UMA ABORDAGEM EXATA UTILIZANDO RELAXAÇÃO LAGRANGIANA
PARA O PROBLEMA DE CARREGAMENTO DE PALETES
Lilian Kátia de Oliveira
Universidade Federal de São Carlos, Departamento de Engenharia de Produção Centro Universitário Fundação Santo André, Faculdade de Engenharia
Av. Príncipe de Gales, 821, Bairro Príncipe de Gales, CEP 09060-650, Santo André, SP, Brasil
lilian.oliveira@fsa.br
Reinaldo Morabito
Universidade Federal de São Carlos, Departamento de Engenharia de Produção Via Washington Luís, Km 235 - Caixa Postal 676
CEP 13.565-905, São Carlos, SP, Brasil
morabito@power.ufscar.br
RESUMO
Neste trabalho apresenta-se um método exato para resolver o problema de carregamento de paletes (PCP) do produtor. Este problema consiste em arranjar sem sobreposição o máximo número de retângulos de dimensões (l,w) ou (w,l) sobre um retângulo maior (L,W). O método aqui proposto é baseado no método de Beasley (1985) para um problema de corte e empacotamento mais geral. Tal método envolve um procedimento de busca em árvore do tipo branch and bound que, em cada nó, utiliza limitantes derivados de relaxações Lagrangiana e Surrogate de uma formulação de programação linear 0-1. Um algoritmo de otimização do subgradiente é usado para otimizar estes limitantes. São aplicados ainda testes de redução do problema e uma heurística Lagrangiana na otimização do subgradiente. Foram propostas algumas modificações na versão anterior em Oliveira e Morabito (2003) e os resultados obtidos em testes computacionais resolvendo exemplos da literatura e exemplos reais são analisados.
Palavras-chave: Problema de carregamento de paletes do produtor, Relaxações Lagrangiana e Surrogate, método Branch and Bound.
ABSTRACT
This paper presents an exact method to solve the manufacturer’s pallet loading problem (PLP). This is the problem of arranging the maximum number of rectangles of sizes (l,w) and (w,l) into a larger rectangle (L,W) without overlapping. The proposed method is based on Beasley (1985)'s method for a more general cutting and packing problem. Such method involves a tree search procedure of branch and bound type that utilizes for each node bounds derived from Lagrangean and Surrogate relaxations of a 0-1 linear programming formulation. A subgradient optimization algorithm is used to optimize such bounds. Problem reduction tests and a Lagrangean heuristic are also applied in the subgradient optimization. Some modifications on the previous version in Oliveira and Morabito (2003) are proposed and the results obtained in computational experiments solving examples of the literature and actual examples are analyzed.
Key-words: Manufacturer’s Pallet Loading Problem, Lagrangean and Surrogate Relaxations, Branch
and Bound method.
1. INTRODUÇÃO
Este trabalho trata de um caso particular dos problemas de corte e empacotamento, denominado problema de carregamento de paletes do produtor (PCP do produtor), o qual é classificado como 2/B/O/C (bidimensional, seleção de itens, único objeto, itens iguais), de acordo com
a tipologia de Dyckhoff (1990). Basicamente, este problema consiste em arranjar sem sobreposição o máximo número de retângulos de dimensões (l,w) ou (w,l) (faces inferiores das caixas) sobre um retângulo maior (L,W) (superfície do palete). Admitimos que as caixas estão disponíveis em grandes quantidades e devem ser arranjadas ortogonalmente, isto é, com seus lados paralelos aos lados do palete. Estes arranjos de caixas formam camadas que são então empilhadas sobre o palete. Devido à escala e extensão de certos sistemas logísticos, um pequeno aumento do número de produtos carregados sobre cada palete pode resultar em economias substanciais.
