Notas de aula – 1° ano – Conjuntos Numéricos

(1)

Hewlett-Packard

Ano: 2019

CONJUNTOS

NUMÉRICOS

Aulas 01 a 08

(2)

Sumário

CONJUNTOS NUMÉRICOS ... 2

Conjunto dos números Naturais ... 2

Conjunto dos números Inteiros ... 2

FECHAMENTO ... 2

Conjunto dos números Racionais ... 2

Conjunto dos números Irracionais ... 2

Conjunto dos números Reais ... 3

RELAÇÃO DE INCLUSÃO ... 3

SUBCONJUNTOS ... 3

OBSERVAÇÕES ... 3

INVERSO E OPOSTO DE UM RACIONAL ... 3

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 4

MÚLTIPLO E DIVISOR DE UM NÚMERO INTEIRO ... 4

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) ... 4

MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) ... 4

O VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO ... 4

Módulo de um número (definição formal) ... 5

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ... 5

FRAÇÃO GERATRIZ ... 5

CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ... 6

CONJUNTO DOS REAIS ... 6

REAIS E A RETA NUMÉRICA ... 6

INTERVALOS REAIS ... 7

PRELIMINAR 1 ... 7

PRELIMINAR 2 ... 7

INTERVALOS REAIS ... 7

REPRESENTAÇÃO DOS INTERVALOS ... 7

OPERAÇÕES ENTRE INTERVALOS ... 8

(3)

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1

QUESTÕES EXTRAS ... 8

GABARITO ... 9

(4)

AULA 01

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Alguns conjuntos numéricos já foram estudados em anos anteriores. São eles:

Conjunto dos números Naturais

Surgiu a partir da necessidade de contagem – importante passo no desenvolvimento da matemática.

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, … , 𝑛 , … }

em que 𝑛 representa um número natural genérico.

Conjunto dos números Inteiros

Surgiu a partir da necessidade gerada pela operação diferença.

ℤ = ℕ ∪ {−1, −2, −3, −4, … } ℤ = {… , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }

FECHAMENTO

Considere um conjunto A e quaisquer dois de seus elementos. Se o resultado de uma operação feita com esses dois elementos também for elemento de A,

então é dito que A é fechado para essa operação. Exemplo 2.1: O conjunto dos números naturais é

fechado para as operações de adição e multiplicação. Isto é,

𝑎, 𝑏 ∈ ℕ ⇒ 𝑎 + 𝑏 ∈ ℕ 𝑎 ∙ 𝑏 ∈ ℕ

2 + 3 = 5 𝑒 5 ∈ ℕ ; 2 ∙ 0 = 0 𝑒 0 ∈ ℕ Note que na operação diferença isto nem sempre acontece,

3 − 2 = 1 ∈ ℕ, no entanto 2 − 3 = −1 ∉ ℕ. Veja, na tabela a seguir, para quais operações cada

conjunto numérico estudado é fechado.

Operação ℕ ℤ ℚ ℝ − ℚ ℝ

Adição X X X X

Multiplicação X X X X

Subtração _X _X _X

Divisão X X

Obs.1: Quando se trata do fechamento da operação divisão é evidente que estamos tratando dos

respectivos conjuntos sem o elemento “0 (zero)”, pois a divisão por zero não está definida.

Conjunto dos números Racionais

O conjunto dos racionais surge da necessidade de representar algumas razões não exatas.

ℚ = {𝑥 |𝑥 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑛𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑚 𝑛, 𝑚 ∈ ℤ e 𝑛 ∈ ℤ∗} Exemplo 1.1 5 4∈ ℚ ; 0 ∈ ℚ, 𝑝𝑜𝑖𝑠 0 = 0 1 ; 0,12 ∈ ℚ, 𝑝𝑜𝑖𝑠 0,12 = 12 100 •

Conjunto dos números Irracionais

Esse conjunto surgiu a partir da necessidade de calcular o comprimento da diagonal de um quadrado de lado com medida 1. (PITAGÓRICOS)

O conjunto dos irracionais é um conjunto disjunto do conjunto dos números racionais e tem como elementos apenas as dízimas não-periódicas. • Os números inteiros;

• Os decimais exatos (aqueles que, na sua representação decimal, têm parte decimal finita); Exemplos: 3,25 0,001 1,12243 • As dízimas periódicas (aqueles que, na sua

representação decimal, têm parte decimal infinita e com repetição de um "bloco" formado por um ou mais algarismos). Exemplo: 0, 3̅ = 0,333 …

Não. Há alguns “tipos” de números que não são racionais, entre eles:

• As dízimas não-periódicas (aqueles que, na sua representação decimal, têm parte decimal infinita e SEM repetição de um "bloco" formado por um ou mais algarismos); e

• As raízes que têm índice par e radicando negativo.

