ESTATÍSTICA – Lista 4
01. No gráfico seguinte está representada a variaçãodo saldo diário (em milhares de reais) das contas de uma empresa nos dez primeiros dias de um mês. Esse saldo expressa a diferença entre os valores recebidos e os valores pagos pela empresa.
Saldo diário (em milhares de reais) saldo
dia a) Em que dias do mês a empresa operou “no vermelho”, isto é, com saldo bancário diário negativo?
Nos dias 2, 7, 8 e 9.
b) Identifique os períodos de crescimento e decrescimento do saldo.
Crescimento: dia 2 ao dia 4, dia 5 ao dia 6, dia 8 ao dia 10;
Decrescimento: dia 1 ao dia 2, dia 4 ao dia 5, dia 6 ao dia 8.
c) Qual foi o saldo médio (média de todos os valores) da empresa nesse período?
̅ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
̅
02.
Número de mortes em acidentes de trânsito
Fonte: O Estado de S. Paulo, 4/3/2001.
Determine a média anual de mortes causadas por acidentes de trânsito: a) No período de 1991 a 2000; ̅ ̅
b) Nos últimos três anos da pesquisa.
̅
03. Cada um dos 60 alunos da turma A obteve, na avaliação de um trabalho, nota 5 ou nota 10. A média aritmética dessas notas foi 6. Determine quantos alunos obtiveram nota 5 e quantos alunos obtiveram nota 10.
Chamando de a quantidade de alunos que obteve nota 5 e de a quantidade de alunos que obteve nota 10. Pelo enunciado, sabemos que e a média das notas foi 6, isto é
Temos, portanto, um sistema de duas equações e duas incógnitas:
{ Resolvendo o sistema obtemos: e
04. O gráfico abaixo mostra a frequência relativa dos salários dos funcionários (em salários mínimos) de uma pequena empresa:
Qual é o salário médio correspondente?
̅ ̅
A média é de 7 salários mínimos.
05. O gráfico abaixo, em forma de pizza, representa as notas obtidas em uma questão pelos 32000 candidatos presentes à primeira fase de uma prova de vestibular. Ele mostra, por exemplo, que 32% desses candidatos tiveram nota 2 nessa questão.
Pergunta-se:
a) Quantos candidatos tiveram nota 3?
Nota 3:
b) É possível afirmar que a nota média nessa questão, foi menor ou igual a 2? Justifique sua resposta.
Não, pois a média foi maior que 2:
̅
̅
06. Numa indústria, a média de salários dos funcionários homens é de R$ 1.500,00 e a média salarial das funcionárias é de R$ 1.140,00. Sabendo que 60% dos funcionários da indústria são homens, qual o salário médio nessa indústria?
Se 60% dos funcionários são homens, então 40% são mulheres. Portanto
̅
̅
07. Houve uma denúncia de intoxicação por mercúrio em uma remessa de 20 latas de certo produto que chegaram a um supermercado. Então, foi feita uma inspeção para determinar a massa de mercúrio (material tóxico) presente em cada lata. Os resultados da inspeção são dados a seguir (em g de mercúrio por 1000 g do produto):
0,3 0,4 0,5 0,4 0,4 0,4 0,6 0,2 0,15 0,35 0,4 0,55 0,35 0,4 0,4 0,4 0,55 0,6 0,5 0,45 Uma remessa é confiscada quando,
em média
, a massa de mercúrio é superior 0,4 g.a) Deve essa remessa ser confiscada? Justifique.
A remessa será confiscada, pois a média de massa de mercúrio é superior a 0,4g:
̅
̅
b) Para evitar o confisco, o fornecedor propôs acrescentar cinco novas latas a essa remessa, garantindo que
todas as novas latas contêm massas
iguais de mercúrio
. Qual é a massa máxima de mercúrio que cada lata pode conter, afim de que a “nova” remessa não seja confiscada?Para não ser confiscada devemos ter: ̅ ; A nova média será:
̅
onde é a massa máxima de mercúrio de cada lata. Portanto, resolvendo a inequação:
Obtemos , portanto a massa máxima de mercúrio que cada lata pode conter é 0,34g.