O PCP do produtor é difícil do ponto de vista da complexidade computacional, pois aparentemente simples de ser resolvido otimamente, o problema não é resolvido em tempo polinomial, embora isto ainda não tenha sido provado. Além disso, o PCP do produtor é importante nas atividades logísticas de armazenagem e transporte de produtos embalados em caixas e carregados sobre paletes e caminhões (Morabito et al. 2000). Poucos autores propuseram métodos exatos para resolver o PCP do produtor, entre eles, Dowsland (1987), Tsai et al. (1993) e Battacharya et al. (1998). Devido à dificuldade com os métodos exatos, diversas heurísticas têm sido propostas na literatura para resolver o PCP do produtor. Exemplos podem ser encontrados em Steudel (1979), Smith e De Cani (1980), Bischoff e Dowsland (1982), Dowsland (1993), Nelissen (1994, 1995), Arenales e Morabito (1995), Scheithauer e Terno (1996), Herbert e Dowsland (1996), Scheithauer e Sommerweiss (1998), Morabito e Morales (1998, 1999), G e Kang (2001), Martins (2002) e Lins et al. (2003). Limitantes superiores para o problema são estudados em Nelissen (1995), Letchford e Amaral (2001), Morabito e Farago (2002) e Pureza e Morabito (2003, 2004).
Neste trabalho, o PCP do produtor é modelado como um problema inteiro 0-1 similarmente a Farago e Morabito (2000). O modelo pode ser visto como um caso particular do modelo proposto em Beasley (1985) para o problema mais geral da classe 2/B/O/M (bidimensional, seleção de itens, único objeto, vários itens diferentes). Apresentamos um método exato baseado na aplicação da técnica de relaxação Lagrangiana, que fornece um excelente limitante para ser usado num procedimento de busca em árvore (método branch and bound). Beasley (1985) utilizou um método similar baseado em relaxação Lagrangiana e Surrogate para o problema mais geral acima citado. Um algoritmo de otimização do subgradiente é usado para otimizar o limitante obtido por relaxação Lagrangiana. São aplicados ainda testes de redução com o objetivo de reduzir o tamanho do problema, e a heurística Lagrangiana em Farago e Morabito (2002). Os testes computacionais foram realizados utilizando exemplos conhecidos da literatura e exemplos reais.
Este trabalho tem como objetivo descrever e analisar melhorias obtidas na versão anterior deste método reportada em Oliveira e Morabito (2003). Assim, resumidamente, na seção 2, 3 e 4 são apresentados a formulação do problema adaptada de Beasley (1985), a aplicação de relaxação Lagrangiana e o procedimento de busca em árvore (branch and bound), respectivamente, pois estes já foram apresentados em Oliveira e Morabito (2003) mais detalhadamente. Na seção 5 estão comentadas as modificações propostas no método exato e, finalmente, alguns resultados computacionais e conclusões são apresentados e analisados na seção 6.
2. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
Um palete (L,W), de comprimento L e largura W, deve ser carregado com caixas iguais com faces inferiores de dimensões l e w. Admitimos que L, W, l e w são números inteiros, e que l≥ e w
{
LW}
l≤min , . Por simplicidade, definimos (l1,w1)=(l,w) e (l2,w2)=(w,l), assim, (li,wi), i=1,2,
correspondem ao comprimento e largura da face de uma caixa com orientação i. O problema consiste em encontrar um arranjo de caixas em camadas horizontais, tal que a utilização da superfície do palete seja a máxima possível.
Definimos P e Q o mínimo e o máximo número de caixas por camada, respectivamente, que
podem ser colocadas sobre o palete (0 ≤ P ≤ Q). Consideramos um sistema de coordenadas cartesianas com origem no canto inferior esquerdo do palete. Sabemos que as caixas podem ser colocadas em várias posições ao longo do comprimento L e largura W do palete. Sejam
{ | 0 - , inteiro}
respectivamente, para se colocar o canto inferior esquerdo da face (l,w) de uma caixa dentro do palete. Sem perda de generalidade (Beasley, 1985), podemos restringir os conjuntos X e Y para:
} 2 , 1 inteiro, e 0 , 0 , | { 2 1
∑
= = ≥ − ≤ ≤ = = i i i i i b w L p b l p p X } 2 , 1 inteiro, e 0 , 0 , | { 2 1∑
= = ≥ − ≤ ≤ = = i i i i i b w W q b w q q Y .Definimos ainda a função a que é útil para descrever restrições de sobreposição de caixas sobre o palete, e que pode ser computada com antecedência para cada posição (p,q), cada posição (r,s), e cada orientação i, com p∈X tal que p ≤ L-li, q∈Y tal que q ≤ W-wi, r∈X, s∈Y, e i=1,2 (Beasley,
1985): ≤ ≤ ≤ + − ≤ − ≤ ≤ ≤ + − ≤ − = contrário caso , 0 1 1 0 e 1 1 0 se , 1 p r p l L q s q w W a i i ipqrs .
