A Estabilidade do
Atomo de Hidrog^enio
Segundo a Eletrodin^amia Estoastia
ThehydrogenatomstabilityaftertheStohastiEletrodynamis
Roberto daSilva 1
,Humberto M. Frana 2
Universidadede S~aoPaulo
1
Fauldadede FilosoaCi^eniase Letrasde Ribeir~aoPreto
Departamento deFsiaeMatematiaRibeir~aoPreto, SP,Brasil
2
Insttutode Fsia,Departamentode FsiaMatematia,S~aoPaulo,SP, Brasil
Reebidoem18dedezembro,2001. Aeitoem21dejaneiro,2002.
Nestetrabalhoevideniamosaimport^aniadaradia~aodeponto-zeroparaaestabilidadedoatomo
dehidrog^eniodopontodevistalassio. Nossosresultadosest~aobaseadosemtrabalhosanterioresde
T.H.Boyeretrata-sedeumarevis~aodotrabalhoporumdosautores[5℄,queusaeletromagnetismo
lassioomaintrodu~aodeelementosestoastios.
Wedisusstheimportaneofthezero-pointradiationtothestabilityofthehydrogenatomfroma
lassialperspetive. OurreviewisbasedinpreviousworkofBoyeronstohastieletrodynamis
andinworksofoneofus[5℄onthesubjet.
I Introdu~ao
Consideremos um eletron atemperatura T = 0
(por-tantosemradia~aotermia)orbitandoemtornodeum
proton. AtravesdaformuladeLarmor[1℄,sabemosque
esteeletronemiteenergia,porserumaargaaelerada.
Assim, devidoaessa perda de energiaporunidade de
tempo,intuitivamente oqueesperamosequeoeletron
vaespiraladoassintotiamenteateolidiromonuleo.
Obviamente, isto e um absurdo, pois sabemos que o
atomo de hidrog^enio existe e e expliado
satisfatoria-mente pelaMe^aniaQu^antia.
O objetivo deste trabalhoe dar uma desri~ao da
estabilidade doatomo de hidr^ogenio, de forma queas
leisdoeletromagnetismoaindasejamvalidas,oma
in-trodu~aodeelementos estoastiosnaanaliselassia.
Para que um modelo lassio possa desrever o
atomo de hidrog^enio, um ingrediente fundamental e
neessario; o estabeleimento da hipotese de que o
eletronabsorvaumaenergiadomeiofsio. Esta
ener-gia, proposta primordialmente por Plank e bastante
disutida na deada de 70 por T. H. Boyer (vide por
exemplo[2℄),estabeleeriaent~aoapossibilidadede
exis-t^enia de umraio estavel para a orbita do eletron no
atomodedehidrog^enio.
Neste artigo, pretendemos desrever em detalhes,
baseados nos trabalhos de T. H. Boyer [2℄,[3℄,[4℄ e
prinipalmente em [5℄, a obten~ao deste raio atraves
da eletrodin^amia estoastia om um ferramental
ursodeFsia.
Conluiremos, fazendo uma onex~ao om a
Me^aniaQu^antia, queeste raioeexatamente oraio
deBohr,desdequeadmitamosaexist^enia, novauo,
deumaradia~aoaleatoriaatermiadedensidade
espe-tral
0
(!)=! 3
om=~=2 2
3
,ondeeaveloidadedaluznovauo
e! afrequ^eniadaradia~ao.
Para isso, o artigosegue este passo; na se~ao II,
faremos uma breve dedu~ao da pot^enia de Larmor;
nase~aoIII,apresentamosumamodelagemestatstia
paraaradia~aodeavidade.
Nessa dire~ao s~ao onsiderados ampos
eletro-magnetios osilantes, onde as fases s~ao variaveis
aleatorias. Ase~aoterminaomumaexpress~aofehada
para a pot^enia absorvida por um osilador omo
fun~ao da densidade espetral assoiada a radia~ao
termia aleatoria.
