Sistemas dinâmicos discretos: estabilidade, comportamento assintótico e sincroni...

Sistemas dinâmicos discretos: estabilidade,

comportamento assintótico e sincronização

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito: 18 de abril de 2008

Assinatura:

Sistemas dinâmicos discretos: estabilidade,

comportamento assintótico e sincronização

1

Wescley Bonomo

Orientador: Prof. Dr. Hildebrando Munhoz Rodrigues

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação da Universidade de São Paulo, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências - Área: Matemática.

USP - São Carlos Abril/2008

“A Matemática é o mais maravilhoso instrumento criado pelo gênio do homem para a descoberta da verdade.” (Laisant)

“Felizes aqueles que se divertem com problemas que educam a alma e elevam o espírito.” (Fenelon)

“O valor de nossas expectativas sempre significa algo entre o melhor que podemos esperar e o pior que podemos temer.” (Jacob Bernoulli)

“Não existe oceano maior do que a determinação humana.” (Lars Grael)

“Aqui, no entanto, nós não olhamos para trás por muito tempo.

Nós continuamos seguindo em frente, abrindo novas portas e fazendo coisas novas,

porque somos curiosos ... e a curiosidade continua nos conduzindo por novos caminhos.”

(Walt Disney)

Ouvi, que não vereis com vãs façanhas, Fantásticas, fingidas, mentirosas, Louvar os vossos, como nas estranhas Musas, de engrandecer-se desejosas: As verdadeiras vossas são tamanhas, Que excedem as sonhadas, fabulosas; Que excedem Rodamonte, e o vão Rugeiro, E Orlando, inda que fora verdadeiro,

Ofereço

Aos meus pais

Anna e Matheus

Ao meu irmão

Wanderson

A minha avó

Maria Bonomo Vinhati

A memória dos meus avós

Nilo Vinhati;

Amélia Anastácio Bonomo;

Agradecimentos

Inicialmente, agradesço aos meus pais Matheus e Anna, por terem me dado a vida, e nos quais me espelhei para criar meus valores e me tornar a pessoa que hoje sou, por me darem grande apoio moral, me encorajando em todos os momentos da minha vida. Ao meu irmão Wanderson e também aos meus primos Charles, Verusca e Charla, ora irmãos mais velhos e sempre amigos, pelas brincadeiras que fizemos juntos e também pelo zelo que deram a minha educação, minha eterna gratidão!

Ao professor Hildebrando pelo tema proposto e pela forma como orientou esse trabalho, permitindo com que eu trabalhasse com liberdade.

Aos meus professores do DM-UFES; em especial ao Alancardek e a Liane pelo incentivo dado para que eu cursasse o mestrado; aos meus orientadores do PET: Jamil Ferreira e José A. da Rocha Pinto, e também aos meus professores de mestrado, com os quais obtive uma formaçao mais sólida, a qual certamente vai além das salas de aula do ICMC-USP.

Ao professor Daniel Vendruscolo, por ter me ajudado a superar obstáculos encontrados pelo caminho, durante o mestrado.

A minha turma de mestrado: Eduardo, Giuliano, J. Claudinei, Juliano, Lucas, Marcos, Thais, Thiago Castilho, Thiago Catalan e Yuri; ao pessoal da minha sala, com os quais tive a oportunidade de dividir a maior parte dos meus dias de trabalho; aos amigos do ICMC pelo companheirismo e pela amizade, em especial a Daniela. Aos meus eternos amigos, àqueles que me acompanharam e me ajudaram de perto e aqueles que torceram por mim de longe.

Ao pessoal do apartamento 406 do condomínio onde morei parte do tempo que fiz esse mestrado: Ronaldinho e Flank, e aos demais amigos do prédio; Zenilde, Raulina, Neli, Nélia, Pedro, Jane, Leu, e o zelador Marcos.

A CAPES pelo suporte financeiro concedido durante o mestrado, e pela bolsa concedida nos estudos do PET, durante a graduação.

Enfim, a todos aqueles que de alguma forma contribuíram para a realização desse trabalho.

Resumo

Este trabalho é em parte baseado no livroThe Stability and Control of Discrete Processes

de Joseph P. LaSalle. Nós estudamos equações comox(n+1) =T(x(n)), ondeT :_Rm_→Rm_é uma aplicação contínua, com o sistema dinâmico associadoΠ(n,x):=Tn(x).

Nós fornecemos condições suficientes para a estabilidade de equilíbrios usando o método direto de Liapunov. Também consideramos sistemas discretos da formax(n+1) =T(n,x(n),λ)

Abstract

This work is in part based on the bookThe Stability and Control of Discrete Processes

of Joseph P. LaSalle. We studing equations as x(n+1) = T(x(n)), where T :_Rm_→Rm _is continuous transformation, with the associated dynamic systemΠ(n,x):=Tn(x).

We provide suddicient conditions for stability of equilibria, using Liapunov direct method. We also consider nonautonomous discrete systems of the form x(n+1) = T(n,x(n),λ)

Sumário

Introdução 1

1 Preliminares 5

1.1 Equações de diferenças . . . 5

1.2 Sistemas dinâmicos discretos . . . 6

1.3 Invariância. . . 6

1.4 Conjuntos limite. . . 12

2 Estabilidade e instabilidade 19 2.1 Método direto de Liapunov . . . 19

2.2 Versão estendida do princípio de invariância . . . 24

2.3 Simulações e exemplos . . . 28

3 Sistemas lineares 43 3.1 Sistemas lineares de equações de diferenças homogêneas de primeira ordem . . 43

3.2 Forma canônica de Jordan . . . 44

3.3 Critério de Schur-Cohn . . . 48

3.4 Um funcional de Liapunov paraX′ =AX . . . 49

3.5 Estabilidade por aproximação linear . . . 52

3.6 Equações de diferenças lineares de ordemm . . . 53

3.7 Soluções de uma equação de m-ésima ordem . . . 54

3.8 Fórmula da variação das constantes. . . 55

3.9 Matrizes companheiras . . . 56

4 Aplicações a sincronização 57 4.1 Aplicações ao sistema de Lorenz discreto . . . 57

Introdução

Este trabalho está em parte baseado no livro The Stability and Control of Discrete

Processes de Joseph P LaSalle, (veja [18]) e no preprint Uniform Dissipativeness and

Robust Synchronization of Parametrized Discrete Systems: location of the Atractor(Veja

RODRIGUES, WU e GABRIEL, [31]).

Uma igualdade da formaF(n,x(n),x(n+1),x(n+2), ...,x(n+m)) =0, onde a variávelxé

uma seqüência com valores em _Rm_{, chama-se equação de diferenças finitas. Resolver uma tal} equação é encontrar uma seqüênciax:_N→Rm_{que a satisfaz para todon∈N.}

Em muitas aplicações matemáticas como economia, o tempo é discreto, isto é, as grandezas são medidas em instantes isolados (de hora em hora, a cada segundo, etc.), formando uma seqüência que descreve o sistema. Neste caso as equações diferenciais não são adequadas para exprimir o a evolução do fenômeno, sendo substituídas pelas equações de diferenças finitas.

Mesmo equações diferenciais dx_dt = f(x)podem ser convertidas em equações de diferenças através do método de Euler: x(n+1) =x(n) +h f(x(n)), que é um método iterativo de primeira ordem utilizado por exemplo na integração numérica e pelos microcomputadores.

Equações de diferenças finitas x(n+1) = T(x(n)) têm uma estrutura natural de sistema semidinâmico discreto (em_Rm_{) e a formulação matemática deste é baseada na lei de evolução}

Π:_N×Rm _→Rm _{dada por Π(n,x):=T}n_{(x), onde o operador T :R}m_→Rm _{por todo este} trabalho será uma aplicação contínua. Eventualmente, estudaremos também sistemas do tipo Π: _N×Λ_×Rm _→Rm, Π(n,λ,x) =T_λn(x), o qual pode ser interpretado como uma família

de sistemas semidinâmicos discretos. No capítulo 02 apresentaremos o Princípio da dissipação uniforme, provado por GABRIEL (veja [8], página 37 ou [31]). Esse resultado é assim chamado pois ele fornece uma estimativa uniforme (com relação ao parâmetro λ_∈Λ) do atrator deΠ: N×Λ_×Rm→Rm, como veremos.

2 Introdução

e controlabilidade dos mesmos.

No capítulo 01 estudamos os sistemas do tipox(n+1) =T(x(n))junto com a sua dinâmica associadaΠ(n,x):=Tn(x), e algumas noções básicas da teoria dos sistemas dinâmicos, como os

conceitos de invariância, órbitas, atratores, pontos fixos (ou estados de equilíbrio) e periódicos e conjuntos limites.

O Capítulo 02 preocupa-se em estudar a estabilidade dos estados de equilíbrio dex(n+1) = T(x(n)). Uma das técnicas fundamentais utilizadas é o método direto de Liapunov, devido a Aleksandr Mikhalovich Liapunov (06/06/1857 - 03/11/1918).

Esta técnica fornece uma condição suficiente para a estabilidade de um ponto de equilíbrio. Para isso necessitamos da existência de uma função do tipo LiapunovV :_Rm_→R; definimos a derivada discreta deV (ao longo das soluções) como ˙V(x):=V(T(x))₋V(x). Os teoremas de estabilidade de Liapunov procuram obter informações qualitativas sobre o comportamento assintótico das soluções do sistema acima, a partir de propriedades das funções V e ˙V, não sendo necessário o cálculo analítico das soluções.

