E 0 500 1000 1500 N(E) T = 2.75, 2.78 e 2.81 T = 2.75 e 2.81
Figura 2.6 Histogramas múltiplos gerados a partir da combinação dos resultados de simulações em
duas e três temperaturas, para um filme com espessura LZ= 4 e estensão L = 50.
realizada em uma dada temperatura. Como vimos na discussão que se seguiu à apresentação do método do histograma simples, este procedimento não funciona na prática. Pois N(E) decai muito rapidamente para energias muito diferentes dehE(β)i.
Não obstante, podemos realizar um certo número de simulações Monte Carlo em um dado conjunto de valores distintos de temperaturas. Neste caso, o mesmo valor de energia pode ser observado um número arbitrário de vezes em qualquer uma das simulações, c.f. figura (2.5). Suponha agora que, na i-ésima simulação de comprimento ni, realizada em βi, a energia E tenha sido observada Ni(E) vezes. Segue portanto que
gi(E)
Zi
= Ni(E) niωi(E)
, (2.23)
é uma estimativa para a densidade de estados g(E). Observe que usamos a notação Z(βi) = Zi eωβi =ωi.
É importante ressaltar que temos tantas estimativas para a densidade de estados quanto for o número de temperaturas. Além disso, como g(E) não depende da temperatura e só depende do
2.2 O MÉTODO DO HISTOGRAMA 25
sistema em estudo, cada uma das estimativas gi(E) é de fato uma estimativa da mesma função. O problema que se coloca agora é o seguinte. Dado que temos várias estimativas para a mesma grandeza, como podemos construir a melhor estimativa para a densidade de estados verdadeira? Retornemos por um instante ao exemplo da figura (2.5), onde mostramos os his- togramas Ni(E) medidos em seis simulações de um filme, realizadas em um conjunto de seis temperaturas distintas. Vemos que cada histograma individual cobre uma certa faixa de ener- gias, embora existam intersecções entre alguns intervalos. Esperamos, portanto, que a equação (2.23) forneça uma boa estimativa para a densidade de estados na faixa de energias na qual o correspondente histograma Ni(E) assuma um valor significativamente alto. E, ao contrário, a estimativa (2.23) deve ser muito ruim onde Ni(E) assumir valores muito baixos. Gostaríamos, portanto, de combinar as diversas estimativas (2.23) para obter a melhor estimativa para g(E) em todo intervalo de energias coberto por nossas simulações, porém levando em considera- ção a importância relativa de cada histograma. A maneira formal de proceder é realizar uma média ponderada sobre as realizações gi(E). Naturalmente, devemos atribuir maior peso ao
gi(E) cujo correspondente histograma Ni(E) estiver melhor amostrado neste particular valor de E. De fato, a única fonte de erro estatístico associado a uma particular estimativa gi(E) está diretamente ligada ao erro cometido ao medir Ni(E), uma vez que Zi é apenas uma constante de normalização quando βi é fixo. Vamos considerar, agora, τ configurações independentes geradas em uma simulação Monte Carlo comβ =βi. Se p é a probabilidade de se observar o sistema simulado em uma configuração cuja energia seja E, então a média da altura do histo- grama, tomada sobre um número grande simulações, todas realizadas com o mesmoβi, é dada por
Ni(E) =τp (2.24)
e a variância é
δ2N
2.2 O MÉTODO DO HISTOGRAMA 26
Como o número de possíveis energias é muito grande, de fato cresce exponencialmente com o número de partículas do sistema simulado, p≪ 1 e as equações (2.24) e (2.25) implicam que
δ2N
i(E) = Ni(E). (2.26)
Ou seja, é razoável assumir que se considerarmos um número grande simulações, todas reali- zadas com o mesmoβi, a distribuição de Ni(E), para E fixo, será uma distribuição de Poisson com excelente aproximação. E segue da equação (2.23) que o histograma ideal Ni(E) está re- lacionado com a densidade de estados exata. De fato, tomando-se a média da equação (2.23) sobre o mesmo conjunto de simulações, temos
g(E) = gi(E) =
Ni(E)Zi
niωi(E)
, (2.27)
Para estimar a densidade de estados g(E) vamos escrevê-la como uma combinação linear de gi, ou seja
g(E) =
∑
iαi(E)gi(E), (2.28)
com o seguinte vínculo para os pesos
∑
i
αi= 1. (2.29)
Por exemplo, na figura (2.4) a densidade de estados g estimada nas simulações em T1, T2e T3é
uma combinação linear de g1, g2e g3estimadas a partir de N1, N2e N3, sendo considerados os
seus pesos estatísticos,α1,α2eα3, respectivamente.
