Instrucões
• Utilize um método randômico1 para selecionar 5 das 20 questões que irão compor sua prova.
Por exemplo, simule o lançamento de um dado de 20 faces (www.roll-dice-online.com) para obter 5 números distintos entre 1 e 20. No Excel, use "=ALEATÓRIOENTRE(1;20)"2. No R, use a sequência de comandos "n<-1:20; sample(n,5,TRUE)"3.
• Data limite para entregar a prova: 21/11/2018 (quarta-feira).
• A prova pode ser enviada para o e-mail anapaula@ana.mat.br em PDF.
Questões
1. Amostras de emissões de três fornecedores são classificadas com relação a satisfazer as especificações de qualidade do ar. Os resultados de 100 amostras são resumidos a seguir:
Conforme Sim Não Fornecedor 1 22 8 2 25 5 3 30 10
Seja A o evento em que uma amostra seja proveniente do fornecedor 1 e B o evento em que uma amostra atende às especificações.
(a) 3 pontos Os eventos A e B são independentes? Justifique. (b) 2 pontos Determine P(B|A).
2. A probabilidade de um espécime de laboratório conter altos níveis de contaminação é 0,10. Cinco amostras são verificadas, sendo elas independentes.
(a) 1 ponto Qual é a probabilidade de nenhum espécime conter altos níveis de contaminação? (b) 2 pontos Qual é a probabilidade de exatamente um espécime conter altos níveis de
contaminação?
(c) 2 pontos Qual é a probabilidade de pelo menos um espécime conter altos níveis de contaminação?
1Na verdade, pseudo-randômico! Pesquise. 2Essa função não exclui a repetição.
3. Em uma titulação ácido-base, uma base ou um ácido é gradualmente adicionado ao outro até que ambos estejam completamente neutralizados entre si. Uma vez que ácidos e bases são geralmente incolores (como são a água e o sal produzidos na reação de neutralização), o pH é medido para monitorar a reação. Suponha que o ponto de equivalência seja alcançado depois de aproximadamente 100 mL de uma solução de NaOH ter sido adicionada (o suficiente para reagir com todo o ácido acético presente), mas que réplicas sejam igualmente prováveis de indicar valores entre 95 e 104 mL, medidos com a precisão do mL. Considere que dois técnicos conduzam a titulação de forma independente.
(a) 1 ponto Qual é a probabilidade de ambos os técnicos obterem equivalência em 100 mL? (b) 2 pontos Qual é a probabilidade de ambos os técnicos obterem equivalência entre 98 e
104 mL (inclusive)?
(c) 2 pontos Qual é a probabilidade de o volume médio na equivalência ser de 100 mL, medido pelos dois técnicos?
4. Um inspetor, que trabalha para uma companhia de manufatura, tem uma chance de 99% de identificar corretamente itens defeituosos e uma chance de 0,5% de classificar incorretamente um item bom como defeituoso. A companhia tem evidência de que sua linha produz 0,9% de itens não conformes.
(a) Qual é a probabilidade de um item selecionado para inspeção ser classificado como defeituoso?
(b) Se um item selecionado ao acaso for classificado como não defeituoso, qual será a probabilidade de que ele seja realmente bom?
5. 5 pontos Uma urna contém α1 bolas brancas e β1 bolas vermelhas. Outra urna contém α2
bolas brancas e β2 vermelhas. Passa-se uma bola, escolhida ao acaso, da primeira para a
segunda urna, e, em seguida, extrai-se uma bola desta última, também ao acaso. Pergunta-se: qual a probabilidade de que a bola escolhida seja branca?
6. Suponha que um pequeno armário contenha três gavetas. A primeira gaveta contém duas cédulas de US$1, a segunda contém duas cédulas de US$100 e a terceira contém uma cédula de US$1 e uma cédula de US$100. Suponha que, inicialmente, uma gaveta seja selecionada ao acaso e, em seguida, uma das duas cédulas contidas nessa gaveta seja selecionada ao acaso. Podemos definir esses eventos:
A = a primeira gaveta é selecionada B = a segunda gaveta é selecionada C = a terceira gaveta é selecionada D = uma cédula de US$1 é selecionada
(a) 1 ponto Suponha que quando você selecionou aleatoriamente uma gaveta e, em seguida, uma cédula de dentro daquela gaveta, a cédula que você obteve foi a cédula de US$1. Qual é a probabilidade de que a segunda cédula dessa gaveta seja de US$100? Em outras palavras, encontre a probabilidade de P (C|D), uma vez que, para que a segunda cédula seja a de US$100, ela tem que ser a terceira gaveta. Responda essa questão intuitivamente, sem fazer cálculos.
