemática relacionados aos jogos, demonstrada por meio de um instrumento de avaliação do qual elas lançaram mão. Assim, elas finalizam dizendo que:
com base no trabalho realizado entendemos que a junção da aula conceitual dada pelo professor e a dinamicidade e descontração das atividades desenvolvidas com os jogos contribuiu/motivou para uma melhor absorção pelos alunos, dos conceitos matemáticos relacionados. A princípio o que foi explorado parece bastante simples, mas o fato dos conceitos básicos serem abordados de uma forma mais palpável leva o aluno a aceitar melhor as idéias, conteúdos que se seguem e que são mais bem elaborados (id., ibid.).
Deve-se salientar que as professoras consideram que o jogo trouxe o benefício de desenvolver habilidades que mais tarde facilitariam o aprendizado de certo conteúdo matemático.
Fanti e Suleiman (2012) ressaltam a necessidade de tomar cuidado com o jogo em sala de aula, o que para nós é muito importante, pois se não for buscada uma intenção pedagógica no trabalho com o jogo, ele pode se tornar apenas uma brincadeira sem objetivos à aprendizagem do conteúdo matemático. Fanti e Suleiman trazem reflexões da aplicação da atividade proposta por elas. Na escrita dessas autoras, há posições teóricas e enunciados sobre os benefícios da utilização pedagógica dos jogos, os quais, porém, não estão muito claros.
Padrões geométricos: Kolam
Agora veremos o artigo de Vasant Barve e Minakshi Barve (2012). Estes autores, no artigo Recreational Mathematics, trabalham com o uso da matemática recreativa na criação de interesse em matemática e na motivação dos alunos em aprender matemática.
Eles falam brevemente sobre a natureza da matemática recreativa e um pouco da história da Matemática Recreativa. Segundo Barve e Barve (2012), a MR é usada como um desvio da matemática séria ou como uma maneira de tornar a matemática séria compreensível e serve para remover o tédio e o medo da matemática, de maneira que os alunos se interessam em aprender matemática. Eles argumentam que a matemática recreativa é a matemática divertida, onde os problemas colocados são facilmente compreendidos pelos leigos, embora a solução possa ser difícil.
Logo em seguida, eles escrevem um pouco sobre alguns ramos, considerados por ele, da MR, a saber: módulos de MR baseados em computador, quadrados mágicos, padrões geométricos e cálculos de velocidade.
Em relação aos padrões geométricos, que têm mais destaque na parte das atividades sugeridas, Vasant Barve e Minakshi Barve (2012) contam que em todas as culturas é possível encontrar padrões interessantes em desenhos relacionados a ritos religiosos. Esses autores citam o padrão geométrico Kolam como exemplo. O kolam é uma forma de arte que consiste em desenho de formas geométricas e que são desenhados em frente da casa, praticada principalmente por mulheres hindus. O
meio usado é o pó de arroz ou pó de giz. Esses autores argumentam que o kolam pode ser útil em sala de aula para facilitar no processo de aprendizagem de simetria.
Figura 3: Kolam.
Fonte: Barve e Barve (2012).
As atividades propostas por Barve e Barve (2012) são na sua maioria baseadas em padrões geométricos e podem ser aplicadas com a ajuda do computador. E apesar de eles já terem aplicado todas as atividades sugeridas, eles não trazem reflexões sobre a aprendizagem.
De modo geral, planejar uma aula com jogos não é tarefa fácil, pois, além de preparar todo o processo que deve ocorrer durante a aula, é necessário encontrar o jogo mais adequado ao objetivo que você deseja atingir. Cada tipo de jogo desenvolve certas habilidades. Por exemplo, os jogos de tabuleiros são ideais, segundo Costa (2014), para obter e desenvolver capacidades de raciocínio e comunicação que contribuem para o estudo e compreensão de tópicos de matemática. Ele diz que as competências desenvolvidas pelos jogos de tabuleiro são: concentração; visualização; pensar primeiro, agir depois e “pesar” as opções. Além de ser preciso escolher o tipo de jogo, também se deve escolher o jogo mais adequado ao conteúdo que o professor está ensinando.
Para isso, Kamii (1992) propõe cinco princípios para trabalhar com jogos de forma didática e planejada. São eles: escolher os jogos, introduzir os jogos na sala de aula, aplicar os jogos, encerrar um jogo e avaliar os seus resultados. Tais
princípios podem facilitar a atuação do professor, para que a atividade com jogos seja satisfatória e eficiente. Apesar de essa autora focar nas séries iniciais de ensino, os princípios descritos são úteis para trabalhar em qualquer nível de ensino.
