Tensão, calibre e frequência das cordas de instrumentos.

Tens˜

ao, calibre e frequˆencia das cordas de instrumentos

Francisco Catelli

, Gabriel Abreu Mussato

1

Universidade de Caxias do Sul, Mestrado em Educa¸c˜ao e Mestrado Profissional em Ensino de Ciˆencias e Matem´atica, Caxias do Sul, RS, Brasil

2

Universidade de Caxias do Sul, Caxias do Sul, RS, Brasil

Recebido em 13/5/2013; Aceito em 11/6/2013; Publicado em 6/2/2014

As afina¸c˜oes abertas em instrumentos musicais envolvem altera¸c˜oes nas frequˆencias de algumas cordas, com uma consequente modifica¸c˜ao em suas tens˜oes. De quanto se deve alterar o diˆametro de uma corda de um ins-trumento musical, de modo que, ao ser afinada acima ou abaixo da frequˆencia prevista originalmente, sua tens˜ao permane¸ca o mais pr´oxima poss´ıvel da tens˜ao original da afina¸c˜ao padr˜ao? A resposta a esta quest˜ao apresenta interesse para os professores de f´ısica, dado que envolve os principais conceitos de mecˆanica ondulat´oria. S˜ao apresentados os princ´ıpios b´asicos da f´ısica ondulat´oria aplicada `as cordas, e por meio deles e dos dados forne-cidos pelos fabricantes, conclus˜oes a respeito do diˆametro que as cordas deveriam ter s˜ao ent˜ao estabelecidas. Tamb´em ´e proposta a constru¸c˜ao de dois dispositivos para a medida da tens˜ao de cordas, naqueles casos em que tais dados n˜ao s˜ao fornecidos pelos fabricantes; um dos dispositivos ´e mais elaborado, enquanto que o outro ´e bastante simplificado. Tanto os dados fornecidos pelos fabricantes quanto os retirados dos dispositivos propostos podem propiciar um enriquecimento das aulas de f´ısica ondulat´oria.

Palavras-chave: mecˆanica ondulat´oria, afina¸c˜ao de instrumentos, afina¸c˜ao aberta, tens˜ao em cordas.

The open tunings of musical instruments involve changes in the frequencies of some strings, with a consequent change in tension. How much should be altered the diameter of a musical instrument string so that, as tuned above or below the pitch originally planned, the tension is kept as close as possible to the original of standard tuning? The answer to this question presents interest to physics teachers, since it involves various concepts of wave mechanics. The basic principles of wave physics applied to the strings are presented. Using these principles and the data given by the manufacturers, conclusions are established about the expected diameter of the strings. It is also proposed the construction of two string tension measuring devices for the occasions in which these data are not supplied by the manufacturers. One of the devices is more elaborate, while the other one is greatly simplified. Both data from the manufacturer and the proposed devices can provide an enrichment of lessons on wave physics.

Keywords: wave mechanics, instruments tuning, open tunings, string tension.

1. Introdu¸

c˜

ao

O problema discutido neste trabalho refere-se `a va-ria¸c˜ao da tens˜ao na corda de um instrumento quando

esta ´e afinada numa nota (frequˆencia) diferente daquela prevista originalmente pelo fabricante. Isso ocorre, por exemplo, quando um instrumento de cordas – viol˜ao, viola, guitarra – ´e ajustado em afina¸c˜ao aberta;2

algu-1

E-mail: fcatelli@ucs.br.

2

Afina¸c˜ao aberta ´e um tipo de afina¸c˜ao alternativa `a convencional, cujo padr˜ao de notas das cordas soltas ´e mo-dificado para produzir diferentes sonoridades e modos de execu¸c˜ao. Esse procedimento ´e conhecido como scordatura

