Discretização de Euler para controle impulsivo

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Daniella Porto

Discretização de Euler para Controle Impulsivo

Dissertação de Mestrado Pós-Graduação em Matemática

Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas Rua Cristóvão Colombo, 2265, 15054-000

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Daniella Porto

1

Discretização de Euler para Controle Impulsivo

Orientador:

Prof. Dr. Geraldo Nunes Silva

Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas

Campus de São José do Rio Preto

São José do Rio Preto 17 de Fevereiro de 2012

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Porto, Daniella.

Discretização de Euler para Controle Impulsivo / Daniella Porto - São José do Rio Preto: [s.n.], 2012.

47 f. : 0 il. ; 30 cm.

Orientador: Geraldo Nunes Silva.

Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas.

1. Discretização de Euler. 2. Controle Impulsivo. 3. Convergência no Gráco. I. Silva, Geraldo Nunes. II. Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas. III. Título.

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Daniella Porto

Discretização de Euler para Controle Impulsivo

Dissertação apresentada para obtenção do título de Mestre em Matemática, área de Análise Aplicada, junto ao Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Campus de São José do Rio Preto.

Banca Examinadora

Prof. Dr. Geraldo Nunes Silva Professor Adjunto

UNESP - São José do Rio Preto Orientador

Prof. Dr. Orizon Pereira Ferreira Professor Associado

UFG - Goiânia

Prof. Dr. Fernando Manuel F. Lobo Pereira Professor Parceiro

UP - Portugual

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AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus que sempre me ajuda nos momentos de decisões, fazendo com que a escolha feita me ajude a crescer como ser humano, me mostrando que posso mais do que imagino.

Aos meus pais que sempre me apóiam em todas as decisões e me dão carinho e amor suciente para tornar o objetivo pretendido mais fácil de ser alcançado.

A minha irmã que sempre ca em casa quando vou pra lá passar uns dias, e nesses momentos aproveitamos para conversar bastante e nos distrair um pouco.

Ao Wanderson pelo amor, carinho, compreensão, amizade, por me acolher com tanta hospitalidade na cidade que ele mora à alguns anos e por ser a pessoa maravilhosa que ele é.

A toda minha família, avós, tios(as), primos(as), amigos(as), e, em particular, aos meus avós maternos, que já não estão entre nós, mas, quando estavam vivos, sempre perguntavam como eu estava depois que mudei de Goiânia. Com certeza todos estes foram e são pessoas que fazem falta.

Muito obrigada a todos pelos conselhos, pela amizade, e, principalmente, pelo carinho e amor dedicado a mim. Sempre me dizem que sentem minha falta, mas podem ter certeza que dentro de mim existe uma parte vazia porque vocês já não estão mais tão perto sicamente.

Agradeço ao Prof. Dr. Orizon Pereira Ferreira pelos anos que me orientou na iniciação cientíca durante a graduação. Foi através dele que conheci a área de otimização e pude ver que era esta área que gostaria de estudar.

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Não deixe que a saudade sufoque, que a rotina acomode, que o medo impeça de tentar. Descone do destino e acredite em você. Gaste mais horas realizando que sonhando, fazendo que planejando, vivendo que esperando porque, embora quem quase morre esteja vivo, quem quase vive já morreu...

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RESUMO

O objetivo deste trabalho é o estudo do sistema de controle impulsivo de[Wolenski e abi¢ 2007]

para o caso em que o sistema é dado por uma igualdade e modicado pela adição de dois controles abstratos. Tal estudo foi feito utilizando duas abordagens.

Na primeira, reparametrizamos o sistema inicial a partir da função distribuição rela-cionada à medida atômica e, através da discretização de Euler do sistema reparametrizado, obtemos uma sequência de soluções que converge no gráco para a solução do sistema original, sob algumas hipóteses.

Na segunda abordagem, denimos um novo sistema associado a uma sequência de medidas absolutamente contínuas que converge no gráco para a medida atômica. A partir desse novo sistema, obtemos uma sequência de soluções com a propriedade de convergência no gráco da solução do sistema original.

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ABSTRACT

The aim of this work is to study the impulsive control system of[Wolenski e abi¢ 2007]

to the case where system is given by an equality and modied by addition of two abstract controls. The study was done using two approaches.

At rst, we've reparameterized the initial system from distribution function related to atomic measure and, through Euler's discretization of reparameterized system, we've obtained a sequence of solutions which graph converge to the solution of original system, under some hypothesis.

In the second approach, we've dened a new system associated with a sequence of absolutely continuous measures which graph converge to atomic measure. From this new system, we've obtained a sequence of solutions with the graph convergence property of the solution of the original system.

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SUMÁRIO

1 Preliminares p. 13

1.1 Teoria da Medida . . . p. 13

1.2 Multifunções e Inclusão Diferencial . . . p. 15

1.3 Teoria do Controle . . . p. 17

1.4 Teoremas . . . p. 17

2 Sistemas de controle impulsivo p. 20

2.1 Sistemas de controle impulsivo . . . p. 20

2.1.1 Completamento gráco . . . p. 21

2.1.2 Sistemas de controle impulsivo e suas trajetórias . . . p. 23

3 Método de Discretização de Euler p. 25

3.1 Discretização de Euler . . . p. 25

4 Controles Aproximados p. 33

4.1 Convergência de medidas no gráco . . . p. 33

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10

NOTAÇÃO

| · |- norma euclideana do espaço Rn.

| · |1- norma em L1.

∥ · ∥- norma em Mn×q.

Mn×q- espaço das matrizes n×q com entradas reais.

d(a, b)- distância entre os pontosa e b.

d(a, B)- distância entre o ponto a e o conjunto B.

dH(A, B)- distância de Hausdor entre os conjuntos A e B.

¯

R₌R_{∪ {−∞}_,₊∞}.

B- bola aberta de centro zero e raio um em Rn.

¯

B- bola fechada de centro zero e raio um em Rn.

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11

INTRODUÇÃO

Existem várias abordagens, na literatura, que tratam de sistemas de controle impul-sivo. Na referência[Bressan Jr. e Rampazzo 1991],u∈Rm é o controle e o sistema é dado por equações diferenciais ordinárias com o campo de vetores dependendo de u˙(t), onde t

é o tempo. Supondo que exista a comutatividade do campo de vetores, que multiplicau˙,

então é possível associar este sistema de controle impulsivo com um sistema não impulsivo, e assim aplicar técnicas e resultados já existentes.

Em uma abordagem mais geral, na referência[Bressan Jr. e Rampazzo 1994], foi

estu-dado um sistema de controle impulsivo onde o campo de vetores não comuta. O sistema original é transformado em um sistema quociente, onde o campo de vetores comuta. Mostra-se então que o conjunto das trajetórias de Caratheodory do sistema original é denso no conjunto de trajetórias do sistema quociente, obtendo, assim, resultados sobre aproximação entre as soluções.

Em [Wolenski e abi¢ 2007] foi estudado um sistema impulsivo dado por inclusão

diferencial. É construído um novo sistema reparametrizado, obtido através do comple-tamento gráco da função distribuição relacionada a medida atômica, e mostrado, em

[Wolenski e abi¢ 2006], que a solução do sistema original e do sistema reparametrizado

são equivalentes. Assim, é feita uma discretização do sistema reparametrizado e obtido resultados de aproximação no gráco entre a solução do sistema impulsivo e a solução obtida pela discretização. Vale ressaltar que em [Silva e Vinter 1996] também é

(13)

12

Estudamos o artigo [Wolenski e abi¢ 2007]e apresentamos os resultados contidos no

mesmo, mas com algumas modicações. As multifunções foram substituídas por funções e a medida foi substituída por um controle impulsivo. Isto torna o novo sistema um caso particular de inclusão diferencial, mas os controles incluídos faz com que tenhamos que acrescentar hipóteses para que os resultados sejam ainda válidos, e, além disso, mesmo não tendo mais multifunções, é necessário dení-las para seguir a mesma linha utilizada nas demonstrações dos resultados. Com esta modicação, também conseguimos garantir resultados mais fortes.

(14)

13

CAPÍTULO

1

PRELIMINARES

O objetivo deste capítulo é introduzir brevemente os conceitos que aparecem ao longo do texto de modo que se torne auto suciente das teorias que serão utilizadas. Neste intu-ito, a Seção (1.1) trata de alguns tópicos de teoria da medida que podem ser encontrados com mais detalhes nas referências [Bartle 1995],[Folland 1999] e[Clarke et al. 1998]. Na

Seção (1.2) é feita uma exposição dos conceitos de multifunção e inclusão diferencial. As referências [Clarke et al. 1998] e [Kisielewicz 1991] trazem mais detalhes sobre estes

assuntos. A Seção (1.3) traz uma introdução básica dos problemas abordados em teoria do controle. Por último, nalizamos o capítulo listando os principais teoremas utilizados no texto.

1.1 Teoria da Medida

Esta seção tem a nalidade de fornecer denições e resultados de teoria da medida importantes para nossa nalidade.

