Computação Gráfica. Aula #2: Elementos de geometria computacional.

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Computação Gráfica

Aula #2: Elementos de geometria computacional.

MSc. Tomás Orlando Junco Vázquez ISUTIC - 2017

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Bibliografía recomendada

FOLEY, J. et al. - Computer Graphics: Principles and Practice; 3ª ed.; New York: Addison-Wesley, 2014.

CORMEN, Thomas H. et al – Introduction to Algorithms; 2ª ed.; EEUU, 2001.

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Aula de hoje

• Pontos.

• Segmentos de reta. • Vetores.

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Objetivo

Caracterizar os elementos básicos da geometria computacional.

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Estruturas de Dados

Pontos class Ponto2D{ int x, y; } class Ponto3D{ int x, y, z; }

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Estruturas de Dados

Polígonos Retas class Poligono{ Ponto2D points[N]; } class Reta{ float m; float b; } y = mx + b

Ecuación analítica de la recta

Equação analítica da reta

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Estruturas de Dados

A equação analítica precisa o cálculo de uma pendente

m = (p₁.y - p₀.y) / (p₁.x - p₀.x)

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Estruturas de Dados

Retas class Reta{ Ponto2D p0, d; } p = p0 + t * d

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Estruturas de Dados

Retas

p = p0 + t * d

Equação paramétrica da reta

p0

p1 d = p1 – p0

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Estruturas de Dados

Retas

p = p0 + t * d

p0

p1 d = p1 – p0

t = 0

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Estruturas de Dados

Retas

p = p0 + t * d

p0

p1 d = p1 – p0

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Estruturas de Dados

Retas

p = p0 + t * d

p0

p1 d = p1 – p0

t = 0.5

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Estruturas de Dados

Retas

p = p0 + t * d

p0

p1 d = p1 – p0

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Estruturas de Dados

Retas

p = p0 + t * d

p0

p1 d = p1 – p0

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Segmento

Uma combinação convexa de dois pontos distintos p₁ = (x₁, y₁) e p₂ = (x₂, y₂) é cualquier ponto p₃ = (x₃, y₃) tal que, para algum t na faixa 0 ≤ t ≤ 1, temos que

x₃ = t*x₁ + (1-t)*x₂ e y₃ = t*y₁ + (1-t)*y₂ Escrevemos também

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Segmentos y Vetores

Dados dois pontos distintos p₁ e p₂, o segmento

de recta p₁p₂ é o conjunto de combinações

convexas de p₁ e p_2.

Denominamos p₁ e p₂ extremidades do segmento

p₁p₂.

Falamos do segmento dirigido p₁p₂, e este é diferente de p₂p₁ em quando a sentido.

Se p₁ é a origem (0,0) podemos tratar o

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Estruturas de Dados

Segmentos

class Segmento{

Ponto2D p1, p2; }

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Produtos cruzados

Considerendo os vetores p₁ e p₂ da imagem, podemos interpretar o produto cruzado p₁xp₂ como a área do paralelogramo formado pelos pontos (0,0), p₁, p₂ e p₁+p₂.

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Produtos cruzados

Uma definição equivalente, porém mais útil, dá o

produto cruzado p₁xp₂ como o determinante de uma matriz:

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Produtos cruzados.

Se p₁xp₂ é positivo, então p₁ está em sentido horário em relação a p₂ em relação à origen (0, 0); se p₁xp₂ é negativo, então p₁ está em sentido anti-horário em relação a p₂.

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Interseção de segmentos

Uma forma de determinar interseção de

segmentos é usando a equação paramétrica das retas que contêm aos segmentos. Mas esta

variante é propensa a erros numéricos de cálculo. Se não se requer conhecer o ponto exato de

interseção, uma forma comum está baseada no conceito de orientação de pontos.

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Três pontos sobre um plano podem estar: 1. Sobre uma mesma reta.

(23)

Três pontos sobre um plano podem estar:

2. Orientados no sentido horario (CW – Clockwise).

(24)

Três pontos sobre um plano podem estar:

3. Orientados em sentido anti-horário (CCW – Counter Clockwise).

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Vejamos que sucede quando dois segmentos se

intersectan:

L

S

As extremidades de L estão em lados diferentes de S.

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L

S

As extremidades de L estão em lados diferentes de S. As extremidades de S estão no mesmo lado de L.

Interseção de segmentos

Vejamos que sucede quando dois segmentos não

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L

S

As extremidades de L estão no mesmo lado de S.

Interseção de segmentos

Vejamos que sucede quando dois segmentos não

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boolean INTERSECT(Segmento L, Segmento S){ return !SAMEPLACE(L.p1, L.p2, S) &&

!SAMEPLACE(S.p1, S.p2, L); }

Esta solução ainda não cobre todos os casos.

