UFPE – MA535 (INTRODU ¸C ˜AO `A MATEM ´ATICA II) – 2011.1 Introdu¸c˜ao ao espa¸co euclidiano Rn, subespa¸cos afins do

UFPE – MA535 (INTRODU ¸ C ˜ AO ` A MATEM ´ ATICA II) – 2011.1 Introdu¸ c˜ ao ao espa¸ co euclidiano R

, subespa¸ cos afins do R

e seu uso em sistemas lineares – v. 1.0 – Prof. Fernando J. O. Souza Objetivos:

• Dar uma introdu¸c˜ao a alguns temas do estudo do espa¸co euclidiano R

;

• Descrever parametriza¸c˜oes dos subespa¸cos afins do R

para expressar conjuntos-solu¸c˜ao de sistemas de equa¸c˜oes lineares;

• Revisar sistemas de equa¸c˜oes lineares.

Na geometria anal´ıtica, representam-se no¸c˜oes geom´etricas algebricamente.

Ela assume uma correspondˆencia entre R e cada reta (o axioma de Cantor- Dedekind). Os resultados que valem para os objetos da geometria euclidiana tamb´em valem para os objetos correspondentes na geometria anal´ıtica (fa- lando tecnicamente, o teorema de Tarski diz que a geometria euclidiana ´e interpret´ avel na geometria anal´ıtica).

Pontos e distˆ ancia. No plano euclidiano R

e no espa¸co euclidiano tridi- mensional R

, pontos s˜ao representados pelos elementos de tais conjuntos, ou seja, por duplas (x, y) e triplas (x, y, z) de n´ umeros reais, respectivamente.

Analogamente, define-se um ponto no R

como sendo um elemento do R

, ou seja, uma n -upla de n´ umeros reais ( x

, x

, . . . , x

) qualquer.

Para que o teorema de Pit´agoras valha ao n´ıvel alg´ebrico, define-se a dis- tˆ ancia euclidiana entre dois pontos ( x

, x

) e ( y

, y

) no R

, ou ( x

, x

, x

) e (y

, y

, y

) no R

, como sendo, respectivamente: p

(x

− y

)

+ (x

− y

)

e p

(x

− y

)

+ (x

− y

)

+ (x

− y

)

. Estas defini¸c˜oes se generalizam do modo esperado para o R

. A distˆ ancia euclidiana entre dois pontos (x

, x

, . . . , x

) e (y

, y

, . . . , y

) quaisquer do R

´e definida como:

p (x

− y

)

+ (x

− y

)

+ · · · + (x

− y

)

Tal distˆancia tamb´em ´e o comprimento do segmento cujas extremidades

s˜ao dadas por aqueles dois pontos.

Vetores no plano e no espa¸ co tridimensional. Primeiro, considerar-se-

˜ao vetores sob o ponto-de-vista da rela¸c˜ ao de equipolˆ encia : ` A exce¸c˜ao do vetor nulo, um vetor captura uma magnitude (uma intensidade, norma) ao longo de uma dire¸c˜ao e num dos dois sentidos desta. O vetor nulo − →

0 representa a magnitude nula e n˜ao tem dire¸c˜ao. Segmentos orientados no R

ou no R

s˜ao ditos equipolentes quando tˆem o mesmo comprimento, a mesma dire¸c˜ao e o mesmo sentido. Os segmentos que consistem de um ´ unico ponto cada s˜ao considerados equipolentes uns aos outros (eles representam o vetor nulo).

Segmentos orientados s˜ao ditos representar um mesmo vetor precisamente quando s˜ao equipolentes. O vetor representado pelo segmento orientado com extremidades inicial e final dadas por A e B, respectivamente, ´e deno- tado por −→

AB. Assim, a no¸c˜ao de vetor acima n˜ao inclui ponto de aplica¸c˜ao (este seria a extremidade inicial de algum segmento orientado, o qual ´e ape- nas um dentre os infinitos representantes do vetor correspondente). Al´em disto, a norma

− → v

de um vetor − → v ´e, por defini¸c˜ao, o comprimento de qualquer segmento orientado que o represente.