Finalmente, nase~ao IV,denimos aradia~ao de
ponto-zero atraves de uma redeni~ao das utua~oes
termias e determinamos o raio de equilbrio assim
omosuaestabilidade,mostrandoqueeleeexatamente
oraiodeBohr:
r
eq =
~ 2
me 2
:
N~ao hana literatura,no nossoentender, umtexto
revis~ao da Ref. [5℄, `lapidando' os resultados
au-xiliares neessarios, om detalhes suientes tal que
alunos de gradua~ao possam entender a import^ania
daeletrodin^amiaestoastiaparaaquest~aodoatomo
de hidrog^enio. Issotambem pode servisto omo uma
forma para que professores de gradua~ao possam
en-riqueerasaulasde eletromagnetismousandoumfato
importantssimo em Fsia, que e a ompreens~ao de
fen^omenos aleatorios. Trata-sedeumexemplon~ao
tri-vialdeapliaroneitosestoastiossimplesno
Eletro-magnetismo Classio, disiplina extremamente
impor-tante na gradua~ao em Fsia, obtendo-se um dos
re-sultados esseniaisdaMe^ania Qu^antia queeoraio
deBohr,alemdaonlus~aodasuaestabilidade.
II A Pot^enia Irradiada por uma
arga aelerada: oneitos
basios.
Um fen^omeno bastante onheido e que, quando uma
argaeaelerada,ela emiteradia~ao. Estaradia~aoe
quantiadaemtermosdapot^eniaemitidapelaarga
aelerada.
Faremos, aseguir,umabrevededu~ao dapot^enia
emitidaporumaargaaelerada,paraoasoemquea
veloidadedapartulaemuitopequena quando
om-paradaomadaluz(v<<), oqueonstituiolimite
lassion~aorelativsitio.
Consideremos os ampos de aelera~ao eletrio e
magnetio, aproximados no aso onde v << (vide
porexemplo[1℄):
~
E
a =
e
2
r 2
[~r(~r~a) ℄
~
B
a =
~ r
~
E
a
r
ondeeaveloidadedaluz,eeaargaelementar,~ae
aaelera~aoe~reaposi~aodeobserva~ao.
Usando a identidade vetorial ~
A
~
B ~
C
=
~
B
~
A ~
C
~
C
~
A ~
B
,podemosonluirque
E 2
a =
e 2
a 2
4
r 2
sin 2
ondeeo^anguloentreosvetores~re~a.
Apor~aodovetorde Poyntingqueontribuiparaa
radia~ao,emunidadesdeenergiaporunidadedetempo
eporunidadedevolume,e
~
S
a =
4
~
E
a
~
B
a
=
4 E
2
a ~r
r
=
4 E
2
a ~ n=
e 2
a 2
4 3
sin 2
r 2
~n
Oelemento de area de uma asa esferia, em
o-ordenadas esferias,e dA=r 2
sindd' de modo que
a pot^enia irradiada porunidade de areae dadapelo
modulodovetordePoynting:
S
a =
e 2
a 2
4 3
sin 2
r 2
eatravesdestaexpress~ao,em termos de^angulo solido
(d=sindd');podemosesreverquepot^enia
emi-tidanadire~aoe:
dP
d =
e 2
a 2
4 3
sin 2
Integrando sobre toda a superfie esferia, e
sendo aaelera~ao entrpeta do eletron no atomode
hidrog^enio,dadapora=e 2
=mr 2
,temos
P = e
2
a 2
2 3
R
0 sin
3
d
= 2
3 e
6
m 2
3
r 4
:
Logo
P P
Larmor =
2
3 e
6
m 2
3
r 4
: (1)
Nestaexpress~ao,P
Larmor
edenidaomoapot^enia
de Larmor erepresentaqual eapot^enia emitida (ou
dissipada) por uma arga aelerada que realiza uma
orbita irular em um atomo de hidrog^enio no limite
lassio.
III Propriedades Estatstias da
Radia~ao de Cavidade
III.1 Um Modelo para a Radia~ao de
Cavidade
Como hipotese desse modelo, vamos representar
nossa radia~ao em uma avidade assoiando a ada
pontodoespaoumampoeletrioaleatorioeosilante
totaldadopelasoma(superposi~ao)dosvariosampos
pariais ~
E
~
~
E(~r;t)= X
k ~
E
~
k (~r;t)=
X
k 2
X
=1 a
T
~
k
~
~
k;
os
~
k~r !t+
~
k ;
; (2)
d
om arela~ao de dispers~ao ! = k. Aqui a
T
~
k
ea
amplitudedeadaampoparialujo vetordeondae
~
k,aumadadatemperaturaT.
As duaspossveispolariza~oes assoiadasa ada ~
k
s~ao ~
~
k;1
e ~
~
k;2
: A aleatoriedadereside nofato
de onsiderarmos as fases
~
k;
omo sendo variaveis
aleatorias estatistiamente independentes e
uniforme-mente distribudasnointervalo[0;2℄.
