Projeto ótimo robusto de um absorvedor dinâmico de vibrações

DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE MECÂNICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

LEANDRO AUGUSTO MARTINS

PROJETO ÓTIMO ROBUSTO DE UM ABSORVEDOR DINÂMICO DE

VIBRAÇÕES

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

CORNÉLIO PROCÓPIO

2018

PROJETO ÓTIMO ROBUSTO DE UM ABSORVEDOR DINÂMICO DE

VIBRAÇÕES

Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Enge-nharia Mecânica da Universidade Tecnoló-gica Federal do Paraná – Campus Cornélio Procópio, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Engenha-ria Mecânica.

Orientador: Prof. Dr. Fabian Andres Lara-Molina

Coorientador: Prof. Dr. Edson Hideki Ko-roishi

CORNÉLIO PROCÓPIO

2018

Projeto ótimo robusto de um absorvedor dinâmico de vibrações / Leandro Augusto Martins. – 2018.

100 f. : il. color. ; 31 cm.

Orientador: Fabian Andres Lara Molina. Coorientador: Edson Hideki Koroishi.

Dissertação (Mestrado) – Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. Cornélio Procópio, 2018.

Bibliografia: p. 81-85.

1. Otimização robusta. 2. Vibração. 3. Incerteza de medição (Estatística). 4. Engenharia Mecânica – Dissertações. I. Molina, Fabian Andres Lara, orient. II. Koroishi, Edson Hideki, coorient. III. Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. IV. Título.

CDD (22. ed.) 620.1

Biblioteca da UTFPR - Câmpus Cornélio Procópio

Bibliotecários/Documentalistas responsáveis: Simone Fidêncio de Oliveira Guerra – CRB-9/1276

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica

Av. Alberto Carazzai, 1640 - 86.300-000- Cornélio Procópio – PR.

Tel. +55 (43) 3520-3939 / e-mail: ppgem-cp@utfpr.edu.br / www.utfpr.edu.br/cornelioprocopio/ppgem

Título da Dissertação Nº 027:

“Projeto Ótimo Robusto De Um Absorvedor

Dinâmico De Vibrações

”

.

por

Leandro Augusto Martins

Orientador: Prof. Dr. Fabian Andres Lara Molina

Esta dissertação foi apresentada como requisito parcial à obtenção do grau de MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA – Área de Concentração: Ciências Mecânicas, linha de pesquisa: Dinâmica De Sistemas Mecânicos, pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica – PPGEM – da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR – Câmpus Cornélio Procópio, às 16h do dia 05 de março de 2018. O trabalho foi aprovado pela Banca Examinadora, composta pelos professores:

__________________________________

Prof. Dr. Fabian Andres Lara Molina

(Orientador – UTFPR - CP)

__________________________________

Profa. Dra. Sandra Mara Domiciano

(UTFPR - CP)

_________________________________

Prof. Dr. Ricardo Breganon

(IFPR – Campus Jacarezinho)

Visto da coordenação: __________________________________ Prof. Dr. Vagner Alexandre Rigo

Coordenador do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica UTFPR Câmpus Cornélio Procópio

Agradeço ao meu orientador Prof. Dr. Fabian Andres Lara-Molina e ao meu coorientador Edson Hideki Koroishi, que sempre me ajudaram e orientaram, comparti-lhando seus conhecimentos. Agradeço-os também pelo companheirismo e confiança depositada.

Aos meus colegas de laboratório pelo apoio e momentos compartilhados, se tornando minha família durante a pós-graduação e sempre serão muito queridos e lembrados. A todos os professores da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR-CP) pelos conhecimentos e conselhos compartilhados.

Gostaria de agradecer imensamente a minha família, pessoas que são a base da minha vida, sempre me apoiando, incentivando e acreditando na minha capaci-dade.

Agradeço à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo amparo financeiro através da concessão de bolsa de estudo.

Por fim, agradeço a todos que fizeram parte dessa etapa de minha vida. Obrigado!

MARTINS, L. A. Projeto Ótimo Robusto de um Absorvedor Dinâmico de Vibra-ções. 2018. 100f. Dissertação (Mestrado) - Universidade Tecnológica Federal do

Paraná, Cornélio Procópio.

Este trabalho visa o desenvolvimento e aplicação de uma metodologia alternativa para concepção do projeto ótimo robusto de um absorvedor dinâmico de vibrações, técnica passiva de controle de vibrações amplamente utilizada. A finalidade é melhorar o de-sempenho dinâmico do dispositivo sob incertezas paramétricas consideradas no sis-tema primário, as quais são modeladas mediante variáveis aleatórias com distribuição normal. Para a realização da pesquisa, a estrutura de um grau de liberdade foi cons-truída, a qual posteriormente é sintonizada ao absorvedor dinâmico de vibrações. Os parâmetros da estrutura foram identificados através de técnicas de problema inverso. A simulação de Monte Carlo combinado com a amostragem do Hipercubo Latino é usada como solucionador estocástico para avaliar a resposta dinâmica incerta da es-trutura. A análise de sensibilidade é aplicada para determinar os parâmetros incertos mais preponderantes na variabilidade da resposta. A otimização robusta é implemen-tada em conjunto com a simulação de Monte Carlo e solucionada mediante utilização de algoritmo genético multi-objetivo. Os resultados demonstram a significativa influên-cia gerada pelas incertezas no comportamento dinâmico da estrutura. Além disso, o projeto ótimo demonstrou as melhorias obtidas, provando a eficiência da metodologia proposta e apresentando-se como uma alternativa viável para aperfeiçoamento pas-sivo de sistemas mecânicos incertos, reforçando a importância do estudo proposto.

Palavras-chaves: Projeto Ótimo Robusto, Absorvedor Dinâmico de Vibrações,

MARTINS, L. A. Robust Optimum Design of a Dynamic Vibration Absorber. 2018.

100p. Master’s dissertation, Federal University of Technology - Paraná, Cornélio Pro-cópio.

This work aims at the development and application of an alternative methodology for the robust optimum design of a dynamic vibration absorber, which is a widely used passive vibration control technique. The purpose of this works is to improve the dy-namic performance of the device under parametric uncertainties, within in the primary system, that are modeled as random variables with normal distribution. For the accom-plishment of this work, the structure of a degree of freedom was built, which after is tuned to dynamic vibration absorber. The structure parameters were identified through inverse problem techniques. The Monte Carlo Simulation combined with the Latin Hy-percube sampling is used as a stochastic solver to evaluate the structure uncertain dynamic response. The sensitivity analysis is applied in order to determine the most preponderant uncertain parameters in response variability. The robust optimization is implemented ally with the Monte Carlo Simulation and solved using a multiobjective genetic algorithm. The results demonstrate the significant influence of uncertainties on the mechanical system dynamics. Moreover, the optimal design permits to obtai-ned improvements, proving the efficiency of the proposed methodology and presenting itself as a viable alternative for passive improvement of uncertain mechanical systems.

Key-words: Robust Optimum Design, Dynamic Vibration Absorber, Parametric

Figura 1 – Absorvedor de Stockbridge . . . 15

Figura 2 – ADV CitiCorp Center . . . 16

Figura 3 – a) Configuração Clássica. b) Configuração Proposta . . . 22

Figura 4 – ADV amortecido . . . 30

Figura 5 – Classificação dos tipos de problemas . . . 32

Figura 6 – Tipos de desempenhos . . . 39

Figura 7 – Soluções para o problema da viga engastada-livre . . . 42

Figura 8 – Projeto do ADV Solidworks○R _{. . . 46}

Figura 9 – Bancada construída . . . 46

Figura 10 – FRF experimental do sistema primário. . . 47

Figura 11 – Seção transversal da régua . . . 48

Figura 12 – FRF experimental após inserção do ADV . . . 49

Figura 13 – (a) Sistema primário isolado e (b) Sistema massa-mola-amortecedor de um grau de liberdade . . . 51

Figura 14 – Esquema dos procedimentos experimentais . . . 52

Figura 15 – (a) Bancada construída e (b) Sistema massa-mola-amortecedor de dois graus de liberdade. . . 54

Figura 16 – Confiabilidade nas medições do sistema primário . . . 60

Figura 17 – Identificação do sistema primário: (a) FRF completa e (b) Aproxi-mação do pico . . . 62

Figura 18 – Boxplot dos parâmetros identificados: (a) k1 e (b) c1 . . . 63

Figura 19 – Confiabilidade nas medições do ADV . . . 64

Figura 20 – Identificação do ADV: (a) FRF completa e (b) Aproximação dos picos . . . 65