Considerem-se pontos A = (a

, a

, a

), B = (b

, b

, b

), C = (c

, c

, c

) e D = ( d

, d

, d

) do R

(o caso do R

´e an´alogo, com duas coordenadas). Os segmentos orientados (A, B) e (C, D) representam o mesmo vetor (isto ´e,

−→ AB = −−→

CD) se, e somente se:

b

− a

= d

− c

, b

− a

= d

− c

e b

− a

= d

− c

.

Denotem-se estas trˆes quantidades por ∆x, ∆y e ∆z, respectivamente. ´ E f´acil ver que a norma e a dire¸c˜ao est˜ao determinadas por elas. J´a o sentido est´a capturado pelos sinais destas quantidades. Se se pensasse apenas nas raz˜oes, (por exemplo,

, se o denominador n˜ao ´e nulo), como no coeficiente angular do caso planar, ter-se-ia apenas a dire¸c˜ao pois, trocando-se ambos os sinais das quantidades, a raz˜ao n˜ao mudaria, mas o sentido do vetor mudaria.

Da´ı, dado qualquer vetor −→

AB (dado em termos de um segmento orientado AB que o representa), ele possui um e apenas um representante com extremi- dade inicial (ponto-de-aplica¸c˜ao) na origem O = (0 , 0 , 0), a saber, o segmento orientado OP onde P = (b

−a

, b

−a

, b

−a

). As coordenadas de P s˜ao di- tas coordenadas do vetor, e se denota −→

AB = −→

OP = ( b

− a

, b

− a

, b

− a

).

Literalmente, “vetor” significa “condutor” . Um ponto-de-vista tem vetores como condutores de pontos: −→

AB conduz o ponto A ao ponto B . Aplicando-

se um vetor a um ponto, obt´em-se um ponto pelo deslocamento, a partir daquele ponto (de aplica¸c˜ao), ao longo da dire¸c˜ao do vetor e no sentido dele por uma distˆancia igual `a norma daquele vetor. Isto ´e expresso atrav´es de:

A + −→

AB = B. Isto ´e consistente com as coordenadas dos pontos e do vetor no sentido de que as opera¸c˜oes podem ser feitas coordenada a coordenada !

(a

, a

, a

) + (b

− a

, b

− a

, b

− a

) = (b

, b

, b

) (1) Combina¸ c˜ oes lineares no plano e no espa¸ co tridimensional. A adi-

¸

c˜ ao de vetores − → u = (u

, u

, u

) e − → v = (v

, v

, v

) no R

(o caso do plano

´e an´alogo) formaliza as id´eias f´ısica de superposi¸c˜ao e geom´etricas das regras do paralelogramo e do triˆangulo. A n´ıvel de coordenadas, ´e dada pela adi¸c˜ao coordenada a coordenada, ou seja, cada coordenada da soma ´e a soma das coordenadas hom´ologas (de mesma posi¸c˜ao) dos vetores:

−

→ u + − → v = (u

+ v

, u

+ v

, u

+ v

) (2) As equa¸c˜oes (1) e (2) lidam com objetos diferentes (a primeira, pontos e ve- tor; a segunda, apenas vetores). Equa¸c˜ao (1) pode tamb´em ser entendida `a luz da adi¸c˜ao de vetores por meio da correspondˆencia entre pontos e vetores que emanam da origem O = (0 , 0 , 0), exprimindo-se como: −→

OA + −→

AB = −−→

OB . A adi¸c˜ao de vetores ´e associativa e comutativa. O vetor nulo − →

0 ´e seu elemento neutro, e seu elemento inverso ´e −− → u = (− u

, − u

, − u

), o vetor oposto de − → u = (u

, u

, u

). Se − → u = −→

AB, ent˜ao −− → u = −→

BA, onde os segmen- tos orientados ( A, B ) e ( B, A ) tˆem sentidos opostos mas possuem o mesmo segmento (euclidiano) subjacente AB = BA.

A n´ıvel de geometria anal´ıtica, a multiplica¸ c˜ ao de um vetor − → u = (u

, u

, u

) no R

(o caso do plano ´e an´alogo) por um escalar r ∈ R ´e dada por: r − → u = (ru

, ru

, ru

). As transforma¸c˜oes geom´etricas sobre − → u corres- pondentes `a multiplica¸c˜ao por escalar s˜ao bem conhecidas, e as duas primeiras podem vir combinadas com a terceira: dilata¸c˜ao (expans˜ao) quando |r| > 1;

contra¸c˜ao (redu¸c˜ao) quando 0 < |r| < 1; e invers˜ao de sentido quando r < 0.

