Cintra - Cônicas e Quádricas

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[28 de mar¸co de 2013]

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Editora¸c˜ao Eletrˆonica (LA

TEX 2ε): Renato Jos´e de Sobral Cintra. Revis˜ao: Caitano de Oliveira Cintra.

Capa: ?

Ilustra¸c˜oes (WINPLOT): Caitano de Oliveira Cintra.

Ficha catalogr´afica elaborada pela

Biblioteca Central da Universidade Federal Rural de Pernambuco Cintra, Caitano de Oliveira

Cˆonicas e Qu´adricas: [28 de mar¸co de 2013]/ Caitano de Oliveira Cintra. — Recife : O Autor, 2003.

85, vi folhas : il., tab.

Inclui bibliografia, ´ındice e apˆendice.

1. ´Algebra Linear. 2. Matrizes. 3. Matem´atica. I. T´ıtulo.

512.64 CDU (2.ed.) UFRPE 512.943 CDD (21.ed.) BC Impresso no Brasil. ISBN: ?-???-?????-? 1a edi¸c˜ao fevereiro 2003 Tiragem: 1.000 exemplares

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compreens˜ao e o carinho. Aos meus filhos, RENATO e HENRIQUE, pelo amor que tˆem pelos estudos e pela pesquisa.

Aos meus pais, OTAVIANO e CAMILA (in memoriam), que n˜ao pouparam sacrif´ıcios para que eu pudesse aprender al-guma coisa.

A Deus.

√ 2

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Estas notas n˜ao significam trabalho original, representam ape-nas, como exporiamos em poucas aulas, para alunos de um primeiro curso de ´Algebra Linear, os assuntos aqui tratados.

A primeira edi¸cão, abordando apenas a Classifica¸cão das Côni-cas, foi publicada pela FASA-EDITORA, sob o número 16 da série didática da Universidade Católica de Pernambuco.

Uma segunda edi¸c˜ao, incluindo as Qu´adricas, foi publicada pela Universidade Federal Rural de Pernambuco, em 1990.

Nesta edi¸cão, fizemos uma revisão geral no texto correspon-dente a segunda edi¸cão e refizemos todas as figuras utilizando o aplicativo WINPLOT.

Não poder´ıamos deixar de agradecer ao professor Renato José de Sobral Cintra, pelas valiosas sugestões e pela composi¸cão do texto usando o editor LA_TEX.

Recife, 1 de janeiro de 2003. Caitano de Oliveira Cintra

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Algumas Palavras v

1 Diagonaliza¸c˜ao de Matrizes 3

1.1 Diagonaliza¸c˜ao . . . 3

2 Classifica¸c˜ao das Cˆonicas 19

2.1 Introdu¸c˜ao . . . 19 2.2 Forma Quadr´atica . . . 30

3 Classifica¸c˜ao das Qu´adricas 45

A Resumo dos Resultados 69

B Winplot 75

C Quadro de Figuras 77

Referˆencias Bibliogr´aficas 82

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x′′ y′′ z′′ dfdf

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DIAGONALIZAC

¸ ˜

AO DE

MATRIZES

Neste cap´ıtulo estudaremos a diagonaliza¸cão de matrizes reais de ordem n, com o objetivo de classificarmos as cônicas e as quádricas.

No texto, A significa uma matriz real de ordem n e D, uma matriz real diagonal tamb´em de ordem n.

1.1 DIAGONALIZAC

¸ ˜

AO

Nosso propósito é verificar a existência de um vetor v ∈ Rn

n˜ao nulo, e um escalar λ ∈ R tais que

A_{· v = λ · v.} (1.1)

onde A ´e uma matriz real de ordem n.

Geometricamente, isto significa que quando aplicamos a ma-3

(14)

triz A ao vetor v, obtemos um vetor colinear com o vetor dado (Figura 1.0).

Figura 1.0

A Equa¸cão 1.1 é equivalente ao sistema homogêneo

(A − λ · I)v = 0, (1.2)

que tem solu¸c˜ao n˜ao nula se

det(A − λ · I) = 0. (1.3)

O primeiro membro da Equa¸cão 1.3 é um polinômio de grau n em λ, chamado polinômio caracter´ıstico de A e denotado por PA(λ), isto é

PA(λ) = det(A − λ · I). (1.4)

Defini¸c˜ao 1.1 As ra´ızes de PA(λ) = 0 s˜ao chamadas de

auto-valores de A e os vetores solu¸cões da Equa¸cão 1.1 são chamados de autovetores de A, associados aos autovalores λ.

(15)

Exemplo 1.1 Seja A= " −4 2 −5 3 # . Temos: PA(λ) = det " −4 − λ 2 −5 3 − λ # = λ2_{+ λ − 2,}

cujas ra´ızes, λ1 = −2 e λ2 = 1, s˜ao os autovalores de A. Vejamos

os autovetores associados a esses autovalores.

(i) Para λ1 = −2, temos

" −4 2 −5 3 # · " x y # = −2 · " x y # , ou    −4x + 2y = −2x −5x + 3y = −2y ⇐⇒ x= y. Assim, v1 = " x x # , x_{6= 0.} (ii) Para λ2 = 1, " −4 2 −5 3 # · " x y # = " x y # , ou,    −4x + 2y = x −5x + 3y = y ⇐⇒ 2y = 5x ∴ y= 5 2x.

(16)

Assim, v2=   x 5 2x  , x6= 0. Exemplo 1.2 Seja A= " −2 −1 5 2 # ,

temos PA(λ) = λ2 + 1, que n˜ao tem ra´ızes reais. Logo, A n˜ao

possui autovalores, portanto n˜ao possui autovetores.

Geometricamente, o exemplo 1.2 significa que quando apli-camos A a vetores do R2_{, provocamos uma rota¸c˜ao, isto ´e, v e}

A_{· v s˜ao vetores linearmente independentes. (Figura 1.1).}

Figura 1.1

Proposi¸c˜ao 1.1 Existe um ´unico autovalor λ, para um dado au-tovetor v.

Prova: Deixada como exerc´ıcio para o leitor. Proposi¸c˜ao 1.2 Autovetores associados a autovalores distintos s˜ao linearmente independentes.

(17)

Prova: Sejam λ1, λ2, . . . , λn autovalores distintos de A e

v1, v2 , . . . , vn os autovetores associados respectivamente a λ1,

λ2, . . . , λn.

Suponha que

c₁v1+ c2v2+ · · · + cnvn = 0, (1.5)

onde c1, c2, . . . , cn s˜ao escalares.

A prova de que todos os ci, i = 1, . . . , n s˜ao nulos ´e feita por

indu¸c˜ao sobre n. De fato, se n = 1 , temos

c₁v₁ = 0 ∴ c₁ = 0, pois v1 6= 0 (1.6)

Multiplicando a Equa¸c˜ao 1.5 por λn, obteremos

c₁λnv1+ c2λnv2+ · · · + cnλnvn= 0. (1.7)

Aplicando A ao vetor dado pela Equa¸c˜ao 1.5 e usando o fato de que

A_{· v}i = λivi i= 1, 2, . . . , n,

temos

c1λ1v1+ c2λ2v2 + · · · + cnλnvn = 0. (1.8)

Das equa¸c˜oes 1.7 e 1.8, vem

c1(λ1−λn)v1+c2(λ2−λn)v2+· · ·+cn−1(λn−1−λn)vn−1 = 0. (1.9)

(18)

(hip´o-tese da indu¸c˜ao), vem que

c₁ = c2 = . . . = cn−1 = 0,

que substitu´ıdos na equa¸c˜ao 1.5 acarreta cn = 0, portanto, v1,

v₂,. . .,vn s˜ao linearmente independentes.