Quais números podem ser escritos na forma mencionada?

Mas, pode-se dizer que o conjunto dos números racionais contém todos os números conhecidos?

(5)

Exemplo 1.2

√2 é irracional ; 𝜋 é irracional ; √53 é irracional

Conjunto dos números Reais

É o conjunto formado pela união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.

ℝ = {𝑥| 𝑥 ∈ ℚ 𝑜𝑢 𝑥 é 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙}

Note que, o conjunto dos números irracionais pode ser representado por “ ℝ − ℚ ”.

RELAÇÃO DE INCLUSÃO

A relação de inclusão entre os conjuntos estudados pode ser ilustrada pelos diagramas de Venn a seguir.

Temos a seguinte cadeia de inclusão: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

SUBCONJUNTOS

AULA 02

OBSERVAÇÕES

Obs.1: O sucessor de um número natural é o número

natural que vem imediatamente após o número em questão.

Exemplo 2.1:

a) 5 é 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 4. b) 10 é 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 9. c) (𝑥 + 1) é 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥.

d) 0 (zero) não é sucessor de nenhum número

natural.

Obs.2: Os conjuntos estudados são infinitos.

Obs.3: Há uma forma para se representar números

pares e ímpares de maneira genérica:

PARES

Se 𝑥 é par, então 𝑥 = 2𝑛 para algum 𝑛 ∈ ℤ.

ÍMPARES

Se 𝑥 é ímpar, então 𝑥 = 2𝑛 + 1 para algum 𝑛 ∈ ℤ.

Obs.4: Podemos descrever cada número inteiro como

um ponto na reta ordenada.

Obs.5: O oposto de um número 𝒂 é dado por – 𝒂. Na reta ordenada, dois números opostos são equidistantes da origem.

INVERSO E OPOSTO DE UM RACIONAL

Dado 𝑚_𝑛 ∈ ℚ, temos • Seu oposto: −𝑚_𝑛 • Seu inverso: (𝑚 𝑛) −1 = 𝑛 𝑚, onde 𝑚 ≠ 0 Exemplo 2.2

Tomando o número racional 𝟓_𝟑 , temos seu oposto: −5₃ seu inverso: (5₃)−1=3

5

Obs.6: Uma fração 𝑚_𝑛, 𝑛 ≠ 0, é dita irredutível quando 𝑚𝑑𝑐(𝑚, 𝑛) = 1. ℝ ℝ − ℚ ℚ ℤ ℕ

Você deve lembrar-se de que

• um * na parte superior à direita do símbolo do conjunto exclui o zero do conjunto.

• um + na parte inferior à direita do símbolo do conjunto mantém somente o 0 e os positivos no conjunto.

• um – na parte inferior à direita do símbolo do conjunto mantém somente o 0 e os negativos no conjunto.

(6)

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

2.1. Dados 𝑎 e 𝑏 números naturais, tais que 𝑎 + 𝑏 =

12 e 𝑎 ∙ 𝑏 = 20, determine: a) (6𝑎) ∙ 𝑏

b) (5𝑎) − (2𝑎)(3𝑏) + (5𝑏)

2.2. Determine 𝑛 natural, tal que 𝑛2− 𝑛 = 20.

2.3. Sabendo que a soma de três números

consecutivos é 63, determine esses números.

AULA 03

MÚLTIPLO E DIVISOR DE UM

NÚMERO INTEIRO

Considere os números 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ.

Diz-se que a é divisor de b, ou que b é múltiplo de a, se existe um número inteiro c tal que b a c=  . Exemplo 3.1: O número 26 é múltiplo de 13, pois

26 13 2=  , pode-se dizer ainda que 13 é um divisor do 26.

