AL-AULA-23-2016

(1)

Diagonaliza¸c˜

ao de Operadores

´ Algebra Linear BC1425 UFABC Agosto/2016 ´

(2)

Defini¸c˜ao

Um operador linear

T : V → V ´

e diagonaliz´avelse o espa¸co vetorial V possui uma base formada por autovetores de T .

(3)

Exemplos

1 O operador linear T : R3 → R3 definido por

T (x , y , z) = (4x + z, 2x + 3y + 2z, x + 4z) ´

e diagonaliz´avel.

2 _{O operador linear T : R}3 → R3 _{definido por}

T (x , y , z) = (x + y + z, 2y + z, 3z) ´

e diagonaliz´avel.

T (x , y , z) = (3x , 2y , y + 2z) não é diagonalizável.

´

(4)

Exemplos

T (x , y , z) = (4x + z, 2x + 3y + 2z, x + 4z) ´

e diagonaliz´avel.

T (x , y , z) = (x + y + z, 2y + z, 3z) ´

e diagonaliz´avel.

(5)

Exemplos

T (x , y , z) = (4x + z, 2x + 3y + 2z, x + 4z) ´

e diagonaliz´avel.

T (x , y , z) = (x + y + z, 2y + z, 3z) ´

e diagonaliz´avel.

´

(6)

Exemplos

T (x , y , z) = (4x + z, 2x + 3y + 2z, x + 4z) ´

e diagonaliz´avel.

T (x , y , z) = (x + y + z, 2y + z, 3z) ´

e diagonaliz´avel.

(7)

Pergunta: Quando um operador linear T : V → V ´e diagonaliz´avel ?

Resposta:

Sejam

V espa¸co vetorial tal que dim V = n.

T : V → V operador linear com n autovalores distintos. Ent˜ao

V possui uma base formada por autovetores de T . Logo, T ´e diagonaliz´avel.

´

(8)

Resposta:

Sejam

(9)

Resposta:

Sejam

T : V → V operador linear com n autovalores distintos.

Ent˜ao

´

(10)

Resposta:

Sejam

(11)

Resposta:

Sejam

V possui uma base formada por autovetores de T .

Logo, T ´e diagonaliz´avel.

´

(12)

Resposta:

Sejam

(13)

Exerc´ıcio 1

Seja T : R3 → R2 _{uma transf linear definida por} T (x , y , z) = (2x + y − z, 3x − 2y + 4z) Sejam Bp= {e1, e2, e3} e Bc = {e1, e2}

Ent˜ao

T (e1) = 2e1+ 3e2 T (e2) = e1− 2e2

T (e3) = −e1+ 4e2

´

(14)

Exerc´ıcio 1

Ent˜ao

T (e1) = 2e1+ 3e2 T (e2) = e1− 2e2

(15)

Exerc´ıcio 1

Ent˜ao

T (e1) = 2e1+ 3e2 T (e2) = e1− 2e2

T (e3) = −e1+ 4e2

´

(16)

A matriz 2 3 ↑ T (e1) 1 −2 ↑ T (e2) −1 4 = [T ]Bp ← base de partida Bc ← base de chegada ↑ T (e3) ´

e chamada matriz de T em rela¸c˜ao `as bases Bp e Bc

Nota¸cão: Se Bp e Bc são as bases canônicas, escrevemos [T ]Bp

(17)

A matriz 2 3 ↑ T (e1) 1 −2 ↑ T (e2) −1 4 = [T ]Bp ← base de partida Bc ← base de chegada ↑ T (e3) ´

e chamada matriz de T em rela¸c˜ao `as bases Bp e Bc

Nota¸cão: Se Bp e Bc são as bases canônicas, escrevemos [T ]Bp

Bc = [T ]

´

(18)

Parte (a)

Fixemos a base Bp = {v1, v2, v3}, onde

v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 0, 0) e a base Bc = {w1, w2}, onde

w1 = (1, 3) e w2= (1, 4) Para a transf linear acima temos que

T (v1) = 3w1 − w2

T (v2) = 11w1 − 8w2

T (v3) = 5w1 − 3w2

então, a matriz de T em rela¸cão às novas bases Bp e Bc é dada por: 3 −1 ↑ T (v1) 11 −8 ↑ T (v2) 5 −3 = [T ]Bp ← base de partida Bc ← base de chegada ↑ T (v3)

