Propriedades espectrais de operadores de Schrödinger discretos com petenciais ergódicos e Almost-Periodic

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS - UFMG INSTITUTO DE CIˆENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM MATEM ÁTICA

PROPRIEDADES ESPECTRAIS DE OPERADORES DE

SCHR ¨

ODINGER DISCRETOS COM POTENCIAIS

ERG ´

ODICOS E ALMOST-PERIODIC

Alexander Paul Condori Huam´

an

(2)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS - UFMG INSTITUTO DE CIˆENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM MATEM ÁTICA

Alexander Paul Condori Huam´

an

Orientador: Prof. Silas Luiz de Carvalho

PROPRIEDADES ESPECTRAIS DE OPERADORES DE

SCHR ¨

ODINGER DISCRETOS COM POTENCIAIS

ERG ´

ODICOS E ALMOST-PERIODIC

Disserta¸cão apresentada ao Pro-grama de Pós-Gradua¸cão em Ma-temática do Instituto de Ciências Exatas (ICEX) da Universidade Fe-deral de Minas Gerais, como requisito parcial para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

(3)

Agradecimentos

A Deus, por me dar a oportunidade de concluir esta etapa da minha vida. Aos meus pais, Aydee e C´esar, pelo amor, carinho e apoio incondicional.

`

A toda minha fam´ılia, pela ajuda e incentivo que sempre me deram.

Ao meu orientador Silas Luiz de Carvalho, pela paciˆencia, disposi¸c˜ao e confian¸ca deposi-tada em mim.

Aos prezados professores Enrique, Martha, Raul A., José Luis, Juan Pablo, Raphael, Victor, Marcelo que compartilharam os seus conhecimentos nas matérias que cursei. Aos professores Carlos Maria Carballo e César Rogério de Oliveira, pela gentileza em participar da avalia¸cão deste trabalho.

Aos colegas da p´os-gradua¸c˜ao, pelo companheirismo. `

(4)

Resumo

Este trabalho se concentra no estudo de algumas propriedades espectrais de operadores de Schrödinger discretos com potencias ergódicos e almost-periodic. Especificamente, estamos interessados em obter uma descri¸cão espectral geral para todos os elementos de uma fam´ılia de operadores com potenciais definidos a partir de um sistema dinâmico em um dado espa¸co topológico.

No caso ergódico (em que o sistema dinâmico, definido em um espa¸co de probabilidade (Ω,_F, P), é ergódico), abordamos os problemas de quase-constância do espectro, além do celebrado Teorema de Ishii-Pastur-Kotani, que caracteriza o espectro absolutamente cont´ınuo de um operador (também quase-constante com respeito ao elemento de Ω) em termos do expoente de Lyapunov, definido a partir das solu¸cões da equa¸cão de autovalores associada.

No caso almost-periodic (em que o sistema dinˆamico ´e definido em um grupo abeliano compacto), discutimos resultados que nos mostram que tanto o espectro quanto o espectro absolutamente cont´ınuo de cada elemento da fam´ılia coincidem.

(5)

Abstract

This work focuses on the study of some spectral properties of the discrete Schr¨odinger operators with ergodic and almost-periodic potentials. Specifically, we are interested in obtaining a general spectral description for all the elements of a family of operators with potentials defined by a dynamical system in some topological space.

In the ergodic case (in which the dynamic system, defined in a probability space (Ω,F, P), is ergodic), we address some problems regarding the quasi-constancy of the spectrum, in addition to the celebrated theorem of Ishii-Pastur-Kotani. This theorem characterizes the absolutely continuous spectrum of an operator (also quasi-constant with respect to the element of Ω) in terms of the Lyapunov exponent, defined in terms of the solutions of the eigenvalue equation.

In the almost-periodic case (in which the dynamic system is defined in a compact abelian group), we discuss some results which prove that not only the spectrum, but the absolutely continuous spectrum of each element of the family are equal.

(6)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 6

2 Principais Propriedades Espectrais de Operadores Erg´odicos 13

2.1 Operadores de Schr¨odinger Aleat´orios e os Teoremas de Pastur e Kunz-Souillard . . . 13 2.2 A Densidade de Estados e o Teorema de Avron-Simon . . . 25 2.3 Expoentes de Lyapunov e o Teorema de

Furstenberg-Kesten . . . 29 2.4 Subarmonicidade do Exponente de Lyapunov e a F´ormula de Thouless . . 34 2.5 O Teorema de Ishii-Pastur-Kotani . . . 38

3 Principais Propriedades Espectrais dos Operadores Almost-Periodic 51

3.1 Constˆancia do Espectro . . . 53 3.2 Constˆancia do Espectro Absolutamente Cont´ınuo . . . 54

4 Teorema de Johnson e Dicotomia Exponencial 66

A Teoria Espectral 74

A.1 Teorema Espectral e Decomposi¸c˜ao espectral . . . 77

B Fun¸c˜ao m de Weyl-Titchmarsh e Teoria de Subordina¸c˜ao 84

B.1 Defini¸cão da fun¸cão m . . . 84 B.2 Conexão entre as fun¸cões m e de Green . . . 89 B.3 Medida espectral e sua rela¸cão com comportamento de fronteira das fun¸cões

(7)

B.4 Papel da Teoria de Subordina¸c˜ao na Teoria Espectral . . . 97

(8)

Cap´ıtulo

1

Introdu¸c˜

ao

Os operadores de Schrödinger, nas últimas décadas, têm obtido um importante desta-que tanto em F´ısica quanto em Matemática, particularmente em Análise Funcional. Tais operadores determinam a descri¸cão da evolu¸cão temporal do estado quântico de um sis-tema f´ısico. Neste trabalho, estudamos operadores de Schrödinger discretos, a saber H= ∆d+V :dom H ⊂ H → H, definidos no espa¸co de Hilbert H=l2₍_❩ν_{), pela a¸cão}

[Hψ](n) = (∆dψ)(n) +V(n)ψ(n) = X j;|j−n|+=1

[ψ(j)₋ψ(n)] +V(n)ψ(n), (1.1)

em que|j|+ := ν

X

r=1

|jr| e o termo ∆d é o laplaciano discreto. A sequência V :❩ν _→ _R _é denominada potencial, e representa o efeito do meio sobre o sistema f´ısico cuja evolu¸cão temporal é descrita porH. Para sequências limitadas,H é um operador auto-adjunto em He representa o operador energia de um sistema quântico descrito por uma fun¸cão onda (fun¸cão de estado)ψ. No caso especial ν = 1, temos (∆dψ)(n) = ψ(n+ 1) +ψ(n−1) e (1.1) tem a seguinte expressão

[Hψ](n) =ψ(n+ 1) +ψ(n₋1) +V(n)ψ(n). (1.2)

A evolu¸cão da fun¸cão de estado é descrita pelaequa¸cão de Schrödinger

  

(9)

a qual tem como solu¸cãoψ(t) =e−itH_{ψ. A rela¸cão entre}_e−itH _{e as propriedades espectrais} deH são estabelecidas mediante o teorema espectral [13, 31], tendo-se assim

hψ, g(H)ψ_i=

Z

σ(H)

g(E)dµψ(E),

em que dµψ é a medida espectral de H com respeito a ψ ∈ H e g é uma fun¸cão Borel mensurável limitada sobre R. O suporte topológico desta medida é o espectro, σ(H), de H. O espa¸co de Hilbert _H pode ser descomposto unicamente como a soma direta H=Hpp⊕ Hac⊕ Hsc (vide o Apêndice A para as defini¸cões de Hpp,Hac eHsc), em que os correspondentes projetores comutam com H, e para cada ψ _{∈ H}, a medida de Borel dµψ assume um dos seguintes tipos: puramente pontual (pp) caso ψ ∈ Hpp, absolutamente cont´ınua (ac) caso ψ _{∈ Hac}, e singular-cont´ınuo (sc) caso ψ _{∈ Hsc}. Por sua vez, tal decomposi¸cão nos fornece uma classifica¸cão do tipo espectral: σα(H) = σ(H|Hα) com

α=pp, ac or sc.

Pode-se mostrar que cada tipo espectral está relacionado a um comportamento em longo tempo espec´ıfico (comportamento assintótico de ψt, quandot → ∞) da solu¸cão da

equa¸c˜ao de autovalores [13, 31]

[Hψ](n) = Eψ(n), (1.3)

para E ∈ C. Com efeito, se ψt for uma solu¸cão da equa¸cão de autovalores e dµψ for a medida espectral de ψ, então teremos, grosso modo, a seguinte descri¸cão: espectro ac corresponde a transporte, espectro sc a transporte parcial e espectro pp a ausência de transporte (vide o Teorema A.12).

Os operadores de Schrödinger podem ser classificados de acordo com a natureza do potencial V. A classe de operadores a serem estudados na disserta¸cão são os (definidos dinamicamente) ergódicos e almost-periodic.

O caso ergódico é discutido no Cap´ıtulo 2, em que estudamos casos particulares das defini¸cões a seguir:

(10)

Def ini¸cão 1.2. Uma transforma¸cão T (ou uma probabilidade P estacionária) é T -ergódica se qualquer conjunto invariante pela transforma¸cão T, ou seja,A∈ F,T−1_{(A) =} A, tem probabilidade P(A) = 0 ouP(A) = 1.

Dadas uma transforma¸cão invert´ıvel T : Ω → Ω e uma fun¸cão Borel-mensurável limitada f : Ω _→ R, definimos (dinamicamente) um potencial Vω por Vω(n) = f(Tn_ω), com ω ∈Ω, n ∈❩, e o correspondente operador de Schrödinger, atuando em l2₍_❩_{), pela} a¸cão

[Hωψ](n) = ψ(n+ 1) +ψ(n−1) +Vω(n)ψ(n). (1.4) Se P for T-erg´odica, teremos definida em l2₍_❩_{) uma fam´ılia} _{_Hω}ω

∈Ω de operadores, denominadafam´ılia erg´odica de operadores de Schr¨odinger.

O resultado a seguir nos diz, informalmente, que o espectro dos operadores Hω não é aleatório (vide [30], [25] e [27], os dois últimos para os casos cont´ınuo e ilimitado, respectivamente).