e vem sido utilizado com regularidade na m´usica desde o S´eculo XVI, atribu´ıdo a alaudistas franceses dessa ´epoca (http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/10557/000598714.pdf?sequence=1). Compositores posteriores como Bi-ber, Vivaldi e J.S. Bach usaram essa t´ecnica em diversos instrumentos e padr˜oes de afina¸c˜ao. Dentre os diferentes tipos de scordatura, a afina¸c˜ao aberta ´e um dos mais usados. Nela, as frequˆencias das cordas soltas correspondem a notas cujo intervalo forma um tipo espec´ıfico de acorde, geralmente uma tr´ıade maior, menor e em casos menos usuais acordes de outros tipos. As afina¸c˜oes abertas para guitarra e viol˜ao mais conhecidas s˜ao a E (mi) aberto, G (sol) aberto e D (r´e) aberto, em que as notas formam os acordes mi maior, sol maior, e r´e maior, respectivamente. As afina¸c˜oes abertas do tipo maior s˜ao bastante usadas, tamb´em, para t´ecnicas deslide,pois permitem a execu¸c˜ao de todas as notas da escala maior de uma determinada tonalidade usando apenas trˆes posi¸c˜oes do bra¸co do instrumento. Diversos m´usicos renomados s˜ao conhecidos por usar afina¸c˜oes abertas, entre eles Keith Richards dos Rolling Stones e David Gilmour do Pink Floyd. H´a outros tipos de afina¸c˜ao alternativa, cada um com uma finalidade espec´ıfica. Uma delas, a afina¸c˜ao

dropped, consiste em baixar a frequˆencia da corda mais grave, por exemplo, passando do E (mi) para o D (r´e), afina¸c˜ao t´ıpica em gˆeneros musicais mais “pesados” (http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_guitar_tunings{#}Dropped). Outras afina¸c˜oes utilizam padr˜oes ainda mais diferenciados para produzir sons que remetem a outros instrumentos, como a sitar, por exemplo. Muitas culturas afinam seus instrumentos de cordas de modo particular e variado. O caso da viola caipira, instrumento t´ıpico da m´usica folcl´orica brasileira, possui diversos padr˜oes, muitas vezes, com nomes pr´oprios regionais como “cebol˜ao”, “rio acima” e “cana verde” (ver http://www.casadosvioleiros.com/A{%}20Viola/afinacoesdaviola.htm.). A possibilidade de afina¸c˜oes alternativas ´e muito ampla e prop´ıcia `as mais diversas formas de experimenta¸c˜ao.

mas cordas, que correspondem (na afina¸c˜ao aberta) a notas mais graves, ficam menos tensionadas, caso seja usado um encordoamento fabricado originalmente para ser usado na afina¸c˜ao convencional. Sabe-se que cordas de maior calibre (diˆametro) soam com frequˆencias natu-rais de vibra¸c˜ao mais baixas (s˜ao mais graves); cordas mais tensionadas (“esticadas”) soam com frequˆencias naturais mais altas.

Como regra, as tens˜oes das seis cordas de um viol˜ao ou guitarra n˜ao s˜ao muito diferentes umas das outras;3 se fossem, teriam, numa certa medida, sonoridades di-ferentes, e o instrumento como um todo soaria “dese-quilibrado”. Al´em disso, tens˜oes muito diferentes tor-nariam a execu¸c˜ao, digamos, menos confort´avel para o m´usico, j´a que algumas cordas ofereceriam menor re-sistˆencia ao serem pressionadas contra os trastes, e ou-tras, mais. Ent˜ao, no caso de uma afina¸c˜ao aberta, essa tens˜ao menor alteraria a sonoridade de algumas cordas em rela¸c˜ao a outras, e assim influiria na “tocabilidade” do instrumento.

Aperfei¸coando um pouco mais a pergunta: quais deveriam ser as caracter´ısticas destas cordas, em ter-mos de calibre, de modo a tornar as tens˜oes em to-das as corto-das o mais poss´ıvel parecito-das com aquelas do encordoamento original, projetado para uma afina¸c˜ao convencional? Um primeiro n´ıvel de resposta ´e trivial: bastaria, por exemplo, substituir as cordas que s˜ao afi-nadas em tons mais baixos por outras, de maior calibre, visto que essas exigem uma maior tens˜ao para soar com a mesma frequˆencia de uma corda equivalente, mas de menor calibre. Mas, qual deveria ser este calibre?

A afina¸c˜ao convencional das cordas de um viol˜ao ou guitarra, das notas mais agudas `as mais graves ´e a se-guinte: E (mi), B (si), G (sol), D (r´e), A (l´a) e E (mi); a estas notas correspondem frequˆencias de vibra¸c˜ao es-pec´ıficas. Um exemplo de afina¸c˜ao menos convencio-nal, mas mesmo assim bastante comum ´e o da afina¸c˜ao aberta em G maior. Neste caso, as notas das cordas sol-tas do instrumento s˜ao D, B, G, D, G, D, tamb´em do agudo para o grave. As notas D (agudo), G e D (grave) correspondem, respectivamente, `as notas E, A, E da afina¸c˜ao original rebaixadas de um tom.4 _{Tocando (em} afina¸c˜ao aberta) todas estas cordas soltas, ouve-se um acorde de sol maior. Se as cordas utilizadas forem as de um encordoamento convencional, as cordas

correspon-dentes `as notas D (agudo), G (grave) e D (grave) ficar˜ao menos tensionadas (mais “frouxas”), o que pode, como argumentado acima, comprometer em certa medida a sonoridade e a “tocabilidade” do instrumento. ´E para estas situa¸c˜oes que este trabalho pretende unir respos-tas da f´ısica5 _{para quest˜oes que envolvem diretamente} outra ´area, a m´usica.