Figura 21 – Boxplot dos parâmetros identificados: (a) k2 e (b) c2 . . . 66

Figura 22 – Análise de convergência . . . 68

Figura 23 – Comportamento incerto no domínio da frequência . . . 68

Figura 24 – Análise de Sensibilidade . . . 69

Figura 25 – Comportamento numérico do sistema no domínio da frequência . . 70

Figura 26 – Frente de Pareto . . . 72

Figura 27 – Soluções escolhidas . . . 73

Figura 28 – Comportamento determinístico das soluções ótimas . . . 74

Figura 29 – Comportamento incerto de s1. . . 75

Figura 30 – Comportamento incerto de s2. . . 76

Figura 31 – Comportamento incerto de s3. . . 76

Figura 32 – Comportamento incerto do design original . . . 77

Figura 36 – Fluxograma GA . . . 93

Figura 37 – Chapa de alumínio . . . 94

Figura 38 – Régua de aço inoxidável . . . 94

Figura 39 – Prisma de aço . . . 95

Figura 40 – Chapa de aço . . . 95

Figura 41 – Cantoneira . . . 96

F₁ Força de excitação no sistema primário x₁ Deslocamento do sistema primário

x2 Deslocamento do ADV

m₁ Massa do sistema primário

m₂ Massa do ADV

k1 Rigidez do sistema primário

k₂ Rigidez do ADV

c₁ Amortecimento do sistema primário

c2 Amortecimento do ADV

H(ω) Comportamento dinâmico do sistema no domínio da frequência µ Razão entre as massas do sistema primário e do ADV

ω1 Frequência natural não amortecida do sistema primário ω2 Frequência natural não amortecida do ADV

f_s Fator de sintonização

g Razão de frequência forçada

(x1)st Deformação estática do sistema primário ζ1 Fator de amortecimento do sistema primário ζ2 Fator de amortecimento do ADV

a₀(θ ) Valor médio do parâmetro incerto δa Dispersão do parâmetro incerto

ξ (θ ) Caracteriza uma função de distribuição normal Y Saída escalar de um determinado modelo {X} Vetor de parâmetros incertos

V(.) Variância de um conjunto de dados

E(.) Média ou esperança de um conjunto de dados Si Coeficiente de Sensibilidade de primeira ordem

N_aval Número total de avaliação de modelo n_s Número de amostras utilizados na MCS k Quantidade de parâmetros incertos {q} Vetor de parâmetros de controle {z} Vetor de parâmetros ruidosos

F_{ob j}(q, z) Conjunto de funções objetivos estabelecidas na otimização robusta r(q, z) Conjunto de restrições

q_L Limite inferior do espaço de projeto qU Limite superior do espaço de projeto

E Módulo de elasticidade

I Momento de inércia

L Comprimento da régua

N_resp Número de respostas aquisitadas F_p Fator de perturbação

Q Função objetivo da identificação dos parâmetros

H(ω, X , θ ) Comportamento dinâmico incerto do sistema no domínio da frequência, obtida através dos parâmetros incertos {X } com distribuição normal θ {Xdet} Vetor de parâmetros determinísticos

H(ω, Xdet) Comportamento dinâmico do sistema no domínio da frequência, obtida através dos parâmetros determinísticos {Xdet}

ωnot Frequência natural não amortecida ótima do ADV

m_2ot Massa ótima do ADV k2ot Rigidez ótima do ADV

c_2ot Amortecimento ótimo do ADV s_n Conjunto de n soluções ótimas Fan Conjunto de n funções de avaliações

ACO Colônia de formigas

ADV Absorvedor dinâmico de vibrações DE Evolução Diferencial

FRF Função de resposta em frequência FRFexp FRF experimental

FRFiden FRF identificada GA Algoritmo Genético gdl Grau de Liberdade

LHS Amostragem de Hipercubo Latino max(.) Máximo de um vetor de dados MCS Simulação de Monte-Carlo

mean(.) Média aritmética de um vetor de dados min(.) Mínimo de um vetor de dados

PSO Enxame de Partículas

RMS Valor Eficaz, do inglês Root Mean Square

RO Otimização Robusta

SO Otimização Estocástica

SWOT Abreviação para: Forças (Strengths), Fraquezas (Weaknesses), Oportunidades (Opportunities) e Ameaças (Threats)

1 INTRODUÇÃO. . . 14 1.1 APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA. . . 16 1.2 JUSTIFICATIVAS . . . 17 1.3 OBJETIVOS . . . 18 1.3.1 Objetivo Geral . . . 18 1.3.2 Objetivos Específicos . . . 19 1.4 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO . . . 19 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA . . . 21

2.1 ABSORVEDORES DINÂMICOS DE VIBRAÇÕES . . . 21

2.2 ANÁLISE DE INCERTEZAS . . . 23

2.3 OTIMIZAÇÃO ROBUSTA . . . 26

3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA . . . 29

3.1 ABSORVEDORES DINÂMICOS DE VIBRAÇÕES . . . 29

3.2 PROBLEMA INVERSO APLICADO À IDENTIFICAÇÃO DE PARÂMETROS 31 3.3 ANÁLISE DE INCERTEZAS . . . 33 3.3.1 Simulação de Monte-Carlo . . . 34 3.3.2 Análise de Sensibilidade. . . 35 3.4 OTIMIZAÇÃO ROBUSTA . . . 37 3.4.1 Otimização Multi-objetivo . . . 40 3.4.2 Frente de Pareto . . . 41 3.4.3 Algoritmos Evolutivos . . . 43 4 METODOLOGIA . . . 45

4.1 PROJETO E CONSTRUÇÃO DO ADV . . . 45

4.2 IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS . . . 50

4.3 ANÁLISE DE INCERTEZAS . . . 54

4.4 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE. . . 56

4.5 OTIMIZAÇÃO ROBUSTA . . . 57

5 RESULTADOS. . . 60

5.1 IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS . . . 60

5.2 ANÁLISE DE INCERTEZAS . . . 67

5.3 OTIMIZAÇÃO ROBUSTA . . . 70

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . 81

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . 83

APÊNDICE A – EVOLUÇÃO DIFERENCIAL . . . 88

APÊNDICE B – ALGORITMO GENÉTICO . . . 91

APÊNDICE C – COMPONENTES DA ESTRUTURA . . . 94

1 INTRODUÇÃO

Com o avanço da tecnologia, a indústria demanda cada vez mais eficiência e confiabilidade em sistemas e equipamentos mecânicos. Dessa forma, uma das mai-ores preocupações tem sido a presença, cada vez maior de problemas causados por vibrações, os quais comprometem o rendimento e a segurança desses equipamentos, implica no desgaste prematuro de equipamentos, e consequentemente, proporciona um significativo aumento no custo de manutenção. A exposição do homem a vibra-ções também pode causar insalubridade, resultando em dores, desconfortos e quedas significativas de rendimento (RAO, 2009b).

Dessa forma, técnicas de controle de vibrações são utilizadas a fim de garantir o funcionamento seguro e eficiente de sistemas e equipamentos mecânicos. Tais téc-nicas podem ser divididas em duas categorias: Téctéc-nicas de Controle Ativo e Téctéc-nicas de Controle Passivo. Há também as técnicas semi-ativas, capazes de aliar a confiança e a simplicidade típicas de sistemas passivos à adaptabilidade dos sistemas ativos.

As técnicas de controle ativo tratam-se de uma maneira eficiente de atenuar vibrações, uma vez que são capazes de rápida adaptação às alterações ambientais e/ou operacionais. Esse tipo de técnica exige a concepção e ajuste de uma rotina capaz de, a partir da informação sobre o estado atual da estrutura, calcular e aplicar rapidamente correções de modo a manter o sistema estável. Para isso, são neces-sários sistemas de sensoriamento, realimentação e atenuação. Essa exigência gera, por consequência, um custo computacional e financeiro demasiadamente alto, o que muitas vezes impossibilita sua utilização.

Em alternativa, as técnicas de controle passivo fazem parte de um grupo de técnicas tradicionais de redução de vibrações que consistem em realizar modifica-ções nas características dinâmicas do sistema (massa, rigidez e/ou amortecimento) de maneira a reduzir as vibrações e aumentar a estabilidade do mesmo (KOROISHI, 2013). Dentre as técnicas de controle passivo, destaca-se o absorvedor dinâmico de vibrações (ADV), técnica escolhida para ser estudada e trabalhada no presente

traba-lho devido seu potencial consolidado na indústria, possuindo ampla aplicabilidade em diferentes áreas, algumas bastantes conhecidas.

Os ADVs também chamados de neutralizadores de vibrações ou ainda amor-tecedores de massa sintonizados, são apêndices mecânicos que consistem em ele-mentos de inércia, rigidez e amortecimento que, uma vez ligados a uma dada estrutura ou máquina (muitas vezes chamado de sistema primário), são capazes de absorver a energia de vibração (VIANA, 2008). Desde a sua invenção por Frahm no início do século XX, esse tipo de equipamento tem sido amplamente utilizado para atenuar vi-brações em diversos tipos de sistemas mecânicos, como em vigas sujeitas a cargas dinâmicas (SAMANI; PELLICANO; MASOUMI, 2013), estabilização do movimento cir-cular (também chamado de rolo) de navios sob diversas excitações (EISSA; KAMEL; EL-SAYED, 2010) e atenuação do efeito de cargas e excitações em pontes treliçadas (DEBNATH; DEB; DUTTA, 2016).

