Um modelo de sólido esférico para o método de elementos finitos

UM M O D E L O DE S Ó L I D O E S F É R I C O PARA O M É T O D O DE E L E M E N T O S FINI TO S

UM M O D E L O DE S Õ L I D O E S F É R I C O PARA O M É T O D O DE E L E M E N T O S FIN IT OS

D I S S E R T A Ç Ã O S U B M E T I D A A U N I V E R S I D A D E F E D E R A L DE S A N TA C A T A R I N A P AR A A O B T E N Ç Ã O DO GRAU DE M E S T R E EM E N G E N H A R I A

J OA Ò P E D R O Q U I R I N O

UM M O D E L O DE S O L I D O E S F É R I C O PA RA O M É T O D O DE E L E M E N T O S F I N IT OS

J OÂ O P EDRO Q U I R I N O

E S T A D I S S E R T A Ç Ã O FOI J U L G A D A PARA A O B T E N Ç Ã O DO T l T U L O DE M E S T RE EM E N G E N H A R I A , E S P E C I A L I D A D E E N G E N H A R I A M E C Â N I C A , Â RE A DE C ON C E N

T R A Ç A O P R O J E T O MECÂNICO, E A P R O V A D A EM SUA F O RM A FINAL PELO C U RS O DE P Õ S - G R A D U A Ç Â O Prof. Clovis S p e r b de B a r c e l l o s , Ph.D O r i e n t a d o r A P R E S E N T A D A P E R A N T E A B A NC A E X A M I N A D O R A C O M P O S T A DOS PROFESSORES: nr* o^i cÇ/fóL, Prof. Clo vi s S p e r b de B a r c e l l o s , Ph.D. Pro íchat A l v es , v.Sc. f r o f . E d i s on da Rosa, M.Sc,

V

A G R A D E C I M E N T O S

Ao P r o f e s s o r Cl o v i s S pe rb de B a r c e l l o s , pela orieji tação.

A o : P r o f e s s o r A rn o Blass, na figura de C o o r d e n a d o r do Curso, pelo apoio.

Aos c o l e g a s Antoriio N o g u e i r a , A n t o n i o Bento, Anto^ nio T u r r a e M a r c o s N a b u c o pelo i n c e nt iv o, apoio e c o m p a n h e i r i ^ mo.

A t od os os e x - p r o f e s s o r e s e em espec ia l ao P r o f e £ sor D o m i n g o s B o e c h a t A lv es p elos e n s i n a m e n t o s .

A CNEN e U N E S P / F E I S pelo apoio fi n a n c e i r o .

à UFSC, por t o r n a r possível a r e a l i z a ç ã o deste t r £ balho.

E p r i n c i p a l m e n t e a DEUS, o c r i a d o r e s u s t e n t a d o r de t o da s as coisas.

Í n d i c e P á g i n a S I M B O L O G I A ... ... ... . . . ... . . . . ... tx R E S U M O ... ... ... ... ... xii A B S T R A C T ... ... ... x iii C A P I T U L O 1 - I N T R O D U Ç Ã O 1.1. I n t r o d u ç ã o ... ... ... . 01 1.2. R e v i s ã o B i b l i o g r á f i c a ... 02 1.3. D e f i n i ç ã o do P r o b l e m a ... ... 05 C A P I T U L O 2 - F O R M U L A Ç Ã O DO M O D E L O 2.1. I n t r o d u ç ã o ... ... ... . 06 2.2. D e f i n i ç ã o do M o d e l o ... 06 2.3. D e f i n i ç ã o das F u n ç õ e s de I n t e r p o l a ç ã o ... 07 2.4. O b t e n ç ã o das C o o r d e n a d a s E s f e r i c a s e D e s l o c a m e n t o s de um Ponto G e n é r i c o do E l e m e n t o ... 09 2.5. R e l a ç õ e s D e f o r m a ç õ e s - D e s l o c a m e n t o s e a M a t r i z B de t r a n s f o r m a ç ã o ... ... 10 2.6. F o r m u l a ç ã o V a r i a c i o n a l do M o d e l o ... 15 C A P I T U L O 3 - I N T E G R A Ç Ã O N U M É R I C A 3.1. I n t r o d u ç ã o ... 18 3.2. D e t a l h a m e n t o de cada p a ss o in di ca do no f l u x o g r a m a da F i gu r a 3 . 1 ... 20 3.3. V e t o r e q u i v a l e n t e de carga nos pontos nodais (eq.

3.3.1 ^ C a r r e g a m e n t o m e c â n i c o d i s t r i b u í d o e c o n c e n t r a d o 29 3.3.2* C a r r e g a m e n t o t é r m i c o ... 30 3.4. E s t i m a t i v a do n ú m e r o de somas e m u l t i p l i c a ç õ e s pa^ ra o c a l c u l o da m a t r i z de r i g i d e z do e l e m e n t o p r £ p o s t o ... — ... 31 C A P Í T U L O 4 - E X E M P L O S N U M É R I C O S 4.1. I n t r o d u ç ã o ... ... 34 \ 4.2. P r i m e i r o e xe m pl o: s o l u ç ã o do p r o b l e m a de uma e s ­ fera oca s u b m e t i d a a um c a r r e g a m e n t o m e c â n i c o d i £ t r i b u í d o d e v i d o a p r e s s ã o u n i f o r m e ... 34 4.2.1. U t i l i z a n d o a m o d e l a g e m -padrão d e • t este ... 34 4 .2.2. U t i l i z a n d o u m a f a t i a da e s f e r a no 19 q u a d r a n t e 42 4.3. S e g u n d o e xe mp l o : s o l u ç ã o do p r o b l e m a de uma e s f £ ra oca s u b m e t i d a a um c a r r e g a m e n t o t é r m i c o d e v i ­ do ao f l u xo e s t a c i o n á r i o de calor ... 52 4.3.1. S o l u ç ã o do 29 e x e m p l o p a r a o caso de c a r r e g a ­ m e n t o t é r m i c o c o n s t a n t e .. í ~ ... 54 4.3.2. S o l u ç ã o do 2 9 /e x e m p l o p a r a o caso de c a r r e g a ­ m e n t o t é r m i c o com T . = 4 0°C e T ■= Z 0°C ... . 55 ^ e 4.3.3. S o l u ç ã o do 2 9 e x e m p l o p a r a o caso de c a r r e g a ­ m e n t o t é r m i c o com T .' - 100° C e T - 0°C ... 58 % e 4.4. T e r c e i r o ex em pl o : s o l u ç ã o do p r o b l e m a de uma c a ­ lota h e m i s f é r i c a e n g a s t a d a na base, com pr es s ão

interna, com r e l a ç ã o b/a igual a 1,1; 1,2; 1,3 . 61

R E F E R Ê N C I A S B I B L I O G R Á F I C A S ... 69 A P Ê N D I C E S A. V E T O R PESO - ÍWP} ... ... 73 B. A L G U N S R E S U L T A D O S PA RA T E N S Ü E S E M O D E L A G E N S A L T E R N A * T I V A S ... I... . ... ... 80 C. P R O G R A M A - T E S T E , S U B R O T I N A S E C A R T Õ E S DADOS ... 90 D. P R O C E S S A M E N T O DA C A R G A D I S T R I B U Í D A ... ... 100

i X S I M B 0 L 0 G I A - C o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s R, , 0 - C o o r d e n a d a s e s f é r i c a s nas d i r e ç õ e s radial, m e n dional e c i r c u n f e r e n c i a l , r e s p e c t i v a m e n t e . r , s , t - C o o r d e n a d a s i n t r í n s e c a s R ( i ) » i M i ) * 0 ( i )- C o o r d e n a d a s e s f é r i c a s do ponto nodal i R M , F H I , T E T - C o o r d e n a d a s e s f é r i c a s do ponto m é d i o do e l e m e n t o R P I , F P I , T P I - C o o r d e n a d a s e s f é r i c a s de um ponto de i n t e g r a ç ã o do e l e m e n t o U ( i ),V (i ),W ( i )- D e s l o c a m e n t o s do ponto nodal i u , v , w - D e s l o c a m e n t o s em um ponto q u a l q u e r do e l e m e n t o a - Raio int er no b - Raio e x t e r n o P - P r e s s ã o u n i f o r m e , in te rn a (P.), ou e x t e r n a (Pg ) T - t e m p e r a t u r a em um p onto de raio R T g ' - t e m p e r a t u r a na s u p e r f í c i e e x t e r n a da e s t r u t u r a T. - t e m p e r a t u r a na s u p e r f í c i e in te r na da e s t r u t u r a TP - T e m p e r a t u r a local i n s t a n t â n e a

T r e f.i - T e m p e r a t u r a de r e f e r ê n c i a para o c á l c u l o das p r o p r i e d a d e s e l á s t i c a s do ma t e r i a l

T r e ^. jj - T e m p e r a t u r a de r e f e r ê n c i a para o c á l c u l o da de

f o r m a ç ã o t é r m i c a

E - M o d u l o de e l a s t i c i d a d e do m at e ri al

E s > E0> E z " M °dulo c*e e l a s t i c i d a d e do m at e r i a l (para casca

s e m i - e s p e s s a , TCSE)

a - C o e f i c i e n t e s de e x p a n s ã o t é r m i c a (TCSE) ts t0 = (90 - \p)° â n g u l o m e d i d o na d i r e ç ã o m e r i d i o n a l (TCSE) v - C o e f i c i e n t e de P o i s s o n FI - F u n ç ã o de I n t e r p o l a ç ã o

H( 1) ,H(2) ,H(3) - D e r i v a d a s das f u n ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o nas dire çoes, R,\p,0 c a l c u l a d a s num ponto nodal

£ n , e , , e A - D e f o r m a ç õ e s nas d i r e ç õ e s R,^,0 R ’ ip’0

Y r ^ ,y ^0,y q r - D e f o r m a ç õ e s a n g u l a r e s em c o o r d e n a d a s e s f é r i c a s

A.,B.,C, - Pesos de i n t e g r a ç ã o de G a u s s - L e g e n d r e

1 J K

W - P r o d u t o dos pesos de i n t e g r a ç ã o de Gauss-Legeji dre num p o nt o de i n t e g r a ç ã o