Denição 1.1. Uma família X de subconjuntos de um conjunto _X é dita ser uma _σ

-álgebra se: - ∅, X ∈ X;

- Se A∈X, então _Ac _∈X;

- Se {An}n é uma sequência de conjuntos em X, então a união ∪∞

n=1An∈X.

O par (X,X₎ é chamado espaço mensurável.

(15)

1.1 Teoria da Medida 14

X, então a interseção de todas as σ-álgebras contendo S é também uma σ-álgebra, que

é chamada σ-álgebra gerada por S. Em particular, a σ-álgebra B gerada por todos os

intervalos (a, b)⊂R é chamada _σ-álgebra de Borel.

Denição 1.2. Uma função µ:R_→R¯ é uma medida sobre a _σ-álgebra X de _X se

- µ(∅) = 0;

- µ assume no máximo um dos valores ±∞; - Seja {Fn}∞

n=1 uma sequência disjunta de subconjuntos de X, isto é, Fn∩Fm = ∅ para todo n̸=m, então

µ

( _∞ ∪

n=1

Fn )

=

∞

∑

n=1

µ(Fn);

A terna (X,X_{, µ}₎ é dita um espaço de medida. Além disso, se para todo conjunto _F _⊂X

temos que −∞ < µ(F) < ∞, µ é dita nita . Se existe {Fn}n sequência de X tal que

X =∪∞

n=1Fn e −∞< µ(Fn)<∞ para todon ∈N, µ é dita σ-nita.

Seja X =R e X₌B, a álgebra de Borel, então existe uma única medida _m sobre B

tal que, se E = (a, b) um intervalo não-vazio da reta, então m(E) = b−a. Esta medida

é chamada de medida de Lebesgue.

Denição 1.3. Sejam µ, λ : R _→ R¯ medidas sobre X. A medida _λ é dita ser

absoluta-mente contínua em relação a µ se para cada E ∈X tal que _µ₍_E_{) = 0}, tem-se _λ₍_E_{) = 0}.

Neste caso, denotaremos porλ << µ. Além disso, λ eµ são ditas mutuamente singulares

se existem dois conjuntos disjuntos A, B ∈X tais que _A_∪_B ₌_X e _µ₍_A_{) =} _λ₍_B_{) = 0}. A

notação usada será λ⊥µ.

Teorema 1.1. (Decomposição de Lebesgue). Sejam λ e µ medidas σ-nitas denidas

sobre uma σ-álgebra X. Então existe uma medida _λ₁ que é singular com respeito a _µ e

uma medida λ2 que é absolutamente contínua com respeito a µtais que λ=λ1+λ2, com

λ1 e λ2 únicas.

Demonstração. Consultar referência [Bartle 1995].

Denição 1.4. Seja f :X →R¯. Dizemos que _f é X-mensurável se

{x∈X;f(x)> α} ∈X_, para cada_αreal_.

(16)

1.2 Multifunções e Inclusão Diferencial 15

Denição 1.5. Uma medida vetorial µ é uma função µ:R_→R¯m sobre X com

µ(F) = (µ1(F), µ2(F), ..., µm(F)), F ∈X,

onde µj :R→R¯ é medida, para j = 1, ..., m.

Denição 1.6. Seja µ:R_→R¯m uma medida vetorial. Denimos o conjunto de funções |µj| sobre X por

|µj|(F) :=sup n ∑

i=1

|µj(Fi)|,

o supremo sendo tomado em todas as partições disjuntas {Fi} de F. A variação total de µé dada por |µ|:=∑m_j₌₁|µj|. Além disso, dizemos que a medida vetorial µ é σ-nita se |µ| é σ-nita. Da mesma forma, µ é nita se |µ| é nita.

Denição 1.7. Um átomo de uma medida vetorial µ : R _→ R¯m é um elemento _F _∈ X

para o qual µ(F) ̸= 0 e tal que se F1 ⊂ F e F1 ∈ X então µ(F1) = 0 ou µ(F −F1) = 0.

Uma medida que não tem átomos é dita não-atômica.

Dizemos que uma propriedade é válida quase sempre (q.s.) se existe um subconjunto

S⊂X com _µ₍_S_{) = 0} tal que a propriedade é válida no complementar de _S.

A seguir deniremos o conjunto de pontos de Lebesgue de uma função.

Denição 1.8. Seja f(·) : Rn _→ Rm uma função localmente _L1. Denimos o conjunto de pontos de Lebesgue de f por

Lf := {

x; lim

r→0

1

m(B(x, r))

∫

B(x,r)

|f(y)−f(x)|dy= 0

}

,

onde B(x, r) é a bola de centro x e raio r.

Tal conjunto possui a seguinte propriedade.

Teorema 1.2. Se f(·) : Rn _→ _Rm _{é localmente} _L1_{, então} _m₍₍_L

f)C) = 0, onde (Lf)C denota o complementar do conjuntoLf.

Demonstração. Consultar referência [Folland 1999].

1.2 Multifunções e Inclusão Diferencial

(17)

1.2 Multifunções e Inclusão Diferencial 16

Denição 1.9. Γ :Rm ⇒Rn é chamada de multifunção se para cada _x_∈Rm temos que

Γ(x)⊂Rn, ou seja, _Γ(_x₎ é um subconjunto de Rn.

Denição 1.10. Uma multifunção Γ :Rm ⇒Rn é dita mensurável quando o conjunto

Γ−1(V) :={u∈Rm _{: Γ(}_u₎_∩_V _̸₌_∅}

é mensurável para cada subconjunto abertoV ⊂Rn_.

Denição 1.11. Uma multifunçãoΓ :Rn _⇒_Rm _{com valores compactos é dita localmente} Lipschitz se para todo conjunto limitadoC ⊂Rn existe uma constante _c tal que

dH(Γ(x),Γ(y))≤c|x−y| para todosx, y ∈C,

onde dH denota a distância de Hausdor que é dada por

dH(Γ(x),Γ(y)) :=min{δ≥0 : Γ(x)⊆Γ(y) +δB¯ eΓ(y)⊆Γ(x) +δB¯}.

Dada uma multifunção Γ :Rn ⇒Rn, considere a inclusão diferencial

˙

x(t)∈Γ(x(t))q.s., t∈[a, b].

A solução x(·) da inclusão acima é tomada como uma função absolutamente contínua

x(·) : [a, b]→Rn tal que _x_˙₍_t₎satisfaça a inclusão diferencial.

Denição 1.12. Uma função x(·) : [a, b] → Rn é dita ser absolutamente contínua se para cada ϵ > 0 dado, existe δ >0 tal que para alguma coleção contável de subintervalos

disjuntos [ai, bi] de [a, b] temos

n ∑

i=1

(bi−ai)< δ ⇒ n ∑

i=1

|x(bi)−x(ai)|< ϵ.

Denição 1.13. Dada Γ :Rn ⇒Rn, dizemos que a função _γ _: Rn _→ Rn é uma seleção mensurável para Γ se

• γ é mensurável;

• γ(x)∈Γ(x) q.s.;

Denição 1.14. Sejam x : [a, b] → Rn _e _{∆ =} _{_a ₌ _t

0 < t1 < ... < tn = b} dados. A função de variação limitada de x sobre o intervalo [a, b] é denida por

T(∆, x) =

N ∑

i=1

(18)

1.3 Teoria do Controle 17

Denotamos por

V(x) = sup

∆

T(∆, x),

onde o supremo é tomado sobre todas as partições ∆ do intervalo compacto [a, b], e

chamamos V(x) a variação total de x sobre [a, b]. Se V(x) < ∞, dizemos que x é de

variação limitada sobre [a, b].

1.3 Teoria do Controle

A teoria do controle lida com princípios básicos fundamentais de análise e sistemas, onde o controle inuencia no comportamento do sistema em questão.

Um sistema de controle é da forma

˙

x(t) =f(x(t), u(t)), (1.1)

com x(·) : [0, T]→Rn e _u₍_·_{) : [0}_{, T}_]_→Rm, onde _u₍_·₎ é o controle.

O controle busca, de alguma forma, controlar a variável x. Para exemplicar,

pense-mos em um escritório que possua um ar-condicionado, então, neste caso, o controle poderá controlar a temperatura, de forma a mantê-la no nível desejado.

Quando falamos em problema de controle ótimo, além da equação (1.1), surge agora uma função que deve ser minimizada. Seguindo o exemplo do ar-condicionado, para termos um problema de controle ótimo, devemos controlar a temperatura e também minimizar a energia gasta durante o uso do mesmo.

Estes problemas de controle ótimo podem não ter solução. Para resolver este impasse, acresenta-se uma medida atômica na equação (1.1), de forma a fazer com que a mesma possua solução. Este novo problema é chamado de problema de controle ótimo impulsivo. Para melhor compreensão veja o exemplo dado na referência[Code e Silva 2010].

1.4 Teoremas

Abaixo, seguem os teoremas que serão utilizados durante as demonstrações dos resul-tados estudados.