Uma solu¸c˜ao pr´atica para este problema ´e a de subs-tituir estas trˆes cordas por outras, de maior calibre. O mercado de cordas de guitarra disponibiliza encor-doamentos de diversos calibres (diˆametros); tomando como exemplo a nota E (mi) aguda, esses diˆametros v˜ao em geral de 0,008” (encordoamentos “leves”) at´e 0,012” (encordoamentos “pesados”), de 0,001” em 0,001” ou, o que ´e menos comum, em saltos de 0,0005”.

Retornando ao problema, pode-se agora enunci´ a-lo da seguinte maneira: com qual calibre (maior) de-vem ser substitu´ıdas as cordas afinadas mais baixas, de modo a manter a tens˜ao de todas as cordas do instru-mento o mais pr´oximo poss´ıvel das tens˜oes originais, a partir dos calibres dispon´ıveis?

Para encaminhar a resposta, ser´a necess´ario prever a varia¸c˜ao da tens˜ao de uma corda quando esta ´e afinada – por exemplo – um tom abaixo, bem como a rela¸c˜ao entre o diˆametro das cordas e a tens˜ao dessas. Ser´a explorada primeiramente a rela¸c˜ao entre a frequˆencia de uma corda e a tens˜ao `a qual ela ´e submetida. A primeira corda, a nota E (mi), mais aguda, de um ins-trumento como um viol˜ao (com cordas de a¸co), ou uma guitarra, ser´a tomada como referˆencia.

2.

Frequˆ

encia e tens˜

ao

Sabe-se que a velocidadevde um pulso transversal (ou de uma onda transversal) numa corda ´e dada ideal-mente pela express˜ao

v=

√

T

µ, (1)

ondeµ´e a densidade linear de massa da corda definida como

µ= m

L, (2)

3

Um conhecido fabricante de cordas fornece os seguintes valores da carga `a qual uma corda ´e submetida, em kg, para um encordoa-mento de guitarra, do agudo para o grave: 7,35 (E); 6,98 (B); 7,35 (G); 8,34 (D); 8,84 (A); 7,94 (E). No caso de encordoaencordoa-mento para viol˜oes ac´usticos, a diferen¸ca de carga entre a 1a

corda, a mais aguda, e a 6a

, mais grave pode chegar pr´oximo a 50% de diferen¸ca: 7,35 kg para E (agudo) e 10,52 kg para E (grave). Este fato n˜ao invalida o problema avaliado aqui: a compensa¸c˜ao da diminui¸c˜ao da tens˜ao devida `a afina¸c˜ao mais baixa de uma corda atrav´es da substitui¸c˜ao por outra, de maior calibre. Quanto `a unidade de medida dessa carga: ´e um h´abito dos fabricantes exprimirem-na em kg; conforme ser´a indicado a seguir no texto, a tens˜ao, dada em N, ´e obtida multiplicando os valores da carga, em kg, pela acelera¸c˜ao da gravidade, em m/s2

.

4

Sem aprofundar o assunto, para baixar a frequˆencia da nota E (329,6 Hz) para a da nota D (292 Hz), (ou seja, um tom) basta dividir por duas vezes a primeira pelo fator 2121 ≈1,059463 [1]. O procedimento para rebaixar outras notas de um tom (numa escala

temperada) ´e o mesmo. Cada opera¸c˜ao de dividir uma dada frequˆencia por esse fator baixa-a de um semitom.

5

ondeL´e o comprimento da corda, em, a massa [2]

Num instrumento de cordas as ondas que geram sons musicais s˜ao estacion´arias; ´e poss´ıvel ent˜ao relaci-onar o comprimento da corda aos harmˆonicos que nela podem ser estabelecidos (Fig. 1).

