SIMULAÇÃO DE FISSURAÇÃO RADIAL UTILIZANDO ELEMENTOS ENRIQUECIDOS

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SIMULAC

¸ ˜

AO DE FISSURAC

¸ ˜

AO RADIAL UTILIZANDO ELEMENTOS

ENRIQUECIDOS

D. Dias-da-Costa1∗, J. Veludo2, J. Alfaiate3e E. J ´ulio3

1: INESCC, DEC Universidade de Coimbra, P´olo 2 2: ICIST, DEC Inst. Polit´ecnico de Leiria, Campus 2

3: ICIST, DEC Universidade T´ecnica de Lisboa

e-mail: dcosta@dec.uc.pt, joao.veludo@ipleiria.pt, alfaiate@civil.ist.utl.pt, ejulio@dec.uc.pt

Palavras - chave: Fissuração Radial, Descontinuidades Discretas, Modelo Axissimétrico, Des-continuidade Forte, Fissura Coesiva

Resumo. Existem várias situações em que se verifica o desenvolvimento de fissuras radiais que podem levar à rotura por splitting em elementos de betão. Alguns exemplos incluem: i) condutas de betão com pressão interna elevada; e ii) varões de aço nervurados em vigas de betão armado sujeitos a tensões de aderência elevadas. Observa-se, neste último caso, a formação de um modelo em cone escora-tirante, ao longo do varão, induzido pela presença das nervuras. Quando a componente circunferencial da tensão ultrapassa a capacidade resistente do betão à tracção, há formação e propagação de fissuras radiais em ambas as situações. Existem abordagens anal´ıticas capazes de simular as situações anteriormente descritas recor-rendo a um modelo de anéis de betão. Estas abordagens apresentam limitações, nomeadamente por não avaliarem a evolução da fissura ao longo da espessura do elemento. Neste artigo, apresenta-se uma contribuição no sentido de incluir este aspecto, i.e., de permitir a simulação numérica da rotura por propagação de fissuras radiais. Utiliza-se uma abordagem forte de fenda discreta para embeber fissuras coesivas num corpo axissimétrico. Os saltos circunferen-ciais são considerados constantes, por simplicidade, no interior de cada elemento finito, sendo transferidos para elementos vizinhos através de movimento de corpo r´ıgido. A formulação obtida é simétrica no caso de se adoptarem leis constitutivas igualmente simétricas.

Prova-se através de exemplos numéricos: i) a ausência de stress locking; e ii) a independência da malha. Estabelece-se também comparação com duas abordagens anal´ıticas existentes. Por último, simulam-se condutas de betão, com e sem armadura, sujeitas a pressão interna cres-cente, verificando-se boa concordância até à rotura com os valores experimentais.

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1 ENQUADRAMENTO

O desenvolvimento de fissuras radiais pode, em várias situações, levar à rotura por splitting em elementos de betão, e.g. i) condutas de betão com pressão interna considerável e ii) varões de aço nervurados de vigas de betão armado sujeitos a tensões de aderência elevadas.

Algumas abordagens anal´ıticas permitem simular a presença deste tipo de fissuração [1–3], no entanto, por reduzirem o problema a um anel que se repete em profundidade, estas abordagens não são capazes de descrever o desenvolvimento das fissuras ao longo do eixo longitudinal do provete. Além disso, são de aplicação é muito restrita devido a simplificações decorrentes da sua formulação.

Este artigo apresenta uma formulação numérica para a simulação da rotura por splitting com desenvolvimento de fissuras radiais. Adopta-se uma abordagem de fissura discreta para em-beber fissuras coesivas longitudinais num corpo axissimétrico. Os saltos circunferenciais são considerados constantes em cada elemento enriquecido e são transmitidos por movimento de corpo r´ıgido aos elementos vizinhos. A formulação é variacionalmente justificada.

Nesta secção apresenta-se a descrição do problema, incluindo a cinemática da descontinuidade forte e o princ´ıpio variacional que o rege. Na secção 2 apresentam-se as questões relacionadas com a implementação num programa de elementos finitos, incluindo a discretização, a propaga-ção e os modelos constitutivos. Na secpropaga-ção 3 aplica-se a formulapropaga-ção a um exemplo elementar, estabelece-se comparação com duas abordagens anal´ıticas existentes [3, 4] e simulam-se ensaios experimentais, à rotura, de condutas de betão simples e armado [3]. Por último, na secção 4, apresentam-se as conclusões principais.