XP - P r o d u t o de W, raio do p onto de i n t e g r a ç ã o (RPI), d e t e r m i n a n t e J a c o b i a n o (DET) e seno do âng ul o ip num p onto de i n t e g r a ç ã o

X.,Y.,Z. - A b c i s s a s dos pesos de i n t e g r a ç ã o de G a u s s - L £

1 J • K

g e n d r e

ir ' - E n e r g i a p o t e n c i a l total •6ir - P r i m e i r a v a r i a ç ã o de tt

a R , a ^ , a Q - C o m p o n e n t e s n o r m a i s de tens ão em c o o r d e n a d a s e£ f é r i c a s

{W P } - V e t o r Peso

{U} - V e t o r dos d e s l o c a m e n t o s nodais

ÍF} - V e t o r e q u i v a l e n t e de carga nos p on t o s nodais {P} - V e t o r força s de s u p e r f í c i e

{F^} - V e t o r forç as t é r m i c a s {Ce^} - V e t o r t e n s ã o t é r m i c a

[B] [C] [ü] [BTD] [J] [K] i Rj FkT I IJ J K K - M a t r i z de t r a n s f o r m a ç ã o d e f o r m a ç ã o - d e s l o c a m e n t o - M a t r i z t e n s ã o - d e f o r m a ç ã o para ma te r ia l i sotro- pico e l á s t i c o lin e ar - M a t r i z i n t e r m e d i á r i a , p r o d ut o de [C] por {W P } num p o nt o de i n t e g r a ç ã o - M a t r i z i n t e r m e d i ã r i a , p r o d u t o de [B]^ por [D] - M a t r i z J a c o b i a n a - D e t e r m i n a n t e J a c o b i a n o , DET - M a t r i z de r i g i d e z do e l e m e n t o , global - s i g n i f i c a i e l e m e n t o s na d i r e ç ã o radial, j e l £ m e n t o s na d i r e ç ã o m e r i d i o n a l e k e l e m e n t o s na d i r e ç ã o c i r c u n f e r e n c i a l - s i g n i f i c a o n ú m e r o c o d i f i c a d o de p on t o s de ijn t e g r a ç ã o (NPI) em cada d i r e ç ã o , sendo:

II - n ú me r o de pontos na d i r e ç ã o R; JJ - númer o de pontos na d i r e ç ã o ip; KK - n ú m er o de pont o s na d i r e ç ã o 0.

• R E S U M O

N e s t e t r a b a l h o é d e s e n v o l v i d a uma f o r m u l a ç ã o anji l í ti c a de um e l e m e n t o fini t o t r i - d i m e n s i o n a l , de g e o m e t r i a e s f £ rica de 20 nos. Seu d e s e n v o l v i m e n t o se base i a no p r i n c i p i o da e n e r g i a p o t e n c i a l míni ma .

N e s t a f o r m u l a ç ã o é r e a l i z a d a uma e x p l o r a ç ã o c o n ­ v e n i e n t e das p r o p r i e d a d e s e s p e c i a i s de s i m e t r i a e x i s t e n t e s em p eç a s ou p a r t e s de c o m p o n e n t e s e s t r u t u r a i s de fo r ma to e s f é r i c o e /o u c i l í n d r i c o a fim de que a m a t r i z de r i g id e z e o v e to r equ_^ v a l e n t e de f o r ça s noda is s e ja m c a l c u l a d o s de m a n e i r a p r á t i c a e e c o n ô m i c a .

Um p r o g r a m a digital c o d i f i c a d o em F O R T R A N IV é i n s e r i d o no S I M E L F - S i s t e m a M o d u l a r de E l e m e n t o s F initos e v£ rios e x e m p l o s t í p i c o s são r e s o l v i d o s e c o m p a r a d o s com so l uç õ e s e x i s t e n t e s na l i t e r a t u r a para c a r r e g a m e n t o s m e c â n i c o d i s t r i b u í ­ do, c o n c e n t r a d o ou térmi co .

xi t i

A B S T R A C T

Th is w or k p r e s e n t s an a n a ly ti ca l f o r m u l a t i o n to a s p h e ri ca l t h r e e - d i m e n s i o n a l f i n i t e e l e m e n t with 20 nodal

po in ts . The f o r m u l a t i o n is b a s e d on the m i n i m u m potential e n e r g y p r i n c i p l e .

Some special sy mm e t r i c a l c h a r a c t e r i s t i c s of s phe ri ca l and c y l i n d r i c a l c o m p o n e n t s are c o n s i d e r e d for the sake of i m p r o v i n g c o m p u t a t i o n of the s t i f f n e s s m at r i x and e o u i v a l e n t nodal for ce s.

The model is i m D l e m e n t e d through some r o ut i n e s w r i t t e n in F O R T R A N IV l a n g u a g e and i n t r o d u c e d in SIMEL F S y s t e m ( Si st em a M o d u l a r de E l e m e n t o s F i n i t o s ) . Several e x a m p l e s are s o l v e d and the r e s u l t s are c o m p a r e d with the e x i s t i n g so lu t i o n s f or c o n c e n t r a d e d , d i s t r i b u t e d and thermal loads.

C A P r T U L O 1

I N T R O D U Ç Ã O

1.1. I n t r o d u ç ã o

Na a p l i c a ç ã o d o ' M é t o d o „de E l e m e n t o s F i nitos, os e l e m e n t o s s ó l i d o s t r i - d i m e n s i o n a i s são u t i l i z a d o s na a n a li s e e£ t ru t u r a l dos c o m p o n e n t e s de e s t r u t u r a de gra n de espe ss u ra . Des^ ses e l e m e n t o s , os mais s i m pl es são o t è t r a e d r o que é d ef i n i d o por 4 p o n t o s a r b i t r á r i o s , no e s p a ç o e o e l e m e n t o do tipo parale^ l é p T p e d o com 8 nós. Um d o m í n i o de forma q u a l q u e r pode ser r^

p r e s e n t a d o , com um certo grau de a p r o x i m a ç ã o , por uma m o n t a g e m d e s s e s e l e m e n t o s . A d e s v a n t a g e m está na g r an d e q u a n t i d a d e r£ q u e r i d a dos m e s m o s para r e p r e s e n t a r um do m í n i o complexo.

Os e l e m e n t o s i s o p a r a m é t r i cos de lados ou faces cu rv a s r e p r o d u z e m , com m a i o r grau de a p r o x i m a ç ã o , a g e o m e t r i a de e s t r u t u r a s de forma a r b i t r á r i a u t i l i z a n d o um m e n o r núme r o de e l e m e n t o s , sendo, p o r t a n t o , mais adeq ua do s .

Uma das m a n e i r a s de r e d u z i r o custo de uma anãl_i_ se e s t r u t u r a l é a u t i l i z a ç ã o de uma b i b l i o t e c a de e l e m e n t o s que p o s s a suprir, para d i v e r s a s g e o m e t r i a s , e l e m e n t o s e s p e c í f i c o s v i s a n d o os casos p r e d o m i n a n t e s . Ê com este o b j e t i v o que e s t á se ndo i m p l a n t a d o o S I M E L F - S i s t e m a M o d u l a r de E l e m e n t o s F i n i ­ tos.

02

tes de f o r m a t o e s f é r i c o e/ou c i l í n d r i c o . Como e s sa s s uperfí cies a p r e s e n t a m p r o p r i e d a d e s e s p e c i a i s de s im et ri a p o d e - s e tj[ rar p r o v e i t o d e s s a s para r e d u z i r os custos de i n t e g r a ç ã o a u m e n ­ t a n d o a e f i c i ê n c i a n u m é r i c a do e l e m e n t o . A r e a l i z a ç ã o de estu^ dos n e st e s e n t i d o e p o r t a n t o r e c o m e n d a d a .

1 .2. R e v i s ã o B i b l i o g r á f i c a

Os m a i o r e s e s f o r ç o s no se nt id o de a u m e n t a r a bj[ b l i o t e c a de e l e m e n t o s t r i - d i m e n s i o n a i s tem sido f e it o s por vã rios p e s q u i s a d o r e s . En tre e sses p o d e - s e citar os t r a b a l h o s de A r g y r e s , F r i e d e S c h a r p t [11], [12], os quais d e s e n v o l v e r a m os e l e m e n t o s L U M I N A , TET 20 e TEA 8 com. suas v a r i a n t e s . Todos e £

ses e l e m e n t o s f o r a m d e s e n v o l v i d o s num e s f o r ç o de i n v e s t i g a r a a p l i c a ç ã o das f u n ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o t anto na g e o m e t r i a q u an to na e s p e c i f i c a ç ã o da d e f o r m a ç ã o , 0 e l e m e n t o h e x a e d r o t r i - d i m e n

sional de s u p e r f í c i e s curv a s c h a m a d o L U M I N A é b a s e a d o numa aplj_ c a ç ã o s i s t e m á t i c a das f u n ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o de La g r a n g e , não •completas. Já os e l e m e n t o s T ET 20 e o TEA 8 u t i l i z a m p o l i n o ­

miais c o m p l e t o s de 3? ordem. Uma a d v e r t ê n c i a é feita no s entido de que para c a l c u l a r a m a t r i z de ri gi de z de um e l e m e n t o mais so f i s t i c a d o o te mpo a u m e n t a s i g n i f i c a t i v a m e n t e com o n ú m e r o de pontos nodais. E n t r e t a n t o , um m e n o r n ú m e r o de e l e m e n t o s são ne c e s s a r i o s para se o b t e r o m e s m o grau de prec is ão .

As duas m a i o r e s r e s t r i ç õ e s q u a n t o ao uso de ele m e n t o s t r i - d i m e n s i o n a i s de g e o m e t r i a não l in e a r são: (1) a ne

c e s s i d a d e de uma g r a n d e c a p a c i d a d e de m e m ó r i a para m a n i p u l a ç ã o e a r m a z e n a g e m das m a t r i z e s no c o m p u t a d o r ; (2) m a i o r tempo de

Com o a d v e n t o dos c o m p u t a d o r e s de porte a restri^ çã o (1) f i co u r e s o l v i d a . Para r e s o l v e r a r e s t r i ç ã o (2) a l g un s p e s q u i s a d o r e s v e m s u g e r i n d o novas t é c n i c a s para a t a c a r o p r £ b le m a . T e n d o em vista que no c á l c u l o da mat ri z de r i g id ez a p a r t e que c o n s o m e m a i o r tempo ê j u s t a m e n t e a m a n i p u l a ç ã o das f u n ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o e a p ar te que se refere ao p r o c e s s o de i n t e g r a ç ã o n u m é r i c a , Ó natural que as a t e n ç õ e s e s t e j a m v o l t a d a s para e st es fatos, n o t a d a m e n t e este u l t i m o citado.