Lema 1. (Lema de Gronwall). Seja x(·) : [0, T] → Rn uma função absolutamente contínua satisfazendo

(19)

1.4 Teoremas 18

para γ ≥0 e c(·)∈L1_[0_{, T}_]_{. Então para todo} _t_∈_[0_{, T}_] _{vale a seguinte desigualdade}

|x(t)−x(0)| ≤(eγt₋₁₎_|_x₍₀₎_|₊ ∫ t

0

eγ(t−s)_c₍_s₎_ds.

Demonstração. Consultar referência [Clarke 1983].

Lema 2. (Lema discreto de Gronwall). Suponha que x0, x1, ..., xN são elementos em Rn tais que

|xj+1| ≤β|xj|+ ¯c,

onde β e c¯são escalares. Então,

|xN| ≤¯c

1−βN

1−β +β

N_|_x

0|.

Demonstração. Consultar referência [abi¢ 2005].

Corolário 1. Se no Lema discreto de Gronwall, β = 1 + α N e ¯c=

α

N, então |xN| ≤eα(1 +|x0|)−1.

Demonstração. Consultar referência [abi¢ 2005].

Teorema 1.3. (Egoro). Seja f(·) : [0, T] → Rn e _{_f_n₍_·₎_}n com _f_n₍_·_{) : [0}_{, T}_] _→ Rn funções mensuráveis, denidas e nitas em quase todo ponto de [0, T]. Suponha que

fn →f q.s. em [0, T]. Então para cada ϵ > 0, existe um conjunto A ⊂[0, T] tal que sua medida é menor que ϵ e fn converge uniformemente para f sobre [0, T]\A.

Demonstração. Consultar referência [Clarke 1983].

Teorema 1.4. (Compacidade de Trajetórias). Seja Γ :Rm _⇒_Rn _{uma multifunção. Seja} {xi} uma sequência de arcos sobre [a, b] tal que o conjunto {xi(a)} é limitado, e satisfaz

˙

xi(t)∈Γ(τi(t), xi(t) +yi(t)) +ri(t)¯B q.s.,

onde {yi}, {ri} e {τi} são sequências de funções mensuráveis sobre [a, b] tais que yi converge para 0 em L2_, _r

i ≥ 0 converge para 0 em L2, τi converge q.s. para t. Então existe uma subsequência de xi que converge uniformemente para um arco x que é uma trajetória deΓ, e cuja derivada converge fracamente para x˙.

Demonstração. Consultar referência [Clarke et al. 1998].

Teorema 1.5. (Diferenciação de Lebesgue). Suponha que f seja localmente L1_{. Para}

todox pertencente ao conjunto de Lebesgue def, em particular, para quase todox, temos

lim

r→0

1

m(Er) ∫

Er

|f(y)−f(x)|dy= 0 e lim

r→0

1

m(Er) ∫

Er

(20)

1.4 Teoremas 19

para toda família {Er}r>0 que reduz à x a medida que r→0.

Teorema 1.6. (Convergência Dominada) Seja {fn(·)}n uma sequência de funções inte-gráveis tal que

a)fn →f q.s.;

b)existe uma função g não-negativa e integrável tal que |fn| ≤g q.s., para todo n;

Entãof é integrável e

∫

f = lim

n→∞

∫

fn

Teorema 1.7. (Filippov) Sejam dadosΓ :Rn ⇒Rn e a inclusão diferencial

˙

x(t)∈Γ(x(t)), comx: [a, b]→Rn_. (1.2)

Suponha ϵ >0 dado. Se y(·) é um arco sobre [a, b] tal que

˙

y(t)∈Γ(y(t) +ϵB₎_q.s.,

e se ρΓ(y) < ϵ/K, para algum K > 0, então existe uma trajetória x(·) de (1.2) com

x(a) =y(a) e

max{|x(t)−y(t)|;t ∈[a, b]} ≤ ∫ b

a

|x˙(t)−y˙(t)|dt≤KρΓ(y)< ϵ.

Onde

ρΓ(y) :=

∫ b

a

inf{|v(t)−y˙(t)|;v ∈Γ(x(t))}dt

(21)

20

CAPÍTULO

2

SISTEMAS DE CONTROLE IMPULSIVO

No presente capítulo, estudaremos um sistema de controle impulsivo. Faremos um completamento gráco da função distribuição relacionada à medida atômica. Para isto será necessário fazer uma reparametrização do tempo. Em seguida deniremos o que será uma solução reparametrizada do sistema em questão, e, posteriormente, o que vem a ser uma solução do mesmo. Por m, observaremos que ambas as soluções são equivalentes.

2.1 Sistemas de controle impulsivo

O sistema de controle impulsivo considerado durante o estudo será

 



dx=f(x, u)dt+g(x, v)dΩ, t ∈[0, T]

x(0) =x0,

(2.1)

ondef(·) :Rn_×Rm _→Rne_g₍_·_{) :}Rn_×Rr _{→ Mn}_×_qsão mensuráveis com relação a segunda variável , onde Mn×q denota o espaço das matrizes de entradas reais de dimensãon×q, as funçõesu(·) : [0, T]→Rm _e_v₍_·_{) : [0}_{, T}_]_→_Rr _{são mensuráveis no sentido de Borel,}_Ω_é o controle impulsivo que consiste emΩ := (µ, vti, ψti). As componentes deΩsão denidas por:

• uma medida de Borel µ denida na sigma álgebra de Borel do intervalo [0, T]

tomando valores em um cone K ⊂Rq;

(22)

essen-2.1 Sistemas de controle impulsivo 21

cialmente limitadas com relação a medida de Lebesgue, que estão relacionadas aos átomos da medida µ, isto é, {vti}ti∈Θ, onde Θ := {ti ∈ [0, T] : i ∈ I e µ(ti) ̸= 0}, com µ(ti) o valor vetorial da medida em K e I o conjunto de índices atômicos da medida µ;

• função ψti(·) : [0,1]→K satisfazendo

(i) ∑q_j₌₁∥ψtij(σ)∥=|µ|(ti) q.s. σ ∈[0,1],

(ii) ∫1

0 ψ

j

ti(s)ds=µj(ti), j = 1,2, . . . , q

para todo ti ∈Θ.

Aqui, as funçõesvti(·)eψti(·)fornecem o comportamento da funçãov(·)e da medida

µ(·), respectivamente, durante o tempo atômico ti ∈Θ.

Durante todo o trabalho as sequintes hipóteses serão utilizadas:

H1 Um cone convexo e fechadoK ⊂Rq_;

H2 Uma função f(·) :Rn_×Rm _→Rn satisfazendo:

|f(x, u)| ≤c(1 +|x|),∀x∈Rne_∀_u_∈Rm_, c constante, c >0_;

H3 Uma função g(·) :Rn_×Rr _{→ Mn}_×_q satisfazendo:

∥g(x, v)∥ ≤c(1 +|x|),∀x∈Rne_∀_v _∈Rr_, c constante, c >0_.

2.1.1 Completamento gráco

Inicialmente observe que não é possível fazer uma discretização do sistema (2.1) pois o controle impulsivoΩfaz com que o mesmo seja descontínuo. Para contornar tal situação,

faremos uma reparametrização do tempo com o intuito de transformar o tempo atômico da medidaµem um tempo progressivo, para, desta forma, obter um sistema reparametrizado.

O processo para construção deste novo sistema será abordado abaixo.

SejaΘcomo denido anteriormente, ou seja,Θ :={ti ∈[0, T];i∈ I eµ(ti)̸= 0}onde I é o conjunto de índices atômicos. A função distribuição para a medida µ é a função τ(·) : [0, T]→ K dada por τ(t) :=µ([0, t]) que é uma função de variação limitada. Note

que em todos os pontos de Θ, a medida µ dá um salto, assim, em tais pontos, a função

(23)

2.1 Sistemas de controle impulsivo 22

Façamos uma reparametrização do tempo. Para isto, seja η(·) : [0, T] → [0,1] dada

por

η(t) := t+|µ|([0, t])

T +|µ|([0, T]).

Note que η é uma função estritamente crescente em função do tempo, assim segue que

1 =η(T). Por convenção denote η(0−) = 0, onde η(0−) é o limite lateral a esquerda de

η(0).

Sendo ti um átomo de µ, denote por Ii := [si−, si+] = [η(ti−), η(ti)] o tempo consumido durante o salto. Agora, seja θ a inversa preenchida de η, ou seja, se t é

um átomo de µ, então t =ti para algum i∈ I, assim, tomeθ(s) = t∀s∈Ii, e , set não for um átomo deµ, tomeθ(s)como a inversa deη(t). Desta forma, θ satisfaz as seguintes

propriedades:

• não-decrescente em [0,1];

• absolutamente contínua com |θ(s)−θ(s′)| ≤b|s−s′| para todoss, s′ ∈[0,1];

• θ(s) = ti para todo s ∈ Ii = [η(ti−), η(ti)], onde η(ti−) denota o limite lateral a esquerda de η(ti), eη contínua a direita;

Seja ϕ(·) : [0,1]→Rq _{dada por}

ϕ(s) :=

 



τ(θ(s)) ses∈[0,1]\(∪i∈IIi),

τ(θ(s)−) +∫

[η(ti−),s] 1

η(ti)−η(ti−)ψti(αti(σ))dσ ses∈Ii, i∈ I, ondeαti(·) : [η(ti−), η(ti)]→[0,1]é dado por αti(σ) := _η₍σ_t−η(ti−)

i)−η(ti−).

