Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Gabriel Gomes Figueiredo

(1)

Instituto de Matem´

atica Pura e Aplicada

Gabriel Gomes Figueiredo

Grafos Aleat´

orios de Erd¨

os-R´

enyi

Rio de Janeiro

Novembro de 2015

(2)

Grafos Aleatórios de Erdös-Rényi

Resumo

Nesse trabalho vamos estudar as componentes conexas dos Grafos Aleatórios de Erd¨ os-Rényi e tambomo o processo de forma¸cão dessas componentes podem ser descritas pelos processos de ramifica¸cão.

O que vamos estudar mais afundo é que quando a expectativa do grau é muito menor que 1, as componentes são pequenas e a maior componente nesse caso é da ordem de log(n). Agora quando a expectativa do grau é maior do que 1, existe uma componente conexa gigante que contém uma propor¸cão positiva de todos os vértices.

Processos de Ramifica¸c˜ao

Para dar in´ıcio ao estudo dos Grafos Aleatórios de Erdös-Rényi vamos primeiro falar um pouco sobre os Processos de Ramifica¸cão e também sobre os Processos de Ramifica¸cão com distribui¸cão por Poisson.Vamos fazer isso porque, como já dito, podemos descrever as componentes conexas dos Grafos Aleatórios de Erdös-Rényi a partir de tais processos. Os processos de ramifica¸cão são usados para descrever as componentes conexas de vários grafos aleatórios. Come¸camos estudando as transi¸cões de sobrevivência e extin¸cão e escrevendo momentos do tamanho total de uma fama .

1. Sobrevivˆencia e Extin¸c˜ao.

Um processo de ramifica¸cão é um simples modelo de possibilidades para uma po-pula¸cão em evolu¸cão no tempo. Suponha que cada organismo independente tenha dado nascimento a um número de crian¸cas com a mesma distribui¸cão e de forma independente entre os diferentes indiv´ıduos. Escrevemos que a distribui¸cão (pi)i≥0,

onde

pi = P(indiv´ıduos que tem i crian¸cas)

Escrevemos também que Zn é o número de indiv´ıduos na n-ésima gera¸cão, onde,

por conven¸cão, Z0 = 1. Então Zn satisfaz a seguinte rela¸cão de recursão,

Zn = Zn−1

P

i=1

Xn,i,

onde (Xn,i)n,i≥1 é um conjunto de variáveis aleatórias independentes e

identicamen-tes distribuidas. Vamos escrever frequentemente usar X para a distribui¸cão de filhos, de modo que (Xn,i)n,i≥1 é um conjunto de variáveis aleatórias independentes

(3)

Um dos maiores resultados dos processos de ramifica¸c˜ao ´_{e que quando E[X] ≤ 1, a} popula¸c˜ao morre com probabilidade um(a menos que X1,1 = 1 com probabilidade

1), enquanto E[X] > 1, existe uma probabilidade não nula de que a popula¸cão não se tornará extinta. A fim de demonstrar o resultado, escrevemos que a probabilidade de extin¸aão

η = P(∃n : Zn = 0).

Teorema 1.1(Sobrevivência vs. Extin¸cão para processos de ramifica¸cão)

Para um processo de ramifica¸cão com variável de filhos X independetes e identica-mentes distribuidas, η = 1 quando E[X] < 1, enquanto η < 1 quando E[X] > 1. Al´_{em disso, η = 1 quando E[X] = 1 e P(X = 1) < 1.Além do mais, com s 7→ G}X(s)

sendo a fun¸cão geradora de probabilidade da distribui¸cão de filhos X, isto é,

GX(s) = E[sX],

a probabilidade de extin¸cão η é a menor solu¸cão em [0, 1]de

η = GX(η).

Chamamos os processos de ramifica¸c˜_{ao de subcr´ıticos quando E[X] > 1,cr´ıtico} quando E[X] = 1 e P(X = 1) < 1, e supercr´ıticos quando E[X] > 1. O caso quando P(X = 1) = 1 é desinteresante e é omitido na defini¸cão.