(b) 2 pontos Utilize o conceito de frequência relativa da probabilidade, para estimar P (C|D), da maneira a seguir apresentada. Inicialmente, selecione uma gaveta jogando um dado uma única vez. Caso o resultado seja 1 ou 2, a primeira gaveta é selecionada; se o resultado for 3 ou 4, é selecionada a segunda gaveta; e se o resultado for 5 ou 6, a terceira gaveta é selecionada. Sempre que ocorrer C, selecione, então uma cédula jogando uma moeda uma única vez. (Observe que, se ocorrerem os resultados A ou B, você não precisa lançar a moeda, uma vez que cada uma dessas gavetas contém ambas as cédulas de igual valor.) Caso você obtenha cara, suponha que você selecionou uma cédula de US$1; caso obtenha uma coroa, suponha que você selecionou uma cédula de US$100. Repita esse processo 100 vezes. Em quantas vezes, dessas 100 repetições o evento D ocorre? Em que proporção do tempo C ocorre quando D ocorreu? Utilize essa proporção para estimar P (C|D). Essa estimativa apoia a sua suposição de P (C|D) no item (a)?
Observação: Você pode usar qualquer simulador de lançamento dados4 e de moedas5. Ou usar o R ou Excel para simular os lançamentos.
(c) 2 pontos Calcule P (C|D), utilizando os procedimentos visto em sala de aula (um diagrama de árvore pode ser útil). Sua estimativa no item (b) estava próxima desse valor? Explique. 7. Os dados provenientes de 200 reações endotérmicas, envolvendo bicarbonato de sódio, estão
resumidos a seguir: Calcule a função de probabilidade da temperatura final. Condições Finais de Temperatura Número de Reações
266 K 48
271 K 60
274 K 92
8. As probabilidades de qualidade ruim de impressão por causa de problemas na impressora, no desalinhamento de papel, na alta viscosidade da tinta ou no cabeçote da impressora são 0; 0,3; 0,4 e 0,6, respectivamente. As probabilidades de nenhum problema na impressora, no papel desalinhado, na alta viscosidade da tinta ou no cabeçote são 0,8; 0,02; 0,08 e 0,1, respectivamente.
4www.random.org/dice 5www.random.org/coins
(a) 2 pontos Determine a probabilidade de alta viscosidade na tinta, dada a qualidade ruim de impressão.
(b) 3 pontos Dada a qualidade ruim de impressão, qual o problema mais provável?
9. Erros em um canal experimental de transmissão são encontrados quando a transmissão é verificada por um certificador que detecta pulsos que faltam. O número encontrado de erros em um byte de 8 bits é uma variável aleatória com a seguinte distribuição:
f (x) = 0 x < 1 0, 7 1 ≤ x < 4 0, 9 4 ≤ x < 7 1 7 ≤ x Determine cada uma das seguintes probabilidades:
(a) 1 ponto P (X ≤ 4) (b) 1 ponto P (X > 7) (c) 1 ponto P (X ≤ 5) (d) 1 ponto P (X > 4) (e) 1 ponto P (X ≥ 2)
10. 5 pontos Árvores são sujeitas a diferentes níveis de atmosfera de dióxido de carbono com 6% das árvores em uma condição mínima de crescimento a 350 partes por milhão (ppm) de CO2,
10% a 450 ppm (crescimento lento) de CO2, 47% a 550 ppm (crescimento moderado) de CO2 e
37% a 650 ppm (crescimento rápido) de CO2. Qual é a média e o desvio-padrão da atmosfera
de dióxido de carbono (em ppm) para essas árvores em ppm?
11. 5 pontos Medidas de espessura em um processo de recobrimento são feitas com a precisão de centésimo de milímetro. As medidas de espessura estão uniformemente distribuídas, com valores 0,15; 0,16; 0,17; 0,18 e 0,19. Determine a média e a variância da espessura de recobrimento para esse processo.