Al´em disto, tem-se que 1 − → u = − → u , 0 − → u = − →

0 e −1 − → u = −− → u . Da´ı, a multi-

plica¸c˜ao de um vetor nˆao-nulo por todos os escalares n˜ao-nulos gera todos

os vetores n˜ao-nulos paralelos ao vetor dado. Se os escalares s˜ao positivos, o

sentido ´e preservado; se s˜ao negativos, ele ´e mudado.

Dada uma lista finita de vetores, − → v

, . . . , − → v

, uma combina¸ c˜ ao linear deles ´e o resultado do somat´orio de m´ ultiplos deles. Mais precisamente, r

− → v

+ · · · + r

− → v

para alguma lista com o mesmo n´ umero k de escalares, r

, . . . , r

∈ R . Em particular, o vetor nulo ´e sempre uma combina¸c˜ao linear, tomando-se todos os escalares nulos.

Retas e planos no espa¸ co tridimensional. Combinando-se as id´eias por tr´as da Equa¸c˜ao (1) e das opera¸c˜oes com vetores acima, tem-se descri¸c˜oes param´etricas de retas no R

, e de retas e planos no R

(descrever-se-˜ao para este, pois retas parametrizadas no R

s˜ao an´alogas `aquelas no R

). Dados um ponto P

= ( x

, y

, z

) e um vetor n˜ao-nulo − → v = ( v

, v

, v

), o conjunto dos pontos obtidos por condu¸c˜ao do ponto P

pelos m´ ultiplos de − → v ´e a reta (afim) que passa por P

com vetor diretor − → v , isto ´e, P (t) = P

+ t − → v para algum t ∈ R . Cada ponto corresponde a uma escolha do parˆametro t na equa¸c˜ao abaixo:

(x(t), y (t), z(t)) = (x

, y

, z

) + t(v

, v

, v

)

Isto fornece trˆes equa¸c˜oes param´etricas: x ( t ) = x

+ tv

, etc. A palavra afim refere-se, neste contexto, ao fato de que se est´a gerando a reta a partir de um ponto P

qualquer (e n˜ao necessariamente da origem, a qual pode pertencer

`a reta ou n˜ao).

Qualquer vetor n˜ao-nulo paralelo a − → v (isto ´e, qualquer m´ ultiplo n˜ao-nulo de − → v ) serve como vetor diretor para a mesma reta. Tamb´em qualquer ponto da reta pode ser usado como alternativa a P

. Ambas estas modifica¸c˜oes podem alterar o valor do parˆametro para cada ponto da reta !

Ex.: Dados P

= (1 , 2 , 3) e − → v = (2 , −6 , 4), os pontos da reta podem ser des- critos como P (t) = (1, 2, 3)+t(2, −6, 4). Por exemplo, P

= P (1) = (3, −4, 7) e Q = P (−2) = (−3, 14, −5) pertencem `a reta, bem como P

= P (0).

Tomando-se, agora, o ponto Q e o vetor diretor − → w = −

− → v = (−1 , 3 , −2) para uma nova parametriza¸c˜ao R(s) = Q + s − → w da mesma reta, tem-se que:

Q = R(0), enquanto P

= R(−4) e P

= R(−6). Os pontos n˜ao mudam, mas seus valores do novo parˆametro s s˜ao diferentes daqueles de t .

Analogamente, dados um ponto P

= (x

, y

, z

) e dois vetores n˜ao-nulos

−

→ u = ( u

, u

, u

) e − → v = ( v

, v

, v

) que n˜ao s˜ao paralelos, o conjunto dos

pontos P (s, t) = P

+ s − → u + t − → v obtidos de P

pela a¸c˜ao das combina¸c˜oes

lineares de − → u e − → v ´e o plano (afim) que passa por P

com vetores diretores

−

→ u e − → v .

