Moyens d'apprendre à
compter sûrement et
avec facilité (Nouvelle
édition) ouvrage
posthume de Condorcet
; publié par Mme [...]
Condorcet, Jean-Antoine-Nicolas de Caritat (1743-1794 ; marquis de). Moyens d'apprendre à compter sûrement et avec facilité (Nouvelle édition) ouvrage posthume de Condorcet ; publié par Mme de Condorcet,... ; [avec un avertissement de Garat]. 1854.
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Librairie
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£^tf^fMaÊ
Oo*raurr«|>lile,
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parh
CoHwiulon «harghdti
HtirUmtm <fcÇwùralf^H
MOYENS
D'APPRENDRE A
COMPTER
Librairie
de MAII.ET-BACHEUER.Ouvrage* de LACROIX, Membre de t'Institut.
Traité élémentaire d'Arithmétique, SO» édition;
. in-8. . » fr.
Mémants d'Algèbre, a l'usage des Candidats aui
Geôles du Gouvernement; SI» édllton, revue» cor*
ngée et annotée» conformément aux nouveaux
Programmes de l'enseignementdans !•• Lycéea;.
par M. Prouket, professeur de Mathématiques.
In-8; 1854.
. .^ ;
...
8fr.Complément dea «émenta d'Algèbre, G« édition,
revue et corrigée; in-8 ; 1883
.4
fr.Traité élémentaire de Trigonométrie reotlltgne et
ephériquo, •* d'Application de l'Algèbre 4 la
Mométrlo, 10» édition, revuo et corrigée; in-8)
.avecplanches; 1859,
...
4fr.lémenta de Géométrie, 10e édition; in-8, avec
planches: 1848 4 fr.
Mails dé Géométrie sur tes Mans et les Surfaces
courbes (Blémsnte dt Géométrie descriptive).
7* édition, revue et corrigée; in-8, avec planches;
VU».
. 8fr.
Introduction
à
la eonnalesanoede la Sphère, ln-18,avec planches ; 1889 1 fr. 95 c.
suis
sur l'arnselgnement en général et aur celuideeNtethématiques en parUoulter,4«édition; in-8;
1838. 5 fr.
Introdnotlon à la Géographiemathématique et
cri-tique et a la Géographie physique. Nouvelle
édi-tion ; avecft carteset7 planches; ln-8 ; 1847 10 fr.
Traite élémentaire du Calcul des rrobahltitéa,
v 8* édition ; in-8, avec planches ; 1893 . . 6
fr.
ilote
historique de JeatvOharïes BORDA, membrede l'Institut. Brochure In-8. ,
. . lfr.CGc
Farii.— Imprimerie de MAL1.ET-IIAf.IIEI.lKlt,
AVERTISSEMENT
DE LA PREMIÈRE ÉDITION.
Ce
petit Traité
d'Arithmétique,
qui
nesemble destiné
qu'à
l'instruction de
l'en-fance,
est
del'un
des
plus
grandsgéomè-tres
et
des premiers philosophesde
ce siè-cle :il
est
de CONDORCET. Ilsuffit de
leparcourir
pourêtre
convaincuque
c'est
l'ouvrage
d'un
hommesupérieur;
et
ceux
qui auraient ou qui affecteraientdes
doutessur
sonvéritable
auteur,
peuventvoir
chezsa veuve le
manuscrit
original, écrit
tout
entier
de la main mémo do Condorcet.La première chose
qui
distingue
cesÉLÉMENTS D'ARITHMÉTIQUE,
c'est
d'être
enUne logique très-ingénieuse
et
très-exactepréside
à
toutes les opérations du calcul ;mais
cette
logique est comme cachée dansles formules
de
calculqu'elle
a inventéeset
qu'elle
dirige.En
rendant cette
logiquevisible,
onen-seigne deux
arts
à
la fois,celui du
calculet
celuidu
raisonnement,t
Les formules sont
un
secours admirablepour l'esprit ; avec ce
secours,
l'espritpeut,
on quelque
sorte,
se dispenser de touteattention pénible : il
n'a
qu'à
suivre lesfor-mules;
ellesne le
dirigent pas seulement, elles Uportent,
II n'a besoin, pourarriver
sûrement
à sonbut,
que
du
degréd'atten-tion nécessaire pour
être certain qu'il
ne manque pasà
la
formuleet
à ses règles;et
cette
attentionest
presquematérielle
: elleest
des yeuxplutôt que
de l'esprit.Les formules,
en
un
mot, sont desespè-ces de machines avec lesquelles on opère
presque machinalement.
C'est
un grand avantage,
maisc'est
aussis'ap-— VIJ
-puyer
sur
cette
espèce de forceartificielle,
on laisse ses forces
naturelles
sansexer-cice;
on enperd
d'abordl'usage
; on perdensuite
ses forces môme.La
perte
serait
plus grandeque
l'acqui-sition
,
et
il faudrait
rejeter
ce funestese-cours
si l'on
ne pouvait pas leséparer
des inconvénientsqui
l'accompagnent.11 y
a
un
moyen de l'enséparer;
ilest
le
seul,
et
c'est
celuique
Condorceta
cher-ché,
trouvéet
enseigné dans cepetit traité
de
calcul.