Joseph. P. LaSalle estabeleceu uma relação entre funções de Liapunov e conjuntosω-limites de Birkhoff, desenvolvendo o principio da invariância de LaSalle.

Na prática trabalhamos com funcões de Liapunov generalizadas, a qual pode assumir valores negativos num conjunto limitado, e com isso podemos trabalhar com uma classe maior de problemas. Estudaremos sistemas do tipo Π: N×Λ_×Rm →Rm, Π(n,λ,x) = T_λn(x). No

capítulo 02 apresentaremos o Princípio da dissipação uniforme, assim chamado pois fornece uma estimativa uniforme do atrator do sistema.

Resultados obtidos na dissertação de mestrado de Luiz Roberto Almeida Gabriel Filho, "Comportamento assintótico de sistemas não lineares discretos", orientada pelo professor Hildebrando Munhoz Rodrigues, (veja [8]) na qual procurou-se estudar a estabilidade e o desenvolvimento de técnicas para obter estimativas uniformes de atratores, foram utilizados aqui.

Como aplicação, foram feitos alguns exemplos e simulações

No capítulo 03 estudamos inicialmente a estabilidade de sistemas lineares de equações de diferençasX′=AX, ondeAé uma matriz (real ou complexa), e a partir disso procuramos obter informação sobre o sistema não linearX′=AX+f(n).

Introdução 3

estável, assim como o critério de Sylvester para matrizes definidas positivas.

Em seguida vimos as equações de diferenças lineares de m-ésima ordem e sua equivalência com os sistemas de equações de diferenças finitas lineares através de suas matrizes companheiras.

A fórmula da variação das constantes será uma ferramenta de muita utilidade para o estudo do comportamento assintótico de soluções de equações não lineares da formax′=Ax+f(x).

Na teoria de sistemas dinâmicos, o conceito de controlabilidade surgiu naturalmente durante o desenvolvimento inicial de controle ótimo, no final dos anos 1950, e foi descoberto independentemente por matemáticos e engenheiros nos Estados Unidos e na URSS.

C

APÍTULO

1

Preliminares

N

este trabalho, assumiremos sempre queT :_Rm_→Rm_{é uma aplicação contínua.}

Dada uma seqüência x:_N→Rm, definimos x′ pela regra x′(n) =x(n+1); e a primeira diferença dexé dada por ˙x(n):=x(n+1)₋x(n)ou ˙x=x′₋x.

Correspondendo ao teorema fundamental do cálculo, temos ∑n

k=jx(k) =˙ x(n+1)−x(j). Sey(n+1) = ∑n

k=jx(k), então ˙y(n) =x(n).

1.1 Equações de diferenças

A equação de diferenças homogênea de primeira ordem é dada por

x(n+1) =T(x(n)), (1.1)

para todo n _{∈ N}, ou abreviadamente, x′_{=T(x). Uma solução dessa equação é uma função} (seqüência)x:_N→Rm_{que a satisfaz para todonnatural.}

Teorema 1.1.1(Teorema de existência e unicidade de soluções).

O problema de valor inicial

(

x′=T(x) x(0) =x0

(1.2)

admite uma única solução para cada x0 ∈ Rm. De fato, tomando T0 = Id e Tn+1 =

T_◦Tn, obtemos um algoritmo definindo a função x, que pode ser expressa pela seqüência

6 Capítulo 1: Preliminares

1.2 Sistemas dinâmicos discretos

Definição 1.2.1. Um sistema semidinâmico discreto em _Rm _{é uma função Π:N×R}m _→Rm

satisfazendo:

1. Πé contínua.

2. Π(0,x) =x, para todo x ∈ Rm.

3. (Propriedade de semigrupo)

Π(m,Π(n,x)) =Π(m+n,x), para todo m,n ∈ Ne para todo x ∈ Rm.

Se trocarmos_Npor_Z(no caso em queT é inversível) na definição1.2.1, dizemos queΠé um sistema dinâmico discreto.

Toda equação de diferenças define o sistema semidinâmicoΠ(n,x):=Tn(x);x∈Rm,n∈N.

Se T for inversível, então podemos associar essa equação de diferenças ao sistema dinâmico Π(n,x):=Tn(x), ondeTn(x):= (T−n)−1sen<0.

Reciprocamente, todo sistema semidinâmico está associado a equação de diferençasx′ = T(x):=Π(1,x), e por indução finita, seTr(x) =Π(r,x)para algumr≥1 temos queTr+1(x) =

T(Tr_{(x)) =T(Π(r,x)) =Π(1,Π(r,x)) =Π(r+1,x), portantoT}n_{(x) =Π(n,x)para todon∈N.}

1.3 Invariância

Definição 1.3.1. Seja H um subconjunto deRme seja T :Rm→Rm.

1. H é dito positivamente invariante (com respeito ao operador T ) se T(H)_⊆H, isto é, se

x _∈ H então T(x) _∈ H.

2. H é dito negativamente invariante se T(H)_⊇H, isto é, para todo y_∈H, existe x_∈H tal

que T(x) =y.

3. Um subconjunto H de _Rm _{que é positivamente invariante e negativamente invariante é}

dito invariante. Noutras palavras, H é invariante se T(H) =H.

Propriedades:

Seção 1.3: Invariância 7

A intersecção de uma família qualquer de conjuntos positivamente invariantes é um conjunto positivamente invariante. Em geral a intersecção de dois conjuntos invariantes (ou negativamente invariantes) nem sempre resulta num conjunto invariante (negativamente invariante); no entanto, se T for injetora, então a intersecção de dois conjuntos negativamente invariantes é um conjunto negativamente invariante.

∅e_Rm_{são positivamente invariantes.}

Proposição 1.3.1. Se H _⊆Rm_{é T -invariante, onde T :R}m_→Rm_{é contínua, então:}

a) Se M_⊂H é positivamente invariante, então H₋M é negativamente invariante. Se T_|H for

inversível, então vale a recíproca.

b) Se T_|H é inversível e M_⊂H é invariante, então H₋M também é invariante.

Figura 1.1:

Prova:

ComoM é positivamente invariante temos queT(M)_⊂M. Assim, T(H₋M)_⊃T(H)₋ T(M) =H₋T(M)_⊃H₋M, logoH₋Mé negativamente invariante.

SeT for inversível eH₋Mé negativamente invariante,H₋M_⊂T(H₋M) =H₋T(M), logoM_⊃T(M).

b)

Se M é invariante, Por a) temos que H₋M é negativamente invariante. Portanto, resta apenas mostrar queH₋Mé positivamente invariante.

8 Capítulo 1: Preliminares

Observação 1.3.1(Prolongamento ou extensão de soluções).

Se(x0,T(x0),T2(x0),T3(x0), ...)é solução de (1.1) e x₋1∈T−1(x0)(imagem inversa de x0),

então a solução pode ser prolongada a(x₋1,x0,T(x0),T2(x0),T3(x0), ...).

Um prolongamento é dito maximal se estiver definido para todo _Z, ou então se

(x₋n,···,x₋₂,x₋₁,x₀,T(x₀),T2(x₀),T3(x₀), ...)for um prolongamento e T−1(x_−n) =∅.

Se T for injetiva então o prolongamento em H é sempre único, e se T for sobrejetiva, então

toda solução admite um prolongamento para todo z_∈Z.

Definição 1.3.2. O conjuntoγ+(x0):={Tn(x0):x0∈Rm,n ∈ N}, isto é, a imagem da solução

de (1.1) chama-se órbita positiva (ou trajetória positiva) de x0e é positivamente invariante. Se

T for inversível, definimos a órbita negativa de x0como sendo o conjuntoγ−(x0):={T−n(x0):

n _∈ N} que é negativamente invariante, e neste caso,γ+(x0)∪γ−(x0)é a órbita completa (ou

simplesmente órbita) de x0e é invariante.

Proposição 1.3.2. Um conjunto H_⊂Rmé negativamente invariante se e somente se toda órbita

iniciando em H tem um prolongamento em H para todo n_∈Z.

Prova:

Seja x0 ∈ H. Como T(H) ⊃ H temos que existe x−1 ∈ H tal que T(x−1) = x0; e por indução, dado x−n ∈ H, existe x−n−1 ∈ H tal que T(x−n−1) = x−n. Portanto

(_···,x_−n,···,x₋1,x0,T(x0),T2(x0),···)é um prolongamento de(Tn(x0))para todon∈Z. Reciprocamente, se toda órbita que inicia emH tem um prolongamento emH, então para todoy_∈H, existex_∈Htal queT(x) =y, logoHé negativamente invariante.

Proposição 1.3.3. O fecho de um conjunto positivamente invariante é positivamente invariante.

Prova:

SeH_⊂Rmé positivamente invariante,T(H)_⊂H, portantoT(H)_⊂H. ComoT é contínua, T(H)_⊂T(H), logoT(H)_⊂H.

Não é verdade em geral que o fecho de um conjunto negativamente invariante é negativamente invariante, por exemplo, se f(x) = [e−x_+1]sen2₍πx

2) + [2x+2]cos2(π2x), temos que (1,+∞) é f-negativamente invariante mas [1,+∞) = (1,+∞) não é negativamente

invariante, visto que f([1,+∞)) = (1,+∞).

