Teoria-Tema 3-2011

(1)

Conte´

udo

3 Sistemas de equa¸c˜oes lineares. M´etodos Iterativos 2

3.1 Introdu¸c˜ao . . . 2

3.1.1 Defini¸c˜ao matricial . . . 2

3.2 M´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss . . . 3

3.3 M´etodo de Jacobi-Richardson . . . 4

3.3.1 Crit´erios de convergˆencia . . . 6

3.4 M´etodo de Gauss-Seidel . . . 7

(2)

Sistemas de equa¸

c˜

oes lineares.

M´

etodos Iterativos

3.1 Introdu¸

c˜

ao

Os sistemas lineares de equa¸cões aparecem em muitos - quase todos - problemas de mod-elagem computacional em engenharia e ciências. Neste tema estudaremos métodos itera-tivos que nos permitiram encontrar uma solu¸cão aproximada de um sistema de equa¸cões.

3.1.1 Defini¸

c˜

ao matricial

Seja dado o sistema com n equa¸c˜oes e n inc´ognitas:            a11x1 + a12x2 + . . . + a1n = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2n = b2 .. . ... . .. ... ... ... an1x1 + an2x2 + . . . + ann = bn (3.1)

O sistema anterior pode ser escrito na forma:       a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... . .. ... an1 an2 . . . ann      ·       x1 x2 .. . xn      =       b1 b2 .. . bn      

(3)

Jos´e A. Nhavoto, MSc 29 de Agosto de 2011 Se considerarmos A =       a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... . .. ... an1 an2 . . . ann      ; x =       x1 x2 .. . xn      ; b =       b1 b2 .. . bn       ent˜ao podemos simplesmente escrever

Ax = b.

Exemplo

Escreva o sistema abaixo na forma matricial:      2x1 + 4x2 + 4x3 = 2 x1 + 5x2 + 6x3 = 2 2x1 + 3x2 + x3 = −1

Resolu¸cão: Trata-se de um sistema de 3 equa¸c˜oes e 3 incógnitas. Seguindo a lógica exposta anteriormente, temos:

   2 4 5 1 5 6 2 3 1    ·    x1 x2 x3    =    2 2 −1    donde: A =    2 4 5 1 5 6 2 3 1    ; x =    x1 x2 x3    e b =    2 2 −1   

3.2 M´

etodo de Elimina¸

c˜

ao de Gauss

O método de Elimica¸cão de Gauss é um método ditrecto. Este método é um dos mais eficiente e utilizado na solu¸cãoo de um sistema linear geral da forma

           a11x1 + a12x2 + . . . + a1n = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2n = b2 .. . ... . .. ... ... ... an1x1 + an2x2 + . . . + ann = bn 3

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A ideia central deste método consiste na elimina¸cão sistemática das incógnitas transfor-mando o sistema geral em um sistema do tipo triangular o qual já sabemos como resolver.

Exemplo Resolver o sistema:      x1 + x2 + x3 = 4 2x1 + 3x2 + x3 = 9 x1 − x2 − x3 = −2

usando o método de Elimina¸cão de Gauss. Resolu¸cão:

Passo 1 POdemos eliminar a inc´ognita x1 nas linhas `2 e `3 fazendo `2 ← (−2)`1 + `3

(substituir `2 por (−2) · `1+ `2) e `3 ← (−1)`1+ `3:      x1 + x2 + x3 = 4 x2 − x3 = 1 − 2x2 − 2x3 = −6

Passo 2 Vamos agora eliminar a inc´ognita x2 na linha `3 fazendo a seguinte opera˜ao:

`3 ← (2)`2+ `3:      x1 + x2 + x3 = 4 x2 − x3 = 1 − 4x3 = −4

Temos agora um sistema triangular que pode ser resolvido com o algoritmo da retro-substitui¸c˜ao: _         x3 = −4 −4 = 1 x2 = 1 + x3 = 1 + 1 = 2 x1 = 4− x2− x3 = 4− 1 − 2 = 1 Assim, a solu¸c˜ao ´e: x = (1, 2, 1)T

3.3 M´

etodo de Jacobi-Richardson

Neste método cada coordenada do vector correspondente à nova aproxima¸cão é calculada a partir da respectiva equa¸cão do sistema, utilizando-se as demais coordenadas do vector

(5)

Jos´e A. Nhavoto, MSc 29 de Agosto de 2011

aproxima¸c˜ao da itera¸c˜ao anterior:

x(k)_i = bi− n ∑ j=1,j6=i aijx (k−1) j aii , i = 1, 2, . . . , n (3.2) Exemplo

Determine a solu¸c˜ao do sistema      3x1 + x2 + x3 = 7 x1 + 4x2 + 2x3 = 4 2x2 + 5x3 = 5

com chute inicial x(0) = [0, 0, 0]T.