Em muitos casos,estamos interessados na probabilidade de sobrevivência represen-tada por ζ = 1 − η,a qual é a probabilidade que os processos de ramifica¸cão sempre sobrevivem, ou seja, ζ = P(Zn > 0 para todo n ≤ 0)

Continuando o estudo sobre o total de filhos T de um processos de ramifica¸c˜ao definimos T = ∞ P n=0 Zn

Representamos GT(s) = E[sT] a fun¸c˜ao geradora de probabilidade de T , ou seja,

Teorema 1.2(Total de filhos da fun¸cão de geradora de probabilidade). Para um processo de ramifica¸cão com variável X independente e identicamente distribuida de filhos tendo fun¸cão geradora de probabilidade GX(s) = E[sX], a fun¸cão geradora

de probabilidade do total de filhos T satisfaz a rela¸c˜ao que, para todo s ∈ [0, 1],

(4)

Esse teorema requer alguns cuidados quando os processos de ramifica¸cão tem pro-babilidade de sobrevivência positiva. Observamos que quando os processos de rami-fica¸cão sobrevivem com probabilidade positiva, ou seja, η < 1 com η a menor solu¸cão para η = GX(η), então GT(s) = E[sT1T <∞] somente recebe uma contribui¸cão vinda

de T < ∞ para |s| < 1.Mais, Gr(1 ≡ lims%1Gr(s) satisfaz Gr(1) = GX(Gr(1)) ou

Gr(1) = η. Uma vez que, para cada s ∈ [0, 1),

Gr(s) = E[sT1T <∞] ≤ P(T <),

assim obtemos que Gr(1) = η.

2. Momentos em Fam´ılia.

Nessa se¸cão, escrevemos a média do tamanho de um processo de ramifica¸cão e usamos isso para escrever a média do tamanho de uma fam´ılia ou da média do total de filhos. O principal resultado é o seguinte teorema:

Teorema 1.3(Momentos da gera¸c˜_{ao de fam´ılias) Para todo n ≥ 0, e µ = E[Z}1] =

E[X] a expectativa de filhos de um certo indiv´ıduo,

E[Zn] = µn

Teorema 1.4(Desigualdade de Markov para Processos de Ramifica Subcr´ıticos). Fi-xemos n ≥ 0. Seja µ = E[Z1] = E[X] a expectativa de filhos de um indiv´ıduo, e

assumimos que µ < 1. Ent˜ao

P(Zn > 0) ≤ µn

Esse teorema implica que no regime subcr´ıtico, ou seja, quando a expectativa de filhos µ < 1, a probabilidade que a popula¸cão sobrevive no tempo n é exponencial-mente menor que n. Em particular,a expectativa do total de filhos é finito.

Teorema 1.5(Expectativa do total de filhos) Para um processo de ramifica¸c˜ao com filhos X i.i.d tendo m´edia de filhos µ < 1,

(5)

Processos Aleat´orios de Poisson

Representamos a distribui¸cão dos Processos Aleatórios de Poisson por P_λ∗e escrevemos também que T∗ é o total de filhos de um Processo Aleatório de Poisson e X∗ como sendo uma variável aleatória de Poisson.

Para uma variável aleatória de Poisson X∗ com média λ, a probabilidade de gerar fun¸cões para a distribui¸cão de filhos é igual a

G∗_{(s) = E}∗_λ[sX∗_{] = s}i_e−λ λi

i! = e λ(s−1)

Portanto, a rela¸c˜ao para a probabilidade de extin¸c˜ao η (η = Gx(η) onde Gx(s) = E[sX]

torna-se

ηλ = eλ(ηλ−1), (∗)

Onde adicionamos λ para fazer a dependˆencia em λ expl´ıcita.