Um t r a b a l h o que a p a r e c e com s ug e s t õ e s s i g n i f i c a ­ t ivas é o de G upta e M o h r a z [1]. Nesse t r a b a l h o é a p r e s e n t a d a a f o r m u l a ç ã o da m a t r i z de r i g i d ez u t i l i z a n d o n ot a ç ã o indexada, Uma " m a t r i z i n t e r m e d i á r i a " de 4? d i m e n s ã o ê c a lc u l a d a em f u n ­ ção das d e r i v a d a s das f u n ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o a qual é posterior^ m e n t e m u l t i p l i c a d a pelo t e n s o r de p r o p r i e d a d e s do material para o b t e r a m a t r i z de rig'idez. Uma c o m p a r a ç ã o e ntre esse procedi_ m e n t o e o c o n v e n c i o n a l é feita d ando boa m a r g e m de economia.Tal t r a b a l h o , no e n t a n t o , o f e r e c e d i f i c u l d a d e s para ser a p l i c a d o em a n á l i s e s que u t i l i z e m s i s t e m a s de c o o r d e n a d a s d i v e r s o do r e t a n ­ gular.

Irons[14] mo s t r a a lg u n s d e t a l h e s sobre integra^ ção de e l e m e n t o s t r i a n g u l a r e s e t a m b é m a m o n t a g e m da m a t r i z de r i g i d e z para um e l e m e n t o s õ l id o h e x a é d r i c o linear, sem e n t r a r em m u i t o s d e ta l h e s . A l g u m a s t é c n i c a s sobre i n t e g r a ç ã o de ele m e n t o s p l an o s em m a l h a s c o n t e n d o e l e m e n t o s v a r i a d o s são s u g e r i ­ das. G r a n d e ê n f a s e ê dada na es co l h a dos e l e m e n t o s para a a n á ­ lise da e s t r u t u r a v i s a n d o , p r i n c i p a l m e n t e , a o b t e n ç ã o de uma ma_ triz de r i g i d e z cuja la rg ur a da banda seja a m e n or possí v el .

04

Hefllen [15] m o s t r a um r i g o r o s o e s t u d o sobre a forma do d e t e r m i n a n t e da M a t r i z J a c o b i a n a para d i f e r e n t e s ele m en t o s . A a v a l i a ç ã o de r eg r a s de i n t e g r a ç ã o r e du zi da e feita em c o m p a r a ç ã o com r e g r a s c o m p l e t a s por i n t e r m é d i o de e xe m pl os . R e g r a s com p o n t o s e c o n ô m i c o s e q u i v a l e n t e s a 3x3x3 e 4x 4x4 mas

com m u i t o m e no s p o n to s de G a us s por e l e m e n t o são d i s c u t i d o s num e x e m p l o de p l a s t i c i d a d e t r i - d i m e n s i o n a l . A ê nf a s e nesse t r a b £ lho e sobre as regras mais c o n v e n i e n t e s para uma dada malha.

P a w s e y e Clough [16] m o s t r a m um i n t e r e s s a n t e es^ tudo s o bre o e l e m e n t o q u a d r á t i c o de casca e spessa i n t r o d u z i d o por A h m a d em 1968. Este e l e m e n t o f a lh a v a na r e p r e s e n t a ç ã o de d e f o r m a ç õ e s d e v i d o ao c i s a l h a m e n t o em casca s ou pl ac a s finas. Um e s q u e m a de i n t e g r a ç ã o a p r o p r i a d o é e n tã o a p r e s e n t a d o . Neste, cada c o m p o n e n t e da e n e r g i a de d e f o r m a ç ã o e c a l c u l a d a separadamen te u s a n d o uma g r a d e de i n t e g r a ç ã o G a u s s i a n a d i f e r e n t e para cada c o n t r i b u i ç ã o . Por este p r o c e d i m e n t o se evita a r i g id e z excessj^ va do e l e m e n t o d e v i d o ao c i s a l h a m e n t o . Vários e x e m p l o s c o m pr o v a m a e f i c i ê n c i a do m ét o d o , Tal p r o c e d i m e n t o , no en t anto, se r e s t r i n g e à q u e l e t i p o / d e el em e n t o .

G r a y e G e n u c h t e n [17] c o n f i r m a m o fato de que a i n t e g r a ç ã o de polinómios é mais p r e c i s a q u a n d o se ut il i z a a Qua_ d r a t u r a G a u s s i a n a ( Q G ) , n o e n t a n t o a p r e s e n t a m outras f ó r m u l a s de i n t e g r a ç ã o que são a l t a m e n t e c o m p e t i t i v a s com a QG q u a n d o a p l i c a d a s na a n á l i s e de e l e m e n t o s fi ni to s . As f ó r m u l a s de inte^ g r a ç ã o n ã o - G a u s s i a n a são a p r e s e n t a d a s em uma tabela para elemeji tos b i - d i m e n s i o n a i s . Elas u s a m mais p o nt o s de i n t e g r a ç ã o do que a Q G , e n t r e t a n t o , d e v i d o ao fato de que m u i t o s pontos de i£ t e g r a ç ã o c o i n c i d e m com a l o c a l i z a ç ã o nodal, o t r a b a l h o co mp ut a cional e r e d u z i d o em m ui t o s casos. 0 fato n e g a t i v o é o de que

tais f o r m u l a s usajn s o m e n t e f u n ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o de L a g r a n g e de base q u a d r á t i c a . As v a n t a g e n s acima cit ad a s não serão consjs g u i d a s se o u t r o tipo de f u n ç ã o e usado. 0 uso de tais f o r m u l a s

fica d e p e n d e n d o dò tipo de el em e n t o , das f u n ç õ e s e da h a b i l i d a ­ de do u s u á r i o .

P i t t r e Hartl [13] m o s t r a m um p r o c e d i m e n t o para a o b t e n ç ã o das t e n s õ e s t é r m i c a s em que se ut il i z a os deslocameji tos ao invés das d e f o r m a ç õ e s inici ai s. Este mé-todo a p r e s e n t a v a n t a g e n s na o b t e n ç ã o dos r e s u l t a d o s para te ns õ es embora i m p l i ­ que num m a i o r t e m p o de p r o c e s s a m e n t o para o b t e n ç ã o do v e to r dos d e s l o c a m e n t o s inicia is .

í .3. D e f i n i ç ã o do P ro b le ma

Como v i s t o no item 1.1 m u i t o s c o m p o n e n t e s estru^ t u ra i s tem f o r m a s e s f é r i c a s e/ou c i l í n d r i c a s que p o d e m ser ex p i o r a d a s de m a n e i r a c o n v e n i e n t e a f i m de se o bt er uma r e d u ç ã o nos cust o s de i n t e g r a ç ã o da m a t r i z de ri gi d e z e do v e to r equiva^ l ente de f o r ç a s nodais.

No item 1.2 foi vista a l i t e r a t u r a r e f e r e n t e a e s t u d o s de e l e m e n t o s t r i - d i m e n s i o n á i s . Esta l it e r a t u r a , c o n t u ­ do, é- b a s t a n t e e s c a s s a . A l e m disto, uma d e f i c i ê n c i a é notada na d e t e r m i n a ç ã o dos termo s de r i g i d e z do e l e m e n t o d e v i d o ao ci_ s a l h a m e n t o .

N este t r a b a l h o é d e s e n v o l v i d a uma f o r m u l a ç ã o de um e l e m e n t o de s o li do e s f é r i c o , que se a s s e m e l h a a o e l e m e n t o iso p a r a m é t r i c o de 20 nõs, v i s a n d o e x p l o r a r a g e o m e t r i a da peça e

r ed u zi r, com isto, os custos de c a l c u l o da ma tr i z de r i gi d e z e do v e to r e q u i v a l e n t e de forç as nodais, d ev i d o a um c a r r e g a m e n t o m e c â n i c o d i s t r i b u í d o , c o n c e n t r a d o ou térmico.

06

C A P I T U L O 2

F O R M U L A Ç A O DO M O D E L O

2.1. I n t r o d u ç ã o

Uma das p r i n c i p a i s d i f i c u l d a d e s do uso do M é t o d o de E l e m e n t o s F i n i t o s c o n s i s t e em como deve ser e f e t u a d o o partj_ c i o n a m e n t o do d o m í n i o e qual tipo de e l e m e n t o seja o mais apro^ pri a do . A l é m disto, o n ú m e r o de e l e m e n t o s u sado e m ui to i m p o r ­ t ante por dois m o t i v o s p r i n c i p a i s que são a p r e c i s ã o dos resul- t ados e o c u s to da a n a l i s e que, por sua vez, esta l i ga do ao tem po de p r o c e s s a m e n t o . Neste sentido, e v a n t a j o s o saber, para ca_ da g e o m e t r i a e c a r r e g a m e n t o , qual o m o d e l o que se a p l i ca a fim de o b t e r os m e l h o r e s r e s u l t a d o s com a mãxi ma econ om i a.

0 m o d e l o de s ó l id o e s fé ri co , p r o p o s t o neste t r a ­

balho, visa e x p l o r a r a g e o m e t r i a da peça p o d e n d o ser a c o p l a d o a o u t r o s m o d e l o s c o n f o r m á v e i s para a n a l i s a r e s t r u t u r a s mais com plexas.

