Cap4 Sec2 2x4

(1)

Capítulo 4

Aplicações da

Derivação

APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO

Veremos que muitos dos resultados deste capítulo dependem de um fato central, que é chamado Teorema do Valor Médio.

4.2

Teorema do Valor Médio

Nesta seção vamos aprender sobre a importância

do teorema do valor médio. APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO

TEOREMA DO VALOR MÉDIO

Para chegar ao Teorema do Valor Médio, precisamos primeiro do seguinte resultado.  Seja f uma função que satisfaça as

seguintes hipóteses:

1.ƒ é contínua no intervalo fechado [a, b]. 2.ƒ é derivável no intervalo aberto (a, b). 3.f(a) = f(b)

 Então existe um número c em (a, b) tal que

f’(c) = 0.

Antes de dar a demonstração, vamos olhar os gráficos de algumas

funções típicas que satisfaçam as três hipóteses. As figuras mostram os gráficos destas funções. TEOREMA DE ROLLE

Em cada caso, parece que há pelo menos um ponto (c, ƒ(c)) onde a tangente é horizontal e, portanto, f’(c) = 0. • Assim, o Teorema de Rolle é plausível. TEOREMA DE ROLLE

Existem três casos:

1. f(x) = k, uma constante

2. f(x) > f(a) para algum x em (a, b) 3. f(x) < f(a) para algum x em (a, b)

Demonstração TEOREMA DE ROLLE

f(x) = k, uma constante

• Então, f ’(x) = 0.

• Assim, o número c pode ser tomado como

qualquer número

em (a, b).

Demonstração – Caso 1 TEOREMA DE ROLLE

(2)

f(x) > f(a)

para algum

x em (a, b)

• Pelo Teorema do Valor Extremo (que podemos aplicar pela hipótese 1), ƒ tem um valor máximo em algum ponto de [a, b].

deve assumir esse valor máximo em um número c no intervalo aberto (a, b).

• Então ƒ tem um máximo local em c e, pela hipótese 2, ƒ é derivável em c. • Portanto, f (c) = 0 pelo Teorema de Fermat. Demonstração – Caso 2 TEOREMA DE ROLLE

f(x) < f(a)

para algum

x em (a, b)

• Pelo Teorema do Valor Extremo, ƒ tem um valor mínimo em [a, b], e como f (a) = f (b), ela assume esse valor mínimo em um número

c em (a, b).

• Novamente, f ’(c) = 0 pelo Teorema de Fermat.

Vamos aplicar o Teorema de Rolle à função posiçãos = f(t) de um objeto em movimento.

• Se o objeto estiver no mesmo lugar em dois instantes diferentes t = a e t = b, então f(a) = f(b).

• Teorema de Rolle afirma que existe algum instante do tempo t = c entre a e b quando f ’(c) = 0; isto é, a velocidade é 0.

• Em particular, você pode ver que isto é verdadeiro quando uma bola é atirada diretamente para cima.

Exemplo 1 TEOREMA DE ROLLE

 Demonstre que a equação x3_{+ x – 1 = 0}

tem exatamente uma raiz real.

Primeiro, usamos o Teorema do Valor Intermediário (2.5.10) para mostrar que existe uma raiz.

• Seja t f(x) = x3_{+ x – 1.}

• Então, f(0) = – 1 < 0 e f(1) = 1 > 0.

• Uma vez que f é um polinômio, ela é contínua.

• Assim, o Teorema do Valor Intermediário afirma que existe um número c entre 0 e 1 tal que f(c) = 0.

• A equação dada, portanto, tem uma raiz. Exemplo 2 TEOREMA DE ROLLE

Para mostrar que a equação não tem outra raiz real, usamos o Teorema de Rolle e argumentamos por contradição.

 Suponhamos que ela tenha duas raízes a e b. • Então, f(a) = 0 = f(b).

• Uma vez que f é um polinômio, é derivável em (a, b) e contínua em [a,b].

• Assim, pelo Teorema de Rolle, existe um número c entre

a e b tal que f ’(c) = 0.

• Mas, f ’(x) = 3x2_{+ 1 1 para todo x (uma vez que x}2 _0), então f ’(x) nunca pode ser zero 0.

Isso fornece uma contradição. Portanto, a equação não pode ter duas raízes reais.

(3)

Nosso principal uso do Teorema de Rolle é na demonstração do seguinte importante teorema, o qual foi primeiro enunciado por outro matemático francês, Joseph-Louis Lagrange.

TEOREMA DE ROLLE

 Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:

1. f é contínua no intervalo fechado [a, b]. 2. f é derivável no intervalo aberto (a, b).