Para λ ≤ 1, a equa¸c˜ao (∗) tem uma solu¸c˜ao ηλ = 1 que corresponde a quase certeza

de extin¸c˜ao. Para λ > 1 existem duas solou¸c˜oes dos quais o menor ηλ ∈ (0, 1) satisfaz.

Condicionalmente na extin¸c˜ao, um Processo de Ramifica¸c˜ao de Poisson tem lei (p0_k)k≥0

dado por,

p0_k= ηk−1_λ pk = e−ληλ(ληλ)

k

k! ,

onde usamos (∗). Note que essa distribui¸cão de filhos é novamente Poisson com média, µλ = ληλ

E, novamente por (∗),

µλe−µλ = ληλe−µλ = λe−λ

Chamamos µ < 1 < λ um par conjugado quando, µe−µ= λe−λ (∗)

Uma vez que x 7→ xe−x aumenta pela primeira vez e em seguida decresce, com um máximo de e−1 em x = 1, a equa¸cão xe−x = λe−λ tem precisamente duas solu¸cões, uma solu¸cão µ < 1 e a outra solu¸cão λ > 1. Portanto, para um Distribui¸cão de Filhos de Poisson, o Princ´ıpio da Dualidade é reformulado da seguinte maneira:

Teorema 2.1:(Princ´ıpio da Dualidade de Poisson). Seja µ < 1 < λ conjugados. O Processo de Ramifica¸cão de Poisson com média λ, condicionalmente na extin¸cão, tem a mesma distribui¸cão do que um Processo de Ramifica¸cão de Poisson com média µ

(6)

Agora vamos descrever uma lei para o total de filhos de um Processo de Ramifica¸c˜ao de Poisson:

Teorema 2.2:(Total de Filhos de um Processo de Ramifica¸cão de Poisson). Para um processo de ramifica¸cão com variável X∗ i.i.d, onde X∗ tem distribui¸cão de Poisson com média λ,

P∗λ(T

∗ _{= n) =} λn

n−1n!e−λn, (n ≥ 1)

Vamos usar o Teorema de Cayley nos números de árvores rotuladas. Definimos árvores rotuladas em [n] como sendo uma árvore de tamanho n onde todos os vértices tem um rótulo em [n] e cada rótulo ocorre precisamente uma vez. Uma aresta de uma árvore é rotulada é um par {v1, v2}, onde v1 e v2 são rótulos de dois vértices conexos na árvore.

O conjunto de arestas de uma árvore de tamanho n é a cole¸cão de n − 1 arestas. Duas ´

arvores rotuladas s˜ao iguais se e somente se elas possuem o mesmo conjunto de arestas. O Teorema de Cayley diz o seguinte sobre a defini¸c˜ao acima,

Teorema 2.3:(Teorema de Cayley) O número de árvores rotuladas de tamanho n é igual a nn−2_. _{E equivalente dizer que, o n´}_´ _{umero de arvores abrangidas em um grafo}

completo de tamanho n ´e nn−2

Teorema 2.4:(Fun¸cão Assintótica para o total de filhos de um Processo de Rami-fica¸cão de Poisson) Para um processo de ramifica¸cão com variável X∗ i.i.d de filhos, onde X∗ tem distribui¸cão de Poisson com média λ, assim que n → ∞,

P∗λ(T ∗ _{= n) =} 1 λ √ 2πn3e −Iλn Onde, Iλ = λ − 1 − log(λ) Em particular, quando λ = 1, P∗1(T ∗ = n) = (2π)−1/2n−3/2[1 + O(n−1)]

Corol´ario 2.5:(Diferenciabilidade da probabilidade de sobrevivˆencia.) Deixe que ηλ

represente a probabilidade de extin¸cão de um processo aleatório com uma distribui¸cão de filhos por Poisson com média λ, e ςλ = 1 − ηλ é a probabilidade de sobrevivência. Então,

para todo λ > 1,

d dλςλ =

ηλ(λ−µλ)

λ(1−µλ) < ∞,

onde µλ ´e o conjulgado de λ definido em (∗). Quando λ ↓ 1,

(7)

Defini¸c˜oes:

Agora que falamos sobre os Processos de Ramifica¸cão e também sobre os Processos de Ramifica¸cão com distribui¸cão por Poisson podemos dar in´ıcio aos Grafos Aleatórios de Erdös-Rényi.

