Teoria Espectral
A.1 Teorema Espectral e Decomposi¸ c˜ ao espectral
Dados uma resolu¸c˜ao da identidade P e ξ ∈ H, seja
Hξ :=
P (f )ξ : f ∈ L2µξ(R) ;
Def ini¸c˜ao A.8. Hξ ´e chamado de subespa¸co c´ıclico gerado por ξ para P , e se Hξ = H,
ent˜ao ξ ´e chamado um vetor c´ıclico para P .
Teorema A.2. Se a resolu¸c˜ao da identidade E possui um vetor c´ıclico ξ ∈ H, ent˜ao existe um operador unit´ario Uξ : H → L2µξ(R) de modo que UξE(f )U
−1
ξ = Mf. Al´em
disso, Uξ(ξ) = 1 ´e um vetor c´ıclico para E in L2µξ(R).
Pode-se perguntar o que ocorre caso n˜ao exista um vetor c´ıclico para E.
Def ini¸c˜ao A.9. Uma fam´ılia ortogonal de vetores{ξj}j∈J ⊂ H, com Hξj ⊥ Hξk se j 6= k,
´e chamada de base espectral de E. σ(E) ´e dito simples se E possui um vetor c´ıclico. Com esta defini¸c˜ao enunciamos, sem demonstra¸c˜ao, a forma mais geral do teorema espectral. Uma vez que a soma direta de operadores unit´arios ´e um operador unit´ario, e a soma direta de operadores de multiplica¸c˜ao ´e tamb´em um operador de multiplica¸c˜ao, temos
Teorema A.3. Para cada resolu¸c˜ao da identidade E definida sobre um espa¸co de Hilbert H, existe uma base espectral cont´avel {ξj}Nj−1, com N ∈ ◆ ∪ {∞} e kξjk = 1/2j, tal que
H = ⊕N j=1Hξj, e o operador unit´ario U := N M j=1 Uξj :H −→ N M j=1 L2µ ξj(R),
satisfaz, para toda fun¸c˜ao Borel f : R→ C,
U E(f )U−1 = ˜M f,
com ˜Mf =⊕Nj=1Mf um operador de multiplica¸c˜ao agindo em ⊕Nj=1L2µξj(R).
Seja E uma resolu¸c˜ao da identidade sobre H. Dentre os operadores definidos por E(f ), um papel especial ´e desempenhado por
T := Z
R
t dE(t). (A.4)
Como dito anteriormente, apresentamos uma forma do teorema espectral (em termos da resolu¸c˜ao de identidade) que nos mostra que a aplica¸c˜ao definida por (A.4) ´e injetiva:
Teorema A.4(Teorema Espectral). A cada operador auto-adjunto T : dom T ⊑ H → H corresponde uma ´unica resolu¸c˜ao da identidade ET sobreH, de modo que T =R t dET(t).
Assim, cada operador auto-adjunto T ´e unitariamente equivalente ao operador de multiplica¸c˜aoMh, h(t) = t, agindo em L2µ(R× {1, 2, 3, . . . , N}), e dom T = ξ∈ H : Z t2dµTξ(t) <∞ .
Def ini¸c˜ao A.10. As medidas espectrais µT
ξ,η, definidas por ET, s˜ao chamadas de medidas
espectrais de T. Al´em disso, se diz que T possui espectro simples caso ET tenha espectro
simples.
O teorema espectral nos permite definir fun¸c˜oes mensur´aveis de T atrav´es de f (T ) = ET(f ). Nesta situa¸c˜ao, ET ´e chamada de resolu¸c˜ao da identidade de T.
N˜ao apresentaremos uma demonstra¸c˜ao do Teorema A.4 (que pode ser encontrada na se¸c˜ao 8.5 de [13]). Um resultado bastante ilustrativo que valida a nota¸c˜ao f (T ) = ET(f )
(cuja demonstra¸c˜ao ´e dada em [13]) ´e a seguinte
Proposi¸c˜ao A.1. Seja E a resolu¸c˜ao de identidade sobreH. Se f : R → C ´e o polinˆomio f (t) =Pnj=0ajtj ∈ C, n ∈ ◆, ent˜ao E(f) =
Pn
j=0ajTj, em que T := E(h), com h(t) = t.
Def ini¸c˜ao A.11. Sejam Λ ⊂ R conjuntos de Borel. Chamamos de proje¸c˜oes espectrais de T os operadores obtidos mediante ET
Λ = ET(χΛ) = χΛ(T ) (que s˜ao, efetivamente,
proje¸c˜oes ortogonais). ET
Λ Tamb´em ser´a denotado por EΛ(T ).