Note que ϕ(·)é Lipschitz, e denotaremos por r >0sua constante Lipschitz.

O completamento gráco da função distribuição τ(·) é dado pela função Lipschitz

contínua (θ, ϕ)(·) : [0,1]→ [0, T]×Rq, onde _θ mapea _[0_{, T}_] e para todo _t _∈ _[0_{, T}_] existe

s∈[0,1] tal que (θ(s), ϕ(s)) = (t, τ(t)).

Denição 2.1. Para uma medida µ ∈ BK([0, T]) dada, um par Lipschitz (θ, ϕ)(·) : [0,1]→[0, T]×Rq é dito ser um completamento gráco se

• θ(·) é não-decrescente;

• para todo t ∈[0, T], existe s∈[0,1] tal que (θ(s), ϕ(s)) = (t, τ(t));

(24)

2.1.2 Sistemas de controle impulsivo e suas trajetórias

Nesta seção veremos que as soluções do sistema (2.1) e do sistema reparametrizado são equivalentes, logo, podemos discretizar este novo sistema e obter resultados de aprox-imação entre as soluções discretas e a solução contínua.

Para isto, suponhamos que o controle impulsivo Ωseja dado, então considere

xϑ := (x(·),{ξti(·)}ti∈Θ), (2.2)

onde ϑ := (u, v,Ω), x(·) : [0, T] → Rn é função de variação limitada com os pontos de descontinuidade contidos no conjuntoΘe{ξti(·)}ti∈Θ é uma coleção de funções Lipschitz,

tal que ξti(·) : [0,1]→Rn e satifaz ξti(si−) =x(ti−) e ξti(si+) =x(ti+).

Dena ˆv(·) : [0,1]→Rr por

ˆ

v(s) :=

 



v(θ(s)) ses∈[0,1]\(∪i∈IIi)

vti(αti(s)) ses∈Ii, i∈ I.

(2.3)

Note que é necesário denirvˆ(·)pois quando denimos o sistema excitado por medidas,

um dos componentes do controle impulsivoΩ era vti, ti ∈ Θ, e, estas funções nos davam o comportamento da função v(·) durante o tempo atômico, logo, quando denimos vˆ(·)

desta forma, temos o comportamento preciso de v(·) para todo t ∈ [0, T]. Note também

que αti, ti ∈ Θ faz com que vti que restrito somente ao intervalo atômico, fazendo com quevˆ(·) esteja bem denido.

Agora, denote por F :Rn ⇒Rn e_G_:Rn ⇒Mn_×_q as multifunções denidas por

F(x) :={f(x, u);u∈U ⊂Rm_} e _G₍_x_{) :=}_{_g₍_x,_ˆ_v_{); ˆ}_v _∈_V _⊂Rr_}_, (2.4)

e suponha que ambas possuem grácos fechados e valores convexos.

Veja que F e G possuem crescimento linear por H2 e H3. Estas multifunções serão

utilizadas posteriormente.

Denição 2.2. Sejam xϑ como em (2.2) e

y(s) :=

 



x(t) ses∈[0,1]\(∪i∈IIi), t=θ(s),

ξti(αti(s)) ses∈Ii, para algumi∈ I.

(2.5)

(25)

e satisfaça

 



˙

y(s) =f(y(s), u(θ(s))) ˙θ(s) +g(y(s),ˆv(s)) ˙ϕ(s)q.s., s∈[0,1],

y(0) = x0.

(2.6)

Note que y(·), como denido em (2.5) completa gracamente a função x(·).

Agora, veja que tanto a medida µ quanto a medida de Borel m, não-atômica, são σ-nitas, logo, pelo Teorema (1.1) (Decomposição de Lebesgue), a medida µ pode ser

decomposta em partes absolutamente contínua, singular contínua e discreta, em relação a medida de Borel m.

Desta forma, temos

µ=µc +µσ+µD,

ondeµc é a componente contínua deµ,µσ é a componente singular contínua de µeµD é a componente discreta deµ, dada por µD =

∑

ti∈Θδtiτ, com δtiτ denotando o salto do vetor

τ(ti+)−τ(ti−).

Feita esta observação, podemos denir quando xϑ é uma solução de (2.1).

Denição 2.3. Dizemos que xϑ é solução de (2.1) se

x(t) = x0+

∫ t

0

f(x, u)dσ+

∫

[0,t]

g(x, v)dµc+ ∑

ti≤t

[ξti(1)−x(ti−)] ∀t∈[0, T], (2.7)

onde µc é a componente contínua de µ, e

˙

ξti(σ) = g(ξti(σ), vti(σ))ψti(σ) (2.8)

ξti(0) = x(ti−). (2.9)

O teorema a seguir é muito importante pois ele nos diz que as soluções dos problemas (2.1) e do problema reparametrizado são equivalentes, logo, podemos discretizar o prob-lema reparametrizado e comparar a sua solução com a solução encontrada pelo método de discretização de Euler, e desta forma estaremos obtendo resultados para o problema (2.1) devido a este teorema.

Teorema 2.1. Suponha que o controle impulsivo Ω seja dado e xϑ seja como em (2.2). Então, xϑ é uma solução reparametrizada de (2.1) se e somente se xϑ é uma solução de (2.1).

(26)

25

CAPÍTULO

3

MÉTODO DE DISCRETIZAÇÃO DE EULER

Neste capítulo, estamos interessados em discretizar o sistema reparametrizado, obtido no capítulo anterior, utilizando o método de Euler. Desta forma, produziremos soluções discretas deste problema, e veremos que estas soluções produzidas pelo método de Euler, convergem gracamente para a solução do problema (2.1) a medida que a norma da partição do tempo reparametrizado tende a innito.

3.1 Discretização de Euler

Começamos denindo o gráco de xϑ, e, logo após, faremos a discretização de Euler

do sistema reparametrizado (2.6). Assim estaremos aptos a enunciar e demonstrar os resultados de aproximação entre as soluções discretas e contínua.

Dena o gráco de xϑ como o conjunto

grxϑ:={(t, x(t)) :t∈[0, T]} ∪ {(ti, ξti(αti(s))) : s∈Ii, i∈ I}.

Sejam N ∈Ne_h₌ 1

N o tamanho do passo. Seja s0 = 0 =t0, e para cadaj = 1, ..., N, sejasj =jh, tj =θ(sj), eλj =tj−tj−1. Temos a seguinte discretização de Euler:

x0 =x0

x1 =x0+λ1f0+g0(ϕ(s1)−ϕ(s0))

(27)

3.1 Discretização de Euler 26

xj+1 =xj+λj+1fj +gj(ϕ(sj+1)−ϕ(sj)) ...

xN =xN−1+λNfN−1+gN−1(ϕ(sN)−ϕ(sN−1)),

ondexj =x(sj),j = 1, ..., N, efj =f(xj, u(θ(sj)))egj =g(xj,vˆ(sj))paraj = 0, . . . , N−

1.

Denotamos por ΛN _{o gráco da trajetória obtida na discretização de Euler projetada} no intervalo[0, T], ou seja,

ΛN :={(tj, xj) :j = 0, . . . , N}. (3.1)

Abaixo temos um teorema que nos diz que a partir da sequência {ΛN_}N _podemos encontrar uma solução de (2.1) e uma subsequência da trajetória obtida na discretização de Euler tais que, gracamente, elas se aproximam.

Teorema 3.1. Suponha que o controle impulsivoΩseja dado, quef e g sejam localmente

Lipschitz com relação a primeira variável, que F e G sejam como denidas em (2.4), e

que {ΛN_}N _{seja sequência de grácos de trajetórias obtidas pela discretização de Euler.} Então, para cada sequência {ΛN_}N _{existe uma solução} _x

ϑ de (2.1) e uma subsequência {ΛNk}k de {ΛN}N tal que

dH(ΛNk, grxϑ)→0comk → ∞.

Demonstração. Suponhamos que as sequências {fj},{gj} e {xj} são como no método de discretização de Euler. Então temos:

|xj+1|=|xj +λj+1fj +gj(ϕ(sj+1)−ϕ(sj))|,∀j = 0, . . . , N −1.

Pela desigualdade triangular segue que

|xj+1| ≤ |xj|+|θ(sj+1)−θ(sj)||fj|+∥gj∥|ϕ(sj+1)−ϕ(sj)|,

poisλj+1 =tj+1−tj =θ(sj+1)−θ(sj).