Proposi¸cão 1.3 Os autovalores de uma matriz A, real e simétri-ca de ordem n, são reais.

Prova: Sejam A uma matriz simétrica real de ordem n e λ um autovalor de A. Suponha que λ é não real. É claro que o sistema de equa¸cões

(A − λI)X = 0 (1.10)

possui uma solu¸c˜ao n˜ao nula dada por

X= C =hc1 c2 · · · cn

it

, (1.11)

onde os ci são números complexos e A − λI é uma matriz

com-plexa.

Considere o n´umero complexo

m= n X i,j=1 ¯ ciaijcj = h ¯ c₁ c¯₂ _{· · · ¯}cn i A       c1 c2 ... cn       , (1.12)

onde ¯ci ´e o conjugado de ci e aij s˜ao os elementos de A. Dessa

forma, ¯ m= n X i,j=1 ciaijc¯j = n X i,j=1 ¯ ciaijcj = m, (1.13)

(19)

e portanto m ´e real.

Devido ao fato de AC = λC, temos

m =hc¯1 c¯2 . . . c¯n i AC=hc¯1 c¯2 . . . c¯n i λC = λ(hc¯₁ c¯₂ . . . c¯n i )C = λhc¯₁ c¯₂ . . . c¯n i ·       c₁ c₂ ... cn       = λ( ¯c₁c₁+ ¯c₂c₂_{+ · · · + ¯}cncn) = λs,

onde s = ¯c1c1+ ¯c2c2+ · · · + ¯cncné um número real não negativo,

pois, ci 6= 0 para algum i e ¯cici ´e n˜ao negativo. De m = λs, temos

que λ ´e real.

Defini¸c˜ao 1.2 Duas matrizes A e B s˜ao semelhantes se existe uma matriz invers´ıvel P tal que

B = P−1AP. (1.14)

Proposi¸cão 1.4 Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio caracter´ıstico.

Prova: Sejam A e B matrizes satisfazendo 1.14, logo

Pn(λ) = det(B − λI) = detP−1AP− P−1λIP

= detP−1_{(A − λI)P}_{= det(P}−1_{) det(A − λI) det(P)}

= det(A − λI) = PA(λ).

(20)

Defini¸cão 1.3 Dizemos que A é uma matriz diagonalizável, se A é semelhante a uma matriz diagonal D. A matriz P que torna a matriz A semelhante a matriz D, chama-se matriz diagonalizante da matriz A.

Proposi¸cão 1.5 Se A é uma matriz diagonalizável, então os el-ementos da diagonal principal de D são os autovalores da matriz

A.

Prova: Pela proposi¸cão 1.4 as matrizes A e D têm o mesmo polinômio caracter´ıstico, isto é,

det(A − λI) = det(D − λI) (1.15) Sendo D uma matriz diagonal, os autovalores de D s˜ao os ele-mentos da diagonal principal, que s˜ao, portanto, os autovalores

da matriz A.

Proposi¸cão 1.6 Uma matriz A é diagonalizável se, e somente se, A tem n autovetores linearmente independentes.

Prova: Suponha que A é uma matriz diagonalizável. Pela proposi¸cão 1.5, os autovalores λ1,λ2,. . . ,λn de A são os elementos

da diagonal principal da matriz D. Sejam P1,P2,. . . ,Pn nvetores

colunas da matriz P que diagonaliza a matriz A. Como

P−1AP = D, temos

(21)

Igualando os vetores colunas de cada lado da equa¸c˜ao AP=PD, obtemos

APi = λiPi, i= 1, 2, . . . , n.

Logo, Pi ´e um autovetor da matriz A, associado ao autovalor λi.

Conclu´ımos, ent˜ao, que os n vetores P1, P2, . . . , Pn s˜ao

linear-mente independentes, porque a matriz P ´e invers´ıvel.

Suponha que a matriz A tem n autovetores P1, P2, . . . , Pnque

sejam linearmente independentes. Existem escalares λ1,λ2,. . .,λn

tais que

APi = λiPi, i= 1, 2, . . . , n.

Considere uma matriz P cujas colunas sejam os autovetores da matriz A. Considere a matriz

D=     λ1 0 . .. 0 λn     .

Temos que AP = PD. Como as colunas da matriz P s˜ao vetores linearmente independentes, P ´e uma matriz invers´ıvel, logo

P−1AP= D.

Observa¸cão: A proposi¸cão 1.6 também prova que os autovetores da matriz A são os vetores colunas da matriz P que diagonaliza A.

(22)

Exemplo 1.3 Considerando a matriz do exemplo 1.1, temos v1 = " x x # e v2 =   x 5 2x  , x6= 0. Para x=1, v1 = " 1 1 # e v2 =   1 5 2  .

Assim, podemos tomar

P=   1 1 1 5 2   e verificar que P−1 =   5 3 − 2 3 −23 2 3  . Desse modo, P−1AP= " −2 0 0 1 # (matriz diagonal). Portanto, A ´e diagonalizada pela matriz P.

Exemplo 1.4 Considere a matriz

A= " 1 2 0 1 # .

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au-tovalor da matriz A ao qual est´a associado um ´unico autovetor linearmente independente: v1 = " x 0 # , x_{6= 0.}

Conclu´ımos, portanto, que não existe matriz P que diagonalize a matriz A, isto é, A é não diagonalizável.

Defini¸c˜ao 1.4 Dizemos que a matriz A ´e ortogonalmente

diag-onaliz´avel se existe uma matriz ortogonal P tal que Pt

AP ´e

di-agonal.

Proposi¸cão 1.7 Uma matriz real A é ortogonal se, e somente se, as colunas (ou linhas) são vetores ortogonais.

Prova: Deixada como exerc´ıcio para o leitor.

Proposi¸c˜ao 1.8 Seja A uma matriz real de ordem n cujos

auto-valores λ1, λ2. . . λn sejam todos reais. Ent˜ao, existe uma matriz

ortogonal R tal que

R−1AR=       λ1 b12 . . . b1n λ₂ . . . b_2n . .. 0 λn       . (1.16)

Prova: Como sugest˜ao, fa¸ca por indu¸c˜ao sobre n.

Proposi¸c˜ao 1.9 Sejam A e R duas matrizes reais de ordem

n. Se a matriz A é simétrica e a matriz R é ortogonal, então

(24)

Prova:

R−1ARt

= RtAt(R−1)t= R−1AR.

Proposi¸cão 1.10 Se A é uma matriz real e simétrica, então a matriz A é ortogonalmente diagonalizável.

Prova: Pela proposi¸cão 1.3 os autovalores da matriz A são todos reais, logo pela proposi¸cão 1.8, existe uma matriz ortogonal R tal que R−1AR=       λ₁ b₁₂ . . . b_1n λ₂ . . . b_2n . .. 0 . . . λn       .

Como R−1_AR_{é simétrica (proposi¸cão 1.9) , temos que}

R−1AR=       λ₁ 0 λ2 . .. 0 λn       .

Portanto, A ´e ortogonalmente diagonaliz´avel.

Proposi¸cão 1.11 _{O determinante de uma matriz ortogonal é ±1.} Prova: Deixada como exerc´ıcio para o leitor. Quando estudamos matrizes de um transforma¸cão linear, vi-mos que se β e β′

(25)

V_{= R}n_{, ent˜ao as coordenadas X}′

e X de um ponto M em V com rela¸cão as bases β′ e β estão relacionadas pela equa¸cão matricial:

X′ = PX, (1.17) onde X =       x₁ x2 ... xn       , X′ =       x′₁ x′₂ ... x′_n      

e P ´e a matriz de mudan¸ca

da base β para a base β′. A matriz P em 1.17 ´e uma matriz ortogonal.

