Teorema de Johnson e Dicotomia Exponencial

Neste cap´ıtulo, discutimos um dos resultados mais importantes na teoria de operadores de Schrödinger com potenciais dinamicamente definidos, resultado que relaciona a inver- tibilidade do operador resolvente (H_{− E✶), E ∈ C, com a existência de uma dicotomia} exponencial para a correspondente equa¸cão de autovalores (vide [20]). Comecemos esta- belecendo algumas nota¸cões e defini¸cões necessárias.

Def ini¸cão 4.1. Sejam Y um espa¸co métrico compacto e G um grupo topológico. Um G-fluxo (Y,G) é definido por uma aplica¸cão conjuntamente cont´ınua τ : Y _{× G → Y} satisfazendo τ (y, 0) = y, τ (τ (y, m), n) = τ (y, m + n), para todos y ∈ Y , m, n ∈ G. No que se segue, sempre assumiremos G =❩, além de adotarmos a nota¸cão τn(y) = τ (y, n).

Na linguagem da Defini¸c˜ao 4.1, definimos a fam´ılia de operadores de Schr¨odinger, {Hy}y∈Y, como em (1.4), com Vy(n) = f (τn(y)) para cada y∈ Y , f : Y → R cont´ınua. A

correspondente equa¸cão de autovalores é dada como em (1.3), enquanto que o sistema de equa¸cões de primeira ordem associado é definido como em (1.7):

u(n + 1) =   E− Vy(n) −1 1 0  u(n), u(n) =   ψ(n) ψ(n_{− 1)}  . (4.1)

Defini¸c˜ao 1.3, com SE,y(n) =   E− Vy(n) −1 1 0  ; (4.2)

Usaremos a nota¸cão ΦE(y, n) para a matriz de transferência e além disso denotaremos

SE,y(1) por SE(y).

Desse modo, ΦE : Y × ❩ → SL(2, C) ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua tal que ΦE(y, n + m) =

ΦE(τn(y), m) ΦE(y, n).

Observa¸c˜oes 4.1.

i) A teoria apresentada aqui é mais geral do que tratamos anteriormente, já que os operadores definidos anteriormente não são necessariamente ergódicos.

ii) A hipótese de continuidade sobre f é feita por conveniência e pode ser enfraquecida a uma fun¸cão mensurável e limitada sobre um espa¸co de probabilidade.(vide [21]). iii) Seja E ∈ C fixo. O sistema (4.1) induz um fluxo sobre Y × C2_{, no seguinte sentido:}

dado o cociclo (τ, SE) : Y ×C2 → Y ×C2, que leva (y, u)7→ (τ(y), SE(y)u) como em

(1.8), definimos π : Y × C2_{× ❩ → Y × C}2_{, um fluxo skew-product, com (y, u, n)} _→

π(y, u, n) = (τn(y), ΦE(y, n)u). Este fluxo ´e claramente linear sobre as fibras do

fibrado vetorial trivial Y × C2 _{(o produto por matrizes ´e linear). Se E} _{∈ R, a}

fórmula anterior também define um fluxo sobre Y _{× R}2_{. Lembre-se que R}2 _{é visto}

como mergulhado em C2 _{na forma natural: (1, 0), (0, 1)}_{∈ R}2 _{s˜ao identificados com}

(1, 0), (0, 1)_{∈ C}2_.

Def ini¸cão 4.2. Diz-se que a equa¸cão (4.1) admite dicotomia exponencial se existir uma decomposi¸cão de Y _{× C}2 _{= V}+ _{⊕ V}−_{, em que V}+ _{e V}− _{são sub-fibrados vetoriais de}

Y _{× C}2 _{com as seguintes propriedades:}

(i) Se (y, u)_{∈ V}±_{, ent˜ao (τ}

n(y), ΦE(y, n)u)∈ V± para todo n∈ ❩ (i.e., os fibrados V±

s˜ao invariantes);

(ii) Existem constantes K e β, independentes de (y, u), tais que:

(y, u)∈ V+ _{⇒ kΦ}

E(y, n)uk ≤ Ke−βn (n ∈ ❩),

(y, u)∈ V− _{⇒ kΦ}

Claramente, a existˆencia ou n˜ao de dicotomia exponencial depende de E.

