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Comportamento crítico de filmes Ising S=1 em estruturas cúbicas simples

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Academic year: 2021

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(2) Costa, Lidiane da Silva Araújo Comportamento crítico de filmes Ising  S=1 em estruturas cúbicas simples / Lidiane da Silva Araújo Costa.  Recife : O Autor, 2008. xiv, 61 folhas: il., fig., tab. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Pernambuco. CCEN. Física, 2008. Inclui bibliografia. 1. Física estatística. 2. Monte Carlo. 3. Histograma múltiplo. 4. Comportamento crítico. 5. Filmes finos magnéticos I. Título.. 530.13. CDD (22.ed.). FQ2008-036.

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(4) À minha querida filha Ennya..

(5) Agradecimentos. Sou grata ao pessoal do Laboratório de Computação Científica, André, Aranildo, Cesar Sampaio e Paulo Gustavo. Obrigada pelas participações efetivas, contribuições e sugestões, durante nossos seminários de grupo. Agradeço o apoio e amizade de todos. Agradeço ao meu orientador Brady, pela grande amizade. Paciente, sempre receptivo e disposto a responder qualquer tipo de pergunta. É um privilégio ter tido a oportunidade de ser orientanda de uma pessoa que sabe ouvir e ensinar desta maneira singular. Que consegue cuidar da formação básica do estudante e, ao mesmo tempo, incentivá-lo à adquirir autonomia. Fui muito beneficiada por suas perguntas e observações pertinentes nos seminários, pela sua sinceridade nas críticas e elogios. Pelas cobranças e pressões (discretas) na fase de escrita da dissertação. Pela paciência durante as criteriosas correções de cada um dos capítulos desta dissertação, sempre preocupado com a clareza. Pelo aprendizado... Sou muita grata ao meu Coorientador, Adauto, com quem aprendi muito desde a iniciação científica. Pelos vários puxões de orelha (coisas que agente só agradece depois que vê o resultado... É quando passamos a entender que é necessário). Durante todo este tempo, foram muitas lições de coragem para enfrentar adversidades. Obrigada pelos conselhos acadêmicos e pelas longas discussões sobre este trabalho. Agradeço muito pelas grandes contribuições à minha formação básica. Pelo apoio e amizade. Sou uma pessoa de sorte, pelo privilégio de ser orientada por Brady e Adauto. Agradeço ao professor Jairo Rolim, pela paciência e clareza nas explicações durante os seminários do nosso grupo. Agradeço ao Cesar Sampaio, pelo companheirismo durante o Mestrado e pelas gentilezas. v.

(6) AGRADECIMENTOS. vi. que me fez na fase de escrita desta dissertação. Obrigada Paulo Gustavo, pelas boas conversas e preocupação com o meu bem estar e segurança. Meus agradecimentos ao Aranildo, pela manutenção de software e ao André pela manutenção de hardware dos recursos do Laboratório de Computação Científica. Agradeço também pela torcida e interesse que eles mostraram a respeito do andamento deste trabalho. Obrigada meus amigos e companheiros de jornada, Manoel Vieira, Marco Polo, Gilvânia Lúcia e Rebeca Cabral. Obrigada pelas longas discussões sobre as “listas” e elas foram importantes para minha formação. Agradeço à Rebeca Cabral pela amizade. Sou grata ao amigo Francisco Vieira, pelo apoio moral em um momento tão crucial. Agradeço aos professores Alexandre Ricalde e Lúcio Acioli, pelas contribuições à minha formação básica complementar na graduação, sem as quais me seria impossível ingressar e concluir o Mestrado. Aos professores Giovani Vasconcelos, Rita Zorzenon e Sandra Sampaio, agradeço pela formação básica no Mestrado. Sou grata ao professor Jairo Rocha, da UFRPE, pelo apoio com os livros-texto. Agradeço à secretária da pós-graduação, Sara Fonsêca, pela eficiência e boa vontade sempre que precisei resolver assuntos burocráticos, e pelas boas conversas. Ana Paula e Flávia me ajudaram muito durante várias fases desta jornada e eu sou imensamente grata às duas. Agradeço ao meu marido Gilmar, pela paciência e por ter sido um pai totalmente presente e ter cuidado da nossa filha durante as minhas ausências. Sou muito grata aos meus irmãos Aninha, Luizinho e Lili, pelo incentivo e estima. Finalmente, os meus profundos agradecimentos aos meus pais, Luiz Carlos e Maria Célia, pelo incentivo para prosseguir nos estudos, pelo apoio em vários aspectos da vida, pela credibilidade e pelo carinho..

(7) somewhere i have never travelled,gladly beyond any experience,your eyes have their silence: in your most frail gesture are things which enclose me, or which i cannot touch because they are too near your slightest look easily will unclose me though i have closed myself as fingers, you open always petal by petal myself as Spring opens (touching skillfully,mysteriously)her first rose or if your wish be to close me,i and my life will shut very beautifully,suddenly, as when the heart of this flower imagines the snow carefully everywhere descending; nothing which we are to perceive in this world equals the power of your intense fragility:whose texture compels me with the colour of its countries, rendering death and forever with each breathing (i do not know what is is about you that closes and opens; only something in me understands the voice of your eyes is deeper than all roses) nobody,not even the rain,has such small hands —E. E. CUMMINGS (somewhere i have never travelled,gladly beyond, 1931).

(8) Resumo. Usamos simulações Monte Carlo e teoria de escala de tamanho finito para estudar o comportamento magnético de filmes finos, em função da espessura LZ dos filmes. Consideramos sistemas de spin S = 1, com interações entre primeiros vizinhos em estruturas cúbicas simples na geometria de filmes, L × L × LZ , com condições de contorno periódicas ao longo do plano do filme e abertas na direção perpendicular ao filme. Obtivemos a energia, a magnetização, a susceptibilidade e o calor específico em função da temperatura, para diversos valores de L e espessura LZ no intervalo [1 : 20]. Para estudar o comportamento do sistema na região crítica, são geradas longas séries de dados para um conjunto de valores da temperatura e, através da técnica de histogramas múltiplos, são obtidas as grandezas relevantes em uma faixa contíua de temperaturas. Em particular obtivemos a dependência da temperatura crítica TC (LZ ) e dos expoentes críticos, com a espessura do filme. Concluímos que TC (LZ ) se aproxima do valor da temperatura crítica do sistema volumétrico (3D), segundo uma lei de potência com expoente. λ = 1.40(3). Quanto aos expoentes críticos β , γ e ν não observamos o crossover de 2D para 3D, e os valores obtidos são compatíveis com os expoentes exatos do sistema bidimensional (2D).. Palavras-chave: Monte Carlo, histograma múltiplo, comportamento crítico, filmes finos magnéticos.. viii.

(9) Abstract. We use Monte Carlo simulations and finite size scaling theory to study the magnetic properties of Ising thin films, as a function of temperature and film thicknesses. We consider films with S = 1 and nearest-neighbor ferromagnetic interactions on simple cubic structures of size L × L×LZ . We calculate the magnetization, the magnetic internal energy, susceptibility and specific heat as a function of temperature, for several layer sizes L and film thicknesses LZ in the interval [1 : 20]. In order to investigate the critical behavior of these systems we perform Monte Carlo simulations at some values of temperature within the critical region, and extrapolate the results over a wide range of temperatures through the multiple histogram technique. In particular, we obtain how the critical temperature TC (LZ ) and critical exponents depend on thickness. We conclude that TC (LZ ) varies from 2D to 3D values with increasing film thickness, and it shows a convergence to the bulk critical temperature according to a power law with shift exponent. λ = 1.40(3). However, we do not observe the dimensional crossover of the critical exponents β , γ and ν ; our results are consistent with the exact 2D exponents.. Keywords:. Monte Carlo simulation, multiple histogram, critical behavior, magnetic thin. films.. ix.

