Aula05 - Probabilidade Teoremas - EstatProb

ESTATÍSTICA E

PROBABILIDADE

PROF. ÁTILA

TEORIA DA PROBABILIDADE

PRINCIPAIS TEOREMAS

Aula 05

Apostila Probabilidade – Ana Farias Capítulos 3 e 4

Probabilidade Condicional

Exemplo (apostila – introdução)

• Considere o lançamento de um dado honesto. Ω = {1,2,3,4,5,6}

a. Qual a probabilidade de obter uma face par ?

𝑃 "𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑝𝑎𝑟" = 3 6 b. Qual a probabilidade de sair face 2?

𝑃 "𝑓𝑎𝑐𝑒 2" = 1 6

Probabilidade Condicional

Exemplo (apostila – introdução)

• Considere o lançamento de um dado honesto. Ω = {1,2,3,4,5,6}

c. Suponha que ao lançar o dado sabemos que saiu face par, qual a probabilidade de ter saído face 2?

Nosso espaço amostral foi reduzido Ω′ = {2,4,6} 𝑃 "face 2" "face par" = 1

Probabilidade Condicional

Definição

Sejam 𝐴 e 𝐵 eventos. A probabilidade condicional do

evento 𝐴, dada a ocorrência do evento 𝐵, é:

𝑃 𝐴 𝐵 =

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

𝑃(𝐵)

Produto das Probabilidades

𝑃 𝐴 𝐵 =

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵)

⇒

⇒ 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵 . 𝑃 𝐴 𝐵

Produto das Probabilidades

Exemplo (3.5 – apostila)

Considere que duas cartas de um baralho (13 cartas de cada um dos naipes copas, paus, ouros, espadas) sejam extraídas, sem

reposição, uma depois da outra. Qual é a probabilidade de:

a. nenhuma das duas ser de copas? (55,88 %)

b. pelo menos uma carta ser de copas? (44,12 %)

Produto das Probabilidades

Exemplo (3.4 - apostila)

Se um avião está presente em determinada área, um radar detecta sua presença com probabilidade 0,99. No entanto, se o avião não está presente, o radar detecta erradamente a presença de um avião com probabilidade 0,02. A probabilidade de um avião estar presente nessa área é de 0,05.

a. Qual é a probabilidade de um falso alarme? (1,9%)

b. Qual é a probabilidade de o radar deixar de detectar um avião? (0,05 %)

Produto das Probabilidades

Exemplo (3.4 - apostila) Cada nó corresponde à ocorrência de um evento condicionado à ocorrência de todos os eventos representados pelos nós anteriores no caminho correspondente. 𝐷: 𝑟𝑎𝑑𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑎𝑣𝑖ã𝑜 𝐴: 𝑎𝑣𝑖ã𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒

Produto das Probabilidades

Exemplo (3.6 apostila)

Suponhamos agora a extração de três cartas sem reposição e o evento “nenhuma carta de copas”. Como podemos

generalizar a regra da multiplicação para esse caso?

𝑃 𝐶₁ ∩ 𝐶₂ ∩ 𝐶₃ = 𝑃 𝐶₁ × 𝑃 𝐶₂ 𝐶₁ × 𝑃 𝐶₃ 𝐶₁ ∩ 𝐶₂ = = 39 52 × 38 51 × 37 50 = 41,35%

Produto das Probabilidades

Exercício 12 (capítulo 5)

Quatro bolsas de estudo serão sorteadas entre 30 estudantes, dos quais 12 são do sexo masculino e 18 são do sexo feminino. Qual a probabilidade de que haja entre os sorteados:

a. uma pessoa do sexo masculino? (35,73%)

b. no máximo uma pessoa do sexo feminino? (16,26%)

Eventos Independentes

Dois eventos A e B são independentes se

𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴

⇔

Eventos Independentes

Exemplo (3.5 editado – apostila)

Considere que duas cartas de um baralho

(13 cartas

de cada um dos naipes copas, paus, ouros, espadas)

sejam

extraídas, com reposição, uma depois da outra.

Qual é a probabilidade de:

a. nenhuma das duas ser de copas?

(56,25 %)

b. pelo menos uma carta ser de copas?

(43,75 %)

Eventos Independentes

Exemplo (seção 3.2 introdução – apostila)

Considere novamente um baralho usual, com 52 cartas, 13 de cada naipe, do qual será retirada uma carta. Vamos

definir os seguintes eventos:

C = “carta é de copas” R = “carta é um rei”

V = “carta é vermelha (copas ou ouro)”

Vale

• 𝑃 𝑅 𝐶 = 𝑃 𝑅 ⇒ então 𝑅 e 𝐶 são independentes

Eventos Independentes

Exemplo

Qual a probabilidade de ocorrência de 2 caras após

10 lançamentos de uma moeda?