Def ini¸cão 4.3. Dizemos que o fluxo (Y,❩) é recorrente por cadeias se puder ser mergulhado em um fluxo maior (Y′_,_{❩), de modo que Y é o conjunto ω−limite de um ponto}

y′ _{∈ Y}′_{. Isto significa que, para cada y} _{∈ Y , existe uma sequˆencia t}

n → ∞ tal que

y = limn→∞τtn(y

′_{); mais ainda, Y ´e exatamente o conjunto de pontos obtidos desta ma-}

neira. Definimos o conjunto α-limite analogamente, com a diferen¸ca que as sequˆencias tn→ −∞.

O teorema seguinte é devido a Sacker e Sell (cuja demonstra¸cão se encontra em [33], Teoremas 1, 2 e 5), e estabelece uma conexão entre a existência de solu¸cões limitadas não-triviais a existência de dicotomia exponencial.

Teorema 4.1. Suponha que (Y,❩) seja um fluxo recorrente por cadeias. Então, a equa¸cão (4.1) admitirá dicotomia exponencial se, e somente se, não admitir uma solu¸cão não- trivial limitada; isto é, se e somente se, sup_n_kΦE(y, n)u0k < ∞ implica u0 = 0 (y ∈

Y, n_{∈ ❩).}

Observa¸cão 4.1. Suponha que a equa¸cão (4.1) admita dicotomia exponencial. Então, as fibras V± _{terão dimensão 1 (já que det Φ}

E(y, n) = 1).

Def ini¸cão 4.4. O conjunto M ⊂ Y será chamado de invariante se a órbita do fluxo (Y,❩) por y permanecer em M, isto é, τ(y, n) ∈ M para todo y ∈ M. O conjunto M ⊂ Y se chamará minimal se for invariante e para cada y∈ M a órbita por y, {τn(y)| n ∈ ❩},

for densa em M.

Corolário 4.1 (Conseqüência do Lema 12 e do Teorema 2 em [34]). Seja (Y,❩) um fluxo em um espa¸co métrico compacto. Se a equa¸cão (4.1) admitir dicotomia exponencial sobre cada conjunto minimal M ⊂ Y (em cada y ∈ M), então (4.1) admitirá dicotomia exponencial para cada y_{∈ Y .}

Teorema 4.2. Seja (Y,❩) um fluxo em um espa¸co métrico compacto. Suponhamos que a equa¸cão (4.1) não admita uma solu¸cão não-trivial limitada. Então, a equa¸cão (4.1) admitirá dicotomia exponencial.

Demonstra¸cão. Seja M _{⊂ Y um conjunto minimal. É poss´ıvel mostrar que um conjunto} minimal é recorrente por cadeias. Com efeito, consideremos M′ _{= M . Como M} _{⊂ M}′_,

é claro que M está mergulhada em M (já que a inclusão i : M _{→ i(M) ⊂ M}′ _{é um}

homeomorfismo sobre i(M )). Fixemos um y′ _{∈ M}′ _{= M ; ent˜ao, como y}′ _{´e um ponto}

de aderência, existe uma seqüência de pontos yn ∈ M tal que yn → y′. Agora, como a

órbita de cada yn, {τk(yn)| k ∈ ❩}, é densa em M e M é invariante, podemos obter uma

seq¨uˆencia de inteiros tk ∈ ❩, com tk → ∞, de modo que y = limn→∞τtk(y

′_{) para todo}

y∈ M, o que mostra a recorrˆencia por cadeias do conjunto minimal M.

Segue-se do Teorema 4.1 que a equa¸cão (4.1) admite dicotomia exponencial para y _∈ M . Pela Observa¸cão 4.1, os fibrados V± _{têm sempre dimensão constante 1. Por fim, pelo}

Corol´ario 4.1 e a Observa¸c˜ao 4.1, obtemos que (4.1) admite dicotomia exponencial para cada y∈ Y .