Estamos interessados na estimativa de g(E), cuja variância seja mínima com relação ao conjunto de coeficientesαi(E). A variância de g(E) é dada por
2.2 O MÉTODO DO HISTOGRAMA 27
δ2g=
∑
i
α2
i(g2i − gi2), (2.30)
queremos minimizar a grandeza (2.30) sujeito ao vínculo∑iαi= 1. Para tanto, vamos reescre- ver (2.30) como
δ2
g=
∑
iαi2σi2, (2.31)
com σi2= g2i − gi2. Estamos interessados nos valores deαi que minimizam o valor de δ2g. Para satisfazer o vínculo (2.29), vamos introduzir o multiplicador de Lagrangeλ, e minimizar a função G dada por
G(α1,α2, . . .) =
∑
iαi2σi2−λ(
∑
iαi− 1). (2.32)
A condição de mínima variância é satisfeita quando∂G/∂αié nula. O que nos dá
αi= λ
/2
σi2
. (2.33)
Somando (2.33) em i e usando o vínculo (2.29) obtemos, portanto
αi=
1/σi2
∑j1/σj2
. (2.34)
Substituindo (2.34) em (2.28), podemos finalmente escrever a estimativa para a densidade de estados, como
g(E) = ∑igi(E)/σi
2
∑i1/σi2
. (2.35)
Tomando a média do quadrado da expressão (2.23) e subtraindo do resultado o valor médio da mesma equação, obtemos
σi2= h Ni2(E) − Ni(E) 2i· Zi niωi(E) ¸2 = Ni(E) n2i · Zi ωi(E) ¸2 . (2.36)
2.2 O MÉTODO DO HISTOGRAMA 28
Na última passagem usamos o fato estabelecido na equação (2.26). Observe que a última igualdade em (2.36) envolve o histograma ideal, ou seja, o número médio de vezes que um dado valor de energia é realizado em um conjunto enorme de simulações executadas nas mesmas condições.
Neste caso, a equação (2.27) permite reescrever (2.36) como
σi2=
g2(E) Ni(E)
, (2.37)
na qual g(E) é a densidade de estados exata. A substituição deste último resultado na eq. (2.35), fornece a nossa melhor estimativa para a densidade de estados como
g(E) = ∑igi(E)Ni(E)/g
2(E)
∑iNi(E)/g2(E)
= ∑igi(E)Ni(E)
∑iNi(E)
. (2.38)
Finalmente, aplicando outra vez a expressão (2.27) podemos eliminar Ni(E), pois não conhe- cemos seu valor, e escrever a densidade de estados como
g(E) = ∑iNi(E)
∑jnje−βjE/Z(βj)
. (2.39)
A função de partição do sistema, Z(β) =∑Eg(E)e−βE, é estimada através da expressão
Z(β) =
∑
E∑iNi(E)
∑jnje(β−βj)E/Z(βj)
. (2.40)
E o valor médio de qualquer observável físico é calculado através da seguinte equação
hAiβ = Z(1β)
∑
E ¯ AEg(E)e−βE = 1 Z(β)∑
E A¯E ∑iNi(E) ∑jnje(β−βj)E/Z(βj) (2.41)2.2 O MÉTODO DO HISTOGRAMA 29
A equação (2.41), relação fundamental da técnica do histograma múltiplo, depende dos va- lores da função de partição, Z(βj), nas temperaturas nas quais as simulações foram realizadas. Para estimar tais valores, usamos a equação (2.40) para β =βk onde k= 1, 2, . . . rotula os valores do parâmetroβ empregado nas simulações. Ou seja,
Z(βk) =
∑
E∑iNi(E)
∑jnje(βk−βj)E/Z(βj)
. (2.42)
A implementação do método do histograma múltiplo envolve resolver iterativamente o sistema de equações (2.42). O procedimento consiste em propor algum conjunto de valores iniciais para os Zk, inseri-los nas equações (2.42) e obter novos valores. Após várias repetições, o novo conjunto de Zk difere pouco do anterior. O conjunto de valores para o qual ocorre a convergência constitui o conjunto solução do sistema.