(19)

Parte (a)

v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 0, 0)

e a base Bc = {w1, w2}, onde

T (v1) = 3w1 − w2

T (v2) = 11w1 − 8w2

T (v3) = 5w1 − 3w2

então, a matriz de T em rela¸cão às novas bases Bp e Bc é dada por: 3 −1 ↑ T (v1) 11 −8 ↑ T (v2) 5 −3 = [T ]Bp ← base de partida Bc ← base de chegada ↑ T (v3) ´

(20)

Parte (a)

w1 = (1, 3) e w2= (1, 4)

Para a transf linear acima temos que

T (v1) = 3w1 − w2

T (v2) = 11w1 − 8w2

T (v3) = 5w1 − 3w2

então, a matriz de T em rela¸cão às novas bases Bp e Bc é dada por: 3 −1 ↑ T (v1) 11 −8 ↑ T (v2) 5 −3 = [T ]Bp ← base de partida Bc ← base de chegada ↑ T (v3)

(21)

Parte (a)

T (v1) = 3w1 − w2

T (v2) = 11w1 − 8w2

T (v3) = 5w1 − 3w2

então, a matriz de T em rela¸cão às novas bases Bp e Bc é dada por: 3 −1 ↑ T (v1) 11 −8 ↑ T (v2) 5 −3 = [T ]Bp ← base de partida Bc ← base de chegada ↑ T (v3) ´

(22)

Parte (b)

Seja v = (3, 2, 1). Ent˜ao v = v1+ v2+ v3, ou seja [v ]Bp =

  1 1 1   Pelo Teorema [T (v )]Bc = 3 11 5 −1 −8 −3   1 1 1  = 19 −12 Logo, T (v ) = 19w1+ (−12)w2.

(23)

Parte (b)

  1 1 1   Pelo Teorema [T (v )]Bc = 3 11 5 −1 −8 −3   1 1 1  = 19 −12 Logo, T (v ) = 19w1+ (−12)w2. ´

(24)

Parte (b)

  1 1 1   Pelo Teorema [T (v )]Bc = 3 11 5 −1 −8 −3   1 1 1  = 19 −12 Logo, T (v ) = 19w1+ (−12)w2.

(25)

Inversa

Seja T : Rn→ Rn _´_{e uma tranforma¸}_c˜_{ao linear invert´ıvel. Ent˜}_ao Existe T−1: Rn→ Rn _{linear tal que}

T−1◦ T = I e T ◦ T−1 = I . Logo T−1_{[T ] = I} n e [T ]T−1 = In ou seja, [T−1] = [T ]−1.

A matriz da inversa ´e a inversa da matriz

´

(26)

Inversa

Seja T : Rn→ Rn_´_{e uma tranforma¸}_c˜_{ao linear invert´ıvel. Ent˜}_ao

Existe T−1: Rn→ Rn _{linear tal que}

(27)

Inversa

Seja T : Rn→ Rn_´_{e uma tranforma¸}_c˜_{ao linear invert´ıvel. Ent˜}_ao Existe T−1: Rn→ Rn _{linear tal que}

A matriz da inversa ´e a inversa da matriz

´

(28)

Exerc´ıcio 2

Seja T : R2 → R3 a rota¸c˜ao de 45o (anti-hor´ario) T (x , y ) = √1

2(x − y , x + y )

Matriz canˆonica de T :

[T ] = √1 2 1 −1 1 1

Como det([T ]) 6= 0, ent˜ao a inversa ´e: [T ]−1 = √1 2 1 1 −1 1 = [T−1]

(29)

Exerc´ıcio 2

2(x − y , x + y ) Matriz canˆonica de T :

[T ] = √1 2 1 −1 1 1

Como det([T ]) 6= 0, ent˜ao a inversa ´e: [T ]−1 = √1 2 1 1 −1 1 = [T−1] ´

(30)

Exerc´ıcio 2

2(x − y , x + y ) Matriz canˆonica de T :

[T ] = √1 2 1 −1 1 1

Como det([T ]) 6= 0, ent˜ao a inversa ´e: [T ]−1 = √1

1 1

(31)

Esta matriz determina a transforma¸c˜ao linear T−1 : R2−→ R2 Como 1 √ 2 1 1 −1 1 · x y = √1 2 x + y −x + y ent˜ao T−1(x , y ) = √1 2(x + y , −x + y )