A proje¸c˜ao espectral pode ser empregada na determina¸c˜ao do espectro de T .
Def ini¸c˜ao A.12. Seja T um operador em H. Uma sequˆencia (ξn) ⊂ domT ´e uma
sequˆencia de Weyl para T em z∈ C se
kξnk = 1, ∀n, e lim
n→∞(T − z1)ξn = 0.
O teorema a seguir nos fornece um crit´erio para a obten¸c˜ao do espectro de um operador auto-adjunto (vide o cap´ıtulo 2 de [13] para uma demonstra¸c˜ao).
Teorema A.5 (Crit´erio de Weyl). Seja T um operador auto-adjunto. Ent˜ao λ ∈ σ(T ) se, e somente se, existe uma sequˆencia de Weyl para este operador em λ.
Proposi¸c˜ao A.2. λ ∈ σ(T ) se, e somente se, para todo ε > 0, ET
(λ−ε,λ+ε)6= 0 (a proje¸c˜ao
nula). Em outras palavras, o suporte da resolu¸c˜ao de identidade ET ´e σ(T ).
Demonstra¸c˜ao. Se ET
(t0−ε,t0+ε) 6= 0 para todo ε > 0, ent˜ao existe uma sequˆencia normali-
zada (ξj) com ξj ∈ E(Tt 0−1j,t0+1j)H, ∀j ∈ ◆. Portanto, ET (t0−1j,t0+1j)ξj = ξj, e como µξj(Λ) = ξj, E(Λ)T E(Tt0−1 j,t0+ 1 j)ξ j , se segue que µξj R\ (t0− 1j, t0+ 1j)
= 0. Assim, pelo Lema A.1,
k(T − t01)ξjk2 = Z R (t− t0)2dµξj(t) ≤ 1 j2kξjk 2 = 1 j2 j→∞ −→ 0,
isto ´e, (ξj) ´e uma sequˆencia de Weyl para T em t0. Logo, t0 ∈ σ(T ), pelo Teorema A.5.
A proposi¸c˜ao anterior sugere uma distin¸c˜ao entre dois tipos de espectro:
Def ini¸c˜ao A.13. Dizemos que λ ∈ σess(T ), o espectro essencial de T se, e somente
se, Ran ET
(λ−ε,λ+ε)(T ) possui dimens˜ao infinita para todo ε > 0. Se λ ∈ σ(T ), mas
Ran ET
(λ−ε,λ+ε) possui dimens˜ao finita para algum ε > 0, dizemos que λ ∈ σdisc(T ), o
chamado espectro discreto de T .
Teorema A.6. σess(T ) ´e um conjunto fechado.
Os seguintes resultados fornecem uma descri¸c˜ao alternativa de σess e σdisc (suas de-
monstra¸c˜oes podem ser encontradas em [13, 31]).
Teorema A.7. λ∈ σdisc se, e somente se, se cumprem as seguintes condi¸c˜oes:
(a) λ ´e um ponto isolado de σ(T ), isto ´e, para algum ε > 0, (λ− ε, λ + ε) ∩ σ(T ) = {λ}. (b) λ ´e um autovalor de multiplicidade finita, i.e., {ξ | T ξ = λξ} possui dimens˜ao
finita.
Teorema A.8. λ ∈ σess se, e somente se, uma ou mais das seguintes condi¸c˜oes se
(a) λ ∈ σac(T )∪ σs(T ).
(b) λ ´e um ponto de acumula¸c˜ao de σpp(T ).
(c) λ ´e um autovalor de multiplicidade infinita.
Em rela¸c˜ao ao Teorema A.5, λ∈ σess(T ) se, e somente se, a seq¨uˆencia de Weyl pode
ser escolhida ortogonal. `
A continua¸c˜ao, enunciamos um resultado muito importante do calculo funcional (vide [13] para uma demonstra¸c˜ao).
Teorema A.9. Seja T um operador auto-adjunto em H. Ent˜ao, existe uma ´unica aplica¸c˜ao linear B∞(R) → B(H), f 7→ f(T ), de modo que se z ∈ ρ(T ), ent˜ao 1
t−z 7→ Rz(T ) e hξ, Rz(T )ξi = Z σ(T ) 1 t− zdµ T ξ(t).
Demonstra¸c˜ao. A existˆencia e a unicidade se seguem do Teorema A.4, ao se tomar f = χΛ.