Para trabalhar com os Grafos Aleatórios de Erdös-Rényi vamos fazer o uso do Grafo G(n, p) onde,

n = representa o número de vértices; p = a probabilidade da aresta. Isto é, o conjunto dos vértices é representado como,

[n] = {1, 2, · · · , n}

E vale lembrar que, p = a probabilidade da aresta, pode ser reescrita da seguinte forma,

p = λ_n, onde λ ´e uma vari´avel.

E sejam, u e v ∈ [n] representamos a aresta designada por u e v por uv

e tamb´em,

uv : {1 ≤ u ≤ v ≤ n}

E vale lembrar que cada aresta é igualmente e identicamente distribuida. Dizemos também que uma aresta é ocupada se

P[Uuv = 1] = p

E se a aresta n˜ao for ocupada,

P[Uuv = 0] = 1 − p

´

E importante ressaltar que os Grafos Aleatórios de Erdös-Rényi acontecem quando as arestas estão ocupadas, ou seja, P [Uuv = 1] = p.

Representamos um caminho entre dois v´ertices s, t ∈ [n] como, s ↔ t

(8)

Por conven¸c˜ao,

s ↔ s

Para v ∈ [n], escrevemos que a Componente Conexa contendo v ou um ramo de v por, C(v) = {x ∈ [n] : x ↔ n}

E o tamanho de C(v) é |C(v)|, ou seja,|C(v)| =o número de vértices conectados a v.E a Maior Componente Conexa, Cmax, é igual a qualquer ramo de C(v) tal que |C(v)| é

m´aximo. Representamos tamb´em,

|Cmax| = maxv∈[n]|C(v)|

Note que a defini¸cão acima identifica |Cmax| como único, mas não podemos identificar

Cmax, como ´unico. Mas podemos fazer com que Cmax seja ´unico, basta fazer Cmax ser o

ramo de tamanho m´aximo contendo um v´ertice com tamanho pequeno.

Nas próximas se¸cões vamos estudar o comportamento da Componente Conexa, C(v), contendo um vértice v no grafo G(n, p). Para dar in´ıcio a esse estudo introduziremos um algoritimo que é feito em seis etapas e temos como resultado o tamanho da componente conexa contendo v.

(9)

Algoritimo para descobrir o tamanho da C(v) Etapa 1: Existem trˆes estados para os v´ertices:

1. Inativos; 2. Neutros; 3. Ativos.

O estado do vértice muda no decorrer da explora¸cão da Componente Conexa de v; Etapa 2: No tempo t = 0, somente v está ativo e todos os outros vértices estão neutros. E nosso conjunto S0 = 1;

Etapa 3: A cada tempo t ≥ 1, escolhemos um vértice ativo w de forma arbitrária e exploramos todas as outras arestas ww0, onde w0 percorre todos os vértices neutros. Se ww0 ∈ E(G) então w0 é ativo, caso contrário continua neutro;

Etapa 4: Depois pesquisamos todos os conjuntos de vértices neutros, nosso conjunto w está inativo e deixamos St ser igual ao número de vértices ativos no tempo t;

Etapa 5: Quando n˜ao existem mais v´ertices ativos, ou seja, St= 0, o processo termina

e C(v) é o conjunto de todos os vértices inativos, isto é, C(v) = t; Etapa 6: Seja St o número de vértices ativos no tempo t,então,

S0 = 1

St = St−1+ Xt− 1

Onde X1, X2, · · · , Xtsão variáveis aleatórias i.i.d, que representam o número de vértices

que tornam-se ativos devido a explora¸cão do t-ésimo vértice ativo wt, e depois dessas

ex-plora¸c˜oes, wt torna-se inativo.