1.1 Descric¸˜ao do problema

A microfissuração radial que surge num corpo axissimétrico (Fig. 1(a)) é considerada concen-trada em superf´ıcies de espessura nula, designadas descontinuidades fortes, assim que a tensão circunferencial iguala a resistência à tracção do material [5–8]. As descontinuidades seguem uma lei constitutiva tracção vs. abertura de fissura com amolecimento, verificando-se a redução progressiva da tensão no cont´ınuo por equil´ıbrio. A separação total do elemento em gomos (Fig. 1(b)) ocorrerá para um estado avançado de fissuração.

1.2 Cinem´atica da descontinuidade

A Fig. 1(a) representa um corpo axissim´etrico segundo z, contendo nd descontinuidades radiais embebidas e uniformemente espac¸adas.

As forças de massa ¯b são aplicadas de forma quase estática. As condições de fronteira naturais, ¯t, encontram-se distribu´ıdas na superf´ıcie da fronteira exterior, Γt, enquanto que as condições de fronteira essenciais, ¯u, são aplicadas emΓu, tal queΓt∪Γu=ΓeΓt∩Γu= ∅.

O deslocamento total, u, é composto por uma parte regular, û, e por uma parte enriquecida, ˜u: u(x) = û(x) + ˜u(x) emΩ\Γd. (1) O deslocamento enriquecido é induzido pela abertura das descontinuidades, postulando-se que a

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z Γi d Ω Γd= nd S i=1 Γi d r θ (a) θ z r (b)

Figura 1: Dom´ınioΩcontendo nddescontinuidadesΓid: (a) localização; e (b) separação na fase final de propagação

(a parte elástica de deformação foi omitida).

sua transmissão à vizinhança ocorre por movimento de corpo r´ıgido [6, 7]. Consequentemente, é nulo o trabalho produzido pelo campo de tensões devido ao deslocamento enriquecido e, portanto:

εεε=∇∇∇su=∇∇∇sû= ˆεεε emΩ\Γd. (2) Os campos de deslocamento e de deformação representados pelas Eqs. (1) e (2) são cont´ınuos dentro de cada gomo e, devido às condições de axissimetria, são também iguais para todos eles. Estuda-se, desta forma, o plano(r, z), sendo z o eixo de axissimetria e r o raio da fibra (Fig. 1).

A Eq. (3) representa o per´ımetro final, Pf, de cada fibra na posic¸˜ao inicial xir: Pf = Pi+ nd[[u]]θ≡ 2π xir+ ˜ur

= 2πx_ri+ nd[[u]]θ, (3) sendo Pio per´ımetro inicial, e[[u]]θo salto que ocorre em cada descontinuidade activa.

A Eq. (3) baseia-se: i) na transmissão do salto por movimento de corpo r´ıgido; e ii) e no des-prezo da variação do deslocamento circunferencial do cont´ınuo induzido abertura das fissuras. A relação seguinte é obtida da Eq. (3):

˜

ur=

[[u]]_θ

2π/nd

, (4)

onde ˜ur ´e a componente radial do campo de deslocamentos enriquecido.

O campo de deslocamentos enriquecidos pode ser apresentado da seguinte forma (Eq. (4)): ˜u= ( ˜ur, ˜uz) = Mw[[u]]θ, (5) em que Mw= 1 2π/nd , 0 . (6)

(4)

1.3 Princ´ıpio variacional

Adopta-se a formulação variacional apresentada por Malvern [9] para um corpo contendo uma descontinuidade: Z Ω\Γd (∇∇∇sδu) :σσσ(εεε)dΩ+ Z Γd δ[[u]] · t_θdΓ= Z Ω\Γd δu· ¯bdΩ+ Z Ωt δu· ¯tdΩ, (7) ondeδu são as variações admiss´ıveis do deslocamento total,δ[[u]] é o salto na descontinuidade,

e t_θ ´e a tens˜ao na descontinuidade.

A partir da Eq. (7) pode-se obter o sistema de equações variacionais que rege o problema, considerando-se que [6]: i) a variação admiss´ıvel do deslocamento total é δu=δû+δ˜u; ii)

∇∇∇sδ_˜u_{= 0 pela Eq. (1); e iii) tomando-se sucessivamente}δ_˜u_{= 0 e}δ_û_{= 0:} Z Ω\Γd (∇∇∇sδû) :σσσ(ˆεεε)dΩ= Z Ω\Γd δû· ¯bdΩ+ Z Γt δû· ¯tdΓ, (8a) R Γdδ[[u]] · tθdΓ= R Ω\Γdδ˜u· ¯bdΩ+ R Γtδ˜u· ¯tdΓ. (8b) 2 IMPLEMENTAÇ ÃO

Nesta secção deduzem-se as equações discretizadas e apresenta-se a sua implementação. Seguida-mente, ilustram-se os critérios de propagação das fissuras e descreve-se a relação constitutiva adoptada.