Lembrando queθ(·) e ϕ(·) são Lipschitz com constantes b e r, respectivamente, obtemos

(28)

Utilizando H2 e H3, a desigualdade acima se reduz a

|xj+1| ≤hc(b+r) + [1 +hc(b+r)]|xj|,

e sendo α:=c(b+r), a expressão se torna

|xj+1| ≤hα+ [1 +hα]|xj|.

Pelo Lema (2) (Lema discreto de Gronwall), e, tomando c≥1, temos

|xj| ≤c1, j = 0, . . . , N,

onde c1 :=c[eα(1 +|x0|)].

Agora, note que por H2

|fj| ≤c(1 +|xj|)≤c(1 +eα(1 +|x0|)−1) = c1, j = 0, . . . , N.

De maneira análoga segue que ∥gj∥ ≤c1.

Deste modo, obtemos o seguinte resultado

max

j {|xj|,|fj|,∥gj∥} ≤c1. (3.2)

Agora, dena a multifunçãoM : [0,1]×Rn ⇒Rn por

M(s, y) =F(y) ˙θ(s) +G(y) ˙ϕ(s), (3.3)

ondeF e Gsão como denidas em (2.4), que éL_×Bmensurável, tem valores convexos(_F

eG são convexos),compactos(F e Gsão fechados e limitados por H2 e H3) e não-vazios,

e tem crescimento linear(F e G tem crescimento linear). Note também que M(s,·) tem

gráco fechado em quase todos∈[0,1], pois θ˙(·) eϕ˙(·)podem não existir em um conjunto

de medida nula.

Para cadaN ∈N, denote por _Λ˜N o gráco da trajetória obtida na discretização de Euler no tempo s, ou seja,

˜

ΛN _:=_{₍_s

j, xj);j = 0, . . . , N}. (3.4)

Considere também o seu arco poligonal relacionado denido sobre [0,1] por

yN(s) :=xj +

s−sj

(29)

Perceba que

dH(˜ΛN, gryN(·))≤max{h, c1(b+r)h}. (3.5)

De fato, note que_Λ˜N _⊂_gryN₍_·₎_{, então temos que encontrar o}_min_{δ >}₀_{, tal que}_gryN₍_·₎_⊂

˜

ΛN ₊_δ_B¯_{. Para chegarmos na desigualdade acima basta notarmos que}

δ ≤max{d(yN₍_s

j), yN(sj+1)), h}, j = 0, . . . , N −1.

e fazendo os cálculos,

|yN(sj+1)−yN(sj)|=|xj+1−xj| ≤c1(b+r)h.

Chegando, desta forma, a (3.5).

Mostraremos que existem duas sequências de números positivos δN e rN tais que δN →0 e rN → 0 com N → ∞, e conjuntos mensuráveis AN ⊆ [0,1] com m(AN) → 0 com

N → ∞, e satisfazendo

inf{|y˙N₍_s₎₋_p_|_;_p_∈_M₍_{s, y}N₍_s_{) +}_δ

NB¯)} ≤rN q.s., s /∈AN. (3.6)

Para isto, tome δN = c1(b +r)/N, e veja que δN → 0 com N → ∞, e, para cada

j = 1, . . . , N −1 e s∈[sj−1, sj], tem-se

|yN(s)−xj|=

xj (

s−sj−1

h −1

)

+xj−1

(

1−s−sj−1

h ) =

(xj −xj−1)

(

s−sj−1

h −1

)

,

e como 0≤ |(s−sj−1)/h−1| ≤1, segue a desigualdade abaixo

|yN(s)−xj| ≤c1h(b+r) = δN.

Dena, para s∈[0,1−h]

θN(s) := 1

h

∫ s+h

s

˙

θ(s′)ds′ e ϕN(s) := 1

h

∫ s+h

s

˙

ϕ(s′)ds′

e note queθN₍_s₎_→_θ˙₍_s₎ _e _ϕN₍_s₎_→_ϕ˙₍_s₎_{para quase todo} _s_∈_[0_,_1]_{, com}_N _{→ ∞, e} _θN₍_s₎ e ϕN₍_s₎ _{são funções Borel mensuráveis.}

Pelo Teorema (1.3) (Egoro), para ϵ = 1/N dado, existe AN ⊂ [0,1] (para simplicar a notação iremos assumir que[1−h,1]⊂AN), tal que m(AN)<1/N para todoN ∈N, ou seja, m(AN)→0 com N → ∞. Com base nisto podemos denir

rN := 2c1 max

s∈[0,1]\AN{|θ N

(30)

com N → ∞, pois ainda pelo teorema (1.3) (Egoro), θN₍_s₎ _e _ϕN₍_s₎ _convergem uni-formemente para _θ˙₍_s₎ _e _ϕ˙₍_s₎ _em _[0_,_1]_\_A_N_{, respectivamente.}

Seja

pN₍_s_{) :=} _f

jθ˙(s) +gjϕ˙(s), para s∈[sj, sj+1].

Perceba quepN₍_s₎_∈_M₍_{s, x}

j) q.s., ou seja, pN(s)∈M(s, yN(s) +δNB¯), s∈[sj, sj+1], e,

˙

yN₍_s_{) =} xj+1−xj

h =fj

1

h(θ(sj+1)−θ(sj)) +gj

1

h(ϕ(sj+1)−ϕ(sj)),

que é mesmo que dizer que

˙

yN₍_s_{) =} _f j

1

h

∫ sj+1

sj

˙

θ(s′)ds′+gj

1

h

∫ sj+1

sj

˙

ϕ(s′)ds′ =θN₍_s

j)fj+ϕN(sj)gj,

para s ∈[sj, sj+1]. Então

max

s∈[0,1]\AN|y˙

N₍_s₎₋_pN₍_s₎_{| ≤} _max s∈[sj,sj+1]\AN

(|fj||θN₍_s₎₋_θ_˙₍_s₎_|₊_∥_g_j∥|_ϕN ₋_ϕ_˙₍_s₎_|₎_≤_r N,

com j = 0, ..., N −1. Temos então que (3.6) é válida.

Estamos nas hipóteses do Teorema (1.4) (Compacidade de Trajetórias), logo, existe uma trajetória y(·) de M e uma subsequência {yNk₍_·₎_}k _de _{_yN₍_·₎_}N _{tal que} _yNk₍_·₎ _→ _y₍_·₎ uniformemente em[0,1]. E disto segue que

dH(gryNk(·), gry(·))→0, com k → ∞. (3.7)

Agora, dena a solução xϑ de (2.1) como segue. Seja x(·) : [0, T]→Rn dado por x(t) =

y(η(t)) e as funções ξti(·), para cada ti ∈Θ, a restrição de y(·) para Ii.

Veja que ΛN _e _Λ˜N _{possuem as segundas coordenadas iguais para} _j _{= 0}_{, ..., N}_{, e o mesmo} ocorre quando comparamos grxϑ e gry(·), com relação as segundas coordenadas. Assim, a diferença entre as distâncias de Hausdor de ΛN _e _grx

ϑ por um lado, e Λ˜N e gry(·) por outro, é afetada somente pela primeira coordenada. Desta forma, temos

dH(ΛN, grxϑ)≤dH(˜ΛN, gry(·)). (3.8)

Pela desigualdade triangular e utilizando a subsequência{Nk}k, temos

(31)

Fazendo k → ∞ e utilizando (3.5), (3.7) e (3.8) segue que

dH(ΛNk, grxϑ)→0, com k → ∞.

O teorema abaixo é a recíproca do anterior, com a diferença de que agora conseguimos uma sequência de grácos de trajetórias tal que gracamente, ela converge para uma solução do problema original.

Teorema 3.2. Suponha que o controle impulsivoΩseja dado e quef eg sejam localmente

Lipschitz com relação a primeira variável. Então, para toda solução xϑ de (2.1), existe uma sequência {ΛN_}N _{de grácos de trajetórias tal que}

dH(ΛN, grxϑ)→0, comN → ∞.

Demonstração. Suponhamos que f e g sejam Lipschitz com relação a primeira variável

e que xϑ seja uma solução de (2.1). Seja y(·) como denido em (2.2), então temos que

˙

y(s) =f(y(s), u(θ(s))) ˙θ(s) +g(y(s),vˆ(s)) ˙ϕ(s) q.s. s∈[0,1].

Disto segue que

|y˙(s)| ≤ |f(y(s), u(θ(s)))||θ˙(s)|+∥g(y(s),vˆ(s))∥|ϕ˙(s)|.

De H2 e H3 temos

|y˙(s)| ≤c(1 +|y(s)|)(|θ˙(s)|+|ϕ˙(s)|)≤c(1 +|y(s)|)(b+r).

Assim,

|y˙(s)| ≤c(b+r)|y(s)|+c(b+r),

e, pelo Lema (1) (Gronwall) obtemos

|y(s)| ≤ ec(b+r)s_|_x

0|+

∫ s

0

c(b+r)ec(b+r)(s−s′)_ds′

≤ec(b+r)|x0|+ec(b+r) =:c2.