Se o det(P) = 1, a mudan¸ca de coordenadas efetuada ´e uma rota¸c˜ao.

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Exerc´ıcios

1. Mostre que as matrizes A e At

tˆem o mesmo polinˆomio caracter´ıstico.

2. Seja λ um autovalor da matriz A. Mostre que o conjunto vλ = {v ∈ V : Av = λv} ´e um subespa¸co de V.

3. Encontre os autovalores e os autovetores correspondentes das matrizes " 3 0 8 −1 # , " 0 3 4 0 # , " 1 0 0 1 # , " 0 0 0 0 # .

4. Mostre que o polinˆomio caracter´ıstico de uma matriz quadrada de ordem 2 ´e dado por

PA(λ) = λ2− tr(A) + det(A).

5. Mostre que as matrizes

" 1 0 2 3 # , " 3 5 0 1 #

têm o mesmo polinômio caracter´ıstico, porém, têm autove-tores distintos.

6. Verifique qual das matrizes abaixo é diagonalizável. Em seguida encontre P−1_AP _{, onde A é a matriz dada e P é}

(27)

" 1 0 6 −1 # , " −14 12 −20 17 # , " 2 0 1 0 # , " 1 0 0 1 # , " 2 −3 1 −1 # , " 3 1 1 2 # , " 1 2 0 0 # , " 1 2 2 3 # , " 1 2 0 1 # , " 2 −2 −2 5 # .

7. Na questão anterior, verifique se as matrizes são ortogonal-mente diagonalizáveis.

8. Mostre que se C é uma matriz simétrica real de ordem 2, então é sempre poss´ıvel que a mudan¸ca de coordenadas X = PX′ _{seja uma rota¸cão.}

9. Mostre que A é ortogonalmente diagonalizável se e somente se A é simétrica.

10. Mostre que A ´e ortogonalmente diagonaliz´avel se e somente se A possui um conjunto de autovetores ortonormais.

11. Mostre que P ´e ortogonal se e somente se P transforma base ortonormal em base ortonormal.

(28)

(29)

CLASSIFICAC

¸ ˜

AO DAS

C ˆ

ONICAS

2.1 INTRODUC

¸ ˜

AO

O objetivo deste cap´ıtulo é dar condi¸cões ao leitor de, uti-lizando os conceitos de álgebra linear — tais como, diagonaliza¸cão de matrizes e mudan¸ca de base — identificar que cônica é dada por uma equa¸cão quadrática em x e y do tipo

ax2+ 2bxy + cy2+ dx + ey + f = 0. (2.1) Nesta equa¸cão geral, os coeficientes são reais e a, b e c não são simultaneamente nulos.

As cônicas mais importantes são: elipse, hipérbole, parábola e circunferência. As outras são casos degenerados dessas, isto é, ponto, reta e par de retas.

Na Geometria Anal´ıtica do curso secund´ario, geralmente es-19

(30)

tudamos as cônicas na forma reduzida, isto é, x2+ y2 = r2 (circunferência) (2.2) Figura 2.1 x2 a2 + y2 b2 = 1 (elipse) (2.3) Figura 2.2 x2 a2 − y2 b2 = 1 (hipérbole) (2.4) Figura 2.3

(31)

y= ax2 (par´abola) (2.5)

Figura 2.4

x= ay2 (par´abola) (2.6)

Figura 2.5

Quando na equa¸cão 2.1, temos b = 0 e d ou e não nulos, o centro da cônica está deslocado em rela¸cão à origem do sistema de coordenadas (o, x, y). Entretanto, é poss´ıvel através de deslo-camento dos eixos ox e oy, se obter um novo sistema (o′_{, x}′_{, y}′_),

cuja origem coincide com o centro da cˆonica dada. As Figuras 2.6 a 2.10 ilustram este fato.

(32)

Figura 2.6

Figura 2.7

(33)

Figura 2.9

Figura 2.10

O leitor tem conhecimento de que a completa¸c˜ao de quadrados dos termos em x e em y permite efetuar a mudan¸ca do sistema (o, x, y) para o sistema (o′_{, x}′_{, y}′_{) e escrever, nesse novo sistema,}

a cônica na forma reduzida. A essa mudan¸ca de coordenadas chamamos de transla¸cão de eixo. O Exemplo 2.1 abaixo, serve para refrescar a memória do leitor

Exemplo 2.1 Considere a equa¸c˜ao quadr´atica

(34)

Agrupando os termos em x, os termos em y e completando os quadrados correspondentes, obtemos

9(x − 2)2+ 4(y − 1)2 = 36 (2.8) ou (x − 2)2 4 + (y − 1)2 9 = 1. (2.9) Fazendo    x_{− 2 = x}′ y_{− 1 = y}′ , (2.10) obtemos x′2 4 + y′2 9 = 1 (2.11)

que ´e uma elipse do tipo 2.3, no sistema de coordenadas (o′_{, x}′_{, y}′_).

´

E claro que a origem o′_{, desse novo sistema, se obt´em quando na}

equa¸c˜ao 2.10 tem-se x′ _{= y}′ _{= o, o que resulta x = 2 e y = 1, ou}

(35)

Figura 2.11

´

E evidente que a mudan¸ca de coordenadas foi efetuada atrav´es das equa¸c˜oes 2.10

Quando na equa¸cão quadrática 2.1, b 6= 0, as cônicas elipse, hipérbole e parábola não têm as formas já apresentadas. Nesse caso seus gráficos têm os aspectos abaixo.

(36)

Figura 2.13

Figura 2.14

´

E claro que a mudan¸ca do sistema (o, x, y) para outro sis-tema (o′_{, x}′_{, y}′_{) apenas por transla¸c˜oes, ´e insuficiente para}

trans-formar essa cônica em outra do tipo visto nas Figuras 2.3 a 2.6. Nesse caso, necessariamente, precisamos efetuar uma mudan¸ca de dire¸cão nos eixos coordenados ox e oy e em seguida uma transla¸cão, caso seja necessária essa última opera¸cão. Observe a cônica abaixo(Figura 2.15).

(37)

Figura 2.15

Fazendo uma rota¸c˜ao de um ˆangulo θ , no sistema (o, x, y), obte-mos o novo sistema (o′_{, x}′_{, y}′_{)(Figura 2.16).}

Figura 2.16

Agora efetuando uma transla¸c˜ao no sistema (o′_{, x}′_{, y}′_),

(38)

Figura 2.17

Portanto, no sistema (o′′_{, x}′′_{, y}′′_{) a elipse dada est´a na forma}

reduzida da Equa¸c˜ao 2.3.

Notemos que uma mudan¸ca de dire¸cão no sistema (o, x, y), de um ângulo θ adequado, elimina o coeficiente do termo em xy na Equa¸cão 2.1 e da´ı o problema reduz-se aos casos já estudados anteriormente.

A elimina¸cão de b, por meio de uma rota¸cão, na Equa¸cão 2.1 consiste em determinar o ângulo θ no esquema abaixo.

Figura 2.18

(39)

retˆangulo, temos    x= x′_{cos θ − y}′_{sen θ} y= y′_{cos θ + x}′_{sen θ} (2.12)

ou, na forma matricial

" x y # = " cos θ − sen θ sen θ cos θ # · " x′ y′ # . (2.13) Como a matriz " cos θ − sen θ sen θ cos θ #

´e invers´ıvel (por que?) e sua inversa ´e a matriz

"

cos θ sen θ − sen θ cos θ #

,

temos da Equa¸c˜ao 2.13 que

" x′ y′ # = " cos θ sen θ − sen θ cos θ # · " x y # , (2.14) onde a matriz " cos θ sen θ − sen θ cos θ #

´e a matriz de mudan¸ca de base do sistema (o, x, y) para o sistema (o′_{, x}′_{, y}′_{). Portanto uma matriz ortogonal (verifique!).}

A técnica descrita acima para efetuar uma rota¸cão, demanda um certo cálculo que pode, e deve, ser simplificado utilizando-se

(40)

os conceitos de ´algebra linear, que ´e o objetivo desse cap´ıtulo.