Uma das aplicações mais conhecidas de ADV é o chamado absorvedor de Stockbridge, muito utilizado na redução de vibrações induzidas pelo vento em linhas de transmissão aéreas, cabos de pontes e postes elétricos (BARRY; ZU; OGUAMA-NAM, 2015). O dispositivo é apresentado na Figura 1.

Figura 1 – Absorvedor de Stockbridge

Fonte – Adaptado de Barry, Zu e Oguamanam (2015)

Outra aplicação de ADVs na engenharia trata-se do projeto Citicorp Center, um prédio de escritórios de 279 m de altura localizado em Nova York. O mecanismo possui cerca de 360 toneladas e foi desenvolvido para suprimir, principalmente, a contribuição do primeiro modo de vibração em oscilações induzidas pelo vento

(BAT-TISTA; CARVALHO; SOUZA, 2008). A Figura 2 apresenta um esquema do meca-nismo.

Figura 2 – ADV CitiCorp Center

Fonte – Adaptado de (BATTISTA; CARVALHO; SOUZA, 2008)

1.1 APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA

Normalmente, os ADVs são adicionados em sistemas existentes, muitas ve-zes como parte de uma ação preventiva de um problema. Há também situações em que o apêndice é incluído como parte indispensável do projeto original, assim como no caso do CitiCorp Center. Contudo, a aplicabilidade desse tipo de equipamento é diretamente dependente do conhecimento do problema em questão, tornando-o extre-mamente limitado as características das quais ele fora projetado. Essa limitação é um dos motivos que têm diminuído a aplicação dos ADVs setor industrial e acadêmico, fazendo com que as técnicas de controle ativo ganhem espaço, mesmo que estas apresentem custos de implementação e de operação demasiadamente altos.

dis-positivo volte a ser uma opção viável, tornando-o competitivo em relação as técnicas atualmente utilizadas para o controle de vibrações, tem sido o alvo de vários pesquisa-dores. Nos trabalhos apresentados recentemente na literatura, diferentes abordagens, como a utilização de novas tecnologias e princípios de técnicas ativas (NAMBU; YA-MAMOTO; CHIBA, 2014; SAYYAD; GADHAVE, 2014), emprego de materiais inteligen-tes (SHEN et al., 2016) ou até mesmo modificações nas configurações consideradas clássicas (ISSA, 2012), têm sido aplicadas para obter resultados promissores em suas respectivas pesquisas.

Além disso, há também pesquisas que se preocupam com as variações ori-ginadas de condições incertas de operação, propondo metodologias para atenuação das mesmas. Para isso, uma solução comumente utilizada é a concepção do pro-jeto ótimo robusto do ADV. Dessa forma, diversos trabalhos são desenvolvidos nesse sentido, como exemplos, é possível citar: Silva, Cavalini e Steffen (2016), Mrabet et al. (2015), Venanzi (2015), Yu, Gillot e Ichchou (2013), Zhang, Shi e Mehr (2011) e Chakraborty e Roy (2011).

Nesse contexto, o presente trabalho consistiu no desenvolvimento de uma me-todologia alternativa para a concepção do projeto ótimo robusto do ADV considerando incertezas paramétricas. O objetivo é melhorar o desempenho do dispositivo, assim como suas características de robustez. Dessa forma, incertezas são consideradas nos parâmetros da estrutura, chamado de sistema primário. A ideia é simular mo-dificações que podem ocorrer durante a operação de um determinado equipamento. Para realização do estudo, uma estrutura foi construída, e posteriormente, a mesma poderá ser utilizada para fins didáticos pela Universidade Tecnológica Federal do Pa-raná, Câmpus Cornélio Procópio (UTFPR-CP).

1.2 JUSTIFICATIVAS

O ADV poderia ser visto como uma das melhores opções para lidar com pro-blemas de vibrações em equipamentos por se tratar de uma técnica de atenuação de

vibrações passiva, a qual dispensa a utilização de uma eletrônica (sensores, atenua-dores e um sistema de acompanhamento em tempo real) o que normalmente implica em um custo financeiro e computacional muito elevado. Contudo, isso não acontece visto que esse tipo de controle possui baixíssima robustez e eficiência limitada.

Dessa forma, tendo em vista o grande potencial e a alta flexibilidade de apli-cação que ADVs possuem, fazem com que os mesmos sejam alvo de constantes pesquisas. Para isto, novos desenvolvimentos nesta área são necessários para fazer frente às limitações descritas anteriormente a fim de tornar o ADV uma opção alta-mente viável no momento da seleção da técnica a ser utilizada. Nessa perspectiva, esse cenário se apresenta particularmente vantajoso de ser explorado na presente pesquisa.

Portanto, é necessário o desenvolvimento de uma metodologia alternativa, ca-paz de contemplar alguns aspectos fundamentais para a concepção do projeto ótimo robusto de um ADV (SILVA; CAVALINI; STEFFEN, 2016; YANG; ZHU, 2015; BOR-GES; LIMA; STEFFEN, 2010). As condições variáveis de operação produzem varia-ções nos parâmetros geométricos e mecânicos das estruturas. Estas variavaria-ções são modeladas como incertezas (CAVALINI et al., 2017; BRAKE, 2014; KOROISHI et al., 2012). Além disso, a análise de sensibilidade deve ser realizada com o objetivo de determinar os parâmetros incertos mais preponderantes, fornecendo informações va-liosas capazes de auxiliarem na projeto ótimo robusto (BORGONOVO; PLISCHKE, 2016; LARA-MOLINA et al., 2015; SALTELLI et al., 2010).

1.3 OBJETIVOS

1.3.1 Objetivo Geral

O presente trabalho tem como objetivo desenvolver uma metodologia alterna-tiva para a análise e projeto ótimo robusto de um absorvedor dinâmico de vibrações (ADV) sujeito a incertezas. A finalidade é minimizar a influência de incertezas no

com-portamento dinâmico do dispositivo ao mesmo tempo em que seu desempenho médio é aperfeiçoado.

1.3.2 Objetivos Específicos

∙ Desenvolver o projeto mecânico da estrutura a ser estudada e construí-la de acordo com as especificações determinadas.

∙ Modelar computacionalmente o ADV e implementar sua simulação numérica a fim de obter um modelo determinístico.

∙ Identificar o amortecimento e a rigidez da estrutura mediante um procedimento experimental baseado em problemas inversos.

∙ Investigar o efeito das incertezas associadas aos parâmetros do sistema primário no ADV mediante análise de incertezas e análise de sensibilidade.

∙ Aplicar a metodologia proposta no projeto ótimo robusto do ADV.

∙ Analisar os resultados obtidos mediante dados experimentais e simulação com-putacional.

1.4 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

Após a introdução realizada no capítulo 1, o presente trabalho é composto por outros seis capítulos. O capítulo 2 dedica-se a uma revisão bibliográfica, na qual diversos trabalhos relacionados ao tema proposto são revisados. No capítulo 3, a fundamentação teórica dos conceitos utilizados é apresentada, o capítulo conta com seções referentes a ADVs, problemas inversos aplicados na identificação de parâme-tros, análise de incertezas e otimização robusta. A seguir, no capítulo 4, a metodologia utilizada na execução da pesquisa é exposta, apontando em detalhes todos os proce-dimentos, considerações e métodos realizados. Em seguida, o capítulo 5 é

respon-sável pela apresentação dos resultados obtidos, contando com análise e discussão dos mesmos. Finalmente, no capítulo 6 as conclusões são apresentadas, contando com análise dos resultados, da metodologia empregada e perspectiva para trabalhos futuros.

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Nesse capítulo, diversos trabalhos relacionados aos temas presentes na pes-quisa são abordados. Dessa forma, essa revisão bibliográfica conta com os seguintes tópicos: Absorvedores Dinâmicos de Vibrações, Análise de Incertezas e Otimização Robusta.

2.1 ABSORVEDORES DINÂMICOS DE VIBRAÇÕES

Tendo em vista a limitação apresentada por ADVS, conforme discutido ante-riormente, alguns trabalhos têm sido desenvolvidos no sentido de contornar essas limitações. Dessa forma, alguns desses trabalhos são apresentados, comentando as diversas abordagens utilizadas e alguns dos resultados encontrados pelos autores, muitas vezes promissores.