Finalmente, para todo p∈X tal que p ≤ L-li, q∈Y tal que q ≤ W-wi e i=1,2, temos a variável de
decisão xipq:
1, se uma caixa é colocada na posição ( , ) do palete com orientação
0, caso contrário
ipq
p q i
x =
.
O PCP do produtor pode então ser formulado pelo seguinte problema linear 0-1 (Beasley, 1985, Farago e Morabito, 2000): Max
∑∑
∑
= ∈ ≤ − ∈ ≤ − 2 1 { | } { | } i pXp L li qYqW wi ipq x (1) s.a.∑∑
∑
= ∈ ≤ − ∈ ≤ − ≤ 2 1 { | } { | } 1 i pXp L li qYqW wi ipqrs ipq xa , para todo r∈X, s∈Y (2)
∑∑
∑
= ∈ ≤ − ∈ ≤ − ≤ ≤ 2 1 { | } { | } i p Xp L li qYqW wi ipq Q x P (3)com xipq∈{0,1}, i=1,2, p∈X tal que p ≤ L-li; q∈Y tal que q ≤ W-wi (4)
A função objetivo (1) maximiza o número de caixas colocada sobre o palete. A restrição (2) garante que cada par (r,s) seja ocupado por no máximo uma caixa e, desta maneira, evita sobreposição no arranjo de caixas (Figura 1). A restrição (3) garante que o número de caixas arranjadas esteja dentro do intervalo [P,Q] (em geral, temos P = 0). O problema (1)-(4) envolve O(|X||Y|) variáveis e restrições, o que o torna em geral difícil de ser resolvido otimamente nos casos práticos.
3. RELAXAÇÃO LAGRANGIANA
Utilizando a técnica de relaxação Lagrangiana em (1)-(4), ou seja, introduzindo os multiplicadores de Lagrange grs (≥ 0) para todo r∈X e todo s∈Y da expressão (2), obtemos o seguinte
problema Lagrangiano (note que temos |X||Y| multiplicadores):
Max
∑∑
∑
∑∑
= ∈ ≤ − ∈ ≤ − ∈ ∈ + 2 1 { | } { | } i pXp L l qYqW w r XsY rs ipq ipq i iV x g (5) s.a.∑∑
∑
= ∈ ≤ − ∈ ≤ − ≤ ≤ 2 1 { | } { | } i p Xp L l qYqW w ipq i i x Q P (6)com xipq∈{0,1}, i=1,2, p∈X tal que p ≤ L-li; q∈Y tal que q ≤ W-wi (7)
onde ipq 1 rs ipqrs
r X s Y
V g a
∈ ∈
= −
∑∑
.Sejam {Xipq} representando os valores das variáveis {xipq} na solução do problema
∑ ∑
∑
∑∑
= ∈ ≤ − ∈ ≤ − ∈ ∈ + = 2 1{ | }{ | } i p Xp L l q Yq W w r Xs Y rs ipq ipq UB i i g X V Z ,que corresponde a um limitante superior para o valor ótimo do problema original (1)-(4), para quaisquer {grs} não negativos.
4. BUSCA EM ÁRVORE
No final do procedimento de otimização do subgradiente, o menor limitante superior (Zmin) e o
máximo limitante inferior (ZLB) correspondente a uma solução factível, podem não coincidir e, para
resolver este problema, aplicamos o método branch and bound (Nemhauser e Wolsey, 1988). O problema é resolvido utilizando uma árvore binária com busca em profundidade e, em cada nó da árvore, é computado um limitante superior de relaxação Lagrangiana.
A seguir é apresentado resumidamente o algoritmo do procedimento de busca em árvore (Nemhauser e Wolsey, 1988). Consideremos:
L: lista de problemas inteiros ( )Pi que devem ser investigados ou nós abertos. i
S : conjunto das soluções factíveis do problema Pi pertencente a L LB
Z : limitante inferior para o valor objetivo de P (relaxação). UB
Z : limitante superior para o valor objetivo de P (solução factível). Z: valor da função objetivo do problema P.
Passo 1: Inicialização: forme uma lista L={P} (sendo P o problema (1)-(4)) com os problemas ainda
não resolvidos, S S= 0, 0
UB
Z = ∞ e ZLB = −∞ .