2.2 FORMA QUADR ´

ATICA

Na forma matricial, podemos escrever a equa¸c˜ao quadr´atica 2.1 como XtAX+ KX + [f] = 0, (2.15) onde X= " x y # , A= " a b b c # K=hd e i e hf i = f. (2.16)

Efetue os c´alculos em 2.15 para verificar a veracidade dessa afirmativa.

Defini¸c˜ao 2.1 A express˜ao q(X) = Xt

AX em 2.15 ´e chamada

forma quadrática associada a equa¸cão 2.1 e A é a matriz associ-ada a essa forma quadrática

Suponha a existˆencia de uma matriz

P= " P11 P12 P21 P22 # (2.17)

que diagonaliza a matriz A ortogonalmente, isto ´e,

PtAP= " λ1 0 0 λ₂ # .

(41)

Nestas condi¸c˜oes a mudan¸ca de coordenadas dada pela equa¸c˜ao

X= PX′ (2.18)

elimina o coeficiente do termo em xy na Equa¸c˜ao 2.15 ou equiv-alentemente na equa¸c˜ao 2.1

De fato, substituindo 2.18 em 2.15, temos

(PX′)tAPX′+ K(PX′) + f = 0 (2.19) ou (X′)t[PtAP]X′+ (KP)X′+ f = 0 ou h x′ _y′i " λ1 0 0 λ₂ # " x′ y′ # +hd e i " P11 P12 P21 P22 # " x′ y′ # + f = 0

ou, efetuando os produtos acima

λ₁x′2+ λ2y′2+ d′x′ + e′y′+ f = 0 (2.20)

onde

d′ = dP11+ eP21 e e′ = dP12+ eP22 (2.21)

caso precisemos que 2.18 seja uma rota¸c˜ao, devemos ainda exigir que det(P ) = 1.

A Equa¸c˜ao 2.20 representa no sistema (o′_{, x}′_{, y}′_{) a cˆonica dada}

pela Equa¸c˜ao 2.1 no sistema (o, x, y).

(42)

obtermos um outro sistema (o′′_{, x}′′_{, y}′′_{) onde a Equa¸c˜ao 2.20 esteja}

na forma reduzida.

Nosso trabalho termina com a determina¸cão da matriz P, que até o momento existe por hipótese.

Como a matriz A associada a forma quadrática de 2.15 é uma matriz simétrica, A é ortogonalmente diagonalizável (exerc´ıcio 1.9), estando assim garantida a existência da matriz P. Conforme o exerc´ıcio (1.10), os vetores colunas de P são os autovetores da matriz A, normalizados. Portanto, P está completamente determinada e seus vetores colunas constituem a base do novo sistema de coordenadas (o′_{, x}′_{, y}′₎

Exemplo 2.2 Seja a equa¸c˜ao quadr´atica

xy _{− 1 = 0.}

A matriz associada a forma quadr´atica ´e

A =   0 1 2 1 2 0  ,

cujos autovalores s˜ao

λ1 =

1

2 e λ2 = −

1 2

Os autovetores associados a λ1 e a λ2 s˜ao, respectivamente:

" x x # e " x −x # x_{6= 0.}

(43)

Considerando v1 = " 1 1 # e v2 = " 1 −1 # temos, P=   1 √ 2 1 √ 2 1 √ 2 − 1 √ 2   e Pt =   1 √ 2 1 √ 2 1 √ 2 − 1 √ 2  . A mudan¸ca de coordenadas " x y # = P ·   x′ y′  

quando substitu´ıda em 2.19, nos d´a

h x′ _y′i_·   1 2 0 0 −12  · " x′ y′ # − 1 = 0

que efetuando os c´alculos obtemos

1 2x ′2₋ 1 2y ′2 _{= 1} _ou x′2 (√2)2 − y′2 (√2)2 = 1,

que ´e uma hip´erbole na forma reduzida no sistema (o′_{, x}′_{, y}′_{) (Figura}

2.19), cuja base ´e formada pelos vetores colunas da matriz P, isto ´e, 1 √ 2, 1 √ 2 , 1 √ 2,− 1 √ 2

(44)

Figura 2.19

´

E fácil observar na figura acima, que a mudan¸ca de coorde-nadas efetuada neste exemplo, não foi uma rota¸cão (por que?). Caso estivéssemos interessado em que a referida mudan¸ca de co-ordenadas fosse uma rota¸cão, ter´ıamos tomado

P=   1 √ 2 − 1 √ 2 1 √ 2 1 √ 2   (por que?)

e obter´ıamos a Figura 2.20 abaixo 5

(45)

Exemplo 2.3 Seja a equa¸c˜ao quadr´atica

xy+ x + y = 0.

Como a forma quadrática associada a essa equa¸cão é a mesma do Exemplo 2.1, temos A=   0 1 2 1 2 0  , P=   1 √ 2 1 √ 2 1 √ 2 − 1 √ 2   e Pt=   1 √ 2 1 √ 2 1 √ 2 − 1 √ 2  . Fazendo " x y # = P ·   x′ y′   em 2.19, temos h x′ _y′i   1 2 0 0 −1 2   " x′ y′ # +h1 1i   1 √ 2 1 √ 2 1 √ 2 − 1 √ 2   " x′ y′ # = 0 ou seja x′2_{− y}′2+ 2√2x′ = 0,

que representa no sistema (o′_{, x}′_{, y}′_{) a cˆonica dada no sistema}

(o, x, y). O sistema (o′_{, x}′_{, y}′_{) ´e o mesmo do exemplo anterior,}

(46)

Figura 2.21

Devemos efetuar uma transla¸c˜ao nos eixos coordenados o′_x′ _e

o′y′, para obtermos o novo sistema (o′′_{, x}′′_{, y}′′_{) onde a cˆonica dada}

esteja na forma reduzida. Completando o quadrado dos termos em

x′_{, na equa¸c˜ao} x′2_{− y}′2+ 2√2x′ = 0, obtemos (x′+√2)2_{− y}′2= 2. Fazendo x′+√2 = x′′ e y′ = y′′ temos x′′2_{− y}′′2= 2 ou x ′′2 (√2)2 − y′′2 (√2)2 = 1,

que ´e uma hip´erbole na forma reduzida, no sistema de

coorde-nadas (o′′_{, x}′′_{, y}′′_{) onde o}′′ _{= (−}√_{2, 0) no sistema de coordenadas}

(47)

Figura 2.22

Exemplo 2.4 Analisar a cˆonica dada por

9x2_{− 4xy + 6y}2_{− 10x − 20y − 5 = 0.}

A= " 9 −2 −2 6 # ,

cujos autovetores s˜ao da forma

" −2y y # , y _{6= 0 e} " x 2x # , x_{6= 0.} Tomando v1 = " −2 1 # , e v2 = " 1 2 # ,temos P=   −√2 5 1 √ 5 1 √ 5 2 √ 5   e P t =   −√2 5 1 √ 5 1 √ 5 2 √ 5  .