(10) Sumário. 1. Introdução. 1. 2. O Método. 8. 2.1. O Método de Monte Carlo. 8. 2.1.1. Conceitos fundamentais e simulações Monte Carlo. 8. 2.1.2. O Ensemble Canônico. 11. 2.1.3. O Algoritmo de Metropolis. 12. 2.2. 3. 4. O Método do Histograma. 16. 2.2.1. O método do histograma simples. 16. 2.2.2. O método do histograma múltiplo. 20. Resultados e Discussões. 30. 3.1. Procedimentos computacionais. 30. 3.1.1. As grandezas termodinâmicas. 33. 3.1.2. As funções respostas. 34. 3.2. Comportamento termodinâmico. 35. 3.3. Comportamento crítico. 40. 3.3.1. Escalamento de tamanho finito. 40. 3.3.2. O cálculo da temperatura crítica e dos expoentes críticos. 43. Conclusões. 56. x.

(11) Lista de Figuras. 2.1. Energia como uma função do tempo, para um filme com extensão L = 100 e espessura LZ = 10. As simulações foram realizadas nas temperaturas T = 3.025, 3.069 e 3.15, sendo TC = 3.069 a temperatura crítica deste sistema. O valor de τ ∗ foi estimado com base na relaxação obtida em T = TC .. 2.2. 15. Magnetização como uma função do tempo, para o mesmo sistema apresentado na figura (2.1) e simulações realizadas nas mesmas temperaturas. O tempo característico, τ ∗ , estimado neste caso é obtido com base na relaxação da magnetização em T < TC .. 2.3. 15. Energia em função da temperatura para um filme com espessura LZ = 5 e tamanho L = 80. Os pontos são resultados de simulações Monte Carlo usuais. A linha contínua é a realização da extrapolação do resultado da simulação em T0 = 2.885, representado pelo símbolo cheio, via método do histograma simples. A linha tracejada, que resulta da extrapolação dos resultados obtidos de todas as simulações, foi obtida através do método do histograma múltiplo.. 2.4. Histogramas simples resultantes de simulações realizadas nas temperaturas T = 2.80, 2.84 e 2.88 para um filme de tamanho L = 50 com espessura LZ = 5.. 2.5. 19. 21. Histograma múltiplo resultante da combinação dos resultados de simulações para um filme com L = 50 e LZ = 5, em várias temperaturas correspondentes aos histogramas simples especificados na figura.. xi. 23.

(12) LISTA DE FIGURAS. 2.6. xii. Histogramas múltiplos gerados a partir da combinação dos resultados de simulações em duas e três temperaturas, para um filme com espessura LZ = 4 e estensão L = 50.. 3.1. Filmes magnéticos formados por planos atômicos, de lado L e espessura LZ . O valor de LZ indica o número de planos atômicos da camada magnética.. 3.2. 24. 30. Estrutura cúbica simples em geometria de filme composta por duas camadas atômicas. Os pontos representam as partículas de spin S = 1 que residem nos sítios da rede.. 3.3. Energia média em função da temperatura para vários tamanhos de filmes com espessuras LZ = 5 e LZ = 18.. 3.4. 39. Susceptibilidade magnética χ em função da temperatura para vários valores de L para filmes com espessuras LZ = 5 e LZ = 18.. 3.7. 37. Magnetização como uma função contínua de T para vários tamanhos de filmes com espessuras LZ = 5 e LZ = 18.. 3.6. 36. Calor específico em função da temperatura para vários tamanhos L de filmes com espessuras LZ = 5 e LZ = 18.. 3.5. 31. 39. Cumulante de Binder uL em função da temperatura com LZ = 5 e vários valores de L. O cruzamento das curvas resulta em TC = 2.881(3). Em (b) mostramos a região crítica em uma escala menor. O erro apresentado na estimativa da temperatura crítica indica que o valor de TC é a média aritmética dos valores de temperaturas correspondentes ao primeiro e último cruzamentos.. 3.8. Cumulante de Binder uL em função de T para vários valores de L e espessuras do filme LZ = 18. O cruzamento das curvas fornece TC = 3.144(3).. 3.9. 45. 45. Temperatura crítica como uma função da espessura dos filmes. Indicamos os valores de TC em duas e três dimensões obtidos neste trabalho. Estes valores concordam com aqueles publicados nas referências [42] e [43], respectivamente. 46.

(13) LISTA DE FIGURAS. xiii. 3.10 Deslocamento da temperatura crítica do filme em direção ao valor tridimensional. A inclinação da reta dá o expoente de deslocamento λ .. 47. 3.11 Derivada do cumulante de Binder, em T = TC , como uma função de L para várias espessuras LZ . As inclinações das retas fornecem os valores de 1/ν mostrados na Tabela 3.1.. 48. 3.12 Derivada do cumulante de Binder, em T = Tu∗ (L), como uma função de L para várias espessuras LZ . As inclinações das retas fornecem outra estimativa para o expoente 1/ν (Tabela 3.1).. 49. 3.13 Magnetização em função de L, calculado na temperatura crítica TC . As inclinações das retas fornecem os valores de β /ν mostrados na Tabela 3.2.. 51. 3.14 Derivada da magnetização em função de L, calculado em TC . As inclinações das retas fornecem os valores de (1 − β )/ν mostrados na Tabela 3.2.. 52. 3.15 Susceptibilidade em função de L, calculado na temperatura crítica TC . As inclinações das retas fornecem os valores de γ /ν mostrados na Tabela 3.2.. 52. 3.16 Derivada da susceptibilidade em função de L, calculado em TC . As inclinações das retas fornecem os valores de (1 + γ )/ν mostrados na Tabela 3.2.. 53. 3.17 Calor específico em função do logaritmo de L, calculado na temperatura pseudocrítica Tc∗ (L) e na temperatura crítica TC . Estes resultados indicam que a divergência do calor específico é logarítimica, o que implica em α = 0.. 54.

(14) Lista de Tabelas. 3.1. Temperatura crítica TC e expoente 1/ν calculados a partir do cumulante de Binder. Os valores de 1/ν foram obtidos dos ajustes lineares (a) da Eq. (3.27) e em (b) da Eq. (3.29). Na última coluna mostramos o valor do cumulante de Binder em T = TC . Em destaque, os valores conhecidos dessas grandezas para duas (2D) [39, 47, 44] e três (3D) dimensões [37].. 3.2. 50. Expoentes β /ν e γ /ν obtidos dos ajustes lineares (a) das expressões (3.18) e (3.20) e em (b) das suas respectivas derivadas (3.21) e (3.22) em T = TC . Em destaque, os valores conhecidos desses expoentes para duas (2D) e três (3D) dimensões [39, 46].. 3.3. 50. Temperatura crítica TC e expoente crítico 1/ν obtidos da relação de escala (3.28), na temperatura pseudo-crítica Tχ∗ associada à susceptibilidade.. xiv. 55.

(15) C APÍTULO 1. Introdução. O estudo de sistemas magnéticos em geometria de filme é importante tanto do ponto de vista da ciência básica quanto das aplicações tecnológicas. Do ponto de vista das aplicações, tais sistemas são peças fundamentais na construção de sensores [1, 2], dispositivos de leitura e gravação em discos rígidos de computadores [3] e, mais recentemente, memória magnética de acesso randômico [4]. Além dessas e outras aplicações tecnológicas, os filmes finos são interessantes porque, com eles, se pode explorar e testar concepções fundamentais como a hipótese de universalidade em fenômenos críticos [5, 6]. De fato, estudos de filmes magnéticos ultrafinos revelaram uma infinidade de novos fenômenos que seriam inimagináveis em sistemas estritamente bidimensionais ou muito menos em estruturas tridimensionais [7]. Esses fatos despertam o interesse de vários pesquisadores e um grande esforço tem sido despendido para a caracterização do comportamento das propriedades magnéticas de heteroestruturas formadas pelo empilhamento de diferentes materiais magnéticos. E, graças ao desenvolvimento das técnicas de fabricação de materiais, houve um grande impulso na investigação das propriedades físicas de filmes finos nos anos recentes. Em particular, investiga-se como as propriedades magnéticas variam com a espessura das camadas. Um caso especialmente interessante ocorre em filmes finos magnéticos homogêneos para os quais a dimensionalidade espacial não é bem estabelecida. Neste caso, observa-se uma mudança de um comportamento bidimensional para um comportamento tridimensional. A geometria de filme é caracterizada pelo fato de uma das três dimensões do sistema ser muito menor que as demais. Experimentalmente observa-se que o comportamento dos filmes muda quando a sua espessura é variada. A temperatura crítica e os expoentes críticos de filmes finos ferromagnéticos. 1.