Pela Proposi¸c˜ao A.1, temos que ET(t−1) = T −✶, e se usando o Lema A.2, com f(t) = t−z
e g(t) = 1/(t− z), obt´em-se ✶ = ET(1) = ET (t− z) 1 t− z = ET(t− z)ET 1 t− z = (T − z✶)ET 1 t− z . Logo, ET 1 t−z
= Rz(T ). A identidade se segue de (A.3).
Agora, dados um espa¸co de Hilbert H e um operador auto-adjunto T , podemos de- comporH da seguinte maneira:
Def ini¸c˜ao A.14. O subespa¸co pontual (subespa¸co descont´ınuo) de T ´eHpp =Hpp(T ) ⊂ H
dado pelo fecho do subespa¸co linear gerado pelas autofun¸c˜oes de T . Seu complemento ortogonal, Hc =Hc(T ) := Hpp(T )⊥, ´e o subespa¸co cont´ınuo de T. Denotamos por PppT e
PT
c as respectivas proje¸c˜oes ortogonais.
Temos assim, o resultado seguinte:
i) Existe um conjunto enumer´avel Λ⊂ R tal que
Hpp(T ) ={ξ ∈ H | µξ(R\Λ) = 0} = {ξ ∈ H | µξ ´e uma medida puramente pontual}.
Λ pode ser escolhido como o conjunto de autovalores de T . A medida µξ ´e, de fato,
uma medida puramente pontual.
ii) Hc(T ) = {ξ ∈ H | µξ({t}) = 0, ∀t ∈ R}, isto ´e, a fun¸c˜ao t 7→ kχ(−∞](T )ξk ´e
cont´ınua.
ii) H = Hpp(T )⊕ Hc(T ).
Da defini¸c˜ao anterior, temos a seguinte decomposi¸c˜ao:
T = Tpp⊕ Tc, Tpp := T PppT, Tc := TcPcT.
Def ini¸c˜ao A.15. O espectro pontual de T ´e σpp(T ) := σ(Tpp), e o espectro cont´ınuo de
T ´e σc(T ) := σ(Tc).
Def ini¸c˜ao A.16. Seja T auto-adjunto.
i) O subespa¸co singular de T ´e Hs(T ) := {ξ ∈ H | µξ ⊥ ℓ}. Portanto, Hpp(T ) ⊂
Hs(T ).
ii) O subespa¸co absolutamente cont´ınuo de T ´eHac(T ) :={ξ ∈ H | µξ ≪ ℓ}. Portanto,
Hac(T )⊂ Hc(T ).
iii) O subespa¸co singular-cont´ınuo de T, denotado por Hsc(T ), ´e o conjunto dos ξ ∈ H
tais que µξ(R \ Ω) = 0 para algum conjunto de Borel Ω ⊂ R com ℓ(Ω) = 0,
e µξ(Λ) = 0 para todo conjunto cont´avel Λ ⊂ R. Portanto, µξ ´e uma medida
singular-cont´ınua. Assim, Hsc(T ) ⊂ Hc(T )∩ Hs(T ).
Lema A.3. Hs(T ),Hac(T ) eHsc(T ) s˜ao subespa¸cos vetoriais fechados de H. As proje¸c˜oes
ortogonais s˜ao denotadas por PT
s , PacT e PscT.
Teorema A.11. Seja T auto-adjunto. i) Hs(T ) =Hpp(T )⊕ Hsc(T ).
iii) H = Hpp(T )⊕ Hac(T )⊕ Hsc(T ).
Denotamos as respectivas proje¸c˜oes espectrais por PT
k e definimos as restri¸c˜oes auto-
adjuntas Tk:= T PkT com k ∈ {s, c, pp, ac, sc} (ou simplesmente por Pk quando n˜ao houver
confus˜ao).
Observa¸c˜ao A.2. O Teorema de decomposi¸c˜ao de Lebesgue garante a decomposi¸c˜ao (´unica) µc = µac+ µsc, com µac ≪ ℓ e µsc⊥ℓ, de modo que µ = µpp+ µac+ µsc, donde: µac
´e absolutamente continua com respeito `a medida de Lebesgue, e portanto, atribui peso nulo a conjuntos de medida de Lebesgue nula; µsc ´e a chamada componente singular-
cont´ınua, que atribui peso nulo a massas individuais e ´e suportada em algum conjunto de medida de Lebesgue nula.
Teorema A.12 (RAGE). Seja A um operador auto-adjunto. Se C ´e compacto, ent˜ao, para todo N ∈ ◆, 1 T Z T 0
eitAχNPc(A)e−iAdt