Il consiste à
rendre tellement
sensiblestous
les
motifset
tous les pasqui
ont
con-duit
à
la
recherche
et
àl'invention
des for-mules,qu'il
soit impossible de se servir desformules sans
que l'esprit
repassesur
tousles
motifset
sur
tous lessecrets de
leur
artifice. Alors
l'esprit et la
mainopèrent
ensemble :tantôt
la main précèdel'esprit,
tantôt l'esprit
précède lamain,
maisja-mais
ils
ne sontjoignes
:toujours
ils sesuivent
deprès;
et
le génie,
qui a
créé
lu--
riij
-mière
des
opérationsexposéesà
devenirplus
mécaniques
qu'intellectuelles.
Pour
atteindre
à cebut,
trop négligé danstous
les Élémentsd'Arithmétique,
Con-dorcet
a
employéplusieurs
moyens.1°. Condorcet
ne
s'est
pas contenté dedévelopper
la
formation des nombres en progressiondécuple;
il
a
développé lafor-mation des nombres
dans
les limites mêmesde
un
à due. Ces premiers nombres,'élé-ments
de
touslesautres,
qu'onn'apprenait
à former
et
à
retenir
que
par
lamémoire,
il
enseigneà
les formeret
à lesretenir
par
l'intelligence et
par
le
raisonnement;rien
n'est
abandonnéà
laroutine
:l'esprit
com-mence à
s'exercer
d'abord pour s'exercertoujours
davantage.2e, Dans tous les Éléments
d'Arithmé-tique,
on parle
de
la progressiondécuple;
mais
cette formule,
de
laquelle sont néestoutes
les
formules del'arithmétique,
on nela
trouvait nulle
part
analysée dans tous sesdétails :
elle
l'est
si
bien dans cepetit traité,
cen-taine,
d'un
mille,etc.,
etc.,
etc.,
sont ren-dues aussi claires que l'idée del'unité
elle-même. Les éléments des nombres les plus
composés se présenteront
à
ceuxqui
au-ront
lu et
appriscet
ouvrage, àl'instant
même où
le
nom destinéà
réveiller l'idéede
ces nombres frappera les oreilles ;et
leséléments
de tous les nombres seronttou-jours si
distincts, que
rien
ne serasi
fa-cile
et
sisûr
que toutesles
opérationspar
lesquelles on compose
et
l'on décompose tousles nombres possibles.
3°. Dans une
langue
et
dansune
sciencebien
faites,
l'analogie des idées doittou-jours
être
marquéepar
l'analogie des mots.Hais, dans
une partie
dela
languedu
cal-cul
,
cette
analogieétait
entièrement
dé-truite
: dans les motstrente, quarante,
cinquante, soixante, l'analogie des noms
est
assez bien conservée pour fairesentir
qu'on parle de
trois, de quatre,
decinq, de
six
dizaines;
maïs, dans les motsvingt-quatre,
quatre-vingts,quatre-vingt-dix, le
nombre des dizainesdont
on parlen'est
plus
dutout marqué par
l'analogie des mots : oncroirait
que
ce
sontdeux
lan-gues
différentes;que
dansl'une
on pro-cède pardizaines,
et
dansl'autre
par
vingtaines.
Condorcetétablit
ourétablit
les analogies de ta progression décuple : û
vingt,
ilsubstitue duante,
et
fait
revivreles mots
de
septante, octante, nonanté. Cesattentions
pourront paraître
minutieuses;
mais ce"
sera
à
ceux
qui
ignorent
que
l'ana-.
logie des mots
et
des idéesest
le
filtantôt
visible,
tantôt
invisible, qui
a
guidé
les hommesde
génieet
les peuples dansla
création
et
dans le
progrès de tousles
arts,
de
toutes
lessciences,
et
que
làoù
l'ana-logie
disparaît entièrement,
là
s'arrêtent
tous les
esprits
et
tous les progrès.4°.
Il
n'y
a
pas
une
desquatre règles
de
l'arithmétique
sur
laquelle
onne trouve
ici des vues neuvespour
en faire mieuxsaisir
l'esprit,
et
des procédés nouveauxpour
enrendre
la
pratique plus
sûre
et
plus
facileJe
n'en
citerai
qu'un
exemple. Onsait
combien, danslà
division, la nécessité des— X)
-tâtonnements
pour
trouver lesquotients
partiels rend
l'opération longue,
embar-rassante, peu
sûre.
Condorcetest
lepre-mier qui
ait
donné une méthodepour
ren-fermer ces tâtonnements dans les
limites
oùle quotient
partielse
trouve avecbeaucoup
plus
de sûreté
et
de facilité. Cette méthode
ingénieuse resserre l'espace où
la
recherche
doit
sefaire,
et
abrègepar
conséquentl'o-pération
elle-même.
8°. Les
autres
Élémentsd'Arithmétique
n'ont été écrits
que
pour ceuxqui
lesétu-dient
: ceux-cisont
écrits
encorepour
ceuxqui les
enseignent.Ils sont
divisésen
deuxparties,
dontl'une est
destinée auxprofes-seurs
:c'est
dans
cette
partie
que
Condorcetfait sortir
une logiquegénérale
del'obser-vation des règles
du calcul,
et
de l'analyse des motifssur
lesquelsces
règlessont
fon-dées. Cette
partie
de
l'ouvrageest
d'un
mé-taphysicien
qui
a souvent
dela
profondeur,et
elle
en étend' prodigieusementl'utilité.