No entanto, temos o seguinte resultado:

Proposição 1.3.4. O fecho de um conjunto negativamente invariante limitado é negativamente

Seção 1.3: Invariância 9

Figura 1.2:

Prova:

Dadox_∈H, existe(xn)comxn→xexn∈Hpara todon∈N. ComoH éT-negativamente invariante, temos quexn∈T(H), assim, existe uma seqüência(yn)tal quexn=T(yn).

Como H é limitado, H é compacto e assim existe uma subseqüência ynk convergente, digamos ynk →y∈H. Pela continuidade de T, x=_nk→lim

∞xnk =nk→lim∞T(ynk) =T(nk→lim∞ynk) =

T(y)_⇒x_∈T(H).

Definição 1.3.3. Um conjunto H _{∈ R}m _{que é fechado e invariante (com respeito a algum}

operador T :_Rm_→Rm), é dito invariantemente conexo se não existem dois conjuntos fechados

não vazios, invariantes e disjuntos F1e F2tais que H=F1⊔F2.

No que segue, é interessante observarmos que se um conjunto não vazioH_∈Rmé (fechado e) invariante, faz sentido definirmos o sistema semidinâmicoΠ:_N×H_→H,Π(n,x) =Tn

|H(x). Se existirem dois fechados invariantes, disjuntos e não vaziosF1eF2tais queH =F1⊔F2, pela invariância deF1, se uma solução de (1.1) inicia emF1então ela está totalmente contida em

F1. Analogamente, se uma solução de (1.1) inicia emF2então ela está totalmente contida emF2. Assim, num certo sentido temos dois sistemas semidinâmicos: Π1:N×F1→F1, Π1(n,x) =

Tn

|F1(x) e Π2:N×F2 →F2, Π2(n,x) =T n

|F2(x), e a dinâmica de Π em F1 pode inclusive ser diferente da dinâmica deΠemF2.

Exemplo 1.3.1. Se H_⊂Rmé fechado, invariante e conexo, então H é invariantemente conexo.

De fato, Se H não fosse invariantemente conexo, existiriam dois fechados disjuntos e não

10 Capítulo 1: Preliminares

Figura 1.3:

B2subconjuntos abertos e disjuntos deRmtais que F1⊂B1e F2⊂B2. Mas então H⊂B1⊔B2

com B16=∅e B26=∅. Absurdo, pois H é conexo.

A recíproca desse resultado é obviamente falsa. De fato, seja f :_R→R dada pela regra

f(x) =₋x+1e seja H= [0,1₃]∪[2₃,1]. H é invariantemente conexo, apesar de não ser conexo.

Figura 1.4:

Definição 1.3.4. Uma solução de (1.1) é dita periódica (ou cíclica) se existe k _{∈ N} tal

que Tk(x0) = x0, e o menor k com essa propriedade é dito período da solução periódica.

Analogamente definimos órbita periódica, cujos elementos são ditos pontos periódicos.

Indicamos o conjunto dos pontos T -periódicos por Per(T)e o conjunto dos pontos periódicos

de período k por Per(T,k). Se k=1, isto é, T(x0) =x0 então x0 é dito ser um ponto fixo (ou

ponto invariante, ou ainda ponto de equilíbrio) de T .

Proposição 1.3.5. Se H é um conjunto invariante com um número finito de elementos, então

T_|Hé inversível. Em particular, toda solução periódica de (1.1) admite um prolongamento para

todo n_∈Z.

Seção 1.3: Invariância 11

Pela invariância de H, temos que T(H) =H, logo T_|H é sobrejetora. Como H tem um número finito de elementos, temos queT_|H também é injetora.

Se Tn_(x

0), x0 ∈ Rm é uma solução periódica de período k de (1.1), temos que

H = _{x0,T(x0),T2(x0),···,Tk−1(x0)} é um conjunto invariante com um número finito de elementos. Segue que TH é inversível, e a existência (e unicidade) do prolongamento da solução periódica (em H) para todo Z segue da observação 1.3.1, ou então da Proposição 1.3.2. Explicitamente, um prolongamento é

{···,x0,T(x0),T2(x0),···,Tk−1(x0),x0,T(x0),T2(x0),···,Tk−1(x0),···}.

Proposição 1.3.6. Um conjunto invariante com um número finito de elementos é

invariantemente conexo se e somente se for uma órbita periódica. Em particular, todo conjunto invariante com um número finito de elementos é reunião disjunta de órbitas periódicas.

Prova:

Suponha que H não seja uma órbita periódica. Se #H=m, então dadox_∈Hexisten<mtal

queM=_{x,T(x),T2(x)···Tn−1(x)}é uma órbita periódica, e portanto um conjunto invariante.

Pela Proposição1.3.5T_|H é inversível, logo pela Proposição1.3.1H−Mtambém é invariante. Mas então H e H₋M são dois fechados invariantes disjuntos e não vazios tais queH =M_⊔ H₋M. Absurdo pois H é invariantemente conexo.

SeH é uma órbita periódica de períodok, digamosH =_{x,T(x),T2(x),···Tk−1(x)}e se

Mé um subconjunto invariante não vazio deH, então existen0, 0≤n0<ktal queTn0(x)∈M.

Como M é invariante, Tn0+n_(x)∈M para todo _n∈N. Visto que _Tk_{(x) =x}, temos que _{H =}

{Tn0_(x),Tn0+1_(x),···,Tn0+k−1_{(x)} ⊂M}. Logo_M=H e_H é invariantemente conexo.

Se H _{⊂ R}m é um conjunto invariante com um número finito de elementos, tomando x1 ∈ H arbitrariamente, temos que existe n1 ≤ m := #H tal que o conjunto γ(x1) =

{x1,T(x1),T2(x1),···,Tn1−1(x1)}é uma órbita periódica.

Se n1 = m a afirmação segue, senão, existe x2 ∈ H−γ(x1) que é um conjunto finito, portanto existe n2 ≤m tal que o conjunto γ(x2) = {x2,T(x2),T2(x2),···,Tn2−1(x2)} é uma órbita periódica.

Sen1+n2=ma afirmação segue, senão, existex3∈H−(γ(x1)⊔γ(x2))que é um conjunto finito, portanto existe n3≤m tal que o conjunto γ(x3) ={x3,T(x₃),T2(x₃),···,Tn3−1(x₃)} é

uma órbita periódica.

Prosseguindo assim, comoH é finito, esse processo tem que acabar. Assim, obteremos que H=γ(x1)⊔γ(x2)⊔ ··· ⊔γ(xk), onde osγ(xi)são órbitas periódicas duas a duas disjuntas.

12 Capítulo 1: Preliminares

procura de uma solução de uma equação do tipo f(x) =breduz-se a procura de um ponto fixo para a aplicaçãoξ(x) = f(x) +x₋b. De fato,ξ(x) =x_⇔ f(x) =b.

Sob certas hipóteses sobre um operador T e um subconjunto H que é T-positivamnete invariante, alguns resultados garantem a existência de um ponto fixo paraT emH.

Teorema 1.3.1(Ponto fixo de Banach).

Seja F um subconjunto fechado e f -positivamente invariante de um espaço métrico

completo, onde f : F _→ F uma contração, isto é, existe λ _{∈ R} com 0 _≤ λ < 1 tal que

d(f(x),f(y))≤λd(x,y). Então f tem um único ponto fixo, o qual é atrator.

Teorema 1.3.2(Ponto fixo de Brower).

Seja T :_Rm _→Rm _{uma aplicação contínua, H ⊂R}m _{homeomorfo a B[0,1] =B(0,1) e}

T-positivamente invariante. Então existe x_∈H tal que T(x) =x.

Exemplo 1.3.2. Se f :_R→R, f(x) =₋x+1e H= [0,1₃]∪[2₃,1]como no exemplo1.3.1, então

H é um conjunto fechado e invariante, porém sem ponto fixo.

1.4 Conjuntos limite

Se (x,T(x),T2(x), ...) é convergente, então a= lim n→∞T

n_{(x) é um ponto fixo de T. Mais} geralmente temos:

Definição 1.4.1(Birkhoff).

Dado x_∈Rm, seja(Tn(x))a solução de (1.1) que inicia em x. Define-se o conjuntoω(x):=

{q∈Rm:_∃nk→∞e Tnk(x0)→q, k→∞}. ω(x)é dito conjuntoω-limite do ponto x .

Se y _∈ γ+(x), então ω(x) = ω(y), isto é, o conjunto ω-limite é uma propriedade da órbita de um ponto, e não desse ponto. De fato, se y_∈ γ+(x), temos que y= Tk_{(x) e se}

z _∈ω(x), temos que existe uma subseqüência Tni(x)_→ z, ni >k, assim z= lim ni→∞T

ni_{(x) =}

lim ni→∞T

ni−k+k_{(x) = lim} ni→∞T

ni−k_(Tk_{(x)) = lim} ni→∞T

ni−k_{(y), portantoω(x)⊂ω(y)e a outra inclusão} se verifica analogamente. Assim, podemos definir o conjuntoω-limite de uma órbita.

