Conectividades no Modelo de Q-Potts Crítico
Bidimensional
Dissertação de Mestrado submetida ao pro-grama de Pós-Graduação em física do Depar-tamente de Física Teórica e Experimental da Universidade do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre.
Universidade do Rio Grande do Norte – UFRN Departamento de Física Teórica e Experimental
Programa de Pós-Graduação em Física
Orientador: Jacopo Viti
Natal, Rio Grande do Norte, Brasil
Fevereiro/2020
Nogueira, Bruno Henrique Sousa.
Conectividades no Modelo de Q-Potts Crítico Bidimensional / Bruno Henrique Sousa Nogueira. - 2020.
067f.: il.
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Departamento de Física Teórica e Experimental, Programa de Pós-Graduação em Física, Natal, 2020.
Orientador: Jacopo Viti.
1. Conectividades - Dissertação. 2. Teoria de Campos
Conformes - Dissertação. 3. Modelo de Q-Potts - Dissertação. I. Viti, Jacopo. II. Título.
RN/UF/BCZM CDU 53
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede
Agradecimentos
Quero agradecer a todas as pessoas que direta ou indiretamente contribuíram para a realização deste trabalho.
Primeiramente, fico grato aos meus pais, que apesar de todos as dificuldades, me ajudaram e acreditaram no meu potencial de seguir uma carreira acadêmica.
Gostaria de reconhecer aqui o professor Dr. Jacopo Viti, pela orientação, paciência, acolhimento e tempo disponibilizados.
E por fim, agradecer o suporte financeiro do CNPq que foi imprescindível para o estabelecimento de moradia fora da minha cidade natal.
Resumo
A teoria de campos conformes tem se mostrado um recurso valioso para física teórica ao longo das últimas décadas. Neste trabalho essa teoria foi utilizada como uma forma de calcular conectividades num modelo bidimensional, com quatro pontos no bordo, cuja as ligações da rede são regidas pelo modelo Q-Potts. Esse modelo tem valores de Q inteiros e 1 ≤ Q ≤ 4, que definem modelos estatísticos unitários. Neste trabalho foi feito o uso de uma extensão formal para Q ter valores reais e 0 ≤ Q ≤ 4 intervalo no qual ainda conseguimos calcular as conectividades como soluções de uma equação diferencial da teoria de campos conformes. Esses cálculos foram feitos com o intuito de obtermos a razão global e verificarmos a existência de uma coerência dos resultados para valores de Q real entre dois inteiros. Com isso, conseguimos encontrar a razão global para variados modelos estatísticos e obtemos resultados pertinentes, no sentido de mostrar a existência de uma coerência ou uniformidade entre a razão global e os valores de Q.
Abstract
The conformal field theory has been show as a valuable asset in theoretical physics over the course of the last decades. In this work such theory was used as a way to evaluate four-point boundary connectivities in a two-dimensional model, where bonds are dictated by the Q-Potts model. For this model Q has integer values and 1 ≤ Q ≤ 4, that define unitary statistical models. In this paper we use a formal extension that Q have real values and 1 ≤ Q ≤ 4, range were still possible to evaluate connectivities as solutions of a differential equation in conformal field theory. Such computations were made in order to obtain the universal ratio and inspect the consistency of results for Q enclosed by two integers. Thereby, we were able to evaluate the universal ratio for diversified statistical models and achieve relevant results, in the sense that we showed the existence of a consistency or uniformity between the universal ratio and Q.
Sumário
Introdução . . . 13
1 TEORIA CONFORME EM D DIMENSÕES . . . 15
1.1 Grupo Conforme em d dimensões . . . 15
1.2 Vínculos da invariância conforme em d dimensões . . . 16
2 TEORIA CONFORME EM 2 DIMENSÕES . . . 19
2.1 Álgebra Confome em 2 dimensões . . . 19
2.2 Funções de correlação de campos primários . . . 20
2.3 Quantização Radial, carga conservada e Identidade de Ward . . . 21
2.3.1 Quantização Radial e carga conservada . . . 21
2.3.2 Identidade de Ward . . . 24
3 A CARGA CENTRAL E A ÁLGEBRA DE VIRASORO . . . 27
3.1 A carga central . . . 27
3.2 Expansão em Modos e álgebra de Virasoro . . . 27
3.3 Estados in- e out- . . . 29
3.4 Estados Highest Weight . . . 31
3.5 Campos Descendentes . . . 32
3.6 Dualidade e Bootstrap . . . 34
4 DETERMINANTE KAC E A UNITARIEDADE . . . 37
4.1 Espaço de Hilbert dos Estados . . . 37
4.2 Determinante Kac . . . 38
4.3 Exemplo: Equação Diferencial para nível 3 . . . 40
5 RESULTADOS . . . 43 5.1 Modelo . . . 43 5.2 Conectividade . . . 45 5.3 Solução algébrica . . . 46 5.4 Resultados algébricos . . . 53 Conclusão . . . 61 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . 63
APPENDIX A – PRESERVAÇÃO DE ÂNGULOS EM
TRANS-FORMAÇÕES CONFORMES . . . 65
APPENDIX B – FUNÇÃO 2-PONTOS INVARIANTE CONFORME 67
13
Introdução
A teoria de campos conformes tem sido um recurso importante para a física teórica ao longo das últimas décadas [1]. Inicialmente seu uso tornou-se mais efetivo e encorajador com a descrição e classificação de fenômenos críticos na física estatística [2, 3, 4, 5], mas a sua fase de rápido desenvolvimento surgiu do seu valor e utilidade na teoria de cordas [6, 7, 8]. A matemática também forneceu fundamental progresso à teoria de campos conformes com os trabalhos de Kac e colaboradores [9, 10, 11].
Até o presente momento esse tópico continua a crescer e ser significativo nos campos indicados, além de alguns ramos da matemática. Recentemente o seu uso tem aparecido no contexto de "AdS/CFT-correspondence" no qual invariância conforme de altas dimensões tem sido importante.
A teoria de campos conformes é uma teoria quântica de campos e tem como principal característica a invariância com respeito ao grupo de transformações conformes. Por defi-nição, o grupo conforme é o subgrupo de transformações de coordenadas em que a métrica é invariante por uma mudança de escala [12], consequentemente são transformações de coordenadas que preservam os ângulos entre vetores como demonstrado em A para duas dimensões.
Teorias de campos com tal simetria não tem uma escala definida, portanto o sistema físico com tal natureza não pode possuir escalas dimensionais envolvidas. Um exemplo desse tipo de sistemas seria o caso da teoria de campo de um bóson livre, que contém simetria conforme no caso do fóton ou bóson com massa nula. Em modelos estatísticos de duas dimensões a descrição contínua de transições de fase de segunda ordem é dada por teoria de campos conforme, o exemplo mais conhecido é para o modelo de Ising ferromagnético [13].
Nesse trabalho usamos a teoria conforme para calcular as três possíveis conectividades existentes num modelo bidimensional, com quatro pontos no contorno, cuja as ligações da rede são regidas pelo modelo de Q-Potts. Essas conectividades são as probabilidades dos pontos do bordos estarem conectados pelas ligações particionadas em clusters, os quais são definidos a partir da representação de Fortuin e Kasteleyn e introduzidos nesse contexto através da extensão da função partição do modelo de Q-Potts em grafos [14, 15]. Para quatro pontos no bordo existem somente três formas de conectividade [14, 16] exemplificadas na figura 1.
O objetivo final é calcular o invariante conforme, chamado de razão global(R) ou "Uni-versal Ratio", para diferentes valores inteiros e não inteiros de Q das três conectividades possíveis do modelo. O uso de valores não inteiros de Q tem o objetivo de verificar se a razão global calculada para valores não definidos do modelo de Q-Potts ainda assim é consistente ou uniforme com os resultados para valores inteiros de Q.
(a) (b) (c)
Figura 1 – Exemplo das formas de conectividade possíveis no domínio bidimensional, onde em (a) e (b) cada linha representa a conexão entre dois pontos do bordo por um cluster, e em (c) todos os quatro pontos do bordo estão conectados por um mesmo cluster.
A singularidade deste trabalho é o cálculo de R para diferentes valores inteiros e não inteiros de Q da conectividade exemplificada pela figura 1 (c) e, para valores não inteiros de Q das conectividades exemplificadas pelas figuras 1 (a) e (b). Estas últimas já foram resolvidas para os valores de Q = 1, 2 e 3 em [14], no entanto reportamos aqui para uma completeza do trabalho. O trabalho feito em [14] foi referência primária para as ideias executadas neste trabalho além de via para tantos outros trabalhos referênciados aqui.
Esta dissertação pode ser dividida em duas partes, a primeira composta pelos capítulos de 1 a 4 que trazem uma revisão teórica sobre teoria de campos conformes onde [12, 17, 18] foram usados extensivamente no aprendizado e preparação dessa revisão. A segunda parte é composta do capítulo 5 que traz mais informações sobre a construção do modelo, conectividades, método de solução e os resultados algébricos alcançados.