Vetores no espa¸ co euclidiano R

. Pode-se generalizar a no¸c˜ao de vetor do R

e do R

para o R

atrav´es de algumas abordagens compat´ıveis umas com as outras. Dados dois pontos A = (a

, . . . , a

) e B = (b

, . . . , b

), tome- se o vetor −→

AB, formalmente, como o conjunto de todos os pares ordenados (C, D) de pontos C = (c

, . . . , c

) e D = (d

, . . . , d

) tais que:

b

− a

= d

− c

, . . . , b

− a

= d

− c

, . . . , b

− a

= d

− c

Disto, −→

AB = −−→

CD, e as coordenadas do vetor s˜ao aquelas do ponto P que lhe fornece o representante (O, P ), onde O = (0, . . . , 0) ´e a origem:

−→ AB = −→

OP = ( b

− a

, . . . , b

− a

). Tamb´em se tem a a¸c˜ ao de vetores sobre pontos como na Equa¸c˜ao (1): A + −→

AB = B ou, a n´ıvel de coordenadas:

(a

, . . . , a

) + (b

− a

, . . . , b

− a

) = (b

, . . . , b

) (3) A adi¸ c˜ ao de vetores e a multiplica¸ c˜ ao de um vetor por um es- calar s˜ao generalizadas da maneira esperada:

−

→ u + − → v := (u

+ v

, . . . , u

+ v

) (4) r − → u := (ru

, . . . , ru

) (5) A adi¸c˜ao de vetores ´e associativa e comutativa , tendo o vetor nulo

−

→ 0 := (0, 0, . . . , 0) como elemento neutro, e o vetor −− → u := (−u

, . . . , −u

) (vetor oposto de − → u ) como elemento inverso de − → u para efeito de adi¸c˜ao.

Al´em disto, valem as seguintes propriedades (conforme o esperado) para todos os vetores − → u e − → v , e todos os escalares r, c ∈ R :

1 − → u = − → u ; 0 − → u = − →

0 ; (−1) − → u = −− → u ; (6)

r( − → u + − → v ) = r − → u + r − → v ); (7)

(r + c) − → u = r − → u + c − → u ; (8)

( rc ) − → u = r ( c − → u ) (9)

Combinando-se as id´eias embutidas nas equa¸c˜oes (3) e (4), podem-se gene-

ralizar dire¸c˜ao e sentido no R

e no R

, entendendo-se vetores n˜ao-nulos

como paralelos (isto ´e, com a mesma dire¸ c˜ ao) quando eles s˜ao m´ ultiplos

n˜ao-nulos uns dos outros. Quando s˜ao m´ ultiplos por escalares positivos, diz-se que eles tˆem o mesmo sentido. Quando s˜ao m´ ultiplos por escalares negativos, diz-se que eles tˆem sentidos opostos. Apesar do vetor nulo n˜ao ter dire¸c˜ao ou sentido, `as vezes ´e conveniente dizer que ele ´e paralelo a todos os vetores, considerando-se que ele ´e m´ ultiplo de todos eles.

Dados k vetores − → v

, . . . , − → v

do R

(k ∈ Z ; k > 0), uma combina¸ c˜ ao linear (C.L.) deles ´e o resultado do somat´orio de m´ ultiplos

c

− → v

+ c

− → v

· · · + c

− v →

para alguma escolha de escalares c

, . . . , c

∈ R . Ex.: Tomando-se os coefici- entes todos iguais a zero, tem-se o vetor nulo como C.L. de quaisquer vetores.

Ali´as, considera-se tamb´em o vetor nulo como a ´ unica C.L. obtida de uma lista vazia de vetores (ou seja, k = 0).

Dado um conjunto S de vetores do R

, diz-se que ele ´e linearmente independente (L.I.) quando cada vetor de S n˜ao pode ser expresso como uma C.L. de alguns dos outros vetores de S. Caso contr´ario, diz-se que S

´e linearmente dependente (L.D.). Tamb´em se diz que os vetores de S s˜ao linearmente independentes ou linearmente dependentes, conforme o caso.

Intuitivamente, independˆencia linear abstrai a id´eia de dire¸c˜oes independen- tes. Em particular: um conjunto que cont´em dois ou mais vetores paralelos

´e, necessariamente, L.D.; todo conjunto que cont´em − →

0 ´e L.D.