(16) CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO. 2. têm sido exaustivamente investigados experimentalmente [8, 9, 10]. É bem conhecido que o valor da temperatura de Curie de filmes magnéticos muda de um valor tipicamente bidimensional para um valor correspondente a um sistema tridimensional à medida que a espessura dos filmes aumenta. Todavia a classe de universalidade de um filme magnético deve corresponder a duas dimensões [11, 12]. O deslocamento da temperatura crítica do filme em direção ao valor tridimensional à medida que a espessura cresce é descrita pelo expoente de deslocamento λ . Argumentos de grupo de renormalização sugerem que λ = 1/ν , onde ν é o expoente crítico em três dimensões associado à divergência do comprimento de correlação [11, 13, 12]. Um filme magnético formado por vários planos atômicos é uma estrutura tridimensional. No limite de um único plano atômico o sistema é essencialmente bidimensional e TC e os correspondentes expoentes críticos assumem valores bidimensionais. À medida que a espessura do filme aumenta e a temperatura é mantida bem longe de TC , o comprimento de correlação é muito menor que a espessura do filme e o seu comportamento termodinâmico é tipicamente tridimensional. Para temperaturas suficientemente próximas de TC o comprimento de correlação,. ξ , tornar-se maior do que a espessura do filme e seu comportamento muda de três para duas dimensões. Ou seja, um cruzamento dimensional ocorre quando o comprimento de correlação começa a divergir e ultrapassa a espessura do filme em alguma temperatura próxima de TC . Resultados de simulações Monte Carlo e análise de campo médio para filmes finos modelados por sistemas Ising spin 1/2, comprovam o cruzamento dimensional para a temperatura crítica, TC , bem como o caráter bidimensional dos expoentes críticos [14]. Não obstante, foi observado experimentalmente uma drástica mudança no valor do expoente crítico associado à magnetização em filmes finos de níquel [9]. Os autores creditam tal variação do expoente β a um cruzamento de um caráter bidimensional para tridimensional do filme quando a espessura atinge entre 5 e 7 camadas atômicas. Já as propriedades críticas dos filmes mais finos mostraram um caráter basicamente bidimensional. Uma possível explicação para tal fenômeno pode ser atribuida ao cruzamento de um caráter Ising para um comportamento.

(17) CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO. 3. Heisenberg, induzido pela geometria (anisotropia de forma). Ou seja, o comportamento crítico de filmes ultrafinos é bidimensional, enquanto que os filmes espessos podem apresentar outras características críticas. Dito de outra forma, os graus de liberdade magnéticos de filmes finos podem ser bem descritos por spins de Ising enquanto que os de filmes mais espessos por spins de outra simetria. Um estudo conduzido na referência [14] em filmes magnéticos de Ising com spin 1/2 em estruturas cúbicas revelou que o caráter crítico bidimensional é mantido, mesmo para filmes com até 20 camadas atômicas, apesar de um leve desvio dos valores típicos bidimensionais ter sido observado para os filmes mais espessos. Em contraste, mais recentemente [15], simulações Monte Carlo similares às apresentadas na referência [14] detectaram uma mudança no comportamento dos expoentes críticos com a espessura de filmes, descrito por um modelo de Ising (S = 1/2) com interações entre primeiros vizinhos. Os autores calcularam a magnetização e a susceptibilidade magnética associadas tanto às superfícies dos filmes quanto ao seu interior, separadamente. Os expontes extraídos com as propriedades apenas de superfície, apenas do volume (interior) ou total, concordaram entre si e todos indicam um cruzamento de duas para três dimensões. Em suas análises, eles definiram uma dimensão efetiva, de f , através da relação de hiperescala, de f = γ /ν + 2β /ν e concluíram que de f aumenta monotonicamente de um valor aproximadamente 2, para filmes formados por poucas monocamadas atômicas, em direção à 3 quando a espessura cresce. Muitas das investigações teóricas sobre filmes magnéticos de Ising foram realizadas para S = 1/2, onde os spins assumem apenas os valores σ = ±1. Porém, o caso de spins de Ising com S = 1, onde os spins assumem os valores σ = ±1 ou zero, é pouco estudado no limite em que a anisotropia de íon único é nula. Não obstante, esse caso limite fornece um excelente teste para a hipótese de universalidade para os expoentes críticos. Além disso, o estado σ = 0 pode ser interpretado como a possibilidade do parâmetro de ordem apontar numa direção perpendicular ao eixo de fácil magnetização. Estudamos nesta dissertação o comportamento crítico de sistemas magnéticos com simetria de filme. Os filmes são modelados por spins de Ising,.

(18) CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO. 4. que podem assumir os estados −1, 0 e +1, e que interagem apenas com os seus vizinhos mais próximos. Os filmes são modelados por estruturas cúbicas simples, com condições de contorno apropriadas como descrito no Capítulo 3. Estudamos este sistema através de simulações Monte Carlo, onde empregamos o algoritmo de Metropolis [16]. Detalhes do método Monte Carlo (MMC) que empregamos será apresentado no Capítulo 2. Aqui faremos uma breve revisão de sua aplicação à mecânica estatística e discutiremos brevemente alguns dos algoritmos empregados em simulações de modelos de spins na rede. O método Monte Carlo é uma poderosa e versátil técnica numérica para resolver problemas matemáticos. Basicamente, o método consiste em simular o comportameto de variáveis aleatórias. Embora seja uma técnica estocástica, o método é aplicável tanto à problemas de natureza intrinsicamente estocástica quanto à problemas determinísticos. A invenção do MMC é atribuída ao matemático Stanislaw Ulam que, durante um repouso forçado em 1946, iniciou uma reflexão sobre a probabilidade de alguém vencer o jogo de cartas conhecido como paciência ou solitário. Depois de algumas tentativas de resolver o problema analiticamente através de técnicas combinatórias, ele percebeu que uma boa solução poderia ser obtida por um meio mais simples e intuitivo. Ulam sugere jogar algo como uma centena de partidas e contar o número de partidas ganhas. A razão entre o número de partidas vitoriosas e o número de jogadas é uma boa aproximação para a solução do problema proposto. Na verdade Ulam não inventou o método Monte Carlo, a base matemática do método já era muito bem estabelicida bem antes de 1946. Porém, ele foi o primeiro a reconhecer a potencialidade das novas máquinas computadoras na aplicação da técnica em problemas realísticos. Simulações Monte Carlo tem sido empregadas com sucesso no estudo de sistemas modelos da Mecânica Estatística tanto nas suas versões clássicas quanto as correspondentes versões quânticas [17, 18, 19]. A área de transições de fases e fenômenos críticos alcançou apreciável progresso com a disseminação do método e o aumento do poder computacional dos computadores digitais..

(19) CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO. 5. Outra razão para o sucesso da técnica em descrever com precisão o comportamento de sistemas físicos complexos, deve-se ao desenvolvimento de algoritmos rápidos e eficientes que reduzem efeitos indesejáveis intrínsecos ao método. Por exemplo, o conhecido fenômeno de amortecimento crítico que ocorre próximo a uma transição de fases, devido às fortes correlações temporarais, entre as configurações geradas, induzidas pelas grandes flutuações que geralmente estão presentes nesses casos [20]. Originalmente, a formulação do método MC foi no ensemble canônico [16] e, desde então, um enorme número de estudos foram conduzidos nos mais diversos sistemas empregando a prescrição de Metropolis. No contexto de uma simulação MC à la Metropolis, o parâmetro de controle é a temperatura e o sistema é considerado estar em contato com um reservatório de calor à temperatura especificada. Além disso, como será detalhado no Capítulo 2, a dinâmica de Metropolis consiste em tentar atualizar o estado de uma única partícula de cada vez. Sob certas circunstâncias, esta dinâmica pode se tornar bastante ineficiente, uma vez que o sistema pode ficar armadilhado em uma configuração para certos valores do parâmetro de controle. Problemas dessa natureza motivaram a invenção de novos algoritmos. O amortecimento crítico foi praticamente superado com a introdução dos algoritmos de ilhas por Swendsen e Wang [21]. A idéia básica subjacente à proposta consiste em identificar a escala das correlações espaciais e atualizar coletivamente todas as partículas dentro de uma certa região. Especificamente, aglomerados ou ilhas de partículas são identificadas introduzindo-se uma ligação entre partículas interagentes que se encontram no mesmo estado, com uma probabilidade dependente da temperatura. As partículas que não estão no mesmo estado são consideradas desacopladas. Um aglomerado é formado pelo conjunto de partículas conectadas entre si. Note que todas as partículas em um dado aglomerado estão no mesmo estado, por construção. Note ainda que nem sempre duas partículas interagentes pertencem ao mesmo aglomerado, devido à maneira estocástica de sua construção. Assim, o sistema de partículas é decomposto em um conjunto de ilhas desacopladas entre si. Após as ilhas terem sido formadas, é escolhido um novo estado.