Observação 1.4.1. Equivalentemente, temos queω(x):= ❚∞

j=0

∞ ❙

n=jT

n_{(x). Em particular,ω(x)é}

fechado.

Prova:

Sejay_∈ω(x0). Dado j>0 existe uma subseqüênciaTnk(x)deTn(x),n_k> j, que converge

paray. Logo,y_∈ ❙∞

n=jT

n_{(x). Como jé arbitrário,y∈} ❚∞ j=0

∞ ❙

Seção 1.4: Conjuntos limite 13

Provemos agora a outra inclusão. SejamAj =

∞ ❙

n=jT

n_{(x) e y∈} ❚∞

j=0Aj. Entãoy∈A0, logo existe uma seqüência emA0 que converge paray. Sejay0=Tn0(x)um termo dessa seqüência tal que_|y₋y0|<1, para algumn₀≥0.

Comoy_∈A(n0+1), existe uma seqüência emAn0+1convergindo paray. Sejay1=Tn1(x) um termo dessa seqüência tal que_|y₋y1|<1₂ para algumn1>n0.

Comoy_∈A(n1+1), existe uma seqüência emAn1+1convergindo paray. Sejay1=Tn1(x) um termo dessa seqüência tal que_|y₋y1|<₂1₂ para algumn₂>n₁>n₀.

Prosseguindo assim, criamos uma seqüênciayk ∈Rm tal que |y−yk|< ₂1k, Tnk(x)e nk >

nk−1, portantoyk=Tnk(x)→xquandok→∞, e assim,y∈ω(x0).

Existem algumas razões para estarmos interessados em estudar o que acontece comTn(x) para valores grandes de n. isso concerne com o comportamento assintótico deTn(x), assunto tratado pela teoria da estabilidade. No próximo capítulo veremos como obter informação sobre conjuntos limites de órbitas utilizando funções de Liapunov.

Teorema 1.4.1. Se existe W _⊂Rm _{compacto tal que T}n_{(x)∈W para todo n∈N, entãoω(x)}

tem as seguintes propriedades:

1. ω(x)é não vazio;

2. ω(x)é compacto;

3. ω(x)é invariante;

4. ω(x)é invariantemente conexo;

5. ω(x)é o menor conjunto fechado do qual Tn(x)se aproxima quando n_→∞.

Prova:

1. ω(x)é não vazio:

Como_{Tn(x)_{} ⊂}W que é compacto, segue que_{Tn(x)_}tem um ponto limite, logoω(x)₆= ∅.

2. ω(x)é compacto:

Comoω(x)_⊂W que é compacto, é suficiente verificar que ω(x)é fechado. Isso segue da observação1.4.1.

14 Capítulo 1: Preliminares

Mostremos primeiro queT(ω(x))_⊆ω(x), isto é,ω(x)é positivamente invariante. ComoT é contínua, temos:

T(ω(x)) =T ∞ ❭

j=0

∞ ❬

n=j

Tn_(x) !

⊂

∞ ❭

j=0

T ∞ ❬

n=j

Tn_(x) !

⊂

∞ ❭

j=0

T ∞ ❬

n=j

Tn_(x) !

=

∞ ❭

j=0

∞ ❬

n=j

Tn+1_(x) !

= ∞ ❭

j=0

∞ ❬

n=j+1

Tn_(x) !

⊂

∞ ❭

j=0

∞ ❬

n=j

Tn_(x) !

=ω(x).

Observe que aqui não se usou o fato de(Tn(x))ser limitada.

Mostremos agora queT(ω(x))_⊇ω(x), isto é,ω(x)é negativamente invariante. Dadoy_∈ω(x), sejaTni(x)tal queTni(x)_→y.

Como Tn(x) é limitada temos que Tni−1(x) é limitada e portanto existe Tnik−1_(x) convergente; digamosTnik−1_{(x)→z∈ω(x). Pela continuidade deT:}

y= lim

k→∞T

n_{ik(x) = lim} k→∞T(T

n_ik−1_{(x)) =T}

(lim

k→∞T

n_ik−1_{(x)) =T(z)} .

LogoT(ω(x))_⊇ω(x).

4. ω(x)é invariantemente conexo:

Suponha por contradição queω(x)é igual a reunião de dois conjuntos fechados invariantes não vazios e disjuntosω1eω2.

Comoω(x)é compacto, segue queω1eω2também são compactos. ComoRmé um espaço topológico normal, existem dois abertos disjuntosU1eU2tais queω1⊂U1eω2⊂U2.

ComoT é contínua, existe um conjunto abertoB1tal queω1⊂B1 eT(B1)⊂U1. De fato, tomando B1:= T−1(U1), temos que B1 é aberto, T(B1) =T(T−1(U1))⊂U1 e, como ω1 é invariante,ω1⊂T−1(T(ω1)) =T−1(ω1)⊂T−1(U1) =B1, poisω1⊂B1.

Como por hipóteseω(x) =ω1⊔ω2e visto queω1⊂U1∩B1eω2⊂U2, então existen0∈N tal queTn_(x)∈(U

1∩B1)∪U2para todon>n₀.

Comoω16=∅podemos supor que existen0 tal queTn0(x)∈U1∩B1. Suponha que exista

n1>n₀ tal queTn1(x)∈U₁∩B₁eTn1+1(x)∈U₂. Mas comoT(B₁)⊂U₁, temosTn1+1(x) =

T(Tn1(x))_∈T(U_1∩B_1)⊂U₁, ou sejaTn1+1(x)_∈U₁, o que é uma contradição, poisU_1∩U₂₌ ∅, logoω(x)é invariantemente conexo.

Seção 1.4: Conjuntos limite 15

Seja F um subconjunto fechado de Rm do qual Tn(x) se aproxima quando n_→∞ e seja y_∈ω(x0). Então existe uma subseqüência Tni(x)→y. Se {x},S⊂Rm definimos ρ(x,S):=

inf

y∈S|x−y|. Assim,ρ(T

ni_{(x),F)→ρ(y,F). Como ρ(T}ni_{(x),F)→0 pois T}n_(x

0)→F quando

n_→∞, temos queρ(y,F) =0, e portantoy∈F poisF é fechado e assim,ω(x)⊂F.

Observe que se nada for dito sobre a inclusão de ω(x) em um subconjunto compacto de Rm, ou o que é equivalente, sobre sua limitação, podemos afirmar apenas queω(x)é fechado e positivamente invariante.

Observação 1.4.2. Se Tn_{(x)é limitado, entãoω(x)é invariantemente conexo. No entanto, não}

é possível afirmar que ω(x) seja conexo. Por exemplo se Rα : _R2_→R2 é a rotação de um

ânguloα (com relação a origem) e x_∈S1=_{x_∈R2:_|x_|=1_}; se αfor múltiplo racional de

π=3.14159...isto é,α= _qpπ, onde p∈Z, q∈Z− {0}(e podemos supor também que p>0e

mdc_{p,q}=1), então Rqα(x) =x, logoω(x)é uma órbita periódica e portanto desconexo; mas

seαnão for múltiplo racional deπentãoω(x) =S1que é conexa (veja Katok, [17]).

Definição 1.4.2. Se H_⊂Rm_{, definimosΩ(H):=} ❚∞ j=0

∞ ❙

n=jT

n_{(H), em particular,Ω(H)é fechado.}

Proposição 1.4.1. Se H _⊂Rmentão y_∈Ω(H)se, e somente se, existirem seqüências nj emN

e(yj)em H tais que Tnj(yj)→y quando j→∞.

Prova:

⇒ Suponha que existam seqüências nj em N e (yj) em H tais que Tnj(yj)→y quando

j_→∞. Suponha sem perda de generalidade quenj é crescente, então dadoi∈N, existe j0∈N tal quenj0>ipara qualquer j> j0. Assim,Tnj(yj)→yeTnj(yj)∈Tnj(H)⊂

∞ ❙

n=iT

n_{(H), dessa}

forma,y_∈ ❙∞

n=iT

n_{(H)para todoie assim,y∈} ❚∞ i=0

∞ ❙

n=iT

n_{(H). Provemos agora a outra implicação.}

⇐Sejamy∈Ω(H), Aj=

∞ ❙

n=jT

n_(H)ey∈ ❚∞

j=0Aj, então y∈A0, logo existe uma seqüência emA0que converge paray. Sejaw0=Tn0(y0)um termo dessa seqüência tal que|y−w0|<1,

para algumn0≥0 e para algumy0∈H.

Comoy_∈A(n0+1), existe uma seqüência emAn0+1convergindo paray. Sejaw1=Tn1(y1) um termo dessa seqüência tal que_|y₋w1|<1₂ para algumn1>n0e para algumy1∈H.

Comoy_∈A(n1+1), existe uma seqüência emAn1+1convergindo paray. Sejaw2=Tn2(y2) um termo dessa seqüência tal que_|y₋w2|<₂12 para algumn2>n1>n0e para algumy2∈H.

Prosseguindo assim, criamos uma seqüênciayk ∈H tal que |y−yk|< ₂1_k, w_k =Tnk(y_k) e

16 Capítulo 1: Preliminares

Teorema 1.4.2. Se H ₆=∅e existe W _⊂Rm compacto tal que Tn(H)_⊂W para todo n_∈N,

entãoΩ(H)tem as seguintes propriedades:

1. Ω(H)é não vazio;

2. Ω(H)é compacto;

3. Ω(H)é invariante;

4. Ω(H)é o menor conjunto fechado do qual Tn(H)se aproxima quando n_→∞.