Em cursos futuros, discutir-se-˜ao caracteriza¸c˜oes alternativas de L.I. e L.D. Uma delas diz que um vetores s˜ao L.I. se e somente se todo vetor gera- do por eles (como C.L. deles) possui coeficientes ´ unicos (neste caso, tais coeficientes s˜ao denominados coordenadas daquele vetor gerado com rela¸c˜ao

`aqueles vetores L.I. fixados). Outra caracteriza¸c˜ao fornece um crit´erio alg´e- brico muito pr´atico: vetores s˜ao L.I. se e somente se o vetor nulo ´e gerado (como C.L. deles) de forma ´ unica, a saber, todos os coeficientes s˜ao nulos

.

Um conjunto de vetores L.I. no R

tem, no m´aximo, n vetores. Quaisquer n vetores L.I. no R

geram todos os vetores do R

(por C.L.).

1

Claro, o vetor nulo sempre ´ e gerado desta forma, sejam os vetores L.I. ou L.D.:

−

→ 0 = 0 − → v

+ 0 − v →

+ · · · + 0 − v →

. Assim, o que o crit´ erio diz ´ e: os vetores − v →

, . . . , − v →

s˜ ao L.D.

se e somente se o vetor nulo possui mais de um modo de ser escrito como C.L. deles.

Naturalmente, a norma euclidiana ´e definida como:

− → u

:= p

u

+ u

+ · · · + u

(10) Ela goza das propriedades estudadas para os casos da reta, do plano e do espa¸co euclidiano tridimensional.

O restante deste verbete ´e opcional e introduzido apenas para a comple- tude deste texto. O produto escalar de vetores em R , R

e R

tem diversos an´alogos importantes para espa¸cos vetoriais (abstratos), os quais s˜ao denomi- nados produtos internos e denotados por − → u , − → v

. A generaliza¸c˜ao mais natu- ral no R

´e imediatamente an´aloga ao produto escalar em dimens˜ao at´e 3, e

´e denominada produto interno euclidiano:

− → u , − → v

:= u

v

+ u

v

+ . . . + u

v

Esta opera¸c˜ao goza daquelas propriedades estudadas para o produto esca- lar (simetria, bilinearidade, rela¸c˜oes com a norma, desigualdade de Cauchy- Bunyakowsky-Schwarz, etc.) e permite definir uma no¸c˜ao de ˆ angulo θ entre vetores − → u e − → v n˜ao-nulos:

θ := arccos

− → u , − → v

− → u

− → v

Como antes, − → u e − → v s˜ao ditos ortogonais (isto ´e, suas dire¸c˜oes s˜ao ortogonais) quando θ =

, isto ´e, quando − → u , − → v

= 0. Apesar do vetor nulo n˜ao ter dire¸c˜ao ou sentido, ´e conveniente dizer que ele ´e ortogonal a todos os vetores, considerando-se que seu produto interno com eles ´e nulo.

Subespa¸ cos vetoriais e afins do R

. Dado um conjunto S de vetores do

R

, o conjunto de todas as combina¸c˜oes lineares de qualquer n´ umero finito

de vetores pertencentes a S ´e chamado o subespa¸ co vetorial do R

gera-

do por S. Claro, tais C.L. podem ter muitas redundˆancias. Por exemplo,

tomando-se S = R

, n˜ao se criam vetores fora de S por C.L. Mesmo se se

toma S consistindo de dois vetores n˜ao-nulos paralelos, todas as suas C.L.s

formam, precisamente, os vetores paralelos a eles, ou seja, o subespa¸co gera-

do por eles dois consiste dos vetores ao longo da reta que passa pela origem

e tem qualquer um deles como vetor diretor. Assim, h´a um interesse em

se descreverem subespa¸cos vetoriais de forma concisa, ou seja, pelo m´ınimo

de vetores geradores necess´arios. Esta ´e a id´eia de base de um (sub)espa¸co vetorial, a qual ser´a estudada em cursos futuros. Pelo momento, lidar-se-

´a com uma situa¸c˜ao bem particular, a qual aparece, sistematicamente, nos conjuntos-solu¸c˜ao de sistemas de equa¸c˜oes lineares, a saber, k vetores do R

com k posi¸c˜oes de coordenadas distinguidas, sendo que k − 1 destas coorde- nadas s˜ao nulas, enquanto apenas uma delas ´e igual a 1 e aparece em posi¸c˜oes diferentes para vetores diferentes. Por exemplo, considerem-se os seguintes vetores no R