III.2 O Metodo de Einstein - Hopf
Nesta subse~ao, desreveremos o que se
denomi-na por metodo de Einstein - Hopf, a m de obter
umaformulafehadaparaa
T
~
k
. Amedianasfases
aleatoriasdasomponentesxey de ~
E eidentiamente
nula(vejaequa~ao2)
h E
x i=hE
y i
1
2 X
k 2
X
=1 a
T
y (
~
k;) 2
Z
0 os
~
k~r !t+
k ;
d
k ;
=0 (3)
poisaintegraldeuma fun~ao periodiaem todoseuperodoenula. A somasobre ondiek, deve serentendida
omouma somasobreovetor ~
k(apenasumasimplia~aodenota~ao).
Fazendoz= !
k !
r !t,naequa~ao(3)eobservandoque
2
R
0
os(z+
k ; )d
k ; 2
R
0 os(z
0
+
k ; 0
0
)d
k 0
; 0
= Æ
k k 0
Æ
0
2
R
0 d
k ; os
2
(z+
k ; )
= 1
2 Æ
k k 0
Æ
0
d
onlumos:
E 2
= 1
2 P
k 2
P
=1 P
k 0
2
P
0
=1 a
T
~
k
a
T
~
k 0
~
~
0
Æ
k k 0
Æ
0
= 1
2 P
k 2
P
=1 a
2
T
~
k
2
~
k;
:
Como a polariza~ao e um versor, temos que
2
P
=1
2
~
k;
=1+1=2;logo:
E 2
= X
k a
2
T
~
k
(4)
Doeletromagnetismoextramosainforma~aodeque
a densidade media de energia de uma onda de
ra-dia~ao e 3 h
E 2
xi +
h B
2
xi
8
, onde
E 2
x
=
B 2
x
para uma
onda no vauo, onde aqui E
x
e a omponente x do
ampoeletrio,eB
x
arespetivaomponentedoampo
magnetioassoiadoaondaeletromagnetia. Logo,se
amos:
3
4
E 2
x
=
E 2
4 =
1
Z
0
(!;T)d! (5)
ConformeemostradoporBoyer[3℄,adeomposi~ao
deFourier(verequa~ao 2)etal que P
k !
V
(2) 3
R
d 3
k,
ondeV eum volume araterstio. Este volume sera
eliminadomaisadiante. Daequa~ao(4)vem:
E 2
= V
(2) 3
R
a 2
T (!)d
3
k
= 4
V
(2) 3
1
R
0 k
2
a 2
T (!)dk
Comok= !
, temos
E 2
=4 V
(2) 3
1
Z
0 !
2
a 2
T
(!)d! (6)
Comparando-se(6) om(5)tem-se que:
a
T (!)=
"
(2) 3
(!;T)
! 2
V #
1=2
om a radia~ao termia aleatoria
Mostra-sequeaomponentexdaforaderadia~ao 1
edadapor
F
r
2
3 e
2
3
:::
x
;
(para uma demonstra~ao desta formula vide por
exemplo[1℄).
Assim, esrevemos a segunda lei de Newton de
um osiladorharm^onio em equilbrioom aradia~ao
termia:
x= !
2
0 x+
2
3 e
2
3
:::
x
+ e
m E
x
(t): (8)
! 2
0 x)
:::
x
= ! 2
0 _
x. Logo,desse resultadoem(8)
obte-mos
x= !
2
0
x x_+ e
m E
x
(t) (9)
onde 2
3 e
2
! 2
0
3
. Sendoque
E
x =
1
2 X
k 2
X
=1 a
T
x
~
k;
os
~
k~r !t+
k ;
;
(10)
porsubstitui~aodireta demonstra-sefailmente que
x(t)= e
2m X
k 2
X
=1 a
T
x
~
k;
2
4 exp
h
~
k~r i!t+
k ; i
D(!)
+ exp
h
~
k~r i!t+
k ; i
D
(!)
3
5
(11)
d
esolu~aode(9),ondeD(!)=! 2
0 !
2
i! eD
seu
omplexoonjugado.
III.4 Pot^enia media absorvida por um
osilador sob radia~ao termia aleatoria
Nossoobjetivoagora eobter apot^enia absorvida
por um osilador harm^onio. Como estamos
li-dando om grandezas estoastias, estamos
interessa-dos na pot^enia media. Podemosnos onvener
fail-mente de que apot^enia mediaabsorvida porum
os-iladorharm^onio,diantedasgrandezasjapreviamente
denidase:
P
abs
=hx eE_
x +yeE_
y i:
Assimde(11)pode-seonluirque
_ x (t)=
e
2m X
k 2
X
=1 a
T
x
~
k;
2
4
i! exp
h
~
k~r i!t+
k ; i
D(!)