2.2. D e f i n i ç ã o do M o de l o

A c o n f i g u r a ç ã o g e o m é t r i c a do m od e l o é obtida pe^ la i n t e r s e c ç ã o de pl a n o s m e r i d i o n a i s d e f i n i d o s por 0, 0 + A0 e cones c o n c ê n t r i c o s de c o o r d e n a d a s íj; + AiJj e s u p e r f í c i e s e s f é ­ ricas de raios R, R + AR (Fig. 2.1). £ um e l e m e n t o q u a d r á t i c o

que u t i l i z a f u n ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o do tipo " s e r e n d i p i t y " de 29 grau na i n t e r p o l a ç ã o de d e s l o c a m e n t o s . Elas s a t i s f a z e m a contj[ n u i d a d e e n t r e e l e m e n t o s , são c o n f o r m e s e s a t i s f a z e m t a m b é m o c r i t é r i o de c o m p l e t i v i d a d e , r e q u i s i t o s estes n e c e s s á r i o s para a c o n v e r g ê n c i a do m o d e l o. Isto se dá pelo fato de que o m é t o d o dos d e s l o c a m e n t o s a s s u m e camp o s de d e s l o c a m e n t o s c o n t í n u o s sc) bre o d o m í n i o . As i n c ó g n i t a s do p r o b l e m a d i s c r e t o e q u i v a l e n t e são os d e s l o c a m e n t o s nodais.

2.3. D e f i n i ç ã o das F u n ç õ e s de I n t e r p o l a ç ã o

As f u n ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o são d e f i n i d a s em te£ mos das c o o r d e n a d a s i n t r í n s e c a s (r,s,t) do e l e m e n t o e das c o o r ­ d e n a d a s dos p o n t o s de i n t e g r a ç ã o c o n s i d e r a d o s [4]. Nos pon to s nod a is s obre os v e r t i c e s , as f u n ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o são definj[ das c o mo [6]:

Fl{k) = (l /8) ( l + r r k ) ( l + s s k ) ( l + t t k ) ( r r k + s s k + t t k - 2)' (2.1) f.

onde r k , s k , t k são as c o o r d e n a d a s do ponto nodal c o n s i d e r a d o . As f u n ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o para os p o nt os i n t e r m e d i á r i o s das a r e s t a s são d e f i n i d a s por:

FI ( k ) = ( l / 4 ) ( l - r 2 ) ( U s s k ) ( l + t t k ) (2.2a)

para r k = 0, s k = ■ 1, t k = - 1.

08 para s k = 0, r k = - 1, t k = - 1. F I ( k) = ( l / 4 ) ( l - t 2) ( U r r k ) ( U s s k) ( 2 . 2 c ) para t k = 0, r k = - 1, s k = í 1. F ig u r a 2.1. O m o d e l o de sól id o e s f é r i c o com a n u m e r a ç ã o i n t r í n ­ seca dos nós, c o o r d e n a d a s n at u r a i s (r,s,t), c o o r d e ­ nadas e s f é r i c a s (R, )p, 0), c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s ( X r X 2 , X 3 ).

2.4. O b t e n ç ã o das C o o r d e n a d a s E s f é r i c a s e D e s ljo c a m e n t o s de um Po nto G e n é r i c o do E le me n t o S e n d o (RM, FHI, TET) as c o o r d e n a d a s e s f é r i c a s do p o n t o m é d i o do e l e m e n t o e (r^, s^, t^) as c o o r d e n a d a s intri ns e cas de um p o n t o i do e l e m e n t o t e m- s e para as c o o r d e n a d a s e s f é H cas do p o n t o i:

ip( i) = FHI + M . s . ( 2 .3a , b ,c)

2 1

on de AR, Aip, A0 ê s t ã o d e f i n i d o s na Fig. 2.1.

Da mesma forma, sendo (U(i), V(i), W(i)} os de-s l o c a m e n t o s nodais, para um p on to q u a l q u e r tem-se:

n ■ ■■ u = í FI ( i ) U ( i ) i = l n (2.4a , b, c) v = I F I ( i ) V(i) i = l ' n w = í FI ( i ) W ( i ) i = 1 sendo F I ( i ) as f u n çõ es de i n t e r p o l a ç ã o d e f i n i d a s na S e cç ã o 2.3 e (u, v, w) os d e s l o c a m e n t o s nas dire.ções (R, ^ s 0) r e s p e c t i v a ­ mente.

10

2,5. R e l a ç õ e s D e f o r m a ç õ e s - D e s l o c a m e n t o s e a Ma triz B de T r a n s f o r m a ç ã o

As; r e l a ç õ e s d e f o r m a ç õ e s - d e s l o c a m e n t o s em c o o r d e ­ n adas e s f é r i c a s para um c or po e l á s t i c o line ar são [18], [20]:

£ = — R 3R e , = A— + — + — c o t 0 3^ R R 1 3w u e - _ ,— + _ u R 30 R Y = * 2 1 + I V _ V d4> 3R R 1 9v v „ , ■ . 3w Y = --- - c o t0 + A— R 30 R 30 1,' 3u w . 3w YflD -R 30 R 3R o n d e : A = ; Y r * ' 2 E r * : Y * ° ’ ; y0R “2e0R

As e q u a ç õ e s acima p o d e m ser c o l o c a d a s sob a for m a :

{£} '= e0 Y Rÿ Y, u V w Y i/j© 0R (2.5)

onde [B] i o o p e r a d o r d i f e r e n c i a l dado por:

[B] = _3_ 3 R R 1 R s e n 0-3,4 1 A R 80 1 R s e n0 dip _3_ _ 3R I J _ R 30 R c o t0 R C O t 0 1 J L R 30 1 R s e n e 30 _3_ 3R (2.6) As e q u a ç õ e s ( 2 . 4a ,b , c). p o d e m ser c o lo ca da s sob a forma:

12 ' '1 u i n FI(i) U ( i ) v

1

os d e s l o c a m e n t o s dos p o n t o s nodais, e [B], a m a t ri z de transfo_r m a ç ã o d e f o r m a ç ã o - d e s l o c a m e n t o . A f i m de f a c i l i t a r a m o n t a g e m de [B], ela e d i v i d i d a em 20 b l o co s t endo cada um d i m e n s ã o (6x3).

D e n o m i n a n d o RPI e TPI, r e s p e c t i v a m e n t e , as c o o r ­ d e n a d a s radial e c i r c u n f e r e n c i a l do p onto de i n t e g r a ç ã o em q u e ^ tão e c o l o c a n d o .A H (1) = I f i Ü l 3R H ( 2 ) = A T J i .1.), dtp H (3 ) = 30 i = 1, 20 (2.10a ,b ,c )

o n d e H(1), H(2), H(3) são o bt i d o s e x p l i c i t a m e n t e através de AR, A4 1, A0 e as d e r i v a d a s das f u n ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o ; 0 p r i m e i r o

b l o c o de [B] sera:: H (1) FI (1) / R PI FI( D / R P I H (2) R P I * s e n ( T P I ) H (2) RP I *s en(TP I ) 0 H (1) - FI( D / R P I [ H ( 3 ) - F I ( 1 ) * c o t ( T P I ) ] / R P I FI ( 1)_{* c o t ( T P I )} H ( 3 ) /RP I RP I H ( 3 )/ R P I 0 H (3) RP I * s e n (TP I ) H ( 1 ) - F I ( 1 ) / R P I para i=1 na e q u a ç ã o (2.1 0).

C o m isto, a e q u a ç ã o (2.8) pode ser e sc r i t a f or m a ma tr i c i a l como segue: em ( 2 . 1 1 )

14 f — ... r - r - f - C\J CM 3 > 5 - 3 > CM 'S- ♦ • • o CVJ 3 O CM > S o CM S V í — V * ---' 1 1 1 1 1 1 1 1 V 1 1 I 1 1 1 1 1 1 / « • • • f ♦ • * !• * « • • r * « « • * o O ’ <-> CD O CM _ J CO o O' CJ CM O CÛ

2.6. F o r m u l a ç ã o VarlacioriaT do Mode l o

Neste t r a b a l h o ê u t i l i z a d o material i so t r Õ p i c o e l á s t i c o l i n e a r para a f o r m u l a ç ã o e teste do modelo.

A f o r m u l a ç ã o se bas ei a no M é t o d o dos Deslocameji tos u t i l i z a n d o o P r i n c i p i o da Ene r gi a Potencial Mínima. Este p r i n c i p i o r e q u e r que a p r i m e i r a v a r i a ç ã o da En er g ia Potenc i al To tal ir seja nula, ou seja, ôtt = 0.

\

Na a u s ê n c i a de f o r ç a s de corpo e e st a d o de d e f o £ m a ç ã o inicial, a E n e r g i a Potencial Total de um corpo e l á s t i c o

1i near ê dada por [6] :

* _ 1 ' íe} [ C ] ( { e } - { e t 3 — -- V ^ 2 • - J s ( u } T {P} ds P (2.13) o n d e : { e >T { e t }T íu} {P}' [C] T ' - c ampo de d e f o r m a ç õ e s ; - campo de d e f o r m a ç õ e s t é r m i c a s ; - c ampo de d e s l o c a m e n t o s ; - f o r ça s de s u p e r f í c i e a t u a n d o na r eg i ã o Sp do c o n t o r n o ; - m a t r i z t e n s ã o - d e f o r m a ç ã o dada por [7]: [C] = E(l-v) (1+v)(1-2v) 1 v 1 l~v V V -2. 1 1-v 1 - V 0 0 0 0 0 1-2 v 2( 1-v) 0 0 (sim.) 1-v 2(1-v) 0 1-v 2( 1-v) (2.14)

16 onde: E - m o d u l o de e l a s t i c i d a d e do mater ia l v - c o e f i c i e n t e de P oi ss on . R e a l i z a n d o a 1? v a r i a ç ã o em (2.13) e i g u a l a n d o a zero temos: <5 ir = / _v 6 { e }T [C] ( { e } - ( e . _t })dv - J- _jp6{ u } T { P } ds = 0 (2.15) S u b s t i t u i n d o a e q u a ç ã o ( 2 . 8) em (2.15) e tendo em vista que os d e s l o c a m e n t o s {U} e as v a r i a ç õ e s <${U} são a r b i t r a ­ rias e não d e p e n d e m da p o s i ç ã o , p o d e - s e e s cr e ve r: ( / v [B]T [ C ] [ B ] d v ) t U ) - / v [B] T [C]{ et >dv - /s t FI }TÍ PJds = 0 Í1T = S { U } T [(Ív [B]T [C] [B] dv){ U} - J v [B]T [C]í e t J d v - / s í F I ï Tí P } d s ] =0 P d onde tem-se /■ [K]{ U} = { F} (2.16) p ar a um dado e l e m e n t o sendo [K] * J v [ B ] T [ C ] [ B ] d v (2.17) a m a t r i z de r ig i d e z do e l e m e n t o e í n = j v l B] T M { e t } d v f / s { F I } T { p } d s p

P a s s a n d o as e q u a ç õ e s (2.17) e (2.18) para o s i s ­ tema de c o o r d e n a d a s global e por meio de uma a d e q u a d a sobreposi_ ção das m e s m a s , para os d i ve rs os e l e m e n t o s c o n s i s t e n t e s da e £ t r u t u r a , c h e g a - s e ao s i s t e m a global de eq ua ç õ e s

[K]{U} = { F} (2.19)

A n t e s de r e s o l v e r o s i s t e m a de e qu a ç õ e s (2.19), o m e s m o deve s e r m o d i f i c a d o com a i n t r o d u ç ã o das c o n di çõ es de coji t o r n o do p r o b l e m a .