(48)

A mudan¸ca de coordenadas " x y # = P · " x′ y′ #

(´e uma rota¸c˜ao?)

transforma a equa¸c˜ao dada em

2x′2_{+ y}′2_{− 2}√_5y′ _{− 1 = 0}

no sistema de coordenadas (o′_{, x}′_{, y}′_{) de base}

−√2 5, 1 √ 5 , 1 √ 5, 2 √ 5 , isto ´e, Figura 2.23 ou, em 2x′′2 _{+ y}′′2 _{= 6 , onde x}′′ _{= x}′ _e _y′′ _{= y}′ ₋ √

5 que ´e uma elipse na forma reduzida, no sistema de

coorde-nadas (o′′_{, x}′′_{, y}′′_{), onde o}′′ _{= (o,}√_{5) no sistema de coordenadas}

(49)

Figura 2.24

Exemplo 2.5 Efetue os cálculos para mostrar que o gráfico abaixo, representa a cônica dada por

x2+ y2+ 2xy + 2√2x + 6√_{2y − 4 = 0.}

Figura 2.25

(50)

Observa¸c˜ao 1.

Caso estejamos apenas interessados em classificar a cônica dada por uma equa¸cão do tipo 2.1, não é necessário determinar a matriz P.

De fato, se

1. λ1 6= 0 e λ2 6= 0 a Equa¸c˜ao 2.20, por uma transla¸c˜ao,

fica na forma λ1x′′2+ λ2y′′2+ r = 0. Ent˜ao, (i) λ1 >0, λ2 >0          r <0, elipse ou c´ırculo r= 0, um ponto r >0, conjunto vazio (ii) λ1 <0, λ2 <0          r <0, conjunto vazio r= 0, um ponto r >0, elipse ou c´ırculo (iii) λ1λ2 <0,    r_{6= 0, uma hip´erbole} r= 0, par de retas

2. λ1 = 0, λ2 6= 0 a Equa¸c˜ao 2.20 fica na forma

λ2y′′2+ d′x′′+ r = 0.

(51)

(i) d′ _{= 0,}          r <0, par de retas r= 0, uma reta r >0, conjunto vazio (ii) d′ _{6= 0, uma par´abola}

3. λ2 = 0 e λ1 6= 0 ´e analisado da mesma maneira de 2).

Da an´alise acima, conclu´ımos que

1. λ1λ2 >0, teremos          elipse ou c´ırculo ou conjunto vazio ou um ponto 2. λ1λ2 <0, teremos          hip´erbole ou par de retas 3. λ1λ2 = 0, teremos                par´abola ou uma reta ou um par de retas ou conjunto vazio Ainda, observando-se que

λ₁λ₂ _{= det(D) = det(A) = ac − b}2

onde A é a matriz associada à forma quadrática, conclu´ımos que apenas os coeficientes a, b e c da forma quadrática associada a Equa¸cão 2.1, classifica a cônica.

(52)

Observa¸c˜ao 2.

A necessidade da matriz P é essencial se desejarmos também desenhar a cônica, pois, como vimos, são os vetores de P que formam a base do sistema de coordenadas (o′_{, x}′_{, y}′_).

(53)

Exerc´ıcios

Em cada uma das equa¸c˜oes abaixo:

1. Identificar a forma quadr´atica e a parte linear

2. Determinar a matriz associada `a forma quadr´atica

3. Determinar a matriz P que diagonaliza a matriz A

4. Escrever a equa¸c˜ao dada na forma matricial.

5. Eliminar o coeficiente do termo em xy, e dizer quando a mudan¸ca de coordenadas X = PX′ _{´e uma rota¸c˜ao}

6. Escrever a equa¸cão dada na forma reduzida, classificar a cônica e esbo¸car o seu gráfico

(i) 2x2_{− 2y}2_{+ y}2_{− 5 = 0}

(ii) y2_{− 2xy + 5x = 0}

(iii) x2_{+ 4xy − 2y}2_{− 12 = 0}

(iv) xy + y − 2x − 2 = 0

(v) x2_{+ 2xy + y}2_{− 2x − 2y + 3 = 0}

(vi) 2x2_{− 4xy − y}2_{− 4x + 10y − 13 = 0}

(vii) 8x2_{+ 16xy + 20y}2_{+ 16x + 52y − 1 = 0}

(viii) x2_{− 6xy − 7y}2_{+ 10x + 2y + 9 = 0}

(ix) x2_{− y}2 _{= 0}

(x) x2_{+ 3y}2_{+ 7 = 0}

(54)

(xii) 3x2_{+ 2xy + 3y}2₋√_{2x = 0}

(xiii) x2_{+ xy + y}2 _{= 3}

(xiv) 3x2_{− 4}√_{3xy − y}2_{+ 20y = 25}

(xv) x2_{+ 4y}2_{+ 4xy + 2x + 2y + 3 = 0}

(xvi) (x − 2)(y − 3) = 0 (xvii) (x + y)2_{+ y}2 _{= 0}

7. Utilizando o WINPLOT, gere as cˆonicas do exerc´ıcio ante-rior para conferir suas respostas

(55)

CLASSIFICAC

¸ ˜

AO DAS

QU ´

ADRICAS

Uma quádrica é uma superf´ıcie do R3_{definida por uma equa¸cão}

do segundo grau nas variáveis x, y e z e com coeficientes reais. A equa¸cão que define uma quádrica é da forma

ax2+by2+cz2+2dxy +2exz +2f yz +gx+hy +mz +n = 0 (3.1) onde os coeficientes reais a, b , c , d, e e f n˜ao s˜ao simultaneamente nulos.

Usando as mudan¸cas de coordenadas(rota¸cão e transla¸cão) a Equa¸cão 3.1 é transformada em uma nova equa¸cão que tem uma das formas:

a′′x′′2+ b′′_y′′2_{+ c}′′_z′′2_{+ d}′′ _{= 0} _(3.2)

a′′x′′2+ b′′_y′′2_{+ c}′′_z′′_{= 0} _(3.3)

(56)

Na Equa¸cão 3.3 a troca da variável z′′ _{pela variável x}′′ _{ou y}′′

n˜ao altera a sua forma.

Analisemos as Equa¸cões 3.2 e 3.3, quanto aos poss´ıveis val-ores de seus coeficientes, para identificarmos a quádrica dada pela Equa¸cão 3.1, uma vez que essas equa¸cões representam no sistema (o′′_{, x}′′_{, y}′′_{, z}′′_{) a quádrica dada pela Equa¸cão 3.1, no}

sis-tema (o, x, y, z).

AN ÁLISE DA EQUAÇ ÃO 3.2.

1. Se d′′ _{= 0 e a}′′_{, b}′′ _{e c}′′ _{forem n˜ao nulos e de mesmo sinal,}

ent˜ao a Equa¸c˜ao 3.1 representa um ponto. Precisamente a origem o′′ _{do sistema, (o}′′_{, x}′′_{, y}′′_{, z}′′_{) (Figura 3.0)}

(57)

2. se d′′ _{= 0 e a}′′_{, b}′′ _{e c}′′ _{forem n˜ao nulos e de sinais diferentes,}

ent˜ao a Equa¸c˜ao 3.1 representa um cone (Figura 3.1. p.ex.).

Figura 3.1

3. Se d′′ _{= 0 e dois dos coeficientes a}′′_{, b}′′ _{e c}′′ _{forem nulos,}

ent˜ao a Equa¸c˜ao 3.1 representa um dos planos coordenados (Figura 3.2, p.ex.).

(58)

4. Se d′′ _{= 0 e apenas um dos coeficientes a}′′_{, b}′′ _{e c}′′ _{´e nulo,}

então a Equa¸cão 3.1 representa um par de planos se os co-eficientes restantes não têm o mesmo sinal (Figura 3.3a, p. ex.). Caso contrário a Equa¸cão 3.1 representa um dos eixos coordenados(Figura 3.3b, p. ex.)