Def ini¸c˜ao 4.5. Seja E _{∈ C fixo. O fluxo projetivo (Y × P}1_(C),_{❩) correspondente a Φ}

é definido como se segue: P1(C) é o 1-espa¸co projetivo complexo, ou o espa¸co de linhas complexas contendo (0, 0) _{∈ C}2_{, e o fluxo é dado por (y, l, n)} _{→ (τ}

n(y), ΦE(y, n)l), em

que l ∈ P1_{(C). Se E} _{∈ R, obt´em-se tamb´em um fluxo sobre Y × P}1_{(R). Observe que o}

c´ırculo P1_{(R) ´e mergulhado na 2 -esfera P}1_{(C) como um c´ırculo de raio m´aximo.}

Seja u = u1

e definamos m = u2/u1. Obtemos, a partir de (4.1), a seguinte equa¸c˜ao

para m:

m(n + 1) + 1

m(n) = E− V (τn(y)). (4.3)

Escolhe-se tratar m como uma coordenada sobre P1_{(C). Deste modo, m identifica}

P1(C) com os elementos da esfera de Riemann S2 _{da seguinte forma: se l} _{∈ P}1_{(C) e} z1

for um vetor não nulo na classe de equivalência l (i.e. um “vetor-diretor” de l), então m(l) = z2/z1 ∈ S2. Em particular, 0₁

∈ l implica em m(l) = ∞. Na Defini¸c˜ao 4.5, descreve-se como o cociclo ΦE(y, n) induz um fluxo sobre Y × P1(C); a equa¸c˜ao (4.3)

simplesmente descreve este fluxo na coordenada m.

A vantagem de se introduzir P1_{(C) ´e que a falta de sentido geom´etrico do n´}_umero

m se faz clara: a saber, ´e a linha complexa representada por m que possui significado geom´etrico.

Agora, introduzimos a fun¸c˜ao de Weyl e damos sua rela¸c˜ao com a dicotomia exponencial.

Teorema 4.3. Suponha que E _{∈ C, com IE 6= 0. Então, a equa¸cão (4.1) admitirá} dicotomia exponencial.

Demonstra¸cão. Fixemos E = a + bi _{∈ C, com b 6= 0. Demonstremos que a equa¸cão} (4.1) admite dicotomia exponencial. Pelo Teorema 4.2 é suficiente mostrar que (4.1) não admite uma solu¸cão limitada não-nula. Deste modo, suponhamos que u(n)_{6= 0 seja uma} solu¸cão limitada de (4.1).

Assim, da identidade de Green (vide a equa¸c˜ao (B.3)), para φ = ψ = u, temos que 2ibΣn_k=ju(k)u(k) = 2ibΣn_k=jku(k)k2 ₌ _{−u(n + 1)u(n) + u(n + 1)u(n) − u(j − 1)u(j) +}

u(j_{− 1)u(j), que converge quando j → −∞ e n → ∞. Portanto, u ∈ l}2_{(❩, C}2_{), e como}

u(k) → 0 quando k → ±∞, segue-se que Σ∞

k=−∞ku(k)k2 = 0, uma contradi¸c˜ao, j´a que

u(k)_{≡ 0.} `

A continua¸cão enunciamos, sem apresentar uma demonstra¸cão, um teorema que relaciona a fun¸cão m de Weyl à dicotomia exponencial (vide [20]).

Teorema 4.4. Suponha que E _{∈ C, com IE 6= 0 . Escreva Y ×C}2 _{= V}+_(E)_⊕V−_{(E), em}

que dimV±_{(E) = 1. Seja m}

±(y, E) a m-coordenada da linha complexa V±(E)∩({y}×C2).

Então, Sign _IE·Im±(y, E) =±1; E → m±(y, E) são as fun¸cões de Weyl ou as m-fun¸cões

de Hy.

Observa¸c˜oes 4.2.

1) Fixe y _{∈ Y e E ∈ C, com IE 6= 0. Seja u =} u1

tal que u2/u1 = m+(y, E).