Desse modo, assim como qualquer ação educacional intencional, faz-se necessário o planejamento de todo o processo antes de trabalhar com jogos em sala de aula, para que os objetivos sejam alcançados. Utilizar a Matemática Recreativa em sala de aula é um fator positivo, pois, além dessa ferramenta ser atraente para os alunos, desenvolve várias habilidades, a depender dos objetivos que se quer alcançar.
2.2OSTIPOSMAISFREQUENTESDEATIVIDADESRECREATIVAS
No que se refere à tipologia das atividades recreativas nas aulas de matemática, Bártlová (2016) destaca: os jogos matemáticos, os quebra-cabeças matemáticos e os problemas recreativos. Nós nos deteremos sobre esses tipos de atividades e iremos verificamos o que se diz sobre cada um deles e a relação com o ensino de matemática. Então, a seguir teremos três relatos de experiência. O primeiro é sobre a aplicação de jogos no ensino da matemática, o segundo sobre a aplicação de quebra-cabeças matemáticos e o terceiro é sobre a utilização de problemas recreativos em sala de aula
2.2.1 Jogos matemáticos
Então, começando pelos jogos, utilizamos o artigo de Melo (2013) relatando o uso do jogo “Dados não Transitivos”, de James Grime, em sua sala de aula do 7º ano, aplicado em dois turnos de 50 minutos cada. O jogo envolve dois dados, escolhidos entre três, porém não são os mesmos dados com os quais estamos habituados, na medida em que, em vez de disporem os valores de um a seis, cada dado tem apenas dois valores, distribuídos da seguinte maneira:
Tabela 1 – Faces dos Dados de James Grimes.
Dado B 2 2 2 5 5 5
Dado C 1 4 4 4 4 4
Fonte: Elaboração das autoras.
A regra básica é: em um jogo para dois adversários, primeiramente cada jogador escolhe um dado. Logo em seguida, os dados serão lançados simultaneamente. Quem obter o valor mais elevado ganha. Primeiramente, Justina divide a turma em três grupos de quatro alunos, e depois divide cada grupo em dois para jogar um contra o outro. A seguir, ela explica o jogo e as suas regras e, logo em seguida, os alunos começam a jogar, enquanto ela observa o envolvimento e o comportamento dos alunos diante de cada situação proporcionada pelo jogo.
Após alguns minutos de jogo, ela dá uma pausa para fazer alguns questionamentos, por exemplo: "Houve algum número que saiu mais vezes? ou “Por que esses números saíram mais vezes?". Diante destas indagações, ela consegue verificar que os alunos relacionaram o jogo com alguns conceitos de probabilidade, tais como: experiência aleatória, evento e espaço amostral. Feito isto, os alunos voltaram ao jogo. É importante ressaltar que agora eles estão munidos dessas informações e da tabela espaço-amostral, permitindo adotar melhores estratégias durante as jogadas.
Na medida em que eles iam jogando, registravam os resultados de cada jogo em uma tabela, a qual a professora havia entregado. Com os registros realizados por eles, eles calcularam as respectivas frequências relativas.Frequência relativa é o resultado obtido da divisão entre a frequência absoluta e a quantidade de elementos da amostra. Geralmente é apresentada na forma de porcentagem, bastando, para isso, multiplicar o resultado da divisão por 100.
Segundo Melo (2013), os resultados foram bons, pois os alunos se mostraram motivados a aprender no ambiente lúdico provocado pelo jogo. Ela percebeu que em determinados momentos eles refletiam sobre os resultados das jogadas anteriores em busca de melhores estratégias, gerando discussões entre os membros de cada equipe para decidir qual o dado a ser escolhido. Assim, eles já estavam intuitivamente prontos a trabalhar com o cálculo de probabilidade, o que ressaltou o interesse em relação ao jogo. Segundo Melo (2016), o jogo “Dados não Transitivos”
dá mais liberdade e condições para que o aluno possa trabalhar a experimentação, o que facilita na aprendizagem da probabilidade.
2.2.2 Quebra-cabeças matemáticos
O que seria um quebra-cabeça matemático para a sala de aula? Oliveira (2014) aplica o Sudoku em sala de aula como alternativa para auxiliar o discente a pensar e refletir. O principal objetivo desse autor é facilitar as resoluções de problemas nas aulas de matemática.