, para os quais a 2

, 6

, 8

e 9

coordenadas est˜ao em negrito:

−

→ v

= (3, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

−

→ v

= (1 , 0, −4 , 4 , −1 , 1, 0 , 0, 0 )

−

→ v

= (0 , 0, −1 , 3 , −2 , 0, 4 , 1, 0 )

−

→ v

= (1 , 0, 2 , −2 , −4 , 0, 2 , 0, 1)

Estes vetores s˜ao L.I.! De fato, veja-se, por exemplo, − → v

: Todas as C.L.

c

− → v

+ c

− → v

+ c

− → v

dos trˆes outros vetores tˆem 2

coordenada igual a

c

0 + c

0 + c

0 = 0, que ´e diferente do 1 na 2

coordenada de − → v

. Logo, ne- nhuma daquelas C.L.s pode ser igual a − → v

. De maneira an´aloga, tem-se que cada um dos vetores − → v

, − → v

e − → v

´e independente dos outros trˆes e, portanto, os quatro vetores s˜ao L.I. Diz-se que o subespa¸co vetorial do R

gerado por eles tem dimens˜ ao 4.

Como aplica¸c˜ao, suponha-se que se obteve o conjunto-solu¸c˜ao de um sis- tema de equa¸c˜oes lineares a 9 inc´ognitas em termos das equa¸ c˜ oes param´ e- tricas abaixo, onde s, s

, t e t

s˜ao parˆ ametros, podendo assumir quaisquer valores reais (cada escolha de valores para os quatro corresponde a uma so- lu¸c˜ao). Eles correspondem `as inc´ognitas x

, x

, x

e x

, respectivamente:

x

( s, s

, t, t

) = −1 + 3 s + s

+ t

x

(s, s

, t, t

) = s

x

(s, s

, t, t

) = 2 − 4s

− t + 2t

x

( s, s

, t, t

) = −3 + 4 s

+ 3 t − 2 t

x

( s, s

, t, t

) = 1 − s

− 2 t − 4 t

x

(s, s

, t, t

) = s

x

( s, s

, t, t

) = −2 + 4 t + 2 t

x

( s, s

, t, t

) = t

x

(s, s

, t, t

) = t

Escrevendo-se estas equa¸c˜oes param´etricas como uma equa¸ c˜ ao vetorial para pontos no R

:

( x

, x

, x

, x

, x

, x

, x

, x

, x

) = (−1 + 3 s + s

+ t

, s,

2 − 4s

− t + 2t

, −3 + 4s

+ 3t − 2t

, 1 − s

− 2t − 4t

, s

, −2 + 4t + 2t

, t, t

) Separando-se as contribui¸c˜oes de cada parˆametro (coordenada a coordenada):

(x

, x

, x

, x

, x

, x

, x

, x

, x

) = (−1, 0, 2, −3, 1, 0, −2, 0, 0)+

+s(3, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) + s

(1, 0, −4, 0, −1, 1, 0, 0, 0)+

+ t (0 , 0 , −1 , 3 , −2 , 0 , 4 , 1 , 0) + t

(1 , 0 , 2 , −2 , −4 , 0 , 2 , 0 , 1) isto ´e:

( x

, x

, x

, x

, x

, x

, x

, x

, x

) = P

+ s − w →

+ s

− w →

+ t − w →

+ t

− w →

onde P

= (−1, 0, 2, −3, 1, 0, −2, 0, 0) ´e um ponto do R

, e facilmente se reconhecem os quatro vetores, que s˜ao L.I. Este tipo de descri¸c˜ao permite o reconhecimento do objeto geom´etrico correspondente ao conjunto-solu¸c˜ao atrav´es das id´eias por tr´as da Equa¸c˜ao (3), sendo o vetor, aqui, uma C.L. de quatro vetores. Neste caso, o conjunto-solu¸c˜ao ´e um subespa¸co afim do R

com dimens˜ao 4 (essencialmente, uma c´opia do R

), passando pelo ponto P

com vetores diretores − w →

, − w →

, − w →

e − w →

.