12. 5 pontos Os comprimentos de peças planas de vidro são medidos com a precisão de décimo de milímetro. Os comprimentos estão uniformemente distribuídos, com valores em cada décimo de um milímetro começando em 590,0 e continuando até 590,9. Determine a média e a variância dos comprimentos.
13. Considere as reações endotérmicas no Exercício 7. Um total de 20 reações independentes deverá ser conduzido.
(a) 1 ponto Qual é a probabilidade de que exatamente 12 reações resultem em uma temperatura final menor do que 272 K?
(b) 1 ponto Qual é a probabilidade de que no mínimo 19 reações resultem em uma temperatura final menor do que 272 K?
(c) 1 ponto Qual é a probabilidade de que no mínimo 18 reações resultem em uma temperatura final menor do que 272 K?
(d) 2 pontos Qual é o número esperado de reações que resulta em uma temperatura final menor que 272 K?
14. O número de chamadas telefônicas que chegam a uma central é frequentemente modelado como uma variável aleatória de Poisson. Considere que, em média, há 10 chamadas por hora.
(a) 1 ponto Qual é a probabilidade de que haja exatamente cinco chamadas em uma hora? (b) 1 ponto Qual é a probabilidade de que haja três ou menos chamadas em uma hora?
(c) 1 ponto Qual é a probabilidade de que haja exatamente 15 chamadas em duas horas? (d) 2 pontos Qual é a probabilidade de que haja exatamente cinco chamadas em 30 minutos? 15. A função densidade de probabilidade do tempo (em minutos depois das 8h) em que clientes
chegam a um terminal é f (x) = e−x/10/10 para 0 < x. Determine a probabilidade de (a) 1 ponto O primeiro cliente chegar até às 9h.
(b) 1 ponto O primeiro cliente chegar entre 8h15min e 8h30min.
(c) 1 ponto Dois ou mais clientes chegarem antes das 8h40min, entre os cinco que chegam ao terminal. Considere que as chegadas dos clientes sejam independentes.
(d) 2 pontos Determine a função de distribuição cumulativa e use-a para determinar a probabilidade de o primeiro cliente chegar entre 8h15min e 8h30min.
16. 5 pontos A largura do espaçamento é uma propriedade importante em um cabeçote magnético de gravação. Em unidades codificadas, se a largura for uma variável aleatória contínua ao longo da faixa de 0 < x < 2, com f (x) = 0, 5x, determine a função densidade de probabilidade da largura do espaçamento.
17. 5 pontos Suponha que o tamanho (em micrômetros) de uma partícula de contaminação possa ser modelado como f (x) = 2x − 3 para 1 < x. Determine a média de X. O que você pode concluir sobre a variância de X?
18. O volume de um xampu dentro de um frasco está uniformemente distribuído entre 374 e 380 mililitros.
(a) 1 ponto Quais são a média e o desvio-padrão do volume de xampu?
(b) 1 ponto Qual é a probabilidade de o frasco estar cheio com menos do que o valor nominal de 375 mililitros?
(d) 2 pontos Cada mililitro de xampu custa US$0,002 ao produtor. Mais de 375 mililitros representam um custo extra para ele. Qual é o custo extra médio?
19. O tempo de recarga, sob condições normais, de uma bateria de um laptop é distribuído normalmente, com uma média de 260 minutos e um desvio-padrão de 50 minutos.
(a) 1 ponto Qual é a probabilidade de a bateria durar mais de quatro horas? (b) 2 pontos Quais são os quartis (os valores de 25% e 75%) da vida da bateria?
(c) 2 pontos Qual é o valor da vida, em minutos, que é excedido com 95% de probabilidade? 20. O volume de enchimento de uma máquina automática de enchimento usada para encher latas de bebidas gasosas é distribuído normalmente, com uma média de 12,4 onças fluidas6 e um desvio-padrão de 0,1 onça fluida.
(a) 1 ponto Qual é a probabilidade de o volume de enchimento ser menor que 12 onças fluidas?
(b) 1 ponto Se todas as latas menores que 12,1 ou maiores que 12,6 onças forem rejeitadas, que proporção de latas será rejeitada?
(c) 2 pontos Determine as especificações que sejam simétricas em torno da média, que incluam 99