O Sudoku é um quebra cabeça matemático lógico, cujo desafio é completar um quadrado com nove quadrantes e 81 espaços no total com números de um a nove, porém o mesmo valor não pode ser repetido nos quadrantes, nas linhas nem nas colunas do quadrado. Veja um exemplo:
Figura 4: Quebra-cabeça Sudoku.
Fonte: http://sudoku.menu/info/.
Assim, ele apresenta e discute o projeto com os alunos. Em seguida, é relatado um breve histórico sobre o Sudoku, com a utilização de vídeos e imagens. O autor não relata nada sobre o comportamento dos discentes até essa parte.
Então, é realizado um pré-teste com vários modelos de jogos matemáticos que utilizam a lógica para a verificação do conhecimento prévio do aluno. Após o pré-teste, é apresentado o Sudoku no nível fácil. Aqui é entregue o Sudoku impresso
em um papel, orientando-se os alunos a resolver o quebra-cabeça. Oliveira (2014) conta que os alunos tiveram dificuldade para resolver os problemas de lógica e também o Sudoku em nível fácil. Porém, a participação dos discentes em cada atividade do projeto foi muito significativa, eles gostaram das atividades e ficavam concentrados durante toda a aula para resolver o quebra cabeça até o final. Assim, foi notado que a concentração dos alunos para resolver e interpretar problemas aumentou.
O autor ressalta que os alunos começaram a ter acesso ao Sudoku no nível fácil no mês de março de 2014, destinando-se duas aulas por semana para realização deste projeto.
No mês de julho, os alunos iniciaram com o Sudoku no nível médio. Foi notado que os alunos levaram mais de duas aulas para resolver o Sudoku nas jogadas individuais, porém em grupo eles conseguiram resolver em um pouco mais de uma aula. O autor conta que a partir dos quebra cabeças, os alunos conseguiram desenvolver a concentração para resolver os problemas de lógica propostos nos exercícios de matemática.
Então, ele finaliza o projeto com o Sudoku no nível difícil e um questionário diagnóstico final (com as mesmas questões de lógica aplicada no início do projeto). Assim, os alunos relatam que tiveram mais facilidade para a resolução dos problemas.
Esse autor não traz uma reflexão sobre a aprendizagem dos alunos. Ele descreve como a atividade foi desenvolvida, sem trazer comentários sobre o processo de aprendizagem.
2.2.3 Problemas recreativos
Por fim, o terceiro tipo de atividade recreativa frequente é a resolução de problemas recreativos. Fomos encontrar na dissertação de mestrado de Clarice Segantini (2015), que trabalha com oficinas de resolução de problemas em sala de aula e utiliza problemas extraídos da obra O Homem que Calculava, de Malba Tahan (2008, 72ª edição). Esta autora introduz em sala de aula cinco de tais problemas “recreativos”, tanto pelo seu valor pedagógico quanto pela escolha de
estratégias que oportunizam aguçar a imaginação do leitor. Apenas a título de ilustração, enunciamos um dos problemas.
Problema dos 35 camelos(TAHAN, 2008, p. 21 - 23)
Beremiz – o homem que calculava – e seu colega de jornada encontraram três homens que discutiam acaloradamente ao pé de um lote de camelos. O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava. O mais velho esclareceu que eram irmãos e que haviam recebido como herança 35 camelos. Segundo a vontade do pai, a divisão seria a seguinte: o mais velho receberia a metade, o irmão Hamed uma terça parte e o mais moço, Harin, receberia apenas a nona parte do lote de camelos. Como fazer a partilha se a metade, a terça parte e a nona parte também não são exatas?
A autora faz uma análise detalhada de todo o processo da intervenção relatando a quantidade de alunos, a divisão dos alunos em grupo, o processo de atribuição dos problemas a ser resolvidos, o processo de resolução dos problemas pelos alunos, além de comentar a resolução dada por cada grupo de alunos e faz um comentário geral sobre o trabalho da turma como um todo.
De acordo com a nossa visão, apesar do título da dissertação ser Problemas Recreativos na Obra o Homem que Calculava, de Malba Tahan, e a Resolução de Problemas, os comentários e a análise feita pela pesquisadora Segantini (2015) não refletem o aspecto recreativo, lúdico. A pesquisadora trata, em alguns momentos, de criatividade e, de modo geral, sua preocupação é com o que ela denomina “apropriação do problema”. Pela conclusão, parece que os problemas não obrigatoriamente precisavam ser problemas recreativos. De certo modo, cremos que esta visão de MR é um tanto utilitarista e se preocupa apenas com a medida em que a MR pode ajudar no aprendizado da matemática.