(20) CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO. 6. aleatório para cada uma delas. Todas as partículas de uma determinada ilha vão para o estado selecionado para ela. Observe que, como o novo estado é escolhido com igual probabilidade entre os possíveis estados de uma partícula, há uma probabilidade finita de qualquer ilha permanecer no mesmo estado. Maiores detalhes podem ser encontrados nas referências [18] e [17]. Um outro algoritmo de ilhas foi proposto por Wolff [22] e baseia-se no algoritmo de Swendsen e Wang. Neste, as ilhas são estocasticamente formadas e depois atualizadas também probabilisticamente. Assim, ilhas de todos os tamanhos (número de partículas) podem ser formadas e qualquer delas será atualizada ou não com a mesma probabilidade. Um procedimento computacionalmente mais eficiente seria, por exemplo, atualizar apenas a maior ilha. Isto garantiria uma maior diferença entre a nova e a velha configurações. Na verdade, não precisamos construir todas as ilhas. De fato, se escolhermos uma partícula do sistema ao acaso a probabilidade dela pertencer a uma dada ilha é proporcional ao tamanho da ilha. Wolff então propõe sortear uma partícula qualquer do sistema e considerá-la a semente da ilha a ser atualizada (muito provavelmente, a maior das possíveis ilhas). A semente escolhida é imediatamente atualizada e novas partículas são incorporadas ao aglomerado de forma similar ao procedimento de Swendsem e Wang. Cada nova partícula acrescentada à ilha é atualizada e tornar-se uma semente também. A conexão entre uma semente e uma partícula não incorporada é testada uma única vez. A ilha para de crescer quando deixar de existir conexões que ainda não foram testadas. Na descrição dos algoritmos anteriores, assumimos tacitamente que os possíveis estados das partículas são discretos. A generalização para o caso contínuo pode ser encontrado no artigo original do Wolff [22]. Uma outra classe importante de algoritmos Monte Carlo consiste na tentativa de se estimar diretamente a densidade de estados do sistema de interesse. O broad histogram method [23] é uma das primeiras tentativas bem sucedida de um tal algoritmo. Um avanço em relação ao broad histogram method foi introduzido por Wang e Landau [24]. Por fim, citamos o método.

(21) CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO. 7. de Hüller e Pleimling que consiste em estimar diretamente a entropia microcanônica [25], que obteve algum sucesso em descrever o comportamento de sistemas discretos. Uma generalização para o caso contínuo pode ser encontrado na referência [26] Nessa dissertação escolhemos empregar o método Monte Carlo segundo o algoritmo de Metropolis. Dado a sua simplicidade de implementação, ele constitui-se no procedimento mais geral e menos susceptível a erros de implementação. Qualquer método Monte Carlo fornece um meio de se calcular valores médios dos observáveis físicos apenas para sistemas de tamanhos finitos. Um meio de se extrair informações no limite termodinâmico é através da teoria de escalamento com o tamanho finito [27, 28, 29, 30] que será tratada na secção 3 do Capítulo 3. Por último, mais não menos importante, chegamos ao ponto de como analisar os dados obtidos numa simulação Monte Carlo. De um certo ponto de vista, os dados gerados numa simulação são analisados mais ou menos como um físico experimental analisaria os dados obtidos em seu laboratório. Ou seja, calcula-se os valores médios e tenta-se estimar os erros estatísticos e os erros sistemáticos envolvidos no procedimento de medição. Porém, no caso de uma simulação Monte Carlo existem alguns procedimentos que são peculiares ao método. No Capítulo 2, apresentamos o método do histograma múltiplo [31] que permite extrapolar os resultados de simulações realizadas em um conjunto de temperaturas, para todo um contínuo de temperaturas em uma ampla faixa de valores..

(22) C APÍTULO 2. O Método. 2.1 O Método de Monte Carlo. 2.1.1. Conceitos fundamentais e simulações Monte Carlo. O Método de Monte Carlo (MMC) é um método de solução numérica que simula o comportamento de variáveis aleatórias, e consiste essencialmente em gerar números aleatórios. Embora introduzido [32] por Nicolas Metropolis e Stanislaw Ulam em 1949, o princípio deste método é conhecido há muito tempo e, não fosse o volume considerável de cálculo associado à simulação de variáveis aleatórias, ele teria sido amplamente aplicado a modelos estatísticos como, por exemplo, no tratamento de amostras aleatórias. O surgimento dos computadores eletrônicos tornou possível as aplicações do método de MC a uma grande variedade de problemas e permitiu a sua ampla e rápida difusão [33]. Com base no livro do Sobol [33] apresentaremos nesta seção uma breve revisão dos conceitos estatísticos básicos necessários para compreensão do método de Monte Carlo. Para entender como o MMC funciona, é primordial conhecer o significado de uma variável aleatória. Matemáticamente, variável aleatória é uma variável que pode assumir diversos valores, com uma determinada probabilidade. Se os possíveis valores que esta variável pode assumir compõem um conjunto inteiro de valores, então dizemos que esta é uma variável aleatória discreta. Variáveis aleatórias que podem assumir qualquer valor num intervalo real, são ditas variáveis aleatórias contínuas. Uma variável aleatória contínua ξ é caracterizada por um intervalo (a, b) compreendendo o seu domínio e por uma função p(x) densidade de probabilidade. Neste caso, a probabilidade de ξ assumir um valor no intervalo (a′ , b′ ), pertencente a (a, b) é igual a 8.

(23) 9. 2.1 O MÉTODO DE MONTE CARLO. P{a < ξ < b } = ′. ′. Z b′ a′. p(x)dx.. Embora conhecida a probabilidade de ocorrência de cada valor, não é possível saber exatamente qual deles a variável aleatória assumirá numa determinada amostragem. Contudo, o caráter de seu comportamento pode ser previsto uma vez realizada uma série de experiências, e esta informação é tão mais precisa quanto maior for a série de amostragens consideradas. O valor esperado e a variância constituem as características numéricas básicas das variáveis aleatórias. Considere uma variável aleatória ξ que pode assumir com uma dada probabilidade, uma sequência longa porém finita de valores x1 , x2 , ..., xN . A média aritmética destes valores será próxima do valor esperado, hξ i, isto é, (x1 + x2 + ... + xN )/N ≈ hξ i. O grau de dispersão dos valores assumidos por ξ em torno de hξ i é caracterizado pela variância, δ 2 ξ , que se relap ciona com o desvio padrão por σ = (δ 2 ξ ). A quantidade σ caracteriza o erro do método de medição adotado.. De acordo com a regra dos 3 sigmas, a probabilidade de ξ assumir um valor entre m − 3σ e m + 3σ , é. P{m − 3σ < ξ < m + 3σ } =. Z m+3σ m−3σ. p(x)dx = 0, 997,. (2.1). onde m é o valor esperado. A equação (2.1) implica que, numa experiência, é muito provável que o desvio entre ξ e hξ i seja inferior a 3σ . Sejam N variáveis aleatórias independentes, ξ1 , ξ2 , ..., ξN , igualmente distribuídas. O fato de tais variáveis obedecerem à mesma distribuição de probabilidades, implica em dizer que estas possuem as mesmas esperanças e variâncias. Ou seja, hξ ii = m e δ 2 ξi = b2 , para qualquer que seja i. No que diz respeito à independência de variáveis aleatórias, pode-se dizer que, duas variáveis ξ e η são independentes se a distribuição de ξ não depender do valor que terá assumido η ..