+i! exp
h
~
k~r i!t+
k ; i
D
(!)
3
5
: (12)
Edestaforma
P
abs =
e 2
4m X
k 2
X
=1 X
k 0
2
X
0
=1 a
T (!)a
T (!
0
)
x
0
x
h f(!;! 0
;
k ; ;
k 0
; 0
) i (13)
om
h fi = *
0
i! exp
h
~
k~r i!t+
k ; i
D(!)
+i! exp
h
~
k~r i!t+
k ; i
D
(!)
1
A
exp h
~
k 0
~r i! 0
t+
k 0
; 0 i
+exp h
~
k 0
~r+i! 0
t
k 0
; 0
iE
Perebemosque,noalulo dehfi,apareemasseguintesintegrais:
e i
k ;
e i
k 0
; 0
= 1
(2) 2
2
Z
0 e
i
k ;
d
k ; 2
Z
0 e
i
k 0
; 0
d
k 0
; 0
=0; (14)
e,onsequentemente
e i
k ;
e i
k 0
; 0
= 8
<
:
0; se k 0
6=k e 6= 0
1
(2) 2
2
R
0 d
2
=1; se k 0
=k e = 0
: (15)
d
Assim,de (13),omoauxliode (14)e(15),
obte-mosque
P
abs =
e 2
2m X
k 2
X
=1 a
2
T (!)
2
x
! 2
( ! 2
0 !
2
) 2
+ 2
! 2
(16)
Noap^endiedestetexto,eprovadoque
2
X
=1
i (
~
k;)
j (
~
k;)=Æ
ij k
i k
j
k 2
: (17)
Empossedestefato,esrevemos
2
X
=1
2
x
(k;)=1 k
2
x
k 2
(18)
Substituindo-se(16)em(18),onlui-se
P
abs =
e 2
m X
k a
2
T (!)
1 k
2
x
k 2
! 2
(! 2
0 !
2
) 2
+ 2
! 2
(19)
Observandoque
Z
k 2
x +k
2
y +k
2
z
k 2
d= Z
d=4
temos porsimetriaque R
k 2
x
k 2
d= 4
3 :
Assim, usando oproedimento P
k !
V
(2) 3
R
d 3
k e
om!=kde(19),onlumos
P
abs =
8
3 e
2
m V
(2) 3
3
1
Z
0
! 4
a 2
T (!)
( ! 2
0 !
2
) 2
+ 2
! 2
d! (20)
Substituindo(7)em(20),temos
P
abs =
8
3
m e
2 1
Z
0 !
2
(!;T)
(! 2
0 !
2
) 2
+ 2
! 2
d! (21)
Expandindo (!;T) em torno da frequ^enia !
0 ,
onde tem um maximo pronuniado, so deve
on-tribuir numapequena vizinhanade!
0
,eemprimeira
aproxima~ao temos que (!;T) (!
0
;T). Supondo
tambem que o integrando varie lentamente na regi~ao
deresson^ania,temosque
1
Z
0
! 2
( ! 2
0 !
2
) 2
+ 2
! 2
d! 1
4 1
Z
0
1
(!
0 !)
2
+(=2) 2
d!
Fazendo-seamudanade variaveis!
0 ! =
x
2 ,
esabendo-seque!
0
tem-se:
1
R
0
! 2
(! 2
0 !
2
) 2
+ 2
! 2
d!
1
2 2
1
R
2!
0
x 2
+1 dx
1
2 1
R
1 1
x 2
+1 dx
=
2
Apostodasessasonsidera~oesaequa~ao(21)toma
aforma
P
abs =
4
3
2
m e
2
(!
0
;T) (22)
IV A radia~ao de ponto-zero e a
formula de Plank para o
es-petro do orpo negro.
IV.1 A Lei de Wien, e o surgimento da
radia~ao de ponto-zero
AleideWien,queebaseadaemargumentosfsios
puramente lassios, pode ser formulada atraves da
seguinteformulaparadensidadeespetral:
(!;T)=! 3
(!=T)
onde(!=T)temauniaexig^eniadeserumafun~ao
derivavel. Destaequa~aonosonseguimosderivar
fail-menteaequa~aodeFermi:
T
T
=3 !
!