A i n t e g r a ç ã o das e q u a ç õ e s (2.17) e (2.18) e f e i ­ ta n u m e r i c a m e n t e . 0 p r o c e d i m e n t o a d o t a d o estã d e s c r i t o no Cap_T tulo 3.

D ep o i s de s o l u c i o n a d o o s i s t e m a de e qu aç õe s ( 2,19), os d e s l o c a m e n t o s de todos os pontos nodais são c o n h e c i ­ dos. P ar a se d e t e r m i n a r as tensões e m um ponto q u a l q u e r do e l £ m e n t o são usadas as e q u a ç õ e s

{>} =

_/[c]

Uma vez que. a m a t r i z t e ns ão [BTC] = [B]^*[C] e o vetor, de tensão térmica { Ce^} = [ C ] * { e t > para cada p o n t o de iji t e r e s s e são a r m a z e n a d o s p e l o p r o g r a m a , se torna fãcil a o b t e n ­ ção das ten sõ es e m (2.2 0).

18 C A P I T U L O 3 I N T E G R A Ç Ã O n u m é r i c a 3.1. I n t r o d u ç ã o N este c a p í t u l o é a p r e s e n t a d o um p r o c e d i m e n t o pji ra a i n t e g r a ç ã o n u m é r i c a da m a t r i z de ri gi d e z e do v e t o r força do e l e m e n t o de m a n e i r a p r á t i c a e e c o n o m i c a tendo em vista as p£ c u l i a r i d a d e s da p r e s e n t e f o r m u l a ç ã o . 0 p r o c e s s o aqui apresentji do tira p r o v e i r o da s i m e t r i a e x i s t e n t e no m o d e l o em r e l a çã o as d i r e ç õ e s m e r i d i o n a l e ci r c un f e r e n c i a l . Pa ra m e l h o r s i t u a r o p r o b l e m a de cál cu lo da nrn triz de r ig idez, é m o s t r a d o a s e g u i r um f l u x o g r a m a s i m p l i f i c a d o d a n d o a s s i m o p o s i c i o n a m e n t o dos cálcu lo s que d ev e m ser efetua^ dos i n i c i a l m e n t e ( H g . 3.1)_. A s e q u ê n c i a r e p r e s e n t a d a neste

/

f l u x o g r a m a visa e x c l u s i v a m e n t e ao cal cu l o da m a t r i z de r ig i d e z do e l e m e n t o ( e q u a ç ã o 2.17). 0 p r o c e d i m e n t o para o c á l c u l o do v e t o r f o r ça (e q ua çã o 2.18) ê dado na S e c ç ã o 3.3.

NP I F ig u r a 3.1. F l u x o g r a m a i n d i c a n d o os passos de c a l c u l o para o b ­ t e n ç ã o da m a t r i z de r i g i d e z de um e l e m e n t o , c o n f o r ­ me e s q u e m a s i m p l i f i c a d o do p r o g r a m a - t e s t e (A p ê n d i c e C , - F i g u r a C.l); N P I = n ú m e r o de pontos de integração.

i '

3.2. D e t a l h a m e n t o de cada p asso in di ca do no f lu x o g r a m a da Figu r a 3.1.

M a t r i z de p r o p r i e d a d e s e l á s t i c a s do m at er i al -[C]:

0 c á l c u l o de [C] leva em conta a i s o t r o p i a do rna t e r i a l f a z e n d o com que s e ja m c a l c u l a d a s um número m í n i m o de va_ lores, ou seja, e n t r e os 12 v al o r e s d i f e r e n t e s de zero (equação

2.14) a p e n a s 3 são c a l c u l a d o s e r e p e t i d o s c o n v e n i e n t e m e n t e .

- M a t r i z J a c o b i a n a - [J]:

Ê c a l c u l a d a e x p l i c i t a m e n t e atr av és de AR, AiJ;,A0, o u s e j a : í 20 (3.1) (3.2) r [J] = AR 2 £11 0 A\p 2 0 d e t e r m i n a n t e j a c o b i a n o é dado por

= det [J ] = - (AR *• Aip * A 0 )

- V e t o r Peso - {W P } :

Para c a l c u l a r o V e t o r Peso, (WP), e levado em c o n t a a s i m e t r i a e x i s t e n t e no m o d e l o em r e l a ç ã o ãs d i r e ç õ e s me^ r id i o n a l e c i r c u n f e r e n c i a l e t a m b é m a q ue l a ad vi n d a do e m p r e g o dos p e sos e a b c i s s a s f o r n e c i d a s pelo p r o c e s s o de i n t e g r a ç ã o Gauss - L e g e n d r e [21 J. T o d o s e ss es fa to r e s são r e u n i d o s em uma forma final o b t e n d o e c o n o m i a s a t i s f a t ó r i a em m u l t i p l i c a ç õ e s e somas, uma vez que os c á l c u l o s r e p e t i t i v o s são e l i m i n a d o s tanto q u a n t o p o s s í v e l .

0 n ú m e r o de p o nt os de i n t e g r a ç ã o em cada d i r e ç ã o

é dado de uma forma c o d i f i c a d a como II JJ K K onde II é o número de p o n t o s de i n t e g r a ç ã o na d i r e ç ã o radial, r, (Fig. 3.2), JJ é o n úm e r o de po nt o s de i n t e g r a ç ã o na d i r e ç ã o m e r i d i o n a l , s, e KK é o n úm e r o de p o n t o s de i n t e g r a ç ã o na d i r e ç ã o c i r c u n f e r e n c i a l , t. , Para f a c i l i t a r a v i s u a l i z a ç ã o do p r o c e s s o a d o t a ­ do na m o n t a g e m do V e t o r Peso, {WP}, o m es m o é d e m o n s t r a d o aqui 'para o caso p a r t i c u l a r em que se tem 3 pon to s de i n t e g r a ç ã o em

cada d i r e ç ã o , ou seja, I I J J K K = 0 3 0 3 0 3 .

A s u p o s i ç ã o bás ic a inicial é que o e l e m e n t o esfé r i c o . ( F i g . 3.2a) seja m a p e a d o em um cubo de lado dois por me io de uma t r a n s f o r m a ç ã o de c o o r d e n a d a s do s is t e m a e s f é r i c o para o s i s t e m a de c o o r d e n a d a s i n t r í n s e c o . Para este e x e m p l o o cubo é s e c c i o n a d o por três p l an os p a r a l e l o s en tre si e p e r p e n d i c u l ares ã d i r e ç ã o r, c o n f o r m e a Fig. 3.2b. Estes planos são o lugar g e o m é t r i c o dos pon to s de i n t e g r a ç ã o que g u a r d a m uma re la ç ã o de s i m e tr ia e n t r e s i .

P L A N 0 1 P L A N O 2 PL AN O 3 22 -Q I" r - l’ - " H Q) -O <D| cf) C t-r-U 4-> C 0) 4-0) ÍÜ fO CL O ■o *o s-o o u M CM O O "O C n3 f0 0) *a o JD 3 O O c o -o fO o •f— +-> t<T3 E O 3 cr (/> O) o “D CO 0) Cl O «3 Irü £ O f0 ^ +-> JD C •-- <D CO • * <D O S-O CL *i- <D S- S- \ < D <+-t0 <J <D — -O •" “O <0 •r- O \o i-</> ia> a; “O o 4-> c 0) ■s 0) 3 C O ira o* *3 cn a; 4-> CSJ CO fO S-3 cn <s> (T3 U

A c o l o c a ç ã o dos nú me ro s s e q u e n c i a i s dos pontos de i n t e g r a ç ã o nos p l a n o s está na Fig. 3.3.

P L A N O 1 P L A N O 2 P L A N O 3

F ig u r a 3.3. P l a no s lugar g e o m é t r i c o dos pontos de i n t e g r a ç ã o pa, ra I I J J K K = 03030 3

A s e q u ê n c i a de i n t e g r a ç ã o a d o ta da vai de 010101 a 0 3 0 3 0 3 onde os p o nt os r e p r e s e n t a d o s nos planos (Fig. 3.3) tem a s e g u i n t e correspondência-:

- Ponto 1 (do plano 1) c o r r e s p o n d e a I I J J KK = 010101 - Ponto 2 (do plano 1) c o r r e s p o n d e a IIJJK K = 010102

• ~N

«

- P onto 27 (do p lano 3) c o r r e s p o n d e a IIJJ KK = 030303

Os pesos de i n t e g r a ç ã o de G a u s s - L e g e n d r e nas d^ r e çõ e s r , s, t são, r e s p e c t i v a m e n t e , A., B., C. e as a b c i s s a s X-,

1 J K 1

V z k

24

ou seja: = B| =

E a lé m disto, para este e x e m p l o e x p l i c a t i v o , tem se: A1 = A 3 ; b 1 = B 3 ; = C 3 .

0 m e s m o p r o c e d i m e n t o e feito para as a b ci s s a s

X .j j Y^, Z.. A e c o n o m i a em o p e r a ç õ e s de m u l t i p l i c a ç ã o jã se faz n ot a r a p a r t i r dos p r o d u t o s dos pesos A-, B., C. em que q u a t ro v a l o r e s são s u f i c i e n t e s para c ob r i r os 27 pontos de i n t e g r a ç ã o d es t e ex em p lo :

W1 = A1 * A1 * A1

W2 = A1 * A1 * A2

W3 = Ai * A2 * A2

u - a * A * A_{n ^ —i \ 2 2 2}

0 fato de todos os pontos de um m esmo plano (Fig.