La Révolution exigeune
rénovation de-
xij-et
cette rénovation exige de nouveauxpro-fesseurs. C'est
aux
hommes supérieurs àles former; cette tâche convenait parfaite-ment
à
Condorcet.Tant
de genres de nouveautéet
d'utilité
rendent
cepetit
ouvrage extrêmementpré-cieux;
les moments où il a étéécrit
le
ren-dent
en
quelque sorte sacré :c'est
dansl'asile où il se cachait à ses bourreaux que
Condorcet
l'a
écrit;
c'est
de cet asilequ'il
l'envoyait feuille à feuille à sa femme;et
à
peinela
dernière feuillefut
achevée,qu'il
fut
obligéd'aller chercher
unautre
asile,cet
asile oùn'atteignent
point les méchants-
xiij-AVIS
Relatifaux Rotes et aux Obtemlleni placées, soit
dans le cour», soit à la suite de cet ouvrage.
On trouve plusieurs sortes de note» et d'ob-servations dans lo manuscrit de Condorcet.
Les notes, indiquées
par
des chiffres,renfer-ment quelques éclaircissements
sur
ta mé-thode suivie dans ces éléments, et sont placéesau bas des pages auxquelles elles se
rap-portent.
Les observationspeuvent se diviser en deux
classes.
Les premières, indiquées par des lettres
capitales, ont pour objet l'enseignement de
l'Arithmétique on de
la
Géométrie;
les autres,désignées par des lettres ordinaires (non ca-pitales), renferment les notions élémentaires de logique qui doivent accompagner ces en» saignements. ' /
ARRÊTÉ
DU
MINISTRE
DEL'INTÉRIEUR,
Placé en tête de la première édition
de cet ouvrage.
Le Ministre de
l'Intérieur,
après avoirentendu son Conseil d'instruction
publique,
Considérant que l'ouvrage
intitulé
: Moyensd'apprendre
à
compter sûrement etavec
facilité,
par
Condorcet,peut être
utile
dans l'enseignement des écoles
primaires,
Arrête que cet
ouvragé sera comprisdans la
lifte
générale des livresélémen-taires parmi lesquels doivent choisir les
instituteurs,
tant
des
écoles nationales que des écolesparticulières,
et
qu'à
cetitre
chaque exemplaire sera
marqué
de l'estam-pille destinéeà
prouverl'identité
de-
xvj-Us
commissaires du pouvoirexécutif
sont
chargés
de
veiller à ceque,
danstou-tes les écoles, on ne se serve
que
des
livres indiquésdans
la
liste
générale,
et
dedé-noncer les contraventions à
leurs
adminis-trations
respectivespour y
être
pourvu.
MOYENS
D'APPRENDRE
A
COMPTER
SUREMENT ET AVEC FACILITÉ (1).
PREMIÈRE
LEÇON (A).En
voyant doux chosesqui
nousparais-sent
semblables, en portant notre
attentiond'abord
sur
chacune d'elles en
particulier,
puis
sur
les deuxréunies,
nous avonsl'idée
(1) Je ne mets pas le nom de
la
science dans letitre,
parce qu'il faut en connaître les premiersélémentsavant d'en bien entendre la définition.
J'ai conservé le mot leçon, malgré l'idée un
peu pédantesque qu'il peut réveiller; car, en
employant un autre mot, il aurait dans peu de
temps le mémo sort.
D'ailleurs, la prétention de cacher le maître
et l'instruction directe dans un enseignement
public est uno chimère; c'est vouloirjouer une
—
2-r
d'une
ctioso otde deux choses,
d'un
et
de
deux.
Si,
après en avoir vu uneet
deux,
nous
en
voyonstrois,
quatre, nous
avonsd'abord
l'idée
de
un,
puis
celle
de
deux,
de troiSj
de
quatre,
qui
ne sont pasun,
et
quidiffèrent
entre
eux
: nous avons doncl'idée
d'unité,
et
celle de
cequi est
un
répété
plus
oumoins de fois :
c'est l'idée
do nombre (a).On
a
donnédes
nomsaux
nombres ;ainsi
un
ajouté
à
un s'appelle
deux, est
la
mêmechose
que
deux,
est
égalà
deux
;un
et
un
sont
deux.
Un
ajoutéà
deux,
ou,
ce
qui
est
la
mêmechose,
àun
et
à
un,
s'appelle
trois,
est
égalà
trots,*un et
(feu®sont
....
trois.
Un
ajouté à trois s'appelle
quatre,
est
égal
à
quatre;
un et
trois
sont
.
quatre.
Un ajouté
à
quatre
s'appelle
cinq,
est
égal
à
cinq ?un
et
quatre
sont.
.
cinq.Un
ajouté
à cinq s'appelle
six;
un
et
cinq
— 3 —
Un ajouté
à
six
s'appelle
sept;un
et
six
sont
sept.Un ajouté
à
septs'appelle
huit;
un
et
septsont
huit.