2.1 Discretizac¸˜ao

Seguindo o processo de discretização usual dos elementos finitos [6–8], as Eqs. (8a) e (8b) conduzem a: Ke_{a ˆ}_ˆ_ad âe= dˆfe, (9a) K_dedwe_θ= d ˜f_θe, (9b) onde: Ke_{a ˆ}_ˆ_a= Z Ωe_\Γe d BeTDeBedΩe, (10) K_de= Z Γe d T_θθedΓe (11)

e as forc¸as exteriores s˜ao:

dˆfe= Z Ωe_\_Γe d NeTd ¯bedΩe+ Z Γe t NeTd¯tedΓe, (12a) d ˜f_θe= Z Ωe_\_Γe d MwTd ¯bedΩe+ Z Γe t MwTd¯tedΓe. (12b)

(5)

Nas Eqs. (9a) a (12b) (·)e relaciona (·) ao elemento finito correspondente, Ne é constitu´ıdo pelas funções de forma do elemento, âee ãesão, respectivamente, os graus de liberdade nodais associados com ûe e ˜ue, e we_θ é o grau de liberdade do elemento associado à abertura de cada descontinuidade; Mek_w é uma matriz coluna contendo Mw, agrupado em linhas, avaliado em cada um dos nós do elemento finito. T_θθe é a relação constitutiva da descontinuidade de acordo com a lei material adoptada. Assumem-se nulas todas as restantes componentes de Te.

O sistema de Eqs. (9a) e (9b) encontra-se desacoplado, estando a Eq. (9a) relacionada com o cont´ınuo e a Eq. (9b) com as descontinuidades. Estas equações podem ser acopladas tendo em atenção que âe= ae− ãe= ae− Mekwweθ, conduzindo ao seguinte sistema de equações:

Ke_{a ˆ}_ˆ_adae− Ke_awdwe_θ= dˆfe, (13a) −Kewadae+ K_de+ Mekw T Ke_{a ˆ}_ˆ_aMek_w dwe_θ= 0, (13b) onde: Ke_aw= Ke_{a ˆ}_ˆ_aMek_w (14) e Ke_wa= Ke_awT. (15)

Em termos de implementação numérica opta-se por efectuar a condensação do sistema de equações, eliminando dwe_θ. Torna-se assim poss´ıvel manter o número de graus de liberdade ape-sar do enriquecimento progressivo dos elementos com a propagação das fissuras. A Eq. (13b) é assim utilizada para explicitar dwe_θ:

dw_θe =K_de+ Mek_wTK_{a ˆ}e_ˆ_aMek_w−1Ke_wadae, (16)

o qual ´e substitu´ıdo na Eq. (13a):

Ke_{a ˆ}_ˆ_a− Keaw K_de+ Mekw T Ke_{a ˆ}_ˆ_aMek_w −1 Ke_wa | {z } Ke con dae= dˆfe, (17)

obtendo-se o sistema condensado:

Ke_condae= dˆfe. (18) Refere-se que a condensação adoptada é semelhante à utilizada em outras abordagens de fissuras embebidas [10–16].

2.2 Propagac¸˜ao

Cada descontinuidade é inserida atravessando por completo o elemento finito enriquecido. O momento da inserção é identificado quando a tensão circunferencial,σ_θ, avaliada no centróide do elemento, iguala a resistência à tracção do material. A partir deste momento, o elemento é enriquecido e a tensão na descontinuidade é obtida directamente da lei constitutiva respectiva.

(6)

O número de descontinuidades activas não pode ser determinado por uma análise bidimensional uma vez que depende da fragilidade do provete [17]. Assim sendo, este parâmetro deverá ser definido de acordo com o problema em estudo. Por exemplo, em provetes de betão observam-se geralmente duas fissuras activas responsáveis pela dissipação de energia Noghabai [18].