Seja u(n) uma solu¸c˜ao de (4.1) com u(0) = u. Pela Defini¸c˜ao 4.2, u(n) → 0 exponencialmente quando n _{→ ∞, de modo que u(n) ∈ l}2₍_❩+

0). Mais ainda, u(t) ´e

(salvo uma constante múltipla) a única solu¸cão de (4.1) em l2_(❩+

0). Isto mostra que

H = Hy se encontra no caso ponto-limite em +∞, e que m+(y, E) coincide com a

fun¸cão m usual para H (o que está de acordo com a defini¸cão de fun¸cão m presente no Apêndice B). Uma discussão análoga se aplica a m−(y, E).

2) No Teorema 4.3, ´e claro que E /∈ σ(Hy), pois E ∈ C com IE 6= 0.

Em seguida, enunciamos alguns resultados sobre propriedades assintóticas para a fun¸cão m. Omitiremos as demonstra¸cões, que podem ser encontradas em [8].

Proposi¸cão 4.1. As m±(y, E)-fun¸cões são meromorfas em ∞, limE→∞m+(y, E) = 0 e

limE→∞|m−(y, E)− (_E1)| = 0. Se Σ for uma vizinhan¸ca suficientemente pequena de ∞,

então a convergência será uniforme em Y _{× Σ.}

Agora, fixemos y _{∈ Y e consideremos os operados auto-adjuntos H}± _{= H}±

y definidos

sobre um subespa¸co denso de l2_(❩±

0) pelas condi¸c˜oes de contorno u(−1) = 0 e u(0) = 0,

respectivamente. Definamos ainda fun¸c˜oes cont´ınuas pela direita e mon´otonas crescentes ρ±_{(E) = ρ}±_{(y, E) como se segue:}

Im+(y,l) Il = Z +∞ −∞ dρ+_(E) |E − l|2. 1 Im−(y,l )· Il = Z +∞ −∞ dρ−_(E) |E − l|2.

As fun¸cões ρ± _{(fun¸cões espectrais; vide o Cap´ıtulo 9 de [8] para detalhes) são ´}_{unicas se}

exigirmos que ρ±_{(0) = 0.}

Teorema 4.5. Existe um isomorfismo unit´ario U : l2_(❩±

0)→ l2(❩, dρ±(E)) tal que

U H±_U−1 _{= E}_✶.

Em particular, ρ±_{(E) cresce exatamente sobre o espectro de H}±_.

Pode-se encontrar uma demonstra¸c˜ao do Teorema 4.5 em [8] (capitulo 9), obtida me- diante argumentos conhecidos se usando identidades de Green.

Nosso interesse, no entanto, se encontra em operadores H = Hy definidos em l2(❩).

Aqui, a situa¸cão é um pouco mais delicada, já que como o espectro tem multiplicidade 2, as fun¸cões espectrais são matrizes 2_{× 2 (vide [8]).}

Defina M(y, l) =      1 m₋−m+ 1 2 m₋+m+ m₋−m+ 1 2 m₋+m+ m₋_−m+ m₋m+ m₋_−m+      (y, l), e escreva IM(y,l) Il = Z +∞ −∞ dP (y, E) |E − l|3 ,

em que P (E) = P (y, E) é a resolu¸cão da identidade, uma fun¸cão espectral de R a matrizes simétricas 2× 2 , tal que P (E2)− P (E1)≥ 0 se E2 ≥ E1 e P (0) = 0.

Teorema 4.6. Existe um isomorfismo unit´ario U : l2₍_{❩) → l}2_{(❩, C}2_{, dP (E)) tal que}

U HU−1 = E✶.

Em particular, TrP (E) cresce exatamente sobre o espectro de H.

Agora sim estamos em condi¸c˜oes de demonstrar o teorema de Johnson [20], que ´e o resultado central deste cap´ıtulo.

Para tanto, consideramos o operador H = Hy definido em l2(❩). Mostramos que se a

órbita{τn(˜y) : n∈ ❩} é densa em Y, então o espectro de Hy é exatamente o conjunto em

que a equa¸c˜ao (4.1) tem dicotomia exponencial.

Teorema 4.7 (Johnson). Suponhamos que ˜y ∈ Y tenha ´orbita densa. Ent˜ao, E0 ∈ C

pertencer´a ao conjunto resolvente de H = Hy˜ se, e somente se a equa¸c˜ao (4.1) possuir

dicotomia exponencial.

