Gabarito - Bloco ll (2018)

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Gabarito dos Exerc´ıcios - Bloco II

Fl´

avio Alexandre da Cunha Rodrigues

Pablo da Silva Moreira

Macroeconomia 1 - PIMES/UFPE

8 de Novembro de 2018

1 Incerteza

1. Considere uma economia que produz duas commodities f´ısicas, em dois per´ıodos de tempo, com dois poss´ıveis estados da natureza, numa economia de troca pura. Os estados da natureza são z ∈ {g, b}; os bens são indexados por n = 1, 2. Há apenas dois tipos de agentes, cada um com um continuum de medida 1, uniformemente distribu´ıdo no c´ırculo unitário denotado por i = A, B.

Dota¸cões: as dota¸cões dos dois bens f´ısicos no primeiro per´ıodo são determin´ısticas. As dota¸cões dos dois bens f´ısicos no segundo per´ıodo são variáveis aleatórias. Isto é, as dota¸cões do agente do tipo i no segundo per´ıodo depende do estado da natureza. Denotaremos a dota¸cão do agente do tipo i, do bem n, no per´ıodo t = 2, ao estado da natureza z como sendo ωi

ntz ≥ 0

As probabilidades individuais do consumidor do tipo i no estado da natureza bom (g), e no estado da natureza ruim (b) s˜ao respectivamente πi _{e 1 − π}i_{. A utilidade do}

consumidor do tipo i em cada per´ıodo ´e dada por log(ci_1t) + φ log(ci_2t). Cada agente desconta o futuro a uma taxa βi_.

(a) Defina o Equil´ıbrio Competitivo desta economia ao estilo Debreu.

Seja ci

jt(z) o consumo do bem j no per´ıodo t, do agente i condicionado ao estado

da natureza z. O problema do consumidor i ent˜ao ´e dado por max log(ci₁₁) + φlog(ci₂₁) + πilog(ci₁₂(g)) + φlog(ci₂₂(g))

+(1 − πi)log(ci₁₂(b)) + φlog(ci₂₂(b)) s.t. ci₁₁+ p21ci21+ X z 2 X j=1 pj2(z)cij2(z) ≤ w i 11+ p21wi21+ X z 2 X j=1 pj2(z)wij2(z) ci_jt(z) ≥ 0, ci₁₁ ≥ 0, ci₂₁≥ 0

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Defini¸c˜ao: O equil´ıbrio competitivo consiste em um vetor de aloca¸c˜oes para cada tipo {ci

11, ci21, ci12(g), ci22(g), ci12(b), ci22(b)}i=A,B, e pre¸cos {p21, p12(g), p22(g), p12(b), p22(b)}

tais que

i. Para cada tipo de consumidor, a aloca¸c˜ao {ci

11, ci21, ci12(g), ci22(g), ci12(b), ci22(b)}

resolve o problema de maximiza¸cão das fam´ılias, para dado vetor de pre¸cos. ii. As condi¸cões de equil´ıbrio de mercado são

cA_j1+ cB_j1 = w_j1A + wB_j1, j = 1, 2

cA_j2(z) + cB_j2(z) = wA_j2(z) + wB_j2(z), j = 1, 2, z ∈ {g, b}

(b) Especialize esta economia tal que no per´ıodo 1, o agente do tipo A possui 1 unidade do bem 1 e 0 unidades do bem 2, e o agente do tipo B possui 0 unidades do bem 1 e 1 unidade do bem 2. No per´ıodo 2, no estado da natureza bom, o agente do tipo A recebe 1 unidade do bem f´ısico 1 e 1 unidade do bem f´ısico 2, enquanto o agente B recebe 0 unidades de ambos os bens. No estado na natureza ruim, o agente do tipo A recebe 0 unidades de cada bem, enquanto o agente do tipo B recebe 1 unidade de cada bem. Suponha que os estados da natureza bom e ruim s˜ao igualmente prov´aveis de maneira que πi _{= 0.5 para i = A, B. Encontre}

as quantidades e pre¸cos para o Equil´ıbrio Competitivo.

Podemos representar essa economia atrav´es das seguintes dota¸c˜oes (wA₁₁, wA₂₁, w₁₂A(g), wA₂₂(g), wA₁₂(b), wA₂₂(b)) = (1, 0, 1, 1, 0, 0)

(wB₁₁, wB₂₁, w₁₂B(g), wB₂₂(g), wB₁₂(b), wB₂₂(b)) = (0, 1, 0, 0, 1, 1)

Resolvendo o problema de maximiza¸cão através do lagrangiano, podemos encon-trar as seguintes aloca¸cões e pre¸cos do equil´ıbrio competitivo

p21 = σ, p12(g) = p12(b) = 0.5, p22(g) = p22(b) = (0.5)σ

cA₁₁ = cA₂₁= cA₁₂(g) = cA₁₂(b) = cA₂₂(g) = cA₂₂(b) = cA

cA= 1.5 + 0.5σ 2 + 2σ Podemos encontrar cB de forma an´aloga.