Un ajouté
à
huit
s'appelle
neuf;
un
et
huit
sont neuf.Un ajouté
à
neuf
s'appelledix;
un
et
neuf
sont
dix(b).
Un ajouté
à
deux est la
mêmechose
quedeux
ajoutés hun,
puisque
cesont
tou-jours
deux choseset
une choseque l'on
con-sidère comme
réunies.
Un
et
deux
sont
trois;
un
et
trots
sontquatre;
quatre
est
donc la mêmechose
quedeux
auquel onajouterait
un
et
puis
un.
que
(feu#auquel
onaurait
ajouté
deux;
deux
ai
tfeuoesontquatre.
Ainsi
quatre, ou
un
auquel
onaurait
ajouté
un.
puis
«n,
puis
encoreun;
deux
et
<feu«,trois
et un
sont
la mêmechose,
sont
des nombres' égaux.supt
et
un
sonthuit
.•huit
est
doncla
mêmechose
que
cinq
auquel
onajouterait
un,
puistin, puis encore
un
$mais ajouter
un,
puis
m,
et
ensuite
encoreun,
est
la
mêmechose
qu'ajouter
trois
;
huit
est
dono lamôme chose
que
cinq
auquel
onajouterait
trois
:ring
et
trois
sontnuit.
, >
ï
Huit
et
un sont
iwf*
et
un
sont
dix;
donc
huit
et
dsua
sontdi».
Nous avonsvu
déjà
que
cinget
trois
étaient nuit
{ doiric
cipq, trois
et
deux
sontdix
(c).'On dit
encore : la somme de ci'nqret
trois est
huit;
la
somme desix
et
un est
sqpf I
la
sommede
ci'ng, trois
et.dsu»
estrila?.
La somme
de deux
nombresest le
nom-bre
que
l'on trouvo
enles
ajoutant
l'un
àl'autre;
lasomme
de
plusieurs
nombresest
le
nombreque
Tontrouve
en
lesajoutant
successivement les
uns aux
autres.
Ainsi vous savez déjà
exprimer les
ex--6
—primer
leur
somme,
lorsqu'elle
n'est
pas
plus grande que
dix,On
pourrait
de
la
mêmemanière
ajouter
successivement des
unités
à
dix,
et
à
cha-que
folsque
l'on
enajouterait
une
nou-velle, donner
un
nomau
nombre
qui
en
ré-sulterait.
Maison
voit
aisément
combienla
nécessitéde
retenir
ces nomsfatiguerait
la
mémoire;
d'ailleurs,
à
quelque
nombre
qu'on
se
fût
arrêté,
enpourrait
encore y
en
ajouter
d'autres
*il
faudrait,
lorsqu'onen
aurait
besoin,
inventer
desnoms nouveaux,
et,
pour
sefaire
entendre,
on
serait
obligé
de
les
expliquer
aux
autres,
qui;
eux-mê-mes,
seraient
obligésde
les
retenir.
Ainsion
a cherché
des
moyensd'exprimer
tous
les
nombres
aveeun
petit
nombre
de noms,de
manière
à
être
entendu
detous
ceuxà
qui
ce
moyenserait
connu,
quelque
nom-bre
que
l'on voulût
exprimer.
Ensuite,
on s'e*^aperçu
que
(escomptes
décrire
le
nom dechaque
nombre,
et
l'ona
cherché
àles exprimer en les écrivant
par
des signesqui pussent
se formerplus
promptement :
Un
s'écrit
...
1Un
et
un,
oudeux
«s'écrit
.
2
Unetdeua?,
outrois,
s'écrit
.3
Vnnttrois,
ouquatre,
s'écrit. 4
On
et
quatre, ou
ring,
s'écrit,
tt 1Un
et
cinq* ousto,
s'écrit
. 6 !l
Un
et
sto,
ou sept,s'écrit.
. 7
* Un
et
sspt,
ouhuit*
s'écrit
.8
Un
et
nuit,
ouneuf,
s'écrit,
9
Un
et
un, un plus
un, s'écrit.
i-M
Unplus
deu®,s'écrit.
.
.i+4
Le signe •+•
entre deux
nombres signifiequ'on les
considère commeajoutés l'un
àl'autre
:«n
plus
un
est
égal
à deux, s'écrit
i-t-i
=
2.
Un
plus
detioeest
égal àtrois,
s'écrit
Le
signes
exprimeque deux
nombressont
égauxentre
eux
(d) (B).On
a
senti également la nécessité
depou-voir
les
exprimer tous
par
un
petit
nombrede
signes,
pour
n'être
pas
obligéd'en
avoirbeaucoup
àretenir,
et
d'introduire
un
si-gne
nouveau,
quand on
aurait
besoind'é-crire
un
nombreplus grand
queceux pour
lesquels
onaurait
dessignes
:ces
signess'appellent
des chiffres.t
Cette
manièred'exprimer tous
lesnom-bres
par un petit
nombrede
mots,
ou
de chiffres, s'appellenumération;
et,
commeil
était
possibled'en trouver
piusiours,
cha-cune d'elles
s'appelleun
système de8 —
SECONDE LEÇON.
Voici
quel est
le
systèmede numération
actuellement
usité
enFrance
;Vn
ajouté
àdix,
dix et
un
s'appel-lent.