Passo 2: Teste de parada: se L=∅ então a solução x0 que assegura
LB
Z = é a solução ótima.Z
Passo 3: Seleção do problema e relaxação: selecione e elimine um problema Pi de L. Resolva a
relaxação do problema selecionado (RPi). Seja i R
Z o valor ótimo da relaxação e seja i R x a solução ótima se existir.
Passo 4: Sondagem: a) se i R LB Z ≤Z , vá para o passo 2; b) se i i R x ∉ , vá para o passo 5; S c) se i i R
x ∈ e S Z >ZLB, faça ZLB = . Elimine de L todos os problemas com Z i
UB LB
Z ≤Z .
Se i R
Z =Z , vá para o passo 2, caso contrário vá para o passo 5.
Passo 5: Divisão (branch): Seja { }Sij , j=1,2 a divisão de Si. Assim teremos dois novos subproblemas
e devemos selecionar uma variável e esta será fixada com valor igual a 1 no nó da esquerda e, conseqüentemente, igual a 0 no nó da direta. Esses novos subproblemas (Pij), j=1,2 são incluídos na lista L onde ij i
UB R
Z =Z . Em seguida, vá para o passo 2.
5. MODIFICAÇÕES EM OLIVEIRA E MORABITO (2003)
Com o objetivo de reduzir os tempos computacionais da versão anterior do presente método exato apresentado em Oliveira e Morabito (2003), foram testadas algumas modificações na escolha da variável a ser fixada na divisão de nós. As estratégias utilizadas foram a do trabalho de Beasley (1985), a do trabalho de Beasley (1993), uma que considera a escolha da variável com maior valor Lagrangiano (isto é, maior valor Vipq) e uma que aplica o conceito de memória de longo prazo da meta-heurística Busca Tabu. Nesta última estratégia, consideramos a freqüência com que as variáveis aparecem na solução do problema. A cada determinado número de iterações, escolhe-se uma variável que tenha baixa freqüência (ou seja, uma variável que tenha feito parte da solução do problema poucas vezes) e então esta variável é escolhida para ser fixada na divisão dos nós. Foram feitos vários testes e concluímos que a cada 10 iterações seria aplicada esta estratégia e nas iterações restantes utilizamos a estratégia do trabalho de Beasley (1985).
Consideramos também uma melhoria na heurística Lagrangiana. A idéia de melhoria consiste em modificar a solução atual obtida com o objetivo de se encontrar uma melhor solução. Inicialmente, ordena-se a solução corrente de forma decrescente (ou seja, consideramos primeiramente todas as variáveis fixadas em 1). Em seguida, desconsideramos uma variável da solução ordenada e aplicamos novamente a heurística Lagrangiana na tentativa de se obter uma solução melhor que a anterior. Este procedimento é repetido para cada variável fixada em 1 na solução corrente. No caso de termos um grande número de variáveis presentes na solução, estipula-se um número máximo de repetições do procedimento acima descrito.
No entanto, estas modificações na escolha das variáveis e na heurística Lagrangiana não resultaram em melhorias significativas em extensivos experimentos computacionais.
Consideramos ainda a inclusão dos raster points em substituição aos conjuntos normais, para reduzir o tamanho destes conjuntos. Assim, os conjuntos X e Y (apresentados na seção 2, que são os conjuntos das coordenadas (p,q), respectivamente, para se colocar o canto inferior esquerdo da face (l,w) de uma caixa dentro do palete) podem ser bem reduzidos, eliminando algumas variáveis usando o conceito de raster points (Scheithauer e Terno, 1996; Morabito e Morales, 1998). Tem-se que os pontos
( , )
p q
, sem perda de generalidade, devem fazer parte dos conjuntos normais X e Y, ou ainda, fazer parte dos conjuntos raster points X’e Y’ dados por:(
)
{
}
' X | {0} X = L p− p X∈ ∪ ( ')p X =max{ |p p X p p∈ , ≥ '}(
)
{
}
' Y | {0} Y = W q− q Y∈ ∪ ( ')q Y =max{ |q q Y q q∈ , ≥ '}.Também foi considerada a aplicação da heurística de Morabito e Morales (1998) para melhorar a qualidade dos limitantes inferiores (soluções factíveis). Os resultados computacionais foram satisfatórios como veremos na seção a seguir.