Note que para 0≤s¯≤sˆ≤1, temos

|y(ˆs)−y(¯s)| ≤ ∫ ˆs

¯

s

|y˙(s)|ds≤ ∫ ˆs

¯

s

c(1 +|y(s)|)(|θ˙(s)|+|ϕ˙(s)|)ds (3.9)

(32)

Seja L > 0 a constante Lipschitz para f e g sobre c2B¯. Então, se |yj| ≤ c2 (j = 1,2),

tem-se |f(y1, u1)−f(y2, u2)| ≤ L|y1 − y2|, onde yj = y(sj) e uj = u(θ(sj)), com j =

0, ..., N. Podemos considerar da mesma forma para g.

Sejam f0 =

∫s1

0 [f(x0, u0)/h]ds, g0 =

∫s1

0 [g(x0,ˆv0)/h]ds e x1 como denido no método de

discretização de Euler. Observe que

x1−y(s1) =

θ(s1)−θ(0)

h

∫ s1

0

[f(x0, u0)−f(y(s), u(θ(s)))]ds

+ϕ(s1)−ϕ(0)

h

∫ s1

0

[g(x0, u0)−g(y(s),vˆ(s))]ds

+

∫ s1

0

(

θ(s1)−θ(0)

h −θ˙(s)

)

(f(y(s), u(θ(s))))ds

+

∫ s1

0

(g(y(s),ˆv(s)))

(

ϕ(s1)−ϕ(0)

h −ϕ˙(s)

)

ds=:I+II +III +IV.

Vamos limitar I, II, III e IV.

|I| ≤ |θ(s1)−θ(0)|

h

∫ s1

0

|f(x0, u0)−f(y(s), u(θ(s)))|ds

≤Lb

∫ s1

0

|y(s)−x0|ds≤Lbc3

h2

2 ,

onde a terceira desigualdade segue de (3.9). De modo análogo mostra-se que |II| ≤

Lc3rh2/2.

Dena ΦN₍_·₎ _sobre _[0_,_1] _por

ΦN(s) := max

[

θ(sj+1)−θ(sj)

h −θ˙(s)

,

ϕ(sj+1)−ϕ(sj)

h −ϕ˙(s)

]

, s ∈[sj, sj+1].

Agora,

|III| ≤

∫ s1

0

(

θ(s1)−θ(0)

h −θ˙(s)

)

f(y(s), u(θ(s)))

ds≤ ∫ s1

0

ΦN₍_s₎_|_c_{(1 +}_|_y₍_s₎_|₎_ds,

mas |y(s)| ≤c2, logo, |III| e |IV| são limitados por c(1 +c2)

∫s1

0 Φ

N₍_s₎_ds_{. Temos}

|x1−y(s1)| ≤

Lc3h2

2 (b+r) + 2c(1 +c2)

∫ s1

0

ΦN(s)ds.

Indutivamente, denindo fj = ∫sj+1

sj [f(xj, uj)/h]ds e gj = ∫sj+1

(33)

argumento pode ser usado em cada iteração para obtermos o seguinte resultado:

|xj −y(sj)| ≤

Lc3

2 (b+r)jh

2_{+ 2}_c_{(1 +}_c 2)

∫ sj

0

ΦN(s)ds.

Uma vez que ΦN₍_s₎ _{é limitado superiormente e converge para} ₀ _{quase sempre, tem-se} que _Λ˜N _:= _{₍_s

j, xj);j = 1, ..., N} satisfaz dH(˜ΛN, gry(·)) → 0, quando N → ∞ e, pela desigualdade (3.8), segue que

(34)

33

CAPÍTULO

4

CONTROLES APROXIMADOS

Neste capítulo, daremos a denição de convergência no gráco de medidas, e, a partir da sequência de medidas {µN_}N_{, que será absolutamente contínua e convergirá} gracamente para a medida de Borelµ, e o completamento gráco da função distribuição,

teremos uma sequência de soluções {xN₍_·₎_}N _{de um problema de controle aproximado.} Estas sequências serão de fundamental importância para demonstrarmos o resultado estudado.

4.1 Convergência de medidas no gráco

De acordo com [Wolenski e abi¢ 2007], para denir soluções para o sistema (2.1)

iremos considerar limites de uma sequência de soluções {xN₍_·₎_}N _{de um problema de} controle aproximado dado como abaixo

˙

xN(t) =f(xN(t), u(t)) +g(xN(t), v(t)) ˙τN(t), (4.1)

ondedµN _{= ˙}_τN_dt _{são medidas absolutamente contínuas que se aproximam de} _µ_.

Abaixo, segue a denição de convergência no gráco entre uma sequência de medidas absolutamente contínuas e a medida e seu completamento gráco. Para isto, vamos supor que sejam dados o controle impulsivoΩe uma sequência{µN_}N _{de medidas absolutamente} contínuas pertencentes a BK([0, T]) com τN₍_t_{) :=}_µN_([0_{, t}_]) _Lipschitz.

(35)

4.1 Convergência de medidas no gráco 34

• existam números SN _>₀ _{tais que} _SN _→₁_;

• para cada N, existe uma função estritamente crescente θN₍_·_{) : [0}_{, S}N_] _→ _[0_{, T}_] Lipschitz com constante no máximo b, e tal que

∫ min{1,SN}

0

|θ˙N(s)−θ˙(s)|ds→0, com N → ∞;

• para cada N, a sequência de funções denida por ϕN₍_s_{) := (}_τN _◦_θN₎₍_s₎ _{é Lipschitz} com lim supN→∞∥ϕ˙N(·)∥∞≤r e satisfaz

∫ min{1,SN}

0

|ϕ˙N(s)−ϕ˙(s)|ds→0, com N → ∞;

Agora iremos demonstrar um resultado que nos diz que a partir de uma sequência de medidas{µN_}N _{que converge no gráco para}₍_{µ, ϕ}₎ _{e da sequência} _{_xN₍_·₎_}N _{de soluções} de (4.1), é possível mostrar que existe uma subsequência de {xN₍_·₎_}N _{e uma solução de} (2.1) tais que, gracamente, elas se aproximam.

Teorema 4.1. Suponha que o controle impulsivo Ω é dado, que f e g são localmente

Lipschitz com relação a primeira variável, que F e G são como denidas em (2.4), que

{µN_}N _{é uma sequência de medidas absolutamente contínuas que converge no gráco para}

(µ, ϕ) e que {xN₍_·₎_}N _{é uma sequência de arcos absolutamente contínuos satisfazendo} (4.1). Então existe uma solução xϑ de (2.1) e uma subsequência {xNk(·)}k de {xN(·)}N tal que

dH(grxNk(·), grxϑ)→0, com k → ∞.

Demonstração. Suponhamos que sejam dadas as medidas dµN _{= ˙}_τN₍_t₎_dt_{, as funções}

θN₍_·₎ _e _ϕN₍_·₎ _{satisfazendo a denição (4.1), e soluções} _{_xN₍_·₎_}N _{de (4.1). Sejam} _S˜N _:=

min{1, SN_} _e _yN₍_s_{) = (}_xN _◦_θN₎₍_s₎_{, que para quase todo} _s_∈_[0_,_S˜N_] _satisfaz

˙

yN₍_s_{) = ˙}_xN₍_θN₍_s_{)) ˙}_θN₍_s₎

=f(yN₍_s₎_{, u}₍_θN₍_s_{))) ˙}_θN₍_s_{) +}_g₍_yN₍_s₎_{, v}₍_θN₍_s_{))) ˙}_ϕ₍_s₎_,

onde a segunda igualdade segue de _ϕ˙N₍_s_{) = ˙}_τN₍_θN₍_s_{)) ˙}_θN₍_s₎ _{quase sempre. Para} simpli-car a notação, vamos denotarfN₍_s_{) =} _f₍_yN₍_s₎_{, u}₍_θN₍_s₎₎₎ _e_gN₍_s_{) =}_g₍_yN₍_s₎_{, v}₍_θN₍_s₎₎₎_.

Note que |fN₍_·₎_|

∞ e ∥gN(·)∥∞ são limitadas por uma constante independente de N.

De fato, temos que

(36)

onde a segunda desigualdade segue de H2,H3 e da denição (4.1).

Pelo Lema (1) (Lema de Gronwall) segue que

|yN₍_s₎₋_yN₍₀₎_{| ≤}₍_ec(b+r)s₋₁₎_|_yN₍₀₎_|₊ ∫ s

0

ec(b+r)(s−s′)_c₍_b₊_r₎_ds′

,

e, fazendo os cálculos, obtemos

|yN(s)| ≤ec(b+r)|x0|+ec(b+r).

Por H2 e H3 segue que |fN₍_·₎_|

∞ ≤ c4 e ∥gN(·)∥∞ ≤ c4, onde c4 é uma constante

indenpendente de N.