08. Revistas – Evolução do mercado Em milhões de exemplares*
*Exclui pornográficas, fascículos, importadas, tabloides, cartões, passatempos/palavras cruzadas, livros humor/comédia.
Perfil dos leitores – Segundo pesquisa da Marplan Brasil, nos nove maiores mercados do país houve, em 1999, 18,7 milhões de leitores de revistas, dos quais 55% eram mulheres.
(Almanaque Abril, 2001)
a) Calcule a média anual de exemplares vendidos no período considerado.
A média anual:
̅ ̅
̅
b) Faça uma estimativa do número de revistas lidas, por leitora, no ano de 1999. Admita que todas leem a mesma quantidade.
De acordo com o enunciado temos os seguintes dados: Leitores em 1999 18,7 milhões
Sendo 55% mulheres Portanto, em 1999:
O número de revistas vendidas em 1999 350 milhões Considerando que todas as mulheres leem a mesma quantidade, dividimos o número de revistas vendidos pelo número de leitoras e teremos a razão “revistas por leitora”
09. As temperaturas máximas diárias de uma cidade, no inverno, forma medidas durante 10 dias:
21 °C 17 °C 19 °C 25 °C 26 °C
19 °C 16 °C 15 °C 15 °C 18 °C
Determine a mediana das temperaturas.
Colocando as observações em ordem crescente: Temos um número par de observações, 10. Portanto utilizamos a fórmula para mediana:
( ) ( )
10. Calcule a média, a moda e a mediana do seguinte conjunto de valores: 11 8 15 19 6 15 13 21 Média: ̅ Mediana: ( ) ( ) Moda:
11. Determine a moda de cada um dos seguintes conjuntos de valores: a) 1 3 3 5 1 2 4 Bimodal: e b) 0 1 2 3 4 5 6 Amodal c) -3 4 2 0 1 7 2
12.
Como variou o IPC-Fipe A evolução do índice de preços – em %
Fonte: O Globo, 7/3/2001.
O IPC é um índice utilizado para apurar a inflação. Determine a média e a mediana das variações apuradas, no período considerado.
Média:
̅ Mediana:
13. Os dados ordenados abaixo referem-se ao tempo de espera (em minutos) de 10 pessoas que foram atendidas em um posto de saúde durante uma manhã:
1 – 5 – 8 – 9 – – 16 – 18 – – 23 – 26 Sabendo que o tempo médio de espera foi de 14 minutos e o tempo mediano foi de 15 minutos, determine os valores de e . Sabemos que ̅ e ̅
14. Em um colégio funciona uma cantina. Os gastos diários de 12 alunos com a cantina estão abaixo relacionados (em reais):
5,80 – 6,20 – 5,90 – 6,40 – 7,00 – 6,00 6,50 – 6,50 – 5,80 – 6,50 – 6,00 – 5,80 a) Determine o gasto médio diário de um aluno na cantina.
̅
̅
b) Determine a variância e o desvio padrão.
e
c) Qual é a moda dos gastos diários na cantina?
e
15. (Unicamp-SP) Para um conjunto a média aritmética de é definida por
̅ e a variância de é definida por
[( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ] Dado o conjunto , pede-se:
a) Calcular a média aritmética de .
̅
b) Calcular a variância de .
( ) ( ) ( ) ( )
c) Quais elementos de pertencem ao intervalo [ ̅ √ ̅ √ ]?
[ ̅ √ ̅ √ ] [ √ √ ] [ ]
Portanto 5 ou 8.
15. Observe os seguintes conjuntos de valores:
Existem dois valores para tais que as variâncias obtidas nos dois conjuntos são iguais. Determine-os.
Lembrando que:
Variância ∑( ̅)
Desvio Padrão √∑( ̅)
Podemos reescrever a fórmula do seguinte modo:
Desvio Padrão √∑( ) (∑ )
As variâncias são iguais, logo o desvio padrão também é igual. Temos que resolver a equação:
√ ( ) √ ( )
( )
16. Em cada caso, calcule a média aritmética dos valores: a) ̅ b) ̅ c) ̅ d) ̅
17. A média aritmética entre
e ( ) é . Qual é o valor de ?