Teorema 1.1(Pastur). SejaVω um potencial erg´odico. Ent˜ao, existe um conjuntoΣ⊂R

tal que σ(Hω) = Σ, P-q.t.p. . Al´em disso,σdis(Hω) = _∅, P-q.t.p.

Destaca-se na teoria o teorema de Ishii-Pastur-Kotani [9, 10], que nos fornece uma descri¸c˜ao do espectro absolutamente cont´ınuo de um operador erg´odico em termos do expoente de Lyapunov.

Teorema 1.2 (Ishii-Pastur-Kotani). Seja H um operador ergódico. O suporte essencial do espectro absolutamente cont´ınuo de H (Defini¸cão B.5) é quase certamente dado pelo fecho essencial do conjunto de energias para os quais o expoente de Lyapunov se anula,

isto ´e,

Σac = ¯Zess,

em queZ ={E :γ(E) = 0}; paraS ⊂R, temos queS¯ess ₌_{_E _∈_R_:_ℓ(S_∩_(E₋_{ǫ, E}_+ǫ))_> 0 _∀ ǫ >0_} ´e o fecho essencial do conjunto S e ℓ denota a medida de Lebesgue.

Para E ∈ C fixo, definimos os expoentes de Lyapunov (vide Teorema 2.9) superior e inferior por

γ±(E) := lim N→±∞

1

N lnkΦE,ω(N)k. (1.5)

´

(11)

Def ini¸c˜ao 1.3. Dado n_∈❩, definimos o produto matricial

ΦE,ω(n) :=

            

SE,ω(n)_·SE,ω(n₋1)_·. . ._·SE,ω(1) se n _≥1

I se n = 0

(SE,ω(n+ 1))−1_·_{. . .}_·_(SE,ω₍₀₎₎−1 _se _n _{≤ −}_1,

e o denominamosmatriz de transferência associada ao operador unidimensionalHω. A denomina¸cão “matriz de transferência” se deve ao fato da matriz ΦE,ω(n) “trans-ferir” uma solu¸cão de (1.3) no instante 1 à mesma solu¸cão no instante n. Usaremos a nota¸cão alternativa ΦE(ω, n), no Cap´ıtulo 4.

A matriz de transferência, ΦE,ω(n), é constru´ıda a partir da equa¸cão de autovalores Hωu = Eu, com E fixo. Com efeito, podemos reescrever a equa¸cão anterior como um sistema de equa¸cões de primeira ordem da seguinte maneira: introduzamos a fun¸cão vetorial

u(n) =



u(n+ 1)

u(n)

 

e definamos a fun¸c˜ao matricial

SE,w(n) :=



E−Vw(n) −1

1 0



; (1.6)

uma sequência_{u(n)_} será uma solu¸cão de (1.4) se, e somente se,

u(n+ 1) =SE,w(n+ 1)u(n). (1.7)

Segue-se da Defini¸c˜ao 1.3 que

u(n) = Φn(E)_·u(0)

= SE,w(n)·SE,w(n−1)·. . .·SE,w(1)

 u(1)

u(0)

 

define a solu¸c˜ao de (1.3) “pela direita” com condi¸c˜ao inicial u(0) =

 u(1)

u(0)



.

(12)

No Cap´ıtulo 3 estudamos resultados sobre a independência de σ e σac com respeito a ω∈Ω para potenciais almost-periodic. Estes resultados são de fato uma generaliza¸cão dos teoremas de Pastur e de Kunz-Souillard. Em geral, os conjuntos σsc eσpp não satisfazem tal propriedade (vide [19]).

ConsideremosT :l∞₍_❩ν₎_→_l∞₍_❩ν_{) a transforma¸cão de transla¸cão à esquerda (T}−1 _é analogamente a transla¸cão à direita), dada por (T(W))(n) = W(n+ 1) (analogamente, (T−1_(W_{))(n) =}_W_(n₋_1)).

Def ini¸cão 1.4. Seja V ∈ l∞(❩ν) uma sequência limitada. Para esta sequência, defina-mos Vm = Tm_(V_{) como a sequência} _{_{(Vm)(n) = (T}m_(V_{))(n) =} _V_(n₊_m)_}

n∈❩ν, i.e., a

transla¸cão de V à esquerda porm s´ıtios. A sequência V será chamada dealmost-periodic

se o fecho da ´orbita O(V) = _{Tm_(V_{) :} _m _∈ _❩ν_}_{, que denotaremos por Ω(V}_{), for um} conjunto compacto eml∞(❩ν). O fecho Ω(V) ´e chamado dehull de V.

Os resultados centrais neste tema, an´alogos aos resultados anteriores, s˜ao:

Teorema 1.3. Seja Ω(V) o hull de uma sequˆencia almost-periodic V sobre l∞₍_❩ν₎_{, e}

dado ω _∈ Ω(V), seja Vω(n) a correspondente sequência almost-periodic para o operador de Schrödinger Hω. Então, σ(Hω) é independente de ω.

Teorema 1.4. Seja V uma sequˆencia almost-periodic sobre ❩. Para cada Vω ∈ Ω(V), seja Hω o correspondente operador (1.4). Ent˜ao o espectro absolutamente cont´ınuo de Hω, σac(Hω), e o suporte essencial de σac(Hω) independem de ω.

No caso particular de operadores almost-periodic unidimensionais, o potencial _{Vn_} ´e definido por Vn = V(fn

α(x)) = x+nα (mod 1) para n ∈ ❩, em que a aplica¸c˜ao V :

R/❩ _→R´e de classe Cr_,_r _∈_◆_{∪ {}_{0, ω,}_∞}_{, e} _f

α :R/❩→R/❩, fα(x) = x+α (mod 1), define a rota¸c˜ao pelo irracionalα no c´ırculo.

No capitulo 4 estudaremos os operadores de Schrödinger dados por (1.2), ν = 1, com potenciais V : ❩ → R dinamicamente definidos e associados a fun¸cões cont´ınuas. Estamos interessados em encontrar uma caracteriza¸cão do espectro em termos da ausência de hiperbolicidade uniforme do cociclo associado à equa¸cão de autovalores (1.3).

(13)

matrizes 2_×2, complexas, com determinante um), que por simplicidade será chamado de cociclo, é um par (τ, A) ∈ Y ×C(Y, SL(2,C)) cuja a¸cão é vista como um produto

skew-linear:

(τ, A) :Y _×C2 _−→Y _×C2

(y, u)_7−→(τ(y), A(y)_·u).

(1.8)

Paran∈❩, definimosAn ∈C(Y, SL(2,C)) pela regra (τ, A)n _{= (τn, An). Assim}_{A0(y) =} id,

An(y) = n

Y

j=0

A(τn−1−j(y)) = A(τn−1(y)). . . A(y), para n≥1,

eA−n(x) = An(τ−n(y))−1. Às vezes, por abuso de nota¸cão,A∈C(Y, SL(2,C)) é chamado

de cociclo. Como caso particular, An=SE,V(n), com

SE,V(n) =



 E−V(n) −1

1 0

 .

O cociclo (τ, A) será chamado de uniformemente hiperbólico se existir uma decom-posi¸cão Es(y)⊕Eu(y) = C2,C > 0, 0< λ < 1 tal que, para todo n≥1,

kAn(y)·u)k ≤Cλnkuk, u∈Es(y), kA−n(y)·u)k ≤Cλnkuk, u∈Eu(y).

(1.9)

Os cociclos uniformemente hiperbólicos tem expoente de Lyapunov positivo. Se (τ, A) tem expoente de Lyapunov positivo, mas não é uniformemente hiperbólico, então é cha-mado de não-uniformemente hiperbólico (i.e., tem-se a decomposi¸cãoEs(y)⊕Eu(y) = C2 para cada y_∈ Y, mas não se tem a existência de 0< λ < 1 tal que as desigualdades em (2) se satisfa¸cam de maneira uniforme).

O resultado central desse cap´ıtulo, que fornece uma descri¸cão do espectro dos ope-radores de Schrödinger em termos da hiperbolicidade uniforme, é o teorema de Johnson [20]:

Teorema 1.5. O cociclo de Schrödinger SE,V será uniformemente hiperbólico se, e

so-mente se, E não pertencer ao espectro do correspondente operador de Schrödinger, isto é,

(14)

sobre Ω(V).

O Apêndice A apresenta defini¸cões e propriedades referentes à teoria espectral de operadores lineares. Aqui definimos a medida espectral mediante o conceito de resolu¸cão da identidade. Mais adiante, enunciamos algumas versões do teorema espectral, definimos o conceito de proje¸cão espectral e logo apresentamos uma decomposi¸cão do espectro em termos de proje¸cões espectrais.

(15)

Cap´ıtulo

2

Principais Propriedades Espectrais de

Operadores Erg´

odicos

2.1 Operadores de Schr¨

odinger Aleat´

orios e os

Teo-remas de Pastur e Kunz-Souillard

Nesta se¸cão estudaremos alguns resultados sobre operadores aleatórios, em particular ergódicos. Estes operadores são fundamentais no estudo f´ısico das ligas, lentes e materiais amorfos. A desordem do sistema é refletida pela dependência do potencial sobre alguns parâmetros aleatórios. Discutamos um exemplo: suponhamos a existência de uma liga, isto é, uma mistura de (a dizer, dois) materiais cristalinos. Suponhamos, além disso, que os átomos (ou ´ıons) dos dois materiais gerem potenciais de tipoλ1f(x₋x0) eλ2f(x₋x0), respetivamente, em que x0 representa a posi¸cão do átomo em considera¸cão (de acordo com uma dada distribui¸cão de probabilidade). Se depositarmos aleatoriamente átomos dos dois tipos sobre o ret´ıculo ❩ν _(ν _≥ _{1), com exatamente um átomo em cada lugar,} então o potencial resultante deve ser dado por

Vω(x) =

X

i∈❩ν

qi(ω)f(x−i),

em que os qi são variáveis aleatórias assumindo os valores λ1 e λ2 com certas probabili-dades.

(16)

fato, muitos dos problemas se encontram sem solu¸c˜ao paraν > 1.