Resolu¸c˜ao: Primeiro reescrevemos o sistema na forma matricial:    3 1 1 1 4 2 0 2 5       x1 x2 x3    =    7 4 5   

Aplicando a f´ormula (??), obtemos as equa¸c˜oes de recorrˆencia:                    x(k)₁ = 7− 1 · x (k−1) 2 − 1 · x (k−1) 3 3 x(k)₂ = 4− 1 · x (k−1) 1 − 2 · x (k−1) 3 4 x(k)₃ = 5− 0 · x (k−1) 1 − 2 · x (k−1) 2 5

Substituindo, no sistema anterior, os valores x(0)₁ = 0, x(0)₂ = 0, x(0)₃ = 0 obtemos a tabela

(6)

abaixo: Itera¸c˜ao x(k)₁ x(k)₂ x(k)₃ 1 2.3333 1.0000 1.0000 2 1.6667 −0.0833 0.6000 3 2.1611 0.2833 1.0333 4 1.8944 −0.0569 0.8867 5 2.0568 0.0831 1.0228 6 1.9647 −0.0256 0.9668 7 2.0196 0.0254 1.0102 8 1.9881 −0.0100 0.9898 .. . ... ... ... solu¸c˜ao exacta 2.0000 0.0000 1.0000

3.3.1 Crit´

erios de convergˆ

encia

O m´etodo de Jacobi-Ricchardson converge se: max

i

∑

j=1,j6=i

|a∗

ij| < 1 (crit´erio das linhas)

ou max j ∑ i=1,i6=j |a∗

ij| < 1 (crit´erio das colunas)

Observa¸c˜ao: O processo iterativo para quando

|x(k)− x(k−1)|

|x(k)| ≤ 

onde ´e um n´umero positivo previamente estabelecido. Exemplo Resolver o sistema:      10x1 + 2x2 + x3 = 7 x1 + 5x2 + x3 = −8 2x1 + 3x2 + 10x3 = 6

pelo m´etodo de Jacobi-Richardson com x(0) _{= (0.7,} −1.6, 0.6)T _{e < 10}−2_.

Resolu¸c˜ao: Dividindo cada equa¸c˜ao pelo correspondente elemento da diagonal principal

obtemos:      x1 + 0.2x2 + 0.1x3 = 0.7 0.2x1 + x2 + 0.2x3 = −1.6

(7)

Jos´e A. Nhavoto, MSc 29 de Agosto de 2011 Daqui temos: max i ∑ j=1,j6=i |a∗ ij| = 0.5 < 1

portanto temos o critério de convergência satisfeito. Neste caso o critério das colunas, max

j

∑

i=1,i6=j

|a∗

ij| = 0.5 < 1, tamb´em est´a satisfeito.

Efetuando-se as itera¸c˜oes definidas por:            x(k)₁ = 0.7− 0.2x(k₂−1)− 0.1x(k₃ −1) x(k)₂ =−1.6 − 0.2x(k₁−1)− 0.2x(k₃ −1) x(k)₃ = 0.6− 0.2x(k₁−1)− 0.3x(k₂ −1) a partir de x(0) _{= (0.7,} −1.6, 0.6)T_{, resultam os seguintes valores:}

k x1 x2 x3 0 0.7 −1.6 0.6 1 0.96 −1.86 0.94 2 0.978 −1.98 0.966 3 0.9994 −1.9888 0.9984 4 0.99792 −1.99956 0.99676

Para < 10−2 temos que a solu¸c˜ao do sistema ´e: X = (0.99; −1.99; 0.99)T_{. No entanto,}

a solu¸c˜ao exata do sistema proposto ´e x = (1,−2, 1)T_.

3.4 M´

etodo de Gauss-Seidel

Neste método cada coordenada do vector correspondente à nova aproxima¸cão é calculada a partir da respectiva equa¸cão do sistema, utilizando-se as demais coordenadas do vector aproxima¸cão da itera¸cão anterior:

x(k)_i = bi− i∑−1 j=1 aijx (k) j − n ∑ j=i+1 aijx (k−1) j aii , i = 1, 2, . . . , n (3.3) Exemplo 7

(8)

Resolver o sistema _   3 1 1 1 4 2 0 2 5       x1 x2 x3    =    7 4 5   

com chute inicial x(0) =    0 0 0    .