Como um resultado, a distribui¸cão de Xt depende do número de vértices ativos no

momento t − 1, ou seja, em St−1, e não em qualquer outro caminho que os vértices são

inativos, neutros ou ativos.

Mais precisamente, cada vértice w0 no tempo t − 1 em um grafo aleatório tem proba-bilidade p para torna-se ativo no tempo t. A aresta ww0 é examinada exatamente uma vez, de modo que a probabilidade condicional para ww0 ∈ ERn(p) será sempre igual a

p. Depois de t − 1 explora¸cões de vértices ativos, temos t − 1 vértices ativos. Isso deixa n − (t − 1) − St−1 vértices neutros.

Então, como agora sabemos o que é a maior componente conexa e temos um processo para descobrir o tamanho dela vamos dar in´ıcio ao estudo da varia¸cão de λ, isto omo jádito p = λ_n e o que vamos estudar é o que acontece com a maior componente conexa quando,

(10)

1. λ < 1; 2. λ = 1; 3. λ > 1.

(11)

Regime Subcr´ıtico

Nessa se¸cão, vamos trabalhar com λ = p·n < 1. Para dar in´ıcio a esse processo devemos introduzir alguns conceitos que auxiliarão nas demosntra¸cões do Regime Subcr´ıtico.

• Liga¸c˜ao Informal com os Processos de Ramifica¸c˜ao de Poisson.

O que vamos fazer ´e uma rela¸c˜ao entre os tamanhos dos ramos no Grafo de ERn(λ/n)

e os de Processos de Ramifica¸cão de Poisson. Não vamos usar esse tópico no restante do trabalho mas vamos usar a filosofia das demonstra¸cões.

Seja S₀∗, · · · , X₁∗, · · · , H∗ a história de um Processo de Ramifica¸cão com distribui¸cão de filhos λ e seja S0, · · · , X1, · · · , H a história de um grafo aleatório de ERn(λ/n)

onde,

(

S0 = 1

St= St−1+ Xt− 1

O evento H∗ = (x1, x2, · · · , xt) ´e o total de filhos T∗ de um Processo Aleat´orio de

Poisson igual a t e as vari´aveis x∗₁, x∗₂, · · · , x∗_t s˜ao dadas por x1, · · · , xt.

T = inf(t : St= 0) = inf(t : x1+ · · · + xt= t − 1)

t = inf(t : Si = 0) = min(i : x1+ · · · + xi = i − 1)

E para a qualquer possibilidade (x1+ · · · + xt),

P = (H = (x1+ · · · + xt)) = Q_i=1(pxi)

P∗λ(H = (x1+ · · · + xt)) =Qt_i=1P∗λ(X ∗ i = xi)

Onde (X_i∗)i≥1 é uma variável aleatória de Poisson com parâmetro λ,

Pλ(H = (x1, · · · , xt)) =

Qt

i=1Pλ(Xi = xi|Xi = xi, · · · , Xi−1= xi−1)

Onde em X1 = x1, , Xi−1= xi−1, a variável aleatória Xi é binomialmente distribuida

Bin(n − (i − 1) − si−1, λ/n)

[xt ∼ Bin(n − (t − 1) − St−1, p)s0 = 1, si = si−1+ xi−1]

Quando mn = n(1 + o(1)), λ e i s˜ao fixos ent˜ao podemos estender esse tratamento

quando X tem distribui¸c˜ao Bin(mn, λ/n) e ent˜ao limn→∞P(X = i) = e−λ · λ

i

i!.