3.3) t e r e m um m e s m o raio é leva d o em conta. N o t a - s e t a m b é m que e x i s t e m apena s 3 v a l o r e s de â n g u l o s na d i r e ç ã o m e r i d i o n a l (^) os q ua i s c o b r e m t o dos os pont os de i n t e g r a ç ã o e que estão r e p r £ s e n t a d o s por F ^ , F 2 , F3 na Fig. 3.3. 0 V e t o r Peso, (WP>, é m o n t a d o com a c o n t r i b u i ç ã o das s e g u i n t e s p a rc e la s: - pesos de i n t e g r a ç ã o de G a u s s - L e g e n d r e . - a b c i s s a s dos pont os de i n t e g r a ç ã o de G a u s s - L e ­ gendre.

- raio do p onto de i n t e g r a ç ã o em r el a ç ã o ao si.s tema de c o o r d e n a d a s esférico.

- â n g u l o ip da d i r e ç ã o m e r i d i o n a l em r e l a ç ã o ao s i s t e m a de c o o r d e n a d a s esfér ic o .

- d e t e r m i n a n t e J a c o b i a n o que f o r n ec e a re la ç ã o de v o l u m e s e nt re o d o m í n i o de i n t e g r a ç ã o e o r e a l .

Para o p onto de i n t e g r a ç ã o 1 (onde 11JJKK = 0 10101) t e m - s e : C o l o c a n d o WP (1 ) = ( A1* B1* C1 ) * (R1 * R1 )*DET*SIN(ip1 ). = A ^ * B ^ * C ^ , p r o d u to dos pesos de i n te g ra çã o = R ^ * R ^ * D E T , raio do po nto de i n t e g r a ç ã o e o DET

= SIN (ipj), seno do ângu l o \p no ponto 1 t em -s e, f i n a l m e n t e ,

W P (1) = W1* R11* S1

O b t é m - s e e c o n o m i a em m u l t i p l i c a ç õ e s t a m b é m neste p r o c e d i m e n t o c a l c u l a n d o s e p a r a d a m e n t e as p a r c e l a s :

v et o r W. (quatro neste exemp l o) .

. 0

v e t o r XP. = p r o d u t o de W., raio, s e n o de ip e DET J

( de zo it o neste exemplo),

e r e p e t i n d o c o n v e n i e n t e m e n t e seus va l or es a p r o v e i t a n d o a s im £ tria g e o m é t r i c a e dos pontos de i n t e gr a çã o. Todo este p r o c e d i ­ m e n t o e st ã r e u n i d o na T a b e l a 3.1.

26

T a b e l a 3.1. M o n t a g e m do V e t o r Peso, {WP}, para I I JJ KK = 0303 03 p o n t o s de i n t e g r a ç ã o .

Pontos de Pesos de Integração de

Gauss-Legendrè Vetor wj Vetor xpi Vetor Peso WP(j) lllwC^I QyClU P I . J R,r «l,S e,t 010101 _{A 1 B , c ,} XP, WP 1) 010102 _{A i B,} c2 _{“ 2} X _ro WP 2) 01 01 0 3 _{A 1 B, ■=3 W1} XP, WP 3) 010201 _{A 1 B 2 • ' 1 .} w2 X P3 WP 4) 010202 A 1 _{b2 C2 «3} X P4 WP 5) 0 1 0 2 0 3 _{A 1 b2 C 3} w2 X P3 WP 6) 010301 A 1 _{b3 'l W ,} X P5 WP 7) 0 10 3 0 2 _{A 1 B3} C2 w2 X P 6 WP 8) 01 03 0 3 A 1 B3 = 3 W , X P 5 WP 9) 020101 _{A2 B , C ,} w2 X P ? WP 1 0) 020102 a2 _{B, C2 W 3} o. 00 X WP ₁₁ ) 0 2 0 1 0 3 a2 _{B, C 3} w2 XP? WP 1 2) 020201 a2 _{B 2} w3 X P9 WP 13) 020202 a2 _{b2 C2} w4 _{X P ,0} WP 14) 0 2 0 2 0 3 _{a2 B 2 C 3 W 3} X P9 . WP 15) 020301 a2 _{b3 c ,} w2 _{x p ,,} WP 16) 0 20 3 0 2 a2 _{B 3} c2 _{W 3 X P , 2} WP 17) 0 2 03 0 3 a2 _{' B 3 C 3 «2} X p ,, WP 18) 030101 _{B, ", X P ,3} WP 19) 030 1 02 _{*3 B, C 2 "2} X P, 4 WP 2 0) 0 3 0 1 0 3 _{A 3 B, = 3 ", X P 13} WP ■21 ) 030201 _{A 3} b2 _{c, "2 X P ,5} WP 2 2) 0 3 0 2 0 2 _{A 3 b2 C 2 "3 X P , 6} WP 23) 0 3 02 0 3 _*3 b2 _{C 3 W 2} LO Q _ X WP 24) 030301 _{A 3 B3 C , ", X P 17} WP 25) 03030 2 _{A 3 b3 C2 "2 X P 18} WP 26) 030 3 03 _a 3 B 3 C 3 ", XP 1 7 WP 27)

*1 C 1 A2 ii C O ro * C2 = 0 , 88 8 888 888 8 8 8 8 8 9 A 3 ■ B 3 II O CO " A 1 X 1 ■ Y 1 - Z 1 = - 0 , 7 7 4 5 9 6 6 6 9 2 4 1 4 8 3 x2 ' V2 ■Z 2 II CD O X C O _{" V 3} II iv i C O ■ - x i e os c á l c u l o s são: w r V B t*c i w r V B i * c2 W 3 = A 1 * B 2 * C 2 W 4 = A 2 * B 2 * C 2 r1= r m + d r2* x1 r2 =r m r3= r m + d r2* x3 F1= F H I + D F H I * X 1 /2 f2 =f h i F3= F H I + D H F I * X 3 /2 S1= S I N ( F 1 ) S2= S I N ( F 2 ) S3= S I N ( F 3 ) R11= R1* R 1*DET R2 2= R2* R2* DET R3 3= R 3 * R 3 * det X P r R11* W l* S 1 XP2=R11*W2 * S 1 X P 3 = R 11* W 2 * S 2 xp4 = R n * W3 * S 2 x p 5 = R n * w r s 3 X P 6 = R 1 1 * W 2 * S 3 X P 7 = R 2 2 * W 2 * S 1 X P 8 = R 2 2 * W 3 * S 1 X P 9 = R 2 2 * W 3 * S 2 X P 1 0 = R 2 2 * W 4 * S 2 X P 1 1 = R 2 2 * W 2 * S 3 X P 1 2 = R 2 2 * W 3 * S 3 X P 1 3 = R 3 3 * W 1 * S 1 X P 1 4 = R 3 3 * W 2 * S 1 X P 15= R 3 3 * W 2 * S 2 X P 1 6 “R 3 3 * W 3 * S 2 X P 1 7 = R 3 3 * W 1*S 3 X P 1 8 = R 3 3 * W 2*S 3 W P ( 1 ) = X P1 • . • • W P ( 2 6 ) = X P lg W P ( 2 7 ) = X P17

28

Nas e x p r e s s õ e s acima, tem- se

RM = raio m é d i o do e l e m e n t o de sólido e s f é r i c o

1 D R2 = AR/2

FHI = â n g u l o \p do cen t ro do e l e m e n t o de sólido e s f é r i c o

DFHI = Aip

T o d o s os c á l c u l o s acima são r e a l i z a d o s em dupla

p r e c i s ã o . 1

V a r i a s c o m b i n a ç õ e s e n tr e pontos de i n t e g r a ç ã o de^ s e j ã v e i s para e s t u d a r a i n f l u ê n c i a dest es no c á l c u l o da m a tr iz de r i g i d e z e st ão no A p ê n d i c e A, j u n t a m e n t e com out ra s t abelas para m o n t a g e m de {WP}. _ 1 - M a t r i z i n v e r s a da J a c o b i a n a - [J] : C a l c u l a d a de forma e x p l T c i t a at ra v é s de A0, ou seja: / m 2/AR 0 0 [J] = 0 2/AiJ> 0 0 0 2/A0 - C á l c u l o de [D]: F a z- s e o p r o d u t o de [C] pelo v a l o r c o r r e s p o n d e n ­ te do V e t o r Peso no ponto i, ou seja:

AR, Aip,

(3.3)

0 v a l o r de [BTD] é dado pelo pr od ut o de [B]^ e [D], o u s e j a :

[BTD] = [ B ] T * [D] (3.5)

A m a t r i z de r i g i d e z e dada pela s o b r e p o s i ç ã o coji v e n i e n t e dos p r o d u t o s de [BTD] e [B] em cada ponto de integra^ ção, ou seja:

[K] = Z ([BTD] * [B]) ' (3.6)

3.3. V et or e q u i v a l e n t e de carga nos pontos nodais (eq. 2.18)

0 v e t o r de car ga s nodais pode ser p r o v e n i e n t e de

tres tipos de c a r r e g a m e n t o : m e c â n i c o d i s t r i b u í d o , c o n c e n t r a d o ou térmi co .

3.3.1. C a r r e g a m e n t o m e o ã n i c o d i s t r i b u í d o e eon_ c e n t r a d o

0 c a r r e g a m e n t o m e c â n i c o d i s t r i b u í d o o b e d e c e a um

p r o c e d i m e n t o es p ecial que estã d e l i n e a d o na R e f e r ê n c i a 4 e re p r o d u z i d o no A p ê n d i c e D. No e n t a n t o , deve ser ch am a d a a atenção para o fato de que o c a r r e g a m e n t o é f o r n e c i d o no si s t e m a e s f é H co (global) não n e c e s s i t a n d o , p o rt a nt o, das t r a n s f o r m a ç õ e s de c o o r d e n a d a s ali p r e v i s t a s . M o d i f i c a ç õ e s a p r o p r i a d a s foram efe t uad as na s u b r o t i n a que tr ata d es t a parte. A lé m disto, a intro^

30

d u ç ã o do c a l c u l o do J a c o b i a n o de f o r m a e x p l í c i t a , bem como das c o o r d e n a d a s e s f é r i c a s do p on t o de in t e g r a ç ã o , t r a z e m e c o n o m i a a d i c i o n a l no t e mp o de p r o c e s s a m e n t o .