Com os exemplos trazidos aqui, estamos em vias de finalizar a parte referente ao que seria a Matemática Recreativa. Olhando tais exemplos à luz do enunciado que tomamos inicialmente, nos parece que não há necessidade de fazer mudanças e podemos continuar a dizer que Matemática Recreativa (MR) é uma parte da matemática de sempre, a matemática “séria”, que carrega um traço de diversão. Nela se entrelaçam quatro aspectos de fronteiras indefinidas que podem ser assim nomeados: aspecto científico-popular; aspecto de entretenimento, diversão; aspecto pedagógico e aspecto histórico.
3 UM PANORAMA DAS PESQUISAS ENVOLVENDO MATEMÁTICA RECREATIVA EM PERIÓDICOS NACIONAIS E INTERNACIONAIS
Este capítulo tem como objetivo relatar o processo que utilizamos para obter a bibliografia pertinente ao nosso tema e, ao mesmo tempo, as decisões tomadas para delimitar os referenciais em que nos baseamos no decorrer de nossos estudos.
3.1 METODOLOGIADAPESQUISA
Começamos nosso estudo por uma varredura nas publicações em Educação Matemática, à procura daquelas publicações referentes à Matemática Recreativa (MR) para servir de referência à continuidade de nosso estudo.
Iniciamos em 2018, no mês de fevereiro, pela busca de Teses e Dissertações produzidas no Brasil. Acessando o Portal Periódicos Capes pelo acesso CAFE, obtivemos 115 Bases de dados para a área avaliação ENSINO. A base Catálogo de Teses e Dissertações é inútil acessar, uma vez que a busca pelo termo Matemática Recreativa nos retornou 45.701 resultados, sem possibilidade de refinamento da busca. Abandonamos esta via e fomos procurar na base Biblioteca Digital de Teses e Dissertações (BDTD).
No site BDTD, utilizamos o termo de busca Matemática Recreativa no modo de busca avançado do site http://bdtd.ibict.br/vufind/, que, conforme anunciado na própria página, tem 111 instituições participantes, 372.733 dissertações, 136.442 teses e 509.173 documentos. Nossa busca deu como retorno apenas 12 Dissertações e uma Tese.
No que se refere aos artigos, fizemos a coleta, nos meses de fevereiro e março de 2018, a partir de uma busca e revisão da literatura do Portal de Periódicos CAPES pelo acesso da CAFE, usando o seguinte roteiro: a) login no Portal; b) buscar base por área de conhecimento; c) área humanas; d) subárea de educação. Isso nos levou a uma lista de 172 bases para o campo de pesquisa delimitado.
No processo de levantamento dos trabalhos para construção da revisão da literatura, inicialmente fizemos uso da palavra-chave Matemática Recreativa (em algumas bases, utilizamos a palavra-chave em inglês).
Algumas bases nos retornaram resultados e outras não, mas, em suma, foram consultadas as seguintes bases: Programa de Publicações Digitais da Propg (Unesp), Oxford Journals (Oxford University Press), Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (RCAAP), SciELO.ORG, Academic Search Premier - ASP (EBSCO), Educational Resources Information Center - ERIC, OAIster, archives, persee, Duke University Press, Taylor & Francis Online, Latindex - Universidade do México, Britannica Academic Edition, JSTOR, National Science Digital Library: NSDL, OECD iLibrary, SAGE Journals Online, Science (AAAS), ScienceDirect (Elsevier), SocINDEX with Full Text (EBSCO), SPORTDiscus with Full Text (EBSCO) e SpringerLink.
A busca nos retornou vários resultados, porém selecionamos apenas os que se encaixavam na MR (os trabalhos que apresentavam alguma característica de MR), totalizando 40 artigos.
No mesmo período, realizamos uma segunda busca, desta vez sem realizar o login para acessar o Portal de Periódicos CAPES utilizando o seguinte roteiro: a) buscar base por área de conhecimento; b) área multidisciplinar; c) subárea de ensino. Esse caminho nos levou a uma lista de 115 bases para o campo de pesquisa delimitado.