6. RESULTADOS COMPUTACIONAIS E CONCLUSÕES
Nesta seção apresentamos alguns resultados computacionais do método exato utilizando relaxação Lagrangiana. As implementações foram codificadas em linguagem Pascal (compilador Delphi 5) e os testes foram realizados em um microcomputador Pentium III 650 MHz
No primeiro grupo de exemplos (Grupo 1), selecionamos 10 exemplos, como mostrado na Tabela 1. Tais exemplos (L1-L10) foram encontrados em Letchford e Amaral (2001) e foram escolhidos por serem considerados desfavoráveis para o presente método, uma vez que todos têm valor da solução relaxada de (1)-(4) (Zmin) diferente do valor da solução ótima (veja Tabela 4). De
acordo com Letchford e Amaral (2001) e Morabito e Farago (2002), estes limitantes são bem apertados e quase sempre coincidem com o valor da solução ótima. No Grupo 2 (Tabela 2) consideramos 9 exemplos (L11-L19) que foram retirados de Farago e Morabito (2000). Estes exemplos têm sido utilizados em diversos artigos como Dowsland (1993), Nelissen (1994), Scheithauer e Terno (1996), Morabito e Morales (1998). São exemplos clássicos da literatura, pertencentes ao conjunto Cover I os quais são resolvidos por alguns métodos heurísticos. Todos esses exemplos têm solução ótima não-guilhotinada de 1a ordem (Morabito e Morales, 1998). No Grupo 3
consideramos 16 exemplos da literatura (Tabela 3). Incluímos estes exemplos, pois são considerados difíceis e aplicamos os testes computacionais com o objetivo de verificar o comportamento de tais exemplos em relação ao método exato. Estes exemplos são pertencentes ao conjunto Cover II e são considerados difíceis de se resolver com a maioria das heurísticas encontradas na literatura, pois todos os exemplos não têm solução ótima não-guilhotinada de 1a ordem (Morabito e Morales, 1998, Lins et al., 2003 e Pureza e Morabito, 2003, 2004). Consideramos agora neste trabalho um quarto grupo de
exemplos (Grupo 4) coletados no centro de distribuição de uma transportadora em Campinas, São Paulo (Farago e Morabito, 2000). Selecionamos arbitrariamente 30 exemplos (R1-R30) como
mostrado na Tabela 4 e, nestes exemplos estamos considerando o palete PBR (120 x 100 cm) como palete padrão, já que este é o usado na transportadora e na maioria das empresas no Brasil
As Tabelas 1-4 apresentam os exemplos da literatura para os Grupos 1, 2, 3 e 4 respectivamente. As colunas ‘2|X||Y|’ e ‘2|X’||Y’|’ das Tabelas 1-4 representam o número (aproximado) de variáveis 0-1 envolvidas no modelo (5)-(7) e os raster pointi, respectivamente.
Tabela 1. Grupo 1 de exemplos para teste.
GRUPO 1
Exemplo Dimensões do palete (cm) Dimensões da caixa (cm) |X| |Y| 2(|X||Y|) |X’| |Y’| 2(|X’||Y’|)
L1 (32,22) (5,4) 23 13 598 20 11 440 L2 (32,27) (5,4) 23 18 828 20 15 600 L3 (40,26) (7,4) 28 14 784 22 11 484 L4 (40,33) (7,4) 28 21 1176 22 16 704 L5 (53,26) (7,4) 41 14 1148 35 11 770 L6 (37,30) (8,3) 28 21 1176 23 16 736 L7 (81,39) (9,7) 51 13 1326 33 11 726 L8 (100,64) (17,10) 32 14 896 22 11 484 L9 (100,82) (22,8) 32 23 1472 23 16 736 L10 (100,83) (22,8) 32 23 1472 23 16 736
Tabela 2. Grupo 2 de exemplos para teste.
GRUPO 2
Exemplo Dimensões do
palete (cm)
Dimensões da
caixa (cm) |X| |Y| 2(|X||Y|) |X’| |Y’| 2(|X’||Y’|)
L11 (22,16) (5,3) 16 10 320 14 8 224 L12 (86,82) (15,11) 24 22 1056 17 16 544 L13 (42,39) (9,4) 27 24 1296 20 15 600 L14 (124,81) (21,10) 41 18 1476 24 13 624 L15 (40,25) (7,3) 32 17 1088 28 13 728 L16 (52,33) (9,4) 37 18 1332 28 13 728 L17 (57,44) (12,5) 31 19 1178 19 14 532 L18 (56,52) (12,5) 30 26 1560 21 17 714 L19 (87,47) (7,6) 67 27 3618 57 17 1938
Tabela 3. Grupo 3 de exemplos para teste.