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)

O mínimo múltiplo comum de a e b é o menor 𝑐 ∈ ℕ que é múltiplo de a e de b.

O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números pode ser obtido por fatoração simultânea como podemos observar no exemplo a seguir.

Exemplo 3.2: Vamos determinar o mmc

(

24, 30

)

. Observe que vamos dividir pelos fatores dos dois números até que eles fiquem iguais a 1.

3 2 24, 30 2 12, 15 2 6, 15 3 3, 15 5 1, 5 1, 1 2 3 5 

Assim temos que mmc

(

24, 30

)

=120

Obs.1: Todos os múltiplos comuns de a e b são

múltiplos do mmc de a e b.

MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

O máximo divisor comum de a e b é o maior 𝑐 ∈ ℕ que é divisor de a e de b.

O máximo comum de dois ou mais números pode ser obtido por fatoração simultânea como podemos observar no exemplo a seguir.

Exemplo 3.3: Vamos determinar o mdc

(

24, 30

)

. Observe que vamos dividir apenas pelos fatores que dividem simultaneamente os dois números.

24, 30 2 12, 15 3 4, 5 2 3

Assim temos que mdc

(

24, 30

)

=6

Obs.2: Todos os divisores comuns de a e b são

divisores do mdc de a e b.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

3.1. Dois corredores partem juntos numa pista

circular no mesmo sentido. Sabendo que o primeiro completa uma volta a cada 12 minutos e o segundo uma volta a cada 15 minutos, determine o tempo mínimo para eles se encontrarem na linha de chegada.

AULA 04

O VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO

Considere que, em uma reta ordenada, a abscissa 0 (zero) esteja associada a um ponto 𝑂 (origem) e um ponto 𝑃 qualquer tenha sua abscissa denominada 𝑥.

O módulo ou valor absoluto do número inteiro 𝑥, denotado por |𝑥|, é um valor (necessariamente positivo) que nos diz a distância entre os pontos 𝑃 e 𝑂.

𝑃 𝑂

0 𝑥

(7)

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 5 • Se 𝑷 está à direita de 𝑶, então sua abscissa 𝑥 é

um número inteiro positivo e, desse modo, seu

valor absoluto é igual a ele mesmo.

Em símbolos:

𝑆𝑒 𝑥 > 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 |𝑥| = 𝑥.

Exemplo 4.1

𝑥 = 5 > 0, então |5| = 5

• Se 𝑷 está à esquerda de 𝑶, então sua abscissa 𝑥 é um valor inteiro negativo e, desse modo, seu

valor absoluto é igual ao seu oposto (que é

positivo). Em símbolos:

𝑆𝑒 𝑥 < 0, então |𝑥| = −𝑥.

Exemplo 4.2

𝑥 = −4 < 0, então |−4| = 4

Módulo de um número (definição

formal)

O módulo ou valor absoluto do número inteiro 𝑥, denotado por |𝑥|, é o quanto ele dista da origem na reta real. Temos que,

|𝑥| = { 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 −𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

4.1. Determine o valor ou simplifique as expressões

a seguir:

a) ||17 + 8 ∙ (−2)| − |−9 − 6| + 3 ∙ |12 + (−2)|| b) |𝑥 + 3| − |𝑥 − 5| + |2𝑥 − 4| + |𝑥2|, se 2 < 𝑥 < 5

AULA 05

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

Vimos que os decimais exatos e as dízimas periódicas podem ser representados na forma 𝑚_𝑛, com 𝑚 e 𝑛 inteiros e 𝑛 ≠ 0. Exemplo 5.1 3,5 =35 10= 7 2 0,8333 … =5 6

FRAÇÃO GERATRIZ

Como já foi dito, uma dízima periódica pode ser representada como uma fração de dois números inteiros (com denominador não nulo). A essa fração é dado o nome de fração geratriz.