A carga nodal c o n c e n t r a d a , qu an d o houver, deve ser s o ma da d i r e t a m e n t e no v e to r r e s u l t a n t e de cargas nodais.

3.3.2. C a r r e g a m e n t o t é r mico

Ê p r o c e s s a d o por po nto de i n t e g ra çã o, p a r a l e l a ­ m e n t e ã d e t e r m i n a ç ã o da m a t r i z de r ig id e z, por ser d e c o r r e n t e da i n t e g r a ç ã o s ob re o v o l um e do e l em en t o. C a l c u l a - s e , via fuji ções de i n t e r p o l a ç ã o , a t e m p e r a t u r a local i n s t a n t â n e a (TP) no ponto de i n t e g r a ç ã o . Para uma dada t e m p e r a t u r a de r e f e r ê n c i a , T r e f j j> c a l c u l a - s e o v e t o r d e f o r m a ç ã o t é r m i c a , { e t )T = { a T D , a T D , a T D , 0, 0, 0} (3.7) onde: TD = TP - T r e f jj e a é o c o e f i c i e n t e de e x p a n s ã o té_r m iç a do m a t e r i a l . . 0 v e t or t e n s ã o t é r m i c a local é e ntão d e t e r m i n a d o pelo p r o d u t o da m a t r i z de p r o p r i e d a d e s e l á s t i c a s do m a t e r i a l , [C],.e o v e t o r d e f o r m a ç ã o té r m i c a : { C e t } = [C] * { e t } (3.8)

Por ú ltimo, o v e to r força t é r m i c a é c a l c u l a d o pe^ lo p r o d u t o da "m at r iz tensão" e o vetor d e f o r m a ç ã o térmica:

Uma s o b r e p o s i ç ã o c o n v e n i e n t e é fe ita até complje tar t o do s os p o n t o s de i n t e g r a ç ã o em q u es tã o.

No p r o c e d i m e n t o c o m p u t a c i o n a l todos os resulta^ dos d e s c r i t o s a c im a são c a l c u l a d o s e a r m a z e n a d o s em di sco para uso p o s t e r i o r .

3.4. E s t i m a t i v a do núm er o de somas e m u l t i p l i c a ­ ções para o c á l c u l o da m a t r i z de r i gi d e z do e l e m e n t o p r o p o s t o

São d adas a s e g u i r duas t a b e l as que m o s t r a m uma e s t i m a t i v a do n ú m e r o de o p e r a ç õ e s r e q u e r i d a s para a v a l i a ç ã o da m a t r i z de r i g i d e z de um e l e m e n t o t r i - d i m e n s i o n a l u t i l i z a n d o o pr oc ed i m e n t o c o n v e n c i o n a l e o aqui p r op o st o. Na R e f e r ê n c i a 1 se e n c o n t r a um e s t u d o d e t a l h a d o a esse r e s pe it o.

32

T a b e l a 3.2. O p e r a ç õ e s r e q u e r i d a s para a v a l i a ç ã o da m a t r i z de r i g i d e z , e l e m e n t o t r i - d i m e n s i o n a l ( p r o c e d i m e n t o co_n

1 v e n c i o n a l ) , c o n f o r m e R e f e r ê n c i a 1.

P a s so s na C o m p u t a ç ã o N9 A d i ç õ e s N9 Mui ti p l i c a ç õ e s 1. Para ca d a p o nto de inte

g r a ç ã o a) P r o d u t o de coef. de peso e m a t r i z C de p r o p r i e d a ­ de do m a t e r i a l 6x6 b) O b t e n ç ã o do p r o d u t o CB 6x6x3N 6x6x3N c) O b t e n ç ã o B T CB (p or çã o tri a n g u l â r ' s u p e r i o r , somente) —[6x3N(3N+1)] 2 —[6x3N(3N+1)] 2 Total p a r a 'o ’p a s s o 1 27N2+117N 27N%117N+36 2. R e p e t i n d o as o p e r a ç õ e s no p a s so 1 para NPI p o n t o s de i n t e g r a ç ã o (27N2+117N)NPI (27N2+117N+36)NPI 3.. Soma s u p e r i o r dos e l e ­ m e n t o s i n d i v i d u a i s da m a t r i z de r i g i d e z ava liada em NPI p o n to s de i n t e g r a ç ã o —[3N(3N+1)]NPI 2 4. N9 total de o p e r a ç õ e s para o b t e r a m a t r i z de r i g i d e z do e l e m e n t o (passos 2 e 3) 1(63N2+237N)NPI 2 (27N2+117N+36)NP1 N = n ú me r o de nós do e l e m e n t o

T a b e l a 3.3. O p e r a ç õ e s r e q u e r i d a s para a v a l i a ç ã o da m a t r i z de r i g i d e z do e l e m e n t o propo st o.

P R O C E D I M E N T O N9 A D I Ç Õ E S N9 M U L T I P L I C A Ç Õ E S 1. Para cada p onto de

i n t e g r a ç ã o a) O b t e n ç ã o de [D] = [C]*WP(i) 3 b) O b t e n ç ã o de [BTD] = [B]T*[D] 18N 36N c) O b t e n ç ã o de [K] = [BTD]*[B] (parte t r i a n g u l a r inferior) 2 , 5 ( 9 N2 + 3 N ) 3 ( 9 N2 + 3 N ) 2. Total para o p a s so 1 2 2 , 5N* + 2 5, 5N 2 7 N2 + 45N + 3

3. Total para NPI p o n to s de i n t e g r a ç ã o (22,5N2+25,5N)NPI (2 7 N2 + 45N + 3 ) NP I 4. Soma dos e l e m e n t o s da ma triz de r i g i d e z (parte t r i a n g u l a r i n f èr i òr ) 91, 5 N (NPI -1 ) 5. N ú m e r o total de operações para o b t e n ç ã o da m a t r i z de r i g i d e z ( pãssòs 3 e 4) (22,5NZ+117N)NPI - - 91,5N (2 7 N2 + 45N + 3 ) NP I 6. E c o n o m i a em o p e r a ç õ e s em r e l a ç ã o ao p r o c e d i m e n t o c o n v e n c i o n a l (Tab. 3.2) 25% 1.1% N = num er o de nõs do e l e m e n t o NPI = n9 de ponto s de i n t e g r a ç ã o no e l e m e n t o

34 C A P I T U L O 4 E X E M P L O S N U M É R I C O S 4.1. I n t r o d u ç ã o A f o r m u l a ç ã o a p r e s e n t a d a nos C a p í t u l o s 2 e 3 é t e s t a d a a t r a v é s da s o l u ç ã o de p r o b l e m a s com g e o m e t r i a típ ic a p^ ra a p l i c a ç ã o do e l e m e n t o de soli do esfér ic o. Os r e s u l t a d o s eji tão são c o m p a r a d o s com s o l u ç õ e s a n a l í t i c a s e/ou n u m é r i c a s encoji t r ad a s na l i t e r a t u r a a fim de c o m p r o v a r a p r e c i s ã o da formulji ção p r op o s t a . A l g u n s e x e m p l o s são a p r e s e n t a d o s a seguir.

4.2. P r i m e i r o exemplo: so lu ç ã o do p r o b l e m a de uma e s f e r a oca s u b m e t i d a a um c a r r e g a m e n t o m e câ nico d i s t r i b u í d o d e v i d o ã p r e s s ã o u n i f o r m e

4.2.1. U t i l i z a n d o a m o d e l a g e m p a d r ã o de teste

A m o d e l a g e m p a d r ã o de teste e n c o n t r a - s e represen. tada na Fig. 4.1 e tem como c a r a c t e r í s t i c a p r i nc ip al o fato de u t i l i z a r apenas um e le m e n t o . Esta m o d e l a g e m a p r o v e i t a a dupla s i m e t r i a e x i s t e n t e na e s t r u t u r a , tanto g e o m é t r i c a q u a n t o de car r e g a m e n t o .

0 m at e r i a l a d o t a d o para este e os demais e x e m ­

c o e f i c i e n t e de P o i s s o n v = 0,3, na t e m p e r a t u r a de 30°C a qual se c o n v e n c i o n o u c h a m a r de t e m p e r a t u r a de r e f e r ê n c i a I (T j).

A s o l u ç ã o a n a l í t i c a d este p r o b l e m a se e n c o n t r a na l i t e r a t u r a , e.g., [19] onde Ó f o r n e c i d a a tensão radial, teji são t a n g e n c i a l e o d e s l o c a m e n t o radial. As d i s t r i b u i ç õ e s des_ tas são a s s e g u i n t e s : 3 , 3 3 3 , 3 3 P e b (R -á ) ,P.â (b -R ) ( j = j - - + g j j K R (a -b ) R (a -b ) P b3(2 R3 + a3 ) P . a3( 2 R3+ b 3 ) o , = o , (4.1) (4.2) T|, 3 3 3 3 3 3 ^ 0 2R (a -b ) 2R (a -b ) = - [ (1-v) a - va ] = - d onde V £ V R u = - [(1^V) Oy - vcrR ] ! (4.3)

onde 'P e P.. são as p r e s s õ e s e x t e r n a e interna r e s p e c t i v a m e n t e . Para a s o l u ç ã o n u m é r i c a d este p r o b l e m a o m es m o é d i v i d i d o em duas etapas: na p r i m e i r a é c o n s i d e r a d o apen as a p r e s s ã o interna u n i f o r m e e na o u tr a som en te a p r e s s ã o e x t e rn a u n i f o r m e . Os d ados com un s são os s eg uintes:

P r e s s ã o = 1 ,0 MPa a = 1,0 m b = 2,0 m Aip = A0 = tt/ 12 rad As c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o são: u = u ( R ) v = 0 , 0 w = 0 , 0

36 R1 = 1,0 m A R s l,0(Ti Vi s 21T/9 AV= TT/I2 01 = 2TT/9 A 0 = TT/12 (C)

Figura 4.1. (a) Modelagem padrao de teste. Tipos de carregamento: (b) Pres­ são interna; (c) Pressão externa.