GRUPO 3
Exemplo Dimensões do palete (cm) Dimensões da caixa (cm) |X| |Y| 2(|X||Y|) |X’| |Y’| 2(|X’||Y’|)
L20 (43,26) (7,3) 35 18 1260 31 14 868 L21 (49,28) (8,3) 40 19 1520 35 14 980 L22 (57,34) (7,4) 45 22 1980 39 17 1326 L23 (63,44) (8,5) 45 26 2340 35 19 1330 L24 (61,35) (10,3) 50 24 2400 43 17 1462 L25 (67,37) (11,3) 55 25 2750 47 18 1692 L26 (61,38) (10,3) 50 27 2700 43 20 1720 L27 (61,38) (6,5) 47 24 2256 41 19 1558 L28 (67,40) (11,3) 55 28 3080 47 20 1880 L29 (74,49) (11,4) 56 31 3472 44 22 1936 L30 (93,46) (13,4) 72 25 3600 57 17 1938 L31 (106,59) (13,5) 78 31 4836 58 19 2204 L32 (141,71) (13,8) 92 26 4784 61 19 2318 L33 (74,46) (7,5) 58 30 3480 50 23 2300
L34 (86,52) (9,5) 66 32 4224 54 23 2484 L35 (108,65) (10,7) 75 32 4800 54 23 2484
Tabela 4. Exemplos reais da transportadora.
GRUPO 4
Exemplo Dimensões da
caixa (cm) |X| |Y| 2(|X||Y|) |X’| |Y’| 2(|X’||Y’|)
R1 (31,22) 12 8 192 9 7 126 R2 (50,20) 9 7 126 8 6 96 R3 (33,23) 10 7 140 8 6 96 R4 (34,26) 9 6 108 8 5 80 R5 (36,15) 16 11 352 12 9 216 R6 (28,21) 12 9 216 11 8 176 R7 (32,18) 14 10 280 11 8 176 R8 (38,26) 8 5 80 7 5 70 R9 (25,15) 18 14 504 16 12 384 R10 (46,30) 6 4 48 4 4 32 R11 (39,25) 8 6 96 7 4 56 R12 (38,20) 12 9 216 6 5 60 R13 (49,20) 10 7 140 8 6 96 R14 (28,17) 17 11 374 13 9 234 R15 (40,29) 7 5 70 6 5 60 R16 (35,12) 22 15 660 10 8 160 R17 (27,22) 13 9 234 11 8 176 R18 (21,12) 28 21 1176 22 16 704 R19 (24,19) 17 12 408 13 10 260 R20 (32,24) 10 7 140 9 6 108 R21 (26,20) 15 11 330 12 9 216 R22 (19,14) 28 20 1120 19 15 570 R23 (44,29) 7 4 56 6 4 48 R24 (52,33) 5 4 40 5 3 30 R25 (36,21) 11 8 176 9 7 126 R26 (35,20) 12 9 216 6 5 60 R27 (20,14) 27 19 1026 18 14 504 R28 (22,17) 20 14 560 15 11 330 R29 (37,20) 12 9 216 6 5 60 R30 (24,13) 25 18 900 13 14 364
Como dito anteriormente o método exato atual considera a inclusão dos raster points e da heurística de Morabito e Morales (1998). O procedimento de otimização do subgradiente foi iniciado com os parâmetros f=1 (parâmetro utilizado no cálculo do tamanho do passo para a atualização dos multiplicadores de Lagrange). Se a solução ótima é encontrada ou se f <0.005, o procedimento é terminado. Foram exploradas várias variações para reduzir o valor de f ao longo das iterações e a que apresentou melhor resultado computacional foi a divisão de f a cada 30 iterações. Não apresentamos todos os resultados por economia de espaço.
Nas Tabelas 5 e 6 são apresentados os resultados do trabalho de Oliveira e Morabito (2003), os atualmente obtidos com o método exato e ainda os resultados utilizando a linguagem de modelagem GAMS com o solver CPLEX versão 7.0. São apresentados o valor da solução ótima, o número de nós envolvidos na árvore de busca e, em seguida, o tempo total (em minutos) gasto para se executar cada exemplo. Similarmente, na Tabela 7 são apresentados o valor da solução ótima (Z*), os resultados do trabalho de Oliveira e Morabito (2003), os atualmente obtidos com o método exato e ainda os resultados utilizando o pacote GAMS/CPLEX. São apresentados o valor da solução ótima, o número de nós envolvidos na árvore de busca e o tempo total (em minutos) gasto para se executar cada exemplo.