15
1 Teoria Conforme em d dimensões
1.1
Grupo Conforme em d dimensões
Considere um espaço Rd com métrica gµν = ηµν, com assinatura (p, q) e elemento de
comprimento dado por d2s = gµνdxµdxν. Sobre uma mudança de coordenadas x → x0,
temos: gµν(x) → gµν0 (x 0 ) = ∂x α ∂x0 µ ∂xβ ∂x0 νgαβ(x). (1.1)
Definimos o grupo conforme como sendo o subgrupo de transformações de coordenadas no qual a métrica é invariante por uma mudança de escala1.
gµν(x) → gµν0 (x
0) = Ω(x)g
αβ(x). (1.2)
Os geradores infinitesimais podem ser obtidos de modo padrão, a partir da transfor-mação infinitesimal das coordenadas xµ→ xµ+ µ, assim:
ds2 = ηµνdxµdxν → ds2+ (∂µν + ∂νµ)dxµdxν. (1.3)
Para satisfazer a equação (1.2) precisamos que:
(∂µν + ∂νµ) = αηµν, (1.4)
onde α é uma constante de proporcionalidade. Multiplicando os dois lados por ηµν, obtemos: (∂µν + ∂νµ) = 2 d(∂ · )ηµν. (1.5) Determinando, ds0 2 = ds2+ (2 d(∂ · )ηµν)dx µdxν = (1 + (2 d(∂ · ))ds 2. (1.6)
Comparando com a equação (1.2), obtemos que Ω(x) = (1 + (2d(∂ · )). A partir da equação (1.5) podemos obter:
(ηµν + (d − 2)∂µ∂ν)(∂ · η) = 0. (1.7)
Para d > 2 temos que as derivadas de terceira ordem de são zero, então é no máximo quadrático em x. Para a ordem zero, temos as translações:
a) µ= aµ.
Para a ordem linear temos rotações e transformações de escala: b) µ= ωµνxν (ω é antissimétrico);
c) µ= λxν.
Para a ordem quadrática em x, temos as transformações especiais conformes (Special Conformal Transformations, SCT ):
d) µ= bµx2− 2xµ(b · x).
Integrando temos as versões finitas das transformações conformes: a) x → x0 = x + a;
b) x → x0 = Λx (Λµ
ν ∈ SO(p, q));
c) x → x0 = λx;
d) x → x0 = 1+2(b·x)+bx+2bx22x2.
1.2
Vínculos da invariância conforme em d dimensões
Agora queremos ver quais são os vínculos impostos pela invariância por transformações conformes em funções N-pontos da teoria quântica. Por simplicidade vamos usar o Jaco-biano: ∂x0 ∂x = Ω−d/2. (1.8)
Na transformação da métrica teremos:
g0µν = ∂x α ∂x0µ ∂xβ ∂x0νgµν → det(g 0 µν) = ∂x ∂x0 2 det(gµν); g0µν = Ωgµν → det(g0µν) = |Ω| ddet(g µν). (1.9)
Assim para cada transformação o Jacobiano é: • Translações: J = 1;
• Dilatações: J = λd;
1.2. Vínculos da invariância conforme em d dimensões 17
• SCT: J = (b2x2+ 2b · x + 1)−d/2.
Nós definimos que uma teoria com invariância conforme tenha que satisfazer as se-guintes propriedades:
1. Existe um conjunto de campos {Ai}, onde i especifica campos diferentes. Esse
conjunto de campos é, em geral, infinito e contém em particular as derivadas de todos os campos Ai(x);
2. Existe um subconjunto {φ(x)} ⊂ {Ai}, chamado de "quasi-primários", que sobre
uma transformação conforme global x → x0, transforma de acordo com:
φj(x) → ∂x0 ∂x ∆j/d φj(x0), (1.10)
onde ∆j é a dimensão de φj(x). A teoria é invariante no sentido que a função de
correlação satisfaz: hφ1(x1)φ2(x2)...φn(xn)i = ∂x0 ∂x ∆1/d x=x1 ∂x0 ∂x ∆2/d x=x2 ... ∂x0 ∂x ∆n/d x=xn hφ1(x01)φ2(x02)...φn(x0n)i ; (1.11) 3. O restante do conjunto {Ai} pode ser escrito como uma combinação linear dos
campos quasi-primários e suas derivadas;
4. Existe um vácuo |0i invariante por transformações globais.
A propriedade de covariância (condição sobre a função de correlação) impõem con-dições fortes sobre as funções 2-pontos e 3-pontos dos campos quasi-primários quando estamos dentro do grupo conforme. Para identificar invariantes nos quais as funções N-pontos podem depender, queremos construir alguns invariantes do grupo em d dimensões. Após impor todas as invariâncias do grupo, obtemos que as razões cruzadas:2
rijrkl
rikrjl
, (1.12)
são invariantes pelo grupo conforme completo. Segundo a equação (1.11) as funções 2-pontos de dois campos quasi-primários em uma teoria de campos conformes devem satisfazer: hφ1(x1)φ2(x2)i = ∂x0 ∂x ∆1/d x=x1 ∂x0 ∂x ∆n/d x=xn hφ1(x01)φ2(x02)i. (1.13) 2 r ij ≡ |xi− xj| .
Aplicando a invariância sobre as transformações conformes, obtemos para a função 2-pontos:3 hφ1(x1)φ2(x2)i = C12 |x1−x2|∆1+∆2, se ∆1 = ∆2 0 , se ∆1 6= ∆2. (1.14) A função de correlação 3-pontos é similarmente restrita sobre invariância conforme e tem a forma: hφ1(z1)φ2(z2)φ3(z3)i = C123 r∆1+∆2−∆3 12 r −∆1+∆2+∆3 23 r ∆1−∆2+∆3 13 . (1.15)
As funções N -pontos para N ≥ 4 não são completamente determinadas uma vez que começam em geral a depender das razões anarmônicas 1.12. A função 4-pontos, por exemplo, pode ser escrita na forma geral:
G(4)(x1, x2, x3, x4) = F ( r12r34 r13r24 ,r12r34 r23r41 )Y i<j r−(∆i+∆j)+∆/3 ij . (1.16) onde ∆ =P4
i=1∆i e F é uma função arbitrária.
19
2 Teoria Conforme em 2 dimensões
2.1
Álgebra Confome em 2 dimensões
Quando d = 2 e ηµν = δµν a equação (1.5) se torna as equações de Cauchy-Riemann,
as-sim nós temos as condições necessárias e suficientes para a diferenciação complexa. Com isso, é natural fazer a reparametrização (z) = 1 + i2 e ¯(¯z) = ¯1− i¯2 em coordenadas complexas z e ¯z.1 Então uma transformação conforme pode ser associada a uma
trans-formação analítica de coordenadas z → f (z) e ¯z → ¯f (¯z), holomórfica e anti-holomórfica respectivamente, assim: ds2 = dzd¯z → ∂f ∂zdz ∂ ¯f ∂ ¯zd¯z = ∂f ∂z 2 dzd¯z. (2.1)
Para encontrar os comutadores dos geradores podemos fazer uma transformação infi-nitesimal de z → z + n(z), com (z) sendo uma expansão de Laurent:
n(z) = ∞
X
n=−∞
cnzn+1. (2.2)
E a partir do efeito da transformação sobre uma função φ(z, ¯z), num plano, obtemos os geradores:
ln = −zn+1∂z, ¯ln= −¯zn+1∂¯z. (2.3)
Com as relações de comutação:
[ln, lm] = (n − m)ln+m, [¯ln, ¯lm] = (n − m)¯ln+m, [ln, ¯lm] = 0. (2.4)
Como, naturalmente, surgem duas álgebras, é útil considerar z e ¯z como duas variáveis independentes. Isso é equivalente a tomar (x1, x2) ∈ C2no lugar das coordenadas originais (x1, x2) ∈ R2. Precisamos ser cuidadosos ao chamar as relações da equação (2.4) de álgebra
conforme local, pois os geradores não são bem definidos globalmente na esfera de Riemann (S2 = C ∪ ∞).
Em duas dimensões o grupo conforme global é definido para ser o grupo de transfor-mações conformes que é bem definido e invertível dentro da esfera de Riemann. Então, é gerado pelo geradores infinitesimais {l1, l0, l−1} ∪ {¯l1, ¯l0, ¯l−1}, sendo l−1 e ¯l−1 responsáveis
pelas translações, (l0+ ¯l0) e i(l0− ¯l0) pelas dilatações e rotações respectivamente e l1 e ¯l1
pelas transformações conformes especiais. 1 z = x1+ ix2, ¯z = x1− ix2.
2.2
Funções de correlação de campos primários
Aplicando o que temos no capítulo 1 para o caso em duas dimensões, generalizamos a lei de transformação(z → f (z)) dos campos quasi-primários para duas dimensões:
φ(z, ¯z) → ∂f ∂z h ∂ ¯ f ∂ ¯z ¯h φ(f (z), ¯f (¯z)), (2.5)
onde h e ¯h ∈ R. Essa propriedade de transformação define φ como um campo primário de peso conforme (h, ¯h). Os campos em teoria de campos conformes que não possuem essa propriedade são chamados de campos secundários, onde um campo primário sempre é quasi-primário, mas um campo secundário pode ser ou não quasi-primário. Sendo f (z) = z + (z) e ¯f (¯z) = ¯z + ¯(¯z), temos infinitesimalmente
δ,¯φ(z, ¯z) = φ0(z, ¯z) − φ(z, ¯z). (2.6)
Mas, em primeira ordem,
φ0(z, ¯z) = ∂f ∂z ∂ ¯f ∂ ¯z φ(f (z), ¯f (¯z)) − φ(z, ¯z) = (1 + ∂)h(1 + ¯∂¯)¯h[φ(z, ¯z) + (∂φ) + ( ¯∂φ)¯] = (1 + h∂ + ¯h ¯∂¯)[φ(z, ¯z) + (∂φ) + ( ¯∂φ)¯] = φ(z, ¯z) + (∂φ) + ( ¯∂φ)¯ + hφ(∂) + ¯hφ( ¯∂¯). (2.7)
Assim a transformação infinitesimal de campos primários é,
δ,¯φ(z, ¯z) = [(h(∂) + ∂) + (¯h( ¯∂¯) + ¯ ¯∂)]φ(z, ¯z). (2.8)
A função 2-pontos G(2)(z1, z2) = hφ1(z1, ¯z1), φ2(z2, ¯z2)i deve satisfazer a forma
infinite-simal que definimos na equação (1.11) e δ,¯G(2)(z1, z2) deve ser nulo. Com isso podemos
obter uma equação diferencial para G(2)(z
1, z2). Chamando αi = hi∂ii+ i∂i, temos:
h(α1 + ¯α1)φ1, φ2i + hφ1, (α2+ ¯α2)φ2i = 0
(α1+ ¯α1+ α2+ ¯α2)hφ1, φ2i = 0
(α1+ ¯α1+ α2+ ¯α2)G(2)(z1, z2) = 0.