Prova:

1. Ω(H)é não vazio:

Sex_∈H, temos queTn(x)_∈Tn(H)_⊂W que é compacto. Então_{Tn(x)_}tem algum ponto limite emW e assim,Ω(H)₆=_∅.

2. Ω(H)é compacto:

Ω(H)é fechado pela definição1.4.2. ComoΩ(H)_⊂W que é compacto seque queΩ(H)é compacto.

3. Ω(H)é invariante:

Provemos inicialmente queT(Ω(H))_⊆Ω(H), isto é,Ω(H)é positivamente invariante. De fato:

T(Ω(H)) =T ∞ ❭

j=0

∞ ❬

n=j

Tn_(H)

!

⊂

∞ ❭

j=0

T ∞ ❬

n=j

Tn_(H)

!

⊂

∞ ❭

j=0

T ∞ ❬

n=j

Tn_(H) !

=

∞ ❭

j=0

∞ ❬

n=j

Tn+1_(H) !

= ∞ ❭

j=0

∞ ❬

n=j+1

Tn_(H)

!

⊂

∞ ❭

j=0

∞ ❬

n=j

Tn_(H)

!

=Ω(H).

Observe que aqui não se usou o fato de(Tn(H))ser limitada.

Provemos agora a inclusãoT(Ω(H))_⊇Ω(H), isto é,Ω(H)é negativamente invariante. Dadoy_∈Ω(H), existem seqüênciasyj∈Henj∈Ntais queTnj(yj)→yenj→∞quando

j_→∞.

y= lim

j→∞T

nj_(y

j) = lim j→∞T(T

nj−1_(y

j)) =T(lim j→∞T

nj−1_(y

Seção 1.4: Conjuntos limite 17

4. Ω(H)é o menor conjunto fechado do qualTn(H)se aproxima quandon_→∞:

SejaF um subconjunto fechado de_Rm tal queTn(H)_→F quandon_→∞. Dadoε>0, se

An:={ρ(z,F):z∈Tn(H)}, então existen0tal que supAn<εpara todon>n0.

Sey_∈Ω(H)existem seqüênciasyj∈H enj≥n0tais queTnj(yj)→∞quando j→∞. ComoTnj_(y

j)∈Tnj(H),ρ(Tnj(yj),F)∈A_nj, e comon_j≥n₀, temos:

ρ(Tnj_(y

j),F)<ε⇒ρ(y,F) =ρ(lim n→∞T

nj_(y

j),F) = lim n→∞ρ(T

nj_(y

j),F)≤ε. Logo,ρ(y,F)≤

εpara todoε>0, o que implica quey∈F =F. PortantoΩ(H)⊂F.

Proposição 1.4.2. Se existe um conjunto compacto H _{⊂ R}m _{e f}

n : H → R, fn(y) :=

ρ(Tn_(y), ❙

x∈Hω(x))e y∈H. Se fn→0uniformemente em H entãoΩ(H) =

❙

x∈Hω(x).

Prova:

Comoω(x)_⊂Ω(H), ❙

x∈Hω(x)⊂Ω(H)e conseqüentemente

❙

x∈Hω(x)⊂Ω(H) =Ω(H)pois

Ω(H)é fechado. Observe que não precisamos aqui da hipótese fn→0 uniformemente emH. Mostremos agora a outra inclusão. Como fn →0 uniformemente em H quando n→∞, então dadoε>0 existen0=n0(ε)∈Ntal que para todon≥n0temos que fn(y)<ε, para todo

y_∈H, assim sup

y∈Hfn(y)≤ε⇒ysup∈Hρ(T

n_(y), ❙

x∈Hω(x))≤ε⇒z∈supTn_(H)ρ(z , ❙

x∈Hω(x))≤ε. Logoρ(Tn_(H), ❙

x∈Hω(x))→0 quando n→∞ e portantoT

n_{(H) se aproxima de} ❙ x∈Hω(x) quando n_→∞. ComoΩ(H) é o menor fechado do qualTn(H) se aproxima quandon_→∞, temos queΩ(H)_⊂ ❙

x∈Hω(x).

Proposição 1.4.3. Se K_⊂Rmé compacto não vazio e positivamente invariante, entãoΩ(K) =

∞ ❚

n=0T

n_{(K). Além disso,Ω(K)é não vazio, compacto e é o maior conjunto invariante contido}

em K.

Prova:

ComoK é positivamente invariante, temos queTn(K)_⊂K para todo n, e comoK também é compacto, pelo Teorema1.4.2,Ω(K)é não vazio, compacto e invariante.

Temos que Tn_(K)⊂Tj_{(K) se n≥ j. Segue que} ❙∞ n=jT

n_(K)⊂Tj_{(K) =T}j_{(K), pois T é}

contínua. AssimΩ(K) = ❚∞

j=0

∞ ❙

n=jT

n_(K)⊂ ❚∞ j=0T

j_{(K) =} ❚∞ j=0T

j_{(K)pelo teorema dos compactos}

encaixados, portantoΩ(K)_⊂ ❚∞

18 Capítulo 1: Preliminares

Por outro lado, comoTj(K)_⊂ ❙∞

n=jT

n_(K)⊂ ❙∞ n=jT

n_{(K)para todo j∈N, portanto} ❚∞ j=0T

j_(K)⊂

∞ ❚

j=0

∞ ❙

n=jT

n_{(K) =Ω(K). LogoΩ(K) =} ❚∞ j=0T

j_(K).

SeW _⊂K é invariante, temos queW =Tn_(W)⊂Tn_{(K) para todo n∈N. AssimW ⊂}

∞ ❚

n=0T

C

APÍTULO

2

Estabilidade e instabilidade

S

_ejaH⊂Rm_{T-invariante;}

1. H é localmente atrativo (ou atrator local) se existe uma vizinhança W de H (W é um conjunto aberto que contémH) tal queH atrai os pontos deW. Isto é, para todo x_∈W temos que lim

n→∞d(T

n_{(x),H) =0.}

2. H é estável se para qualquer vizinhançaV deH existe uma vizinhançaW de H tal que Tn_{(W)⊂V para todon∈N. Um conjunto que não é estável, é dito instável.}

3. H é localmente assintoticamente estável se for estável e existir uma vizinhançaW deH tal que lim

n→∞d(T

n_{(x),H) =0 para todo x∈W. Se H for estável e lim} n→∞d(T

n_{(x),H) =0} para todox_∈Rm, entãoH é dito globalmente assintoticamente estável.

4. H é uniformemente assintoticamente estável se for estável e atrair uma vizinhançaW de H.

2.1 Método direto de Liapunov

Proposição 2.1.1. Se H é estável, então H é estável e positivamente invariante. Em particular,

se um ponto é estável, então ele é um ponto de equilíbrio.

Prova:

SeH é estável, então dada uma vizinhançaV deH, existe uma vizinhançaW deH tal que T(W)_⊂V e essas mesmas vizinhanças mostram a estabilidade deH.

Para mostrar queH é positivamente invariante, considere as vizinhançasUi=B1

i(H), i∈

N− {0}. Temos queH = ❚∞

20 Capítulo 2: Estabilidade e instabilidade

De fato, se x _∈ ❚∞

i=1Ui, então ρ(x

,H) < 1_i para todo i ∈ N− {0}, logo ρ(x,H) = 0 e

conseqüentemente,x_∈H, portanto ❚∞

i=1Ui⊆H.

Por outro lado, comoH_⊂Uipara cadai∈N− {0}, temos queH⊆

∞ ❚

i=1Ui, logoH=

∞ ❚

i=1Ui. ComoH é estável, para cada vizinhançaUiexiste uma vizinhançaWideHtal queTn(Wi)⊂

Uipara todon,i∈N− {0}.

Como Wi ⊂Ui, temos

∞ ❚

i=1Wi ⊂

∞ ❚

i=1Ui =H, logo

∞ ❚

i=1Wi= H, e como H ⊂Wi para cada

i_{∈N− {}0_}, temos queH_⊂ ❚∞

i=1Wi, logoH=

∞ ❚

i=1Wi. Finalmente,T(H) =T(❚∞

i=1Wi)⊂

∞ ❚

i=1T(Wi)⊂

∞ ❚

i=1Ui=H, logoT(H)⊂H.

SeH=_{x0}, ondex0é um ponto estável, temos queH={x0}=He queHé positivamente invariante, isto é,T(H)_⊂H. Como esse conjunto é unitário, obtemos queT(H) =H, dondex0 é um ponto de equilíbrio.

Definição 2.1.1. Um ponto de equilíbrio x de (1.1) é estável no sentido de Liapunov se para todo ε>0existe umδ>0tal que Tn(B_δ(x))⊂Bε(x)para todo n∈N, isto é,kTn(x)−xk<ε. Além

disso, se para todo x_∈Bδ(x) tivermos que lim

n→∞T

n_{(x) =x, dizemos que x é assintóticamente}

estável.

Se um ponto de equilíbrio não é estável, então ele é instável.