Buscando soluções para o problema da limitação, alguns autores vêm pro-pondo métodos e abordagens diferentes, como exemplo é possível citar o trabalho de Issa (2012), onde uma configuração alternativa para ADVs é proposta. Na nova confi-guração, o ADV consiste dos mesmos elementos convencionais: elementos de inércia, rigidez e amortecimento. Contudo, agora o mesmo é anexado de forma a separar o sistema primário do suporte fixo, ao contrário do que acontece na configuração tradi-cional onde o sistema primário é sempre fixo. A nova configuração é apresentada na Figura 3. Além disso, a pesquisa ainda se preocupou em determinar os parâmetros ótimos do ADV. Os resultados são comparados com o modelo clássico, onde pode-se notar uma melhora significativa na eficiência, entretanto, o autor notou que a eficiência do ADV proposto diminui com o aumento do amortecimento do sistema primário, se tornando inadequado para sistemas primários altamente amortecidos.

Recentemente, Shen et al. (2016) propuseram em seu trabalho outro tipo de solução, através de uma abordagem atípica. O trabalho sugere um tipo de ADV com rigidez negativa, como explicado pelos autores, quando a rigidez é positiva, a

defor-Figura 3 – a) Configuração Clássica. b) Configuração Proposta Fonte – Adaptado de Issa (2012)

mação ocorre no mesmo sentido com que a força externa é aplicada, contudo, quando a rigidez é negativa a deformação ocorre no sentido oposto. A solução para o sistema é obtida com base na equação do movimento estabelecida para o modelo proposto. São encontrados três pontos fixos na Função de Resposta em Frequência (FRF) do sistema, e utilizando a teoria de ponto fixo, a relação de rigidez ótima é encontrada. Buscando minimizar os picos da FRF através da razão de amortecimento ótima, o princípio de otimização H∞ é aplicado. Comparações com outras três configurações tradicionais de ADVs são realizadas e mostram como o ADV proposto é capaz de apre-sentar melhor eficiência na absorção de vibrações. Os autores ainda afirmam que os resultados poderiam fornecer base teórica suficiente para concepção de parâmetros ótimos em ADVs semelhantes.

Em trabalhos recentes, os autores vêm aplicando diferentes tecnologias para aprimorar o ADV, fazendo inclusive, com que o mesmo deixe de ser apenas uma téc-nica passiva. Como exemplo, Nambu, Yamamoto e Chiba (2014) ressaltam a alta apli-cabilidade do ADV em sistemas estabilizados por tensões, como pontes por exemplo. Esse tipo de estrutura é predominantemente formado por cabos, onde normalmente são detectadas micro vibrações, difíceis de controlar, uma vez que a deformação é quase perpendicular à direção da vibração. Sabendo da falta de robustez inerente a ADVs, um novo tipo, considerado pelos autores como inteligente é proposto. O

ADV inteligente possui um pequeno sistema formado com transdutor piezoelétrico, transformando-o em um ADV ativo, auto sensível. Um método baseado no filtro de Kalman é utilizado para estimar os valores do estado do sistema. O material pie-zoelétrico é então utilizado como atuador. Os resultados experimentais e numéricos obtidos demonstram que o ADV inteligente proposto pelos autores, se comparado com o clássico, foi capaz de suprimir as vibrações de forma mais eficiente e robusta.

Outro exemplo de trabalho que buscou adaptar o ADV utilizando princípios de técnicas ativas foi desenvolvido por Sayyad e Gadhave (2014). O estudo visou o de-senvolvimento de um ADV com rigidez magnética, capaz de variar seu valor nominal e se adaptar as alterações, conforme a necessidade. Os autores explicam que essa rigidez segue o mesmo princípio da rigidez magnética utilizada para fins passivas, composto por três imãs, onde a rigidez pode ser variada conforme a distância entre esses imãs. Dessa forma, uma relação entre a rigidez e a distância dos imãs é esta-belecida. Um estudo experimental aplicando o ADV proposto para suprimir o primeiro modo de vibrar em uma viga é realizado. Os resultados demonstram uma excelente eficiência na redução de vibrações para excitações próximas da frequência natural. Por fim, os autores concluem ressaltando a versatilidade do ADV magnético, tendo em vista que o mesmo pode ser facilmente modificado de forma a atender sistemas com excitações variáveis.

2.2 ANÁLISE DE INCERTEZAS

A crescente competitividade na indústria alimenta a necessidade do desen-volvimento de modelos numéricos capazes de representar as variações que eventu-almente ocorrem no ambiente de trabalho de máquinas e equipamentos. O objetivo é analisar simulações sujeitas a tais condições, possibilitando predizer o comporta-mento desses sistemas quando submetidos a situações reais, concedendo segurança e confiabilidade ao sistema real.

varia-ções, que inevitavelmente estão presentes em qualquer ambiente de trabalho real é através de incertezas. Portanto, é de extrema importância conhecer as características das mesmas as quais o sistema é exposto, visando assim analisá-las e quantificá-las de maneira correta. Atendendo a essa necessidade, várias contribuições abordam este assunto.

Assim, Pascual e Adhikari (2012) buscaram classificar as classes de incerte-zas e afirmam que as mesmas podem ser divididas em dois tipos distintos: as pa-ramétricas e as não papa-ramétricas. Segundo os autores, as incertezas papa-ramétricas são introduzidas diretamente nos valores determinísticos das propriedades físicas do sistema, como por exemplo, módulo de elasticidade ou coeficiente de Poisson. Esse tipo de incerteza pode ser descrito utilizando teorias de probabilidade e modeladas usando um campo aleatório. Já as incertezas não paramétricas requerem algumas etapas bastante trabalhosas para ser caracterizadas: onde é necessário identificar os parâmetros aleatórios, descrever suas respectivas probabilidades e ainda mapeá-los nas matrizes do sistema em questão.

Os autores Oberkampf et al. (2004) relataram ainda um terceiro tipo de in-certeza, denominada como epistémica, caracterizada pela informação incompleta ou o conhecimento incompleto de algumas das características do sistema e/ou do meio que o mesmo é submetido, dessa forma, ela pode ser reduzida com a aquisição des-sas informações.

Dessa forma, devido às dificuldades de caracterização e modelagem que as incertezas não paramétricas apresentam, fazem com que as incertezas do tipo para-métrica sejam mais atrativas e consequentemente mais utilizadas para modelagens de sistemas incertos. Há também trabalhos que se preocuparam em estudar as incer-tezas do tipo epistémica.

Como exemplo, Brake (2014) traz em seu trabalho um estudo muito interes-sante a respeito da influência de incertezas epistêmica e paramétricas na escolha da simplificação do modelo. No estudo, seis tipos de modelos de contatos são abordados. As diferenças nos modelos de contato são assumidas como uma forma de incerteza

epistêmica, enquanto as incertezas paramétricas foram inseridas nas dimensões ge-ométricas e na força de excitação. Através dos resultados dinâmicos o autor foi capaz de notar a significativa influência da incerteza epistémica e como a mesma influencia de maneira distinta da paramétrica. Os resultados ressaltam a importância do estudo. Diversas metodologias são empregadas no estudo e análise de sistemas me-cânicos incertos. Como por exemplo Guerine et al. (2016), utilizaram a expansão em polinômio do caos para determinar a resposta dinâmica de um sistema de en-grenagem espiral com incertezas associadas ao coeficiente de atrito no contato dos dentes. Esse tipo de metodologia fornece uma estrutura matemática capaz de separar os componentes estocásticos dos determinísticos da resposta de um sistema incerto. Além disso, o método demonstra alta eficiência em sistemas com poucas variáveis aleatórias.

Outra alternativa muito utilizada é a lógica fuzzy, metodologia capaz de des-crever informações incompletas ou imprecisas. Dessa forma, Cavalini et al. (2017) utilizaram essa metodologia para analisar como o comportamento dinâmico de um rotor flexível é influenciado pela presença de incertezas na distância radial dos rola-mentos e na viscosidade real do óleo. Os autores afirmam que essa metodologia se prova adequada, uma vez que o processo estocástico que caracteriza as incertezas é desconhecido.

Contudo, as incertezas paramétricas são tipicamente modeladas utilizando abordagens probabilísticas, mediante o uso de variáveis aleatórias as quais possuem, principalmente, função de densidade de probabilidade normal. Nesse cenário, méto-dos são utilizaméto-dos para realizar as simulações numéricas desses modelos. Um mé-todo largamente utilizado é a simulação de Monte Carlo (MCS - do inglês Monte Carlo Simulation), o qual é baseada em amostragens aleatórias massivas, empregadas na obtenção de resultados numéricos. Os autores Lara-Molina et al. (2015) utilizaram a MCS para analisar o comportamento dinâmico de um manipulador completamente paralelo de 6 graus de liberdade (gdl) quando sujeito a incertezas paramétricas. Os resultados demonstram a significativa influência das incertezas, reforçando a

impor-tância do estudo. A metodologia se mostrou satisfatória. O trabalho conta ainda com uma análise de sensibilidade.