(12)

limn→∞Pλ(H = (x1, · · · , xt))

= P∗λ(H

∗ _{= (x}

1, · · · , xt))

Teorema 3.1:(Limite Superior na maior Componente Subcr´ıtica) Fixamos λ < 1. Ent˜ao para todo a > _I1

λ , existe δ = δ(a, λ) > 0 tal que,

Pλ(|Cmax| ≥ a · log(n)) = O(n−δ)

Vis˜ao Global do Teorema: Esse teorema diz que |Cmax| ≤ a · log(n) com alta

probabilidade para qualquer a > 1

Iλ, onde Iλ = λ − 1 − log(λ)

Estrat´egia para demonstra¸c˜ao: • Z≥k =P_v∈[n]I|Cv|≥k

Onde, Z≥k, é o número de vértices na componente conexa de tamanho pelo menos

k. E vamos identificar |Cmax| = max {k : Z≥k ≥ k} que implica (|Cmax| ≥ k) =

(Z≥k ≥ k)

• Desigualdade de Markov para Z≥k

Relembrando a Desigualdade de Markov. Seja X uma variável aleatória não negativa com E[X] < ∞, então

P(X > a) ≤ E[X]a

Em particular, quando X ´_{e um valor inteiro com E[X] ≤ m, ent˜ao}

P(X = 0) ≥ 1 − m

Ent˜ao aplicando a Desigualdade de Markov em Z≥k escrevemos que,

Eλ[Z≥k] = n · Pλ(|C(1)| ≥ k)

E vamos usar o Teorema abaixo para limitar Pλ(|C(1)| ≥ kn), quando Kn= a·log(n)

para qualquer a > _I1

λ.

• Teorema(Domina¸c˜ao Estoc´astica do Tamanho de um Ramo):

Pnp(|C(1)| ≥ k) ≤ Pn,p(T≥ ≥ K)

,ou seja, |C(1)| ≥ k T≥

(13)

Onde T≥é o total de filhos de um Processo de Ramifica¸cão Binomial com parâmetros n e p, e Pλ é a lei para ERn(λ_n). Portanto Z≥k = 0 quando, |Cmax| ≤ k

Teorema 3.2:(Limite Inferior na Maior Componente Subcr´ıtica) Fixamos λ < 1. Ent˜ao para todo a > _I1

λ, existe δ = δ(a, λ) tal que,

Pλ(|Cmax| ≤ a · log(n)) = O(n−δ)

Vis˜ao Global do Teorema: Esse teorema diz que |Cmax| ≥ a · log(n) com alta

probabilidade para qualquer a < _I1

λ, onde Iλ = λ − 1 − log(λ)

Estratégia para demonstra¸cão: Usamos a nota¸cão: χ≥k(λ) = Eλ[|C(v)| I{|C(v)|≥k}]

e tamb´em fazemos o uso da seguinte preposi¸c˜ao,

• Preposi¸c˜ao: (A estimativa de varia¸c˜ao de Z≥k em termos de χ≥k(λ)) Para todo n e

K ∈ [n]

V arλ(Z≥k) ≤ n · χ≥k(λ).

Assim, enunciados os dois principais teoremas da se¸c˜ao podemos dar in´ıcio ao Com-portamento Cr´ıtico.

(14)

O Comportamento Cr´ıtico

Nessa se¸c˜ao vamos estudar o comportamento da maior componente conexa de ERn(λ_n)

para p = 1_n

Teorema 1:(Grande Cacho Cr´ıtico)

Pegamos λ = 1 + θn−13 , onde θ ∈ R. Existe uma constante b = b(θ) > 0 tal que,

para todo ω > 1, P_1+θn−1 3 (ω −1_n2 3 ≤ |C_max| ≤ ωn 2 3) ≥ 1 − b ω

Vis˜ao Global do Teorema:

Esse Teorema mostra que a Grande Compoente Conexa obedece uma escala n˜ao trivial. Quando |Cmax| ´e logariticamente pequeno no Regime Subcr´ıtico, λ < 1, e

|Cmax| = θP(n) no Regime Supercr´ıtico, λ > 1, na valor cr´ıtico, λ = 1, vemos que

o maior cacho ´e θP(n

2

3). O resultado do Teorema 1 mostra que a vari´avel aleat´oria

|Cmax| n

−2

3 ´e ’apertada’, no sentido de que |C_max| n −2

3 ≤ ω com alta probabilidade,

de modo que, com uma propabilidade consider´avel |Cmax| = θ(n

2 3)

Estrat´egia para Demonstra¸c˜ao:

Come¸camos estudando a extremidade da distribui¸cão do |C(v)| para o caso cr´ıtico, λ = 1. Generalizamos o Teorema da Domina¸cão Estocástica e o Teorema do Limite Inferior na Extremidade de um Cacho para λ = 1 + θn−13 que estão perto do valor

cr´ıtico λ = 1. Vamos usar tamb´em as duas seguintes preposi¸c˜oes: 1. Preposi¸c~ao: (Extremidade dos Cachos Cr´ıticos)

Tome λ = 1 + θn−13 , onde θ ∈ R, e deixe r > 0. Para k ≤ rn 2

3, existe

constantes 0 < c1 < c2 < ∞ onde c1 = c1(r, θ) tal que , minr≤1c1(r, θ) > 0, e

c2 independente para r e θ, tal que, _np seja suficientemente grande, c1 √ k ≤ P1+θn−13 (|C(1)| ≥ k) ≤ c2((θ ∨ 0)n −1 3 + √1 k)

Visão Global da Preposi¸cão:Essa Preposi¸cão implica que o tamanho da extremidade de um cacho cr´ıtico obedece assintoticamente o total de filhos de um Processo de Ramifica¸cão Cr´ıtico. O resultado dessa Preposi¸cão vale somente para valores de k qua não são tão grandes. De fato, quando k > n temos,

(15)

2. Preposi¸c~ao: (Limite do Tamanho Cr´ıtico de um Ramo Esperado) Tome λ = 1 + θn−13 onde θ < 0. Ent˜ao, para todo n > 1,

E1+θn−1₃ [|C(1)|] ≤ n

1 3

|θ|

No Regime Cr´ıtico, pode-se esperar que a expectativa do tamanho de um ramo recebe uma quantidade consider´avel vinda do grande cacho. Isso sugere que, para qualquer v ∈ [n],

E1+θn−1₃ [|C(1)|] ∼ E1+θn−1₃ [|C(v)| Iv∈|Cmax|] = E1+θn−1₃ [|Cmax| Iv∈|Cmax|],

onde ∼ representa a mesma destribui¸c˜ao. Quando |Cmax| = θ(n2/3)

E1+θn−1₃ [|C(v)| Iv∈|Cmax|] ∼ n

2/3

P1+θn−1₃ (1 ∈ Cmax)

Al´em disso, quando |Cmax| = θ(n2/3),

P1+θn−1₃ (v ∈ Cmax) ∼ n

2/3

n = n

−1/3

Portanto ´e intuitivo concluir que,

E1+θn−1₃ [|C(1)| ∼ n1/3

Como foi exposto os principais teoremas do Comportamento Crco vamos dar seg-mento ao assunto falando agora sobre o Regime Supercr´ıtico.

(16)

Regime Supercr´ıtico

Fixamos λ < 1. Escrevemos ζλ = 1 − ηx para a probabilidade de sobrevivˆencia de

um processo aleat´orio de Poisson com m´edia λ

Teorema 1(Lei dos Grandes N´umeros para a Componente Gigante). Fixamos λ < 1. Ent˜ao para todo ν ∈ (1₂, 1),existe δ = δ(ν, λ) > 0 tal que,

Pλ(| |Cmax| − ηλ(n)| ≥ nnu) = O(n)−δ

Vis˜ao Global do Teorema 1:

Podemos interpretar esse Teorema da seguinte forma. Um v´ertice tem uma grande componente conexa com probabilidade ηλ. Portanto, existe ordem ηλ(n) dos v´etices

com grande componente conexa. Esse Teorema implica que quase todos os v´ertices na grande componente conexa s˜ao de fato componentes conexas, e isso chamamos de Componente Gigante.