Não tentaremos apresentar um tratamento completo dos temas; apenas apresentare-mos alguns dos problemas básicos, técnicas e resultados fascinantes no campo. Não dis-cutiremos operadores de Schrödinger cont´ınuos, i.e. operadores da forma Hω =H0+Vω, definidos sobre L2₍_Rν_{), em que} _H0 _{é o operador de Schrödinger livre, mas sim a versão} discretizada destes operadores atuando sobre o espa¸co das sequências l2₍_❩ν_{), chamados} de operadores de Schrödinger discretos . O operadorH0é substitu´ıdo por um operador de diferen¸ca finita e o potencial se torna uma fun¸cão sobre ❩ν _{no lugar de} _Rν_{. Este modelo} é conhecido na f´ısica do estado sólido como “aproxima¸cão tight-binding”. Referimo-nos ao modelo de aproxima¸cão tight-binding como o caso discreto.

A vantagem deste procedimento ´e dupla: alguns problemas essenciais tecnicamente dif´ıceis no caso cont´ınuo desaparecem, e nosso conhecimento (especialmente para o caso almost-periodic) ´e maior no caso discreto.

Sejau={u(n)}n∈❩ν ∈l2(❩ν), i.e.

u : ❩ν _−→ _F₌_R

n 7−→ u(n) =u(n1, . . . , nν)∈F, n1, . . . , nν ∈❩ e

ku_k:=

" X

n∈❩ν

|u(n)_|2

#1/2 <_∞.

Definamos em ❩ν _{as normas} _|_n_| _{= max}_|_nj|_{, com} _n _{= (n1, . . . , nj}_{, . . . , nν), e} _|_n_|+ _:= ν

X

j=1

|n_j|, n _∈❩ν_{. Al´em disso, definimos em}_l2₍_❩ν_{) o laplaciano discreto, ∆}

d, pela a¸c˜ao

(∆d u)(i) =

X

j;|j−i|+=1

[u(j)₋u(i)] =

  X

j;|j−i|+=1 u(j)



−2νu(i). (2.1)

´

E simples verificar que ∆d´e um operador limitado sobre l2₍_❩ν_{), um fato que torna o} estudo do operador discreto tecnicamente mais simples do que o caso cont´ınuo. O espectro de ∆d´e puramente absolutamente cont´ınuo, eσ(∆d) =σac(∆d) = [−4ν,0]. Este resultado pode ser obtido por transformadas de Fourier (vide [13]).

Observe ainda que

hu,₋∆d u_i= X i,j∈❩ν_,

|i−j|+=1

(17)

(cada par surgindo uma única vez na soma), justificando o porquê de considerarmos (2.1) como um análogo do Laplaciano.

Agora, se considerarmos V : ❩ν _−→ _R _{(um operador que desempenha o papel de} potencial), um análogo natural do operador de Schrödinger cont´ınuo é definido por

¯

H =₋∆d+V.

Contudo, é comum considerar +∆dem substitui¸cão a−∆d, e além disso, incluir os termos da diagonal de ∆d no potencial.

Uma vez que ∆d´e limitado, este procedimento n˜ao tem um efeito “essencial” sobre as propriedades de ¯H. Com efeito, uma vez que o operador (−1)N_{, definido por}

[(₋1)Nu](n) = (₋1)|n|+_u(n),

obedece

(₋1)NH[(¯ ₋1)N]−1 = 4ν+ ∆d+V,

segue-se que ¯H e o operadorH, definido a seguir, s˜ao unitariamente equivalentes por uma constante. Assim, consideramos o operador

(H0u)(n) = X j; |j−n|+=1

u(j) e

(Hu)(n) = (H0u)(n) +V(n)u(n)

= X

j;|j−n|+=1

u(j) +V(n)u(n).

Os potencias V que consideraremos são variáveis aleatórias: para todo n _∈ ❩ν_{, o} potencialV(n) avaliado emné uma variável aleatória (fun¸cão mensurável),V(n) : Ω_−→

R sobre um espa¸co de probabilidade (Ω,_F, P), em que _F é uma σ-álgebra sobre Ω, e P é uma medida de probabilidade sobre (Ω,_F).

Adotaremos a seguinte nota¸cão para a integral de uma fun¸cão mensurável,f, com respeito aP:

E(f) :=

Z

(18)

Agora, sem perda de generalidade, podemos supor que Ω ´e o produto

Ω =S❩ν =Y

❩ν

S,

em que S é um boreliano de R (S _{∈ B}(R)), e _F é a σ-álgebra gerada pelos conjuntos cil´ındricos da forma

Ω_{⊃ {}ω_|ωi1 _∈A1, . . . , ωin ∈An}, i1, . . . , in∈❩

ν_,

com A1, . . . , An ∈ B(R).

Def ini¸c˜ao 2.1. Dado i_∈❩ν _{fixo, definimos o} _{operador de transla¸c˜ao} _{(deslocamento)} _Ti sobre Ω por Tiω(j) =ω(j+i),j ∈❩ν_.

As defini¸cões de medida estacionária (H-invariante) e medidaP-ergódica foram apre-sentadas nas Defini¸cões 1.1 e 1.2, respectivamente, com T desempenhando o papel de operador de transla¸cão.

Exemplo 2.1 (Transla¸cões sobre o Toro). Ω é o toroν-dimensional Tν = (R/❩)ν_,_F _{é a} σ−álgebra de Borel sobre o toro, µ é a medida de Lebesgue normalizada, denotada por ℓ, eT : Ω_→Ω é a transla¸cão

T(x1, x2, . . . , xν) = (x1+α1, x2+α2, . . . , xν +αν),

em queα1, α2, . . . , αν _∈T. A situa¸cão interessante se dá quandoα1, α2 . . . ανé um sistema racionalmente independente, i.e., se kj ∈ ❩ para todo 1 ≤ j ≤ v, então Σν

j=1kjαj = 0 somente se todo kj = 0. Neste caso, a transla¸cão T é ergódica para a medida ℓ.

Exemplo 2.2(Modelo de Anderson). SeVω(n) for uma sequência de variáveis aleatórias assumindo valores reais, esta sempre poderá ser vista, para cadan, como uma realiza¸cão de um elemento do espa¸co de probabilidade anterior, de tal modo queVω(n) =ω(n) (em quef(ω) =ω(0), a avalia¸cão no origem e pelo queVω(n) =f(Tnω) =ω(n)). O potencial V é chamadoestacionário (ergódico), se a correspondente medida de probabilidadeP for estacionária (ergódica).

(19)

medida-produto,Q_i_∈❩νdP0, da distribui¸cão comum, P0, às variáveis aleatórias Vω(i), ou seja,

P(Vω(i)∈A) :=P0(A)

para quaisquer A∈ B(R) e i∈❩ν_{. Temos, em particular,}

E(f) =

Z

f(ωi1, . . . , ωin)dP(ω) = Z

f(x1, . . . , xn)dP0(x1)dP0(x2). . . dP0(xn).

Def ini¸c˜ao 2.2. O Hamiltoniano Hω, com Vω uma fam´ılia de v.a.i.i.d, ´e denominado

operador (modelo) de Anderson.

Outra classe importante de potenciais erg´odicos s˜ao os potenciais almost-periodic, estudados no Cap´ıtulo 3.

Para umω ∈Ω fixo, o operadorHω não é nada mais do que um operador de Schrödin-ger discreto com um certo potencial. Portanto, pode parecer que a introdu¸cão de um espa¸co de probabilidade é desnecessária, uma vez que podemos considerar cada Vω como uma fun¸cão determin´ıstica. O ponto importante ao se considerarem potencias aleatórios é que não estamos muito interessados em propriedades deHω para um ωfixo, mas sim em propriedades “t´ıpicas”; mais precisamente, estamos interessados em resultados da forma: Hω possui a propriedadeP para todoωem um conjunto Ω1 ⊆Ω comP(Ω1) = 1. Abrevia-se tal Abrevia-senten¸ca por: Hω possui a propriedade _P em P-quase toda a parte (P-q.t.p.).

A menos que seja explicitado de outra maneira,Vωé suposto ser um potencial aleatório estacionário ergódico satisfazendo _|Vω(n)_{| ≤} C < _∞ para todos n _∈ ◆ e ω _∈ Ω. No entanto, a hipótese de limita¸cão pode ser omitida (ou substitu´ıda por uma condi¸cão de momento) para muitos outros propósitos, que não discutiremos aqui (vide [38]).

Def ini¸cão 2.3. Seja {Si} uma fam´ılia de transforma¸cões que preservam medida. Um conjunto Aé invariante por _{Ti_} seS_i−1(A) = A para todoi_∈❩.

Def ini¸cão 2.4. Um operador Aω, com ω ∈ Ω, será chamado ergódico se satisfazer a identidade

ASiω =UiAωU

∗

i

em que{Si} são transforma¸cões ergódicas,Ui é um operador unitário eU∗

(20)

Def ini¸cão 2.5. Uma variável aleatória f é dita invariante por Ti se f(Tiω) = f(ω)_∀ i. Em seguida, enunciamos e demonstramos um resultado para uso posterior (por exem-plo, na demonstra¸cão de resultados referentes à ergodicidade).

Proposi¸cão 2.1. Suponha que a fam´ılia {Ti} de transforma¸cões que preservam medida seja ergódica. Se a variável aleatória f : Ω _→ R for invariante por _{T_i}, então f será constante P-q.t.p.

Demonstra¸c˜ao. Definamos ΩM = _{ω _∈ Ω _| f(ω) _≤ M_}, M _∈ R. Sendo f

obvia-mente mensur´avel e invariante por _{T_i}, mostraremos que ΩM ´e invariante por {Ti}, i.e. T_i−1ΩM = ΩM _∀i. Para tal objetivo, fixemos i.

(_⊆) Sejam Ti : Ω _→ Ω, Ti _|ΩM: ΩM → Ran Ti |ΩM= TiΩM ⊂ Ω, e T

−1

i : TiΩM → ΩM. Seja θ ∈ T_i−1ΩM; logo, existe um ω ∈ ΩM tal que Tiω = θ, mas ω ∈ ΩM ⇒ f(ω) _≤ M, e como f(Tiω) = f(ω) _≤ M segue-se que Tiω = θ _∈ ΩM. Assim, T_i−1ΩM ⊂ΩM.