Há ainda trabalhos que fazem uso da análise de sensibilidade, ferramenta capaz de avaliar e quantificar os parâmetros críticos em determinada resposta. Zhao, Yan e Wu (2014), por exemplo, utilizaram a ferramenta para identificar e quantificar quais parâmetros apresentam maior influência na confiabilidade da precisão de um manipulador espacial, para que posteriormente os mesmos sejam otimizados. Para tal análise, a regressão normal utilizada nos métodos de superfície de resposta são substituídos por uma regressão ponderada que prioriza os pontos próximos do estado limite.

Um uso interessante da análise de sensibilidade é aplicá-la em análises esto-cásticas com o objetivo de identificar quais parâmetros incertos mais contribuem para a variabilidade da resposta. Além dos autores Lara-Molina et al. (2015) que utilizaram a ferramenta com essa finalidade, é possível citar os autores Yazdani et al. (2017), que fizeram uso semelhante. Neste trabalho, a análise de sensibilidade é utilizada para avaliar a contribuição de diferentes fontes de incertezas, das quais incluem vari-ações no movimento no solo e propriedades estruturais na variabilidade da resposta inelástica de estruturas de concreto. Uma metodologia baseada na entropia de res-posta é empregada na realização dessa análise.

2.3 OTIMIZAÇÃO ROBUSTA

Conforme apresentado anteriormente, visando uma simulação mais condi-zente com a realidade, incertezas devem ser levadas em consideração no desen-volvimento de modelos numéricos. E a partir desse assentimento, técnicas e métodos surgem para modelar, analisar e avaliar como as incertezas afetam o comportamento de sistemas sujeitos a tais. Alguns exemplos foram apresentados anteriormente. En-tretanto, há também técnicas engajadas na atenuação do problema de incertezas, buscando aperfeiçoamentos de sistemas incertos. Nesse contexto, a otimização

ro-busta (RO - do inglês Optimization Robust) pode ser incluída.

A otimização robusta é um processo que consiste na busca simultânea da redução dos efeitos das incertezas e na melhora do desempenho do processo, con-tudo, não se preocupa com a eliminação da fonte de incertezas. O procedimento é amplamente aplicado em otimizações estáticas, de gênero estrutural, um exemplo é encontrado no trabalho dos autores Sun et al. (2015). No mesmo, os autores apli-caram a otimização robusta em uma estrutura híbrida, composta de aço e alumínio, amplamente utilizada pela indústria automotiva e aeroespacial. Incertezas são con-sideradas e o crashworthiness, referente a capacidade da estrutura proteger os seus ocupantes durante um impacto foi investigado. Para isso, dois objetivos são conside-rados: aumentar a força máxima suportada e a absorção específica de energia. Para implementação da RO um algoritmo de otimização baseado na sucessiva abordagem de Taguchi para design em espaço discreto é apresentado. Os resultados demonstra-ram como os indicadores escolhidos tivedemonstra-ram seu desempenho e robustez melhorados expressivamente.

Há diversos outros trabalhos na literatura em que a RO foi utilizada para pósitos semelhantes. No entanto, existem também trabalhos em que os autores pro-puseram aplicar o método em otimizações de sistemas dinâmicos.

Os autores Zang, Friswell e Mottershead (2005), por exemplo, ressaltaram a vasta aplicação do método em otimizações estruturais estáticas e provaram que a mesma também pode ser utilizada em sistemas dinâmicos. Para tal, a RO foi aplicada em um ADV incerto mediante uma abordagem não-linear. Os resultados numéricos demonstraram a melhoria obtida, provando o grande potencial que o método possui se aplicado para fins dinâmicos. Vale ressaltar que o trabalho ainda conta com uma vasta revisão a respeito da RO, trazendo informações valiosas de como implementá-la.

Outro exemplo de aplicação da RO para fins dinâmicos é trazido pelos auto-res Yang e Zhu (2015). No trabalho desenvolvido por eles, a RO foi aplicada na es-trutura responsável pela sustentação de torres e turbinas eólicas a qual é sujeita por incertezas modeladas como variáveis aleatórias com distribuição normal. O objetivo

foi a redução do peso estrutural bem como a inerente variação causada pelo vento, visando assim operação estável. A seleção dos parâmetros a serem otimizados foi realizada a partir de uma análise de sensibilidade. A robustez das soluções obtidas foi verificada mediante uma análise de confiabilidade realizada através de simulações de Monte Carlo. Os resultados foram comparados com outros obtidos através de oti-mizações determinísticas e demonstram como o desvio padrão obtidos pela RO é consideravelmente menor, gerando maior confiabilidade.

3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Neste capítulo será apresentada a fundamentação teórica dos temas aborda-dos no presente trabalho, expondo os métoaborda-dos e conceitos utilizaaborda-dos no desenvolvi-mento do mesmo. Assim, o mesmo está organizado da seguinte forma: absorvedores dinâmicos de vibrações, problema inverso aplicado à identificação de parâmetros e análise de incertezas, e por fim, otimização robusta.

3.1 ABSORVEDORES DINÂMICOS DE VIBRAÇÕES

Conforme apresentado anteriormente, ADVs são mecanismos constituídos por elementos de inércia, rigidez e amortecimento, que uma vez fixados a uma es-trutura, chamado pela literatura como sistema primário, são capazes de atenuar as vibrações para uma determinada banda de frequência. Consequentemente, o sis-tema primário pode ser protegido de elevados níveis de vibrações. Assim, o conceito por trás do funcionamento do ADV é a geração de uma força de mesma intensidade da força de excitação, porém com fase oposta, esse fenômeno é chamado de anti-ressonância (VIANA et al., 2008).

Na prática, o ADV é indicado para sistemas que a frequência da força de per-tubação é próxima da frequência natural do sistema primário, assim, quando o ADV é adicionado, o efeito da anti-ressonância faz com que a amplitude de vibração do sis-tema primário desapareça, evitando que efeitos da ressonância ocorra. Contudo, duas novas frequências naturais são adicionadas ao sistema (SILVA; CAVALINI; STEFFEN, 2016).

No entanto, as frequências naturais do sistema primário e do ADV, quando consideradas isoladamente devem ser extremamente próximas para que a técnica seja eficiente (RAO, 2009b). Para isso, as propriedades mecânicas e geométricas do ADV são escolhidas cuidadosamente, esse processo é chamado de sintonização do ADV.

Nas aplicações, os ADVs podem ser encontrados nas mais diversas configu-rações sendo aplicados para atenuar vibconfigu-rações lineares e angulares. A configuração mais comum é o ADV não amortecido, o qual é constituído apenas de elementos de inércia e rigidez, esse tipo de mecanismo pode ser facilmente sintonizado ao sis-tema primário, contudo, perde significativa eficiência quando alterações ocorrem na frequência de excitação. Dessa forma, quando o ADV também apresenta elemento de amortecimento, o mesmo é chamado de amortecido, apresentando melhor eficiência para situações atípicas, isto é, em situações para qual o ADV não foi projetado. Dessa forma, embora o ADV seja responsável pela adição de duas novas frequências natu-rais, para essa configuração, as mesmas são amortecidas, acrescentando segurança e confiabilidade de aplicações para o mesmo (SUN; JOLLY; NORRIS, 1995).

Assim como inúmeros sistemas mecânicos, o ADV é normalmente modelado e analisado no domínio da frequência, uma vez que todas as características dinâmicas necessárias estão presentes nesse cenário. Assim, Steffen e Rade (2001) apresenta-ram uma metodologia para modelagem do ADV amortecido no domínio da frequência, representado pela Figura 4.

Figura 4 – ADV amortecido

Fonte – Adaptado de Steffen e Rade (2001)

As componentes m2, k2 e c2 representam a massa, rigidez e amortecimento do ADV, respectivamente, enquanto m1, k1 e c1 representam os mesmos parâmetros do sistema primário, F1 representa uma excitação por uma força no sistema primário, F₂uma excitação por outra força aplicada no ADV, x1e x2denotam o deslocamento no sistema primário e no ADV, respectivamente. Dessa forma, a modelagem no domínio

da frequência do sistema apresentado na Figura 4, proposta pelos autores é dada pela relação entre o deslocamento (x1) e o deslocamento estático (x1st) do sistema primário, denotado por H(ω), apresentado pela equação (3.1). Essa modelagem fornece o comportamento adimensional do sistema em relação a uma frequência de excitação, denotada ω.     x1 x_1st     = |H(ω)| = s (2ζ2g)2+ (g2− fs2)2 [2ζ2g(1 − g2− µg2) + 2ζ1µ g( fs2− g2)]2+ [µ fs2g2− (g2− 1)(g2− fs2)]2 (3.1) Onde as componentes da equação são: µ =pm₂/m₁, relação entre as mas-sas; ω2=

p

k2/m2, frequência natural não amortecida do ADV; ω1= p

k1/m1, frequên-cia natural não amortecida do sistema primário; fs = ω2/ω1, fator de sintonização; g= ω/ω1, razão de frequência forçada; (X1)st= F1/k1, deformação estática do sistema primário; ζ2 = c2/2m2ω1, fator de amortecimento do ADV e ζ1 = c1/2m2ω1, fator de amortecimento do sistema primário.