No processo de levantamento dos trabalhos para construção da revisão da literatura, fizemos uso da palavra-chave matemática recreativa (em algumas bases, utilizamos a palavra-chave em inglês).
Nesta segunda busca, encontramos a maioria das Dissertações e Teses na base WolrdCat (catálogo em linha gerido pelo Online Computer Library Center e considerado o maior catálogo em linha do mundo).
A busca desta vez nos retornou um resultado total de 133 trabalhos, sendo 75 livros, 23 Dissertações, três Teses e 31 artigos.
Ficamos então com um total de 71 artigos, 39 teses e dissertações e 75 livros. Deixamos de lado os livros, por não fazerem parte do nosso estudo; a rigor, teríamos de deixar de lado também as teses e dissertações, mas, nós decidimos listá-las apenas para que ficassem registradas. Ademais, algumas poucas nos pareceram de grande ajuda (apenas duas) e nós as usamos em nosso trabalho.
Para que pudéssemos sistematizar os artigos encontrados, inicialmente os agrupamos em categorias:
A. Artigos centrados em uma ou mais atividades recreativas;
B. Artigos que apresentam um estudo ou reflexão teórica sobre algum aspecto da MR;
C. Artigos de análise de obras ou problemas históricos; D. outros tipos de artigo.
Gráfico 1. Apresentação quantitativa das categorias.
Fonte: Elaboração da autora.
Com base nos dados do Gráfico 1, é fácil observar que 36,6% dos artigos encontra-se na categoria A; outros 23,9% na categoria B; 35,2% categoria C e 4,2% na categoria D. Em outras palavras, há mais publicações de artigos centrados em uma ou mais atividades recreativas e análise de obras ou problemas históricos. Além disso, estão em menor quantidade as publicações de artigos tratando da MR no Brasil; a maioria destes artigos é do exterior.
Dois trabalhos de conclusão da pós-graduação nos pareceram promissores no sentido de trazer contribuição ao nosso estudo:
1. History and current state of recreational mathematics and its relation to serious mathematics, deTereza Bartlová, produzida em Praga. Este trabalho
será de grande auxílio imediato para nós, pois constitui um estudo abrangente sobre MR, discutindo o conceito, os exemplos e a antiguidade dos problemas de MR.
2. Problemas Recreativos na Obra o Homem que Calculava, de Malba
Tahan, e a Resolução de Problemas , de Clarice Segantini, produzida no
Brasil. Este trabalho será analisado quanto aos seus aspectos recreativos. Outras teses e dissertações encontradas ficarão para estudos posteriores.
3.2 ARTIGOSPRODUZIDOSNOBRASILENOEXTERIOR
A seguir, listamos todos os 68 artigos, com os respectivos autores, ano de produção e resumo. Os resumos foram na sua maioria realizados por nós, após uma leitura minuciosa dos artigos, e outros são os que constam no site consultado, ressalvando que em alguns deles deixamos apenas a parte mais relevante para nosso estudo. Dividimos os artigos em categorias: artigos-relato de experiência produzidos no Brasil (Quadro 1); artigos-relato de experiência produzidos no exterior (Quadro 2); artigos com ênfase teórica (Quadro 3); artigos com alguma ênfase histórica (Quadro 4).
Quadro 1: Artigos sobre MR com perfil de relato de experiência, produzidos no Brasil.
Nú m
Autor Ano Título Breve resumo
1. Fanti e
Suleima 2012 Jogos Matix e Senha:motivando conteúdos da 2ª série do Ensino Médio
Neste trabalho, são apresentados os jogos Matix e Senha, mostrando como tais jogos foram usados em escolas públicas, (...)
2. Kobayashi e Yamada
2013 Origami e kirigami:
arte e cultura como recurso lúdico e educativo
Apresentam-se neste trabalho as ações e os resultados do curso “Origami e Kirigami: arte e cultura como recurso lúdico e educativo” (...). 3. Nós e Sentone 2017 Paradoxos Geométricos nas Aulas de Geometria
Apresentamos neste trabalho alguns paradoxos geométricos assim como as atividades sobre os paradoxos de Curry e de Hooper aplicadas em turmas da Educação Básica e do Ensino Superior (...).
Fonte: Elaboração das autoras.
No Quadro 1, destacamos os artigos obtidos nesta busca relatando a aplicação de alguma atividade recreativa produzidos no Brasil, totalizando 3 artigos.