Figura 3.3a

(59)

5. Se d′′ _{6= 0 e apenas um dos coeficientes a}′′_{, b}′′_{, c}′′ _{for nulo,}

então a Equa¸cão 3.1 representa um cilindro se os coeficientes restantes não têm o mesmo sinal de d′′ _{(Figura 3.4, p. ex.).}

Caso contrário a Equa¸cão 3.1 é um conjunto vazio.

Figura 3.4

6. Se d′′ _{6= 0 e dois dos coeficientes a}′′_{, b}′′_{, c}′′ _{forem nulos,}

então a Equa¸cão 3.1 representa um par de planos paralelos, se o sinal do coeficiente não nulo for contrário ao sinal de d′′ (Figura 3.5, p. ex.). Caso contrário, a Equa¸cão 3.1 representa um conjunto vazio.

(60)

7. Quando todos os coeficientes da Equa¸cão 3.2 são não nulos, essa equa¸cão pode ser escrita na forma

±x ′′2 A2 ± y′′2 B2 ± z′′2 C2 = 1 (3.4) e a Equa¸c˜ao 3.1 representa:

(i) um elips´oide, quando todos os sinais da Equa¸c˜ao 3.4 forem positivos (Figura 3.6, p. ex.).

Figura 3.6

(ii) um hiperbol´oide de uma folha, quando a Equa¸c˜ao 3.4 tem dois sinais positivos e um negativo (Fig 3.7, p.ex.).

(61)

(iii) um hiperbol´oide de duas folhas, quando apenas um dos sinais da Equa¸c˜ao 3.4 for positivo (Fig 3.8, p.ex.).

Figura 3.8

(iv) um conjunto vazio quando todos os sinais da Equa¸c˜ao 3.4 forem positivos.

ANALISE DA EQUAC¸ ˜AO 3.3.

1. Se c′′ _{= 0 e a}′′ _{e b}′′ _{s˜ao n˜ao nulos e tiverem o mesmo sinal,}

ent˜ao a Equa¸c˜ao 3.1 representa o eixo o′′_z′′ _{(Figura 3.9).}

(62)

2. Se c′′ _{= 0 e a}′′_{e b}′′ _{s˜ao n˜ao nulos e tiverem sinais diferentes,}

ent˜ao a Equa¸c˜ao 3.1 representa um par de planos (Figura 3.10, p. ex.).

Figura 3.10

3. Se c′′ _{= 0 e apenas um dos coeficientes a}′′ _{ou b}′′ _{´e nulo,}

ent˜ao a Equa¸c˜ao 3.1 representa um dos planos coordenados (Figura 3.11, p.ex.).

(63)

4. se c′′ _{6= 0 e apenas um dos coeficientes a}′′_{ou b}′′_{´e nulo, ent˜ao}

a Equa¸cão 3.1 representa um cilindro, cuja diretriz é uma parábola (Figura 3.12, p.ex.).

Figura 3.12

5. Se c′′ _{6= 0 e a}′′ _{= b}′′ _{= 0, ent˜ao a Equa¸c˜ao 3.1 representa o}

plano x′′_o′′_y′′ _{(Figura 3.13, p.ex.)}

(64)

6. Quando todos os coeficientes da Equa¸cão 3.3 são diferentes de zero, essa equa¸cão pode ser escrita na forma

x′′2 A2 ± y′′2 B2 = Cz ′′ _(3.5) e a Equa¸c˜ao 3.1 representa

(i) um parabol´oide el´ıptico, se o coeficiente de y′′2_for

pos-itivo (Figura 3.14, p. ex.)

Figura 3.14

(ii) um parabol´oide hiperb´olico, se o coeficiente de y′′2 _for

negativo (Figura 3.15, p. ex.).

(65)

Como vimos na introdu¸cão deste cap´ıtulo, a quádrica dada pela Equa¸cão 3.1 estará perfeitamente classificada se pudermos escrever aquela equa¸cão sob a forma 3.2 ou 3.3. E isto é sempre poss´ıvel.

A técnica é a mesma que foi utilizada para a classifica¸cão das cônicas, isto é, a diagonaliza¸cão de matrizes.

Na forma matricial, a Eequa¸c˜ao 3.1 fica:

h x y z i    a d e d b f e f c       x y z   + h g h m i    x y z   + [n] = 0 (3.6) ou XtAX+ BX + N = O, (3.7) onde A =    a d e d b f e f c   , B= h g h m i , M= [n] e X =    x y z   . O termo q(x) = Xt AX

é a forma quadrática associada a Equa¸cão 3.1 e A é a matriz associada a essas forma quadrática.

Como A é uma matriz real e simétrica, A é ortogonalmente diagonalizável por uma matriz P, cujos vetores colunas são os autovetores da matriz A associados aos autovalores λ1, λ2 e λ3

(66)

( Proposi¸cão 1.10). Além disso os vetores colunas da matriz Psão ortonormais (exerc´ıcio 1.10).

Seja P=    P11 P12 P13 P₂₁ P₂₂ P₂₃ P₃₁ P₃₂ P₃₃   .

Fazendo X = PX′ _{na Equa¸c˜ao 3.7, obtemos}

(X′)tDX′+ (BP)X′+ N = O. (3.8) Ou seja    x′ y′ z′    t_   λ₁ 0 0 0 λ2 0 0 0 λ3       x′ y′ z′   +    g h m    t_   P₁₁ P₁₂ P₁₃ P21 P22 P23 P31 P32 P33       x′ y′ z′   + n = 0. (3.9) Fazendo os produtos das matrizes acima, obtemos

λ₁x′2+ λ2y′2+ λ3z′2+ A′x′+ B′y′+ C′z′+ n = 0, (3.10) onde A′ = gP11+ hP21+ mP31 B′ = gP12+ hP22+ mP32 C′ = gP13+ hP23+ mP33 (3.11)

Completando os quadrados na Equa¸cão 3.10 obtemos uma equa¸cão da forma 3.2 ou da forma 3.3, que já sabemos classificar.

(67)

Resumindo

1. A substitui¸c˜ao X = PX′ _{elimina os termos em xy , xz e em}

yz da Equa¸cão 3.1, onde P é a matriz cujos vetores colunas são os autovetores da matriz A normalizados. Além disso os vetores colunas da matriz P formam a base do sistema < o′_{, x}′_{, y}′_{, z}′ _>_{(exerc´ıcio 1.11)}

2. Completando os quadrados na Equa¸cão 3.10, obtemos uma equa¸cão da forma 3.2 ou da forma 3.3, que representa , no sistema < o′′_{, x}′′_{, y}′′_{, z}′′ _>_{a quádrica dada pela Equa¸cão 3.1}

no sistema < o, x, y, z >.

3. A mudan¸ca de coordenadas efetuada por P ´e uma rota¸c˜ao se det(P) = 1.

Vejamos alguns exemplos

Exemplo 3.1 Seja a equa¸c˜ao

x2+ xy + y2_{− 3 = 0.}

A=      1 1₂ 0 1 2 1 0 0 0 0     

(68)

Os vetores v1 =    0 0 1   , v2 =    1 1 0   , e v3 =    1 −1 0   

s˜ao os autovetores associados respectivamente aos autovalores

λ₁, λ2 e λ3.

A matriz P, ´e, portanto,

P=      0 √1 2 1 √ 2 0 _√1 2 − 1 √ 2 1 0 0      .

Na forma matricial, a equa¸c˜ao dada ´e

h x y z i      1 1₂ 0 1 2 1 0 0 0 0         x y z    −3 = 0, que se transforma em h x′ _y′ _z′i      0 0 0 0 3 2 0 0 0 1₂         x′ y′ z′    −3 = 0, quando fazemos X = PX′_.