.,-.
. .....
,.dix*m.
Un
ajouté
à dix-un,
ou deux ajouté)à
dta>,dteetdet«
s'appellent
. dix-deute.
17»
ajouté
à
dix-deux,
ou troi$ajouté
àdtadfo
et
trois
s'appellent.
.
dix-trois.
Un ajouté
à dix-trois,
ouquatre ajouté
kdix,
dtoet
quatre s'appellent di'a-guatrs.
Unajouté
à
dia>-gua*re, ouring
ajouté
&dix,
diseet
ring s'appellent.
•,
diavctng.Un
ajouté à
dix-cinq,
ousix
ajouté à
dix*
dix
et
six
s'appellent
. .
dtaj-sta.Un
ajouté
à
dix-six,
ou
septajouté
hdix,
dix
et
septs'appellent.
.
.
,
dix-sept.
Un
ajouté
àdfo-sept,
ouhuit
ajouté»
dix,
dix
et
huit s'appellent.
Un ajouté
à
dix-huit,
ou neuf
ajouté
à
dte,dto
et
neu^s'appellent.
.
dix-neuf.
Arrivés
à
ceterme,
nous ne disons pasdix-dix,
pourexprimer
unojoutéà
dix-neuf
ou
dfoet
dix;
il
est
aisé de voirque
cemoyen, si on le
continuait longtemps,
con-duirait
à
former des noms trop longs, trop difficilesà
reconnaîtreet
à
prononcer (e).On
l'appelle donc duante.Ainsi:
Un
et
dix-neuf,
dix
et
dix,
s'appel-lent
duante.
Un
et
duantes'appellent
. duante-un.
Unetduante-un.
duante
et
deux,
s'ap-pellent
. duante-deux.
Unetduante-deux,
duanteet trois,
s'ap-pellent.
.
..
. . duante-trois,etc.
Uni>
duante-huit,
duanteet
neuf,
s'ap-pellent
...
.
duante-neuf.Un
et
duante-neuf* duanteet
dix,
s'ap-pellent
trente.-10-,
Dès
lors,vou8voyezquetmiteetuns'ap-pellent trente-un,
et
ainside
suitejusqu'à
trente
et
neuf,qui
s'uppellent trente-neuf.Par
conséquent,
on prononce :Un
et
trente-neuf,
trenteet
du»,
par
lemot.
...
quarante.Un
et
quarante-neuf,
quaranteet
dix,
par
ringuonts.Un
et
cinquante-neuf, cinquanteet
dix,
par
toioanft.
Un
et
soixante-neuf', soixanteet
dix,
par.
. septante.Un
et
septante-neuf,
septanteet
dix,
par
octant*.Un
et
octante-neuf,
octanteet
dte,
par
. nonante(i).
(i) U m'a paru nécessaire do faire cadrer la
numération parlée aveo la nutnsVaifon
m
chiffres.
J'ai donc changé ceux des non» de nombre
qui rompent l'analogie. Le changement sera
très-On
aura un
moyen d'exprimersuccessi-vement tous les nombres, depuisun
jusqu'à
nenante-neuf. Exprimant ensuite :
Un
et
nonante-neuf,muante
et
dix.
par, cent.
Cent
et
cent,ou
deux foie cent,par
.deux
cents.Cent
et
deuxcents,
ou trois fois cent,par
trois
cents.Cent
et
huit cents, ouneuf
foiscent,
par
neuf
cents,jeunes qui ne savent pas encore compter; il ne peut avoir aucun inconvénient pour les autres,
car il se borne, pour eux, à la simple
substi-tution de diante ou duante, au lieu de vingt,
et
de dillion ou dullion, au lieu de milliard.En effet, dire dix
un,
dix-deux, au lieu deonze, douze, n'est pas employer un nouveau
mot, c'est seulementexprimer ce qu'on entend
par ceux dont ou se sert actuellement : pour
conserver octante, on aurait pu dire huilante;
mais on a les mots octogénaire dans le langage
-
1%-r
et
plaçant
aprèsle mot
cent les noms desnombres
inférieurs
à
cent,depuis un
jus»qu'à
nonante-neuf,
pour
exprimerqu'ajou-tés à
cent,
à
deux
cents, àneuf
cents* ilsforment le nombre
qu'on veut
indiquer,
on pourra
exprimer tous
lesnombres,
d'uni'ffc enunités,
jusqu'à
neuf
centno-nante-neuf.
Un
et
neuf
cent nonante-neuf,neuf
centset
cent,dix
fois cent, s'exprimentpar
lemot
. . mille.
'
Plaçant
ensuite devantle
mot
mille lenombre do fois
qu'il est
répété
dansun
nombre,
et
ensuite,
après cemot,
ceuxqui
expriment le nombre
d'unités
inférieur à
mille,
qui peut y être ajouté,
onaura
le
moyen
d'exprimer tous
les nombres, d'uni-tés en unités*
jusqu'à neuf
centnonante-neuf
milleneuf
cent nonante-neuf.Un
ajouté
à
ce dernier
nombre serait la
môme chose
que
mille ajoutéà neuf
cent—
18-à
neuf
centmille,
dix
fois
fxit
mille,
ou
que
mille mille.