(2.9)
Substituindo a condição que = ¯ = 1, temos que G(2) depende somente em z12 =
z1− z2 e ¯z12= ¯z1− ¯z2; usando que = z, ¯ = ¯z, temos que G(2) tem a forma:
G(2) = C12 zh1+h2 12 z¯ ¯ h1+¯h2 12 . (2.10)
2.3. Quantização Radial, carga conservada e Identidade de Ward 21
Finalmente usando que = z2, obtemos que h
1 = h2 = h e ¯h1 = ¯h2 = ¯h. Então a
função 2-pontos é condicionada a ter a forma:
G(2) = C12 z2h
12z¯122¯h
. (2.11)
Em duas dimensões conseguimos ter uma função 2-pontos generalizada para campos com spin s e dimensão ∆.2
2.3
Quantização Radial, carga conservada e Identidade de Ward
2.3.1
Quantização Radial e carga conservada
Para examinar melhor as consequências da invariância conforme em uma teoria quântica de campos bi-dimensional, precisamos entender os detalhes por trás da forma da quanti-zação. Começamos com um espaço-tempo de coordenadas (σ1,σ0) num espaço Euclidiano
plano, no espaço de Minkowski as coordenadas do cone de luz seriam σ0 ± σ1,
analoga-mente, no espaço Euclidiano podemos introduzir as coordenadas complexas ζ = σ0+ iσ1 e
¯
ζ = σ0− iσ1. Com isso, as noções de movimento para a esquerda e para a direita dos
cam-pos não massivos se tornam camcam-pos Euclidianos puramente dependentes das coordenadas serem holomórficas ou anti-holomórficas.
Não podemos quantizar na direção das coordenadas espaciais com essa forma, pois teríamos divergência infravermelho.3 Para eliminar esse problema fazemos a compactação dos espaço com σ1 ≡ σ1+ 2π, exemplificado na primeira parte da figura 2. Agora usamos
o mapa conforme ζ → z = e(σ0+iσ1) e ¯ζ → ¯z = e(σ0−iσ1) que leva o cilindro ao plano
complexo z, exemplificado na segunda parte da figura 2. O tempo σ0 antes mapeado no
intervalo (−∞, ∞) é, então, mapeado no intervalo (0, ∞), nessa forma as superfícies de tempos iguais se tornam círculos no plano complexo z e a inversão do tempo σ0 → −σ0
se torna z → 1/z∗, onde z∗ significa o complexo conjugado de z.
Para construir uma teoria quântica de campos conformes precisamos encontrar os operadores que efetuam transformações conformes no plano, a rotação z → eiδz gera uma transformação no espaço σ1 → σ1 + δ e a dilatação z → eaz gera uma transformação
no tempo σ0 → σ0 + a. Então, o gerador de dilatações pode ser identificado como a
Hamiltoniana do sistema e o espaço de Hilbert pode ser construído em superfícies de raio 2 Mais tarde com a introdução de estados, veremos que (h, ¯h) na verdade são, dado o contexto,
auto-valores dos operadores l0 e ¯l0 e como (l0+ ¯l0) são responsáveis pelas dilatações, a dimensão ∆ dos
estados é dada por ∆ = h + ¯h; da mesma forma i(l0− ¯l0) é responsável pelas rotações, e assim, o spin
s dos estados é dado por s = h − ¯h. A partir disso podemos fazer a conexão com a equação (1.14) ao considerar campos bosônicos com spin s = h − ¯h = 0, com isso a equação (2.11) se torna equivalente ao que obtemos em (1.14).
3
Como o campo não é massivo, temos que a energia é E = ~f e se a partícula oscila fracamente temos partícula sem massa e sem energia
constante. Esse processo, de definir uma teoria quântica numa superfície constante, é chamado de quantização radial.
σ0 σ 0 σ0 σ1 σ1 σ1 z ζ = σ0+ iσ1 ¯ ζ = σ0− iσ1 σ1 ≡ σ1+ 2π
Figura 2 – Visualização das transformações conformes para a quantização radial. Come-çando pela esquerda temos a identificação de σ1 com σ1+ 2π, transformando o
plano em um cilindro. Seguidamente o uso dos mapas conformes ζ e ¯ζ levam o cilindro no plano complexo z. Inspirado na figura 1 em [12].
A carga Q associada com uma teoria quântica de simetria exata e d + 1 dimensões é construída a partir da integração num pedaço de tempo fixado de uma corrente conservada jµ da teoria que satisfaz ∂jµ= 0.
Q = Z
j0ddx. (2.12)
Em particular, transformações locais de coordenadas são geradas por cargas construí-das a partir do tensor energia-momento Tµν que é, em geral, simétrico e tem divergência nula. Em teorias com simetria conforme, Tµν tem traço nulo, isso acontece porque que-remos que a corrente seja conservada por transformações de dilatação.
Para implementar as cargas conservadas no plano z, precisamos encontrar a métrica no novo espaço, sendo z = x + iy e ¯z = x − iy, e usando a equação (1.1), obtemos:
gµν = gzz gz ¯z gzz¯ gz ¯¯z ! = 0 1 2 1 2 0 ! . (2.13)
Usando a mesma equação podemos obter Tµν no plano complexo z, sabendo que Tµν é simétrico, temos: Tµν = Tzz Tz ¯z Tzz¯ T¯z ¯z ! = 1 4 Txx− Tyy− 2iTxy Txx+ Tyy Txx+ Tyy Txx− Tyy + 2iTxy ! . (2.14)
2.3. Quantização Radial, carga conservada e Identidade de Ward 23
Usando que o traço de Tµν no espaço original é nulo, ou seja, T
xx = −Tyy e a lei de
conservação do tensor energia-momento ∂µTµν = 0, obtemos:
∂z¯Tzz = 0, ∂¯zTz ¯¯z = 0;
Tz ¯z = 0, T¯zz = 0.
(2.15) Agora podemos associar Tzz(z) = T (z) e ¯Tz ¯¯z(¯z) = ¯T (¯z) já que as outras duas
compo-nentes são zero. É natural supor que T (z) e ¯T (¯z) gerem as transformações conformes no plano complexo z. Na quantização radial, a integral da componente da corrente ortogonal a superfície de tempo fixado se torna R j0(x)dx →R jr(θ)dθ. Então tomamos:
Q = 1 2πi I C dzT (z)(z) + 1 2πi I C d¯z ¯T (¯z)¯(¯z) = Q + ¯Q, (2.16) como uma expressão formal da carga conservada, onde C é algum círculo de raio fixo. A variação de qualquer campo é dada pelo comutador em tempos iguais δ¯A = [Q, A] +
¯ [ ¯Q, A], assim: δ¯φ(ω, ¯ω) = 1 2πi I [dzT (z)(z), φ(ω, ¯ω)] + [d¯z ¯T (¯z)¯(¯z), φ(ω, ¯ω)] . (2.17) O produto de operadores A(z)B(ω) é definido somente se |z| > |ω|, então definimos um operador de ordenamento radial R tal que:
R(A(z)B(ω)) = A(z)B(ω), se |z| > |ω| B(ω)A(z), se |ω| > |z|. (2.18) Isso nos permite definir o significado dos comutadores em (2.17). Com isso podemos fazer a substituição:
Z
dx[A(z), B(ω)]z0=w0 →
I
dzR(A(z)B(ω)), (2.19)
onde z0 e w0 são as coordenadas temporais de z e w. Fazendo a substituição para
rees-crever δ¯φ(ω, ¯ω), obtemos δ¯φ(ω, ¯ω) = 1 2πi I dz(z)R(T (z)φ(ω, ¯ω)) + d¯z¯(¯z)R( ¯T (¯z)φ(ω, ¯ω)) = h∂(ω)φ(ω, ¯ω) + (ω)∂φ(ω, ¯ω) + ¯h∂¯(¯ω)φ(ω, ¯ω) + ¯(¯ω)∂φ(ω, ¯ω), (2.20)
onde a igualdade da última linha vem da variação que obtivemos na equação (2.8). Usando a equação de diferenciação de Cauchy, também conhecida como integral de Cauchy gene-ralizada, obtemos que:
R(T (z)φ(ω, ¯ω)) = h (z − ω)2φ(ω, ¯ω) + h z − ω∂ωφ(ω, ¯ω) + ... R( ¯T (¯z)φ(ω, ¯ω)) = ¯ h (¯z − ¯ω)2φ(ω, ¯ω) + ¯ h ¯ h − ¯ω∂ω¯φ(ω, ¯ω) + ... (2.21)
Então, vemos que a lei de transformação para os campos primários leva a uma expansão do produto de operadores (OPE) para curtas distâncias entre os tensores energia-momento e o campo primário.4 Vamos deixar de usar o símbolo R e considerar a expansão do
produto de operadores como uma abreviação de produtos radialmente ordenados. Assim:
T (z)φ(ω, ¯ω) = h (z − ω)2φ(ω, ¯ω) + 1 z − ω∂ωφ(ω, ¯ω) + ... ¯ T (¯z)φ(ω, ¯ω) = ¯ h (¯z − ¯ω)2φ(ω, ¯ω) + 1 ¯ h − ¯ω∂ω¯φ(ω, ¯ω) + ... (2.22)
2.3.2
Identidade de Ward
Vamos completar a nossa discussão sobre as formalidades da teoria conforme escrevendo a identidade de Ward satisfeita pelas funções de correlação de campos primários φj. As
identidades de Ward são, em geral, satisfeitas por funções de correlação como uma con-sequência das simetrias carregadas pela teoria.