Observa¸c˜ao: Usando o wolframalpha para encontrar a inversa de [T ]: inverse{{1/sqr {2}, −1/sqr {2}}, {1/sqr {2}, −1/sqr {2}}}

´

(32)

Esta matriz determina a transforma¸c˜ao linear T−1 : R2−→ R2 Como 1 √ 2 1 1 −1 1 · x y = √1 2 x + y −x + y ent˜ao T−1(x , y ) = √1 2(x + y , −x + y )

(33)

Exerc´ıcio 3

Seja T : R3 → R3 uma transforma¸c˜ao linear definida por T (x , y , z) = (x − 2y , z, x + y )

Como T ´e um isomorfismo temos que T ´e invert´ıvel.

Pergunta: T−1(x , y , z) = ? Solu¸c˜ao : Matriz canˆonica de T :

[T ] =   1 −2 0 0 0 1 1 1 0   Ent˜ao [T ]−1=     1 3 0 2 3 −1 3 0 1 3 0 1 0     = [T−1] ´

(34)

Exerc´ıcio 3

Seja T : R3 → R3 uma transforma¸cão linear definida por T (x , y , z) = (x − 2y , z, x + y ) Como T é um isomorfismo temos que T é invert´ıvel.

[T ] =   1 −2 0 0 0 1 1 1 0   Ent˜ao [T ]−1=     1 3 0 2 3 −1 3 0 1 3 0 1 0     = [T−1]

(35)

Exerc´ıcio 3

Pergunta: T−1(x , y , z) = ?

Solu¸c˜ao : Matriz canˆonica de T :

[T ] =   1 −2 0 0 0 1 1 1 0   Ent˜ao [T ]−1=     1 3 0 2 3 −1 3 0 1 3 0 1 0     = [T−1] ´

(36)

Exerc´ıcio 3

[T ] =   1 −2 0 0 0 1 1 1 0   Ent˜ao [T ]−1=     1 3 0 2 3 −1 3 0 1 3 0 1 0     = [T−1]

(37)

Exerc´ıcio 3

[T ] =   1 −2 0 0 0 1 1 1 0   Ent˜ao [T ]−1=     1 3 0 2 3 −1 3 0 1 3 0 1 0     = [T−1] ´

(38)

Exerc´ıcio 3

[T ] =   1 −2 0 0 0 1 1 1 0    ₁ 0 2 

(39)

Esta matriz determina a transforma¸c˜ao linear T−1 : R3−→ R3 Como     1 3 0 2 3 −1₃ 0 1₃ 0 1 0     ·   x y z  =     x +2z 3 z−x 3 y     ent˜ao T−1(x , y , z) = x + 2z 3 , z − x 3 , y

Observa¸c˜ao: Usando o wolframalpha para encontrar a inversa de [T ]: inverse{{1, −2, 0}, {0, 0, 1}, {1, 1, 0}}

´

(40)

Esta matriz determina a transforma¸c˜ao linear T−1 : R3−→ R3 Como     1 3 0 2 3 −1₃ 0 1₃ 0 1 0     ·   x y z  =     x +2z 3 z−x 3 y     ent˜ao T−1(x , y , z) = x + 2z 3 , z − x 3 , y

(41)

Matriz de mudan¸ca de base

Seja I : V → V o operador identidade.

A matriz de I em rela¸cão às bases Bp e Bc é dada por: [I ]B_Bp

c

Esta matriz ´e chamada matriz de mudan¸ca de base.

´

(42)

Matriz de mudan¸ca de base

A matriz de I em rela¸cão às bases Bp e Bc é dada por: [I ]Bp

Bc

(43)

Matriz de mudan¸ca de base

A matriz de I em rela¸cão às bases Bp e Bc é dada por: [I ]Bp

Bc

Esta matriz ´e chamada matriz de mudan¸ca de base.

´

(44)

(45)

Exerc´ıcio

´

(46)

Exerc´ıcios

1 _{Mostre que o operador T : R}3 → R3 _{definido por}

T (x , y , z) = (x − y + z, 2x + y , 3x + z) ´

e diagonaliz´avel. Encontre uma base B para R3 formada por autovetores de T . Qual a matriz [T ]B_B ?

(47)

Fim do Curso

´