Definição 2.1.2. Um funcional V :_Rm_{→Ré dito definido positivo com respeito a x se:}

1. V(x) =0.

2. Existeη>0tal que V(x)>0para qualquer x∈Bη(x)− {x}.

Definição 2.1.3. Seja V:_Rm_{→R, define-se a "derivada" discreta de V com respeito a T como}

sendoV˙(x):=V(T(x))₋V(x).

Definição 2.1.4. Seja G_⊂Rm_{, dizemos que V é uma função de Liapunov para o sistema em G}

se:

1. V é contínua em_Rm_.

2. V˙(x)_≤0para todo x_∈G.

Proposição 2.1.2(Teorema de estabilidade de Liapunov).

Seção 2.1: Método direto de Liapunov 21

Prova:

Tomeηsuficientemente pequeno de modo queV(x)>0 e ˙V(x)≤0 para todoxemBη(x)e

seja 0<ε<η.

Sejam:=min_{V(x):_k|x₋x_k|=ε_}. Temos quemé positivo.

SejaG=_{x:V(x)< m₂}eG0a componente conexa de Gque contémx. Temos que tanto

GquantoG0são abertos.

Sex0∈G, então ˙V(x0)≤0, assim,V(T(x0))≤V(x0)< m₂, logoT(x₀)∈G.

x0 ex estão na mesma componente conexa de G, eT(x) =xe T(x0) também estão nessa componente. AssimG0 é um conjunto aberto e positivamente invariante contendox e contido

emBε(x).

ComoV é contínua, existe δ>0 tal queB_δ(x)⊂G0. Assim, sex0∈Bδ(x), entãox0∈Ge T(x0)⊂G0⊂Bε(x).

Proposição 2.1.3. Se V é uma função de Liapunov para (1.1) no conjunto, onde _|x_|>N e

V(x)_→∞quando_|x_{| →}∞, então todas as soluções desse sistema são limitadas.

Prova:

Suponha que existax0tal queTn(x0)→∞quandon→∞.

ComoV é uma função de Liapunov, temos que 0_≥V˙(x0) =V(T(x0))−V(x0), logo 0≤

V(T(x0))≤V(x0) e via indução finita, 0≤ ···V(Tn(x0))≤ ··· ≤V(T2(x0))≤V(T(x0)) ≤

V(x0). Absurdo poisV(x)→∞quando|x| →∞.

J. P. LaSalle estabeleceu uma relação entre funções de Liapunov e conjuntosω-limites de Birkhoff, desenvolvendo o Princípio de invariância de LaSalle (Veja LaSalle, [18]).

Teorema 2.1.1(Princípio de invariância de LaSalle).

Se V é uma função de Liapunov para (1.1) em G e se a solução Tn(x0) está em G e é

limitada, então existe um número c tal que Tn(x0)→M∩V−1(c), onde M é o maior conjunto

positivamente invariante contido no conjunto E =_{x_∈Rm: ˙V(x) =0_{} ∩}G1.

Prova:

Comoxn=Tn(x0)está emGe é limitada, pelo Teorema1.4.1, temos que∅6=ω(x0)⊂Ge

xntende paraω(x0).

ComoV é uma função de Liapunov, temos_···V(xn)≤ ··· ≤V(x2)≤V(x1)≤V(x0), isto é,

V(xn)é uma seqüência monótona não crescente e comoV é limitada inferiormente, temos que

V(xn)→cquandon→∞.

22 Capítulo 2: Estabilidade e instabilidade

Figura 2.1: Ilustração do princípio de invariância de LaSalle

Sey_∈ω(x0)existe uma subseqüênciaxni tal quexni →y. Assim,V(xni)→V(y) =c, logo

V(ω(x0)) =c, conseqüentemente,ω(x0)⊂V−1(c).

ComoV(ω(x0)) =ceω(x0)é positivamente invariante, ˙V(ω(x0)) =0, assim,xn→ω(x0)⊂

{x∈Rm: ˙V(x) =0_{} ∩}G_∩V−1_(c).

Comoω(x0)é positivamente invariante, temos queω(x0)⊂M.

O princípio de invariância de LaSalle nos permite estudar a estabilidade das soluções de uma equação de diferenças, não sendo necessário o conhecimento prévio das soluções, para isso necessitamos de uma função auxiliarV, denominada função de Liapunov. O princípio de invariância de LaSalle no entanto não nos fornece um método para encontrar uma função de Liapunov e, se o sistema dado pela equação de diferenças for complexo, isto é, suas trajetórias têm comportamento caótico ou tendem para atratores estranhos por exemplo, dificilmente encontraremos uma função de Liapunov para esse sistema. Na próxima seção veremos uma versão mais geral do princípio de invariância, na qual não se exige que a derivada discreta da função de Liapunov seja sempre não crescente ao longo das soluções.

Como conseqüência do Teorema de estabilidade de Liapunov e do Princípio de invariância de LaSalle, temos o Teorema de estabilidade assintótica de Liapunov (Veja LaSalle, [18]).

Seção 2.1: Método direto de Liapunov 23

Se V e₋V são positivas definidas com respeito a x, então x é assintoticamente estável.˙

Prova:

ComoV e ₋V˙ são definidas positivas com respeito a x, existe η>0 tal queV(x)>0 e

−V˙(x)>0 para todox∈Bη(x)−x.

Pelo Teorema de estabilidade de Liapunov temos quexé um ponto de equilíbrio estável, e pelo Princípio de invariância de LaSalle temos que se x0∈Bη(x)então Tn(x0)→x, logo x é assintoticamente estável.

Proposição 2.1.4. Sejam T :_Rm_→Rm_{e V :R}m_{→Rcontínuas. Dado L∈Rtomeξ}

L :={x∈

Rm:V(x)<L}. Suponha queV˙(x)≤0para todo x∈ξ_L. Entãoξ_L é positivamente invariante.

Além disso, se ξL é limitado, E :={x∈ ωL : ˙V(x) =0} e M é o maior conjunto invariante

contido em E, então toda solução iniciando emξLconverge para M quando n→∞.

Prova:

Sejax_∈ξL, temos que ˙V(x) =V(T(x))−V(x)≤0, logoV(T(x))≤V(x)<Le portanto

V(T(x))_∈ξL. Segue queTn(x)∈ξLpara todon∈N.

Se ξL é limitado, temos que Tn(x) é limitada, logo pelo Teorema 2.1.1, temos que toda solução iniciando emξL converge paraMquandon→∞.

Apresentaremos agora dois resultados sobre instabilidade (Veja LaSalle, [18], ou [19]).

Proposição 2.1.5. Seja V definida positiva com respeito a x e seja V assumindo valores˙

positivos arbitrariamente próximos de x, então x é instável.

Prova:

Assuma que x é estável. Seja ε>0 suficientemente pequeno de modo que ˙V(x)>0 se

x_∈Bε(x)_{− {}x_}e sejaδ>0 tal que sex∈B_δ(x)entãoxn=Tn(x)∈Bε(x)para todon.

Por hipótese existe x0 ∈Bδ(x) tal que V(x0) >0. Como x_n ∈Bε(x), para todo n, pelo

Princípio de invariância de LaSalle, temos quexntende para{x∈Rm: ˙V(x) =0}∩Bε(x) ={x}. Segue quexn→x, conseqüentemente,V(xn)→V(x) =0. Mas ˙V(xn)>0 assim,V(T(xn))>

V(xn)e portantoV(xn−1)>···>V(x0)>0. Contradição.

Proposição 2.1.6. Assuma que V toma valores positivos arbitrariamente próximos de x. e

˙

V =βV+W , onde W(x)_≥0em alguma vizinhança de x eβ>1. Então a origem é instável.

24 Capítulo 2: Estabilidade e instabilidade

Suponha que x seja estável e seja ε>0 suficientemente pequeno que ˙V(x)>0 para x∈

Bε(x)_{− {}x_}eδ>0 tal que sex∈B_δ(x)entãoxn=Tn(x)∈Bε(x)para todo n.

Por hipótese, existe um ponto x0 ∈ Bδ(x) tal que V(x0) >0. Como (xn) é limitada e permanece em Bε(x), xn tende para x = {x ∈ Rm : ˙V(x) = 0} ∩Bε(x), pelo Princípio de invariância.

Como xn→x, temos queV(xn)→V(x) =0. Mas ˙V(xn)>0, assimV(x_n)≥0, e assim

V(xn)≥V(xn−1)≥ ···V(x0)>0. Essa contradição prova a proposição.

2.2 Versão estendida do princípio de invariância

SejaΛ um subconjunto compacto de um espaço de BanachE. Nessa seção estudaremos equações da forma:

x′ =T(x(n),n,λ) =T_λ(x(n),n), (2.1)

ondeλ_∈ΛeT :_Rm_×Z×Λ→Rm_{é contínua. Uma solução de (2.1) é uma seqüênciax(n,λ)} que a satisfaz para todon_∈Ne para todoλ_∈Λ.

Dada V : _Rm_×Z×Λ _{→ R}, Para cada (x,n,λ) ∈ Rm×Z×Λ definimos ˙V(x,n,λ) :=

V(T(x,n,λ),n,λ)−V(x,n,λ).

Na prática trabalhamos com funções de Liapunov generalizadas , cuja derivada discreta pode assumir valores positivos num conjunto limitado. Como veremos no Teorema.da dissipação uniforme, com isso podemos trabalhar com uma classe maior de problemas.