𝑃 𝐴 = 10

2

1

2

10

= 4,39%

Teorema da Probabilidade Total

e Teorema de Bayes

Exemplo (4.1 – apostila)

Em uma linha de produção de certa fábrica, determinada peça é produzida em duas máquinas. A máquina 1, mais antiga, é responsável por 35% da produção, e os 65% restantes vêm da máquina 2. A partir dos dados passados e das informações do fabricante das máquinas, estima-se em 5% a proporção de peças defeituosas produzidas pela máquina 1 e em 2,5% a proporção de peças defeituosas produzidas pela máquina 2. As peças produzidas pelas duas máquinas seguem para o departamento de armazenamento e embalagem para venda posterior, sem distinção de qual máquina a produziu.

a. Qual é a proporção de peças defeituosas colocadas no mercado por essa fábrica?

b. Se um cliente identificar uma peça defeituosa, qual será a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina 1?

Teorema da Probabilidade Total

e Teorema de Bayes

Exemplo (4.1 – apostila)

𝑀

₁

: 𝑝𝑒ç𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 1.

𝑀

₂

: 𝑝𝑒ç𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 2 .

𝐷 = 𝑝𝑒ç𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑢𝑜𝑠𝑎.

𝑃 𝑀

₁

= 0,35

𝑃 𝑀

₂

= 0,65

𝑃 𝐷 𝑀

₁

= 0,05 𝑃 𝐷 𝑀

₂

= 0,025

Teorema da Probabilidade Total

e Teorema de Bayes

Exemplo (4.1 – apostila)

𝑀₁ 𝑀₂ 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷

Teorema da Probabilidade Total

e Teorema de Bayes

Exemplo (4.1 – apostila)

𝑃 𝑀

₁

= 0,35

𝑃 𝑀

₂

= 0,65

𝑃 𝐷 𝑀

₁

= 0,05 𝑃 𝐷 𝑀

₂

= 0,025

a. 𝑃 𝐷 = ?

𝐷 = 𝐷 ∩ 𝑀₁ ∪ (𝐷 ∩ 𝑀₂) 𝑃 𝐷 = 𝑃 𝐷 ∩ 𝑀₁ + 𝑃(𝐷 ∩ 𝑀₂) 𝑃 𝐷 = 𝑃 𝑀₁ 𝑃 𝐷 𝑀₁ + 𝑃 𝑀₂ 𝑃 𝐷 𝑀₂ = 0,03375 𝑀₁ 𝑀₂ 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷

Teorema da Probabilidade Total

e Teorema de Bayes

Exemplo (4.1 – apostila)

𝑃 𝑀

₁

= 0,35

𝑃 𝑀

₂

= 0,65

𝑃 𝐷 𝑀

₁

= 0,05 𝑃 𝐷 𝑀

₂

= 0,025

b. 𝑃 𝑀

₁

|𝐷 = ?

𝑃 𝑀₁ 𝐷 = 𝑃(𝑀1∩𝐷) 𝑃(𝐷) 𝑃 𝑀₁ 𝐷 = 𝑃 𝑀1 𝑃(𝐷|𝑀1) 𝑃 𝑀₁ 𝑃(𝐷|𝑀₁)+𝑃 𝑀₂ 𝑃(𝐷|𝑀₂) 𝑃 𝑀₁ 𝐷 = 51,85% 𝑀₁ 𝑀₂ 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷

Teorema da Probabilidade Total e

Teorema de Bayes

• Relacionar probabilidade de eventos com probabilidade condicional.

• Sejam 𝐵₁, 𝐵₂, … , 𝐵_𝑛 eventos mutuamente exclusivos e exaustivos:

Teorema da Probabilidade Total

Considere 𝐴 um evento arbitrário.

𝐴 = 𝐴 ∩ 𝐵

₁

∪ 𝐴 ∩ 𝐵

₂

∪ ⋯ ∪ (𝐴 ∩ 𝐵

_𝑛

),

onde 𝐵

_𝑖

∩ 𝐵

_𝑗

= ∅, 𝑖 ≠ 𝑗

𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

₁

+ 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

₂

+ ⋯ + 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

_𝑛

=

𝑃 𝐴 𝐵

₁

. 𝑃(𝐵

₁

)+𝑃 𝐴 𝐵

₂

. 𝑃 𝐵

₂

+ ⋯ + 𝑃 𝐴 𝐵

_𝑛

. 𝑃 𝐵

_𝑛

.

𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴 𝐵

_𝑖

. 𝑃(𝐵

_𝑖

)

𝑛 𝑖=1

Teorema de Bayes

𝑃 𝐵

_𝑗

|𝐴 =

𝑃 𝐵

𝑗

∩ 𝐴

𝑃(𝐴)

=

𝑃 𝐴 𝐵

_𝑗

𝑃 𝐵

_𝑗

𝑃(𝐴)

Logo

𝑃 𝐵

_𝑗

|𝐴 =

𝑃 𝐴 𝐵

𝑗

𝑃 𝐵

𝑗

𝑃 𝐴 𝐵

_𝑖

. 𝑃(𝐵

_𝑖

)

𝑛 𝑖=1

Onde

𝐵_𝑖 ∩ 𝐵_𝑗 = ∅ e 𝐵₁ ∪ 𝐵₂ ∪ ⋯ ∪ 𝐵_𝑛 = Ω

Teorema da Probabilidade Total

e Teorema de Bayes

Exemplo (exercício 19 - editado)

Na urna I há cinco bolas vermelhas, três brancas e oito

azuis. Na urna II há três bolas vermelhas e cinco

brancas. Lança-se um dado equilibrado. Se sair três

ou seis, escolhe-se uma bola da urna I; caso contrário,

escolhe-se uma bola da urna II. Calcule a

probabilidade de:

a. sair uma bola vermelha?

(17/48)

b. Ter sido sorteada a urna I, sabendo-se que a bola

Teorema de Bayes

Exemplo (4.3 – apostila)

Sabe-se que um “soro da verdade”, quando aplicado em

um suspeito, é 90% eficaz quando a pessoa é culpada e

99% eficaz quando é inocente. Um suspeito é retirado

de um grupo de pessoas em que 95% jamais

cometeram qualquer crime.

a. Qual é a probabilidade de o soro dar a resposta

certa?

(98,55%)

b. Se o soro indica

“culpado”, qual é a probabilidade de

Teorema de Bayes

Exemplo (4.2 – apostila)

Em uma linha de produção de certa fábrica, determinada peça é produzida em três máquinas, que são responsáveis por 30%, 35% e 35% da produção, respectivamente. As proporções de peças defeituosas produzidas por tais máquinas são 5%, 2,5% e 2%.

a. Qual é a proporção de peças defeituosas produzidas na fábrica?

b. Se um cliente identifica uma peça defeituosa, qual é a probabilidade de que tenha sido produzida na máquina 1?

Teorema de Bayes

Exemplo (4.2 – apostila)

𝑀₁= peças produzidas pela máquina 1 𝑀₂= peças produzidas pela máquina 2 𝑀₃= peças produzidas pela máquina 3 𝐷 = peças defeituosas.

Ω = 𝑀₁ ∪ 𝑀₂ ∪ 𝑀₃

Teorema de Bayes

Exemplo (4.2 – apostila)

𝑃 𝑀

₁

= 0,3

𝑃 𝑀

₂

= 𝑃 𝑀

₃

= 0,35

𝑃 𝐷 𝑀

₁

= 0,05

𝑃 𝐷 𝑀

₂

= 0,025

𝑃 𝐷 𝑀

₃

= 0,02

Teorema de Bayes

Exemplo (4.2 – apostila)

a. Qual é a proporção de peças defeituosas produzidas na fábrica? Vamos calcular 𝑃(𝐷) 𝐷 = 𝐷 ∩ 𝑀₁ ∪ 𝐷 ∩ 𝑀₂ ∪ (D ∩ 𝑀₃) 𝑃 𝐷 = 𝑃 𝐷 ∩ 𝑀₁ + 𝑃 𝐷 ∩ 𝑀₂ + 𝑃(D ∩ 𝑀₃) 𝑃 𝐷 = 𝑃 𝐷|𝑀₁ . 𝑃 𝑀₁ + 𝑃 𝐷|𝑀₂ . 𝑃 𝑀₂ + 𝑃 𝐷|𝑀₃ . 𝑃 𝑀₃ 𝑃 𝐷 = 0,03075

Teorema de Bayes

Exemplo 4.2 – apostila

b.

𝑃 𝑀

₁

𝐷 =

𝑃(𝑀_𝑃(𝐷)1∩𝐷)

𝑃 𝑀

₁

𝐷 =

=

𝑃 𝐷 𝑀

1

. 𝑃 𝑀

1

𝑃 𝐷|𝑀

₁

. 𝑃 𝑀

₁

+ 𝑃 𝐷|𝑀

₂

. 𝑃 𝑀

₂

+ 𝑃 𝐷|𝑀

₃

. 𝑃 𝑀

₃

=

_0,030750,015

= 0,487805