(⊇) Seja ω ∈ ΩM. Mostremos que ω ∈ T_i−1ΩM. Suponhamos, por absurdo, que ω /∈ T_i−1ΩM e ω _∈ ΩM (isto ´e, f(ω) _≤ M). De ω /_∈ T_i−1ΩM, temos que _∀ θ _∈ ΩM, Tiθ 6= ω, mas f(Tiθ) = f(θ) ≤ M, o que resulta em f(ω) > M (contradi¸c˜ao com f(ω)_≤M).

Assim, T_i−1ΩM = ΩM _∀ i. Como a fam´ılia _{Ti_} ´e erg´odica, segue-se que P(ΩM) = 0 ou P(ΩM) = 1.

Agora é fácil ver que se M _≤M′_{, então ΩM} _⊂_ΩM_′_{, com} _{M, M}′ _∈_R_{. Por outro lado,}

como [ M∈R

ΩM = [ m∈❩

ΩM = Ω, fica claro que

K = \ M∈❩

ΩM = \ M∈❩

ΩM

tem probabilidade zero.

De fato, comoP(ΩM) = 0 ou 1 ∀ M ∈R, e \ M∈R

ΩM ⊂ΩM ∀ M ∈R, ent˜ao

i) Se algum ΩM for tal que P(ΩM) = 0, ent˜ao P(K)≤P(ΩM) = 0 ⇒ P(K) = 0. ii) Se P(ΩM) = 1 ∀ M ∈ R, ent˜aoP(K) = 1, o que significa que f =∞ P-q.t.p., e a

(21)

Seja, portanto,M0 = inf_{M _|P(ΩM) = 1_}; pelo discutido anteriormente,M0 <_∞. Como ΩM0 = \

n∈◆

Ω_M0+1

n e ˜ΩM0 := {ω | f(ω) < M0} = [

n∈◆

Ω_M0₋1

n, segue-se que P(ΩM0) = 1,

P( ˜ΩM0) = 0, e portanto, que

P(_{ω _|f(ω) =M_0}) = P(ΩM0 \Ω˜M0) = 1,

isto ´e,f(ω) = M0, exceto por um conjunto de medida nula. Definamos agora, para u∈l2₍_❩ν_{), o operador}

(Uiu)(n) =u(n₋i).

O adjunto do operador definido acima ´e dado por (U∗

ju)(n) = u(n+j) (Ui é um operador unitário; vide o Apêndice A).

Se Vω for um potencial erg´odico com correspondentes transforma¸c˜oes {Ti}i∈❩ν que

preservam medida, ent˜ao

HTiω =UiHωU

∗

i. (2.2)

Os operadores aleatóriosHωque satisfazem a igualdade acima são chamados de operadores de Schrödinger ergódicos, como foi definido na Defini¸cão 2.4.

Nosso próximo passo é apresentar a demonstra¸cão do Teorema 1.1. Antes disso, ne-cessitamos de um resultado preliminar.

Def ini¸cão 2.6. Dizemos que uma fam´ılia {Aω}ω∈Ω de operadores limitados sobre um espa¸co de Hilbert _H é fracamente mensurável se a aplica¸cão ω _{7−→ h}ϕ, Aωψ_i for men-surável para todos ϕ, ψ∈ H.

Lema 2.1.Suponhamos que_{Pω_}ω∈Ωseja uma fam´ılia fracamente mensur´avel de proje¸c˜oes

ortogonais satisfazendo (2.2). Ent˜ao, dim Ran(Pω) = 0 P-q.t.p. ou dim Ran(Pω) = ∞ P-q.t.p.

(22)

ortonormalb1(ω), b2(ω), . . . de (Ran (Pω))⊥_{, temos que}

Tr(Pω) =

X

hai(ω), Pωai(ω)i+

X

hbi(ω), Pωbi(ω)i = X_hai(ω), ai(ω)i= dim Ran(Pω),

j´a que Pω : H −→Ran(Pω)⊂ H, Ran(Pω)⊕Ran(Pω)⊥ ₌_H ₌_l2₍_❩ν_), _ai_(ω)_∈_Ran(Pω), e portanto,Pω(ai(ω)) =ai(ω) e Pω(bi(ω)) = 0.

Agora, seja {ei :i∈❩ν_} _{a base ortonormal canˆonica de} _H₌_l2₍_❩ν_):

ei(n) =δin =

    

1 se i=n, 0 se i₆=n. Ent˜ao, TrPω =

P

hei, Pωeii é uma variável aleatória, já que por defini¸cão, a fam´ılia {Pω}ω∈Ω é fracamente mensurável.

Al´em disso, dado que

hei−j, Pωei−ji=hUj∗ei, PωUj∗eii= hei, UjPωUj∗eii = _hei, P_T∗_j_ωei_i = _hei, PTjωeii,

(2.3)

obtemos

TrPTjω = X

hei, PTjωeii = X

hei−j, Pωei−ji = TrPω.

Pela Proposi¸c˜ao 2.1, dim(RanPω) = TrPω, e assim constante P-q.t.p. Portanto, como

hei, Pωeii = hei, PωU_i∗e0i

= hUiei, UiPωU_i∗e0i=he0, PTiωe0i

(23)

E(TrPω) = TrPω = TrPω·E(Ω) ≥

X

|i|≤N

E(_hei, Pωeii)

= X

|i|≤N

E(he0, PTiωe0i) = X

|i|≤N

E(he0, Pωe0i),

donde obtemos,P-q.t.p., que

TrPω = (2N + 1)νE(he0, Pωe0i).

Agora, comoN pode ser tomado arbitrariamente, segue-se que ou TrPω = 0 ou TrPω = ∞, dependendo se E(he0, Pωe0i) = 0 ou n˜ao.

Demonstra¸c˜ao do Teorema 1.1. Denotemos por E∆(ω) a proje¸c˜ao espectral de Hω

sobre o conjunto de Borel ∆ (vide o Apˆendice A). A equa¸c˜ao (2.2) implica queE∆(Tiω) = UiE∆(ω)U∗

i. Agora, mostramos que para um conjunto de Borel ∆ fixo, a aplica¸cãoω 7−→ E∆(ω) é fracamente mensurável (i.e., _hf, E∆(ω)g_i é mensurável para quaisquer f, g _∈ l2₍_❩ν_)).

De fato, pela identidade de polariza¸cão, é suficiente considerar o caso f = g. Além disso, não é dif´ıcil ver que o produto de operadores fracamente mensuráveis e limitados é fracamente mensurável. Portanto, em particular,Hn

ω é fracamente mensurável para cada n∈◆. É poss´ıvel aproximarE∆(ω), na topologia forte, por ω-polinômios independentes em Hω (vide o Teorema de Stone-Weierstrass, [13]). Assim, E∆(ω) é fracamente men-surável, já que todo polinômio deHω o é. Além disso, pelo Lema 2.1, dim Ran(E∆) é ou zero P-q.t.p. ou infinito P-q.t.p.

Agora, para cada par (p, q) de n´umeros racionais, definamosη(p, q) := 0 se dim(Ran(E(p,q)(ω))) = 0 P-q.t.p. e η(p, q) := _∞ se dim(Ran(E(p,q)(ω))) = _∞ P-q.t.p. Observe que η ´e bem

definido gra¸cas ao Lema 2.1. Definamos ainda Ωp,q :={ω |dim(RanE(p,q)(ω)) =η(p, q)} e Ω0 = \

p,q∈Q

Ωp,q.

Uma vez que cada Ωp,qtem probabilidade 1 e a interseçcão sobrep, q _∈Qé enumerável, temos queP(Ω0) = 1.

(24)

Como ω1, ω2 _∈Ω0, temos que dim RanE(λ1,λ2)(ω1) = dim RanE(λ1,λ2)(ω2), λ1, λ2 _∈Q. Com efeito, ω1, ω2 ∈Ω0, implica em ω1, ω2 ∈Ωp,q, ∀p, q ∈Q, que por sua vez resulta em

dim RanE(p,q)(ω1) = η(p, q) = dim RanE(p,q)(ω2) P ₋q.t.p..

Segue-se novamente da Proposi¸cão A.2 e de λ /_∈σ(Hω1) que dim RanE(λ1,λ2)(ω2) = 0 para λ1, λ2 ∈ Q, com λ1 < λ < λ2 suficientemente próximos a λ. Isto implica, pela Proposi¸cão A.2, emλ /_∈σ(Hω2). Invertendo-se os papéis deω1eω2no argumento anterior, demonstra-se a outra inclusão, e portanto, a primeira proposi¸cão.

Agora, suponhamos que λ _∈σdis(Hω) para ω ∈Ω0. Ent˜ao 0 <dim RanE(λ1,λ2)(ω)< ∞ para alguns λ1 < λ < λ2, λ1, λ2 ∈ Q. No entanto, isso contradiz o fato de ω ∈ Ω0.

Portanto, σdis(Hω) =∅ P-q.t.p. ✷

O próximo resultado representa um refinamento em rela¸cão ao resultado enunciado no teorema anterior (vide [9] para uma extensão a um contexto mais geral). Necessitamos de um lema prévio.

Lema 2.2. Seja J = {I = Sn_k=1Ik | Ik = (pk, qk) intervalo aberto com pk, qk ∈ Q_}. Ent˜ao, para cada A_{∈ B}(R),

µs(A) = lim n→∞sup

µ(A∩I) :I ∈ J, ℓ(I)< 1 n

=:ν(A).

Demonstra¸c˜ao. Notemos inicialmente que supµ(A_∩I) :I _{∈ J}, ℓ(I)< 1

n decresce quando n cresce, e que portanto o limite definido porν(A) existe.

Escrevamos dµac(x) = f(x)dx (f ∈ L

1₍_R_{) pelo teorema de Radon-Nikodym [31]) e} g(R) = µac({x : f(x) > R}). É claro que g(R) ց 0 quando R → ∞. Então µac(I) ≤ R_|I_|+g(R), e como µ(A_∩I) =µac(A_∩I) +µs(A_∩I) (pelo Teorema de decomposi¸cão de Lebesgue [31]), obtemos

µ(A_∩I)_≤µs(A) +R ℓ(I) +g(R).