Em geral, um subespa¸ co afim k −dimensional A do R

´e o conjunto resultante da a¸c˜ao, sobre um ponto P

, de todas as C.L.s de k vetores L.I.

do R

fixados. Geometricamente, trocando-se os pap´eis de ponto e vetor (entre P

e os vetores de V), pode-se ver o subespa¸co vetorial k −dimensional V gerado pelos k vetores como o conjunto das extremidades finais dos seg- mentos que emanam da origem O e representam aquelas C.L.s. Com esta interpreta¸c˜ao, tem-se que A ´e a transla¸c˜ ao de V pelo vetor −−→

OP

. Assim, a

origem ´e “mudada” para P

e, dali, aplicam-se os vetores de V, isto ´e, as

C.L.s dos k vetores fixados, produzindo-se os pontos de A. Em particular,

um subespa¸co afim de dimens˜ao 1 (respectivamente, 2) ´e uma reta (respecti-

vamente, um plano ) no R

. Observe-se que, a origem pode ser um dos pontos

de A ou n˜ao. Ex.: Dados o ponto P

= (−1, 3, 0) e os vetores − u →

= (1, 0, 0)

e − u →

= (0, 1, 0) no R

, tem-se que a origem O = (0, 0, 0) ´e obtida como

O = P

+ 1 − → u

− 3 − → u

. Noutro exemplo, substituindo-se P

por Q

= (0 , 0 , 1),

n˜ao ´e mais poss´ıvel obter a origem como Q

+ c

− → u

+ c

− → u

. Em suma, o primeiro plano afim ´e incidente

a O , mas o segundo n˜ao.

Sistemas de equa¸ c˜ oes lineares; matrizes associadas. Em geral, siste- mas de equa¸c˜oes lineares n˜ao s˜ao resolvidos por apelo `a geometria anal´ıtica, mas sim por meio de m´etodos alg´ebricos (embora estes incluam id´eias ve- toriais). Em algumas aplica¸c˜oes pr´aticas, costumam aparecer sistemas de dezenas ou centenas de equa¸c˜oes lineares a um n´ umero semelhante de inc´og- nitas. M´etodos mais elaborados e/ou espec´ıficos e suas implementa¸c˜oes com- putacionais aparecer˜ao em eventuais cursos de m´etodos num´ericos (c´alculo num´erico, an´alise num´erica) e otimiza¸c˜ao linear (programa¸c˜ao linear, pes- quisa operacional). As id´eias fundamentais desenvolvidas no presente curso permeiam aqueles m´etodos.

Um sistema de m equa¸c˜oes lineares a n inc´ognitas x

, . . . , x

´e da forma abaixo, onde os coeficientes reais a

e b

s˜ao constantes. Resolvˆe-lo significa achar seu conjunto-solu¸ c˜ ao, o conjunto de todas as n −uplas de vetores do (x

, . . . , x

) R

que satisfazem todas as m equa¸c˜oes:



 

 



 

 



a

x

+ a

x

+ · · · + a

x

= b

a

x

+ a

x

+ · · · + a

x

= b

... ...

a

x

+ a

x

+ · · · + a

x

= b

Ele pode ser descrito pela equa¸c˜ao matricial AX = b, onde A = [a

]

(matriz dos coeficientes do sistema), X ´e a matriz-coluna de ordem n × 1 que representa as inc´ognitas, e b ´e a matriz-coluna de ordem m × 1 cujas entradas s˜ao as constantes b

. Para efeito de c´alculos, ´ muito importante a matriz ampliada do sistema, a qual estende A por uma (n + 1)− ´esima coluna igual a b e, para facilitar a visualiza¸c˜ao, separada das colunas originais de A por uma barra vertical:











a

a

· · · a

b

a

a

· · · a

b

... ... ... ...

a

a

· · · a

b











2

A n´ıvel de geometria anal´ıtica, O pertence ` aquele primeiro plano afim.