Considerando a função de correlação hφ1(z1, ¯z1)φ2(z2, ¯z2) ... φn(zn, ¯zn)i em um domínio
D que contém todos os pontos {zi}, queremos realizar a transformação conforme
infini-tesimal z0 = z + δ(z) sem modificar o domínio D. Isso pode ser feito considerando um contorno C que inclui todos os pontos {zi}, mas no qual está completamente dentro de
D, de tal forma que a transformação é conforme dentro de C e é a identidade fora de C. Usando a formulação de integral funcional das funções de correlação, temos:
hφ1φ2 ... φni =
Z
Dφe−Sφ1φ2 ... φn
, (2.23)
onde φn= φn(zn, ¯zn) e S é a ação. Sendo S0 = S + δS, hφ1φ2 ... φni = hxi e x0 = x + δx,
podemos escrever: hx0i = Z Dφ0e−S0x0 = Z Dφe(−S−δS)(x + δx) , (2.24)
onde assumimos que a transformação não muda a medida. Em primeira ordem:
hx0i = Z Dφe−S(1 − δS)(x + δx) = Z Dφe−Sx + Z Dφe−Sδx − Z Dφe−S(δS)x
= hxi + hδxi − h(δS)xi.
(2.25)
A variação δx nós já sabemos pela equação (2.8), agora falta encontrar a variação da ação δS. Começando com:
δS = − 1 2πi Z Tµν∂νµd2x − 1 2πi Z ¯ Tµν∂¯ν¯µd2x, (2.26)
2.3. Quantização Radial, carga conservada e Identidade de Ward 25
podemos integrar por partes e usar o fato de que Tµν é simétrico e tem traço nulo, para
obter:
δS = 1 2πi
Z
((z)T (z))dz − ¯(¯z) ¯T (¯z))d¯z). (2.27) Substituindo esse resultado na última linha da equação (2.25) e usando o fato de que hxi = hx0i, temos para a parte holomorfa
h(δS)xi =hδxi 1 2πi Z dz(z)hT (z)φ1φ2 ... φni = X j hφ1 ... δφj ... φni =X j (hj∂ + ∂j)hφ1 ... φj ... φni, (2.28)
para tal igualdade ser válida precisamos que o termo que multiplica (z) seja composto de um pólo duplo mais um pólo simples multiplicando a função de correlação, assim ao usar a fórmula integral de cauchy obtemos a forma final da identidade de Ward:
hT (z)φ1φ2 ... φni = X j hj (z − zj)2 + 1 z − zj ∂j hφ1 ... φj ... φni, (2.29)
com equação similar para a parte anti-holomorfa da teoria. Essa equação afirma que as funções de correlação são funções meromorfas de z com singularidades nas posições do operadores inseridos. 5
5 Uma função meromorfa é basicamente uma função holomorfa com pólos em cada z
identro do domínio
27
3 A carga central e a álgebra de Virasoro
3.1
A carga central
Nem todos os campos satisfazem a propriedade φ(z, ¯z) → (∂f /∂z)h(∂ ¯f /∂ ¯z)¯h sob
trans-formações conformes. Derivadas de campos, por exemplo, tem geralmente propriedades de transformações mais complicadas.
Um campo secundário é qualquer campo que tenha pólo de ordem maior que o pólo duplo de T (z)φ(zi, ¯zi) na expansão de singularidades da equação (2.29). De forma geral,
os campos em uma teoria conforme podem ser agrupados em famílias [φi], onde cada uma
tem um campo primário e um conjunto infinito de campos secundários e suas derivadas, chamados de campos descendentes. Isso abrange a representação irredutível do grupo conforme, e os campos primários podem ser tidos como o de peso máximo (Highest Weight ) da representação.1
Um exemplo de campo que não obedece a expansão de singularidades T (z)φ(zi, ¯zi) é
o próprio tensor energia-momento T (z), onde
T (z)T (ω) = c/2 (z − ω)4 + 2T (ω) (z − ω)2 + ∂T (ω) (z − ω); ¯ T (¯z) ¯T (¯ω) = ¯c/2 (¯z − ¯¯ ω)4 + 2 ¯T (¯ω) (¯z − ¯ω)2 + ∂ ¯T (¯ω) (¯z − ¯ω). (3.1)
sendo que c, ¯c são constantes chamadas de carga central e o valor depende da teoria considerada. A constante ¯c é inicialmente independente, mas teorias com invariância por transformações de Lorentz requerem que c = ¯c.
3.2
Expansão em Modos e álgebra de Virasoro
Um campo conforme φ(z) com peso conforme h pode ser expandido em modos em termos da série de Laurent: φ(z) =X n∈Z z(−n−h)φn → φn= I dz 2πiz (n+h−1)φ(z). (3.2)
1 Mais tarde com a introdução da representação em estados, ficará mais claro o uso do termo Highest
Weight. Há materiais que utilizam o termo peso mínimo ou Lowest Weight, mas essencialmente a diferença vem da escolha de contar de cima para baixo ou o inverso, ou seja, não afeta em nada os resultados finais.
É conveniente definir ter também uma expansão em modos para o tensor energia-momento em função dos modos Ln (operadores).2
T (z) =X n∈Z z(−n−2)Ln → Ln= I dz 2πiz (n+1)T (z); ¯ T (¯z) =X n∈Z ¯ z(−n−2)L¯n → L¯n= I d¯z 2πiz¯ (n+1)T (¯¯ z). (3.3)
Para calcular a álgebra dos comutadores satisfeitos pelos modos Ln e ¯Ln, usamos o
fato de que o comutador de duas integrais de contorno [H dz, H dω] pode ser feito fixando ω e deformando a diferença entre duas integrações em z em um único contorno em torno do ponto ω, da mesma forma como fizemos para a equação (2.17) como pode ser visto na figura 3.
Figura 3 – Cálculo do comutador em tempos iguais no plano conforme. Fonte: [12]. Para calcular a integral escreve-se a OPE de T (z)T (ω), os termos que são diferente de zero nos dão a álgebra
[Ln, Lm] =(n − m)Ln+m+ c 12(n 3− n)δ (n+m,0); [ ¯Ln, ¯Lm] =(n − m) ¯Ln+m+ ¯ c 12(n 3− n)δ (n+m,0); [Ln, ¯Lm] =0. (3.4)
O último comutador vem do fato de T (z) ¯T (ω) não ter singularidades. Esse conjunto de comutadores tem duas cópias de uma álgebra com dimensão infinita chamada Álgebra de Virasoro. Toda teoria quântica de campos invariante conforme determina alguma representação dessa álgebra com algum valor de c e ¯c. Quando c = ¯c = 0 a álgebra reduz ao caso clássico de geradores em 2d. A forma da álgebra pode alterar um pouco mudando Ln por constantes, para eliminar essa ambiguidade podemos pedir que a sub-álgebra
gerada por L−1, L0 e L1 satisfaça:
[L±1, L0] = ±L±1, [L1, L−1] = 2L0, (3.5)
2 O expoente (−n − 2) foi definido tal que sobre uma mudança de escala z → z/λ, no qual T (z) →
λ2T (z/λ), nós teríamos L
3.3. Estados in- e out- 29
onde não há termo anômalo. O grupo conforme global SL(2, C) gerado por L±1, L0, ¯L0 e
¯
L±1 permanece, então, um grupo de simetria exata apesar da carga central.
3.3
Estados in- e
out-Para analisar profundamente as propriedades da expansão em modos, é útil introduzir a noção de adjunto: [A(z, ¯z)]†= A 1 ¯ z, 1 z 1 z2¯h 1 ¯ z2h, (3.6) onde o termo z12¯h 1 ¯
z2h dá ao adjunto a forma tensorial correta sob transformações conformes.