3.2 PROBLEMA INVERSO APLICADO À IDENTIFICAÇÃO DE PARÂMETROS

Vários estudos são dedicados ao desenvolvimento e concepção de simula-ções numéricas que representam o comportamento dinâmico e estrutural de sistemas e equipamentos mecânicos fieis ao modelo real. O objetivo é fazer com que as simu-lações se comportem de forma similar a quaisquer mudanças realizadas no modelo real. Dessa forma, esses estudos visam, através dessas simulações, viabilizar aplica-ções práticas no modelo real, reduzindo ou até eliminando a probabilidade de colapso estrutural proveniente de eventuais condições críticas de operação, concedendo ao projeto confiabilidade e segurança (BORGES; GUIMARÃES; CARVALHO, 2014).

Diante disso, para que as simulações numéricas sejam eficientes e se com-portem de maneira similar ao sistema real, é indispensável que as propriedades físicas da estrutura (massa, rigidez e amortecimento) sejam estimadas de maneira correta. Nesse sentido, o emprego de técnicas de problema inverso ganha força, se

apresen-tando como uma alternativa viável, capaz de atender essa necessidade. A Figura 5 apresenta o conceito dessas técnicas.

Figura 5 – Classificação dos tipos de problemas Fonte – Adaptado de Viana (2008)

Segundo Santos, Chiwiacowsky e Velho (2014) o problema direto de identi-ficação é caracterizado pelo conhecimento das entradas (características estruturais e condições complementares, como condições iniciais e de contorno), tendo como respostas dados no domínio do tempo ou no domínio da frequência. Por outro lado, um problema inverso se apresenta quando dados de observação já são conhecidos, recolhidos através de sensores de precisão, além do conhecimento das condições complementares do seu sistema, e deseja-se estimar os valores das características estruturais. Um problema inverso de identificação de sistemas pode ser resolvido atra-vés do emprego de técnicas heurísticas de otimização, onde o objetivo é definido como a minimização da diferença entre os valores experimentais mensurados e os obtidos via modelo numérico.

Os métodos de otimização e busca heurística são baseadas nos princípios e modelos de evolução biológica desenvolvidas no século XIX, quando Darwin (1809-1882) observou a adaptação e adequação dos seres vivos as suas necessidades, dando origem a teoria evolucionista denominada “sobrevivência dos mais aptos”. La-marck (1744-1829) também realizou estudos semelhantes. Análogo ao processo evo-lutivo natural, esses algoritmos desenvolvem conjuntos de soluções potenciais, na qual competem entre si em busca da solução ótima do problema (LOBATO, 2008). Uma notável vantagem apresentada por esse tipo de técnica se dá ao fato das mes-mas não necessitarem que suas funções objetivas apresentem continuidade e

dife-renciação, oferecendo assim campos de aplicação mais amplos (ZOU et al., 2013). Como exemplos de técnicas heurísticas de otimização é possível citar: Algo-ritmo Genético (GA), Colônia de formigas (ACO), Evolução Diferencial (DE), Enxame de Partículas (PSO), entre outras (VIANA, 2008). A técnica de otimização DE foi esco-lhida para ser utilizada no presente trabalho, uma vez que possui poucas variáveis de controle, facilitando a ajustagem e utilização por usuários iniciantes para a aplicação de interesse. Além disso, a técnica apresenta rápida convergência. O apêndice A traz mais informações a respeito da técnica de otimização escolhida.

3.3 ANÁLISE DE INCERTEZAS

Uma grandeza física experimental normalmente é determinada a partir de uma medição, o qual facilmente pode ser influenciada pelas mais diversas formas, como por exemplo: perturbações ambientais, equipamentos descalibrados ou até mesmo propriedades físicas e geométricas incorretas, gerando assim a incerteza (VUOLO, 2000).

As incertezas por sua vez, podem comprometer o funcionamento seguro e efi-ciente de sistemas mecânicos. Assim, a fim de satisfazer as necessidades industriais, que demandam de sistemas e equipamentos mecânicos que oferecem alta confia-bilidade e robustez às condições ambientais, faz-se necessário o desenvolvimento de modelos numéricos mais realistas, que sejam capazes de considerar de forma adequada essas incertezas nos parâmetros e nas entradas desses sistemas (LARA-MOLINA; KOROISHI; STEFFEN, 2014).

Conforme discutido anteriormente, uma metodologia amplamente utilizada para esse propósito, é através de incertezas paramétricas, comumente modeladas medi-ante a teoria de variáveis aleatórias com distribuição normal, permitindo assim, ser completamente descrita pela média e seu desvio padrão.

Dessa forma, os autores Lara-Molina et al. (2015) apresentaram em seu traba-lho uma maneira de modelar as incertezas paramétricas seguindo essa metodologia,

o qual é apresentada pela equação (3.2).

a₀(θ ) = a0+ a0δaξ (θ ) (3.2)

Onde, a0representa o valor médio do parâmetro incerto, δarepresenta o grau de dispersão e ξ (θ ) é a variável aleatória normal com θ sendo o processo aleatório. A mesma metodologia de modelagem foi utilizada no presente trabalho, combinados com a simulação de Monte Carlo (MCS) e o Hipercubo Latino.

3.3.1 Simulação de Monte-Carlo

O nome é uma referência à cidade de Monte Carlo, no principado de Mônaco, famosa por seus casinos. Segundo Hromkoviˇc (2013) qualquer algoritmo randomi-zado cujas saídas podem ser consideradas como variáveis aleatórias é denominado como sendo um algoritmo de Monte Carlo. Um algoritmo randomizado por sua vez, pode ser entendido como um conjunto de algoritmos determinísticos, dos quais um é selecionado aleatoriamente para ser utilizado. Dessa forma, a ideia por trás da MCS é repetir esse processo sucessivamente para um elevado número de vezes, tornando possível o cálculo da variabilidade da resposta através de ferramentas estatísticas.

A MCS também pode trabalhar de forma inversa, permitindo ser aplicada a um sistema como um estimador de incertezas, fornecendo sucessivos resultados que seguem o comportamento de números aleatórios, capazes de representar com rea-lismo o intervalo de incerteza dos parâmetros incertos do sistema (PAPADOPOULOS; YEUNG, 2001).

Devido a simplicidade e robustez, o método tem sido muito utilizado nas mais diversas áreas, contando com aplicações em física, decisões em economia e diversas aplicações na engenharia, é claro. Em alguns casos o método também é utilizado como verificador de soluções de outras técnicas analíticas. Contudo, a precisão do método está diretamente ligada ao número de amostras requeridas e a grande limi-tação é justamente o custo computacional exigido na mesma proporção que esse

número aumenta (RUBINSTEIN; KROESE, 2016).

Diante disso, faz-se necessário o uso de técnicas capazes de reduzir esse custo computacional necessário para que a MCS seja realizada, como candidatos, surgem as técnicas de meta-modelos e a amostragem de hipercubo latino.

O uso de meta-modelos (do inglês meta-model ou ainda surrogate model) é uma alternativa bastante utilizada. A ideia é substituir o modelo computacional, muitas vezes complexo, cuja solução levaria horas ou até mesmo dias de processamento, por um modelo simplificado de ordem reduzida, capaz de representar o comportamento do modelo original de forma aproximada e resolvido em um tempo de processamento muito menor (FELDHACKER et al., 2016).

Já a amostragem de hipercubo latino (do inglês Latin Hypercube Sampling ou LHS), é descrita por Helton e Davis (2003), como um procedimento de compromisso capaz de incorporar muitas das características desejáveis de amostragem aleatória e ainda apresentar resultados mais estáveis, reduzindo a variância dos resultados, e consequentemente, o número de simulações necessárias. Na LHS, cada variável aleatória é dividida de forma exaustiva em pequenas faixas de probabilidades iguais, isso faz com que menos pontos sejam necessários para cobrir todo o domínio de forma homogênea. Dessa forma, a LHS é muitas vezes o procedimento de amostragem preferido nas análises de Monte Carlo.

Autores como Song, Li e Lindt (2016), Venanzi (2015) e Koroishi et al. (2012) fazem parte dos muitos trabalhos que utilizaram o método da simulação de Monte Carlo combinado com a amostragem de Hipercubo Latino em problemas estocásticos, dessa forma, a mesma metodologia será aplicada no presente trabalho.