O próximo Teorema é um dos resultados mais importantes desse trabalho. Tendo sido desenvolvido por GABRIEL FILHO sob orientação de RODRIGUES, pode ser encontrado em RODRIGUES, WU, GABRIEL FILHO, [31] ou em GABRIEL FILHO, [8]. Um resultado similar pode ser encontrado em (ALBERTO, CALIERO, MARTINS, [2] ou CALIERO, [5]).

Teorema 2.2.1(Teorema da dissipação uniforme).

Sejam a,b:Rm 7→R funções contínuas tais que 0≤ a(x) ≤V(x,n,λ)≤b(x) para todo

(x,n,λ)∈Rm×Z×Λ e a(x)→∞quando |x| →∞. Para todo ρ>0defina Aρ :={x∈Rm:

a(x)_≤ρ_}e Bρ:=_{x_∈Rm:b(x)_≤ρ_}.

Assuma que exista H >0 tal que para todo ρ∈[0,H] o conjunto Aρ é conexo e assuma

também que existe uma função contínua c :AH →R tal que −V˙(x,n,λ)≥ c(x), pra todo

(x,n,λ)∈A_H×Z×Λ, que o conjunto{x∈A_H:c(x)<0} 6= /0e que

C

:_={x_∈A_H:c(x)_≤0_}

é limitado. Finalmente assuma que existem constantes positivas R, µ e H tais que max

x∈C b(x)<

R<∞,−µ<min

Seção 2.2: Versão estendida do princípio de invariância 25

1. Se x0∈BR e se x(n)é a solução de (2.1) com valor inicial x0, então x(n)∈AR+µ para

todo n_∈N.

2. Se x0∈AH então existe n0=n0(x0,λ)≥0tal que x(n₀)∈B_R e x(n)∈A_R+µ para todo

n_≥n0. Em particular, se x∈AH é um ponto de equilíbrio de Tλ, então x∈BR.

3. Se x0 ∈ AH e x(n) é a solução de (2.1) com valor inicial x(0), então existe uma

subseqüência nj tal que x(nj)∈BR.

4. Se x(n)satisfaz (2.1) para todo n_∈Ze se x(n)_∈AHpara todo n∈Z, então x(n)∈AR+µ

para todo n_∈Z. Em particular, toda solução periódica de (2.1) contida em AH está

contida em AR+µ.

(a) Estimativas da função de Liapunov (b) Comportamento das soluções

Figura 2.2: Funçõesa,V ebdo Teorema2.2.1

Figura 2.3: Estimativa da derivada discreta da função de Liapunov

26 Capítulo 2: Estabilidade e instabilidade

SejamT(.,n) =T(.,n,λ),V(.,n) =V(.,n,λ).

1)

Se 0_≤ρ_≤H entãoBρ_⊂Vρ_⊂Aρ; ondeVρ:=_{x_∈AH:V(x,n)≤ρ}. Temos também que

C

_$B_R.

SeR+µ_≤ρ_≤HentãoVρé positivamente invariante com respeito a (2.1). De fato, observe que se x0∈BR, então−V˙(x(0),0)≥c(x₀)≥ −µe assim,V(T(x(0)))−V(x(0)) =V(x(1))−

V(x(0)) =V˙(x(0))_≤µe portantoV(x(1))_≤V(x(0)) +µ_≤b(x0) +µ≤R+µ≤ρ.

Isso mostra que se x0∈ BR então x(1)∈Vρ, noutras palavras, se x(0) ∈Vρ−BR, então

c(x(0)) >0 e assim −V(T(x(0),0) +V(x(0)) = −V˙(T(x(0),0))≥ c(x(0))> 0; seque que

V(x(1)) =V(T(x(0),0))<V(x(0))≤ρ e via indução finita, temos que Vρ é positivamente

invariante.

Em particular, seρ=R+µe sex(0)_∈BR, entãox(n)∈VR+µ⊂AR+µpara todon∈Z.

2)

Assuma que sex(0)_∈AH−BRentão existem=m(x(0),λ)tal quex(m)∈BR.

Sejaρ=ρ(x(0),λ):=max{V(x(0)),R+µ}. Então o conjuntoVρ positivamente invariante.

Seja W :=Vρ₋BR. É fácil ver que se x∈W então c(x)>0. Seja β:=min

x∈Wc(x). Como

x(0)_∈W, temos c(x(0)>0. Então−[V(T(x(0))−V(x(0))] =−V˙(x(0),0)≥c(x(0)≥β ou

V(T(x(0)))₋V(x(0))_{≤ −}βe assimV(x(1)) =V(T(x(0),0))≤V(x(0))−β.

Sex(1)_∈BR acabou, mas se x(1)∈Vρ−BR, então repetindo o processo acima, obtemos

V(x(2))_≤V(x(1))₋β_≤V(x(0))₋2β.

Sex(2)_∈BR acabou, se não, continuando com esse processo, apósn−1 passagens temos

V(x(n)_≤V(x(0))₋nβ.

Isso Mostra que existe m_∈ N tal que x(m)_∈BR, senão teríamos uma contradição pois

V(x)_≥0. Isso prova a afirmação.

Sex_∈AH é um ponto de equilíbrio deTλ, temos quex=T_λn(x)para todon∈Ne pelo que vimos acima, existen0=n0(x,λ)tal quex(n0) =T_λn0(x) =x∈BR, como queríamos.

3)

Conseqüência da afirmação acima.

4)

Seção 2.2: Versão estendida do princípio de invariância 27

é claro queν>0.

De II) segue quex(m₋1)_∈AH−VR+µ. Então −[V(x(m)−V(x(m−1))] =−V˙(T(x(m− 1),m−1)≥c(x(m−1))≥κ.

Isso implica que V(x(m)) +κV(x(m₋1)). Como x(m₋2) _∈ AH−VR+µ, repetindo o processo acima, obtemosV(x(m)) +2κ_≤V(x(m₋n))_≤b(x(m₋n)). Isso é uma contradição, poisbé uma função limitada emAH.

Sex(n) =T_λn(x)é uma órbita periódica contida emAH, pela proposição1.3.5,x(n)admite

um prolongamento emAH para todon∈Z. Assim,x(n)satisfaz (2.1) para todo n∈Ze como vimos,x(n)_∈AR+µpara todon∈Z.

Sex_∈AH é um ponto de equilíbrio deTλ, temos quex=T_λn(x)para todon∈Ne pelo que vimos acima, existen0=n0(x,λ)tal quex(n0) =T_λn0(x) =x∈BR, como queríamos.

Teorema 2.2.2(Versão estendida do Princípio de invariância).

Sejam T :_Rm_{×Λ →R}m_{; V :R}m_{×Λ →R}

+ contínuas e suponha que existam funções

a,c:Rm→Rsatisfazendo0≤a(x)≤V(x,λ)e−V˙(x,λ)≥c(x)≥0para todo(x,λ)∈Rm×Λ.

Assuma que para todo H > 0 o conjunto A_H := {x∈ Rm : a(x)≤ H} é limitado (isso

acontece por exemplo se a(x)_→∞quando_|x_{| →}∞) e seja(x0,λ0)∈Rm×Λ.

Então εc :={x ∈Rm : c(x) = 0} 6=∅ e Tn(x0,λ₀) tende quando n→ ∞ para o maior

conjunto invariante contido emεc.

Prova:

SejamT(.,n) =T(.,n,λ),V(.,n) =V(.,n,λ), uma vez fixadoλ.

Po hipótese, ₋V˙(x)_≥c(x)_≥0_∀x_∈Rm, logo ˙V(x)_≤(0)_∀x_∈Rm e conseqüentemente ˙

V(x) =V(T(x))₋V(x)_≤0_⇒V(T(x))_≤V(x), e via indução finita:

··· ≤V(Tn(x))_{≤ ··· ≤}V(T2(x))_≤V(T(x))_≤V(x) =:ρ.

V(Tn_{(x)) é uma seqüência monótona num conjunto limitado, e portanto convergente,} digamosV(Tn_{(x))→cquandon→∞.}

ComoTn(x) está contida num compacto, pelo Teorema 1.4.1, ω(x)é não vazio, e se y_∈ ω(x)existe subseqüênciaTnk_{(x)→y. Também pelo Teorema1.4.1ω(x)é invariante, portanto}

T(y)_∈ω(x)eTnk+1_(x)→T(y). Temos quec= lim

n→∞V(T

nk_{(x)) =V(y)ec= lim} n→∞V(T

nk+1_{(x)) =V(T(y)), logo ˙V(y) =0 e} visto que 0_≤c(y)_{≤ −}V˙(y)temos quec(y) =0, logoεc6=∅eω(x)⊂εc.

28 Capítulo 2: Estabilidade e instabilidade

2.3 Simulações e exemplos

Nessa seção, apresentaremos alguns exemplos no qual o Teorema de dissipação uniforme é aplicável.

Exemplo 2.3.1(Lorenz discretoI).

O seguinte sistema contínuo é uma variação do sistema de Lorenz e foi estudado por

RODRIGUES e GAMEIRO, (veja [30]), na qual se propunha uma análise em sistemas de

comunicação.