Definir o adjunto tem ainda mais sentido quando consideramos estados in- e out- na teoria de campos conformes. Na teoria de campos Euclidiana nós, geralmente, associamos estados com operadores pela identificação:
|Aini = lim σ0→−∞
A(σ0, σ1)|0i = lim σ0→−∞
eHσ0A(σ
1)|0i. (3.7)
Como σ0 → −∞ corresponde a origem no plano complexo z é natural escrever os
estados in- como
|Aini ≡ lim
z,¯z→0A(z, ¯z)|0i. (3.8)
Para definir os estados precisamos construir o análogo para z → ∞, entretanto a invariância conforme nos permite reparametrizar a vizinhança desse ponto na esfera de Riemann a uma vizinhança sobre a origem pelo mapa z → 1/ω. Se chamarmos ˜A(ω, ¯ω) o operador que nas coordenadas para qual ω → 0 corresponde ao ponto em z → ∞, então é natural definir os estados -out como
hAout| ≡ lim
ω,¯ω→0h0| ˜A(ω, ¯ω). (3.9)
Agora falta relacionar os campos A e ˜A. Lembrando como campos primários trans-formam, temos para f (ω) = 1/ω que
˜ A(ω, ¯ω) = A 1 ω, 1 ¯ ω 1 ω2h 1 ¯ ω2¯h. (3.10)
Com isso o adjunto dá uma relação natural entre os estados in- e out-. hAout| = lim ω,¯ω→0h0|A 1 ω, 1 ¯ ω 1 ω2h 1 ¯ ω2¯h = lim ω,¯ω→0h0|[A(¯z, z)] † = lim ω,¯ω→0A(¯z, z)|0i † =|Aini†. (3.11)
Para o tensor energia-momento temos, usando a equação (3.6) e o fato de que T (z) tem peso conforme (2,0) que
T†(z) = T†(z, z) = T 1 ¯ z, 1 ¯ z 1 ¯ z2h 1 ¯ z2¯h = T 1 ¯ z 1 ¯ z4. (3.12)
Usando a equação (3.3) nos dois lados obtemos,
L†n= L−n, L¯†n = ¯L−n. (3.13)
Outras condições importantes podem ser obtidas requerendo a regularidade de
T (z)|0i =X
n∈Z
Lnz(−m−2)|0i, (3.14)
em z = 0, com isso somente os termos com n ≤ −2 são permitidos, ou seja,
Ln|0i = 0, n ≥ −1. (3.15)
Usando a equação (3.11) e (3.13), nós temos também
h0|L†n = 0, n ≥ −1 ou h0|Ln = 0, n ≤ 1. (3.16)
L0,±1|0i = 0 é a confirmação de que o vácuo é invariante sob transformações SL(2, R),
e isso aparece ao exigir, somente, que z = 0 seja um ponto regular. Os resultados obtidos também se aplicam para ¯Ln, e nós chamamos o vácuo |0i, que aniquilado tanto por L0,±1
como por ¯L0,±1 como vácuo invariante por transformações em SL(2, C).3
3 Rigorosamente falando nós poderíamos denotar o vácuo pelo produto tensorial |0i ⊗ |0i de dois
vá-cuos invariantes por transformações em SL(2, R), mas qualquer ambiguidade no símbolo |0i pode ser entendida a partir do contexto.
3.4. Estados Highest Weight 31
3.4
Estados Highest Weight
Vamos considerar o estado |hi criado por um campo holomórfico φ(z) com peso conforme (h, 0) definido pela relação
|hi = φ(z)|0i. (3.17)
A partir da expansão do produto de operadores entre o tensor energia-momento T (w) e o campo primário φ(z), equação (2.22), e usando a equação (3.3) obtemos:
[Ln, φ(z)] = I z dw 2πiz n+1T (w)φ(z) = h(n + 1)znφ(z) + zn+1∂φ(z), (3.18)
assim [Ln, φ(0)] = 0, n ≥ 0. Então o estado |hi satisfaz
L0|hi = h|hi, Ln|hi = 0, n > 0. (3.19)
De forma geral, um estado -in |h, ¯hi, criado a partir de um campo primário φ(z, ¯z) de peso conforme (h, ¯h) também irá satisfazer as equações (3.18) e (3.19), com as substi-tuições L → ¯L e h → ¯h. Qualquer estado que satisfaça o conjunto de equações (3.19) é chamado de estado de peso máximo(Highest Weight State). Os estados formados a par-tir de L−n1L−n−2...L−nk|hi são chamados de estados descendentes. Para os estados out
temos:
hh|L0 = hh|h, hh|Ln= 0, n < 0. (3.20)
Com isso podemos calcular a norma do estado L−n|hi e inferir algumas condições
sobre c e h. Obtemos que a norma é
||L−n|hi||2 = 2nhhh|hi +
c 12(n
3− n)hh|hi. (3.21)
O valor da norma deve ser positivo se o espaço de Hilbert tem norma positiva, então para n >> 1, c deve ser maior do que zero e para n = 1 precisamos que h ≥ 0.
Para entender o que φ(0)|0i = |hi significa em termos de modos podemos usar as equações em (3.2) e requerer que φ(0)|0i seja regular em z = 0, com isso φn:
φ(z)|0i =X
n∈Z
z−n−hφn|0i → φn|0i = 0, n ≥ −h + 1. (3.22)
Essa condição é uma generalização da equação (3.15), reobtemos o resultando anterior utilizando h = 2.
3.5
Campos Descendentes
As representações da álgebra de Virasoro começam com um único campo primário e os campos restantes da representação são construídos a partir do produto com o tensor energia-momento, ou, na estrutura de expansão em modos, comutando Ln com o campo
primário. Juntos, todos esses campos compreendem a representação [φn].
Agindo sobre o vácuo, campos descendentes criam estados descendentes, vamos ver que as identidades conformes de Ward dão equações diferenciais que determinam as funções de correlação dos campos descendentes em termos dos campos primários. O benefício de organizar uma teoria de campo conforme 2d em termos de famílias conformes, ou seja, um representação irredutível da álgebra de Virasoro, é que a teoria pode então ser completamente especificada pelas funções de Green dos campos primários.
Nós extraímos os campos descendentes ˆL−nφ, com n > 0, a partir da parte menos
singular da OPE de T (z)φ(w) em torno de w. Substituindo a forma de T (z) definida pela equação (3.3), temos T (z)φ(w, ¯w) =X n≥0 (z − w)−n−2Lˆ−nφ(w, ¯w) = ˆ L0φ(w, ¯w) (z − w)2 + ˆ L−1φ(w, ¯w) (z − w) + ˆL−2φ(w, ¯w) + (z − w) ˆL−3φ(w, ¯w) + ... (3.23) Utilizando a expansão da equação (2.22), obtemos
ˆ L−nφ(w, ¯w) = I dz 2πi 1 (z − w)n−1T (z)φ(w, ¯w). (3.24)
Para n > 0, campos primários satisfazem L−nφ = 0. Os primeiros campos
descenden-tes são:
Tabela 1 – Campo primário e seus descendentes.
Nível Dimensão Campo
0 h φ 1 h + 1 Lˆ−1φ 2 h + 2 Lˆ2 −1φ, ˆL−2φ 3 h + 3 Lˆ3−1φ, ˆL−2Lˆ−1φ, ˆL−3φ ... ... ... N h + N P (N ) campos
O número P (N ) de campos no nível N é dado pelo número de partições de N em partes inteiras positivas. Os campos presentes na tabela 1 resultam de repetidas expansões para curtas distâncias do campo primário φ com T (z), e formam a família conforme [φ]. Comparando as equações (2.22) e (3.23), vemos que ˆL−1φ = ∂φ para todo campo φ, então
3.5. Campos Descendentes 33
As funções de correlação dos campos descendentes podem ser derivadas a partir do campo primário. Sendo hφ1(z1, ¯z1)φ2(z2, ¯z2)...φn−1(zn−1, ¯zn−1)i = h x i, então:
h x ( ˆL−kφ(z, ¯z))i = L−kh x φ(z, ¯z)i, (3.25)
onde L−k para k ≥ 2 é dado por:
L−k = − n−1 X j=1 (1 − k)hj (zj − z)k + 1 (zj − z)k−1 ∂ ∂zj . (3.26)
Podemos generalizar a equação (3.26) para:
h x ( ˆL−k1Lˆ−k2... ˆL−klφ(z, ¯z))i = L−k1L−k2...L−klh x φ(z, ¯z)i. (3.27)
Em principio se pode escrever expressões para as funções de correlação de campos descendentes arbitrários em termos daquelas para primários, mas não existe uma forma fechada pro caso geral. Um problema relacionado a calcular as funções de correlação dos campos descendentes é escrever os coeficientes da expansão do produto de operadores para descendentes em termos do que tínhamos para primários. Vamos considerar uma expansão do tipo: hφi(z, ¯z)φj(w, ¯w)i ≈ X k Cijk(z − w)hk−hi−hj(¯z − ¯w) ¯ hk−¯hi−¯hjφ k(w, ¯w), (3.28)
com φi e φj sendo campos primários e juntar todos os campos descendentes pertencentes
a família conforme [φp] na soma para escrever
hφi(z, ¯z)φj(w, ¯w)i =
X
p,{k,¯k}
Cijp{k,¯k}(z − w)hk−hi−hj(¯z − ¯w)¯hk−¯hi−¯hjφ{k,¯k}
p (w, ¯w), (3.29)
onde nós rotulamos os descendentes ˆL−k1Lˆ−k2... ˆL−kn
ˆ ¯ L−k1 ˆ ¯ L−k2... ˆL¯−kmφp de um campo pri-mário φp como φ {k,¯k}
p (w, ¯w). Tomando a função de correlação desses campos com um
terceiro campo primário φr(w, ¯w), temos na OPE:
hφr(w, ¯w)|φi(z, ¯z)|φj(0, 0)i = X p,{k,¯k} Cijp{k,¯k}(z−w)hk−hi−hj(¯z− ¯w)¯hk−¯hi−¯hjhφ r(w, ¯w)|φ{k,¯p k}(0, 0)i. (3.30) Pela ortogonalidade dos campos nós temos que:
Cijr = C {k,¯k} ijp {k, ¯k} = {0, 0}. (3.31)
Assim, o coeficiente da função de correlação é o termo mais singular da série. Como as funções de correlação dos campos descendentes são construídas a partir das correlações com o campos primários esperamos que os coeficientes possam ser escritos como:
Cijp{k,¯k} = Cijpβ {k} ijpβ¯
{¯k}
ijp. (3.32)
Isso significa que os campos descendentes só podem estar correlacionados a um terceiro campo se o campo primário em si estiver correlacionado com as partes holomórficas e anti-holomórficas em parte fatorizadas.