On emploie
lo mot
million,
pour
expri-mer
mille millei
ainsi,
prononçantavant
le
mot million le
nombre do foisqu'il
est
ré-pété,
depuis
une foisjusqu'à neuf
centno-uante fois,
et,
après
le
mêmemot,
le
nom-bre
inférieur
àun
million, qui
est
ajouté
au
nombre des millionspour
former celui
qu'on veut
indiquer,
onpourra
exprimer
tous
les
nombres,
d'unitésen unités*jusqu'à
neuf
centnonante-neuf millions
neuf
centnonante-neuf mille
neuf
cent nonante-neuf.Si
l'on ajoute une
unité,
omneufcentno-nante^neuf millions
et
unmillion,
ou
millemt'Humqu'on
appelledtï/t'on;
et
employantpour
les aillions
le même ordre
d'expres-sions
qu'on
emploie pour lesmillions,
onpourra
exprimer
tous les nombres,jusqu'à
neuf
centnonante-neuf
aillions
neuf
centnonante-neuf
millionsneuf
cent-
U
~
Désignant donc
mille
dillions
par
le
mot
trillion,
mille
Mitions
par
le
mot
quatril-lion.et
ainsi
de
suite,
onpourra exprimer
tous
les nombres,
sans
être
obligé
d'em-ployer
un
nouveaumot,
jusqu'à
ce
qu'on
ait
besoind'exprimer un
nombre
mille
folsplus
grand que
celui
pour lequel
ona
déjà
unnora
convenu
(o).— 15 —
TROISIÈME
LEÇON.
Vous no savez encore
exprimer, par
des chiffres,que
les nombres
un,
deux,
jusqu'à
neuf,
au
moyendes
caractères
:i.
% 3, A. 8.6.
7.
8.9.
Vous avez déjà observé
qu'il
aurait
été
impossible
de
reconnaître
et
deretenir
cescaractères
au
delà
d'un
terme
mêmetrès-peu
éloigné, si
l'on avait
voulu
en
établir
pour chaque
nombre;
il
a.donc
fallu
cher-cher à
exprimer tous les
nombres avecpeu
de
caractères,
par
exemple
avecles
neuf
que
vous
connaissezdéjà.
;
Pour
y
parvenir,
ona
supposéque
le
chiffre
placé
le
premier,
désignant
desunités
depuis
i
jusqu'à
9,
celui
qui
serait
placé
àla
gauche
du
premier
exprimerait
autant
de
dizainesqu'il
aurait
expriméd'u-nités s'il avait
été
seul.
chif-—
«
*-fre
le plus
à
ladroite
désigne desunités,
celui
qui est
àsa gauche
désignedes
di-zaines :
32
exprimo doncqu'un
nombre
est
forméde
deux
unités
etde
troisdizaines
;
de deux
et
de
trente
;
la
formule
en
chif-fres
32
exprimetrente-deux.
D'après
cette
supposition,
pour exprimer
un
nombrequi,
comme
dix,
duante* trente*est
composéseulement
d'un
certain
nombre
de
dizaines,
il
suffit d'avoir
un
moyend'in-diquer
qu'il
est
au
secondrang,
qu'il est à
la
gauche de
la place oùl'on
aurait
mis
les
unités,
sil'on
avait
vouluécrire
un
nombre
pour
lequel
il
eût
fallu en
expri-mer;
le
moyenle
plus
simple
était
donc
de
mettre
à
cette
placeun
caractère
destiné
seulement
à
indiquer
que
le chiffre
qui
l'aurait
occupéeaurait
exprimé
dosunités,
et
que
celui
qui
est
à
gauche exprimé
par
conséquent
des dizaines.On
a
pris pour
cet
usage
le caractère
0
-
n
—le chiffre
qui
se trouveà la
secondeplace
indiquant
desdizaines, 10 exprime
une
dizaine
oudix.
Duante
s'écrit
20;
le
chiffrequi se
trouveà la seconde place
indiquant
des dizaines,20
exprimedeux
disaines* oudix
et
dix.
ou
duante.Comme
entre
une
dizaineet
une
autre
il
n'y
a
que
neuf
unités,
lesneuf
carac-tères
adoptéssuffisent
pour
exprimer tous
les nombres
intermédiaires entre
les
di-zaines;
ainsi vouspourrez,
avecdeux
chif-fres,
exprimertous
les nombresjusqu'à
nonante-neuf,ou
neuf
dizaines,
plus
neuf
unités:
90
+
0
=
99.
Suivons
maintenant
la
mêmemarche,
et
convenons
qu'un
chiffreplacé
à
la gauche
de celui
qui
indique
des dizaines exprimeautant
de dizainesde
dizaines,autant
de centainesqu'il
aurait
exprimé dedizaines,
s'il
s'était
trouvé/moins
avancéd'un
rang
— 18
-' Prenons l'expression
234;
le chiffre4
indique
quatre
unités,le
chiffre3
indiquetrois
dizaines, le chiffre2
indique deuxcentaines,
autant
dedizaines
qu'il aurait
exprimé
d'unités,
s'ilavait
étéà
la placedu
3;
autant
do centainesqu'il aurait
ex-primé
d'unités, s'il
avait
été
à la placodu
4,
s'ilavait été
moins avancé do deuxrangs vers la
gauche.