Para T = 0, enontramos duas possveis solu~oes
para esta equa~ao: uma trivial
0
(!) = 0 e a outra
0
(!) = ! 3
. Podemos postular que, na avidade, a
densidadeespetraltotale
(!;T)=! 3
+
T (!)
onde
T
(!) tem origem termia e
0
(!) = ! 3
e a
hamadaradia~aodeponto-zerode formaquequando
T=0:
(!;T =0)=
0
(!)=! 3
;
eent~aosoradia~aode ponto-zeroequeexiste. Assim,
atemperaturanula,onlui-sede(22)que
P
abs
(T =0)= 4
2
e 2
! 3
para~aoomdadosexperimentais.
IV.2 Dedu~ao lassia do espetro de
orpo negro
Usando-se exatamente os mesmos argumentos
em-pregadosparaalularhex E_
x
i,obtem-se
x 2
= 4
3 e
2
m 2
(!
0 ;T)
1
Z
0
1
(! 2
0 !
2
) 2
+ 2
! 2
d!
da mesma maneira omo feito no aso de h exE_
x i.
Analogamente,fazendoamudanadevariaveis!
0 !=
x
2
,esendoque!
0
tem-se
x 2
= 4
3 e
2
m 2
(!
0 ;T)
2! 2
0
Sendoaenergiamediadadapor
h "i= 1
2 m
_ x 2
+! 2
0
x 2
visto que (11) e (12) impliam que
_ x 2
= ! 2
0
x 2
.
Comoh"i=kT,onlumosque
h"i=
2
3
(!
0 ;T)
! 2
0
=kT
Notemosque,semenergiadeponto-zero,nostemos
uma determinadadeni~aodetemperatura,oude
u-tua~aotermia,dadapelaequa~aodiferenial
kT 2
h"i
T =h"i
2
om h"i= kT. Com a radia~ao de ponto-zero, temos
queredenirautua~aototalemh "ideformaque
kT 2
h"i
T =h"i
2
h"
0 i
2
(24)
om
h"i=
2
3
! 2
0
! 3
0 +
T (!
0 )
=h "
0 i+h"
T
i (25)
ondeh "
0 i=
2
3
!
0 .
Usandooresultadodaintegral:
Z
1
a 2
b 2
x 2
dx= 1
2ab ln
a+bx
a bx
obtemosdaequa~ao(24),apossuaintegra~ao,que
A+ 1
kT =
1
2h"
0 i
ln
h"i+h"
0 i
h"i h"
0 i
onde A e uma onstante de integra~ao. No limite
T !1,h"ih "
0
ieA=0. Obtem-se,ent~ao
h"i=h"
0 i
2
4
1+
2
exp h
2h"
0 i
k T i
1 3
5
Conlui-se deste resultado eda equa~ao(25), uma
express~aoparadensidadeespetral
T (!
0 )=
2! 3
0
exp h
2 2
!
0
k T i
1 ;
que,quandoomparadaomaformulada radia~ao de
Plank dame^aniaqu^antia,asaber
T (!)=
~! 3
2
3
1
e ~!
k T
1
;
forneearela~aoqueonetaaonstanteoma
ons-tantedePlank:
2 2
3
=~:
Assim, da equa~ao (23), esrevemos a formula
explita da pot^enia absorvida a temperatura nula
omofun~aodaonstantedePlank
P
abs
(T =0) 2
3 ~e
5
m 5=2
3
r 9=2
(26)
onde 2
foifeito! 2
=e 2
=mr 3
IV.3 Raio de equilbrio do atomo de
hidrog^enio via me^ania lassia
A energiatotaldo eletronno atomo dehidrog^enio
edadapor
"=K+V = e
2
2r
Apot^eniatotaldestesistemaeataxadevaria~ao
daenergiapelotempo,istoe,apot^eniatotal,queea
diferenaentreapot^eniaabsorvidaeapot^enia
dissi-pada(de Larmor). Assim, deaordoomasequa~oes
(1)e(26),aT =0:
d
dt
e 2
2r
= P
abs P
Larmor
= 2
3 e
6
m 2
3
r 4
h
~
e(mr) 1=2
1 i
;
obtendoaequa~aodiferenial
e 2
_ r
2r 2
= 2
3 e
6
m 2
3
r 4
"
~
e(mr) 1=2
1 #
(27)
Exigindoquer_ =0nesta equa~aodeterminamoso
raiodeequilbrio
r
eq =
~ 2
me 2
observando-se que este raio e exatamente o raio de
Bohr. A solu~ao exata da equa~ao (27) fornee uma
orbitaespiralonformefoireentementedisutido[5,6℄.