3.6
Dualidade e Bootstrap
Para encontrar Cijp’s e h’s precisamos usar alguns princípios dinâmicos para obter mais
informação. Até agora somente consideramos condições locais da álgebra conforme in-finita, a associatividade da álgebra impõem, por outro lado, uma condição global nas funções de correlação. Para entender qual parte é fixada, vamos olhar a função 4-pontos:
Gjilm = hφi(z1, ¯z1), φj(z2, ¯z2), φl(z3, ¯z3), φm(z4, ¯z4)i. (3.33)
Sabemos que a função de correlação depende continuamente do invariante conforme η. Nesse caso: η = (z1− z2)(z3− z4) (z1− z3)(z2− z4) , η =¯ (¯z1− ¯z2)(¯z3− ¯z4) (¯z1− ¯z3)(¯z2− ¯z4) . (3.34)
Como a razão anarmônica é globalmente invariante por transformações conformes, podemos fazer uma transformação tal que z1 → ∞, z2 → 1, z3 → η e z4 → 0 e a função
de correlação 4-pontos pode ser relacionada a um elemento de matriz entre dois estados assintóticos (φ1(z, ¯z) e φ4(0, 0)) do produto de dois campos (φ2(1, 1) e φ3(η, ¯η))
lim
z,¯z→∞z
2hz¯2¯hhφ
1(z, ¯z), φ2(1, 1), φ3(η, ¯η), φ4(0, 0)i = G2134(η, ¯η). (3.35)
A OPE de φ3(η, ¯η)φ4(0, 0) tem a forma:
φ3(η, ¯η)φ4(0, 0) = X p{k,¯k} C34p β34p{k}β¯34p{¯k}ηhp−h3−h4η¯¯hp−¯h3−¯h4ηkη¯¯kφp{k,¯k} p (0, 0). (3.36) Definindo ψp(η, ¯η|0, 0) =Pp{k,¯k}β p{k} 34 β¯ p{¯k} 34 ηkη¯ ¯ kφp{k,¯k} p (0, 0), temos: φ3(η, ¯η)φ4(0, 0) = X p C34p ηhp−h3−h4η¯¯hp−¯h3−¯h4ψ p(η, ¯η|0, 0). (3.37)
3.6. Dualidade e Bootstrap 35
E agora podemos reescrever G21
34 na forma:
G2134=X
p
C34p C12p A2134(p|η, ¯η), (3.38) onde foi introduzida a substituição,
A2134(p|η, ¯η) =X
p
(C12p )−1ηhp−h3−h4η¯¯hp−¯h3−¯h4hh
1, ¯h1|φ2(1, 1)ψp(η, ¯η|0, 0)|0, 0i. (3.39)
Aqui nós reescrevemos a função 4-pontos como uma soma sobre as funções de cor-relação da famílias conformes. A analogia com a teoria de pertubação é que as funções de correlação das famílias conformes correspondem a diferentes funções de correlação de estados formados durante o espalhamento de dois campos de (0, η) para (1, ∞). Nós po-demos representar a parte holomórfica (ou anti-holomórfica) de Ajikl(p|η, ¯η) pelo diagrama:
Ajikl(p|η) =
k(0) l(1)
j(η) i(∞)
p
Figura 4 – Representação em forma diagramatica da parte holomórfica de Ajikl(p|η, ¯η). Fonte: [17].
Podemos separar Ajikl(p|η, ¯η) em uma parte holomórfica e anti-holomórfica, Fklji(p|η) e ¯
Fklji(p|¯η), chamadas de blocos conformes. F3421(p|η) = ηhp−h3=h4X {k}
β34{k}ηkhh1|φ2(1)L−k1...L−kn|hpi
h|φ2(1)|i
. (3.40)
Essas funções podem ser calculadas a partir do conhecimento das dimensões conformes e da carga central comutando os geradores L−k com φ2(1, 1). Voltando a decomposição de
G em A, vemos que o bloco conforme é a parte fixada da função de 4-pontos, reescrevendo G temos:
G2134 =X
p
Quando definimos G21
34 escolhemos uma ordem para escrever os campos na função de
correlação, mas a ordem dos campos não deve influenciar (exceto no caso de férmions), e assim poderíamos ter escolhido outra ordem, por exemplo, z1 → ∞, z2 → 0, z3 → 1 − η e
z4 → 1, ou seja, G2134 deve ser igual a G4132. Essas condições sobre G são manifestações da
simetria de crossing, escrevendo em termos dos blocos conformes temos: X
p
C12p C34p F3421(p|η) ¯F3421(p|¯η) =X
q
C41q C32q F3241(q|1 − η) ¯F3241(q|1 − ¯η). (3.42) Representada gráficamente por:
p 1 2 4 3 q 1 2 4 3 = C41q C32q C12p C34p
Figura 5 – Representação em linguagem diagramática de da simetria crossing. Fonto: [17].
Essa simetria dá restrições para determinar Cmnp e hp. Se assumirmos N famílias
temos N4 restrições com N3+ N parâmetros Cmnp e hp, essa forma de calcular as funções
de correlação assumindo somente a simetria de crossing é chamada de Bootstrap. Não há prova de que nos casos gerais somente isso seja suficiente para determinar todas os parâmetros, mas há valores especiais de h e c em que as F ’s são soluções de equações diferenciais lineares advindas dos estados nulos que serão tratados no próximo capítulo.
37
4 Determinante Kac e a Unitariedade
4.1
Espaço de Hilbert dos Estados
Agora vamos olhar mais cuidadosamente o espaço de Hilbert dos estados na teoria de campos conformes. Gostaríamos de verificar que cada representação da álgebra de Vira-soro é caracterizada pelo peso máximo |hi que definimos nas equações (3.17) e (3.19) e do fato de h ≥ 0 para termos um espaço de Hilbert com norma positiva.
Geralmente estamos interessados por operadores escada, ou seja, operadores de peso conforme fixo, com estados que diagonalizam a ação de L0. Então, vamos focar nos estados
|ψi tal que L0|ψi = hψ|ψi. A partir da equação (3.4) temos [L0, Ln] = −nLn, assim
L0Ln|ψi = LnL0|ψi − nLn|ψi
= hψLn|ψi − nLn|ψi
= (hψ − n)Ln|ψi,
(4.1)
ou seja, o operador Ln diminui o autovalores de L0 para n > 0. Mas como as dilatações
no plano z são geradas por L0 + ¯L0 que correspondem a translações σ0 no cilindro
ge-radas pela energia H, então L0 + ¯L0 devem ser limitados por baixo em qualquer teoria
quântica de campos razoável. Como L0 e ¯L0 residem em álgebras diferentes, eles devem
ser separadamente limitados por baixo.
Portanto, agindo com Ln sobre os estados, devemos chegar a um estado que é
aniqui-lado por Ln, esse último é chamado de estado de peso máximo (ou Highest Weight State)
|hi. Com isso podemos entender Ln como operadores de aniquilação e L†n = L−n como
operadores de criação.
Gostaríamos também que todo estado em um espaço de Hilbert positivo possa ser escrito como uma combinação linear de estados primários e descendentes. A partir da suposição que exista um estado |λi que não é descendente de um estado de peso máximo, podemos, em uma teoria de métrica positiva, fazer a decomposição |λi = |δi + |ψi, onde |ψi é ortogonal a todos os descendentes |δi. E, por indução encontrar que o estado |ψi em si é um estado primário concluindo o nosso pedido.
Com esta caracterização do espaço de Hilbert, agora podemos tomar de forma mais detalhada a representação dos estados da álgebra de Virasoro. Começando com um estado de peso máximo |hi, construímos o conjunto de estados da tabela 2 chamado de Verma Module.
Mas não há garantias de que todos os estados são linearmente independentes, isso depende da estrutura da álgebra de Virasoro para um dado valor de h e c. Uma com-binação linear de estados que se anula é chamada de estado nulo, e a representação da
Tabela 2 – Verma Module para o estado |hi e seus descendentes.
Nível Dimensão Estado
0 h |hi
1 h + 1 Lˆ−1|hi
2 h + 2 Lˆ2−1|hi, ˆL−2|hi
3 h + 3 Lˆ3
−1|hi, ˆL−2Lˆ−1|hi, ˆL−3|hi
... ... ...
N h + N P (N ) estados
álgebra de Virasoro com o estado de peso máximo |hi é feita a partir do Verma Module correspondente e a remoção de todos os estados nulos.
Para entender as consequências de uma combinação linear que se anula, vamos colocar aqui dois exemplos dos primeiros níveis. No nível 1, só temos a possibilidade:
L−1|hi = 0 → h = 0, (4.2)
ou seja, para o nível um só temos o estado nulo como possibilidade. Para o nível 2:
L−2|hi + aL2−1|hi = 0. (4.3)
Para encontrar a multiplicamos por L1 pela direita e usando as relações de comutação
da equação (3.4), encontramos a = −3/2(2h + 1). Da mesma forma aplicando L2 pela
direita, obtemos c = −2h(6a + 4). Então, para esse valores de c e a temos o estado nulo:
L−2|hi −
3 2(2h + 1)L
2
−1|hi = 0. (4.4)
Para a escrita em campos temos o equivalente:
( ˆL−2−
3 2(2h + 1)
ˆ
L2−1)φ = 0. (4.5)
Usando as equações (3.25) e (3.26) temos que as funções de correlação de tal campo são aniquiladas pelo operador diferencial (L−2− 2(2h+1)3 L2−1), essa forma de definir equações
diferenciais será de extrema importância para definir funções de correlação futuramente neste trabalho.