Assim, para todoR, ν(A)_≤µs(A) +g(R), e portanto ν(A)≤µs(A).

(25)

Sejam Cm conjuntos abertos tais que A_∩B _⊂Cm e ℓ(Cm) _ց0. Dados n e ε >0, é poss´ıvel encontrarm de modo que ℓ(Cm)< _n1, e então um I ∈ J tal que µ(Cm\I)≤ ε (já queµ_⊥ℓ). Logo, comoA_∩Cm _⊂(A_∩I)_⊔(Cm_\I), segue-se que

µ(A_∩I)_≥µ(A_∩Cm)−µ(Cm\I)≥µ(A∩B)−ε =µs(A)−ε,

e portanto, queν(A) = lim

n→∞_I_∈Jsup_{, ℓ(I)<}1

n

µ(A∩I)≥µs(A)−ε. Agora, como εfoi escolhido arbitrariamente, segue-se queν(A)_≥µs(A).

Teorema 2.1(Kunz-Souillard). SejaVω um potencial erg´odico. Ent˜ao, existem conjuntos

Σac, Σsc, Σpp ⊂R tais que

σac(Hω) = Σac P-q.t.p.

σsc(Hω) = Σsc P-q.t.p.

σpp(Hω) = Σpp P-q.t.p. Demonstra¸c˜ao. Definamos E⋆

∆(ω) := E∆(ω)P⋆(ω), em que P⋆(ω) ´e o projetor sobre o subespa¸co H⋆

ω, com ⋆ = c, ac, sc, pp (vide o Apêndice A para a defini¸cão). Então, um aplica¸cão do Teorema 1.1 demonstra o resultado exceto por um ponto: temos que mostrar a mensurabilidade fraca de Eac

∆(ω), E∆sc(ω) e E pp

∆(ω). Para isto, ´e suficiente mostrar a mensurabilidade fraca deEc

∆(ω) =E∆ac(ω) +E∆sc(ω) e E∆s(ω) =E∆sc(ω) +E pp ∆(ω). Do teorema (RAGE) (Teorema A.12), temos que

1 T Z T 0

eitHω_χJ_Pc(A)e−iHω_dt L→∞

−→ 0, (2.4)

em que Pc(ω) ´e o projetor sobre Hc =Hac⊔ Hsc, J ∈ Re χJ(n) = 1 se |n|< J eχJ = 0 se_|n_|> J. Portanto,

hφ, Pc(ω)ψi = 1 T

Z T 0 h

φ, eitHω₍✶₋_χ

J +χJ)Pc(ω)e−itHωψidt = lim T→∞ 1 T Z T 0 h

J)Pc(ω)e−itHωψidt = lim T→∞ 1 T Z T 0 h

J)e−itHωψidt −lim T→∞ 1 T Z T 0 h

(26)

donde usamos (2.4) na segunda igualdade. Agora, estimamos a última expressão usando Ppp(ω)ψ =P_jηj, em que os ηj são autofun¸cões de Hω, isto é,Hωηj =λjηj. Assim,

hφ, eitHω₍✶

−χJ)Ppp(ω)e−itHω_ψ

i ≤ keitHω_φ

kk(✶₋χJ)eitHω_Ppp(ω)ψ

k ≤ kφ_kkΣj(✶₋χJ)e−itλj_ηj

k ≤ kφ_kΣj_k(✶₋χJ)ηj_k, e portanto, temos o limite fraco

hφ, Pc(ω)ψi= lim J→∞Tlim→∞

1 T

Z T 0 h

φ, eitHω₍✶₋_χJ_)e−itHω_ψ_i_dt. _(2.5)

ComoeitHω ₌P(itHω)n

n! , o membro direito da igualdade (2.5) ´e mensur´avel, de modo que Pc(ω), e portantoEc

∆(ω) :=E∆(ω)Pc(ω), s˜ao fracamente mensur´aveis. A prova da mensurabilidade fraca deEs

∆(ω) faz uso do argumento de Carmona (Lema 2.2; vide [6]): segue-se da defini¸c˜ao de medida espectral (vide Apˆendice A) que, para todo ϕ,

hϕ, E_∆s(ω)ϕ_i= lim

n→∞_I_∈Jsup_,_|_I_|_<1

n

hϕ, E∆∩I(ω)ϕi.

Agora, como_J é enumerável e_hϕ, E∆∩I(ω)ϕié mensurável, conclu´ımos quehϕ, E∆s(ω)ϕi é mensurável. Logo, por polariza¸cão, Es

∆(ω) é fracamente mensurável. O seguinte resultado é especial para o caso unidimensional (vide [9]).

Teorema 2.2 (Pastur). Se ν = 1, ent˜ao, para cada λ fixo,

P({ω |λ ´e um autovalor de Hω}) = 0.

Demonstra¸cão. Fixemosλ_∈R. Segue-se da demonstra¸cão do teorema 1.1 (onde mostra-mos que as proje¸cões espectrais E∆(ω) são fracamente mensuráveis para cada boreliano ∆_{∈ B}(R)) e do Lema 2.1 que ou TrE{λ} = 0 P−q.t.p., ou TrE{λ} = ∞ P−q.t.p.

Con-tudo, a equa¸cão de diferen¸ca finita unidimensional (1.3) tem, no máximo, um espa¸co bidimensional de solu¸cões, e portanto, TrE{λ} = 0 P−q.t.p. Isso, por sua vez, implica em

P({ω |λ´e autovalor de Hω}) = 0, pois TrE{λ} = dim RanE{λ} = 0 P−q.t.p. e

(27)

Observa¸cão 2.1. O resultado do Teorema 2.2 não implica emHωnão possuir autovalores. Uma união não-enumerável de conjuntos de probabilidade zero pode ter probabilidade positiva (ou pode mesmo ser não-mensurável).

Corolário 2.1. Se o espectro pontual Σpp[=σpp(Hω) P−q.t.p.]for não-vazio, então será localmente não-enumerável.

2.2 A Densidade de Estados e o Teorema de

Avron-Simon

Nesta se¸c˜ao, definiremos e discutiremos as principais propriedades de uma importante grandeza para sistemas desordenados, a densidade de estadosK(E). A quantidade K(E) mede, em algum sentido, quantos estados (ou autofun¸c˜oes) correspondem a energias me-nores do que E.

Lembremos que o operador (1.4) descreve o movimento de uma part´ıcula (elétron) em um sólido com infinitos centros de for¸ca (núcleos, ´ıons) localizados em posi¸cões fixas. Esta é algumas vezes chamada de aproxima¸cão de um corpo. No entanto, em um sólido com infinitos núcleos, temos infinitos elétrons. Nós não podemos lidar diretamente com um problema de infinitas part´ıculas, o que nos leva a restringir o problema a um dom´ınio finito. Em tal dom´ınio, teremos um número finito de elétrons.

Denotemos por χL a fun¸c˜ao caracter´ıstica do “cubo”

CL ={i∈❩ν _:₋_L_≤_ik _≤_L;_k_{= 1, . . . , ν}_}_.

O “n´umero de el´etrons” emCLdeve ser uma densidade multiplicada por #CL = (2L+1)ν_. Definimos uma medida dKω

L, ω ∈Ω, por dK_Lω(A) =

Z

A

dKL = 1

(2L+ 1)ν dim Ran(EA(ω)χL)

= 1

(28)

restringimos o problema completo ao cubo CL”. Podemos esperar que a medida dKω L convirja (em algum sentido) no limite de CL a ❩ν _(i.e., _L_{→ ∞}_).

A convergência de medida apropriada é a convergência vaga (fraca), i.e. dµn _→dµse

R

f dµn→R f dµ, para toda fun¸c˜ao cont´ınua f com suporte compacto (f ∈Cc). Definimos a medida dK por

Z

f(λ)dK(λ) :=E(_hδ0, f(Hω)δ0i). (2.7)

Denotemoshδ0, f(Hω)δ0ipor f(Hω)(0,0).

O pr´oximo teorema nos mostra efetivamente que dKω

L converge vagamente a dK, P -q.t.p., no limiteL→ ∞.

Teorema 2.3. Para qualquer fun¸c˜ao mensur´avel e limitada f, existe um conjunto Ωf de probabilidade 1 tal que

lim L→∞

Z

f(λ)dK_Lω(λ) =

Z

f(λ)dK(λ) se ω_∈Ωf. (2.8)

Demonstra¸cão. Fixemos uma fun¸cão mensurável e limitadaf. Definamos ¯f(ω) :=f(Hω)(0,0). Por estacionariedade, afirmamos que f(Hω)(n, n) = ¯f(Tn

ω) (lembre-se que HTnω =

U HnU−1_{). Com efeito,}

¯

f(Tnω) =_hδ0, f(HTnω)δ0i=hδ0, E

H_Tnω_(f_)δ0

i = _hδ0, UnEHω_(f_)U−1

n δ0i = _hU_n−1δ0, EHω_(f)U−1

n δ0i = _hδn, EHω_(f_)δn

i = f(Hω)(n, n).

Temos, portanto,

Z

f(λ)dKL(λ) = 1

(2L+ 1)νTr(f(Hω)χL) =

1 (2L+ 1)ν

X

|n|≤L

hδn,(EHω_(f_)χL)δn_i

= 1

(2L+ 1)ν

X

|n|≤L

f(Hω)(n,n)

= 1

(2L+ 1)ν

X

(29)

Aplicando-se o teorema de Birkhoff (vide o Teorema 2.7) à expressão anterior, obtemos que seϕ ∈L1₍_R_{), então} 1

(2L+ 1)ν

X

|n|≤L

ϕ(Tnω) converge aE(ϕ)P−q.t.p. quandoL→ ∞. Assim,

lim L→∞

1 (2L+ 1)ν

X

|n|≤L ¯

f(Tnω) =E( ¯f(ω)) = E(f(Hω)(0,0)) =

Z

f(λ)dKλ,

i.e., R f(λ)dKω

L(λ)_L−→_→∞

R

f(λ)dK(λ)≡dKω

L _L−→_→∞dK.