Destes artigos, utilizamos o artigo de Ermínia de Lourdes Campello Fanti e Amal Rahif Suleiman (2012) para a nossa análise de experiências de aplicação da Matemática Recreativa no ensino da matemática.
Quadro 2: Artigos sobre MR com perfil de relato de experiência, produzidos no exterior.
Nú m
Autor Ano Título Breve Resumo
1.
Ezquerra 2009 Sucesiones de Recurrencia en la Matemática Recreativa
Neste artigo, são mostrados alguns aspectos recreativos relacionados à sucessão de Fibonacci e outras sucessões de recorrência. Como aplicação didática, são propostos alguns jogos e truques baseados nas propriedades desta sucessão.
2. Asso 2011 La Torre de
Hanói y los Qn Grafos
São descritas neste artigo, as relações entre soluções de quebra-cabeça e ciclos hamiltonianos em gráficos. 3. Ballesteros 2010 Taller de matemàtiques a l'ESO: les matemàtiques també són divertides
É uma coleção de diversas atividades de natureza matemática, mas em seu aspecto lúdico, que são válidas tanto para trabalhar em sala de aula com os alunos quanto para qualquer pessoa que deseje.
4. Cerda, Huete-Nahuel , Molina-Sando val, Ruminot-Mart el e Saiz. 2017 Uso de Tecnologías Digitales y Logro Académico en Estudiantes de Pedagogía Chilenos
O objetivo desta pesquisa foi analisar a relação entre o uso acadêmico e recreativo de tecnologias digitais e o desempenho acadêmico, especificamente o uso acadêmico de vídeos como meio de apoiar a aprendizagem autônoma. 5. Ezquerra 2012 Entre la matemática y la magia: la leyenda de Josefo y la mezcla australiana
Neste trabalho, é mostrada a dualidade relacionada ao famoso problema de Josefo e suas variantes com misturas específicas de cartas. Para ilustrar a natureza educacional desse problema, são sugeridas algumas atividades didáticas para desenvolver em sala de aula.
6. Farias e
Velásquez 2010 Estrategias lúdicas para la enseñanza de la matemática en estudiantes que inician estudios superiores
Neste artigo, é relatada uma pesquisa que analisa o efeito de estratégias lúdicas na aprendizagem significativa da matemática. No decorrer, estratégias de jogo apropriadas foram projetadas para cada um dos assuntos que deveriam ser estudados em Matemática.
7. Jimenez e
Munoz. 2011 From Recreational Mathematics to Recreational Programming, and Back
(...)Escrever programas usando uma linguagem de programação próxima da notação matemática (por exemplo, Haskell) é o primeiro passo para resolver o problema, já que é possível escrever facilmente programas simples e elegantes, tão próximos da descrição do problema que prova que a correção deles é correta. 8. Lopez- Morteo e López 2005 Computer support for learning mathematics: A learning environment based on recreational learning objects
Neste artigo, é apresentado um ambiente de aprendizagem colaborativa eletrônica com base em instrutores interativos de Matemática Recreativa (IIRM), estabelecendo uma abordagem alternativa para motivar os alunos para a matemática. 9. Morales, Domínguez e Bastida 2015 El juego del cuarenta, una opción para la enseñanza de las matemáticas y las ciencias sociales en Ecuador
(...) O Quarenta é classificado dentro dos populares jogos passivos, pois para este não é necessário um esforço físico, apenas um triplo esforço mental. O artigo demonstra a influência deste jogo para o desenvolvimento de habilidades matemáticas em estudantes de educação básica. 10. Murray-Lasso 2005 Introducción suave a ideas fundamentales para resolver problemas de programación lineal en enteros por medio de matemáticas recreativas
Neste artigo, vários exemplos são mostrados com soluções detalhadas, cujas soluções devem ser completas e positivas usando a Matemática Recreativa (enigmas matemáticos). Os problemas são resolvidos mostrando a utilidade de algumas ideias simples.
11. Murray-Lasso 2005 Introducción suave a ideas fundamentales para resolver problemas de programación lineal en enteros por medio de matemáticas recreativas
Neste artigo, vários exemplos são mostrados com soluções detalhadas e com uma complexidade crescente de problemas, cujas soluções devem ser completas e positivas usando a matemática recreativa (enigmas matemáticos). 12. Oliveira 2013 6174: um problema com números de quatro algarismos
Aborda-se um problema clássico da chamada matemática recreativa. Apresentamos uma descrição completa do número de iterações necessárias para se chegar ao 6174.