4.2
Determinante Kac
Em um nível qualquer, calcular a matriz dos produtos internos do nível determina de forma mais geral se existe alguma relação não trivial entre os estados. Um autovetor nulo
4.2. Determinante Kac 39
nessa matriz dá uma combinação linear com norma nula, a qual deve desaparecer num espaço de Hilbert positivo definido. Por exemplo, em 2o nível:
hh|L2L−2|hi hh|L21L−2|hi hh|L2L2−1|hi hh|L21L2−1|hi ! = 4h + c/2 6h 6h 4h(2h + 1) ! . (4.6)
Calculando o determinante e igualando a zero encontramos:
h1,1 = 0, h1,2= −(c − 5) +p(c − 1)(c − 25) 16 e h2,1 = −(c − 5) −p(c − 1)(c − 25) 16 , (4.7) que pode ser reescrito como 32(h−h1,1(c))(h−h1,2(c))(h−h2,1(c)) = 0, sendo que h1,1(c) =
0 e os outros dois valores de h pertencem ao nível 2. A raiz h = 0 pertence, na verdade, ao estado nulo de nível 1, ou seja, que L−1|0i = 0, o que implica que L−1(L−1|0i) = 0.
Essa é uma propriedade geral, se um estado nulo |h + ni = 0 acontece no nível n, então no nível N haverá P (N − n) estados nulos L−n1...(L−nk|h + ni) = 0 (onde P ni = N − n).
Assim um estado nulo para algum valor de h que aparece pela primeira vez no nível n implica que o determinante do nível N terá P (N − n) raízes com aquele "h".
No nível N , o espaço de Hilbert consiste de todos os estados da forma:
X
{ni}
L−n1...L−nk|hi, (4.8)
onde P ni = N . Podemos usar P (N ) estados de base e generalizar o que fizemos para o
nível 2 para o nível N , obtendo o determinante de uma matriz MN(c, h) com elementos
da forma:
hh|Lml...Lm1L−n1...L−nk|hi (4.9)
onde P nk = P ml = N . Se o determinante de MN(c, h) for zero, então existe uma
combinação linear de estados que resulta no estado nulo. Se o determinante for negativo, então o determinante tem um número ímpar de autovalores (pelo menos um) negativo. A representação da álgebra de Virasoro nesse valores de c e h incluem estados de norma negativa e consequentemente não é unitária. Uma generalização da equação das raízes no nível dois para o nível N foi feita por Kac, sendo chamada de determinante de Kac e tem a forma:
det(MN(c, h)) = αN
Y
pq≤N
(h − hp,q(c))P (N −pq), (4.10)
onde o produto é tomado sobre todos os inteiros p e q tal qual o produto é menor ou igual a N e αN é uma constante independente de c e h. Podemos simplificar a forma de
expressar hp,q(c) reparametrizando-o pelo fator m: m = −1 2 ± 1 2 r (25 − c) 1 − c , c = 1 − 6 m(m + 1). (4.11)
Assim h toma a forma:
hp,q(m) =
[(m + 1)p − mq]2− 1
4m(m + 1) , (4.12)
onde p e q são inteiros nos intervalos 1 ≤ p ≤ m − 1 e 1 ≤ q ≤ p e hp,q(m) é simétrico com
a troca p → m − p e q → m + 1 − q. Assim podemos tomar a notação φp,q|hp,qi = hp,q|hp,qi.
4.3
Exemplo: Equação Diferencial para nível 3
Queremos fazer um exemplo de como definir a forma da equação diferencial para a função de correlação de 4-pontos. Nesse caso de um campo com estado nulo no nível 3. Mais tarde usaremos esses resultados para solucionar as conectividades do modelo.
O estado nulo de nível 3 tem a forma:
(L−3+ aL−2L−1+ bL3−1)|hi = 0. (4.13)
Podemos encontrar os coeficientes a, b e a carga central c da mesma forma que fizemos para o nível 2 na equação (4.3), mas agora multiplicando por L3, L2 e L21 obtendo o
conjunto de soluções: a = − 1 2h, b = 1 h(h + 1), e c = −2 + 7h − 3h2 1 + h . (4.14)
Por completude vamos escrever a matriz M3(c, h),
2c + 6h 10h 24h 10h ch + 8h + 8h2 12h + 36h2 24h 12h + 36h2 24h + 72h2+ 48h3 . (4.15)
Por causa das restrições da invariância conforme, a parte holomórfica da função de correlação de 4-pontos de um campo primário φ(z) com peso conforme h tem a forma:
hφ1,3(z1)φ1,3(z2)φ1,3(z3)φ1,3(z4)i = z13z24 z12z23z34z41 2h F (η), (4.16)
sendo que a parte anti-holomórfica tem a mesma forma e F (η) é uma função a deter-minar que depende somente do invariante conforme η definido em (3.34).Para escrever a
4.3. Exemplo: Equação Diferencial para nível 3 41
equação diferencial para a função de correlação hφ1,3(z1)φ1,3(z2)φ1,3(z3)φ1,3(z4)i, usamos
as equações (4.13) e (3.26): L−3− 1 2hL−2L−1+ 1 h(h + 1)L 3 −1 hφ1,3(z1)φ1,3(z2)φ1,3(z3)φ1,3(z4)i = 0. (4.17)
Substituindo explicitamente os operadores e sendo que os somatórios começam de j = 1:1 " 4 X j6=3 − 2h (zj − z3)3 + 1 (zj− z3)2 ∂ ∂zj − 1 2h 4 X j6=3 − h (zj − z3)2 + 1 (zj − z3) ∂ ∂zj ! ∂ ∂z3 + 1 h(h + 1) ∂ ∂z3 3# z13z24 z12z23z34z41 2h F (η) = 0. (4.18)
Por causa invariância conforme temos a liberdade de escolha para fazermos z1 → ∞,
z2 → 1, z3 → η e z4 → 0. Escrevendo o resultado da parte holomórfa em termos do
invariante conforme η, temos a equação diferencial para o terceiro nível:
(−1 + η)2η2F(3)(η) + (−1 + η)η(−2 + 4h + 4η − 8hη)F00(η) +(2(−1 + η)η − 3h(1 + 5(−1 + η)η) + h2(3 + 19(−1 + η)η))F0(η) −6(−1 + h)h2(−1 + 2η)F (η) = 0.
(4.19)
1 Aqui escolhemos o campo com z
3 como o campo em que os operadores foram aplicados, pois junto
com as escolhas para z1, z2, z3 e z4feitas depois teríamos a equação diferencial escrita em termos de
43
5 Resultados
5.1
Modelo
Definimos um domínio D simplesmente conectado que contém uma rede regular bidimen-sional com sítios de coordenadas discretas (x, y) conforme a figura 6.
Espaço ocupado
Espaço não ocupado
Sítio de coordenadas (x, y)
Figura 6 – Exemplo de domínio simplesmente conectado imbuído de uma rede regular bidimensional.
Entre os sítios há um espaço que tem a possibilidade de ser ocupado por uma ligação, essa possibilidade depende de uma probabilidade p sujeita a teoria estatística escolhida. A Hamiltoniana do modelo de Q-Potts tem a forma:
HQ = −J
X
<x,y>
δa(x),a(y), a(x) = 1, 2, 3, ..., Q; (5.1)
onde J > 0, a(x) representa a cor do spin de cada sítio e a soma se estende até os primeiros sítios vizinhos. Consideramos Q para valores positivos e menores ou iguais a 4, uma vez que para valores maiores a transição de fase ferromagnética passa a ser de primeira ordem no modelo de Q-Potts e em tal caso deixa de ser descrito por uma teoria conforme. Os valores de Q podem ser relacionados com modelos estatísticos unitários, sendo Q = 1 percolação, Q = 2 Ising e Q = 3 o modelo de Potts com 3 cores (Tri-color Potts model ), mas neste trabalho faremos uma extensão formal e calcularemos invariantes conformes para alguns Q’s positivos e reais no qual Q é relacionado com a teoria conforme pelo parâmetro m de tal que:
Q(m) = 4cos2 π m + 1 . (5.2)
E com isso podemos conectar hp,q e Q através do parâmetro m e das equações (4.12)
A função de partição do modelo de Q-Potts Z(Q) = P
{a(x)}e
−HQ admite expansão
em grafos chamada de representação FK Cluster [14, 15] e tem a forma:
Z(Q) =X
G
pnl(1 − p)¯nlQNc, (5.3)
onde p = 1 − e−J, nl é o número de espaços entre os sítios ocupados por uma ligação, ¯nl
é o número de espaços não ocupados e Nc é o número de clusters do domínio. Um cluster
é um subgrafo em que não há conexões vazias e o menor cluster é formado por um sítio isolado [15]. Na figura 7 temos, por exemplo, Nc = 20, nl = 33 e ¯nl = 57.
Figura 7 – Exemplo de um domínio com 33 espaços preenchidos com ligações, 57 espaços não ocupados e 20 clusters, onde 18 clusters são isolados.
Quando consideramos quatro pontos especiais no bordo, existem quatro formas de con-dições de contorno que podemos considerar para J = Jc, as funções partições associadas
são Zαβαβ, Zαβγδ, Zαβαγ e Zαβγβ e são representadas na figura 8, onde cada cor representa
uma condição de contorno fixada diferente.
Figura 8 – Partindo da esquerda temos Zαβαβ, Zαβγδ, Zαβαγ e Zαβγβ representadas, onde
cada cor está associada a diferentes condições de contorno. Fonte: Retirado de [14]
5.2. Conectividade 45
5.2
Conectividade
Conectividades no modelo de Q-Potts são a probabilidade de que um certo conjunto de pontos estão particionados em FK clusters [14]. A normalização das probabilidades pnl(1 − p)¯nlQNc não será essencial neste trabalho, já que estaremos calculando somente
razões das probabilidades. Em configurações em que as conectividades ligam quatro pontos do bordo, temos somente três formas de conectividades em uma rede bidimensional [14, 16] representadas esquematicamente na figura 9. Em (a) temos a representação de que os pontos x1 e x2 estão conectados por um cluster diferente do cluster que conecta
x3 e x4 (Zαβαβ); em (b) temos que os pontos x1 e x4 estão conectados por um cluster
diferente do cluster que conecta x2 e x3 (Zαβαβ) e finalmente em (c) temos que os pontos
x1, x2, x3 e x4 estão todos conectados por um mesmo cluster (Zαβγβ). As probabilidades
de cada forma de conectividade (a), (b) e (c) serão representadas por P(12)(34), P(14)(23) e
P(1234) respectivamente.