(c) Introduza as Arrow Securities e defina o equil´ıbrio competitivo sequencial associ-ado.

Defini¸c˜ao: O equil´ıbrio competitivo sequencial consiste em um vetor de aloca¸c˜oes {ci

11, ci21, ci12(g), ci22(g), ci12(b), ci22(b), bi(g), bi(b)}i=A,Be pre¸cos {p21, p12(g), p22(g), p12(b), p22(b), q(g), q(b)}

tais que

i. Dados os pre¸cos {p21, p12(g), p22(g), p12(b), p22(b), q(g), q(b)}, o vetor de aloca¸c˜oes

{ci

11, ci21, ci12(g), ci22(g), ci12(b), ci22(b), bi(g), bi(b)} resolve para cada tipo de agente

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max log(ci₁₁) + φlog(ci₂₁) + X z∈{g,b} 0.5log(ci₁₂(z) + φlog(ci₂₂(z) s.t. ci₁₁+ p21ci21+ q(g)b i_{(g) + q(b)b}i_{(b) ≤ w}i 11+ p21w21i ci₁₂(z) + p22(z)ci22(z) ≤ b i (z) + w₁₂i + p22(z)wi22(z), z ∈ {g, b} ci_n1 ≥ 0, ci n2(z) ≥ 0, n = 1, 2, z ∈ {g, b}

ii. As condi¸c˜oes de equil´ıbrio de mercado s˜ao X i=A,B ci_n1 = X i=A,B w_n1i , n = 1, 2 X i=A,B bi(z) = 0, z ∈ {g, b} X i=A,B ci_n2(z) = X i=A,B wi_n2(z), n = 1, 2, z ∈ {g, b}

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2 Heterogeneidade

1. Considere o modelo estudado por Chatterjee (1994). O problema de maximiza¸c˜ao da fam´ılia do tipo i consiste em escolher uma sequˆencia de consumo infinita tal que

max ct ∞ X t=0 βtu(ct) s.a. ∞ X t=0 ptct≤ ai0

Esta é a representa¸cão date-0 do modelo. Verifique que este problema pode ser obtido através da formula¸cão sequencial, em que a fam´ılia pode comprar ou vender t´ıtulos de um per´ıodo e a¸cões. Ao comprar a a¸cão no per´ıodo t (isto é, uma fra¸cão da firma), a fam´ılia tem direitos sobre uma fra¸cão dos dividendos da firma no próximo per´ıodo.

Considere o modelo descrito anteriormente, a restri¸cão or¸camentária do problema é definida por ∞ X t=0 ptct ≤ ai0 Em que ai 0 = si0 P∞

t=0pt[f (kt) − kt+1+ (1 − δ)kt]. Vamos supor agora que cada fam´ılia

´e dona de uma a¸c˜ao si

te que pode comprar e vender a¸c˜oes. Cada a¸c˜ao paga dtno per´ıodo

t, no qual dt = f (kt) − kt+1+ (1 − δ)kt. Portanto, a restri¸c˜ao or¸cament´aria no per´ıodo

t ´e dada por

ci_t+ bi_t+1+ qtsit+1 ≤ (1 + rt)bit+ (qt+ dt)sit

O objetivo da questão é mostrar que a partir da restri¸cão or¸camentária consolidada na formula¸cão sequencial é equivalente a restri¸cão or¸camentária através da representa¸cão em date-0. Através das itera¸cões das restri¸cões or¸camentária, é poss´ıvel obter a seguinte expressão T X t=0 Πt_s=1 1 1 + rs ci_t+ qTsT +1ΠTs=1 1 1 + rs + bi_{T +1}ΠT_s=1 1 1 + rs ≤ si 0(d0+ q0)

Tirando o limite de T → ∞, podemos ver que a condi¸cão de transversalidade é satisfeita e, portanto lim T →∞qTsT +1Π T s=1 1 1 + rs = 0 Além disso, lembre da condi¸cão de No Ponzi Games, isto é

lim T →∞Π T s=1 1 1 + rs bi_{T +1} ≥ 0 Sendo assim, obtemos

∞ X t=0 Πt_s=1 1 1 + rs ci_t≤ so 0(d0+ q0)

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2. Considere o modelo de Chatterjee (1994) descrito anteriormente, entretanto, assuma que a fam´ılia oferta trabalho inelasticamente e é detentora do capital. A heterogenei-dade das fam´ılias é com respeito a quantidade de capital que eles possuem no primeiro per´ıodo. Derive a fun¸cão de consumo das fam´ılias como uma fun¸cão de sua riqueza e verifique que esta fun¸cão permite agrega¸cão.