 Então existe um número c em (a, b) tal que

Ou, de maneira equivalente,

Equações 1 e 2 ( ) ( ) '( ) f b f a f c b a ( ) ( ) '( )( ) f b f a f c b a TEOREMA DO VALOR MÉDIO

Antes de demonstrar esse teorema, podemos ver que ele é razoável interpretando-o

geometricamente.

As Figuras mostram os pontosA(a, f(a)) e B(b, f (b)) sobre os gráficos de duas funções deriváveis.

 A inclinação da reta secante AB é:

• Que é a mesma expressão mostrada no lado direito da Equação 1. ( ) ( ) AB f b f a m b a Equação 3 TEOREMA DO VALOR MÉDIO

 Uma vez que f’ (c) é a inclinação da reta tangente no ponto (c, ƒ(c)).

• O Teorema do Valor Médio na forma dada pela Equação 1 diz que há no mínimo um ponto P(c, ƒ(c)) sobre o gráfico onde a inclinação da reta tangente é igual à inclinação da reta secante AB.

 Em outras palavras, há um ponto P onde a reta tangente é paralela à reta secante AB.

DEMOSTRAÇÃO

Aplicamos o Teorema de Rolle a uma nova função h definida como a diferença entre ƒ e a função cujo gráfico é a reta secante AB.

Usando a Equação 3 vemos que a

equação da reta AB pode ser escrita como:

Ou como: DEMONSTRAÇÃO

( )

f b

f a

(

)

y f a

x a

b a

( )

f b

f a

(

)

y f a

x a

b a

(4)

Assim, como mostrado na Figura, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a ( ) h x f x f a x a b a Equação 4 TEOREMA DO VALOR MÉDIO

 Precisamos primeiro verificar que h satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle.

HIPÓTESE 1

 A função h é contínua em [a, b], pois é soma de f e um polinômio do primeiro grau, ambos contínuos.

 A função h é diferenciável em (a, b), pois tanto ƒ quanto o polinômio do primeiro grau são deriváveis.

• De fato, podemos calcular diretamente h’ da Equação 4:

• Observe que f(a) e [f(b) – f(a)]/(b – a) são constantes. ( ) ( ) '( ) '( ) f b f a h x f x b a HIPÓTESE 2

( )

(

)

0 ( )

( )

(

)

( )

( ) [ ( )

( )]

0 f b

f a

h a

f a

a a

b a

f b

f a

h b

f b

f a

b a

f b

f a

f b

f a

HIPÓTESE 3

 Uma vez que h satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle, esse teorema afirma que existe um número c em (a, b) tal que h’(c) = 0.

• Portanto, • E assim, ( ) ( ) 0 h c'( ) f c'( ) f b f a b a

( )

'( )

f b

f a

f c

b a

Para ilustrar o Teorema do Valor Médio com uma função específica, vamos considerar f (x) = x3_{– x, a = 0, b = 2.}

Uma vez que ƒ é um polinômio, então ela é contínua e derivável para todo x.

Logo, é certamente contínua em [0, 2] e derivável em (0, 2).

• Portanto, pelo Teorema do Valor Médio, existe um número c em (0, 2) tal que f(2) – f(0) = f ’(c)(2 – 0).

Exemplo 3 TEOREMA DO VALOR MÉDIO

 Mas, f(2) = 6, f(0) = 0, e f ’(x) = 3x2_{– 1.} Então essa equação fica

6 = (3c2_{– 1)}2_{= 6c}2_{– 2}

• O que dá c2_{= , isto é, c = .}

• Porém c deve estar em (0, 2); logo, c = .

2 / 3 r 4 3 2 / 3 Exemplo 3 TEOREMA DO VALOR MÉDIO

(5)

A Figura ilustra esse cálculo: a reta

tangente nesse valor de c é paralela à reta secante OB.

Se um objeto move-se em uma linha reta com uma função posição s = f(t), então a velocidade média entre t = a e t = b é

e a velocidade em t = c é f ’(c).

( )

f b

f a

b a

Assim, o Teorema do Valor Médio (na forma da Equação 1) nos diz que em algum

instante t = c e entre a e b a velocidade instantânea f’ (c) é igual à velocidade média.

• Por exemplo, se um carro percorrer 180 km em duas horas, então o velocímetro deve ter passado pela marca dos 90 km/h pelo menos uma vez.

Em geral, o Teorema do Valor Médio pode ser interpretado como se dissesse que existe um número no qual a taxa de variação instantânea é igual à taxa de variação média em um intervalo.

A grande importância do Teorema do Valor Médio reside no fato de ele nos possibilitar obter informações sobre uma função a partir de dados sobre sua derivada.