2.3 Relac¸˜ao Constitutiva

O meio cont´ınuo é assumido linear elástico e a lei constitutiva da descontinuidade é seguinte: t_θ= (1 − d)k_θw_θ, (19) onde d é uma variável de dano escalar (0 ≤ d ≤ 1) e k_θ é uma componente de rigidez circun-ferencial que evita a sobreposição das faces da fissura quando ocorre o fecho da mesma. A função de carregamento é definida da seguinte forma:

f = w_θ−κ, (20)

ondeκ ´e uma vari´avel de dano escalar definida por:

κ= max hw_θi+, κ≥ 0, κ˙ ≥ 0, (21) Consideram-se duas func¸˜oes de dano:

- i) exponencial d= d(κ) = 1 − ft0 κk_θexp −ft0 GF κ, (22) -ii) linear d= d(κ) = ( 1− ft0 κk_θ 1− ft0 2GFκ seκ< 2GF ft0 1 no caso contr´ario , (23)

em que ft0 é a resistência à tracção do material e GF é a energia de fractura do material. 3 APLICAÇ ÃO

Nesta secção apresenta-se um exemplo elementar no sentido de ilustrar a independência da malha e a ausência de locking. Seguidamente, estabelece-se uma comparação com resultados anal´ıticos e, por último, efectua-se uma simulação de ensaios experimentais.

3.1 Exemplo elementar

Considera-se o esquema estrutural representado na Fig. 2 e quatro malhas diferentes: i) trˆes malhas estruturadas contendo, respectivamente, 2, 5 e 20 elementos finitos bilineares (Fig. 2, Figs. 3(a) e 3(b)); e ii) uma malha n˜ao estruturada contendo 28 elementos finitos lineares (Fig. 3(c)).

As propriedades materiais são as seguintes (secção 2.3): módulo de Young E= 15000 N/mm2; coeficiente de Poissonν= 0; resistência à tracção ft0 = 4.0 N/mm2; energia de fractura GF =

(7)

pi

R

2.5R 2.5R

z

R

Figura 2: Esquema estrutural.

(a) (b)

(c)

Figura 3: Malha adoptada com: (a) 5; (b) 20 elementos finitos bilineares; (c) 28 elementos finitos lineares.

0.125 N/mm e penalizac¸˜ao k_θ= 1010 _N/mm3_{. Adopta-se a lei de amolecimento exponencial}

apresentada na secção 2.3 com nd= 2 (secção 2.2) quando o critério de abertura é atingido. A Fig. 4(a) representa o deslocamento radial vs. pressão interna. Conclui-se que o amoleci-mento é descrito de forma idêntica por todas as malhas. No entanto, ampliando-se a zona da carga máxima (Fig. 4(b)), observa-se que as malhas menos refinadas sobrestimam ligeiramente a pressão máxima.

3.2 Comparação com formulações anal´ıticas

A malha representada na Fig. 3(b) da secção 3.1 é agora utilizada para estabelecer comparações com as soluções anal´ıticas de Noghabai [3] e de Nielsen e Bićanić [4]. As abordagens de-senvolvidas por estes autores descrevem a fissuração radial causada por um varão nervurado in-cluindo algumas simplificações, nomeadamente: i) Nielsen e Bićanić [4] consideraram desloca-mentos radiais no anel fissurado (interior) de acordo com uma distribuição linear-elástica, apli-cando subsequentemente a lei de amolecimento exponencial à tensão circunferencial; ii) Nogha-bai [3] assumiu deslocamentos radiais constantes no anel fissurado, aplicando seguidamente uma lei de amolecimento linear.

(8)

3 5 0 0.0125 0.025 0.0375 0.05 pi / ft0 Deslocamento radial - ur(mm) estruturada (5 elem.) estruturada (20 elem.) n˜ao estruturada (28 elem.) estruturada (2 elem.) 0 1 2 4 (a) 4 0.003 0.0045 0.006 0.0075 pi / ft0 Deslocamento radial - ur(mm) estruturada (5 elem.) estruturada (20 elem.) n˜ao estruturada (28 elem.) estruturada (2 elem.) 2.5 3 3.5 0.0015 (b)

Figura 4: Resultados decorrentes da discretização: (a) deslocamento radial vs. pressão interna relativa; (b) detalhe.

radiais no interior do anel fissurado, analisa-se primeiramente esta quest˜ao.

As propriedades do material são idênticas às assumidas no exemplo da secção 3.1. Calcula-se o parâmetro B, proposto por Nielsen e Bićanić [4], para se poder estabelecer uma comparação com os seus resultados:

B=2πR lch ≈ 0.20, lch = EGF f_t02 ≈ 117 mm (24) e B/nd≈ 0.10.