Os r e s u l t a d o s m o s t r a d o s nas T a b e l a s 4.1 a 4.4 e nas F i g u r a s 4.2 a 4.5 s e r v e m para v e r i f i c a r a c o n v e r g ê n c i a da s o l u ç ã o a m e d i d a que se a l t e r a o núm er o de pon to s de i n t e g r a ç ã o para o c a l c u l o da m a t r i z de r ig idez. D e v e - s e s a l i e n t a r que a q u a n t i d a d e de p o n t o s de i n t e g r a ç ã o nas d i r e ç õ e s radial, m e r i d i o nal e c i r c u n f e r e n c i a l , r e s p e c t i v a m e n t e , para o c a lc u l o da mji triz de r i g i d e z está i d e n t i f i c a d a na 1? linha das T ab elas. Para e f e t u a r a i n t e g r a ç ã o do v e tor de fo rça sup er fi c ia l acrescentjj se a e s te s uma u n i d a d e em cada direção. Todos os c á l c u l o s para este e x e m p l o , bem como para os demais,, foram r e a l i z a d o s em p r £ c i sã o dupla. T a n t o os d e s l o c a m e n t o s como as tensões para este e os d e m ai s e x e m p l o s f o ram c a l c u l a d o s nos pontos nodais da m o d £ l agem (os q uais c o i n c i d e m com os raios i nd i ca do s nas ta be la s e g r á f i c o s ) .

T a b e l a 4.1. D e s l o c a m e n t o radial (u x 1 05m). Pre s sã o interna. Mo

d e l a g e m p ad r ã o de teste.

R A IO (m)

NOMERO DE PONTOS DE INTEGRAÇAO (N P I)

SOLUÇÃO A N A LlT IC A 020202 030303 040202 040402 Q40404 1 ,0 0 0 1 ,5 0 0 2 ,0 0 0 0,221278 0,133785 0,099687 0,399646 0,213548 0,151942 0,399632 0,213544 0,151950 0,399646 0,213548 0,151942 0,399646 0,213548 0,151942 0,416255 0,216386 0,156095

38

T a b e l a 4.2. T e n s õ e s r e s u l t a n t e s (MPa). P r e ss ã o interna. Modela^ gem p a d r ã o de teste.

TENSÃO (M Pa)

R A IO (m)

NÚMERO DE PONTOS DE INTEGRAÇÃO _SOLUÇÃO

A N A L ÍT IC A 020202 030303 040202 040402 040404 ° R 1 ,0 0 0 1 ,5 0 0 2,0 0 0 -0,1 00 - 0 ,1 1 7 0 ,0 7 2 -0,3 99 - 0 ,3 2 5 0 ,1 7 2 -0,399 -0,3 25 ,0 ,1 7 2 -0,399 - 0 ,3 2 5 0,172 -0,399 -0,3 25 0,172 -1,0 00 - 0,1 96 0,000 °4i~a d 1 ,0 0 0 1,5 0 0 2,0 0 0 0,5 6 5 0 ,1 9 5 0 ,1 6 8 0,926 0,252 0,282 0,926 0,252 0,282 0,926 0,252 .0,282 0,926 0,252 0,282 0,714 0,312 0,214

Figura 4.2. D e s l o c a m e n t o radial (u). P re s s ã o interna. M o d e l a g e m pad r ão de teste.

r--- SOLUÇÃO A N A L Í T I C A l X 3 PONTOS DE INTEGRAÇÃO

( b )

F ig u r a 4.3. T e n s õ e s r e s u l t a n t e s : (a) r ad i ai s; (b) t a n g e n c i a i s . P r e s s ã o interna. M o d e l a g e m p ad r ã o de teste.

40 5 ~ T a b e l a 4.3. D e s l o c a m e n t o radial (u x 10 m). P r e s s ã o externa. M o d e l a g e m p a d r ã o de teste. RAIO (m)

NÚMERO DE PONTOS DE INTEGRAÇÃO (N P I) SOLUÇÃO

A N A L ÍT IC A 020202 030303 040202 040303 040404 1 ,0 0 0 1,5 0 0 2 ,0 0 0 -0,398640 -0,377778 -0,647894 -0,607767 -0,525731 -0,568186 -0,607801 -0,525715 -0,568128 -0,613442 -0,531614 -0,575999 -0,607766 -0,525731 -0,568186 -0,624381 -0,528577 -0,572350

T a b e l a 4.4. T e n s õ e s r e s u l t a n t e s (MPa). Pr es s ã o ex terna. Modela_ gern p a d r ã o de teste.

TENSÃO RAIO NÜMERO DE PONTOS DE INTEGRAÇAO SOLUCAO

(MPa) (m) 020202 030303 040202 040303 040404 _{A N A L ÍT IC A} 1 ,0 0 0 - 0 ,0 2 3 - 0 ,6 0 1 - 0 ,6 01 - 0 ,6 1 0 - 0 ,6 0 1 0,0 0 0 0R 1 ,5 0 0 - 1 ,2 0 3 -0,6 75 -0,6 75 -0,689 -0,6 75 - 0,8 04 2 ,0 0 0 - 2 ,8 6 9 -1,1 72 -1,1 72 - 1,1 95 -1,1 72 - 1 ,0 0 0 1 ,0 0 0 - 1 ,1 0 4 -1,9 26 - 1,9 26 -1 946 - 1,92 6 - 1,7 10 Q II Q C D 1 ,5 0 0 - 1 ,2 0 7 - 1,2 52 - 1 ,2 5 1 - 1,2 68 - 1,2 52 I I - 1,3 10 j 2,0 0 0 - 2 ,1 1 9 - 1 ,2 8 2 -1,2 82# - 1 ,3 0 3 1 - 1 ,2 8 2 j -1,,210

— Solução analítica x 2 pontos de integração A 3,4 pontos de integração F i g u r a 4.4. D e s l o c a m e n t o radial (u x 10 m). P r e s s ã o e x t e r n a M o d e l a g e m p a d rã o de teste. — Solução analítica x - NPI = 20202 o - NPI = 30303 e 40202 d - NPI = 40404

F i gu r a 4.5a. T e n s õ e s r a d ia is na m o d e l a g e m padrã o de teste devi do ã p r e s s ã o e xt erna.

42 x - NPI = 20202 o - NPI = 30303 e 40202 d - NPI = 40404 (b) F i g u r a 4.5b. T e n s õ e s t a n g e n c i a i s na m o d e l a g e m p ad r ã o de teste d e v i d o ã p r e s s ã o ex t erna. A n a l i s a n d o os r e s u l t a d o s o bt i d o s , c o n s t a t a - s e que a s o l u ç ã o u t i l i z a n d o 2 p o nt o s de i n t e g r a ç ã o causa um e l e v a d o e£

ro para os dois casos de p r e s s ã o int e rn a ou externa. As soljj ç õe s u t i l i z a n d o 040 40 2, 040 4 04 , 0 4 0 30 3 dão a m e s m a p r e c i s ã o de s o l u ç ã o que com 0 3 0 3 0 3 p o n t o s , p o r e m a q u e l as c o n s o m e m mais tempo de m á q u i n a do que esta. A s o l u ç ã o a l t e r n a t i v a é a de 040202 pori tos de i n t e g r a ç ã o a qual u t i l i z a n d o ape na s 16 pon t os r e p r o d u z v a l o r e s de m es mo grau de p r e c i s ã o que a de 0303 03 pontos (ou s£ ja 27 p o n to s de i n t e g r a ç ã o no total), p o re m c o n s u m i n d o m e n o s tem po de p r o c e s s a m e n t o dos dados.

4.2.2. U t i l i z a n d o uma f a t i a da e s f e r a no 1? qua_ d r a n t e

F i g ur a 4.6. (a) F atia de e s f e r a com 1 e l e m e n t o em cada dir eç ão (1R1F1T) ; (b) Fatia de es fe r a co~ 1 e l e m e n t o na d_i_ reção radial, 6 elementos- na d i r e ç ã o me ri d i o n a l e 1

44

e l e m e n t o s . A l é m d e s t a são c a l c u l a d o s os v a l o re s para 2 e 4 e l £ m en t o s . Os c a r r e g a m e n t o s são os m e s m o s a p l i c a d o s no caso a n t £ r io r e a s o l u ç ã o a n a l í t i c a e dada p elas e q u a ç õ e s 4.1 a 4.3. 0 m a t e r i a l u t i l i z a d o é o mesmo . As c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o são tam bem i d ê n t i c a s , ou seja:

u = u (R )

v = 0 ,0 w = 0 ,0

D e v i d o a s i m e t r i a de c a r r e g a m e n t o , s a b e - s e que bons r e s u l t a d o s p o d e m ser o b t i d o s usan do poucos e l e m e n t o s na m o d e l a g e m da esf er a. A s o l u ç ã o do p r o b l e m a p r o p o s t o tem por o b j e t i v o v e r i f i c a r a i n f l u ê n c i a do núme ro de e l e m e n t o s na m o d £ lagem. Q u a n t o m e n o r o n úm e r o de e l e m e n t o s , m e n o r serã o volume de dados de e n t r a d a e de p r o c e s s a m e n t o o b t e n d o a s s i m e c o n o m i a de e s p a ç o e de tempo de m a q u i n a .

Nas T a b e l a s 4.5 a 4.7 e stão os r e s u l t a d o s para o . c a r r e g a m e n t o mecânico, d i s t r i b u í d o d e v id o a p r e s s ã o inte rn a un_i_

f orme ou e x te rn a.

Uma a n á l i s e dos r e s u l t a d o s m o s t r a que a utiliz_a ção de m a is de um e l e m e n t o na d i r e ç ã o m e r i d i o n a l ê t o t a l m e n t e d e s n e c e s s á r i a para o tipo de c a r r e g a m e n t o p r op os t o.

Com a f i n a l i d a d e de m e l h o r a r a c o n v e r g ê n c i a dos r e s u l t a d o s o b t i d o s acima, foi r e s o l v i d o n o v a m e n t e o p r o b l e m a coni s i d e r a n d o um refi no da m a l h a na d i r e ç ã o radial também. Foram t e s t a d a s 4 m a l h a s , todas com 2 e l e m e n t o s na d i r e ç ã o radial e 1, 2, 4 e 6 e l e m e n t o s na d i r e ç ã o m e r i d i o n a l . Como pode ser