Ser´a feita referˆencia daqui para frente (por

como-didade) ao primeiro harmˆonico; neste caso, o compri-mento de ondaλ´e igual ao dobro do comprimentoLda corda, conforme indicado no primeiro quadro da Fig. 1. A velocidade desta pode ser definida [4] como segue

v=λf = 2Lf. (3)

Ent˜ao, substituindo a Eq. (3) na Eq. (1), e con-siderando queL e µn˜ao variam, pode-se escrever que

f2_{∝T, ou, comparando duas frequˆencias f}

1 ef2 com as respectivas tens˜oesT1 eT2, resulta que

(

f2

f1

)2

=T2

T1

. (4)

Como exemplo, a frequˆencia da corda E (mi) aguda ser´a considerada no tom fundamental aproximada-mente 330 Hz, e a da corda r´e aproximadaaproximada-mente 294 Hz. A express˜ao (4) prevˆe que o rebaixamento na frequˆencia de uma mesma corda de 330 Hz para 294 Hz (um tom) equivale a uma redu¸c˜ao da tens˜ao por um fator 0,797 (T2= 0,797T1).

3.

Tens˜

ao e calibre das cordas

Agora, o segundo efeito ser´a analisado: a varia¸c˜ao da tens˜ao com o diˆametro da corda. A pergunta ´e ent˜ao a seguinte: qual ´e o efeito de aumentar o diˆametro de uma corda em sua tens˜ao, com tudo o mais (comprimento e frequˆencia) mantido constante? A tens˜ao aumentar´a, ´e certo, mas quer-se saber de quanto.

O diˆametro D da corda aparece explicitamente a partir da massa m da corda na Eq. (2), com ρ= m

V, ondeV ´e o volume da corda eρ a massa espec´ıfica do material (em geral, a¸co). Fazendo o volume da corda

V = (πD2_{L)/4, chega-se a}

m= ρπD

2_L

4 (5a)

e por meio da Eq. (2),

µ= ρπD 2

4 . (5b)

Por fim, substituindo a Eq. (5-b) na Eq. (1) e rear-ranjando, obt´em-se

T =ρπD2_L2_f2_{, (5c)}

no caso que interessa aqui (L e f constantes), esta equa¸c˜ao indica queT ser´a proporcional aD2

T1 T2 = ( D1 D2 )2 . (6)

Verificar-se-´a agora o efeito deste aumento de tens˜ao no caso anterior, ou seja, o efeito na tens˜ao de substi-tuir (por exemplo) uma corda de diˆametro 0,010” por outra de 0,011”, mantido tudo o mais constante (estes s˜ao dois diˆametros bastante comuns no mercado de cor-das para instrumentos musicais). Nestas condi¸c˜oes, a Eq. (6) indica que a tens˜ao aumentar´a por um fator 1,21: T2= 1,21T1

O resultado pr´atico de tudo o que foi exposto acima pode ser resumido assim: se a frequˆencia de uma corda for reduzida de um tom, de mi para r´e no exemplo an-terior, a tens˜ao reduzir´a por um fator 0,797; se agora esta corda for substitu´ıda por outra de maior calibre (de 0,010” por 0,011”), mantendo-a afinada nessa mesma nota r´e, a tens˜ao aumentar´a por um fator 1,21. Con-siderando simultaneamente os dois efeitos (reduzir a frequˆencia e aumentar o calibre) chega-se a uma va-ria¸c˜ao na tens˜ao que pode ser expressa pelo fator 0,797 x 1,21 = 0,96. (Se esse resultado fosse igual a 1 n˜ao ha-veria diferen¸ca em rela¸c˜ao `a tens˜ao original). Ou seja, consegue-se dessa forma uma tens˜ao muito pr´oxima da-quela projetada inicialmente pelo fabricante para uma afina¸c˜ao convencional.

4.

Como determinar as tens˜

oes das

cor-das, na ausˆ

encia de dados dos

fabri-cantes?

Muitos fabricantes (a maioria deles) n˜ao fornecem os dados da tens˜ao de afina¸c˜ao padr˜ao de suas cordas. Para os leitores que possuam o gosto e “pendores” para a experimenta¸c˜ao, ´e sugerida a seguir a confec¸c˜ao de um dos “instrumentos”, apresentados nas Figs. 2-a e 2-b. N˜ao s˜ao, ´e claro, instrumentos destinados `a execu¸c˜ao musical, s˜ao isto sim dispositivos de medida (direta) da tens˜ao de uma corda quando afinada na frequˆencia para a qual ela foi constru´ıda, respeitado o comprimento es-pecificado pelo fabricante.