Opera¸ c˜ oes elementares. Dois sistemas s˜ao ditos equivalentes quando possuem o mesmo conjunto-solu¸c˜ao (Da defini¸c˜ao, ´e claro que o n´ umero de inc´ognitas n de dois sistemas equivalentes ´e o mesmo). As opera¸c˜oes elemen- tares sobre as linhas de um sistema s˜ao opera¸c˜oes revers´ıveis que resultam num sistema equivalente. Elas s˜ao de trˆes tipos:

• Permutar duas equa¸c˜oes do sistema;

• Substituir uma equa¸c˜ao do sistema por um m´ ultiplo n˜ao-nulo dela;

• A uma equa¸c˜ao do sistema, adicionar um m´ ultiplo n˜ao-nulo de outra equa¸c˜ao daquele sistema.

As opera¸c˜oes inversas s˜ao claras: A primeira ´e sua pr´opria inversa; a se- gunda tem por inversa uma do mesmo tipo, tomando-se o inverso do esca- lar (n˜ao-nulo) utilizado; e a terceira tem por inversa uma do mesmo tipo, adicionando-se, `a nova equa¸c˜ao, o m´ ultiplo oposto da linha cujo m´ ultiplo original a afetou. Dois sistemas s˜ao ditos linha-equivalentes quando um ´e obtido do outro pela aplica¸c˜ao de um n´ umero finito de opera¸c˜oes elementares.

A parte mais interessante ´e que estas opera¸c˜oes s˜ao suficientes para carac- terizar a equivalˆencia de sistemas de maneira construtiva: Dois sistemas de equa¸ c˜ oes lineares s˜ ao equivalentes (isto ´e, tˆem o mesmo conjunto- solu¸c˜ao) se e somente se eles s˜ ao linha-equivalentes.

Convenientemente, tais opera¸c˜oes podem ser aplicadas ´a matriz ampli- ada do sistema, escrevendo-se menos. Isto leva a uma defini¸c˜ao que tamb´em se aplica

a muitos contextos diferentes daquele da resolu¸c˜ao de sistemas de equa¸c˜oes lineares, a saber, duas matrizes de mesma ordem (n˜ao neces- sariamente vistas como matrizes ampliadas de sistemas) s˜ao ditas linha- equivalentes quando uma pode ser obtida da outra pela aplica¸c˜ao de um n´ umero finito de opera¸c˜oes revers´ıveis dos tipos abaixo, como esperado:

3

De fato, a equivalˆ encia de matrizes por opera¸c˜ oes elementares em suas linhas, o es- calonamento de matrizes e suas interpreta¸c˜ oes s˜ ao ferramentas b´ asicas na ´ algebra linear.

Pode-se dizer at´ e que, nela, eles tˆ em papel e “status” equivalente ` aqueles das opera¸c˜ oes

aritm´ eticas em cursos mais elementares.

• Permutar duas linhas da matriz;

• Substituir uma linha da matriz por um m´ ultiplo n˜ao-nulo dela;

• A uma linha da matriz, adicionar um m´ ultiplo n˜ao-nulo de outra linha daquela matriz.

Os m´etodos de escalonamento de Gauss e de Gauss-Jordan efetivamente constroem, a n´ıvel de matrizes, uma sequˆencia de opera¸c˜oes elementares que realiza tal equivalˆencia.

As id´eias acima servem para um estudo geral de sistemas de equa¸c˜oes lineares. Para que se aproveite bem a intui¸c˜ao geom´etrica, deve-se entender a geometria daqueles sistemas a at´e 3 inc´ognitas, ou seja, na reta, no plano e no espa¸co tridimensional (cf. livro-texto Coordenadas no Espa¸co ).

LEITURAS E EXERC´ ICIOS

Lima, E. L.: Coordenadas no Espa¸co , 4

ed. SBM, Rio de Janeiro, RJ, 2007 – Se¸c˜oes 10–13 e seus exerc´ıcios.

Boldrini, J. L. et al.: Algebra Linear, 3 ´

ed. Ed. Harbra, S˜ao Paulo, SP, 1980 – Se¸c˜ao 2.6.

Imediato: exerc´ıcios 1, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19–22, 25;

Revis˜ ao: exerc´ıcios 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 24, 26;

Opcional: exerc´ıcios 2–4, 8, 18, 23, 27–29.

Obs. A resposta para o Exerc´ıcio 3.a dada na Subse¸c˜ao 2.6.1 est´a errada.