(69)

Efetuando os produtos acima, obtemos

3y′2+ z′2 = 6,

que é um cilindro el´ıptico (veja análise da Equa¸cão 3.2 ) no sis-tema < o′_{, x}′_{, y}′_{, z}′ _> _{cuja base é formada pelos vetores colunas}

da matriz P (Figura 3.16).

Figura 3.16

−5y2+ 2xy − 8xz + 2yz = 0.

A matriz associada a essa forma quadr´atica ´e

A=    0 _{1 −4} 1 −5 1 −4 1 0   ,

(70)

associados, respectivamente, os autovetores v1 =    1 1 1   , v2 =    1 0 −1    e v3 =    1 −2 1   .

Assim a matriz P ´e dada por

P=      1 √ 3 1 √ 2 1 √ 6 1 √ 3 0 − 2 √ 6 1 √ 3 − 1 √ 2 1 √ 6      .

Fazendo X = PX′ _{na equa¸c˜ao dada sob a forma matricial,}

obtemos h x′ _y′ _z′i    −3 0 0 0 4 0 0 0 −6       x′ y′ z′   = 0,

que efetuando os produtos das matrizes acima, vem

3x′2_{− 4y}′2_{+ 6z}′2 _{= 0}

que representa um cone, (Figura 3.17), no sistema < o′_{, x}′_{, y}′_{, z}′ _>

cuja base ´e formada pelos vetores

1 √ 3, 1 √ 3, 1 √ 3 , 1 √ 2,0, − 1 √ 2 e 1 √ 6,− 2 √ 6, 1 √ 6

(71)

Figura 3.17

y2+ 4yz + 4z2+ 4z + 2y + 1 = 0.

Os autovalores da matriz associada a essa forma quadr´atica

s˜ao λ1 = 0, λ2 = 0 e λ3 = 5 , que tˆem associados,

respecti-vamente, os autovetores v1 =    1 0 0   , v2 =    0 1 −1 2   , e v3 =    0 1 2   .

Fazendo X = PX′ _{na equa¸c˜ao dada sob a forma 3.7 com}

P=      1 0 0 0 _√2 5 1 √ 5 0 −√1 5 2 √ 5      ,

(72)

obtemos

5z′2+ 2√5z′+ 1 = 0,

que completando o quadrado vem

(z′+ √ 5 5 ) 2 _{= 0.} Fazendo agora (z′ ₊ √ 5 5 ) = z ′′_, temos z′′2 = 0,

que ´e um plano (Figura 3.18)

(73)

2x2+ y2+ 2z2_{+ 2xy + 2xz + 2yz − 811 = 0.}

A =    2 1 1 1 2 1 1 1 2   ,

cujos autovalores s˜ao λ1 = 1, λ2 = 1 e λ3 = 4 , que tˆem

associados, respectivamente,os autovetores

v1 =    1 0 −1   , v2 =    0 1 −1   , e v3 =    1 1 1   .

Fazendo X = PX′ _{( determine a matriz P) na equa¸c˜ao dada sob}

a forma matricial 3.7, obtemos a equa¸c˜ao

x′2+ y′2+ 4z′2 _{− 81 = 0} ou x′2 92 + y′2 92 + 4z′2 92 = 1,

que ´e um elips´oide no sistema de coordenadas < o′_{, x}′_{, y}′_{, z}′ _>

(Figura 3.19).

Como exerc´ıcio, determine uma base para esse sistema, con-siderando a matriz P que vocˆe determinou acima.

(74)

Figura 3.19

x2+ 2y2+ z2_{+ 2xy − 2yz + x + y − z + 2 = 0.}

A=    1 1 0 1 _{2 −1} 0 −1 1   ,

cujos autovalores s˜ao λ1 = 1, λ2 = 3 e λ3 = 0 , que tˆem

associados, respectivamente, os autovetores

v1 =    1 0 1   , v2 =    1 2 −1   , e v3 =    1 −1 −1   .

(75)

A matriz P ´e dada por P=      1 √ 2 1 √ 6 1 √ 3 0 _√2 6 − 1 √ 3 1 √ 2 − 1 √ 6 − 1 √ 3      .

Fazendo X = PX′ _{na equa¸c˜ao dada sob a forma matricial 3.7,}

obtemos, ap´os efetuar os devidos c´alculos,

x′2+ 3y′2+ √4 3y ′ ₊_√1 3z ′ _{+ 2 = 0} ou √ 6x′2_{+ 3}√_6(y′ ₊6 9) 2₊√_2(z′ ₊16 √ 3 9 ) = 0. Fazendo agora x′ = x′′_, _y′₊ √ 6 9 = y ′′ _{e z}′ ₊16 √ 3 9 = z ′′_, vem √ 6x′′2_{+ 3}√_6y′′2₊√_2z′′ _{= 0} ou √ 3x′′2+ 3√3y′′2+ z′′= 0,

que ´e um parabol´oide el´ıptico, no sistema de coordenadas

(76)

Figura 3.20

(77)

Exerc´ıcios

1. Classificar e esbo¸car as superf´ıcies dadas pelas equa¸c˜oes abaixo: (i) 4x2_{+ y}2_{− 9z}2 _{= 36} (ii) 4y2_{+ z}2 _{− 9x}2 _{= 36} (iii) 4z2 _{+ x}2_{− 9y}2_{= 36} (iv) xy = 1 (v) x2_{+ xy + y}2 _{= 0} (vi) x2_{− y}2 _{= z} (vii) x2_{+ y}2 _{= z} (viii) x2_{+ y}2_{− z}2 _{= 0} (ix) −x2_{+ y}2_{+ z}2 _{= 0} (x) x2_{− 4y}2_{+ z}2 _{= 4} (xi) 7x2_{+ 8xy − 8y}2 _{= 35}

(xii) 3x2_{− 6xy − 5y}2_{+ z}2_{− 6x + 22y + 24 = 0}

(xiii) x2_{+ 2xy + y}2_{+ z}2_{+ 2y − 4z + 20 = 0}

(xiv) y2_{− 4z}2_{+ xy + xz + 3y + 3z = 0}

(xv) 9x2_{− 12xy + 9y}2_{+ 5z}2_{+ 6yz + 12x − 6y + 10z − 31 = 0}

(xvi) x2_{+ 4xy − 2yz + xz + 3x + 2y − 2z + 2 = 0}

2. Utilizando o WINPLOT, gere as qu´adricas do exerc´ıcio an-terior para conferir suas respostas

(78)

(79)

Resumo dos Resultados

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1. Cônicas na forma reduzida x2+ y2 _{= r}2 _{Circunferência} x2 a2 + y2 b2 = 1 Elipse x2 a2 − y2 b2 = 1 Hipérbole y= ax2 _Parábola x= ay2 _Parábola

(81)

2. Cônicas que não estão na forma reduzida Circunfe-rência Elipse Hipérbole Parábola

(82)

3. Qu´adricas Um dos Eixos Coordenados Um dos Planos Coordenados Planos Obliguos Planos Paralelos

(83)

Cilindro Reto Cilindro Parabó-lico Elipsóide Hiperbolóide de Uma Folha

(84)

Hiperbolóide de Duas Folhas Parabolóide El´ıtico Parabolóide Hiperbólico Cone Reto

(85)

Winplot

As figuras deste livro foram geradas pelo aplicativo Winplot. O Winplot é um excelente aplicativo para se construir gráficos em duas ou três dimensões. Foi criado pelo matemático ingles Richard Parris, da Phillips exeter Academy, Exeter NH e se en-contra disponibilizado na internet em vários idiomas. A versão em portugues é de autoria do professor Adelmo Ribeiro de Jesus, da UNIFACS, Salvador - BA.