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L

S

Interseção de segmentos

Vejamos os casos extremos:

S L

L S

(30)

¿Como saber se dois pontos estão do mesmo lado de um segmento? S S.p1 S.p2 p1 p2

Interseção de segmentos

(31)

¿Como saber se dois pontos estão do mesmo lado de um segmento? S S.p1 S.p2 p1 S.p1, S.p2, p1 estão orientados CW

Interseção de segmentos

(32)

¿Como saber se dois pontos estão do mesmo lado de um segmento? S S.p1 S.p2 p1 p2 S.p1, S.p2, p2 estão orientados CW

Interseção de segmentos

(33)

¿Como saber se dois pontos estão do mesmo lado de um segmento? S S.p1 p1 p2 S.p1, S.p2, p1 estão orientados CW

Interseção de segmentos

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¿Como saber se dois pontos não estão do mesmo lado de um segmento?

S S.p1 S.p2 p1 p2 S.p1, S.p2, p2 estão orientados CCW

Interseção de segmentos

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A ferramenta Produto Cruzado aplica-se só a vetores. Por isso precisaremos realizar uma translação até colocar p₀ em (0;0).

Determinando o sentido da rotação

(x_0;y₀)

(x_1;y₁)

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Para realizar a translação restamos p₀ à cada ponto. O resultado mostra-se em vermelho:

Determinando o sentido da rotação

(x_0;y₀) (x_1;y₁) (x_2;y₂) (0;0) (x₁–x_0;y₁–y₀) (x₂–x_0;y₂–y₀)

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Uma vez transladados os pontos podemos proceder a calcular o produto cruzado dos vetores v₁ y v₂.

Determinando o sentido da rotação

(x₁–x_0;y₁–y₀)

(x₂–x_0;y₂–y₀)

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Determinando o sentido da rotação

S.p₁xp₂ = (x₁–x₀) * (y₂–y₀) - (x₂–x₀) * (y₁–y₀)

int DIRECTION(Ponto2D p0, Ponto2D p1, Ponto2D p2){

return Math.signum((p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y));

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¿Como saber se dois pontos estão do mesmo lado de um segmento?

Interseção de segmentos

boolean SAMEPLACE(Ponto2D p1, Ponto2D p2, Segmento S){

return DIRECTION(S.p1, S.p2, p1) == DIRECTION(S.p1, S.p2, p2);

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Interseção de segmentos

boolean INTERSECT(Segmento L, Segmento S){ int d1 = DIRECTION(S.p1, S.p2, L.p1);

int d2 = DIRECTION(S.p1, S.p2, L.p2); int d3 = DIRECTION(L.p1, L.p2, S.p1); int d4 = DIRECTION(L.p1, L.p2, S.p2); if(d1*d2 < 0 && d3*d4 < 0) return true;

if(d1 == 0 && ONSEGMENT(S, L.p1)) return true; if(d2 == 0 && ONSEGMENT(S, L.p2)) return true; if(d3 == 0 && ONSEGMENT(L, S.p1)) return true; if(d4 == 0 && ONSEGMENT(L, S.p2)) return true; return false;

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Interseção de segmentos

boolean ONSEGMENT(Segmento S, Ponto2D P){

return min(S.p1.x, S.p2.x) <= P.x <= max(S.p1.x, S.p2.x) &&

min(S.p1.y, S.p2.y) <= P.y <= max(S.p1.y, S.p2.y); }

O procedimento ONSEGMENT assume que o segmento S e o ponto P são colineares.

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Exercicio 1

Sejam os pontos:

P₀=(234;8), P₁=(-45;349), P₂=(600;-80), P₃=(1000;-45). a. Interceptam-se os segmentos P₀P₁ e P₂P₃?

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Exercicio 2

Aplicando a primeira definição de Produto Cruzado de vetores, determine o área dos seguintes triângulos: a. P₀=(8;8), P₁=(-6;-4), P₂=(8;-4)

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Exercicio 3

Aplicando a primeira definição de Produto Cruzado de vetores, determine o área dos seguintes cuadriláteros:

a. P₀=(2;3), P₁=(0;0), P₂=(-1;-1), P₃=(-8;-3) b. P₀=(2;3), P₁=(5;0), P₂=(-1;-1), P₃=(-8;-3)

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Tarefa

Implemente em Java uma programa para determinar o área de:

a. Qualquer triângulo dados seus vértices.

b. Qualquer cuadrilátero dados seus vértices em sentido anti-horário.

c. Qualquer polígono dados seus vértices em sentido anti-horário.

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