Como o conjunto Ωf pode depender de f, não é claro que exista um ω ∈ Ω para o qual (2.8) seja verdadeiro para toda fun¸cão limitada e mensurável f. Temos, contudo, o seguinte

Teorema 2.4. dKω

L converge fracamente a dK P−q.t.p em Ω.

Demonstra¸cão. Sabe-se que existe um subconjunto enumerável F de C0 (o espa¸co das fun¸cões cont´ınuas com suporte compacto) tal que para cadaf _∈C0, existe uma sequência {fn} em F com fn →f uniformemente, e [

n

suppfn est´a contido em um conjunto com-pacto (f₋dependente, vide [31]).

Definamos Ω0 :=

\

g∈F

Ωg. Do teorema ergódico de Birkhoff, obtemos que P(Ω0) = 1 (já que F é enumerável). Além disso, verifica-se que (2.8) se cumpre para cadaω ∈Ω0 e cada f _∈C0.

O seguinte teorema estabelece uma conex˜ao entre o espectro de um operador erg´odico e a densidade de estados.

Teorema 2.5 (Avron e Simon). supp(dK) = Σ (=σ(Hω) P ₋q.t.p.).

Demonstra¸cão. (_⊇) Se λ0 ∈/ Σ, existe uma fun¸cão cont´ınua e não-negativa f, com f(λ0) = 1 e f ↾Σ= 0 (a existência de tal fun¸cão se deve ao lema de Urysohn; vide [32]).

Assim, usando-se a identidade de polariza¸c˜ao,

(30)

e portanto,

Z

f(λ)dK = (f(Hω))(0,0) = _hδ0, f(Hω)δ0i = 0.

Logo,λ0 ∈/suppdK(pois existe uma vizinhan¸ca aberta,Nλ0, deλ0tal queK(Nλ0) =

R

Nλ0

f dK = 0).

(⊆) Inversamente, se λ0 ∈/ supp(dK), então existe uma fun¸cão cont´ınua e positiva f com f(λ0) = 1 e R f(λ)dK = 0 (novamente, pelo lema de Urysohn). As-sim, f(Hω)(0,0) = hδ0, f(Hω)δ0i = 0 P−q.t.p. e portanto, como f(Hω)(n, n) = f(HTnω)(0,0) , sabemos que para todo n, hδn, f(Hω)δni = 0 P−q.t.p. Não

obs-tante, como f(Hω) =EHω_(f)≥ _{0, isto implica em} _f_{(Hω) = 0. Como} _f _{´e cont´ınua}

e f(λ0) = 1, segue-se que λ0 _∈/ Σ.

Def ini¸c˜ao 2.7. Seja dK a medida definida em (2.7). Dado E _∈R, a fun¸c˜ao

K(E) :=

Z

χ(−∞,E)(λ)dK(λ) =

Z E

−∞

dK(λ)

ser´a chamada de densidade integrada de estados. (algumas vezes, esta quantidade ser´a chamada de “densidade de estados”).

Como mostraremos a seguir,dK é uma medida cont´ınua paraν = 1, ou seja, a fun¸cão K(E) é cont´ınua (vide [15]).

Teorema 2.6 (Craig-Simon, Delyon-Souillard). K(E) ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua.

Demonstra¸cão. Fixemosλ. Seja fn uma sequência de fun¸cões cont´ınuas com fn(λ) = 1 e fn(x)↓0 sex6=λ. Então,fn(Hω)(0,0)↓EHω

{λ}(0,0) e

R

fn(x)dK(x)↓K(λ+0)−K(λ−0). Assim, pela defini¸c˜ao de dK e pelo Teorema 2.3, ´e suficiente mostrar que

E(EHω

{λ}(0,0)) = lim_L_→∞

1

(2L+ 1)νTr(E Hω

{λ}χL) = 0.

(31)

o que n˜ao muda o fato de que para um λ fixo, a igualdade se cumpra P-q.t.p., e que precisamos somente considerar um ponto t´ıpico.

A solu¸c˜ao ψ de (1.3) ´e unicamente determinada dentro de CL por seus valores sobre ˜

CL = ν

[

j=1 ˜

CL,j, em que ˜CL,1 = {i ∈ CL | i1 = −L ou −L+ 1} e ˜CL,k = {i ∈ CL | ik = −Lou L_}se k _≥2.

A identidade

ψ(α) = [E₋V(α−δ1)]ψ(α−δ1)−ψ(α−2δ1)− ν

X

j=2

[ψ(α−δ1+δj)+ψ(α−δ1−δj)]

nos permite determinarψ indutivamente para α=−L+ 2, . . . , L. Assim,

dim[Ran(χLEHω

{λ})]≤#( ˜CL)≤2ν(2L+ 1)

ν−1_.

Tomemos uma base ortonormal,{ai}, para Ran(χLEHω

{λ}) e uma base ortonormal,{bj},

para (Ran(χLEHω

{λ}))⊥. Assim,

Tr(χLEHω

{λ}) =

P

ihai, χLEHω

{λ}aii +

P

jhbj, χLE Hω

{λ}bji

≤ Pikaik · kχLE_{H_λω_}aik ≤

P

ikaik2kχLE_{H_λω_}k = dim Ran(χLEHω

{λ})kχLE

Hω

{λ}k

≤ dim Ran(χLE_{H_λω_}),

donde conclu´ımos que (2L+ 1)−1_Tr(χ

LE_{H_λω_})→0.

2.3 Expoentes de Lyapunov e o Teorema de

Furstenberg-Kesten

A partir daqui, consideramos apenas o caso unidimensional ν = 1. O que torna o caso unidimensional especial é o fato de que, para E fixo, uma solu¸cão u da equa¸cão de au-tovalores (1.3) é determinada caso se conhe¸cam seus valores em dois pontos seqüenciais (problema de valor inicial para uma equa¸cão de diferen¸ca finita de segunda ordem).

(32)

definamos

γ±(ω, E) := lim sup N→±∞

1

|N_|lnkΦE,ω(N)k, (2.9a) γ±(ω, E) := lim inf

N→±∞

1

|N|lnkΦE,ω(N)k. (2.9b)

Observa¸c˜oes 2.1.

a) Na defini¸cão acima, _kA_k denota a norma de operador da matriz A. No entanto, os limites (2.9a) e (2.9b) não mudam se empregamos qualquer outra norma (já que, em espa¸cos de dimensão finita, todas as normas são equivalentes).

b) Tais quantidades medem o crescimento da norma matricial kΦE,ω(N)k. J´a que det(SE,ω) = 1, e portanto detΦN = 1, segue-se que _kΦE,ω(N)_{k ≥} 1, e conseq¨ uente-mente 0 ≤ γ±_{(ω, E)} _≤ _γ±_{(ω, E). De fato, se detA} ₌ _{p(λ) = 1, ent˜ao pelo menos}

um autovalor de A satisfaz _|λ_{| ≥} 1; assim, se por exemplo _|λ0_{| ≥} 1 e Av = λ0v, teremos que kAvk=kλ0vk=|λ0|kvk ≤ kAkkvk, e portantokAk ≥1.

Paraν = 1, temos queTn= (T1)n_{. Se definirmos}_T _:=_{T1, teremos ent˜ao que}_Tn₌_Tn para todon.

Def ini¸cão 2.8. T é chamado ergódico se _{Tn_}

n∈❩ for uma fam´ılia de transforma¸c˜oes

ergódicas. Uma sequência {FN}N∈◆ de fun¸cões mensuráveis (variáveis aleatórias) é dita

um processo subaditivo se, para todos N e M inteiros positivos,

FN+M(ω)≤FN(ω) +FM(TNω),

em queT ´e uma transforma¸c˜ao que preserva medida. Se a igualdade se cumpre, oprocesso

´e chamado aditivo.

Enunciamos, sem demonstra¸cão, os seguintes resultados (um deles é fundamental na demonstra¸cão do Teorema (2.9), que garantirá a existência do limite (1.5); vide [2, 39]).

Teorema 2.7 (Teorema Ergódico de Birkhoff). Seja {fn}n∈◆ um processo ergódico adi-tivo, isto é, fn(ω) =

Pn−1

m=0f1(Tmω). Se E(|f1|)<∞, ent˜ao lim

n→∞

1

(33)

Teorema 2.8 (Teorema Erg´odico Subaditivo de Kingman). Se FN for um processo suba-ditivo satisfazendoE(|FN|)<∞ para cada N e Γ(F) := inf

N

E(FN)

N >−∞, ent˜ao

FN(ω) N

convergirá P-q.t.p.. Se, além disso, T for ergódico, então lim N→∞

1

NFN(ω) = Γ(F).

O Teorema (2.9) estabelece a existência e a boa defini¸cão do expoente de Lyapunov, em que se ressalta a sua independência com respeito às realiza¸cões ω∈Ω.

Teorema 2.9 (Furstenberg-Kesten). Para um E _∈C fixo,

γ±_{(E) := lim}

N→±∞

1

N lnkΦE,ω(N)k (2.10)

existe P-q.t.p, ´e independente de ω e γ+_{(E) =}_γ−_(E)_.

Demonstra¸c˜ao. SejaFN(ω) = lnkΦE,ω(N)k. FixadosN e M positivos, temos que

FN+M(ω) = ln

N+M Y j=N+1

SE,ω(j)_· N Y i=1 SE,ω(i) = ln M Y j=1

SE,TNω(j)·

N Y i=1 SE,ω(i)

≤ ln(_kΦE,TN_ω(M)kkΦE,ω(N)k)

= FM(TNω) +FN(ω),

em que utilizamos na segunda identidade a estacionaridade de S, isto é, SE,ω(l+N) = SE,TN_ω(l), com l = 1, . . . , M. O caso em que N é negativo tem demonstra¸cão análoga a

anterior; assim, o processo FN ´e subaditivo. Al´em disso,

1

NE(|FN|) = 1 NE ln

N Y j=1 SE,ω(j) ! ≤ 1 NE ln

N

Y

j=1

kSE,ω(j)_k

!! = 1 NE N X j=1

lnkSE,ω(j)k

! = 1 N N X j=1

(34)

Justifiquemos a ´ultima igualdade. Com efeito,

1 N

N

X

j=1

E(ln_kSE,ω(j)_k) = 1

N (E(lnkSE,ω(1)k) +· · ·+E(lnkSE,ω(N)k))

= 1

N E(lnkSE,ω(0)k) +· · ·+E(lnkSE,Tωn(0)k)

,

j´a que

VTjω(0) = Vω(j) ∀j ≥1,

e conseq¨uentemente,

SE,ω(n) =



E−Vω(n) −1

1 0

 

=



E−VT

n_ω(0) −1

1 0

 

= SE,Tnω(0).