O winplot pode ser adquirido gratuitamente em

http://math.exeter.edu/rparris/.

Tambem pode ser acessado em

http://www.gregosetroianos.mat.br,

onde encontra-se um Tutorial (INTRODUÇ ÃO AO WINPLOT),para trabalho no ambiente 2D, elaborado por Carlos César de Araújo.

(86)

Figura B.1: Tela de Abertura do Winplot.

Figura B.2: ´Area de trabalho para figuras bidimensionais.

(87)

Quadro de Figuras

O quadro abaixo, mostra as figuras que aparecem nos exem-plos deste trabalho e que foram geradas pelo Winplot. Tamb´em indicamos as respectivas equa¸c˜oes para que o leitor possa recon-stru´ı-las.

As diversas equa¸cões que aparecem para gerar cada figura, deve-se ao fato de que elas foram geradas passo a passo, isto é, fazendo-se as mudan¸cas de coordenadas necessárias afim de transformá-las às suas formas reduzidas. Também esbo¸camos os sistemas de coordenadas resultantes dessas mudan¸cas.

Essas equa¸c˜oes devem ser consideradas como diversos pares or-denados (x,y) ou triplas ordenadas (x, y, z), na ordem que apare-cem no quadro ao lado das respectivas figuras.

Por simplicidade não indicamos os intervalos das variáveis u e t, porém o leitor não encontrará dificuldades em identificá-los.

(88)

Ex Figura Equa¸c˜oes no winplot 2.1 x=2+2cos(t); y=1+3sin(t) x=2; y=t; x=t; y=1 2.2 x=sqr(2)/2*t; y=sqr(2)/2*t; x=-sqr(2)/2*t; y=sqr(2)/2*t; x=cosh(t)-sinh(t) y=cosh(t)+sinh(t); x=-cosh(t)-sinh(t); y=-cosh(t)+sinh(t) 2.3 x=sqr(2)/2*t; y=sqr(2)/2*t; x=sqr(2)/2*t; y=-sqr(2)/2*t; x=cosh(t)-sinh(t)-1; y=cosh(t)+sinh(t)-1; x=-cosh(t)-sinh(t)-1; y=-cosh(t)+sinh(t)-1; x=sqr(2)/2*t-1; y=-sqr(2)/2*t-1

(89)

Ex Figura Equa¸c˜oes no winplot 2.4 x=-2/sqr(5)*t; y=1/sqr(5)*t; x=1/sqr(5)*t; y=2/sqr(5)*t; x=(-2sqr(3)/sqr(5))*cos(t) + (sqr(6)/sqr(5)) *sin(t)+1; y=(sqr(3)/sqr(5))*cos(t) + (2sqr(6)/sqr(5))*sin(t)+2; x=-2/sqr(5)*t+1; y=1/sqr(5)*t+2; x=1/sqr(5)*t+1; y=2/sqr(5)*t+2 2.5 x=sqr(2)/2*t; y=-sqr(2)/2*t; x=sqr(2)/2*t; y=sqr(2)/2*t; x=tt/2/sqr(2 + t/sqr(2) - 5/sqr(2); y=-tt/2/sqr(2) + t/sqr(2) + 1/sqr(2); x=sqr(2)/2*t-5/sqr(2); y=-sqr(2)/2*t + 1/sqr(2); x=sqr(2)/2*t - 5/sqr(2); y=sqr(2)/2*t + 1/sqr(2) 3.1 x=cos(t)+sqr(3)sin(t); y=cos(t)-sqr(3)sin(t); z=u; x=0; y=0; z=t; x=1/sqr(2)t; y=1/sqr(2)t; z=0; x=1/sqr(2)t; y=-1/sqr(2)t; z=0

(90)

Ex Figura Equa¸c˜oes no winplot 3.2 x=(1/sqr(3))*t; y=(1/sqr(3))*t; z=(1/sqr(3))*t; x=1/sqr(2)*t; y=0; z=-1/sqr(2)*t; x=1/sqr(6)*t; y=-2/sqr(6)*t; z=1/sqr(6)*t;

x=u/3*cos(t) + sqr(2)/4*u + u/6*sin(t); y= u/3*cos(t)-u/3*sin(t);

z=u/3*cos(t) - sqr(3)/6*u + u/6*sin(t)

3.3 x=t; y=1/5; z=-2/5; x=0; y=2/sqr(5)*t+1/5; z=-1/sqr(5)*t-2/5; x=0; y=1/sqr(5)*t+1/5; z=2/sqr(5)*t-2/5; x=t; y=2/sqr(5)*u+1/5; z=-1/sqr(5)*u-2/5; x=t; y= 0; z=0; 3.4 x=t; y=2t; z=2t; x=2t; y=t; z=-2t; x=2t; y=-2t; z=t; x=sqr(6)/3*sin(u)cos(t) + 2sqr(3)/3*sin(u)sin(t) + 2sqr(2)/3*cos(u); y=sqr(3)/3*sin(u)sin(t) + 2sqr(6)/3*sin(u)cos(t) -2sqr(2)/3*cos(u); z=2sqr(6)/3*sin(u)cos(t) + sqr(2)/3*cos(u) - 2sqr(3)/3*sin(u)sin(t)

(91)

Ex Figura Equa¸c˜oes no winplot 3.5 x=t; y=0; z=t; x=t; y=2t; z=-t; x=t; y=-t; z=-t; x=t-17/9; y= 14/9; z=t+17/9; x=t-17/9; y=-t+14/9; z=-t+17/9; x=t-17/9; y=2t+14/9; z=-t+17/9; x=sqr(u)/sqr(sqr(12))*cos(t)+ sqr(u)/(3sqr(sqr(12)))*sin(t) -1/sqr(3)*u-17/9; y=2sqr(u)/(3sqr(sqr(12)))*sin(t) +u/sqr(3)+14/9; z=sqr(u)/sqr(sqr(12))*cos(t) -sqr(u)/(3sqr(sqr(12)))*sin(t) +u/sqr(3)+17/9;

(92)

(93)

[1] Apostol, T. M., Calculus, v. 1 e 2, Editorial Revert`e S.A., Rio de Janeiro, RJ, 2a_{˜ed., 1977.}

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[3] Boldrini, J. L.; Costa, S. R.; Figueredo, V. L.; Wetzler, H. G., ´Algebra Linear, Harbra do Brasil, S˜ao Paulo, SP, 3a_{˜ed., 1984.}

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[5] Herstein, I. N., Tópicos de Álgebra, Pol´ıgono, São Paulo, SP, 1a_{˜ed., 1998.}

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[10] Steinbruch, A.; Winterle, P., ´Algebra Linear, McGraw-Hill do Brasil, S˜ao Paulo, SP, 2a_{˜ed., 1987.}

(95)

Caitano de Oliveira Cintra_´_{e professor adjunto aposentado da Universidade} Fed-eral Rural de Pernambuco. É mestre em Matemática, tendo como área de pesquisa a Resolubilidade Local de Equa¸cões Diferenciais Parciais. Tem publicados livros em n´ıvel de ensino médio e gradua¸cão sobre Cônicas, Quádricas e Geometria Plana. Foi Chefe do Departamento de Matemática da Universidade Católica de Pernambuco por mais de seis anos, sendo agraciado com a medalha do Jubileu de Prata daquela Universidade. Atual-mente é professor de Matemática da Faculdade Boa Viagem e da Faculdade de Forma¸cão de Professores de Belo Jardim. Seu interesse atual é Educa¸cão Matemática.