A Fig. 5 contém a evolução ao longo do eixo r da tensão circunferencial relativa em função do deslocamento radial normalizado, Ur= ur/(R ft0/E), quando a frente da fissura atinge xr= 3R.

´

E de assinalar que o resultado numérico para Ur se encontra entre a solução linear elástica e o valor constante assumido por Noghabai [3].

anel ext. anel int. const.Ur 1.6 4.8 6.4 8 σθ / ft0 Ur Eixo radial - xr/R 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 an.σ_θ/ ft0 num.σ_θ/ ft0 an.U_r num.U_r 2 1 0 3 4 5 60 3.2

Figura 5: Tensão circunferencial relativa e deslocamento radial normalizado ao longo do eixo r, obtidos numeri-camente e analitinumeri-camente por Nielsen e Bićanić [4] quando a fissura atinge xr= 3R.

(9)

Este modelo é agora recalculado considerando ambos os modelos constitutivos (linear e expo-nencial) apresentados na secção 2.3, com B/ndvarianto entre 0.01 e 0.5.

Representam-se na Fig. 6 os resultados obtidos numericamente e os de Noghabai [3] e Nielsen e Bićanić [4]. Verifica-se que os resultados numéricos se encontram entre as duas abordagens anal´ıticas, embora mais próximos dos resultados de Nielsen e Bićanić [4].

1 B/nd Nielsen e Bianic 2 3 Num. Exp. 4 5 6 Noghabai et al. 0.01 0.1 Num. Lin. 0 pm a x / ft0

Figura 6: M´axima press˜ao interior relativa vs. B/d.

3.3 Simulac¸˜ao de ensaios experimentais

Os ensaios experimentais desenvolvidos por Noghabai [3] em cilindros de betão sujeitos a pressão interna crescente no seu interior são simulados nesta secção.

Os provetes têm um diâmetro externo igual a 313 mm e um diâmetro interior, onde se aplicada a pressão, igual a 36 mm. O comprimento é 175 mm. Foram adoptadas por Noghabai [3] três composições com diferentes capacidades de resistência à compressão: i) normal (NSC); ii) elevada (HSC); e iii) muito elevada (VHSC). Apresentam-se na Tabela 1 as propriedades correspondentes.

Para cada composição de betão foram produzidos três provetes. O primeiro serve de referência e é não reforçado. Os restantes são cintados com armadura de 6 mm de diâmetro enrolada em espiral, com 81.0 mm de diâmetro, e espaçamento de 28 mm e 14 mm, respectivamente. A

resistência à tracção é fsy= 380 N/mm2.

NSC HSC VHSC fc0(N/mm2) 57.0 105.0 157.4 ft0(N/mm2) 3.8 5.0 8.0 Gf(N/mm) 0.105 0.145 0.172 Ec(N/mm2) 33800 39400 41200 Tabela 1: Propriedades do NSC, HSC e VHSC.

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elementos axissimétricos bilineares. Na simulação das cintas são utilizados elementos pontuais axissimétricos distribu´ıdos ao longo da altura, a um raio de 40.5 mm. O carregamento é

con-trolado atrav´es do arc-length impondo-se um crescimento monot´onico da abertura do primeiro elemento fissurado.

pi

z

Figura 7: Esquema estrutural e malha de elementos finitos adoptados na simulac¸˜ao.

Na simulação numérica adoptou-se amolecimento linear (ver secção 2.3) e nd= 3 para todos os provetes [3, 18]. As Figs. 8 a 10 apresentam os resultados obtidos para as três composições de betão. Refere-se que não há resultados experimentais em relação ao provete VHSC com cinta de 28 mm de espaçamento. Todos os gráficos incluem a pressão interna vs. deslocamento radial. Este último foi obtido através da média de dois pontos diametralmente opostos, localizados com um raio de 29 mm. Representa-se, em cada um dos gráficos, a curva obtida numericamente pela abordagem proposta, a curva experimental [3], e ainda resultados numéricos retirados de [18] e determinados através de uma abordagem de fissura discreta aplicada através de um modelo de anel com amolecimento linear.

Os mapas para diferentes momentos do carregamento referentes à abertura das fissuras e da tensão circunferencial estão representados na Fig. 11. Verifica-se que a frente da fissura desen-volve-se progressivamente a partir do topo do provete, ao longo da linha vertical.