Assim,

1 N

N

X

j=1

E(lnkSE,ω(j)k) = 1 N

N

X

j=1

E((ϕ◦Tj)(ω)), (2.11)

em que ϕ(ω) = ln_kSE,ω(0)_k. Dado que ln, _{k · k} e V são mensuráveis, e que T é um operador que preserva medida, temos

E (ϕ_◦Tj)(ω)=E(ϕ(ω)), j = 1, . . . , N.

Assim, de (2.11) obtemos

1 N

N

X

j=1

E(lnkSE,ω(j)k) = E(lnkSE,ω(0)k).

Mais ainda, lembrando-se que

ln+x=

    

lnx , se x≥1 0 , se 0≤x <1,

(35)

FN _≥0 para se concluir que inf[E(FN)/N]_≥0>_−∞. Deste modo, uma aplica¸c˜ao do Teorema 2.8 resulta em

lim N→+∞

1

N lnkΦE,ω(N)k= infN >0 1

NE(lnkΦE,ω(N)k) P −q.t.p. e

lim N→−∞

1

|N_|lnkΦE,ω(N)k= infN <0 1

|N_|E(lnkΦE,ω(N)k) P −q.t.p.

Resta-nos demonstrar que γ+_{(E) =} _γ−_{(E). Para tanto, observe que para} _{N >}₀

Φ−N = S−−N1 ·. . .·S

−1

−1S0−1 = (S0S−1· · ·S−N)−1.

Agora, SE,ω(0) =SE,T−N_ω(N), j´a que V_T−N_ω(N) =Vω(0), e dado que

(SE,ω(0)_·SE,ω(₋1)_·. . ._·SE,ω(₋N))−1 = SE,T−N_ω(N)·S_E,T−N_ω(N −1)·. . .·S_E,T−N_ω(0) −1

,

segue-se que ΦE,ω(−N + 1) = ΦE,T−Nω(N) −1. Por fim, pela estacionaridade de T,

con-clu´ımos que

E(lnkΦ−N+1k) = E(lnkΦ−N1k). (2.12)

Al´em disso, para J =

 0 −1

1 0



, tem-se que

(JΦNJ−1)T = Φ−N1.

Assim, como kJuk=kJ−1_u_k₌_k_u_k_{, o resultado se segue de (2.12).}

Denomina-se o n´umeroγ(E) := γ+_(E_{) =}_γ−_{(E) de} _{exponente de Lyapunov} _para _Hω,

(36)

2.4 Subarmonicidade do Exponente de Lyapunov e a

F´

ormula de Thouless

Nesta se¸cão, estabeleceremos uma importante conexão entre o exponente de Lyapunov e a densidade de estados, a saber, a fórmula de Thouless. Para a demonstra¸cão desta fórmula, bem como para outros propósitos, será mostrada a subarmonicidade do exponente de Lyapunov.

Para tanto, necessitamos de algumas defini¸cões e fatos básicos concernentes às fun¸cões subarmônicas.

Def ini¸cão 2.9. Uma fun¸cão f :C_→R_{∪ {−∞}}é chamada

a) subm´edia se f(z0)≤ 1 2π

Z 2π 0

f(z0+reiθ)dθ para todo r >0;

b) superiormente semicont´ınua se, para cada sequˆencia zn _−→ z0, lim supf(zn) _≤ f(z0);

c) subarmônica se for ambas submédia e superiormente semicont´ınua. Consequências imediatas da Defini¸cão 2.9 são:

i) f(z0)_≤lim r→0inf

1 πr2

Z

|z−z0|≤r

f(z)dz, sef for subm´edia. (2.13)

ii) f(z0) = lim r→0

1 πr2

Z

|z−z0|≤r

f(z)dz, se f for subarmˆonica. (2.14)

Proposi¸c˜ao 2.2.

i) Se {fn} forem fun¸c˜oes subm´edias, com sup

|z|<R|

fn(z)| < ∞ para todo R, e f0(z) = lim supfn(z), então f0 será submédia.

ii) Se _{fn_} for uma sequência decrescente de fun¸cões subarmônicas, então f0(z) = inf

n fn(z) ser´a subarmˆonica.

Demonstra¸c˜ao.

i) Para quaisquer n,N _≤n er >0,

fn(z0)≤ 1 2π

Z 2π 0

fn(z0+reiθ)dθ ≤ 1 2π

Z 2π 0

sup j≥N

(37)

Assim,

f0(z0) = inf

N _jsup_≥_Nfj(z0) ≤ 1 2πinfN

Z 2π 0

sup j≥N

fj(z0 +reiθ)dθ

= 1

2π

Z 2π 0

inf

N sup_j_≥_Nfj(z0 +re iθ_)dθ

= 1

2π

Z 2π 0

f0(z0+reiθ)dθ,

pelo teorema de convergência monótona (a sequência _{sup_j_≥_Nfj(z0+reiθ₎_}_é não-negativa e não-crescente, com limite lim

N→∞sup_j_≥_Nfj(z0+re

iθ_{) = inf}

N sup_j_≥_Nfj(z0+re iθ_{) =} lim supfj(z0 +reiθ)).

ii) Segue-se de (i), dado que o ´ınfimo de uma fam´ılia de fun¸cões superiormente semi-cont´ınuas é uma fun¸cão superiormente semicont´ınua.

Teorema 2.10 (Craig e Simon).

i) γ±_{(ω, E)} _{são submédias,} _∀_E _∈_C_, _∀_ω_∈_Ω_. ii) γ(E) é subarmônica.

Demonstra¸c˜ao.

(i) A fun¸cão a valores matriciais ΦE,ω(N) é obviamente anal´ıtica em E _∈ C para quaisquer N,ω ∈Ω (lembre-se da Defini¸cão 1.3).

A primeira observa¸cão que fazemos é que kΦE,ω(N)k é subarmônica. Com efeito, kΦE,ω(N)_k é cont´ınua e submédia por

kΦN(ω, E0)k= 1 πr2k

Z

|E−E0|≤r

ΦE,ω(N)dEk ≤ 1 πr2

Z

|E−E0|≤r

kΦE,ω(N)kdE.

Assim, como a fun¸cão logaritmo é uma fun¸cão convexa, ln_kΦE,ω(N)_k é submédia pela desigualdade de Jensen (vide a equa¸cão (3.2) do cap´ıtulo III em [23]), donde se segue que

lnkΦE,ω(N)k ≤ 1 2π

Z 2π 0

(38)

Logo, pela Proposi¸c˜ao 2.2(i),

γ±_{(ω, E}_{) = lim}

N→±∞sup

1

N lnkΦE,ω(N)k s˜ao subm´edias para todos E ∈C, ω∈Ω.

(ii) Lembre-se, pelo teorema erg´odico subaditivo (Teorema 2.8), que

γ(E) = inf 1

NE(lnkΦE,ω(N)k); seja A(E) := E(lnkΦE,ω(N)k). A(E) é submédia, pelo teorema de Fubini, já que

E(lnkΦE,ω(N)k) ≤ E

1 2π

Z 2π 0

lnkΦE+reiθ,ω(N)kdθ

= 1

2π

Z 2π 0

E(ln_kΦE+reiθ_,ω(N)k)dθ.

A(E) ´e semicont´ınua superiormente, pelo lema de Fatou, pois se (zn)_→E, ent˜ao

lim supE(lnkΦzn,ω(N)k) ≤ E(lim sup lnkΦzn,ω(N)k)

= E

lim

n→∞lnkΦzn,ω(N)k

= E(lnkΦE,ω(N)k);

utilizamos, na última igualdade, a continuidade das fun¸cões ln e _{k · k}. Agora, pela Proposi¸cão 2.2(ii),γ(E) é subarmônica, pois claramente, para cadaN, lnkΦE,ω(N)k é uma fun¸cão subarmônica.

Por fim, discutimos a f´ormula de Thouless (vide [4]).

Lema 2.3. A fun¸cão f(E) =R ln_|E₋E′_|_dK_(E′₎_(com_f_(E_{) =}_−∞_{se a integral diverge} a _−∞) é subarmônica.

Demonstra¸cão. A fun¸cãoϕ(E) = ln|E−E′_|_{é subarmônica (novamente equa¸cão (3.2) em}

[23]). Assim, f ser´a subm´edia por Fubini. Definamos para M > 0

fM(E) =

Z

(39)

A fun¸cãofM é cont´ınua já que dK _≪ℓ. Agora, pelo teorema de convergência monótona, obtemos que f(E) = inf

M >0fM(E). Assim, f ´e semicont´ınua superiormente.

Teorema 2.11 (F´ormula de Thouless). Para cada E _∈C,

γ(E) =

Z

ln_|E₋E′_|dK(E′). (2.15)

Demonstra¸cão. Mostra-se em primeiro lugar (2.15) paraE ∈C_\R. Para estesE, a fun¸cão f(E′_{) := ln}_|_E₋_E′_| _{(ramo principal do ln) é cont´ınua sobre supp(dK).}

Agora, pela defini¸cão de ΦE(L) (vide Defini¸cão 1.3), é fácil ver que ΦE(L) é da forma

ΦE,ω(L) =



 PL(ω, E) QL−1(ω, E)

PL−1(ω, E) QL−2(ω, E)



, L≥2

em quePl e Ql são polinômios mônicos de graul. Além disso,Pl(ω, E) = 0 se, e somente se, (1.3) tem uma solu¸cão u satisfazendo u(0) = 0, u(l + 1) = 0, e Ql(ω, E) = 0 se, e somente se, existe uma solu¸cão com u(1) = 0 e u(l+ 2) = 0.