(a) (b) (c)
Figura 9 – Representação simplificada das formas de conectividade possíveis no domínio bidimensional, onde em (a) e (b) cada linha representa a conexão entre dois pontos do bordo por um cluster, e em (c) todos os quatro pontos do bordo estão conectados por um mesmo cluster.
Consideramos o nosso modelo ao ponto crítico (J = Jc) e no limite scaling (quando
a distância entre os sítios tende a zero), pois desse modo as conectividades, embora formalmente nulas, são por conjectura invariantes conformes [14, 19]. Então é útil definir o invariante conforme R, conjecturado em [14], chamado de razão global ou "universal ratio".
Rx=
Px
P(12)(34)+ P(14)(23)+ P(1234)
. (5.4)
Com o sistema no ponto crítico podemos fazer uma mudança de coordenadas usando o teorema de mapeamento conforme de Riemann, onde os pontos do domínio D são mapeados no semi-plano superior de H e os pontos do bordo são mapeados na reta real (veja figura 10).
D
R
2
D
H
Figura 10 – Transformação feita a partir do teorema de mapeamento conforme de Rie-mann, onde os pontos do interior do domínio são mapeados no semi-plano superior e os pontos do bordo são levados para a reta real. Por causa da invariância conforme sempre pode-ser escolher z1 < z2 < z3 < z4.
A conexão entre o problema no ponto crítico e a teoria conforme vem do fato de que as três conectividades, P(12)(34), P(14)(23) e P(1234), são soluções da equação diferencial de
3a ordem, obtida a partir da função de correlação do campo φ
1,3 [14, 20]:
hφ1,3(z1)φ1,3(z2)φ1,3(z3)φ1,3(z4)i ↔ Conectividades, (5.5)
Tal função de correlação tem forma definida por causa da invariância conforme pela equação (4.16) e por ser um campo primário de nível 3, deve obedecer a equação dife-rencial escrita em (4.19). As soluções F (η) dessa equação difedife-rencial irão compor o que chamaremos de conjunto algébrico, enquanto as conectividades P(12)(34), P(14)(23) e P(1234)
irão compor o que chamaremos de conjunto geométrico. Adiante iremos relacionar as so-luções do conjunto algébrico com o conjunto geométrico e obter uma forma mais explícita de escrever a razão global R.
5.3
Solução algébrica
A solução da equação diferencial em (4.19) foi feita considerando uma solução em série de Frobenius com a forma:
Fρ(η) = ∞
X
n=0
anηn+ρ, (5.6)
onde a1 é escolhido igual a 1. Substituindo essa solução dentro da equação (4.19) e
seguindo de forma tradicional, encontramos a equação indicial:
5.3. Solução algébrica 47
então temos um conjunto com 3 soluções algébricas {F0, Fh, F3h+1} linearmente
indepen-dentes. Para alguns valores específicos de h a solução na equação (5.6) muda de forma para que continue linearmente independente:
• Quando h = 1
3, a solução de F0(η) passa a ser:
F0(η) = ∞ X n=0 anηn+ bLog(η)F2(η); (5.8) • Quando h = 1
2, a solução de Fh(η) passa a ser:
F1/2(η) = ∞
X
n=0
anηn+h+ bLog(η)F5/2(η), (5.9)
onde an, bn e b são coeficientes a determinar.1
Agora falta conseguir relacionar o conjunto geométrico {P(12)(34), P(14)(23), P(1234)} com
o conjunto algébrico, ou seja, encontrar os coeficientes das combinações lineares:
P(12)(34)= α1F0(η) + β1Fh(η) + γ1F3h+1;
P(14)(23)= α2F0(η) + β2Fh(η) + γ2F3h+1;
P(1234) = α3F0(η) + β3Fh(η) + γ3F3h+1.
(5.10)
Para fazer isso voltamos ao problema geométrico e fazemos uma análise das simetrias do modelo.
A primeira informação que podemos retirar é que ao fazer a troca de x1 por x3 (ou
equivalentemente η → 1 − η) na forma de conectividade associada a P(1234) vemos que
não há alteração no sistema, ou seja, a função G(η) do conjunto algébrico que for solução deve ter simetria tal que G(η) = G(1 − η). No caso da forma de conectividade associada a P(14)(23) a troca de x1 por x3 muda a forma de conectividade para a mesma forma
associada a P(12)(34), ou seja, se a função T (η) for solução para P(14)(23), então a solução
para P(12)(34) será T (1 − η). Também podemos fazer essa análise para a soma de todas as
conectividades, ou seja, para Pt. Nesse caso, quando fazemos a troca de x1 por x3 vemos:
P(12)(34)+ P(14)(23)+ P(1234) → P(32)(14)+ P(34)(21)+ P(3214). (5.11)
Como P(32)(14), P(14)(23) e P(3214) representam a mesma forma de conectividade de
P(14)(23), P(12)(34) e P(1234) respectivamente, então se Pt ∝ S(η), a função S(η) deve ser
simétrica tal que S(η) = S(1 − η).
1 Mesmo no caso de h = 2/3, onde a diferença entre ρ = 0 e ρ = 3h + 1 é um número inteiro, podemos
encontrar a solução correta de F3(η) usando a solução com a forma da equação (5.6). Mas existe uma
manobra apontada pelo Prof. Jacopo Viti para encontrar uma solução exata para F3(η) usando as
Mais informação pode ser obtida quando consideramos o limite x1 → x2 (ou
equi-valentemente η → 0), tal limite pode ser associado a inserção de um campo φ1,2k+1 no
ponto x2 que mescla os clusters dos pontos x1 e x2 no ponto x, onde ao final do processo
temos k clusters conectados ao ponto x. No caso de P(14)(23), teremos 2 clusters no ponto
x (veja figura 11), então o campo associado é φ1,5 e por esse motivo o termo de menor
ordem quando η → 0 deve ser da ordem h1,5 [14]. Usando que h1,3 = h e a equação (4.12)
podemos isolar m e escrever h1,5 em termos de h, encontrando h1,5 = 3h + 1. Então o
termo de menor ordem de P(14)(23)deve ser η3h+1, com isso temos que P(14)(23) ∝ F3h+1(η).2
Consequentemente P(12)(34) ∝ F3h+1(1 − η).
Figura 11 – Limite x1 → x2, inserção do campo φ1,5 para conectividade associada a
P(14)(23).
No caso da conectividade associada a P(1234) quando fazemos o limite x1 → x2 surge
duas possíveis formas de conectividade (veja figura 12), uma associada ao campo φ1,3 e
outra associada ao campo φ1,5, com isso temos que P(1234) ∝ G(η) = Fh(η) + βGF3h+1,
sendo que o coeficiente βG é definido de tal forma que a condição G(η) = G(1 − η) seja
verdadeira.
Figura 12 – Limite x1 → x2, inserção do campo φ1,3 ou φ1,5 para conectividade associada
a P(1234).
2 Mesmo fazendo uma análise pelo termo de menor ordem, como 3h + 1 > h > 0, somente a função
5.3. Solução algébrica 49
Para Pta análise se baseia em duas partes: A primeira vem de quando fazemos η → 0,
das três formas de conectividade a mais provável de acontecer é a ligada a P(12)(34) já que
esse é caso de estarmos conectando dois pontos de um mesmo cluster, com isso temos que o termo de menor ordem seria ηh1,1, pois ao conectar esse dois pontos não há mais
nenhum cluster saindo do ponto x. Assim, Pt ∝ F0(η), mas como essa análise nos dá
somente a informação de que o termo de menor ordem é η0 as outras duas funções do conjunto algébrico também poderiam estar na solução. A segunda parte se baseia na análise das regras de fusão, juntamente com a continuidade das condições de contorno, onde o campo φ1,3 não é permitido pela OPE dos operadores de bordo [14]. Assim,
Pt ∝ S(η) = F0(η) + βSF3h+1(η), onde o coeficiente βS é definido de tal forma que faça
S(η) = S(1 − η).3
Então, resumidamente, os campos usados para o limite x1 → x2 estão na tabela 3:
Tabela 3 – Tabela com o campo usados para a análise das simetrias do modelo.
Conectividade Campo Termo de menor ordem
P(12)(34) φ1,1 η0
P(14)(23) φ1,3 ηh
P(1234) φ1,3 e φ1,5 ηh e η3h+1
A função S(η) também pode ser escrita baseada nas soluções que encontramos para as conectividades já que representa a soma das probabilidades, ou seja, que S(η) ∝ P(12)(34)+ P(14)(23)+ P(1234):
S(η) = αF3h+1(η) + βF3h+1(1 − η) + γG(η). (5.12)
Analisando as funções do conjunto algébrico podemos inferir que S(0) = 1, F3h+1(0) =
0 e G(0) = 0 e com isso encontrar os valores dos coeficientes α, β e γ. Escrevendo a equação (5.12) para η = 0, temos:
S(0) = αF3h+1(0) + βF3h+1(1) + γG(0)
1 = βF3h+1(1) → β =
1 F3h+1(1)
. (5.13)
Como as funções S(η) e G(η) são simétricas também sabemos os seus valores em η = 1 e com isso: S(1) = αF3h+1(1) + βF3h+1(0) + γG(1) 1 = αF3h+1(1) → α = 1 F3h+1(1) . (5.14)
3 Não há restrições que impeçam que β
