Resultados e Discussões
3.3 COMPORTAMENTO CRÍTICO
3.3
Comportamento crítico
Na subsecção anterior discutimos o comportamento termodinâmico das grandezas macros- cópicas e das funções respostas para vários tamanhos L de filmes com espessuras LZ = 5 e 18. Observamos os efeitos de tamanho finito para estas grandezas e definimos de forma qualitativa a temperatura pseudo-crítica associada à cada uma delas. Vimos também que há fortes indícios de que estes sistemas possuem um caráter crítico bidimensional, até mesmo para filmes mais espessos tais como LZ = 18. Para avaliar se estes filmes ferromagnéticos pertencem de fato à classe de universalidade de sistemas bidimensionais, é necessário um estudo mais aprofundado do comportamento crítico dos mesmos.
3.3.1 Escalamento de tamanho finito
O estudo de fenômenos críticos baseia-se no entendimento do comportamento singular das funções termodinâmicas perto do ponto crítico [40]. Este estudo consiste em determinar o va- lor de um conjunto de índices, ditos expoentes críticos, que descrevem o comportamento das grandezas físicas de interesse perto do ponto crítico [41]. Uma vez que os expoentes são deter- minados é possível afirmar a que classe de universalidade os sistemas observados pertencem. O ponto crítico é marcado pela divergência das funções respostas. Por que isso ocorre? No limite termodinâmico, atingido quando N→∞, é bem conhecido que os comportamentos das curvas obtidas para energia média e para a magnetização em função de T é de tal forma acentuado, que as suas derivadas divergem no valor crítico da temperatura (ponto de inflexão). Por outro lado, a magnetização do sistema anula-se na região T ≥ TC para um sistema infinito, de acordo com uma lei de potência com expoenteβ
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onde
ε = T− TC
TC
(3.13) é a distância ao ponto crítico. O calor específico e a susceptibilidade divergem, próximos ao ponto cítico, de acordo com as seguintes leis de potência:
c∼ |ε|−α (3.14)
e
χ∼ |ε|−γ, (3.15)
ondeα eγ são os expoentes críticos associados ao calor específico e à susceptibilidade, res- pectivamente.
No entanto, estas leis de escala valem somente no limite termodinâmico, o que seria im- possível de ser atingido numa simulação. Para sistemas com tamanho finito L, as leis de escala são observadas graças ao comportamento do comprimento de correlaçãoξ. O comprimento de correlação mede as correlações espaciais entre as partículas. Se estas partículas estão correla- cionadas de forma que os efeitos de borda não são relevantes, significa que o comprimento de correlação do sistema é menor que seu tamanho. Quando um sistema sofre uma transição de fases de segunda ordem as partículas que o compõem encontram-se totalmente correlacionadas, ou seja,ξ é infinito. O comprimento de correlação é limitado pelo tamanho do sistema [18] e diverge no limite termodinâmico em T = TC. Para um sistema finito, ξ diverge com ε−ν, ou seja
ξ ∼ L ∼ε−ν. (3.16)
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x=εL1/ν, (3.17)
onde x∼ O(1) nas proximidades do ponto crítico. Note que a relação (3.16) nos permite re- escrever as leis de potência (3.12 à 3.15) para um sistema finito de tamanho L, na forma das relações de escala de tamanho finito para a magnetização, o calor específico e a susceptibili- dade, respectivamente,
m(T ) = L−β/νm˜(x), (3.18)
c(T ) = Lα/νc˜(x) (3.19)
e
χ(T ) = Lγ/νχ˜(x). (3.20)
As funcões de escala ˜m(x), ˜c(x) e ˜χ(x) são funções universais de seus argumentos. Tomando as derivadas de (3.18) e (3.20) em relação a T obtemos
∂m ∂T = L (1−β)/ν∂m˜ ∂x (3.21) e ∂ χ ∂T = L (1+γ)/ν∂χ˜ ∂x. (3.22)
Estas equações fornecem estimativas independentes para os expoentesβ/ν eγ/ν.