Seja M : [0,1]×Rn⇒Rn denido como em (3.3). Dena _z_˙N₍_·_{) : [0}_,_S˜N_]_→Rn por

˙

zN(s) :=fN(s) ˙θ(s) +gN(s) ˙ϕ(s),

e, dena zN₍_·_{) : [0}_,_S˜N_]_→_Rn _por _zN₍_s_{) :=}_x

0+

∫s

0 z˙

N₍_s′

)ds′

. Note que

˙

zN₍_s₎_∈_M₍_{s, y}N₍_s₎₎ _{q.s., s}_∈_[0_,_S_˜N_]_. _(4.2)

Além disso,

|zN₍_s₎₋_yN₍_s₎_|₌ ∫ s 0

( ˙zN₍_s′

)−y˙N₍_s′

))ds′

≤c4

(∫ s

0

|θ˙N₍_s′

)−θ˙(s′)|ds′ +

∫ s

0

|ϕ˙N₍_s′

)−ϕ˙(s′)|ds′

)

,

ou seja,

sup

s∈[0,S˜N_]

|zN(s)−yN(s)| ≤c4(|θ˙N −θ˙|1+|ϕ˙N −ϕ˙|1).

Logo,yN₋_zN _{se aproxima de zero uniformemente pois, por hipótese,} _{_µN_}N _{converge no} gráco para (µ, ϕ).

Segue de (4.2) e do Teorema (1.4)(Compacidade de Trajetórias), que existe y(·) : [0,1]→ Rn_{, trajetória de} _M _{para qual uma subsequência de} _{_zN₍_·₎_}N_{, e também de} _{_yN₍_·₎_}N_, converge uniformemente. Isto é, existe uma subsequência Nk, para a qual

dH(gryNk(·), gry(·))→0, com k → ∞. (4.3)

Agora, dena as componentes dexϑ como, x(·) : [0, T]→Rn dado por x(t) = y(η(t)) e as funções ξti(·) como a restrição dey(·) paraIi. Então,

dH(grxNk(·), grxϑ)≤dH(gryNk(·), gry(·)) + sup s∈[0,S˜Nk_]

(37)

que tende a zero comk → ∞ por (4.3) e pela denição (4.1).

Abaixo segue a recíproca do teorema anterior, onde, novamente, não somente uma subsequência de soluções de (4.1) converge no gráco para a solução do problema original, mas a sequência toda.

Teorema 4.2. Suponhamos que o controle impulsivo Ω é dado, que f e g são Lipschitz

com relação a primeira variável, que F e G são como denidas em (2.4) e que xϑ é uma solução de (2.1). Então existe uma sequência{µN_}N _{de medidas absolutamente contínuas} que converge no gráco para (µ, ϕ), e uma sequência {xN₍_·₎_}N _{de soluções de (4.1) tais} que

dH(grxN(·), grxϑ)→0, com N → ∞.

Demonstração. Suponhamos quef eg sejam localmente Lipschitz com relação a primeira

variável e quexϑ seja solução de (2.1).

Temos que construir uma sequência de medidas absolutamente contínuas {µN_}N _que convergirá no gráco para (µ, ϕ). Para isto, construiremos uma nova partição {¯tj} de

[0, T] que possuia N pontos distintos, e, a partir desta partição, deniremos as funções θN₍_·₎ _e _ϕN₍_·₎ _{que satisfarão a denição (4.1).}

Fixe N >0 e tome h= 1

N. Para j = 1, . . . , N, seja sj =jh e tj =θ(sj). Dena por I N

0

o conjunto formado por todos os índicesj tais que tj−1 < tj < tj+1 (por convenção, tome

t−1 < t0 e tN+1 > tN). Se j ∈ IN₀ faça ¯tj =tj. Agora, seja IN o conjunto formado por todos os índices j tais que tj−1 < tj =tj+1. Para j ∈IN, note que existe kj ≥ 1 tal que

tj =tj+1 =. . .=tj+kj < tj+kj+1, então dena, somente para j ∈IN

λj :=

1

2min{h

2_{, t}

j −tj−1, tj+kj+1−tj},

e, se 0 ∈ IN, então _λ₀ _{:= min}_{_h2_,tj+kj+1−tj

2 }. Se j /∈ I

N

0 , então j = ¯j +k, onde existe

precisamente um par (¯j, k) com ¯j ∈IN _e ₀_≤_k _≤_k

¯

j. Neste caso, dena

¯

tj :=  



tj+ [

2k k¯_j −1

]

λ¯j sej ̸= 0 k

k0λ0 sej = 0.

Então, a nova partição {¯tj} de [0, T] contém N pontos distintos, e satisfaz

(38)

De fato, para j = 1, . . . , N, temos que

|¯tj−tj|=

tj + [

2k k¯j

−1

]

λ¯j −tj = 2k k¯j

−1

|λ¯j| ≤h2.

Para j = 0 segue que

|t¯0−t0|=

k k0

λ0−t0

= k k0

|λ0| ≤h2.

Assim, (4.4) é válida.

Dena θN₍_·_{) : [0}_,_1]_→_[0_{, T}_] _por

θN₍_s_{) = ¯}_t j+

s−sj

h (¯tj+1−t¯j), s∈[sj, sj+1],

que é Lipschitz de constante no máximo b.

Vamos mostrar que _θ˙N₍_·₎ _{converge para} _θ˙₍_·₎ _em _L1_[0_,_1]_{. Para isto, dena} _θ_ˆN₍_·_{) : [0}_,_1]_→

[0, T] por

ˆ

θN(s) =tj+

s−sj

h (tj+1−tj), s∈[sj, sj+1].

Comoθ˙ˆN₍_·₎_e_θ˙₍_·₎_{são localmente}_L1_{, então, pelo teorema (1.5) (Diferenciação de Lebesgue),}

para quase todos ∈[sj, sj+1] temos que

|θ˙ˆN₍_s₎₋_θ_˙₍_s₎_|₌ lim j→∞ 1

m([sj, sj+1])

∫ sj+1

sj

˙ˆ

θN₍_σ₎_dσ₋ _lim j→∞

1

m([sj, sj+1])

∫ sj+1

sj

˙

θ(σ)dσ

≤ lim j→∞ 1

m([sj, sj+1])

∫ sj+1

sj (

|θ˙ˆN₍_σ₎₋_θ˙₍_s₎_|₊_|_θ˙₍_s₎₋_θ˙₍_σ₎_|)_dσ,

que converge para zero quase sempre pois, pelo teorema (1.5) (Diferenciação de Lebesgue),

limj→∞ _sj₊₁1₋_sj

∫sj+1

sj |θ˙(s)−θ˙(σ)|dσ = 0, e

lim

j→∞

1

sj+1−sj ∫ sj+1

sj

|θ˙ˆN(σ)−θ˙(σ)|dσ = lim

N→∞

tj+1−tj

h −θ˙(s)

= 0.

Segue que θ˙ˆN₍_s₎_→_θ˙₍_s₎ _{q.s. com} _N _{→ ∞} _e _s _∈_[0_,_1]_{, e, como} _θ˙ˆN₍_·₎ _e _θ˙₍_·₎ _{são limitadas} por b, pelo teorema (1.6) (Convergência Dominada) tem-se que θ˙ˆN₍_·₎_→_θ˙₍_·₎ _em _L1_[0_,_1]_.

Agora note que para s∈[sj, sj+1]

|θ˙N(s)−θ˙ˆN(s)|= 1

(39)

e,

lim

N→∞

∫ sj+1

sj

|θ˙N(s)−θ˙(s)|ds≤ lim

N→∞

∫ sj+1

sj

|θ˙ˆN(s)−θ˙(s)|ds+ lim

N→∞

∫ sj+1

sj

|θ˙ˆN(s)−θ˙N(s)|ds= 0.

Logo,_θ˙N₍_s₎_→_θ˙₍_s₎ _em _L1_[0_,_1]_.

Dena τN₍_·_{) : [0}_{, T}_]_→_Rq _por

τN(t) :=ϕ(sj) +

t−¯tj

¯

tj+1−¯tj

(ϕ(sj+1)−ϕ(sj)), t∈[¯tj,¯tj+1].

Seja ϕN₍_·_{) := (}_τN_◦_θN₎₍_·₎_{, e veja que} _ϕN₍_s

j) = ϕ(sj) para todo j, e que paras∈[sj, sj+1]

˙

ϕN(s) = ˙τN(θN(s)) ˙θN(s) = (ϕ(sj_¯+1)−ϕ(sj))

tj+1−t¯j

(¯tj+1−¯tj)

h =

ϕ(sj+1)−ϕ(sj)

h .

Comoϕ(·)é Lipschitz de constanter, segue queϕN₍_·₎_{é Lipschitz de constante no máximo}

r.

Da mesma forma como foi mostrado que_θ˙N₍_s₎_→_θ˙₍_s₎_em_L1_[0_,_1]_{, mostra-se que}_ϕ˙N₍_s₎_→

˙

ϕ(s) em L1_[0_,_1]_.

Denindo dµN _{= ˙}_τN₍_t₎_dt_{, temos que} _{_µN_}N _{é uma sequência de medidas absolutamente} contínuas que converge no gráco para (µ, ϕ).