Obs.1: Em uma dízima periódica, a menor sequência

de algarismos que se repete é denominada período. Destacamos o período de uma dízima periódica colocando um “–“ sobre ele. Veja:

0,83333 … = 0,83̅

Exemplo 5.2

Determinar a fração geratriz de 2,03333. I)

𝑥 = 2,03̅

II)

10𝑥 = 20, 3̅

III)

100𝑥 = 203, 3̅

IV)

{

100𝑥 = 203, 3̅

10𝑥 = 20, 3̅

90𝑥 = 183

Logo,

𝑥 =

183 90

=

61 30 Exemplo 5.3

TAREFA 2 – Unid. 2, cap. 5, PSA 7, 30 e 31. 𝑃 𝑂 0 5 𝑂 𝑃 −4 0 − Como retirar o módulo de uma expressão?

Note que o resultado do módulo depende do sinal da expressão “dentro” dele. Logo, para retirar o módulo de uma expressão, faça o seguinte:

1º) Avalie o sinal da expressão “dentro” do módulo. Em geral, para avaliar o sinal das expressões algébricas, basta substituir alguns valores do intervalo ao qual 𝑥 pertence. 2º) Se for positiva, apenas elimine o módulo e reescreva a expressão, sem alterá-la; se for negativa, elimine o módulo e escreva o oposto da expressão (isto é, troque os sinais de todos os seus termos).

Este processo é relevante quando temos

(8)

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 6 Para determinar a fração geratriz (𝑥) de 0,5555 …,

basta utilizar o seguinte método:

i) Escreva a dízima destacando o período, conforme a Obs.1 e iguale-a a 𝑥.

𝑥 = 0, 5̅

ii) Se entre a vírgula e o período não houver nenhum algarismo, vá para o passo iii). Caso haja, conte o número de algarismos entre a vírgula e o período e multiplique ambos os lados da equação pela potência de 10 correspondente.

Não há algarismos entre a vírgula e o período, logo continuamos com 𝑥 = 0, 5̅ . iii) Conte o número de algarismos que formam o período (no caso, 1) e multiplique a equação obtida em i) pela potência de 10 correspondente.

10𝑥 = 5,5555 …

iv) Subtraia ii) de iv) e resolva a equação resultante.

{10𝑥 = 5,5555 …_{𝑥 = 0,5555 …} 9𝑥 = 5 Logo, 𝑥 =5₉.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

5.1. Sejam p e q, primos entre si, tais que 𝑝_𝑞

=

1

2+ 3₅

1+1

3

.

Determine a diferença 𝑞 − 𝑝.

5.2. Encontre a fração geratriz, em cada caso a seguir.

a) 0,33333. . .

b) 2, 3̅

c) 0, 23

̅̅̅̅

5.3. Escreva em ordem crescente as frações 2₃,1

5, 7 5 e 15 30.

AULA 06

CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS

Vimos que o conjunto dos irracionais abrange todas as dízimas não periódicas.

ℝ − ℚ = {𝑥 |𝑥 ≠𝑝

𝑞; 𝑝 ∈ ℤ 𝑒 𝑞 ∈ ℤ ∗_}

Exemplo 6.1

𝜋 = 3,141592 … ; √2 ; √2 + √3 Obs.1: É importante lembrar que o conjunto dos

números irracionais não é fechado para as operações básicas, entre elas diferença e soma. Isto é, nem toda soma de irracionais é irracional.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

6.1. Prove que √2 não é racional. DESAFIO: Prove que √3 não é racional.

CONJUNTO DOS REAIS

Já vimos que,

ℝ = {𝑥| 𝑥 ∈ ℚ 𝑜𝑢 𝑥 é 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙} Em outras palavras, o conjunto dos números reais é dado pela união de racionais e irracionais.

ℝ = ℚ ∪ (ℝ − ℚ)

REAIS E A RETA NUMÉRICA

Para cada número real está associado um único ponto da reta. Reciprocamente, à cada ponto da reta está associado um único número real. Isto é, temos uma relação biunívoca entre a reta numérica e os números reais.

−

TAREFA 3 – Unid. 2, cap. 5, p. 40 – Ler o exercício 25

TAREFA 4 – Unid. 2, cap. 5, PSA 35, 36, 37, 39,

40(a, d, f) e 41(a, b, c)

E

Os números reais e a reta numérica

É importante observar que os reais conseguem completar uma reta, ou seja, você consegue associar a cada ponto da reta um número real sem deixar nenhum “buraco” na reta.