4 CONCLUS ˜OES

Neste artigo apresentou-se uma formulação axissimétrica para simulação de fissuras radiais induzidas por splitting com as seguintes caracter´ısticas principais:

- descontinuidades fortes embebidas no interior do elemento finito;

- independência da solução em relação à malha devido a uma abordagem de fissura disc-reta;

(11)

Noghabai (1999) 5 10 15 20 25 0 0.025 0.05 0.075 0.1 P re ss ão (N /m m 2 ) Deslocamento radial - ur(mm) NSC Experimental Numérico 0 (a) Noghabai (1999) 5 10 15 20 25 30 0 0.015 0.03 0.045 0.06 P re ss ão (N /m m 2 ) Deslocamento radial - ur(mm) NSC-28 Experimental Numérico 0 (b) Noghabai (1999) 5 10 15 20 25 30 35 0 0.0125 0.025 0.0375 0.05 P re ss ão (N /m m 2 ) Deslocamento radial - ur(mm) NSC-14 Experimental Numérico 0 (c)

Figura 8: Resultados dos provetes NSC: (a) provete de referência; (b) provete com cintas de 28 mm de espaçamento; e (c) provete com cintas de 14 mm de espaçamento.

- cada elemento fissurado possui um grau de liberdade adicional relacionado com a abertura circunferencial das fissuras radiais;

- não existe acréscimo de graus de liberdade no sistema global devido à condensação estática;

- o sistema de equações a resolver mantém-se simétrico caso as leis constitutivas também o sejam.

Através dos exemplos numéricos apresentados verificou-se: - a ausência de locking;

- a possibilidade de adoptar malhas pouco discretizadas;

- a obtenção de resultados próximos das abordagens anal´ıticas escolhidas para comparação [3, 4];

(12)

Noghabai (1999) 5 10 15 20 25 30 0 0.02 0.04 0.06 0.08 P re ss ão (N /m m 2 ) Deslocamento radial - ur(mm) HSC Experimental Numérico 0 (a) Noghabai (1999) 5 10 15 20 25 30 35 0 0.01 0.02 0.03 0.04 P re ss ão (N /m m 2 ) Deslocamento radial - ur(mm) HSC-28 Experimental Numérico 0 (b) Noghabai (1999) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 0.015 0.03 0.045 0.06 P re ss ão (N /m m 2 ) Deslocamento radial - ur(mm) HSC-14 Experimental Numérico 0 (c)

Figura 9: Resultados dos provetes HSC: (a) provete de referência; (b) provete com cintas de 28 mm de espaçamento; e (c) provete com cintas de 14 mm de espaçamento.

Noghabai (1999) 5 10 15 20 25 30 35 0 0.015 0.03 0.045 0.06 P re ss ão (N /m m 2 ) Deslocamento radial - ur(mm) VHSC Experimental Numérico 0 (a) Noghabai (1999) 10 20 30 40 50 0 0.015 0.03 0.045 0.06 P re ss ão (N /m m 2 ) Deslocamento radial - ur(mm) VHSC-14 Experimental Numérico 0 (b)

Figura 10: Resultados dos provetes VHSC: (a) provete de referˆencia; e (b) provete com cintas de 14 mm de espac¸amento.

(13)

1.4e-007 0.0e000 3.5e-006 1.6e-002 2.4e-002 3.1e-002 3.9e-002 4.7e-002 5.5e-002 3.6e-004 wθ (a) 0.0 0.5 1.1 1.6 2.2 2.7 3.3 3.8 3.8 σθ 0.1 (b) 5.3e-007 wθ 0.0e000 3.5e-006 1.6e-002 2.4e-002 3.1e-002 3.9e-002 4.7e-002 5.5e-002 1.6e-002 (c) 0.0 0.5 1.1 1.6 2.2 2.7 3.3 3.8 0.5 3.8 σθ (d) 0.0e000 3.5e-006 1.6e-002 2.4e-002 3.1e-002 3.9e-002 4.7e-002 5.5e-002 5.2e-002 wθ 1.9e-006 (e) 0.0 0.5 1.1 1.6 2.2 2.7 3.3 3.8 0.2 3.8 σθ (f)

Figura 11: Resultados numéricos para o provete de referência NSC (deslocamentos ampliados 500 vezes): (a), (c) e (e) abertura de fissura; (b), (d) and (f) tensão na descontinuidade, para respectivamente ur= 0.20 × 10−2,

ur= 0.80 × 10−2and ur= 0.23 × 10−1.

- a adequada simulação dos ensaios experimentais de Noghabai [3], para os três tipos de betão, confinado ou não confinado;

- a possibilidade de simular a propagação da fissuração radial ao longo do eixo dos provetes, ao contrário das abordagens anal´ıticas existentes.

Referˆencias

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