(24) 10. 2.1 O MÉTODO DE MONTE CARLO. Logo, o valor esperado do produto entre elas será hξ η i = hξ ihη i, e a variância da soma será. δ 2 (ξ + η ) = δ 2 ξ + δ 2 η . Se considerarmos uma variável, ρN , tal que ρN = ξ1 + ξ2 +...+ ξN é a soma das N variáveis, então o valor esperado e a variância de ρN serão respectivamente, hρ i = Nm e δ 2 ρ = Nb2 . Suponha finalmente uma variável aleatória, η , normalmente distribuída, e que seja caracterizada pelos parâmetros a = Nm e σ 2 = Nb2 . O teorema central do limite garante que, para qualquer intervalo (a′ , b′ ) e N suficientemente grande,. P{a < ρN < b } ≈ ′. ′. Z b′ a′. pηN (x)dx,. (2.2). o que implica em afirmar que a soma de um número elevado de variáveis aleatórias independentes é aproximadamente normal, ou seja, (pρN (x) ≈ pηN (x)). Este teorema vale ainda para variáveis aleatórias que não são independentes, nem normalmente distribuídas. É de se esperar que, dado o grande número de fatores que influenciam o resultado de uma amostra, o comportamento individual de cada fator não deve ser relevante. O elevado número de termos da soma explica porque cada um deles não precisa, necessariamente, obedecer a uma distribuição normal de probabilidades. Quanto à validade do teorema para o caso de variáveis que não são independentes, suponha que em uma determinada prova realizada para N variáveis aleatórias, algumas delas apresentaram uma distribuição dependente do valor que alguma outra assumiu. Ou seja, existe uma correlação entre os resultados de tais variáveis. Neste caso é possível selecionar apenas os dados descorrelacionados. Denotemos por n, a extensão da correlação. Para cada conjunto de dados correlacionados, apenas um elemento do grupo será considerado. Ou seja, ao invés de N termos, a soma terá agora N/n termos relevantes. Se n é finito e N grande o suficiente, então a razão N/n é ainda um número grande. Assim, a soma de N/n termos é aproximadamente normal, o que valida o teorema central do limite. No contexto de uma simulação Monte Carlo, a regra dos três sigmas e a aplicação do te-.

(25) 2.1 O MÉTODO DE MONTE CARLO. 11. orema central do limite são fundamentais. Suponha que, interessados em avaliar uma dada grandeza m, imaginemos uma variável aleatória ξ , tal que hξ i = m e δ 2 ξ = b2 . Para um grande número, N, de variáveis aleatórias independentes distribuídas igualmente a. ξ , temos que, de acordo com o teorema central do limite, a distribuição da soma, ρN , de tais variáveis será aproximadamente normal, com os parâmetros a = Nm e σ 2 = Nb2 . Da regra dos três sigmas, equação (2.1), podemos escrever que ½ ¾ 3b ρN 3b P m− √ < ≈ 0, 997 < m+ √ N N N. (2.3). Lembrando que ρN = ∑N i ξi e usando as propriedades do módulo das funções de variáveis reais, podemos reescrever (2.3) como ¯ ) (¯ ¯ ¯1 N 3b ¯ ¯ ≈ 0, 997 P ¯ ∑ ξi − m¯ < √ ¯ ¯N i N. (2.4). A relação (2.4) mostra que, com alta probabilidade, o valor estimado para m é muito próximo da média aritmética tomada sob as N variáveis aleatórias, e o erro cometido na estimativa √ será no máximo igual a 3b/ N. Exatamente em m = (∑N i ξi )/N, temos o menor valor possível √ para 3b/ N. Quanto maior o valor de N, melhor será a estimativa de m e, consequentemente, menor será o erro.. 2.1.2. O Ensemble Canônico. Em Mecânica Estatística, a obtenção da função de partição de um sistema permite a conexão com a termodinâmica e a obtenção dos valores médios dos observáveis de interesse. No ensemble canônico o valor médio de um dado observável físico é calculado para um determinado valor fixo de temperatura, ou seja,.

(26) 2.1 O MÉTODO DE MONTE CARLO. hAiβ = ∑ Pβ (s)A(s),. 12. (2.5). s. onde Pβ (s) =. 1 −β Es e Zβ. (2.6). é a probabilidade de ocorrência de uma dada configuração s quando o sistema encontra-se termalizado a uma temperatura T, com β = 1/kB T , e Zβ = ∑ e−β Es. (2.7). s. é a função de partição canônica. Determinar a função de partição analiticamente nem sempre é possível. De fato poucos são os modelos que têm soluções exatas [34]. Por outro lado, o cálculo numérico da função de partição através do MMC seria proibitivo devido ao grande número de configurações necessárias para determinar Zβ com uma precisão aceitável. Vimos que o método de Monte Carlo (MMC) nos fornece uma boa estimativa do valor médio dos observáveis de interesse, sem necessariamente conhecer a função de partição do sistema. Esta estimativa é uma medida simples da média aritmética dos valores obtidos da grandeza em cada uma das configurações de equilíbrio geradas de acordo com a distribuição de probabilidade canônica. O valor médio estimado será tão próximo do correto, quanto maior for o número de configurações independentes empregadas no cálculo.. 2.1.3. O Algoritmo de Metropolis. A primeira aplicação do método Monte Carlo no contexto da mecânica estatística ocorreu em 1953 e deve-se à Nicolas Metropolis [16]. O método foi desenvolvido com o propósito de realizar simulações de um fluido no ensemble canônico. O algoritmo de Metropolis é hoje.

(27) 2.1 O MÉTODO DE MONTE CARLO. 13. intensivamente utilizado no estudo de sistemas de naturezas bastante diversificadas [35]. Computacionalmente o algoritmo de Metropolis consiste na seguinte regra. Dada a topologia da rede, partimos de uma configuração de spins s0 qualquer e a cada intervalo de tempo geramos uma nova configuração. Após τ varreduras de rede teremos um conjunto s1 , s2 , ..., sk , .., sτ de configurações, ou microestados do sistema. Um novo microestado é gerado da seguinte forma. Suponha que no k-ésimo instante de tempo, o spin do i-ésimo sítio visitado seja σi . Calculamos o custo energético associado à mudança de estado do spin σi para σi′ , δ E = Es′k − Esk . No ensemble canônico a distribuição de probabilidades (2.6) de uma dada configuração, s, é proporcional ao fator de Boltzmann exp (−β Es ). A probabilidade de transição de um microestado sk para s′k , dada pela razão entre Pβ (s′k ) e Pβ (sk ) é Wβ (sk → s′k ) = e−β δ E .. (2.8). Se δ E for menor ou igual a zero, então a mudança é aceita, e σi → σi′ . Por outro lado, se. δ E > 0, o novo estado σi′ será aceito de acordo com a probabilidade de transição W (σi → σi′ ), (2.8). Neste caso geramos um número aleatório, ξ , distribuído uniformemente no intervalo [0, 1]. Se ξ ≤ W então σi → σi′ . Caso contrário, o estado do spin da partícula não se altera. Uma nova configuração é obtida (k → k + 1) após este procedimento ser repetido N vezes, onde N é o número de spins da rede. Isto garante que cada spin seja atualizado uma vez, em média. Para garantir que estamos realizando as medidas sobre configurações de equilíbrio a um determinado valor de T constante, a rede deve ser percorrida um número suficientemente grande de vezes, nacessário para a equilibração do sistema. O tempo que o sistema leva para atingir o equilíbrio térmico é chamado de tempo característico, τ ∗ , (ou tempo de relaxação). Após passado esse tempo, cada varredura de rede corresponde à geração de uma nova configuração de equilíbrio. Observe que, nas simulações, o tempo é medido em número de passos Monte.