Note que, os conjuntos ℕ, ℤ e ℚ não são capazes de completar a reta. As suas representações na reta numérica deixam “buracos” (pontos sem número). Essa associação será muito importante quando formos tratar os subconjuntos de ℝ.

(9)

AULA 07

INTERVALOS REAIS

Até agora, realizamos operações apenas entre conjuntos finitos. Será iniciado o estudo de uma nova classe de conjuntos, os intervalos. Estes, de modo geral, possuem infinitos elementos.

PRELIMINAR 1

Dados os conjuntos 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ | 2 < 𝑥 < 7} e 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ₊ | − 3 ≤ 𝑥 < 5}, determine 𝐴 ∪ 𝐵. 𝐴 = {3, 4, 5, 6} e 𝐵 = {0, 1, 2, 3, 4} Logo, 𝐴 ∪ 𝐵 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Note que

• os dois conjuntos são finitos; e

• para realizar a operação união, primeiro alteramos a representação dos conjuntos para a forma tabular.

Obs.1: A representação dos conjuntos pode ser

fundamental para facilitar a realização das operações entre conjuntos.

PRELIMINAR 2

Dados os conjuntos 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ |2 < 𝑥 < 7} e 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ | − 3 ≤ 𝑥 < 5}, tente determinar 𝐴 ∪ 𝐵. Note que

• os dois conjuntos são infinitos; e

• é “complicado” realizar a operação com a representação atual, e também não é possível representá-los na forma tabular.

Portanto, ainda não sabemos como determinar 𝐴 ∪ 𝐵.

INTERVALOS REAIS

Os intervalos são subconjuntos de ℝ que podem ser expressos por meio de desigualdades. Exemplo 7.1

O conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ | − 1 ≤ 𝑥 ≤ 3} é um intervalo real.

REPRESENTAÇÃO DOS INTERVALOS

Para representar os intervalos reais de maneira mais “visual” utilizaremos pedaços de retas.

Exemplo 7.2

O conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ | − 1 ≤ 𝑥 ≤ 3} pode ser representado da seguinte forma?

(onde a parte pintada representa os elementos de 𝐴)

A representação apresentada é boa, porém, note que não fica claro se os extremos, −1 e 3, pertencem ou não ao intervalo. Para deixar claro quando os extremos pertencem ou não ao intervalo, será usada a notação explicada no quadro a seguir.

Logo, o conjunto 𝐴 (do exemplo 7.2) seria corretamente representado por

Assim, para representar qualquer intervalo de números reais, basta seguir o seguinte passo-a-passo:

i. Desenhe uma reta (com a seta para a direita). ii. Coloque os elementos dos extremos.

iii. Pinte a parte que representa os elementos do intervalo.

iv. Avalie se os extremos pertencem ou não ao intervalo.

v. Represente as “bolinhas”, deixando claro se estão fechadas ou abertas.

3 1 1 1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 Extremos do intervalo

“Bolinha” fechada: quando o extremo pertencer ao

intervalo, utilizaremos uma “bolinha” fechada para representá-lo. A ideia é mostrar que o ponto do extremo também está pintado. Evidenciando, desse modo, que ele também é elemento do intervalo.

“Bolinha” aberta: quando o extremo não pertencer

ao intervalo, utilizaremos uma “bolinha” aberta para representá-lo. A ideia é mostrar que o ponto do extremo não está pintado. Evidenciando, desse modo, que ele não é elemento do intervalo.

(10)

Exemplo 7.3

O conjunto 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < 4} pode ser representado por

Exemplo 7.4

O conjunto 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ 4} pode ser também escrito na forma

𝐵 =] − ∞; 4 ]

Obs.1: −∞ ou ∞ não são números Reais, portanto,

nunca usamos qualquer notação que indique a ideia de fechado junto aos símbolos −∞ ou ∞.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

7.1. Represente cada intervalo a seguir, em seu

caderno, utilizando as três notações estudadas: parênteses ou colchetes, pela propriedade e, também, na reta numérica.

a) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ |2 < 𝑥 ≤ 5}

b) 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 ≥

3 2

}

c) 𝐶 = [ 1 ; 4] d) 𝐷 = (−1; 3) e) 𝐸 = [0 ; 4[

AULA 08

OPERAÇÕES ENTRE INTERVALOS

Visto que os intervalos são conjuntos, podemos efetuar, entre eles, as operações união, interseção, diferença e complementar.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