'Ainsi avec ce troisième chiffre vous exprimerez des centaines,
depuis
centjus-qu'à
neuf
cents ;et
avec les deux chiffressuivants, tous les nombres intermédiaires
entre
deux centaines, depuisi
jusqu'à
99 ;vous pouvez donc exprimer tous les
nom-bres,
depuis 4jusqu'à
999 (1).(1) J'expose ici la manière dont on aurait pu
être conduit à travers lo système de
numéra-tion, sans cependant y trop insister. Dans une
instruction commune, on ne peut suivre, uns
marche aussi rigoureuse
à
cet égard que dan*colle-— 19 —
Si
l'on
suit
la mêmemarche,
et
que
l'on placeun quatrièmo
chiffre àla
gauche
de
ceuxqui
indiquent
descentaines,
il
in-diquera
autant
dedizaines
de
centaines, ouautant
de
mille
qu'il
aurait
désigné
de
cen-taines,
s'il
avait
été moins
avancéd'un
rang; autant
de
centainesde
dizaines, s'il
avait
été
moins avancé dedeux;
enfin,
au-tant
demille
qu'il
aurait
désigné
d'unités,
s'il avait été
moins avancéde
trois
rangs :
ainsi,
6452
indique
six
mille,
quatre
cen-taines, cinq dizaines
et
deux unités,
ex-ci
,
ost une .conversation, uno espèce de jeuentre l'instituteur
et
l'élève, deviendrait iciune farce concertée dont les élèves sentiraient
le ridicule.
On trouve ici des détails qui paraîtront
peut-être superflus; mais
je
les crois nécessairespour empêcher que les élèves n'apprennent la
numération chiffrée
m
parlé» que parla
mé-moireÎ ces raisonnementseiercerontleuresprit, et les aideront en ménie tempsà
mieux retenir ce qu'on leur enseigné.— ao —
.prime
le
nombresix
mille
quatre centcin-quante-deux. .
Le cinquième chiffre exprimera
autant
de dizaines
de
mille;
le
sixième,autant
de centaines
de
mille;
le
septième,autant
de
millions;
le
huitième, autant
dedizai-nes
de millions,
et
ainside suite,
qu'il
aurait
expriméd'unités, s'il
avait été
te premier.•
Un chiffre exprimera toujours
autant
de dizainesqu'il
aurait
expriméd'unités,
s'il
aWait
été
moins avancéd'un
rang;
autant
de centaines
qu'il
aurait
expriméd'unités,
s'il avait
été
moins avar. :é de deuxrangs;
autant
de
mille,
de dizaines demille,
decentaines de
mille,
de
millions,et
ainsi desuite, qu'il
aurait
expriméd'unités,
s'il
avait
été
moins avancéde
trois,
dequatre,
de
cinq,
de
sixrangs,
et
ainsi desuite.
Le nombre
le
plus grand
qu'on puisseex-primer avec
un
chiffreest
9;
avec deux_21-9999,
et
en généralle
plus
grand nombreque
l'on puisseexprimer
avecun
certain
nombre de chiffres,est
composéd'une suite
de
9;
en
effet,
il
renferme
alors leplus
d'unités,
de dizaines, decentaines,
etc.,
qu'il est
possibled'en
indiquer
dans lesrangs
de
chiffresqui
y répondent.Le
plus
petit
nombre qu'on ne
puisseexprimer qu'avec
deux chiffresest
10;
100,le
plus
petit
qu'on ne
puisseexprimer
qu'avec
troischiffres; 4000,
le pluspetit
qu'on
ne
puisseexprimer qu'avec
quatre
chiffres;
en général,le
plus
petit
nombre
qu'on
ne
puisseexprimer
qu'avec
un
cer-tain
nombre de chiffresest
l'unité
suivie de zéro. Eneffet, l'unité
est
le plus
petit
nombre
que
l'on puisseplacer
au
rang
leplus
avancé versla gauche;
et,
quelque
nombre qu'on
mit
àla
place
d'un
deszé-ros,
lenombre
totalserait
plus grand.
Le
plus
grandnombre
qu'on
puisseex-primer
avecun
chiffre,
et
le
plus
petit
qui
en exige
deux,
savoir, 9et
10, nedif-fèrent
que d'une
unité. Le plus grand nom-; brequ'on
puisseexprimer
avecdeux
chif-fres,
et le
plus
petit qui
en exigetrois,
savoir,
99
et
100,. ne diffèrentque
d'une
unité.
En
général,
leplus
grand nombrequ'on
puisse exprimer avecun
certainnom-bre de
chiffres,
et
leplus petit
qui
exigeun chiffre de
plus,
ne diffèrententre
euxque
d'une,unité;
eneffet,
le pluspetit
nombre
est
exprimé parune suite
do9;
or,
ajputant une
unité
à9
unités, vous
avez une dizaine;ajoutant cette
dizaine à9
di-zaines
que
vous avez dans ce mômenom-bre,
vous avez unocentaine; ajoutantcelte
centaine aux
neuf
autres,
vous avez unmille,
et
ainside
suite;
vous
avez donctoujours
un
nombre exprimépar l'unité
suivied'autant
de zéfosque
vous avezde
9.On
peut
exprimer
tous les nombrespar
cette
méthode. En 'effet,puisqu'en
qui
suivent
le chiffre1,
onlui fait
expri-mer un
nombre dix foisplus
grand,
il
est
clair
qu'onpeut
lui
faire exprimerin
nom-breplus
grandque
celui
qu'on voudraitécrire
: il sera donc exprimé parun
nom-bre de chiffres moindre.