Uma característica que torna o cumulante de Binder atraente para o estudo de fenômenos críticos é o fato de que toda dependência com a temperatura e o tamanho do sistema é restrita à variável de escala x, ou seja,
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Em T = TC, ou x = 0, temos uL(TC) = ˜u(0), que não depende do tamanho do sistema uma vez que ˜u é uma função universal. Explorando esta propriedade podemos obter a temperatura crítica no limite termodinâmico, TC, diretamente a partir das simulações em sistemas finitos. De fato, das curvas de uL como uma função de T, para vários tamanhos de sistema, o valor da temperatura na qual estas curvas se cruzam é justamente o valor crítico da temperatura no limite termodinâmico. Além disso a derivada de uL com respeito a T na região crítica resulta na relação de escala
∂uL
∂T = L
1/ν∂u˜
∂x. (3.24)
Esta última expressão permite o cálculo do expoente 1/ν independentemente da relação (3.17) e dos outros expoentes críticos. Ou seja, a dependência com o tamanho L da derivada de uL(T ) para um dado valor de T na região crítica permite calcular o valor de 1/ν.
3.3.2 O cálculo da temperatura crítica e dos expoentes críticos
De posse das relações de escala, discutiremos agora como obter várias estimativas para o valor da temperatura crítica no limite termodinâmico e dos expoentes críticosα,β,γ eν, para cada sistema especificado pela espessura LZ do filme.
Vimos que a dependência com a variável de escala x está presente em todas as relações de escala para sistemas finitos, expressões (3.18) à (3.24). Por esta razão vamos inicialmente focar a nossa discussão nesta variável, definida na equação (3.17) em termo das variáveis L e T, do expoente críticoνe da temperatura crítica no limite termodinâmico. Desta forma, parece inconcebível o cálculo dos demais expoentes críticos sem o conhecimento de TCeν. Uma pri- meira estimativa para a temperatura crítica no limite termodinâmico foi obtida de forma simples e direta através da análise do cumulante de Binder. Nas figuras (3.7) e (3.8) apresentamos o cumulante de Binder em função da temperatura para filmes com LZ = 5 e 18, respectivamente.
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Conforme mencionamos anteriormente, a temperatura na qual ocorre a intersecção das cur- vas de uL(T ) para ambos os filmes é o valor de TC. Todavia, o cruzamento das curvas para o mesmo LZ não ocorre num único valor de T. De fato o cumulante de Binder apresenta uma dependência residual com o tamanho do sistema, resultante dos efeitos de tamanho finito. Este aspecto é bem discutido na referência [37]. A intersecção das curvas de uL na figura (3.7-a), embora bem mais precisa que em (3.8), ainda apresenta uma dependência com o tamanho do sistema como mostrado na figura (3.7-b). Para o filme de espessura LZ = 18 os efeitos de ta- manho finito são ainda mais perceptíveis. O cruzamento da curvas de uL para os tamanhos de filme L= 50 e 60 ocorre em um valor de T maior que para os demais tamanhos. Resulta- dos análogos foram observados para filmes com LZ = 15 e 20. Isto é um indicativo de que os tamanhos L= 50 e 60 são ainda pequenos para os filmes mais espessos.
Os valores da temperatura crítica TC(LZ), obtidos das simulações para os vários filmes, são mostrados na Tabela 3.1. A dependência da temperatura crítica TC(LZ) com a espessura do filme LZ é mostrada na figura (3.9). Para comparação indicamos também as temperaturas críti- cas em sistemas Ising com interação entre primeiros vizinhos em redes quadradas (2D) e cúbica simples (3D), que correspondem à monocamada magnética LZ = 1 e ao sistema volumétrico (Lx= Ly= Lz>> 1).
O deslocamento da temperatura crítica do filme em direção ao valor tridimensional, à medida que a espessura aumenta, é descrita por uma lei de potência, da forma
[TC3D− TC(LZ)]∝L−Zλ, (3.25) onde TC3D é a temperatura crítica do sistema volumétrico e λ é usualmente chamado de expo- ente de deslocamento. Argumentos de grupo de renormalização sugerem queλ = 1/ν, onde
ν é o expoente crítico em três dimensões associado à divergência do comprimento de correla- ção [27, 12]. Concluímos que TC(LZ) se aproxima do valor da temperatura crítica do sistema volumétrico, com o expoenteλ = 1.40(3), como mostrado na figura (3.10).
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