O problema de maximiza¸c˜ao das fam´ılias consiste em

max {ci t,bit+1,kit+1} ∞ t=0 ∞ X t=0 βtu(ct) s.t. c_ti + bi_t+1+ k_t+1i ≤ Rtkti+ wt+ (1 − δ)kti+ (1 + rt)bit ci_t≥ 0, ki t+1 ≥ 0 NPG bi₀ = 0, ki₀ ≥ 0 dado

Resolvendo o problema de maximiza¸cão das fam´ılias e utilizando a restri¸cão or¸camentária consolidada com a condi¸cão de transversalidade e NPG, podemos obter

ci 0 1 − β = Ω(c, 1 + r) + X t=0 ptwt+ (1 + Rt− δ)k0i ⇒ ci 0 = bΩ(c, 1 + r) + (1 − β)W i Em que Wi =X t=0 ptwt+ (1 + Rt− δ)ki0

Note que Wi _{representa a riqueza total em valor presente. Substituindo novamente na}

restri¸c˜ao or¸cament´aria, podemos obter ci_t = βt(1 + rt) . . . (1 + r1)

h b

Ω(c, 1 + r) + (1 − β)Wii+ Ωt(c, 1 + r1, . . . , 1 + rt)

Por ser uma fun¸cão linear na riqueza, a fun¸cão de consumo das fam´ılias permite agrega¸cão.

3. Considere a seguinte economia de trocas puras com dois tipos de fam´ılias (i = 1, 2) com medida 1 de cada tipo. As fam´ılias s˜ao iguais em todos os aspectos exceto que um tipo desconta o futuro a uma taxa maior, isto ´e, β1 > β2.

As preferˆencias s˜ao dadas por PT

t=0(β i₎t_ln(ci t) Dota¸c˜oes {ω1 t, ωt2} T t=0

(a) A partir do problema do planejador social benevolente, encontre, para cada agente, sua sequência de consumo como uma fun¸cão dos pesos de Pareto e das dota¸cões totais.

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Vamos definir ωt= ω1t + ω2t. O problema do planejador social benevolente ´e dado por max c1 t,c2t α1 T X t=0 (β1)tln(c1_t) + α2 T X t=0 (β2)tln(c2_t) s.t. c1_t + c2_t = ω1_t + ω_t2 = ωt c1_t ≥ 0, c2 t ≥ 0

Resolvendo o problema do planejador social benevolente, ´e poss´ıvel obter as sequˆencias de consumo, definidas por

c1_t = α

1_(β1₎t

α1_(β1₎t_{+ α}2_(β2₎t ωt

Podemos obter c2_t de forma an´aloga.

(b) Suponha que T = ∞ e assuma que a dota¸c˜ao agregada ´e constante a cada per´ıodo. Verifique que o consumo no equil´ıbrio competitivo da fam´ılia menos paciente tende a zero, no limite, e que a taxa de crescimento dos pre¸cos de Arrow-Debreu se iguala ao fator de desconto da fam´ılia mais paciente.

Por suposi¸c˜ao, temos que β2 β1 < 1 ⇒ lim_t→∞ α2 α1 β2 β1 t = 0

Utilizando esse resultado nas sequˆencias de consumo obtidas anteriormente, temos que lim t→∞c 1 t = ωt lim t→∞c 2 t = 0

Por fim, lembre que no equil´ıbrio competitivo, cada agente resolve

max ci t ( X t=0 βi)tln(ci_t) s.t. ∞ X t=0 ptcit≤ ∞ X t=0 ptwti

Das condi¸c˜oes de primeira ordem do problema, podemos obter a seguinte rela¸c˜ao 1 β ci t+1 ci t = pt pt+1 Utilizando os valores de ci

tobtidos anteriormente para algum i, ´e poss´ıvel encontrar

pt+1

pt

= α

1_(β1₎t+1_{+ α}2_(β2₎t+1

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Sabemos que o lim t→∞ α2 α1 β2 β1 t

= 0, portanto, temos que pt+1

pt

= β1

(c) Assuma agora que o modelo possui apenas dois per´ıodos, ou seja, T = 1. Use o algoritmo de Negishi para encontrar as aloca¸cões do equil´ıbrio competitivo e os pre¸cos no caso em que o tipo 1 é dotado de {0, ω} e no caso em que o tipo 1 é dotado de {ω, 0}. Verifique que a distribui¸cão da riqueza afeta os pre¸cos.

