Sôbre a formula de Miller das faces tautozonas.

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Sobre a Formula de Miller

**das Faces Tautozonas (*)**

E D U A R D O A . S A L G A D O

Escola Superior de Agricultura « L u i z de Queiroz»

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I N T R O D U Ç Ã O

A muito conhecida e util fórmula de Miller tem sido deduzida de várias maneiras, por cristalografistas diversos. Acreditamos seja nova a dedução que segue.

2 — D E D U Ç Ã O

N a figura 1 representa-se, em pro-jeção estereográfica, uma zona conten-do as faces A , B , C, D .

N o plano do desenho estão situa-dos os eixos cristalográficos X e Y e as coordenadas esféricas <p são medidas a partir de O Y ' , sendo w o ângulo formado por O Y e O Y ' e A o ângulo formado pelo círculo de zona e pelo círculo máximo passando pelos pontos O e A .

^ , . . , ( / , n sen A B senpB

Tem-se, no triângulo A O B : = . . . ( 1 )

sen(pA — p B ) sen A

k ^ „ sen A C senpC

e no triângulo A O C : = — . . . ( 2 ) sen(pA — <pC) senA Dividindo, membro a membro, ( 1 ) por ( 2 ) , v e m : sen A B _ senpB ( s e n ^ A . c o s v B — sen^B.cos<pA) sen A C senpC ( s e n ^ A . c o s y C — sen^C.cos<pA)

Sendo ( h j k ^ i ) o símbolo da face A e m, n, p os cosenos dire-tores da face parametral, no sistema de eixos cristalográficos, o teorema dos cosenos de Wulff dá:

him = cos A X = senpA.sen? A . . . ( 4 )

kin = c o s A Y = senpA.cos (<pA — <a) = senpA (cos^A.cosoi H sen^A.sen o > ) . . . ( 5 )

De ( 4 ) tira-se:

sen^A = ( o ) senpA

Levando este valor de sen?A em ( 5 ) obtém-se: kxn — hirti.senw

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Para sen^B, cos?B, serwC, cos^C aparecem expressões idênti-cas à ( 6 ) e ( 7 ) , e levando os valores assim obtidos em ( 3 ) v e m :

sen A B _ (hxk

2

— hakj

sen A C (hik

s

—

h^)

Encontrar-se-á, analogamente:

sen C D _ (h

8

k

4

— h

4

k

3

)

sen B D (h

2

k

4

— h

4

k

2

)

Tal tipo de dedução poderá ser repetido, obviamente, para os índices h e / e k e /, completando a fórmula.

3 . — R E S U M O

Apresenta o autor uma dedução nova, através da projeção este¬ reográfica, da fórmula de Miller em que são interessadas faces em zona.

4. — S U M M A R Y

B y means of the stereographic projection, the author presents a new deduction of Miller's formula concerning about the tauto¬ zonal faces.

5. — B I B L I O G R A F I A

B O E K E , H . E., 1911 — Die Anwendung der stereographischen Projektion bei kristallographischen Untersuchungen-Berlin — Verlag von Gebrüder. B A R K E R , T . V.-1922 — Graphical and tabular methods in cristallography

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