(28) 2.1 O MÉTODO DE MONTE CARLO. 14. Carlo (MCS). Uma unidade de tempo equivale a um MCS, o que corresponde a uma varredura de rede. A qualidade do resultado obtido para os valores médios, estimados na simulação Monte Carlo, é tão boa quanto maior for o número de configurações de equilíbrio geradas. Para reduzir o erro cometido na estimativa, devemos também realizar amostras diferentes para um mesmo valor de T. Neste contexto, uma boa estatística consiste em gerar não somente um número elevado de configurações de equilíbrio, mas realizar várias amostras para cada conjunto de configurações geradas sob um mesmo valor de T. Para verificar se o sistema atingiu o estado de equilíbrio, podemos observar a evolução temporal de grandezas macroscópicas, tais como a energia configuracional e a magnetização. Na verdade, a relaxação da magnetização nos dá uma melhor estimativa do tempo característico, pois as flutuações são mais pronunciadas para a magnetização do que para energia. Este fato é ilustrado nas figuras (2.1) e (2.2) onde temos, respectivamente, a relaxação da energia e da magnetização a partir de uma configuração inicial desordenada, para um filme com as dimensões do plano L = 100 e espessura LZ = 10 através de simulações Monte Carlo. Se olharmos apenas para a relaxação da energia, na figura (2.1) é possível que o tempo característico seja subestimado. Após t = τ ∗ a energia oscila pouco em torno de um valor bem definido (valor médio de E), no entanto acima da temperatura crítica, T > TC , vemos que o sistema atinge o equilíbrio para um tempo característico ainda menor. Isso ocorre porque a energia do sistema é uma grandeza mais bem comportada. Podemos ver na figura (2.2) que as flutuações são ainda mais pronunciadas para T = TC . O tempo computacional necessário para realizar este procedimento é proporcional ao número de MCS, ao tamanho do sistema, ao número de temperaturas sob as quais o sistema foi simulado e ao número de amostras realizadas para cada valor de temperatura. Portanto, boas simulações Monte Carlo são computacionalmente caras..

(29) 15. 2.1 O MÉTODO DE MONTE CARLO. -0.5. T > Tc. -0.75 Energia (J). T = Tc. -1 T < Tc. -1.25. τ* 0. 2000. 4000 6000 tempo (MCS). 8000. 10000. Figura 2.1 Energia como uma função do tempo, para um filme com extensão L = 100 e espessura LZ = 10. As simulações foram realizadas nas temperaturas T = 3.025, 3.069 e 3.15, sendo TC = 3.069 a temperatura crítica deste sistema. O valor de τ ∗ foi estimado com base na relaxação obtida em T = TC .. 0.5 T < Tc. Magnetizacao. 0.4. 0.3. T = Tc. 0.2. T > Tc. 0.1. 0. 0. 2000. 4000 6000 τ* tempo (MCS). 8000. 10000. Figura 2.2 Magnetização como uma função do tempo, para o mesmo sistema apresentado na figura (2.1) e simulações realizadas nas mesmas temperaturas. O tempo característico, τ ∗ , estimado neste caso é obtido com base na relaxação da magnetização em T < TC ..

(30) 2.2 O MÉTODO DO HISTOGRAMA. 16. 2.2 O Método do Histograma. A partir de simulações Monte Carlo realizadas em alguma temperatura específica é possível extrair informações sobre o comportamento das grandezas de interesse do sistema físico estudado em temperaturas vizinhas, através de extrapolações numéricas de acordo com o método do histograma. O método do histograma simples, originalmente proposto por Ferrenberg e Swendsen em 1988 [31], tem sido aplicado à Mecânica Estatística no estudo de sistemas magnéticos. Os autores usaram o método do histograma no estudo do modelo de Ising em três dimensões e obtiveram com alta precisão a temperatura na qual o calor específico é máximo e uma boa estimativa para o expoente crítico associado a esta função resposta [31].. 2.2.1. O método do histograma simples. Apresentamos nesta secção a essência do método do histograma na versão mais simples e discutiremos a sua aplicação no estudo de sistemas magnéticos. Da definição de valor médio expressa em (2.5) podemos agrupar em {s} cada conjunto de configurações que correspondem a um dado valor de energia E e, dessa forma expressar hAiβ em termos de somas sobre os possíveis valores de energia, ou seja,. hAiβ = ∑ A¯ E Pβ (E),. (2.9). E. onde A¯ E =. 1 g(E). µ. ∑ A(s)δE,Es s. ¶. (2.10). é a média microcanônica e g(E)e−β E Pβ (E) = Zβ. (2.11).

(31) 2.2 O MÉTODO DO HISTOGRAMA. 17. é a probabilidade de o sistema exibir uma dada energia E quando se encontra termalizado à temperatura T, β = 1/kB T, g(E) é o número de microestados com energia E. Analogamente podemos expressar a função de partição canônica, equação (2.7), na forma. Zβ = ∑ g(E)e−β E .. (2.12). E. Seja ainda Pβ0 (E) =. g(E)e−β0 E , Z β0. (2.13). a probabilidade do sistema exibir a mesma energia E quando termalizado à temperatura T0 , correspondente a β0 = 1/kB T0 . Das equações (2.11) e (2.13) podemos extrair informações de Pβ (E) a partir do conhecimento de Pβ0 (E), ou seja. Pβ (E) = e. −(β −β0 )E. µ. Z β0 Zβ. ¶. Pβ0 (E).. (2.14). ¡ ¢ Note que basta conhecer a razão Zβ0 /Zβ para que Pβ (E) seja obtida em termos de Pβ0 (E). Somando a expressão (2.14) sobre todas as possíveis energias, temos µ. Z β0 Zβ. ¶. =. 1. .. (2.15). .. (2.16). ∑E e−(β −β0 )E Pβ0 (E). Substituindo (2.15) em (2.14) podemos finalmente escrever. Pβ (E) =. e−(β −β0 )E Pβ0 (E). ∑E e−(β −β0 )E Pβ0 (E). A relação acima é uma expressão analítica da Mecânica Estatística, válida independentemente de como a função distribuição canônica Pβ0 (E) é obtida. No entanto, fora do contexto de uma simulação computacional a expressão (2.16) torna-se inútil, dado a impossibilidade de cálculo analítico de Pβ0 (E)..

(32) 2.2 O MÉTODO DO HISTOGRAMA. 18. Uma estimativa para Pβ0 (E) pode ser obtida da seguinte forma. Suponha que realizamos uma amostra com n configurações descorrelacionadas, geradas de acordo com a probabilidade Pβ0 (E). Seja N(E), o histograma da energia E, ou seja o número de configurações que resultaram no valor de energia E. A lei dos grandes números [36] garante que N(E) = Pβ0 (E). n→∞ n lim. (2.17). Para um grande número de configurações, isto é, para n suficientemente grande. Pβ0 (E) ≈. N(E) . n. (2.18). A última igualdade em (2.18) nos permite relacionar o histograma medido em β0 , e a distribuição de probabilidade Pβ (E), como. Pβ (E) =. N(E)e−(β −β0 )E . ∑E N(E)e−(β −β0 )E. (2.19). Usando a expressão (2.9), podemos escrever o valor médio de um dado observável A como uma função contínua de β N(E)e−(β −β0 )E hAiβ = ∑ A¯ E . ∑E N(E)e−(β −β0 )E E. (2.20). A expressão (2.20) é a relação fundamental do método do histograma simples. Através dela podemos extrapolar o valor médio de qualquer grandeza física para temperaturas vizinhas à temperatura T0 , na qual se realizou as simulações Monte Carlo. Contudo, a região em que será feita a extrapolação não deve afastar-se muito de T0 . Na verdade, um dos desafios deste método é a incerteza sobre a faixa de temperatura na qual podemos realizar a extrapolação, pois a exatidão dos valores extrapolados decresce quando nos aproximamos dos extremos do histograma [17]. Ou seja, temperaturas vizinhas que estão mais próximas do valor no qual foi.