3.3.2 Análise de Sensibilidade

Problemas onde há a necessidade por parte de projestista que uma decisão seja tomada, normalmente, são realizadas com o auxílio de ferramentas, capazes de fornecer informações valiosas a respeito do sistema, matrizes SWOT e cartas de

controle são alguns exemplos dessas ferramentas. A análise de sensibilidade é uma ferramenta alternativa capaz de apresentar e quantificar os parâmetros críticos de um processo ou sistema, isto é, aqueles que são capazes de influenciar de maneira mais significante a resposta de interesse.

Conforme descrito por Borgonovo e Plischke (2016), existem dois principais tipos de análise de sensibilidade, aqueles baseados na sensibilidade global (do in-glês global sensitivity method ), amplamente utilizado em sistemas incertos e os méto-dos locais (do inglês local sensitivity analysis method ), utilizaméto-dos quando há a neces-sidade da análise em um ponto especifico do seu sistema ou modelo.

Assim, quando os métodos baseados no índice de sensibilidade global são utilizados em sistemas incertos, o objetivo é normalmente, identificar, avaliar e ainda quantificar a influência de cada parâmetro incerto na resposta de interesse do sis-tema (LARA-MOLINA et al., 2015). Em Saltelli et al. (2010), os autores apresentaram em seu trabalho uma maneira estatística, baseada na variância para realizar esse tipo de análise. O método decompõe a variância de saída do modelo em frações associ-adas à variação de cada parâmetro incerto. Logo, a implementação do método pode ser realizada mediante a utilização da MCS.

Considere um modelo na forma Y = f (X ), onde Y é uma saída escalar e {X} = [X1, X2, ..., Xk]T é o vetor dos parâmetros incertos independentes. A variância de primeira ordem para um elemento genérico de Xié dada pela equação (3.3).

VXi(EX∼i(Y |Xi)) (3.3)

Onde Xi é o i-nésimo parâmetro e X∼icaracteriza a matriz com todos os parâ-metros, exceto Xi. O operador de esperança interna é a média de Y realizada tomando todos os valores possíveis de X∼i , mantendo Xi fixo. A variância externa é determi-nada tomando todos os valores de Xi. A sensibilidade associada, denominada como coeficiente de sensibilidade de primeira ordem é dada pela equação (3.4).

s_i=VXi(EX∼i(Y |Xi))

Com si indicando o efeito da variação de Xi dividida pela variação dos outros parâmetros, dessa forma VXi(EX∼i(Y |Xi))varia entre zero e V (Y ). Outra medida, capaz

de medir a contribuição total para a variância de saída Xi, ou seja, efeitos de primeira e ordem maiores (interações) é o índice de efeito total, determinado pela equação (3.5):

s_Ti=EX∼i(VXi(Y |X∼i))

V(Y ) = 1 −

V_X∼i(E_Xi(Y |w_∼i))

V(Y ) (3.5)

Dessa forma, quando o índice de efeito total (STi) é calculado com auxílio da MCS, o número total de avaliação do modelo é dado por Naval = ns(k + 1), onde ns é o número de amostras da MCS e k é a quantidade de parâmetros, ou seja, o tamanho de {X }.

3.4 OTIMIZAÇÃO ROBUSTA

Nos dias atuais, a maioria dos processos ligados a engenharia com aplicações industriais são otimizados em relação a um objetivo, como por exemplo, a minimização do tempo gasto na produção, a redução da emissão de poluentes ou, o que é mais comum, redução nos custos associados a fabricação. Em muitos desses casos, uma aplicação “cega” de ferramentas de otimização é utilizada para produzirem soluções extremas, que conduzem o processo ao extremo sem levar em consideração imperfei-ções, erros de modelo ou incertezas. Como consequência, a segurança do processo é ameaçada e restrições importantes podem ser violadas, comprometendo o processo (HOUSKA, 2011).

Como visto, incertezas de uma forma geral podem afetar negativamente a con-fiabilidade de sistemas mecânicos, portanto, é necessário que seus efeitos também sejam considerados durante o processo de otimização, visando assim, equilíbrio entre custo e segurança na busca do design ideal. Contudo, os processos de otimização são normalmente considerados como puramente determinístico, não sendo capazes de atingir os objetivos determinados de forma segura e eficiente (ZANG; FRISWELL; MOTTERSHEAD, 2005; JENSEN, 2002).

Para os casos estruturais, uma alternativa baseada no “pior caso” surge para solucionar tal problema. A ideia é, a partir de um superdimensionamento do projeto, o projetista ser capaz de garantir que quaisquer alterações sejam suportadas pela estrutura sem sofrer danos, contudo, essa opção é potencialmente cara, inviabilizando soluções com essa linha de raciocínio (MULVEY; VANDERBEI; ZENIOS, 1995).

Dessa forma, Gorissen, Yanıko ˘glu e Hertog (2015) apresentaram em seu tra-balho duas abordagens capazes de lidar com a presença de incertezas nos dados no processo de otimização, são elas, a otimização estocástica (SO - do inglês Stochastic Optimization) e a otimização robusta (RO - do inglês Robust Optimization).

A otimização estocástica possui uma presunção importante, a distribuição ver-dadeira de probabilidade dos dados incertos deve ser conhecida ou estimada, o que normalmente não acontece. Desse modo, se essa condição for satisfeita e a refor-mulação do problema de otimização incerta for computacionalmente tratável, a SO é indicado para o problema.

Por outro lado, a otimização robusta não necessita que a distribuição de proba-bilidade seja conhecida, mas assume que os dados incertos residem em um conjunto de incertezas. Além disso, outro aspecto interessante se dá ao fato de que em suas “versões tradicionais” são assumidas restrições difíceis, não permitindo que as mes-mas sejam violadas quando utilizados dados pertencentes ao conjunto incerto. A RO ainda é vista como uma abordagem popular devido sua ampla aplicação para muitas classes de incertezas e tipos de problemas. Assim, a RO se prova a abordagem mais adequada para ser aplicada em um processo de otimização com dados incertos.

A otimização robusta se baseia no conceito de robustez de um produto ou processo, desse modo, os mesmos são ditos robustos quando são insensíveis aos efeitos da variabilidade, mesmo que a fonte dessa aleatoriedade não seja eliminada. Os objetivos por trás da otimização robusta podem ser melhor representados com au-xílio da Figura 6, onde são demonstrados quatro possíveis tipos de desempenhos, o círculo preto representa o objetivo da otimização a ser alcançado e os pontos denotam a distribuição de resposta com suas respectivas funções densidade de probabilidade.

Logo, através da Figura 6, notam-se quatro diferentes tipos de desempenho,

repre-Figura 6 – Tipos de desempenhos

Fonte – Adaptado de Zang, Friswell e Mottershead (2005)

sentados pelas letras a, b, c e d. Os desempenhos são caracterizados de acordo com dois grandes objetivos: melhorar o desempenho do sistema, representado pelos pon-tos atingindo o alvo (círculo preto), e minimizar a dispersão dos dados, representado por uma esbelta função distribuição de probabilidade dos dados.

Dessa forma, o objetivo da otimização robusta está relacionado ao desempe-nho apresentado pela letra (d), fazendo com que as respostas atinjam o objetivo de-sejado e ao mesmo tempo apresente baixa variabilidade. Assim, um design robusto é aquele que busca otimizar a média e a variância do desempenho simultaneamente e, portanto, é caracterizada como um problema de otimização multi-objetivo e não determinística (ZANG; FRISWELL; MOTTERSHEAD, 2005).

3.4.1 Otimização Multi-objetivo

Visto que a otimização robusta é um problema de otimização multi-objetivo, os conceitos e características desse tipo de problema serão abordados. Geralmente, a otimização está associada ao aprimoramento do rendimento em determinada ativi-dade, buscando a melhoria do único aspecto em interesse, logo, este tipo de problema é caracterizado como otimização de um único objetivo. Entretanto, quando se aper-feiçoa um sistema, geralmente deseja-se que diferentes aspectos sejam melhorados simultaneamente. Como por exemplo, dado um determinado equipamento, sempre se almeja que o mesmo possua uma excelente eficiência necessitando de baixo con-sumo de incon-sumos para tal, caracterizando assim, um problema de otimização multi-objetivo (COLLETTE; SIARRY, 2013).

Geralmente os diferentes objetivos de uma otimização multi-objetivo podem ser representados mediante modelos matemáticos, denominadas funções objetivo, as quais normalmente estão vinculadas a diferentes classes de parâmetros de projeto e restrições. Assim, é possível a representação matemática de um problema de otimi-zação multi-objetivo.