Prenant
le
plusgrand
nombre que ceschiffres puissent exprimer,
il
estclair qu'en
mettant
dans les colonnes desunités
8,
7,0,
8, 4,
3,
2,
4,0
à
la place de9,
onle
diminuera
successivement deneuf
uni-tés;
que,
mettant
dans la colonne desdi-zaines
8,
7,.
.
.,
1, 0,
aulieu
de9,
ondi-minuera
successivementdc9
le nombre desdizaines,
et
ainsi desuite;
on le diminueradonc
successivement, unités
par
unités,,de
9
unités
;puis,
d'une
dizaineet
de9
unités;
puis, de2
dizaineset
de9 unités,
et
ainsi desuite
: on parviendra doncjus-qu'à
la combinaison de chiffresqui
exprime le nombrecherché,
— 24 —.
un
nombre exprimépar
des mots,suppo-sons d'abord
qu'il
ne comprenne pas denombre plus grand
que
descentaines,
comme,
par exemple, trois centcinquante-deux:
vous observerezqu'il
est composé de 3 centaines, de 8 dizaines, do2 unités.
Ecrivant donc d'abord le chiffre qui in-dique
les
centaines, plaçant à ta droitece-lui qui indique les dizaines,
et
à la droitede celui-ci le chiffre
qui
indique les uni"U$B, vous'aurez
écrit
en chiffresle
nombreexprimé,
382.En effet, puisque vous savez
qu'en
écri-vant
un
chiffre àla
gauched'un autre,
il
indique des dizaines si
l'autre
indique
desunités,
il
estclair
que
le chiffre mis à ladroite
l'un
autre
indique des unités sil'autre
indiquait
det
dizaines.Mais si
le
nombre renferme desquanti-tés
plus
grandesque
des centaines, commevous savez
que
les dénominations changent—
25-mille fois
plus grand, que
dix centaines ou milleunités s'appellent
mille, que
millemille s'appellent
un
million, mille millions,un
dillion,
etc.,
vous n'aurezqu'à écrire
successivement, en
allant
degauche
àdroite,
le nombre des
centaines,
des dizaines, desunités,
demillion,
de mille,d'unités,
à
mesure
et
suivant
l'ordre quo vous lesprononcez.
Ainsi, pour écrire
trois centduante-huit
millions cinqcent septante-quatre
milleneuf
cent
soixante-un,
vous écrirezsuccessive-ment les
chiffres3,2,8,5,7,4,9,6,1,
328874964.
Lorsque les
unités,
lesdizaines,
oules
centaines manquent
pourune
dénomina-tion,
vousn'en
prononcez pasle
nom;
ainsi,
par
exemple, si vous dites, trois centneuf
milletrente-ûn,
vous ne prononcezpasle
nom des dizaines demille,
nicelui
des centaines d'unités';mais,
comme en— 20
-r-indique
leur
valeur,
pourqu'ils
l'aient
réellement,
il
fautécrire
un
zéroà
la placedu chilïire répondant à chaque
dénomina-tion
que
vous ne prononcerez pas: vous
écrirez donc
309031;
eneffet,
si vousécriviez
9,3,4,
sans placer0
à
la placequ'occuperaient les
centaines,
vous auriez931,
neuf
centtrente-un,
et
nonneuf
milletrente-un.
Si vous avez à
écrire
neuf
mille,
vousécrirez
9000,
enmettant
0
àla
placequ'occuperaient
les centaines, les dizaines,les unités
qui
ne setrouvent
pas dans cenombre.
Pour exprimer
par
des motsun
nombreécrit
en chiffres, vous chercherez d'abordpar
quelle dénomination vous devezcom-mencer : ainsi,
par
exemple, ayant
4328,
et
sachantque
le
premier chiffre vers la droiteindique
desunités,
vous trouverezque
le second indique des dizaines ;le
der-—
27-nier,
desmille; c'est
doncpar des mille que
vous devez
commencer,
et
disant avant
chaque
dénominationle
nombre
exprimépar
chaque chiffre, vous prononcerezqua-tre
milletrois
centduante-cinq;
si vous aviezun nombre,
comme327286498,
puisque
lepremier
chiffreà droite
désignedes
unités,
vous diriez>,en
allant
dela
droite
versla
gauche,
unités,
dizaines,
centaines,
mille,
dizainesde
mille,centai-nes de
mille, million,
dizaines demillion,
centaines de
million
;et
alors,étant
par-venu
au
dernier
chiffre3,
vousprononce-riez
trois
cent duante-septmillions,
deux
cent
cinquante-six mille,
quatre
centno-nante-huit, 327286498.
S'il se trouve
des
zéros, vous nepronon-cez point
la
dénomination qui répondà la
place