Resolu¸cão: Aplicando a fórmula (??), obtemos as equa¸c˜oes de recorrência:                    x(k)₁ = 7− 1 · x (k−1) 2 − 1 · x (k−1) 3 3 x(k)₂ = 4− 1 · x (k) 1 − 2 · x (k−1) 3 4 x(k)₃ = 5− 0 · x (k) 1 − 2 · x (k) 2 5

Substituindo, no sistema anterior, os valores x(0)₁ = 0, x(0)₂ = 0, x(0)₃ = 0 obtemos a tabela abaixo: Itera¸c˜ao x(k)₁ x(k)₂ x(k)₃ 1 2.3333 0.4167 0.8333 2 1.9167 0.1042 0.9583 3 1.9792 0.0260 0.9896 4 1.9948 0.0065 0.9974 5 1.9987 0.0016 0.9993 6 1.9997 0.0004 0.9998 7 1.9999 0.0001 1.0000 .. . ... ... ... solu¸c˜ao exacta 2.0000 0.0000 1.0000

3.4.1 Crit´

erios de convergˆ

encia

Matriz diagonalmente dominante

Dizemos que uma matriz An×n´e diagonalmente dominante se

|aii| > n ∑ j=1,j6=i |aij|, i = 1, . . . , n. Exemplo

(9)

Jos´e A. Nhavoto, MSc 29 de Agosto de 2011 A matriz A =    3 −1 1 2 5 −2 1 3 7  

 ´e diagonalmente dominante pois

|3| > | − 1| + |1| |5| > |2| + | − 2| |7| > |1| + |3|

Proposi¸c˜ao 3.1. Considere o sistema linear Ax = b. Se A ´e diagonalmente dominante então a sequência de itera¸cões para o método de Gauss-Seidel converge para a solu¸cão do sistema.

Crit´erio de Sassenfeld

O m´etodo de Gauss-Seidel converge se: max

i βi < 1

onde os βi são calculados por recorrência através de:

βi = i−1 ∑ j=1 |a∗ ij|βj + n ∑ j=i+1 |a∗ ij|.

Crit´erio das linhas

O método de Gauss-Siedel converge se o critério das linhas for satisfeito, isto é, se: max i ∑ j=1,j6=i |a∗ ij| < 1. Exemplo Resolver o sistema:      5x1 + x2 + x3 = 5 3x1 + x2 + x3 = 6 3x1 + x2 + 6x3 = 0

pelo m´etodo de Gauss-Siedel com x(0) _{= [0, 0, 0]}T _{e < 10}−2_.

Resolu¸c˜ao: Dividindo cada equa¸c˜ao pelo correspondente elemento da diagonal principal

obtemos:      x1 + 0.2x2 + 0.2x3 = 1 0.75x1 + x2 + 0.25x3 = 1.5 0.5x1 + 0.5x2 + x3 = 0 9

(10)

Temos: max i ∑ j=1,j6=i |a∗ ij| = 1.

Portanto, por esse critério não podemos garantir convergência. Mas aplicando o critério de Sassenfeld, temos: β1 =|0.2| + |0.2| = 0.4 β2 =|0.75|(0.4) + |0.25| = 0.55 β3 =|0.5|(0.5) + |0.5|(0.55) = 0.475 isto é, max i βi = 0.55 < 1.

Logo temos o critério de convergência satisfeito. Efetuando-se as itera¸cões definidas por:            x(k)₁ = 1− 0.2x(k₂ −1)− 0.2x(k₃ −1) x(k)₂ = 1.5− 0.75x(k)₁ − 0.25x(k₃ −1) x(k)₃ =−0.5x(k)₁ − 0.5x(k)₂ a partir de x(0) _{= [0, 0, 0]}T_{, resultam os seguintes valores:}

k x1 x2 x3 0 0 0 0 1 1 0.75 0.875 2 1.025 0.95 −0.9875 3 1.0075 0.99125 −0.999375 4 1.001625 0.998625 −1.000125

Para < 10−2 temos que a solu¸c˜ao do sistema ´e x = (1.00; 0.99; −1.00)T_{. No entanto, a}

solu¸c˜ao exata do sistema proposto ´e x = (1, 1, −1)T_.

Observa¸c˜oes:

• Dado um sistema linear Ax = b pode acontecer que o m´etodo de Jacobi-Richardson

aplicado a ele resulte convergente enquanto que o de Gauss-Seidel resulta divergente e vice-versa.

• A convergência para os métodos: Jacobi-Richardson e Gauss-Seidel não depende do