Dado um sistema na forma Y = f (q, z), onde Y caracteriza sua resposta esca-lar, {q} denota os parâmetros de controle ou variáveis de projeto, os quais permitem ajustes e modificações em busca das soluções ótimas. Adicionalmente, {z} denota os parâmetros ruidosos, isto é, aqueles que não podem ser controlados ou que pos-suem incertezas. A otimização multi-objetivo associada à RO consiste em minimizar um determinado objetivo dado por Fob j1(q, z)que pode ser um critério de desempenho,

minimizando ao mesmo tempo as variações produzidas pelas incertezas que são ca-racterizadas pelo objetivo Fob j2(q, z), geralmente estes dois objetivos são conflitantes.

           min{Fob j(q, z)} = [Fob j1(q, z), Fob j2(q, z)] su jeito a: r_j(q, z) ≤ 0 j= 1, ..., m e q_L≤ q ≤ q_U (3.6)

Nessa descrição, {q} = [q1, q2, ..., qn]T caracteriza o vetor formado pelos n parâ-metros a serem controlados, {z} = [z1, z2, ..., zk]T representa os k parâmetros ruidosos, {Fob j(q, z)} denota as funções objetivo associadas a otimização multi-objetivo. Além disso, rj(q, z)é o conjunto de m restrições estabelecidas para o sistema, as quais po-dem ser modeladas como igualdades ou desigualdades lineares, finalmente qL e qU denotam os limites inferiores e superiores do espaço de projeto utilizado na busca dos parâmetros de controle capazes de gerar as soluções ótimas do problema (BORGES; LIMA; STEFFEN, 2010; ZANG; FRISWELL; MOTTERSHEAD, 2005).

De uma forma geral, as otimizações multi-objetivo são solucionadas utilizando algoritmos evolutivos (EA). Assim, quando aplicados, diferente do que ocorre em pro-blemas de um único objetivo, em propro-blemas multi-objetivo os EAs geram um conjunto de soluções ótimas como resultado. Dessa forma, uma maneira rápida e eficiente de avaliar e comparar essa família de soluções obtidas é mediante análise da Frente (Curva ou ainda Fronteira) de Pareto (COELLO; LAMONT, 2004).

3.4.2 Frente de Pareto

Geralmente nos diversos sistemas estudados em engenharia, dificilmente será possível melhorar duas ou mais funções objetivo simultaneamente. Em vista disso, uma maneira de comparar as soluções obtidas em busca da melhor que atenda as necessidades do projetos deverá ser utilizada. Nesse sentido a Frente de Pareto tem sido amplamente utilizada com este propósito. O exemplo a seguir é capaz de apre-sentar um estudo de caso para exemplificar a aplicação da Frente de Pareto.

Considerando uma viga engastada-livre de seção circular, esta possui duas variáveis de projeto: o diâmetro e o comprimento. A estrutura está sob efeito de um

carregamento constante. Assim, deseja-se otimizar a geometria da viga com base em estas duas funções objetivo conflitantes: minimizar o peso da estrutura e reduzir a deflexão de sua extremidade livre. Após realização da otimização multi-objetivo, as soluções obtidas são apresentadas na Figura 7 (DEB, 2001).

Figura 7 – Soluções para o problema da viga engastada-livre Fonte – Adaptado de Deb (2001)

A Figura 7 apresenta cinco diferentes soluções para o problema descrito, de-nominadas de A a E, relacionando-as de acordo com o desempenho nos dois objetivos requeridos. Assim, algumas análises se tornam interessantes. As respostas perten-centes ao conjunto A-D se comportam de uma maneira curiosa, quando um dos obje-tivos é priorizado, o outro sofre, obrigatoriamente degradação. Como exemplo disso, bastar observar o comportamento da solução A, a qual possui a menor massa entre as soluções e ao mesmo tempo a maior deflexão. O inverso é observado com a solução D. Portanto, em um cenário onde ambos objetivos possuem a mesma importância, nenhuma das respostas pertencentes a esse conjunto deve ser encara como melhor que outra. Quando essa característica acontece, essas soluções são denominadas como não dominadas ou ainda soluções ótimas de Pareto, o conjunto dessas por sua

vez, formam a curva imaginária sobre os pontos A-D, denominada como Frente de Pareto (ABRAHAM; JAIN, 2005).

É importante notar ainda a presença de uma solução não ótima, denotada por E na Figura 7. Essa solução não é capaz de apresentar desempenho ótimo em nenhum dos requisitos desejados, entretanto, um fenômeno curioso é percebido. Dife-rente das soluções ótimas, essa solução encontra-se em uma situação onde é possível aperfeiçoar ambos os objetivos desejados (ver Figura 7). Assim, quando comparado com a solução ótima C, por exemplo, essa possui melhor performance em ambos cri-térios analisados, quando isso acontece, é dito que a solução E é dominada por C, tornando-a dispensável na investigação das soluções obtidas.

Portanto, conforme apresentado por Lotov e Miettinen (2008), as principais vantagens da análise da Frente de Pareto são:

∙ A rápida comparação entre as diversas soluções obtidas, a qual é realizada di-retamente pelo desempenho nas funções objetivo desejadas;

∙ a facilidade em identificar qual solução ótima atende melhor as exigências re-queridas.

3.4.3 Algoritmos Evolutivos

Os problemas de otimização multi-objetivo, o qual inclui a otimização robusta, normalmente são resolvidos utilizando EAs, os quais se tratam de algoritmos fun-damentados nos princípios da evolução natural, desenvolvidos visando a busca da solução ótima de determinado problema de otimização.

Métodos de busca e otimização clássicos normalmente utilizam abordagens de ponto a ponto, onde a solução em cada iteração sofre modificações em busca da solução ótima, nesse sentido, ao final do processo, apenas uma solução ótima é encontrada. Os EAs por outro lado, utilizam populações de potenciais soluções em cada iteração, os quais são modificados e aperfeiçoados paralelamente, gerando ao

final do processo, diversas soluções ótimas para o problema. Dessa forma, se um EA é aplicado na resolução de um problema de otimização de um único objetivo, a tendência é que as populações convirjam para a solução ótima do mesmo, entretanto, quando aplicado em um problema multi-objetivo, os membros dessa população ge-ram diversas possíveis soluções, fornecendo assim, múltiplas soluções ótimas para o problema (ABRAHAM; JAIN, 2005).

Assim, a habilidade de encontrar múltiplas soluções em uma única execução, fazem dos EAs a melhor opção na solução de problemas de otimização multi-objetivo. Entre os EAs encontrados na literatura, destaca-se o algoritmo genético (GA), am-plamente utilizado na solução desse tipo de problema devido suas características de robustez e bom desempenho (DEB, 2001). O apêndice B traz informações a respeito de GAs.

4 METODOLOGIA

Nesse capítulo, a metodologia utilizada na realização do presente trabalho é apresentada. Primeiramente a estrutura construída para realização do estudo é apre-sentada, em seguida a identificação dos parâmetros da mesma através da utilização de técnicas de problemas inversos em conjunto com otimização evolutiva é abordada. Para tal, a modelagem matemática e os procedimentos experimentais são apresenta-dos em detalhes, bem como os equipamentos utilizaapresenta-dos e suas características.

Ainda nesse capítulo, a metodologia utilizada na realização da análise esto-cástica é apresentada. Expondo como as incertezas foram modeladas, quantificadas, onde e como serão inseridas. Além disso, a análise de sensibilidade é retratada, apre-sentando como a mesma foi implementada.

Por fim, a metodologia emprega na otimização robusta é exposta, apresen-tando em detalhes os procedimentos utilizados.

4.1 PROJETO E CONSTRUÇÃO DO ADV

Essa seção é destinada ao projeto e construção do ADV. Para tal, o primeiro passo foi realizado com auxílio do software Solidworks○R_{. O objetivo consistiu na}

de-finição da configuração, dimensões e materiais empregados, assim, a Figura 8 apre-senta o modelo obtido pelo software. A construção foi de responsabilidade própria utili-zando as máquinas-ferramentas presentes no laboratório de ajustagem. O apêndice C aborda em detalhes os componentes utilizados na construção da mesma, trazendo as especificações e materiais.

Dessa forma, a estrutura foi construída, conforme apresentada pela Figura 9. A mesma possui uma chapa de alumínio, responsável pela massa do sistema primário, a qual é sustentada por quatro hastes flexíveis (sendo que cada haste correspondente a um par de réguas de aço inoxidável), essas hastes são responsáveis pela rigidez e amortecimento do sistema primário. O ADV foi adicionado a partir da inserção de outra

Figura 8 – Projeto do ADV Solidworks○R

Fonte – Autoria Própria

haste flexível na parte inferior central da massa do sistema primário. Na extremidade dessa haste, uma nova massa foi adicionada. Assim, a haste adicionada corresponde aos elementos de rigidez e amortecimento do ADV, enquanto a nova massa representa o elemento de inércia do mesmo.

Figura 9 – Bancada construída Fonte – Autoria Própria

Conforme discutido anteriormente, os ADVs normalmente são adicionados à máquinas e equipamentos (sistema primário) sujeitos a perturbações com frequências próximas de suas frequências naturais. Assim, o ADV (também chamado de sistema