Sem perda de generalidade, assuma que p0 = 1, ent˜ao

p1 =

α1_β1_{+ α}2_β2

α1_{+ α}2

Para o caso em que o agente tipo 1 é dotado de {0, ω}, pela restri¸cão or¸camentária do agente do tipo 2, podemos encontrar os pesos de Pareto como sendo

α2 = 1

1 + β2

α1 = β

2

1 + β2

Substituindo esses valores na fun¸c˜ao de pre¸cos e do consumo do agente tipo 1, podemos obter p1 = α1β1 + α2β2 = β2(1 + β1) 1 + β2 c1₀ = β 2 1 + β2 ω c1₁ = α 1_β1 α1_β1_{+ α}2_β2 ω = (1 + β 1 )ω

Podemos obter c2₀ e c2₁ de forma análoga. Para o caso em que o agente do tipo 1 é dotado de {ω, 0}, utilizando o mesmo racioc´ınio, é poss´ıvel obter

α1 = 1

1 + β1

α2 = β

1

1 + β1

Novamente, para encontrar as aloca¸c˜oes do equil´ıbrio competitivo, basta substituir os pesos de Pareto encontrados nas fun¸c˜oes de consumo e pre¸co.

(8)

3 Competi¸

c˜

ao Monopol´ıstica

1. Considere uma economia com fun¸c˜ao de utilidade: U =

n

X

i=1

X_iα

em que Xi representa o bem de consumo i, ou a variedade i, e α ∈ (0, 1). O n´umero

de bens produzidos na economia será endógeno e representado por n. O trabalho é o ´

unico fator de produ¸cão e a dota¸cão inicial de trabalho é dada por L. Assuma que o trabalho é o numerário, ou seja, os salários são iguais a 1 (w = 1).

(a) Monte o problema do consumidor e encontre as demandas por cada bem i como fun¸c˜ao de L, pi e do ´ındice de pre¸cos P =

Pn j=1p

− α 1−α

j

Resolvendo o problema de maximiza¸c˜ao do consumidor, podemos encontrar as demandas por cada variedade i, descrita pela seguinte equa¸c˜ao

Xi = L p 1 1−α i P Defina σ = 1/(1 − α), portanto Xi = L pσ iP , ∀i

(b) Assuma que o ´ındice de pre¸cos não é afetado pelas varia¸cões do bem i especifica-mente e encontre a elasticidade pre¸co-demanda para o bem i.

Por defini¸c˜ao, temos que

i = dXi dpi pi Xi Sabemos que dXi dpi = −σLp −(σ+1) i P Portanto, podemos encontrar que

i = σ, ∀i

(c) Suponha que a produ¸c˜ao de cada bem i segue a fun¸c˜ao de custo total CTi =

F + CMi × Xi, na qual F se refere ao custo fixo e CMi ao custo marginal. A

partir do problema de maximiza¸cão de lucro das firmas, encontre uma expressão para o pre¸co ótimo do bem i.

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Resolvendo a partir do problema de maximiza¸cão das firmas, podemos encontrar a seguinte expressão para o pre¸co ótimo de i

pi =

σ

1 − σCMi, ∀i

Lembre que σ = 1/(1 − α), portanto pi =

1

αCMi, ∀i

Note que, como α ∈ (0, 1), ent˜ao 1/α representa o mark-up, exatamente por possuir um certo grau de monop´olio.

(d) Assumindo entrada livre de firmas, encontre o n´ıvel de produ¸cão de equil´ıbrio desse modelo e mostre (através da expressão de custo total) que o número de variedades depende de L

Dado a condi¸cão de livre entrada, o lucro de cada firma vai convergir para zero, portanto, o pre¸co de cada bem i vai se igualar ao custo médio de produ¸cão do bem i. Utilizando também a expressão do custo total, podemos expressar o número de variedades como sendo

n = (1 − α)L F

2. Suponha que existe um continuum de fam´ılias idˆenticas vivendo para sempre, com measure 1. Essas fam´ılias s˜ao dotadas com k0 unidades de capital na data 0. A cada

per´ıodo, contam com uma unidade de tempo dispon´ıvel. Preferˆencias s˜ao dadas por

∞

X

t=0

βtln(ct)

O setor de bens finais ´e perfeitamente competitivo e est´a sujeito a seguinte tecnologia

Yt= Ktθ

Z

v∈Vt

x(σ−1)/σ_vt dv (1−θ)σ_σ−1

Como de costume, esse bem final pode ser usado tanto para consumo, como investi-mento. O capital se deprecia a taxa δ.