Prosseguimos para construir a sequência {xN₍_·₎_}N _{de soluções de (4.1).}

Denote por

ΛN :={(tj, xj);j = 0,1, . . . , N}

os grácos obtidos pela discretização de Euler projetados no intervalo[0, T].

Vamos denir um novo conjunto de pontosx¯j relacionado a nova partição {t¯j} de pontos distintos.

Sejam_f¯₀ ₌_f₀ _e _g_¯₀ ₌_g₀_{, e dena}

¯

x1 = ¯x0+ ¯f0(¯t1−¯t0) + ¯g0(ϕ(s1)−ϕ(s0)).

Indutivamente, sejamx¯j = ¯x(sj)paraj = 1, ..., N,f¯j =f(¯xj, u(θN(sj))), ¯gj =g(¯xj,vˆ(sj))), e

¯

xj+1 = ¯xj+ (¯tj+1−¯tj) ¯fj + ¯gj(ϕ(sj+1)−ϕ(sj)),

(40)

Comof eg tem crescimento linear, entãof¯j eg¯j estão contidos em um conjunto limitado, assim, seja c1 como em (3.2), mas tal que limita f¯j e ¯gj, j = 0,1, . . . , N. Sendo L a constante Lipschitz de f e g sobre c1B¯, tem-se

Estimando a diferença entre xj e x¯j obtemos que

|x¯j+1−xj+1| ≤ |x¯j −xj|+|¯tj+1−tj+1||fj|+|tj −¯tj||fj|

+|¯tj+1−¯tj||f¯j −fj|+∥¯gj −gj∥|ϕ(sj+1)−ϕ(sj)|

= 2h2c1+|x¯j −xj|(1 +bhL+rhL).

O Lema (2) (Lema discreto de Gronwall) implica que

|x¯j −xj| ≤2hc1

eL(b+r)₋₁

L(b+r) , (4.5)

para j = 0, . . . , N.

Seja _Λ¯N _{o gráco da trajetória}_x_¯N _{projetado no intervalo} _[0_{, T}_]_{, ou seja,}

¯

ΛN :={(¯tj,x¯j);j = 0,1, . . . , N}.

Por (4.5), conclui-se que

dH(ΛN,Λ¯N)→0, com N → ∞. (4.6)

Dena x¯N₍_·_{) : [0}_{, T}_]_→_Rn _por

¯

xN₍_t_{) = ¯}_x

j+ (t−¯tj) ¯fj + (t−t¯j)¯gj

ϕ(sj+1)−ϕ(sj)

¯

tj+1−¯tj

,

e note que

˙¯

xN₍_t_{) = ¯}_f j+ ¯gj

ϕ(sj+1)−ϕ(sj)

¯

tj+1−¯tj

= ¯fj+ ¯gjτ˙N(t)∈F(¯xj) +G(¯xj) ˙τN(t),

onde t∈(¯tj,t¯j+1) e as multifunções F e G são como denidas em (2.4).

DenaΠN₍_·_{) : [0}_{, T}_]_×_Rn _⇒_Rn _por _ΠN₍_{t, x}_{) :=}_F₍_x_{) +}_G₍_x_{) ˙}_τN₍_t₎_{. Esta multifunção tem} valores compactos e convexos, é Lipschitz mensurável e tem crescimento linear em x.

(41)

da trajetória x¯N₍_·₎_{. Queremos utilizar o teorema (1.7) (Flippov), para isto, veja que}

ςΠ( ˙¯xN(·)) :=

∫ T

0

d(

˙¯

xN₍_t₎_,_ΠN₍_t,_x_¯N₍_t₎₎)

dt

=

N−1

∑

j=0

∫ tj+1

tj

d(

˙¯

xN₍_t₎_,_ΠN₍_t,_x_¯N₍_t₎₎)

dt

≤ N−1

∑

j=0

∫ tj+1

tj

dH (

ΠN(t,x¯j),ΠN(t,x¯N(t)) ) dt ≤L N−1 ∑ j=0

∫ tj+1

tj

|x¯j −x¯N(t)|(1 +|τ˙N(t)|)dt. (4.7)

Para t∈[¯tj,¯tj+1], temos que

|x¯N(t)−x¯j| ≤(t−¯tj) [

|f¯j|+∥g¯j∥

|ϕ(sj+1)−ϕ(sj)|

(¯tj+1−¯tj) ]

≤c1

[

1 + _¯ rh

tj+1−¯tj ]

(t−¯tj),

e

|τ˙N(t)|=

ϕ(sj+1)−ϕ(sj)

¯

tj+1−¯tj

= _¯ rh

tj+1−¯tj

Voltando na desigualdade (4.7) conclui-se que

ςΠ(¯xN(·))≤Lc6b2h,

onde c6 é uma constante. E, pelo teorema (1.7) (Filippov), para cada N existe uma

trajetória xN₍_·₎ _de _ΠN _{tal que} _xN_{(0) =}_x

0 e tal que

dH(grxN(·), grx¯N(·))→0, com N → ∞. (4.8)

Veja também que dH(grx¯N(·),Λ¯N)→ 0 com N → ∞ pois, Λ¯N ⊂grx¯N(·), logo, devemos encontrar o mínimo dos δ >0 tal que grx¯N₍_·₎_⊂_Λ¯N_{, para isto perceba que}

|x¯N₍_t

j+1)−x¯N(tj)| ≤ |f¯j||t¯j+1−t¯j|+∥g¯j∥|ϕ(sj+1)−ϕ(sj)| ≤c1h(b+r).

Ou seja,

(42)

Pela desigualdade triangular,

dH(grxN(·), grxϑ)≤dH(grxN(·), grx¯N(·)) +dH(grx¯N(·),Λ¯N)

+dH(¯ΛN,ΛN) +dH(ΛN, grxϑ),

(43)

42

CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS

Estudamos os resultados obtidos por [Wolenski e abi¢ 2007]. Estes resultados

en-volvem a convergência no gráco. Embora esta convergência não seja a convergência forte desejada, ela é mais forte do que a convergência fraca∗ _{de trajetórias, usualmente}

obtida na literatura.

Na referência[Silva e Vinter 1997], mostra-se que se uma sequência de medidas{µN_}N converge fraca∗ _{para a medida} _µ_{, então uma subsequência de uma dada sequência de}

soluções da inclusão associada as medidas µN_{, assim como em (4.1), só que em vez de} igualdade tem-se inclusão diferencial, converge para a solução do problema original, dado por inclusão diferencial. Este resultado ainda é válido quando se tem igualdade pois este é um caso particular de inclusão. Portanto o resultado estudado é mais forte. Além disso, aqui o completamento gráco é dado, enquanto que em[Silva e Vinter 1997]os resultados

obtidos são para algum completamento gráco.

Futuramente, iremos considerar o problema de controle ótimo impulsivo dado por

(P)

     

    

minJ(x,Ω) =H(x(0), x(T))

s.a. dx=f(x, u)dt+g(x, v)dΩ, t∈[0, T]

(x(0), x(T))∈C,

ondeH :Rn_×Rn_→R, _C _⊂Rn_×Rn, e as outras funções e variáveis são como denidas no capítulo (2).

O objetivo é mostrar que o problema(P)pode ser discretizado pelo método de Euler

(44)

(45)

44

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[Bartle 1995]BARTLE, R. G. The elements of integration and Lebesgue measure. New York: John Wiley & Sons Inc., 1995. xii+179 p. (Wiley Classics Library). Containing a corrected reprint of the 1966 original [The elements of integration, Wiley, New York; MR0200398 (34 #293)], A Wiley-Interscience Publication. ISBN 0-471-04222-6.

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[Bressan Jr. e Rampazzo 1994]BRESSAN JR., A.; RAMPAZZO, F. Impulsive control systems without commutativity assumptions. J. Optim. Theory Appl., v. 81, n. 3, p. 435 457, 1994. ISSN 0022-3239. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1007/BF02193094>.

[Clarke 1983]CLARKE, F. H. Optimization and nonsmooth analysis. New York: John Wiley & Sons Inc., 1983. xiii+308 p. (Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts). A Wiley-Interscience Publication. ISBN 0-471-87504-X.

[Clarke et al. 1998]CLARKE, F. H. et al. Nonsmooth analysis and control theory. New York: Springer-Verlag, 1998. xiv+276 p. (Graduate Texts in Mathematics, v. 178). ISBN 0-387-98336-8.

[Code e Silva 2010]CODE, W. J.; SILVA, G. N. Closed loop stability of measure-driven impulsive control systems. J. Dyn. Control Syst., v. 16, n. 1, p. 121, 2010. ISSN 1079-2724. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1007/s10883-010-9085-9>.

[Folland 1999]FOLLAND, G. B. Real analysis. Second. New York: John Wiley & Sons Inc., 1999. xvi+386 p. (Pure and Applied Mathematics (New York)). Modern techniques and their applications, A Wiley-Interscience Publication. ISBN 0-471-31716-0.