Tabela 5. Resultados computacionais dos exemplos do Grupo 1.
Oliveira e Morabito (2003) Busca em árvore GAMS/CPLEX Exemplo Z* # nós Tempo (min) Z* # nós Tempo (min) Z* # nós Tempo (min) L1 34 53 0,91 34 33 0,88 34 10 0,33 L2 42 103 2,91 42 69 2,25 42 18 0,97 L3 36 73 1,43 36 35 1,05 36 04 0,50 L4 46 177 6,74 46 75 3,28 46 15 1,83 L5 48 253 10,02 48 111 5,31 48 24 3,47 L6 45 297 10,02 45 187 6,24 45 30 4,02 L7 49 319 17,18 49 121 4,97 49 00 1,98 L8 36 83 2,01 36 35 1,00 36 12 6,03 L9 45 367 17,43 45 187 6,04 45 72 14,65 L10 45 367 17,45 45 187 6,04 45 72 14,93 Média 42,60 209,20 8,61 42,60 104,00 3,71 42,60 25,70 4,87
Tabela 6. Resultados computacionais dos exemplos do Grupo 2.
Oliveira e Morabito (2003) Busca em árvore GAMS/CPLEX Exemplo Z* # nós Tempo (min) Z* # nós Tempo (min) Z* # nós Tempo (min) L11 23 07 0,04 23 1 0,00 23 0 0,06 L12 42 39 1,71 42 1 0,01 42 0 6,55 L13 45 77 2,95 45 1 0,01 45 0 0,72 L14 47 99 9,14 47 1 0,02 47 0 14,43 L15 47 97 2,92 47 1 0,01 47 0 0,40 L16 47 107 4,19 47 1 0,01 47 0 1,40 L17 41 67 1,62 41 1 0,01 41 0 1,05 L18 48 97 5,75 48 1 0,01 48 0 1,48 L19 97 533 2,53 97 1 0,13 97 0 10,35 Média 48,56 124,78 3,43 48,56 1,00 0,02 48,56 0 4,05
Tabela 7. Resultados computacionais dos exemplos do Grupo 3. Oliveira e Morabito
(2003) Busca em árvore GAMS/CPLEX Exemplo Z* Solução obtida # nós Tempo (min) Solução obtida # nós Tempo (min) Solução obtida # nós Tempo (min) L20 53 53 131 5,48 53 69 3,25 53 0 0,43 L21 57 57 97 4,62 57 71 3,53 57 3 3,45 L22 69 69 631 53,51 69 257 23,19 69 0 1,73 L23 69 68 * 180,00 69 1135 101,42 69 0 8,18 L24 71 71 229 20,46 71 129 11,46 71 0 2,30 L25 75 75 145 15,81 75 125 13,02 75 3 8,53 L26 77 77 897 104,62 77 195 23,48 77 0 4,48 L27 77 77 283 26,91 77 145 14,15 77 0 5,31 L28 81 81 301 44,04 81 191 25,52 81 1 15,97 L29 82 82 521 98,19 82 193 28,66 82 0 7,82 L30 82 82 617 119,98 82 215 29,00 82 2 19,13
L31 96 95 * 180,00 96 313 57,83 96 7 47,78 L32 96 95 * 180,00 95 * 180,00 96 0 50,16 L33 97 94 * 180,00 96 * 180,00 96 * 180,00 L34 99 98 * 180,00 98 * 180,00 98 * 180,00 L35 100 98 * 180,00 100 203 48,78 100 0 70,40 Média 80,06 79,50 385,20 49,36 79,88 249,31 29,48 79,94 1,14 17,55
Observe nas Tabelas 5 e 6 que todos os exemplos foram resolvidos em um tempo computacional aceitável para as decisões envolvidas. Além disso, os tempos computacionais do método exato atual foram reduzidos em comparação aos obtidos em Oliveira e Morabito (2003) (em media, de 8,61 para 3,71 minutos, e de 3,43 para 0,02 minutos, respectivamente, nas Tabelas 5 e 6). Ainda, vemos nas tabelas que os tempos computacionais obtidos pelo método exato foram menores do que os obtidos pelo pacote GAMS/CPLEX (iguais a 4,87 e 4,05 minutos, respectivamente).
