Sôbre a expressão hr1 + kr2 + Ir3 = 0.

Sobre a Expressão

hr

+ kr

+ Ir

= 0

E D U A R D O A. S A L G A D O

Escola Superior de Agricultura «Luiz de Queiroz»

I N T R O D U Ç Ã O

A expressão acima, muito conhe-cida em cristalografia, liga índices mi-lerianos de u m a face a índices de ares-ta nela contida.

D a m o s mais uma d e d u ç ã o da re-ferida fórmula.

2 . — D E D U Ç Ã O

N a figura 1 temos dois sistemas de eixos, o retangular xyz e o de eixos oblíquos XYZ.

N a mesma figura há o círculo máximo A P C , cujo pólo U re-presenta a face que tem o símbolo (hkl) no sistema XYZ e cujas c o o r d e n a d a s esféricas são pU e ?U, esta última a partir do eixo y, Y. A letra _P designa o pólo de uma aresta qualquer contida na face U, fazendo a reta Pz o angulou e a reta Zz o ângulo A com o eixo y, Y .

O ângulo dos eixos X e Y é representado por y. D o triângulo P z U o b t é m - s e :

c o s p P . c o s p U + s e n p P . s e n p U . c o s f (90 + fl) -I- (90 — f\J)] =

= cos 9 0 = 0 •*•

c o s p P . c o s p U — s e n p P . s e n f l . s e n p U . s e n ^ U — senpP.cosfl.sen senpU.cos<pU = 0 ( 1 ) .

T e m o s , p a r a c o o r d e n a d a s de um ponto qualquer da aresta de pólo P , no sistema r e t a n g u l a r :

x = — s e n p P . senfl; y = — senpP.cosfl; z = cospP.

T r a n s f o r m e m o s estas c o o r d e n a d a s nas suas correspondentes, no sistema XYZ, por meio d a s conhecidas fórmulas de transforma-ção d a geometria analítica, que permitem p a s s a r de um sistema re-tangular a um sistema de eixos o b l í q u o s :

aX + bY + cZ = x ; áX + b'Y + c'Z = y ; a"X + b " Y + + c"Z = z, em que, a a' a"; b, b ' b " ; c, c' c " repre-sentam os cosenos diretores, no sistema retangular, dos eixos X, Y. Z, respectivamente. O b t é m - s e :

s e n y . X — sen p Z . s e n A . Z = — s e n p P . senfl c o s y . X + Y — s e n p Z . c o s A . Z = — senpP.cosfl

c o s p Z . Z = cospP.

Substituindo em ( 1 ) — s e n p P . senfl, — senpP.cosfl e cospP pelos valores anteriormente obtidos, v e m :

Sejam m, n, p os cosenos diretores da face p a r a m e t r a l do siste-ma XYZ, neste sistesiste-ma, e aly /?n, yi os ângulos que o pólo U forma com os eixos X, Y, Z. O teorema dos cosenos de Wulff permite escrever:

cosaj c o s & c o sy i

h : k : 1: = : : ( 3 ) m n p

Do triângulo UzX e de ( 3 ) tira-se:

cos« = s e n p U . c o s (y — <p\J) = senp U . c o s v U . c o s y + s e n p U . s e n ?

(p[J. seny = hm . . . . ( 4 )

Do triângulo UzY e de ( 3 ) o b t é m - s e :

cos/?, = s e n p U . c õ s ^ U = nk ( 5 )

Do triângulo UzZ e de ( 3 ) resulta:

cosy! = cospU.cospZ + senpU.senpZcos

-j^

(90

= cospU.cospZ — s e n p U . s e n ^ U . senA. senpZ — senpU. c o s ^ U . sen .senpZ.cosA = p l . . . . ( 6 )

Substituindo em ( 4 ) senpU .cos<pil pelo seu valor nk, tirado de

( 5 ) , v e m :

I T hm — n k . c o s y

s e n p U . s e n ^ U = - ( 7 ) seny

De ( 6 ) tira-se, fazendo senA. senpZ = K e senpZ. cosA = L : pl + K . s e n p U . sen»U + L . s e n p U . cos»U

cospU = — — . . . ( 8 ) cospZ

Substituindo em ( 8 ) s e n p U . c o s p U e s e n p U . s e n ^ U pelos valo-res obtidos em ( 5 ) e ( 7 ) , t e m - s e :

pl , K ( h m — n k . c o s y ) , L . n k cospU = — - — + — + . . . ( 9 )

cospZ s e n y . cospZ cospZ Substituindo em ( 2 ) s e n p U . c o s ^ U , s e n p U . s e n ^ U e cospU pelos valores de ( 5 ) , ( 7 ) , e ( 9 ) , tem-se:

{

pl + — + L . n k

1 +

seny J

, hm — n k . c o s y f 1

+ <l s e n y . X - KZ y +

T e m o s , p a r a símbolo d a a r e s t a P : X Y Z

[ r i : rs: r8] = — : — : — , sendo a, b, c os p a r â m e t r o s dos eixos

a b e

oblíquos, do que resulta: X = ari, Y = b r2, Z = cr3. Levando estes valores de X, Y, Z em ( 1 0 ) , obtém-se

a m h rx -f b n k r2 + oplr3 = 0 .

Sendo am = bn = cp, resulta, finalmente: híx + k r2 + lr8 = 0.

3 — R E S U M O

P o r meio da projeção estereográfica e geometria analítica é a p r e s e n t a d a u m a nova d e d u ç ã o d a expressão hr1 + kr2 + lr3 = 0 .

4 _ S U M M A R Y

By means of the stereographic projection and analytic geometry a new

deduction of the expression hr1 + k r2 1+ l r3 = 0 is presented.

5 — BIBLIOGRAFIA

1 — B O L D Y R E V , A. K. - 1934 — Cristalografia — tradução do russo para o espanhol por Rafael Candel Vila — Editorial Labor.

2 — BOEKE H. E. — Die Anwendung der stereographischen Projektion bei kristallographischen Untersuchungen — Berlin — Verlag von Gebrüder

Borntraeger.

3 — CARNOY, J. — Cours de Geometrie analytique — Librairie Gauthier