(33) 19. 2.2 O MÉTODO DO HISTOGRAMA. Energia (J). -0,8. -1. -1,2. 2,8. 2,9. 2,85. 2,95. Temperatura (J/kB). Figura 2.3 Energia em função da temperatura para um filme com espessura LZ = 5 e tamanho L = 80. Os pontos são resultados de simulações Monte Carlo usuais. A linha contínua é a realização da extrapolação do resultado da simulação em T0 = 2.885, representado pelo símbolo cheio, via método do histograma simples. A linha tracejada, que resulta da extrapolação dos resultados obtidos de todas as simulações, foi obtida através do método do histograma múltiplo.. realizada a simulação apresentam os valores iguais àqueles que seriam obtidos em simulações usuais, enquanto que os valores médios das grandezas que foram extrapolados na região dos extremos do histograma não coincidem. A figura (2.3), para a energia média por partícula, ilustra como podemos estimar a largura da faixa de extrapolação através da comparação entre o resultado de uma simulação usual com o resultado da extrapolação na vizinhança de T0 . Da figura (2.3) podemos ver que os pontos obtidos das simulações coincidem com a linha contínua apenas numa região estreita em torno do valor de T0 (símbolo cheio). Os valores extrapolados para a estimativa da energia média que estão fora desta faixa não são confiáveis, o que nos permite concluir que não é possível estimar os observáveis de interesse numa faixa ampla de temperatura, a partir da extrapolação do resultado de uma única simulação. Todavia, ainda é possível obter uma estimativa para os observáveis numa faixa ampla, através do método do histograma simples, pois uma vez conhecida a largura da faixa de temperatura.

(34) 2.2 O MÉTODO DO HISTOGRAMA. 20. para uma boa extrapolação, é possível realizar vários histogramas simples e superpor os resultados das extrapolações. No entanto, os resultados obtidos para o valor médio das grandezas observadas seria um tanto duvidoso, pois este procedimento não garante o casamento perfeito entre uma extrapolação e outra. Por outro lado, apresentamos ainda na figura (2.3) a estimativa para a energia média numa faixa ampla de T (linha tracejada), obtida a partir da combinação entre vários histogramas simples, realizados para cada valor de T representados pelos símbolos. Note que todos os pontos coincidem com a linha tracejada. Este resultado foi obtido através do método do histograma múltiplo, o qual será descrito de forma detalhada na seção a seguir.. 2.2.2. O método do histograma múltiplo. O método de histograma múltiplo é uma generalização das idéias envolvidas no método do histograma simples. Basicamente, ele combina eficientemente o resultado de simulações realizadas em um dado conjunto de temperaturas em um único histograma, a partir do qual as extrapolações são efetuadas. Através do método do histograma múltiplo é possível obter a partir de extrapolações numéricas uma boa estimativa para o valor médio de um observável numa faixa ampla de temperatura. A forma com a qual esta estimativa é feita é o que iremos discutir nesta seção. O procedimento realizado no método do histograma múltiplo não consiste simplesmente em construir vários histogramas simples e depois superpor os resultados obtidos das extrapolações. Este procedimento não é recomendável, uma vez que cada simulação fornece uma estimativa confiável para o valor médio de um dado observável apenas em uma faixa de temperatura em torno da temperatura na qual os dados foram obtidos. Logo, as estimativas para o valor médio na vizinhança de uma temperatura T, resultantes de extrapolações oriundas de simulações realizadas em duas temperaturas distintas, podem diferir significativamente. De fato, considere que produzimos dois histogramas a partir de simulações realizadas nas temperaturas T1 e T2 , respectivamente, e que as estimativas sejam realizadas numa temperatura na vizinhaça de T1 ..

(35) 21. 2.2 O MÉTODO DO HISTOGRAMA. 1000 T = 2.80 T = 2.84. Histograma. N1(E’). T = 2.88. 500. N2(E’) 0. -16000. E’. -14000. -12000. -10000. Energia (J). Figura 2.4 Histogramas simples resultantes de simulações realizadas nas temperaturas T = 2.80, 2.84 e 2.88 para um filme de tamanho L = 50 com espessura LZ = 5.. A estimativa obtida da extrapolação a partir do histograma gerado em T1 deve ser mais acurada que aquela obtida a partir do outro histograma. Portanto, não podemos esperar o casamento perfeito das curvas, que representam os valores médios dos observáveis, resultantes das duas extrapolações. Na figura (2.4) apresentamos os histogramas resultantes de simulações realizadas em três temperaturas relativamente próximas uma das outras. Podemos observar faixas de energias nas quais ocorre uma superposição significativa entre os histogramas e outras regiões onde a altura de dois dos histogramas é praticamente nula. No exemplo da figura (2.4) vemos que há intersecções entre os intervalos de energias geradas durante as simulações. É intuitivo supor que a faixa de temperaturas em que é seguro realizar a extrapolação a partir de um histograma possa se superpor com a correspondente faixa de temperaturas de um outro histograma. Logo podemos obter várias estimativas para o valor médio de um observável na região de intersecção. Uma combinação desses valores deve resultar numa estimativa mais precisa para o valor médio de interesse. É esta a idéia subjacente ao.

(36) 2.2 O MÉTODO DO HISTOGRAMA. 22. método de histograma múltiplo. Embora a discussão do parágrafo anterior sugira que pode-se obter boas estimativas para o valor médio de um observável a partir de alguma combinação de valores extrapolados de diversas simulações, esta não é a melhor forma de proceder. Como veremos mais abaixo, é mais interessante combinar os dados das diversas simulações, tentar obter uma estimativa da densidade de estados e realizar a extrapolação a partir desta. Por exemplo, na figura (2.4) vemos que há duas alturas distintas N1 (E ′ ) e N2 (E ′ ) para o mesmo valor de energia E ′ , ou seja, o valor de E = E ′ ocorreu N1 vezes no primeiro histograma enquanto que no segundo foi registrado N2 (< N1 ) vezes. A questão que se coloca é: Qual destes dois histogramas deve ser considerado na hora de extrapolar os resultados? Melhor ainda, como podemos aproveitar os dados oriundos das duas simulações? Devemos considerar os dois resultados, ponderando-os adequadamente. Como fazê-lo constitui a tarefa da técnica de histograma múltiplo e a figura (2.5) ilustra o resultado da combinação de várias simulações para construir um único histograma a partir do qual valores médios podem ser obtidos. Observamos no histograma múltiplo que todos os microestados são bem amostrados em uma ampla faixa de energias. Podemos ver da figura (2.5) que o histograma múltiplo apresenta uma altura mais elevada que a dos histogramas simples, e uma largura que pode aumentar com o número de histogramas simples. Se não há intersecção das faixas de energias cobertas nas simulações individuais, ou em outras palavras, os valores de temperatura para os quais se realizou as simulações não são próximos o suficiente, o histograma múltiplo apresentará regiões onde alguns microestados são mais pobremente amostrados. Este último caso é ilustrado na figura (2.6) onde mostramos histogramas gerados pela combinação de duas e três simulações. Podemos notar que, ao acrescentarmos dados da simulação realizada na temperatura intermediária, o histograma forma praticamente um plateau na faixa completa de energias visitadas. O método do histograma múltiplo baseia-se numa observação relativamente simples e intui-.

(37) 23. 2.2 O MÉTODO DO HISTOGRAMA. 2000. Histograma Multiplo. 2.8 8. = T. T. =. 2.8 4. 2.8 2. 2.8 0 =. 1000. T. =. T = 2.86 T. Histograma N(E). 1500. T = 2.90. 500. 0. -16000. -14000. -12000. -10000. E (J). Figura 2.5 Histograma múltiplo resultante da combinação dos resultados de simulações para um filme com L = 50 e LZ = 5, em várias temperaturas correspondentes aos histogramas simples especificados na figura.. tiva. Durante o curso de uma simulação Monte Carlo a probabilidade de se observar o sistema em uma configuração com energia E é dada pela expressão (2.11), a qual reproduzimos aqui por conveniência,. Pβ (E) =. g(E)e−β E . Zβ. (2.21). Assim, uma estimativa para a densidade de estados pode ser obtida a partir de g(E) N(E) = , Zβ nωβ (E). (2.22). com ω (E) = exp (−β E). Na última expressão tomamos Pβ (E) ≈ N(E)/n, onde N(E) é o número de configurações com energia E dentre as n configurações independentes geradas na simulação. Observe que tanto g(E) quanto Zβ são funções desconhecidas. Em princípio, a densidade de estados poderia ser obtida através de uma única simulação, extremamente longa,.