O material necess´ario para a constru¸c˜ao do dispo-sitivo da Fig. 2-a, o mais simples, ´e o que segue: uma pe¸ca de madeira de dimens˜oes aproximadas de 100 cm de comprimento por 4 cm de largura e 2,5 cm de es-pessura, uma balan¸ca de mola (adquirida no com´ercio informal ou ferragens), uma corda de viol˜ao ou gui-tarra, prego (3,2 mm de diˆametro), parafuso, furadeira e brocas. Adicionalmente, ser´a necess´aria uma tira de metal de aproximadamente 1 cm x 6 cm, de espessura aproximada de 0,2 mm, alicate, parafuso com porca e brocas diversas. Essa tira de metal constituir´a a pe¸ca na qual a corda ´e presa, e pode ser vista na amplia¸c˜ao da balan¸ca, tamb´em na Fig. 2-a. A “chave” para afi-nar a corda ´e feita com o prego dobrado num ˆangulo de 90◦_{; este ´e afixado numa das extremidades da pe¸ca}

de madeira, previamente perfurada com a broca de 2,5 mm. Se este orif´ıcio pr´evio n˜ao for feito, ´e prov´avel que a madeira rache ao pregar o prego em sua posi¸c˜ao (ver a Fig. 2-a e a amplia¸c˜ao para mais detalhes).

Figura 2 - a) Vers˜ao simplificada de um dispositivo destinado `a medida da tens˜ao de uma corda de viol˜ao ou guitarra. A “chave” de afina¸c˜ao ´e um prego dobrado a 90◦_{, a frequˆencia da corda ´e controlada por um aplicativo desmartphone (Nesse trabalho, foi usado}

o aplicativo para a plataformaAndroid denominadogStrings_⃝R. Esse aplicativo ´e de uso livre, sem custos.) e a tens˜ao ´e medida por

meio de uma balan¸ca de mola. Ver o texto para mais detalhes. b) Uma vers˜ao mais sofisticada do mesmo dispositivo. A frequˆencia ´e controlada por um afinador conectado ao captador magn´etico do instrumento; a tens˜ao tamb´em ´e medida numa balan¸ca de mola. Os dois dispositivos, para os objetivos desse trabalho, funcionam de maneira equivalente.

Um parafuso ´e colocado na outra extremidade da pe¸ca de madeira, de modo a acoplar nele o anel da ba-lan¸ca de mola. Por fim, a corda6_{´e instalada, e pequenas} pe¸cas de madeira s˜ao colocadas de modo a funcionar como cavaletes da corda; esses cavaletes devem estar separados de uma distˆancia de 64,8 cm (o comprimento padr˜ao de uma escala7_{). Agora, a “chave de afina¸c˜ao”}

(o prego dobrado) ´e girada por meio de uma alicate, e a afina¸c˜ao controlada por meio de um aplicativo de

smartphone, ou atrav´es de um afinador de instrumen-tos. Como acontece quando uma corda ´e instalada num instrumento qualquer, deve-se tomar bastante cuidado: se a corda rompe durante a afina¸c˜ao, suas extremida-des por um efeito de chicote, podem ferir o operador

6

Um “truque” que pode facilitar a instala¸c˜ao da corda na “chave” consiste em enrolar algumas voltas no prego, e em seguida fix´a-la a´ı de maneira provis´oria atrav´es de fita adesiva. A seguir, o prego dobrado ´e girado, de modo que a corda se enrole sobre ela mesma, o que garantir´a sua boa fixa¸c˜ao. A afina¸c˜ao prossegue da mesma forma pela qual um viol˜ao ou guitarra s˜ao afinados.

7

Para o leitor familiarizado com o mundo dos instrumentos de corda, este ´e o comprimento da escala de guitarras Fender_⃝R, por

exemplo. J´a as guitarras fabricadas pela empresa Gibson_⃝R possuem um comprimento de escala menor, igual a 629 mm. Escalas maiores

s˜ao encontradas nas guitarras bar´ıtono; um modelo da PRS_⃝R _{possui comprimento de escala de 704 mm. Foram escolhidos exemplos de}

ou alguma pessoa pr´oxima. Usar cordas novas torna o procedimento mais seguro.