Estrat´egia para demonstra¸c˜ao: Relembramos que Z≥k = P

v∈[n]

I{|Cv|≥k}é o número de vértices na componente conexa

de tamanho pelo meno k e dividimos a estrat´egia de demonstra¸c˜ao em 4 etapas. Etapa 1: Para Kn = K · log(n) e K suficientemente grande, escrevemos,

Eλ[Z≥kn] = n · Pλ(|Cv| ≥ kn)

Calculamos Pλ(|Cv| ≥ kn) usando a OBS4 e a seguinte preposi¸c˜ao,

Preposi¸c˜ao 1.1: Para Kn≥ a · log(n) onde a > _I1

λ, n suficientemente grande,

Pλ(|Cv| ≥ kn) = ηλ+ O(k_nn)

Etapa 2: Usamos a estimativa de varia¸c˜ao em Z≥k, que implica, para todo ν ∈ (1₂, 1)

|Z≥kn− Eλ[Z≥kn]| ≤ n

ν

Tamb´em usamos a nota¸c˜ao,

χ<k(λ) = Eλ[|Cv| I{|Cv|<k}]

Preposi¸c˜ao 1.2:(A Segunda Estimativa de Varia¸c˜ao em Z≥k).

Para todo n e k ∈ [n],

(17)

Corolário 1.2.1:(Concentra¸cão do Número de Vértices na Grande Componente) Fixamos kn = k · log(n) e ν ∈ (1₂, 1). Então para k grande e todo δ < 2ν − 1,

Pλ(|Z≥kn− n · ηλ| > n

ν_{) = O(n}−δ₎

Etapa 3: Seja J (α, λ) = Ig(α,λ) com g(α, λ) = (1−e

−λ·α₎

α . Ent˜ao J (α, λ) > 0 sempre

que g(α, λ) < 1.

Preposi¸c˜ao 1.3.1:(Lei Exponencial para Ramos Supercr´ıticos menores que ηn_λ) Seja Kn tal que Kn → ∞ enquanto n → ∞. Ent˜ao, para qualquer < ηλ,

Pλ(kn≤ |Cv| ≤ αn) ≤

Corol´ario 1.3.2: Fixemos kn = k · log(n) e α < ηλ e seja δ = k · J (, λ) − 1. Ent˜ao,

para k suficientemente grande, e com probabilidade pelo menos 1 − O(n−δ), n˜ao existe uma componente conexa entre kn e αn.

Etapa 4: Fixemos ν ∈ (1₂, 1), α ∈ (ηλ

2 , ηλ) e pegamos kn= k · log(n) com k

suficien-temente grande. Definimos n como um evento que,

1. |Zkn− n · ηλ| ≤ n

ν_;

2. N˜ao existe v ∈ [n] tal que Kn ≤ |Cv| ≤ αn.

Lema 1.4.1:(|Cmax| ´e igual a Z≥k com alta probabilidade).

Fixemos α ∈ (ηλ

2, ηλ). O evento n ocorre com alta probabilidade, ou seja, com δ o

m´ınimo de δ(k, α) no Color´ario 1.3.2 e δ(k, v) no corol´_{ario 1.2.1, P}λ(cn) = O(n−δ),

e |Cv| = Z≥kn no evento n.

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Referˆencias

1. R. Durett Random Graph Dynamics Cambridge University Press, http://www.math.duke.edu/ rtd/RGD/RGD.html 2. R. Van Der Hofstadt Random Graphs and Complex

Networks. (lecture notes in preparation) available on http://www.win.tue.nl/rhofstad.