̅ ( )
18. Em um edifício residencial com 54 apartamentos, 36 condôminos pagam taxa de condomínio de R$180,00 ; para os demais, essa taxa é de R$240,00. Qual é o valor da taxa média de condomínio nesse edifício?
̅
R$ 200,00 é a taxa média de condomínio.
19. Um grupo de vinte recém-nascidos tem “peso” médio de ; um grupo de trinta recém-nascidos tem “peso” médio de . Juntando os recém-nascidos dos grupos e , qual é o valor esperado para a média de “pesos”?
̅
20. Em uma fábrica, a média salarial das mulheres é R$ 580,00; para os homens a média salarial é R$720,00. Sabe-se, também, que a média geral de salários nessa fábrica é R$ 622,00.
a) Sem fazer cálculos, responda: há mais homens ou mulheres trabalhando na fábrica?
Mulheres, pois a média geral de salários está mais próxima do salário recebido pelas mulheres.
b) Determine as quantidades de homens e de mulheres, sabendo que elas diferem de 32.
(1) (2) Substituindo (2) em (1), obtemos: ( )
21. (U.F. Juiz de Fora – MG) Jorge emprega vinte funcionários em sua pequena fábrica de sapatos, distribuídos quanto aos cargos e salários, segundo a tabela abaixo:
Cargo Salário mensal por
funcionário Número de funcionários Costureira 9 Arrematadeira 5 Cortadeira 3 Auxiliar administrativo 1 Gerente de máquinas 1 Auxiliar geral 1 Total de salários: ∑ Total arrecadado:
O que cada funcionário receberá é proporcional ao seu salário: Assim, para saber quanto cada um receberá, basta multiplicar
seu salário pelo fator .
a) Em cada mês de 2002, uma parcela do faturamento foi depositada numa poupança e, no final do ano, o montante foi rateado entre os funcionários como prêmio de produtividade. Cada funcionário recebeu uma parte desse montante na mesma proporção entre o seu salário e o total mensal dos salários da fábrica. Se ao final do ano o montante era de , determine quanto recebeu cada funcionário, segundo sua função, como prêmio de produtividade:
Costureira Arrematadeira Cortadeira Auxiliar administrativo Gerente de máquinas Auxiliar geral Observe:
b) Jorge está querendo contratar um administrador para sua fábrica. Porém, a média aritmética dos salários dos funcionários não pode ultrapassar . Determine o valor máximo do salário que Jorge pode oferecer para seu candidato a administrador.
Portanto, o maior salário que Jorge pode oferecer para seu candidato a administrador é de R$ 1.500,00
22. A média aritmética de um conjunto formado por vinte números é . Qual será a nova média se:
Sabemos que
a) Acrescentarmos o número a esse conjunto?
A média dos 21 números é 13.
b) Retirarmos o número desse conjunto?
A média dos 19 números é 10.
c) Acrescentarmos o número a esse conjunto e retirarmos o ?
A média dos 20 números é 12,6.
d) Cada valor ficar multiplicado por ? ( )
Ao multiplicar por 3 cada valor, a média será multiplicada por 3.
e) A cada valor forem adicionadas unidades?
( ) ( ) ( )
( )
23. Um corretor de imóveis relacionou, ao longo de dois anos de trabalho, a quantidade de imóveis comercializados (venda ou locação) mensalmente. Os resultados encontram-se na tabela abaixo:
Imóveis comercializados por
mês Número de meses
0 8
1 4
2 11
3 1
a) Quais são os valores da média, mediana e moda da variável em questão?
Média:
̅
Em média o corretor comercializou 1,2 imóveis por mês.
Moda: A moda é comercializar 2 imóveis por mês. Mediana:
b) Se nos próximos cinco meses não for comercializado imóvel algum, qual será a mediana dos 29 valores?
A nova mediana será