• O próximo exemplo mostra esse princípio TEOREMA DO VALOR MÉDIO

 Suponha que f(0) = -3 e f ’(x) 5 para todos os valores de x.

 Quão grande ƒ(2) pode ser?

 Foi-nos dado que ƒ é derivável (e, portanto, contínua) em toda a parte.

Em particular, podemos aplicar o Teorema do Valor Médio ao intervalo [0, 2].

• Existe então um número c tal que f(2) – f(0) = f ’(c)(2 – 0)

• Logo, f(2) = f(0) + 2 f ’(c) = – 3 + 2 f ’(c) Exemplo 5 TEOREMA DO VALOR MÉDIO

Foi-nos dado quef ’(x) 5 para todo x. Assim, sabemos quef ’(c) 5.

• Multiplicando por 2 ambos os lados dessa desigualdade, temos 2 f ’(c) 10.

• Então, f(2) = – 3 + 2 f ’(c) – 3 + 10 = 7

• O maior valor possível para f (2) é 7. Exemplo 5 TEOREMA DO VALOR MÉDIO

O Teorema do Valor Médio pode ser usado para estabelecer alguns dos fatos básicos do cálculo diferencial.

• Um deles é o teorema a seguir.

• Outros serão encontrados nas seções seguintes. TEOREMA DO VALOR MÉDIO

(6)

 Se f ’(x) = 0 para todo x em um intervalo (a, b), então f é constante em (a, b).

Teorema 5 TEOREMA DO VALOR MÉDIO

 Seja x1e x2dois números quaisquer em (a,

b), sendo x₁< x₂.

• Como ƒ é derivável em (a, b), ela deve ser derivável em(x1, x2) e contínua em [x1, x2].

Teorema 5 – Demostração TEOREMA DO VALOR MÉDIO

 Aplicando o Teorema do Valor Médio a f no intervalo [x₁, x₂], obtemos um número c tal que x₁< c < x₂e f(x₂) – f(x₁) = f ’(c)(x₂– x₁).

 Uma vez que f ’(x) = 0 para todo x, temos

f ’(c) = 0.

 Equação 6 fica f(x2) – f(x1) = 0 ou f(x2) = f(x1).

• Portanto, ƒ tem o mesmo valor em quaisquer dois números x1e x2em (a, b).

• Isso significa que ƒ é constante em (a, b).

 Se f ’(x) = g ’(x) para todo x em um intervalo (a, b), então f – g é constante em (a, b).

 Então f(x) = g(x) + c em que c é uma constante.

Corolário 7 TEOREMA DO VALOR MÉDIO

 Então, F’(x) = f ’(x) – g ’(x) = 0 para todo x em (a, b).

• Assim, pelo Teorema 5, F é constante

• Isto é, f – g é constante.

Corolário 7 – Demonstração TEOREMA DO VALOR MÉDIO

OBSERVAÇÃO

É necessário cuidado ao aplicar o Teorema 5.

• Seja

• O domínio de f é D = {x | x 0} e f ’(x) = 0 para todo x em D. 1 if 0 ( ) 1 if 0 | | x x f x x x ! ® ¯ OBSERVAÇÃO

 Mas obviamente f não é uma função constante.

 Isso não contradiz o Teorema 5, pois D não é um intervalo.

• Observe que ƒ é constante no intervalo (0, )

(7)

Demonstre a identidadetg-1_{x + cotg}-1_{x = /2.}

• Embora não seja necessário o cálculo para demonstrar essa identidade, a demonstração usando cálculo é bem simples.

Se f(x) = tg

-1

_{x + cotg}

-1

_{x, então}

para todos os valores de x.

• Portanto, f(x) = C, uma constante.

2 2

1

1 '( )

0

1

1 f x

x

 Para determinar o valor de C fazemos x = 1 (porque podemos calcular f (1) exatamente).

Então,

• Assim tg-1_{x + cotg}-1_{x = /2.}

Cap4 Sec2 2x4

Aplicações da

Derivação

4.2

Teorema do Valor Médio

 Existem três casos:

 f(x) = k, uma constante

 f(x) > f(a)

 f(x) < f(a)

( )

( )

( )

f b

f a

(

)

y f a

x a

b a









( )

( )

( )

f b

f a

(

)

y f a

x a

b a









( )

( )

( )

( )

( )

(

)

0

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( ) [ ( )

( )]

0

f b

f a

h a

f a

f a

a a

b a

f b

f a

h b

f b

f a

b a

b a

f b

f a

f b

f a













Existem três casos:

f(x) = k, uma constante

f(x) > f(a)

f(x) < f(a)

Se f(x) = tg

_{x + cotg}

_{x, então}