Demonstra¸cão. (_{⇐) Em primeiro lugar, mostraremos que se a equa¸cão (4.1) possuir di-} cotomia exponencial para um E0 ∈ C arbitrário, então E0 ∈ ρ(H). Com efeito, como

a equa¸c˜ao (4.1) possui dicotomia exponencial, existem solu¸c˜oes u±(n, E0) ∈ l2(❩±0, C2)

de modo que u+(n, E0) e u−(n, E0) s˜ao limitadas. Assim, pode-se definir uma fun¸c˜ao

de Green (como em (B.16)) para H, de modo que E0 ∈ ρ(H). Observe que h(H± −

E0)−1e0, e0i = m±(E0), no caso em que H± ´e ponto-limite (vide o Apˆendice B).

(_{⇒) Agora, será demonstrado que se E}0 ∈ ρ(Hy˜), então a equa¸cão (4.1) possuirá

dicotomia exponencial (independentemente de y ∈ Y ). Com efeito, pelo Teorema 4.2, é suficiente mostrar que a equa¸cão (4.1) não possui uma solu¸cão limitada não-trivial. Suponhamos, por contradi¸cão, que exista y ∈ Y tal que a equa¸cão (4.1) tenha uma solu¸cão limitada u_{6= 0. Então, pelo Teorema A.5 (considerando-se a sequência constante} um = u/kuk, de modo que kumk = 1 e limm→∞(H − E0)um = limk→∞(H − E0)u = 0;

vide [13]), obt´em-se que E0 ∈ σ(Hy). Pela densidade da ´orbita {τn(˜y) : n∈ ❩}, segue-se

a existência de uma sequência kn tal que τ (˜y, kn)→ y. Então, m±(τ (˜y, kn), l)→ m±(y, l),

uniformemente sobre subconjuntos compactos de_{Il 6= 0 (já que uma fun¸cão anal´ıtica não} pode ser ilimitada em compactos). Agora, usando-se o teorema de Portmanteau (vide

[4]), temos que a sequˆencia de medidas den(E) = Tr dP (τ (˜y, kn), E) converge fracamente

a de(E) = Tr dP (y, E) (vide o Teorema 4.6). Isto ´e, se f : R→ R for cont´ınua de suporte compacto, ent˜ao R_−∞+∞f (E) den(E)→

R+∞

−∞ f (E) de(E). Contudo, existe um intervalo I

contendo E0 tal que I ⊂ ρ(Hy˜). Como o conjunto resolvente ´e invariante por transla¸c˜oes

de ˜y (isto porque HTi_y_˜ = U_iH_y_˜U_i−1 (vide a equa¸c˜ao (2.2)), tem-se que de_n = 0 sobre I.

Segue-se da´ı que de = 0 sobre I, e portanto, pelo Teorema 4.6, que E0 ∈ ρ(Hy). Isto

é uma contradi¸cão, já que E0 ∈ σ(Hy), e portanto a equa¸cão (4.1) não possui solu¸cões

limitadas que n˜ao sejam a trivial.

Demonstra¸cão do Teorema 1.5. Basta considerar a situa¸cão em que Y = Ω(V ), V uma sequência almost-periodic, e definir τ : Ω(V )_{→ Ω(V ) como a transla¸cão à direita (a qual} é minimal). Assim, para y ∈ Ω(V ) (y é um transladado de V e portanto uma sequência) temos que o correspondente potencial para o operador Hy é Vy(n) = f (τn(y)) = y(n)

(novamente f : Ω(V )→ R e a avalia¸cão no origem, f(y) = y(0)). Além disso, observemos que os conceitos de hiperbolicidade uniforme e dicotomia exponencial coincidem, já que os sub-fibrados V± _{coincidem com as decomposi¸cões E}

s(y) e Eu(y) (que s˜ao, obviamente,

Ap ˆendice

A

No documento Propriedades espectrais de operadores de Schrödinger discretos com petenciais ergódicos e Almost-Periodic (páginas 68-76)