Assim,

Pl(E) = l

Y

j=1

(E−E_j(l)), Ql(E) = l

Y

j=1

(E−E˜_j(l))

em que E_j(l) (respectivamente ˜E_j(l)) são os autovalores de Hω restrito à caixa {1, . . . , l} (respectivamente _{2, . . . , l+ 1_}) com condi¸cões de fronteira u(0) = 0 = u(l+ 1) (respec-tivamente u(1) =u(l+ 2) = 0). Assim, conclu´ımos que

ln_|PL(E)_| =

Z

ln_|E ₋E′_| dρ1,L(E′) e ln|QL(E)| =

Z

ln|E−E′| dρ2,L+1(E′),

j´a que ln|PL(E)|= ΣL

j=1ln|E−E (L) j |=

R

ln|E−E′_|_dρ1,L(E′_{), e}_ρ1,L_percorre_{_1,_{· · ·} _{, L}_}

e atribui peso um aos autovalores deHω =Hω(1,L) (analogamente para ln|QL(E)|). Logo, obtemos que

lim L→∞

1

Lln|PL(E)|=

Z

ln_|E₋E′_|dk(E′),

(40)

Agora, seja E _∈ C arbitr´ario. Como (2.15) se cumpre para ˜E _∈C_\R, isto ´eγ( ˜E) =

R

ln|E˜−E′_|_dK_(E′_{), obtemos}

1 πr2

Z

|E−E˜|≤r

γ( ˜E)d2( ˜E) = 1 πr2

Z

|E−E˜|≤r

f( ˜E)d2( ˜E),

comf(E) =R ln_|E₋E′_|_dK(E′_{) (Lembre-se que a intersec¸c˜ao do dom´ınio} _{Dr(E) =}_{_E˜ _:

|E−E˜| ≤r} eR tem medida nula em C).

Tomando-se o limiter _→0 em ambos os membros da igualdade anterior obtemos, por (2.14), que

γ(E) =f(E) =

Z

ln_|E₋E′_| dK(E′),

já queγ ef são fun¸cões subarmônicas (pelos Teorema 2.10 e Lema 2.3, respectivamente).

2.5 O Teorema de Ishii-Pastur-Kotani

O Teorema ergódico multiplicativo de Osceledec (vide [2, 39] ) permite uma conexão entre o comportamento assintótico de ΦN e o comportamento assintótico de solu¸cões ΦNu da equa¸cão de autovalores com vetor condi¸cão inicialu.

Teorema 2.12 (Teorema Erg´odico Multiplicativo de Osceledec). Suponha que {An}n∈◆ seja uma sequˆencia de matrizes reais 2_×2 satisfazendo

i) lim n→∞

1

n lnkAnk= 0 e

ii) detAn= 1. Seγ := lim

n→∞

1

n lnkAn·. . .·A1k>0, ent˜ao existir´a um subespa¸co unidimensionalV

− _⊂_R2

tal que

lim 1

nlnkAn·. . .·A1vk = −γ para v ∈V

−_{, v}₆_{= 0,} _e

lim 1

nlnkAn·. . .·A1vk = γ para v /∈V

−_.

(41)

exponencialmente somente existe para uma condi¸cão inicial particular, λu₊; qualquer outra condi¸cão inicial resulta numa solu¸cão crescente. O mesmo se dá com solu¸cões à esquerda com uma condi¸cão inicial particular λu₋. Tem-se uma autofun¸cão pertencente al2₍_❩_{) somente quando as solu¸cões} _λu

+,λu− coincidem na origem.

Entretanto, devemos ser muito cuidadosos com as afirma¸cões acima, já que estas são válidas somente paraEfixo (i.e., fixadoE, os resultados acima se seguem). Se permitirmos queE percorra um conjunto não-enumerável, pode ocorrer que os excepcionais ω para os quaisγ±_{(ω, E)}₆₌_γ_(E)_>_{0 totalizem um conjunto de medida 1.}

Por exemplo, não podemos concluir, P₋q.t.p., que toda solu¸cão de Hωu =Eu (com E ∈R arbitrário) seja ou exponencialmente crescente ou exponencialmente decrescente. Contudo, como veremos a seguir, o expoente de Lyapunov caracteriza completamente o espectro absolutamente cont´ınuo.

A seguir, apresentamos uma demonstra¸cão do importante teorema de Ishii-Pastur-Kotani (Teorema 1.2). Dividiremos a demonstra¸cão em duas partes (duas inclusões). A primeira inclusão (_⊆) foi demostrada por Ishii e Pastur (vide [18, 30]), em que se utiliza um resultado da teoria dos autovetores generalizados, a saber o teorema de Sch’nol (vide o capitulo 2 de [9] para uma demonstra¸cão deste resultado). A segunda inclusão foi estabelecida por Kotani, em que se utiliza a teoria de subordina¸cão (mais precisamente, o Teorema B.4; vide [26]). Ambos os resultados foram estabelecidos para o caso cont´ınuo e adaptados ao caso discreto por Barry Simon (vide [10, 36]).

Teorema 2.13 (Sch’nol). O espectro, σ(H), do operador de Schr¨odinger H ´e igual ao

fecho do conjunto dos E para os quais a equa¸c˜ao de autovalores, Hu = Eu, tem uma

solu¸c˜ao polinomialmente limitada.

Demonstra¸c˜ao do Teorema 1.2.

(_⊆) Suponhamos que E /_{∈ Z}ess, isto ´e, que γ(E) > 0 ℓ₋q.t.p. num intervalo aberto (a, b). Assim, AE = {ω | γ(E) = 0} ´e tal que P(AE) = 0 (pelo Teorema 2.9, que nos diz que γ existe e independe de ω_∈Ω) ℓ₋q.t.p. em (a, b).

Definamos

A :={(ω, E) : ou γ+(ω, E)6=γ−(ω, E), ou o

(42)

Ent˜ao,

0 =

Z b a

P(AE)dE = (ℓ×P)(A) = (P ×ℓ)(A), pelo teorema de Fubini. Portanto,

ℓ(Aω) =ℓ({E : ou γ+(ω, E)6=γ−(ω, E), ou o

limite n˜ao existe, ou γ(ω, E) = 0; E _∈(a, b)_}) = 0 P ₋q.t.p;

em outras palavras, γ(ω, E) > 0 P−q.t.p e para todo E fora de um conjunto de medida de Lebesgue nula.

Agora, se definirmos, _∀ω_∈Ω,

Sω :={E :Hωu=Eupossui uma solu¸c˜ao polinomialmente limitada},

ent˜ao, pelo Teorema 2.13, Sω satisfar´a E(R\Sω)(Hω) = 0 (que por sua vez, significa

que as proje¸c˜oes espectrais de Hω se concentram em Sω, j´a queESω(Hω) = 1).

Al´em disso, como ℓ(Aω) = 0, tem-se que

hφ, χ(Aω)(Hω)φi = Z

R

χ(Aω)(t)dµφ(t)

= µφ(Aω)

= 0, _∀φ _{∈ H}ac,

j´a que φ :=Pac(Hω)(ϕ)∈ Hac para todaϕ ∈ H.

Logo, EAω(Hω) = 0 (operador nulo), e assim conclu´ımos que E

ac

Aω(Hω) = 0.

No entanto, para E /_∈ Aω, as únicas solu¸cões polinomialmente limitadas são expo-nencialmente decrescentes, pelo Teorema 2.12, e portanto autofun¸cões pertencen-tes a l2₍_❩_{). Como os autovalores existem em um n´}_{umero contável, segue-se que} ℓ(Sω ∩((a, b)\Aω)) = 0, implicando-se em

E_(a,b)ac _∩_(S_ω_\_A_ω₎(Hω) = 0.

(43)

Eac

(a,b)(Hω) = E(a,b)ac ∩Aω(Hω) +E

ac

(a,b)∩(Sω\Aω)(Hω) +E

ac

(a,b)\(Aω∪Sω)(Hω)

= Eac

(a,b)∩Aω(Hω) +E

ac

(a,b)∩(Sω\Aω)(Hω) +E

ac

(a,b)∩(R\Aω)∩(R\Sω)(Hω)

= E_(a,b)ac _∩_A_ω(Hω) = 0,

o que significa que seE ∈(a, b) for tal queγ(E)>0, então E /∈σac(Hω) (já que to-das as componentes absolutamente cont´ınuas to-das proje¸cões espectrais se concentram fora do intervalo (a, b)).

Apresentamos agora alguns resultados necessários à demonstra¸cão da segunda inclusão do Teorema 1.2; os detalhes da teoria de subordina¸cão são discutidos no Apêndice B.

Necessitamos, ainda, da defini¸cão da fun¸cãomde Weyl-Titchmarsh, que apresentamos a seguir (vide o Apêndice B para mais detalhes). DadosE ∈C, comIE >0 (IE denota a parte imaginária deE), eω_∈Ω, é fácil mostrar que a equa¸cão de autovalores (1.3) possui solu¸cões únicas u±(n) que são l2(❩±). Com efeito, tome u±(n, ω) = hδn,(Hω −E)−1δ1i

para n próximo a _±∞ para demonstrar a existência; a unicidade se segue da constância do Wronskiano (vide Apêndice B). Além disso,

2i_I(u±(0)u±(±1)) =u±(0)u±(±1)−u±(±1)u±(0),

sendo o membro direito o Wronskiano das solu¸c˜oes de (1.3) para E e ¯E, e se usando o fato que u±→0 em ±∞, tem-se que

I(−u±(0)u±(±1)) =IE ∞

X

j=1

|u±(±j)|2

!

.

Portanto,u±(0, ω)6= 0, pois de outra forma,E seria um autovalor n˜ao real de um operador

auto-adjunto definido em l2₍_❩_{+). Assim, podemos definir}

m±(E, ω) =−

u±(±1, ω)

u±(0, ω)

, m±(·, ω) : C −→ C

E _7−→ m±(E, ω)

.

Claramente,

m±(E, Tnω) =−

u±(n±1, ω)

u±(n, ω)