13. Quintero 2006 Juego y matemática en la enseñanza: el truco de las 21 cartas a través de permutaciones
Neste artigo, é apresentado um estudo matemático do clássico e conhecido jogo de cartas chamado "Trick of the 21 cards". A teoria básica das permutações explica por que o truque é infalível e funciona por si só.
14. Quintero 2006 El truco de m pilas de Gergonne y el sistema de numeración de base m
Neste artigo, consideramos o truque de pilhas de gergonne e sua relação com o sistema de numeração de base m. O caso m = 3 produz um dos mais antigos truques de matemática.
15. Solaz 2008 Matemàtiques
recreatives
Este artigo é baseado no uso da Matemática Recreativa. Essas recriações parecem ser efetivas não só porque o contexto pode estar próximo do aluno, como também porque realça algo fundamental para o estudo: o envolvimento ativo do aprendiz.
16. Teixeira 2017 Truques com o
baralho de cartas tradicional: Toque rápido
(...) Apresentamos, de seguida, um truque matemático que pode ser feito com um baralho de cartas tradicional. Primeiro vamos explicar como se processa o truque. (...)
17. Teixeira 2017 Truques com o
baralho de cartas
tradicional: Klein
Neste artigo, apresentamos outro truque com o baralho de cartas tradicional que se baseia nos conceitos matemáticos de isometria e de simetria, que acabam também por estar relacionados com o conceito de bijeção. (...) 18. Teixeira 2016 Circunferências
mágicas (...) A ideia original das circunferências mágicasremonta pelo menos à segunda edição do livro “Magic Squares and Cubes”, de W. S. Andrews. A publicação data de 1917, há quase um século, e conta com contributos de diferentes autores. (...)
19. Teixeira 2015 Um truque
matemático para gulosos
(...) Neste artigo, apresentamos um intrigante puzzle geométrico. Chama-se Missing Square e foi desenvolvido em 1953 pelo mágico nova-iorquino Paul Curry. (...)
20. Teixeira 2015 Chocolate com
simetrias A exploração das simetrias que encontramosem muitos bombons de chocolate também pode constituir uma atividade altamente motivadora. Analisamos, de seguida, as simetrias de alguns bombons de uma conhecida marca regional (...). 21. Teixeira 2012 Jogos
ecológicos: uma experiência de matemática recreativa com
Neste artigo, apresentam-se algumas das atividades desenvolvidas no âmbito do tema “Jogos e Matemática”. .
alunos de Educação Básica 22. Teixeira 2010 Critérios de divisibilidade e truques com cartas
Neste artigo, analisamos três problemas de Martin Gardner. (...) O segredo para uma rápida resposta a estes problemas reside no conhecimento dos critérios de divisibilidade do 3 e do 9.
Fonte: Elaboração das autoras.
No quadro 2, apresentamos os artigos com perfil de relato de experiência, produzidos no exterior, totalizando 22 artigos. Percebe-se que há mais artigos sobre MR com perfil de relato de experiência produzidos no exterior do que no Brasil. Destes artigos, nos chamou a atenção o de Pedro Alegria Ezquerra (2012), que relata uma atividade que pode ser desenvolvida tanto como resolução de problema recreativo quanto como jogo. Além disso, a atividade é ligada a um evento histórico e a um personagem real, o que pode ser explorado de diversas maneiras.
Quadro 3: Artigos sobre MR que trazem alguma discussão teórica, todos produzidos no exterior.
Autor Ano Título Tópico discutido teoricamente
1. Eastawa y 1997 What is the Difference Between a Puzzle and a Math Question
O autor mostra que o tema da matemática recreativa deve fazer parte do currículo.
2.
Pomona 2017 one = zero Neste artigo, são utilizadas a matemática e as trêsciências mais puras - Física, Química e Rap - para provar que 1 = 0.
3. Barve e
Barve 2012 Recreational Mathematics O artigo lida com o uso da matemática recreativa nacriação de interesse pela matemática e na motivação dos alunos no aprendizado da matemática.
4. Bastier 1969 Games and
Relations São propostas algumas ideias para jogos que levam osalunos a desenhar diferentes padrões e usá-los na descoberta de estratégias.
5. Corbalá
n 2000 Algunos aspectos de
matemáticas recreativas
Neste artigo, se comenta sobre os aspectos da matemática recreativa