A Fig. 2-b mostra uma vers˜ao mais sofisticada do mesmo dispositivo, munida de um captador magn´etico. O captador permite amplificar o som da corda, e (ou) conectar o dispositivo a um afinador por meio de um cabo. Entretanto, para as finalidades desse trabalho, as duas vers˜oes funcionam de maneira perfeitamente equivalente. A carga `a qual a corda ´e submetida, em kg, pode ser lida diretamente na balan¸ca de mola (multiplicando-a por g, 9,8 m/s2_{, obteremos a tens˜ao} em N). Os estudantes ficam invariavelmente surpreen-didos ao saber que os instrumentos musicais s˜ao feitos de modo a suportar cargas equivalentes a algo da ordem de 50 kg (lembre que s˜ao seis cordas), ou, em unidades de tens˜ao, 500 N.

Os valores que podem ser obtidos com esses disposi-tivos s˜ao bastante consistentes com aqueles fornecidos pelos fabricantes: da ordem de 70 N para as cordas em-pregadas nos dispositivos das fotos da Fig. 2: cordas mi (agudo), de metal maci¸co e diˆametro igual a 0,254 mm (0,010”), com escala de comprimento padr˜ao. Outras cordas podem ter suas tens˜oes de opera¸c˜ao medidas, tais como cordas de nylon de viol˜ao cl´assico, ou cordas para frequˆencias mais baixas, encapadas; os dispositi-vos descritos acima funcionar˜ao perfeitamente tamb´em nesses casos. Como regra, se os diˆametros e materiais de cordas de diferentes fabricantes forem idˆenticos, as tens˜oes de afina¸c˜ao tamb´em o ser˜ao.

5.

Conclus˜

oes

Retomando: se uma corda for afinada abaixo (ou acima) da nota para a qual ela tinha sido projetada, a varia¸c˜ao na tens˜ao pode ser encontrada a partir da express˜ao (4), e das frequˆencias correspondentes, que podem ser obtidas como indicado na nota 5. Por ou-tro lado, se uma corda for substitu´ıda por outra de calibre (diˆametro) diferente, o efeito desta substitui¸c˜ao na tens˜ao da corda pode ser obtido da express˜ao (6). O resultado dos dois efeitos conjugados (diminuir a frequˆencia e aumentar o diˆametro da corda) pode ser

ajustado de modo a manter (aproximadamente, visto que nem todos os diˆametros de corda est˜ao dispon´ıveis no mercado) a tens˜ao original da corda, em afina¸c˜ao padr˜ao. ´E claro que os fabricantes (alguns deles) pro-duzem encordoamentos espec´ıficos para determinadas afina¸c˜oes. Cabe destacar ainda que tudo o que foi abor-dado neste trabalho valeria para qualquer outro instru-mento de cordas, indo de cavaquinhos at´e contrabaixos, com qualquer comprimento de escala.

Adicionalmente, foi sugerida a constru¸c˜ao de um dispositivo para aferir de modo aproximado a tens˜ao de afina¸c˜ao daquelas cordas cujos parˆametros n˜ao s˜ao fornecidos pelos fabricantes. Numa primeira aborda-gem, voltada aos ambientes de ensino e aprendizagem da f´ısica, apenas os dados encontrados na p´agina oficial de fabricantes de cordas s˜ao suficientes. Para aqueles casos em que o interesse dos estudantes cresce al´em do previsto, cabe um pequeno projeto no qual dispositi-vos como os sugeridos neste trabalho s˜ao fabricados, medidas s˜ao feitas, e assim por diante. Ent˜ao, esse tra-balho ´e ´util, primeiro para compreender do ponto de vista f´ısico o que ocorre, e depois ´e ´util para a busca de combina¸c˜oes frequˆencia – diˆametro que atendam a de-mandas espec´ıficas. No que diz respeito aos professores de f´ısica, a utilidade desse trabalho revela-se especial-mente no fato de os principais conceitos de mecˆanica ondulat´oria se fazerem presentes, atrav´es de uma ´area que costuma atrair bastante a aten¸c˜ao dos alunos: a m´usica Seja como for, ´e importante aproveitar a oportu-nidade ´ımpar de ver diferentes campos do conhecimento em a¸c˜ao: f´ısica, m´usica, matem´atica, entre outros

Referˆ

encias

[1] M´ario Goto, Revista Brasileira de Ensino de F´ısica31, 2307 (2009)

[2] J.G. Roederer, Introdu¸c˜ao `a F´ısica e Psicof´ısica da M´usica(EDUSP, S˜ao Paulo, 2002).

[3] Paulo Mors, Cad. Cat. Ens. F´ıs.11, 123 (1994)

[4] D. Halliday, R. Resnick e J. Walker Fundamentos de F´ısica – Gravita¸c˜ao, Ondas e Termodinˆamica (LTC, Rio de Janeiro, 2012), v. 2, 8a