Na Tabela 7 podemos observar que em alguns exemplos não foi possível encontrar a solução ótima em um tempo computacional arbitrariamente limitado em 3 horas. Assim, estão reportadas na tabela as soluções obtidas e o número de nós utilizado na árvore de busca para os respectivos exemplos no tempo máximo permitido. Observe que o método exato atual conseguiu resolver um número maior de exemplos do que a versão anterior em Oliveira e Morabito (2003). O número de nós envolvidos na busca em árvore também foi reduzido em relação ao trabalho anterior. Note que, exceto no exemplo L35, em todos os exemplos onde o método exato foi capaz de encontrar a solução ótima abaixo do tempo máximo de 3 horas estipulado, os tempos computacionais do pacote GAMS/CPLEX foram sempre inferiores (em media, 17,55 minutos contra 29,48 minutos).
A Tabela 8 apresenta as soluções dos exemplos reais coletados no centro de distribuição da transportadora. São apresentados os resultados atualmente obtidos com o método exato e ainda os resultados utilizando o pacote GAMS/CPLEX.
Tabela 8. Soluções obtidas utilizando o método exato e o pacote GAMS/CPLEX. Solução
Transportadora Busca em árvore GAMS/CPLEX Exemplo
ZTA Z* # nós Tempo (min) Z* Tempo (min)
Z*-ZTA R1 14 15 1 0,00 16 19,96 2 R2 10 12 1 0,01 12 18,48 2 R3 13 15 1 0,00 15 18,42 2 R4 12 09 1 0,00 12 18,41 0 R5 20 18 1 0,03 20 18,44 0 R6 18 16 1 0,00 19 18,47 1 R7 18 18 1 0,00 20 18,43 2 R8 10 09 1 0,01 10 18,43 0 R9 28 32 1 0,00 32 18,46 4 R10 07 08 1 0,00 08 18,43 1 R11 12 12 1 0,00 12 18,60 0 R12 15 15 1 0,00 15 18,73 0 R13 12 12 1 0,00 12 18,43 0 R14 23 21 1 0,03 23 18,44 0 R15 10 09 1 0,00 10 18,43 0 R16 25 24 1 0,01 26 18,48 1 R17 18 16 1 0,01 19 18,43 1 R18 46 40 75 3,32 46 18,50 0 R19 26 25 1 0,00 26 18,44 0 R20 15 15 1 0,00 15 18,46 1 R21 20 20 1 0,02 22 18,42 2 R22 41 42 1 0,00 43 18,47 2
R23 08 08 1 0,00 08 18,43 0 R24 06 06 1 0,00 06 18,42 0 R25 14 12 1 0,00 15 18,42 1 R26 14 15 1 0,01 15 18,42 1 R27 40 42 1 0,00 42 18,47 2 R28 27 28 1 0,00 31 18,47 4 R29 15 15 1 0,01 15 18,43 0 R30 37 36 1 0,00 38 18,74 0 Média 19,13 18,83 3,47 0,12 20,10 18,52 0,97
Pela Tabela 8 podemos dizer que o programa foi capaz de resolver otimamente todos os exemplos com baixo tempo computacional, o que sugere que ele pode ser uma boa alternativa para resolver exemplos reais. Observamos ainda que em vários exemplos a solução apresentada pela empresa transportadora não era a solução ótima e dessa forma podemos dizer que, em média, o método exato é capaz de melhorar em 0,97 caixas a solução apresentada pela transportadora. Observe nos exemplos R9 e R28 que a solução exata é capaz de colocar 4 caixas a mais que a solução apresentada pela transportadora. Note que dos 30 exemplos, 16 das soluções apresentadas pela transportadora não são ótimas. Note também que os tempos computacionais do método exato foram bem menores do que os do pacote GAMS/CPLEX (em media, 0,12 minutos contra 18,52 minutos).
Uma perspectiva importante para o presente trabalho é melhorar ainda mais o método exato para reduzir seus tempos computacionais. Pretende-se incorporar estas mesmas modificações no método exato com relaxação Surrogate e Lagrangiana Surrogate e, assim, posteriormente deverão ser testados e comparados com a presente relaxação nos exemplos da literatura e exemplos reais.
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