No setor de bens intermediários, há um custo fixo de opera¸cão para os produtores. A tecnologia de produ¸cão é dada por xvt = A [Lvt− α] onde Lvt é o trabalho e α o custo

fixo em termos de unidade de trabalho.

(a) Considere o bem final como seu numerário. Defina o equil´ıbrio sequencial dessa economia. Além das condi¸cões habituais de maximiza¸cão de cada problema (seja do consumidor, bens finais ou intermediários) lembre-se de adicionar a condi¸cão de lucro igual a zero.

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Vamos explicitar cada um dos problemas. O problema das fam´ılias consiste em max ct,kt+1 ∞ X t=0 βtln(ct) s.t. ct+ kt+1 ≤ wt+ rtkt+ (1 − δ)kt ct≥ 0, kt+1≥ 0, k0dado

Por sua vez, as firmas que pertencem ao setor de bens finais devem resolver o seguinte problema de maximiza¸c˜ao

max Kt(xvt)_v∈Vt ( K_tθ Z v∈Vt x(σ−1)/σ_vt dv (1−θ)σ_σ−1 − rtkt− Z v∈Vt pvtxvtdv )

Por fim, para as firmas do setor de bens intermedi´arios, dados wt e as demandas

b

xvt do setor de bens finais, ent˜ao o problema consiste em maximizar

max pvt pvtbxvt(pvt, Yt) − wt 1 Axbvt(pvt, Yt) + α

Defini¸cão: O equil´ıbrio competitivo sequencial consiste de uma sequência de escolhas para as fam´ılias c∗_t, k∗_t+1 ∞_t=0, uma sequência de demandas do setor de bens finais {(x∗_vt)v∈Vt, K

∗ t}

∞

t=0, uma sequˆencia de escolhas para o setor de bens

intermedi´arios {p∗_vt, L∗_vt}∞_t=0 e pre¸cos {w_t∗, r_t∗}∞_t=0 tais que

i. Dados {w_t∗, r∗_t}_t=0∞ , para cada per´ıodo,c∗_t, k_t+1∗ resolve o problema de max-imiza¸c˜ao das fam´ılias descrito anteriormente.

ii. Dados {V_t∗, p∗_vt, w_t∗, r_t∗}∞_t=0, {x∗_vt, K_t∗} resolve o problema das firmas do setor de bens finais.

iii. Dados w_t∗ e as demandas ´otimas x∗_vt, p∗_vt resolve o problema das firmas do setor de bens intermedi´arios.

iv. As condi¸c˜oes de equil´ıbrio de mercado s˜ao k_t∗ = K_t∗ ct+ kt+1= Ktθ Z v∈Vt x(σ−1)/σ_vt dv (1−θ)σ_σ−1 + (1 − δ)Kt Z v∈Vt 1 Ax ∗ vt+ α dv = 1 v. Lucro zero.

(b) A partir das condi¸cões de primeira ordem da maximiza¸cão de lucro no setor de pro-dutos finais, derive a demanda por bens intermediários (Dica: Não se assuste com a integral, lembre da defini¸cão da mesma e sua rela¸cão com a primeira derivada). Encontre uma expressão de pvt como fun¸cão dos parâmetros, de Yt e xvt

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O problema de maximiza¸c˜ao das firmas do setor de bens finais ´e dado por max Kt(xvt)_v∈Vt ( K_tθ Z v∈Vt x(σ−1)/σ_vt dv (1−θ)σ_σ−1 − rtkt− Z v∈Vt pvtxvtdv )

Tirando a derivada parcial em rela¸c˜ao a xvt, obtemos

(1 − θ)σ σ − 1 K θ t Z v∈Vt x(σ−1)/σ_vt dv (1−θ)σ_σ−1 −1 σ − 1 σ x σ−1 σ −1 vt − pvt = 0 ⇒ pvt= (1 − θ)Ktθ Z v∈Vt x(σ−1)/σ_vt dv (1−θ)σ_σ−1 1 R v∈Vtx (σ−1)/σ vt dv x σ−1 σ −1 vt

Utilizando a defini¸c˜ao de Yt, obtemos

pvt = (1 − θ)Yt R v∈Vtx (σ−1)/σ vt dv x−1/σ_vt