(38) 24. 2.2 O MÉTODO DO HISTOGRAMA. 1500. T = 2.75, 2.78 e 2.81. N(E). 1000. T = 2.75 e 2.81. 500. 0 -10000. -9000. -8000 E. -7000. -6000. Figura 2.6 Histogramas múltiplos gerados a partir da combinação dos resultados de simulações em duas e três temperaturas, para um filme com espessura LZ = 4 e estensão L = 50.. realizada em uma dada temperatura. Como vimos na discussão que se seguiu à apresentação do método do histograma simples, este procedimento não funciona na prática. Pois N(E) decai muito rapidamente para energias muito diferentes de hE(β )i. Não obstante, podemos realizar um certo número de simulações Monte Carlo em um dado conjunto de valores distintos de temperaturas. Neste caso, o mesmo valor de energia pode ser observado um número arbitrário de vezes em qualquer uma das simulações, c.f. figura (2.5). Suponha agora que, na i-ésima simulação de comprimento ni , realizada em βi , a energia E tenha sido observada Ni (E) vezes. Segue portanto que gi (E) Ni (E) , = Zi ni ωi (E). (2.23). é uma estimativa para a densidade de estados g(E). Observe que usamos a notação Z(βi ) = Zi e ωβi = ωi . É importante ressaltar que temos tantas estimativas para a densidade de estados quanto for o número de temperaturas. Além disso, como g(E) não depende da temperatura e só depende do.

(39) 2.2 O MÉTODO DO HISTOGRAMA. 25. sistema em estudo, cada uma das estimativas gi (E) é de fato uma estimativa da mesma função. O problema que se coloca agora é o seguinte. Dado que temos várias estimativas para a mesma grandeza, como podemos construir a melhor estimativa para a densidade de estados verdadeira? Retornemos por um instante ao exemplo da figura (2.5), onde mostramos os histogramas Ni (E) medidos em seis simulações de um filme, realizadas em um conjunto de seis temperaturas distintas. Vemos que cada histograma individual cobre uma certa faixa de energias, embora existam intersecções entre alguns intervalos. Esperamos, portanto, que a equação (2.23) forneça uma boa estimativa para a densidade de estados na faixa de energias na qual o correspondente histograma Ni (E) assuma um valor significativamente alto. E, ao contrário, a estimativa (2.23) deve ser muito ruim onde Ni (E) assumir valores muito baixos. Gostaríamos, portanto, de combinar as diversas estimativas (2.23) para obter a melhor estimativa para g(E) em todo intervalo de energias coberto por nossas simulações, porém levando em consideração a importância relativa de cada histograma. A maneira formal de proceder é realizar uma média ponderada sobre as realizações gi (E). Naturalmente, devemos atribuir maior peso ao gi (E) cujo correspondente histograma Ni (E) estiver melhor amostrado neste particular valor de E. De fato, a única fonte de erro estatístico associado a uma particular estimativa gi (E) está diretamente ligada ao erro cometido ao medir Ni (E), uma vez que Zi é apenas uma constante de normalização quando βi é fixo. Vamos considerar, agora, τ configurações independentes geradas em uma simulação Monte Carlo com β = βi . Se p é a probabilidade de se observar o sistema simulado em uma configuração cuja energia seja E, então a média da altura do histograma, tomada sobre um número grande simulações, todas realizadas com o mesmo βi , é dada por Ni (E) = τ p. (2.24). δ 2 Ni (E) = τ p(1 − p).. (2.25). e a variância é.

(40) 2.2 O MÉTODO DO HISTOGRAMA. 26. Como o número de possíveis energias é muito grande, de fato cresce exponencialmente com o número de partículas do sistema simulado, p ≪ 1 e as equações (2.24) e (2.25) implicam que. δ 2 Ni (E) = Ni (E).. (2.26). Ou seja, é razoável assumir que se considerarmos um número grande simulações, todas realizadas com o mesmo βi , a distribuição de Ni (E), para E fixo, será uma distribuição de Poisson com excelente aproximação. E segue da equação (2.23) que o histograma ideal Ni (E) está relacionado com a densidade de estados exata. De fato, tomando-se a média da equação (2.23) sobre o mesmo conjunto de simulações, temos. g(E) = gi (E) =. Ni (E)Zi , ni ωi (E). (2.27). Para estimar a densidade de estados g(E) vamos escrevê-la como uma combinação linear de gi , ou seja g(E) = ∑ αi (E)gi (E),. (2.28). i. com o seguinte vínculo para os pesos. ∑ αi = 1.. (2.29). i. Por exemplo, na figura (2.4) a densidade de estados g estimada nas simulações em T1 , T2 e T3 é uma combinação linear de g1 , g2 e g3 estimadas a partir de N1 , N2 e N3 , sendo considerados os seus pesos estatísticos, α1 , α2 e α3 , respectivamente. Estamos interessados na estimativa de g(E), cuja variância seja mínima com relação ao conjunto de coeficientes αi (E). A variância de g(E) é dada por.

(41) 2.2 O MÉTODO DO HISTOGRAMA. δ 2 g = ∑ αi2 (g2i − gi 2 ),. 27. (2.30). i. queremos minimizar a grandeza (2.30) sujeito ao vínculo ∑i αi = 1. Para tanto, vamos reescrever (2.30) como. δ 2 g = ∑ αi 2 σi 2 ,. (2.31). i. com σi 2 = g2i − gi 2 . Estamos interessados nos valores de αi que minimizam o valor de δ 2 g. Para satisfazer o vínculo (2.29), vamos introduzir o multiplicador de Lagrange λ , e minimizar a função G dada por G(α1 , α2 , . . .) = ∑ αi 2 σi 2 − λ (∑ αi − 1).. (2.32). i. i. A condição de mínima variância é satisfeita quando ∂ G/∂ αi é nula. O que nos dá. αi =. λ /2 . σi 2. (2.33). Somando (2.33) em i e usando o vínculo (2.29) obtemos, portanto 1/σi 2 . ∑ j 1/σ j 2. αi =. (2.34). Substituindo (2.34) em (2.28), podemos finalmente escrever a estimativa para a densidade de estados, como. g(E) =. ∑i gi (E)/σi 2 . ∑i 1/σi 2. (2.35). Tomando a média do quadrado da expressão (2.23) e subtraindo do resultado o valor médio da mesma equação, obtemos h i· 2 2 σi = Ni (E) − Ni (E) 2. Zi ni ωi (E). ¸2. · ¸ Zi 2 Ni (E) = . ωi (E) n2i. (2.36).

(42) 2.2 O MÉTODO DO HISTOGRAMA. 28. Na última passagem usamos o fato estabelecido na equação (2.26). Observe que a última igualdade em (2.36) envolve o histograma ideal, ou seja, o número médio de vezes que um dado valor de energia é realizado em um conjunto enorme de simulações executadas nas mesmas condições. Neste caso, a equação (2.27) permite reescrever (2.36) como. σi 2 =. g2 (E) Ni (E). ,. (2.37). na qual g(E) é a densidade de estados exata. A substituição deste último resultado na eq. (2.35), fornece a nossa melhor estimativa para a densidade de estados como ∑i gi (E)Ni (E)/g2 (E) ∑i gi (E)Ni (E) g(E) = = . ∑i Ni (E)/g2 (E) ∑i Ni (E). (2.38). Finalmente, aplicando outra vez a expressão (2.27) podemos eliminar Ni (E), pois não conhecemos seu valor, e escrever a densidade de estados como. g(E) =. ∑i Ni (E) . ∑ j n j e−β j E /Z(β j ). (2.39). A função de partição do sistema, Z(β ) = ∑E g(E)e−β E , é estimada através da expressão Z(β ) = ∑ E. ∑i Ni (E) . ∑ j n j e(β −β j )E /Z(β j ). (2.40). E o valor médio de qualquer observável físico é calculado através da seguinte equação. hAiβ = =. 1 A¯ E g(E)e−β E Z(β ) ∑ E 1 ∑i Ni (E) A¯ E ∑ Z(β ) E ∑ j n j e(β −β j )E /Z(β j ). (2.41).

Referências

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