Vamos mostrar que esse raio e estavel. Os
om-portamentos assintotios de P
abs e P
Larmor
para r
grande(r ! 1), s~ao 1
r 9=2
e 1
r 4
respetivamente. Isso
nosremeteasondi~oes:
dP
Larmor
dr
<0 e d
2
P
Larmor
dr 2
>0
e
dP
abs
dr
<0 e d
2
P
abs
dr 2
>0
E om isso podemos dizer que ambas as fun~oes
P
Larmor e P
abs
deresem om onavidade voltada
para baixo. Ent~ao, om isso, podemos onluir que
se r>r
eq , P
Larmor >P
abs
, oeletron perde energia,e
a tend^eniaeretornarao raiode equilbrio.
Analoga-mente para r <r
eq , P
Larmor <P
abs
, o eletronganha
energia, eatend^eniaeretornaraoraio deequilbrio.
Conlumosqueoraiodeequilbrioeestavelmesmoa
temperaturanula.
Ebastanteinstrutivoompararesta
disuss~aolassiadaestabilidadedoatomoomaquela
validana Eletrodin^amia Qu^antia [7℄. Conforme
dis-utidonasrefer^enias[5℄e[7℄vemosqueepreisamente
a radia~ao de ponto-zero do vauo a fonte de energia
responsavelpelaestabilidadedoestadofundamentalde
sistemas mirosopios.
V Ap^endie.
V.1 Dedu~ao da formula (17)
Vamos assoiar ~
( ~
k;1) !e~
r ,
~
( ~
k;2) ! e~
' , e
~
k !
ke~
numsistemadeoordenadaspolares. Consideremos
doisasoseoutrospodemserobtidospor analogia.
Caso 1(i=j=x)
~
( ~
k;1)
x (
~
k;1) = ~
( ~
k;1)~e
x = ~e
r ~e
x
= sinos'
x (
~
k;2) = ~
( ~
k;2)~e
x = ~e
' ~e
x
= sin'
Portanto
2
X
=1
2
x (
~
k;)=sin 2
os 2
'+sin 2
'
Poroutrolado
Æ
xx k
x k
x
2 =1
k 2
os 2
os 2
'
2
=sin 2
'+sin 2
os 2
'
Deformaquepodemosonluirpara esteasoque
2
X
=1
2
x (
~
k;)=Æ
xx k
x k
x
k 2
Caso 2 (i=x; j =y;omx6=y)
x (
~
k;1) = sinos'
x (
~
k;2) = sin'
y (
~
k;1) = sinsin'
y (
~
k;2) = os'
Portanto
2
X
=1
x (
~
k;)
y (
~
k;)= sin'os'os 2
PoroutroladoÆ
xy
=0,eportanto
Æ
xy k
x k
y
k 2
= os 2
sin'os':
Com issoonlumos que 2
P
=1
x (
~
k;)
y (
~
k;) = Æ
xy
k
x k
y
k 2
osoutrosasoss~aoid^entios.
Agradeimentos
R. da Silva agradee a FAPESP pelo apoio
nan-eiroeL.JungesSubtilporsuasapreia~oessobreeste
texto.
Refer^enias
[1℄ Prinpios de Eletrodin^amia Classia, J. Frenkel,
Edusp.
[2℄ T.H.Boyer,Classial StatistialThermodynamisand
Eletromagneti Zero-Point Radiation, Phys.Rev.186,
1304(1969).
[3℄ T.H.Boyer,Random Eletrodynamis: Thetheory of
lassialeletrodynamiswithlassialeletromagneti
zero-pointradiation,PhysRevD11,790(1975).
[4℄ T.H.Boyer,GeneralConnetionbetweenrandom
ele-trodynamisandquantumeletrodynamisforfree
ele-tromagneti elds and for dipole osillator systems,
Phys.Rev.D11,909(1975).
[5℄ H. M. Frana, H. Frano and C. P.Malta, A
stohas-tieletrodynamisinterpretationofspontaneous
tran-sitions in the hydrogen atom, Eur. J. Phys. 18, 343
(1997).
[6℄ M.SeidlandP.O.Lipas,Semilassialinterpretationof
spontaneous transitions inthehydrogenatom, Eur. J.
Phys. 17,25(1996).
[7℄ J. Dalibard, J. Dupont-Ro and C. Cohen-Tannouji,
Vauumutuationsand radiationreation:
identia-tion of their respetive ontributions, J. Physique 43,