  

 

˙

x(t) =₋ax(t) +ay(t)

˙

y(t) =₋y(t)₋r₄(x(t) +α(t))₋(x(t) +α(t))z(t)

˙

z(t) =₋bz(t) + (x+α(t))₋5₄br

αé o sinal a ser transmitido e os parâmetros a, b, e r são tais a manter o comportamento

caótico do sistema para garantir a segurança na comunicação.

Considere o sistema obtido pela discretização do sistema de Lorenz (via método iterativo de Euler), a_∈[am,aM]; r∈[rm,rM]; b∈[bm,bM]; h∈R+,α(n) =αn∈l∞eλ= (a,b,r,(αn),h):

  

 

x(n+1) =x(n) +h[₋ax(n) +ay(n)]

y(n+1) =y(n) +h[₋y(n)₋₄r(x(n) +αn)−(x(n) +αn)z(n)]

z(n+1) =z(n) +h[₋bz(n) + (x(n) +αn)y(n)−5₄br]

(2.2)

Considere a função de Liapunov generalizada V(x,y,z,λ) =rx2+4ay2+4az2 para esse

sistema. É fácil tomar funções a e b como no teorema de dissipação uniforme, observando que as seguintes desigualdades são válidas:

a(x,y,z):=r_mx2+4a_my2+4a_mz2≤V(x,y,z,λ)≤r_Mx2+4a_My2+4a_Mz2=:b(x,y,z).

A escolha da função c não é tão imediata. Calculemos inicialmente₋V :˙

−V˙(x,y,z,n,λ) =rx2+4ay2+4az2− {r{x+h[−ax+ay]}2+4a{y+h[−y−r₄(x+α_n)−(x+

αn)z]}2+4a{z+h[−bz+ (x+αn)y−5₄br]}2}=

rx2+4ay2+4az2₋r_{x+h[₋ax+ay]_}2₋4a_{y+h[₋y₋r₄(x+αn)−(x+αn)z]}2−4a{z+

h[₋bz+ (x+αn)y−5₄br]}2=

rx2_+4ay2_+4az2_−r{x2_{+2hx[−ax+ay] +h}2_[−ax+ay]2_{} −4a{y}2_+2hy[−y− r

4(x+αn)−

(x+αn)z] +h2[−y−₄r(x+αn)−(x+αn)z]2}−4a{z2+2hz[−bz+ (x+αn)y−5₄br] +h2[−bz+

Seção 2.3: Simulações e exemplos 29

rx2+4ay2+4az2₋rx2₋2hrx[₋ax+ay]₋h2r[₋ax+ay]2₋4ay2₋8hay[₋y₋₄r(x+αn)−(x+

αn)z]−4h2a[−y−₄r(x+αn)−(x+αn)z]2−4az2−8haz[−bz+ (x+αn)y−5₄br]−4h2a[−bz+

(x+αn)y−5₄br]2=

−2hrx[₋ax+ay]₋h2r[₋ax+ay]2₋8hay[₋y₋r₄(x+αn)−(x+αn)z]−4h2a[−y−₄r(x+αn)−

(x+αn)z]2−8haz[−bz+ (x+αn)y−5₄br]−4h2a[−bz+ (x+αn)y−5₄br]2=

h_{−2rx[₋ax+ ay] ₋8ay[₋y _{− 4}r(x+αn)−(x+αn)z]−8az[−bz+ (x+αn)y− 5₄br]}+

h2_{{−r[−ax+ay]}2_{−4a[−y−}r

4(x+αn)−(x+αn)z]2−4a[−bz+ (x+αn)y−54br]2}=

h_{2arx2₋2arxy+8ay2+2ar(x+αn)y+8a(x+αn)yz+8abz2−8a(x+αn)yz+10abrz}+

h2_{−r[₋ax₋ay]2₋4a[₋y₋r₄(x+αn)−(x+αn)z]2−4a[−bz+ (x+αn)y−5₄br]2}=

h_{2arx2₋2arxy+8ay2+2arxy+2aαnry+8axyz+8aαnyz+8abz2−8axyz−8aαnyz+ 10abrz_}+h2_{−r[₋ax₋ay]2₋4a[₋y₋₄r(x+αn)−(x+αn)z]2−4a[−bz+(x+αn)y−5₄br]2}=

h_{2arx2+8ay2+8abz2+2aαnry+10abrz}+h2{−r[−ax−ay]2−4a[−y−₄r(x+αn)−(x+

αn)z]2−4a[−bz+ (x+αn)y−5₄br]2}

Assim,₋V˙(x,y,z)

h =2arx2+8ay2+8abz2+2aαnry+10abrz+hg(x,y,z,n,λ)≥ 2amrmx2+ 8amy2+8ambmz2−2aM|αn|rM|y| −10aMbMrM|z| −h|g(x,y,z,n,λ)|, onde assumiremos que

|αn| ≤γpara todo n∈N.

Seja d(x,y,z) := 2a_mr_mx2 + 8a_my2 + 8a_mb_mz2 − 2a_Mγr_M|y| − 10a_Mb_Mr_M|z|.

Completando quadrados, temos d(x,y,z) = 2a_mr_mx2+8a_m

y2₋2_|y_|aM_8amγrM +aM_8amγrM2

+

8ambm

z2₋2_|z_|5aMbMrM_8ambm +5aMbMrM_8ambm 2

− (aM8amγrM)2 −

(5aMbMrM)2

8ambm = 2amrmx2 + 8am[|y| − aMγrM

8am ]2+8ambm[|z| −5aMbMrM8ambm ]2−(aMγrM) 2

8am −(5aMbMrM) 2 8ambm .

Segue que o mínimo de d é₋(aM_8amγrM)2₋(5aMbMrM_8ambm )2 <0.

Seja

D

:_={(x,y,z):d(x,y,z)≤0}e sejam R₁ e R tais que max{b(x,y,z);(x,y,z)∈

D

}<

R1<R. Escolheremos H tão grande quanto R.

Dadoδ>0, existe h0>0, suficientemente pequeno e tal que h max{|g(x,y,z,n,λ);(x,y,z)∈

AH|}<δse0<h<h₀.

Seque que se (x,y,z) ∈ AH, então d(x,y,z)− |hg(x,y,z)| ≥ d(x,y,z)− (aM_8amγrM)2 −

(5aMbMrM_8ambm )2₋δ=:d1(x,y,z).

Para

C

:=_{(x,y,z):d₁(x,y,z)≤0}, podemos mostrar que seδé suficientemente pequeno,

30 Capítulo 2: Estabilidade e instabilidade

Se c(x,y,z):=hd1(x,y,z)temos que−V˙(x,y,z,n,λ)≥c(x,y,z),∀(x,y,z)∈AH.

O mínimo de c(x,y,z) em

C

é dado por −h[(aMrMγ)

2

8am +(5aMbMrM) 2

8ambm +δ] ≥ −h0[(aMrMγ) 2 8am +

(5aMbMrM)2

8ambm +δ]>−µ, para um µ>0apropriado, o qual pode ser tomado pequeno, se h0 for

suficientemente pequeno.

Tomando então h0 suficientemente pequeno que R+µ<H, então todas as condições do

Teorema2.2.1estão satisfeitas para todo0<h<h0e assim, o atrator está contido em AR+µ.

É importante determinar o máximo de b(x,y,z) em

D

que irá ocorrer na fronteira de

D

,

que é um elipsóide. Pelo método dos multiplicadores de Lagrange:

          

bx = βdx

by = βdy

bz = βdz

d(x,y,z) = 0

,

obtemos o sistema:

          

2rMx = β4amrmx (1)

8aMy = β(16amy−2aMγrM) (2) 8aMz = β(16ambmz−10aMbMrM) (3) 2amrmx2+8am[|y| −aM_8aγ_mrM]2+8ambm[|z| −5a₈M_ambM_bmrM]2 = (aMγrM)

2 8am +

(5aMbMrM)2

8ambm (4) .

De (1), (2) e de (3) obtemos respectivamente x = 0, y = _8ββ_am−aMγrM_4aM e z = _8β5_ambm−βaMbMrM_4aM.

Substuindo em(4):

8am[_8ββ_amaM₋γrM_4aM −aM_8amγrM]2+8ambm[_8β5β_ambmaMbMrM_−4aM−5aMbMrM_8ambm ]2=(aMγrM) 2

8am +(5aMbMrM) 2 8ambm ⇒ 8am[2βaMamrMγ−2βaMamrMγ+a

2 MrMγ

16βa2_m−8aMam ]2+8ambm[

10βaMambMbmrM−10βaMambMbmrM+5a2 MbMrM 16βa2

mb2m−8aMambm ] 2₌

bm(aMγrM)2+(5aMbMrM)2

8ambm ⇒

bm[ a 2 MrMγ 2βam−aM]2+ [

5a2 MbMrM

2βambm−aM]2= (aMrM)2[bmγ2+ (5bM)2]⇒

bm[_2βam−aMaMγ ]2+ [_2βambm−aM5aMbM ]2= [bmγ2+ (5bM)2]⇒

bm(aMγ)2(2βambm−aM)2+ (5aMbM)2(2βam−aM)2=

[bmγ2+ (5bM)2](2βam−aM)2(2βambm−aM)2⇒

Obtemos então uma equação polinomial de grau 4 emβ, que foi resolvida numericamente,

usando Mathematica, tomando γ=4 e supondo que os parâmetros a, r e b valem 10, 28 e 8₃