8.1. Dado o conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ | − 1 ≤ 𝑥 ≤ 3}, 𝐵 = ]0 ; 5], e 𝐶 = [−4; 2[ determine os conjuntos a seguir. a) 𝐴 ∪ 𝐵 b) 𝐴 ∩ 𝐵 c) 𝐴 − 𝐵 d) 𝐵 − 𝐴 e) (𝐴 ∩ 𝐶) − 𝐵

EXTRA

QUESTÕES EXTRAS

1. Sendo A = −



1, 6



, B =

 

0, 8 e C = −



, 10



, tem-se que o conjunto

(

B A−

) (

 B C

)

é igual a

(A) . (B)



8, 10



. (C)



6, 10



. (D)

 

6, 8 . (E)



−, 6

 

 8, 10



. 4 1 1 1 1 1 1 1

TAREFA 6 – Unid. 2, cap. 5, p.46: Ler a tabela

“Intervalos com descrição, notação e representação”. Parêntese e colchete

Após a leitura recomendada, você deve ter observado que podemos representar os intervalos utilizando parênteses ou colchetes.

• Colchete no sentido normal [ ] : utilizado para denotar extremos fechados.

• Colchete no sentido contrário ] [ : utilizado para denotar extremos abertos.

• Parêntese: utilizado para denotar extremos abertos.

TAREFA 7 – Unid. 2, cap. 5, PSA 44 e 45(a, d)

TAREFA 8 – Unid. 2, cap. 5, PSA 46, 47 e 48

(11)

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 9 2. Sejam x e y número primos entre si, tais que

1 1 1 1 1 1 1,23 x y = ₋ − − . A soma x y+ é igual a (A) 67. (B) 37. (C) 30. (D) 23. (E) 7.

3. Sendo 𝑥 ∈ ℕ, com 0 x 4, tem-se que a expressão 2x− − 8 5 12 3− x +30− é igual a x (A) 16x −98. (B)16x +82. (C) −18x−38. (D)12x −38. (E) 12x −22. 4. Sejam 𝐴 =] − 3; 2], 𝐵 =] − 1; 4] e 𝐷 =] − 10; 10[. Represente, por meio de uma propriedade que caracterize seus elementos, o conjunto 𝐶_𝐷(𝐴∪𝐵). 5. Calcule o valor numérico da expressão a seguir.

{24⋅ 0,75 + [((2

2_{− 3}2₎2

(2,5)2 )]} −2

6. Uma rodoviária possui duas linhas de ônibus. Um ônibus da linha 𝐴 sai da rodoviária a cada 15 minutos e um ônibus da linha 𝐵 sai a cada 25 minutos. Dado que às 6h saem juntos, da rodoviária, um ônibus de cada linha, determine o primeiro horário, após as 12h, no qual os ônibus das linhas 𝐴 e 𝐵 sairão juntos novamente.

7. Dados os conjuntos 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ 0 𝑜𝑢 𝑥 > 2}, 𝐵 = [0; 4[ e 𝐶 = [−2; 2], uma representação gráfica do conjunto (𝐵 ∪ 𝐶) − 𝐴𝑐 é

8. Em algumas famílias de uma comunidade carente foram distribuídos 240 cadernos, 576 lápis e 1080 borrachas. A distribuição foi feita de tal modo que o maior número de famílias fosse contemplado e que cada família recebesse a mesma quantidade 𝑥 de lápis, a mesma quantidade 𝑦 de cadernos e a mesma quantidade 𝑧 de borrachas. Nessas condições, a quantidade 𝑧 de borrachas que cada família recebeu foi igual a a) 24. b) 28. c) 36. d) 40. e) 45.

GABARITO

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

2.1. a) 120 b) −60 2.2. n =5 2.3. 20, 21, 22 3.1. 60 minutos 4.1. a) 16 b) x2+4x−6 5.1. 9 5.2. a) 1 3 b) 7 3 c) 23 99 5.3. 1 15 2 7 5 30 3 5   6.1. Demonstração

7.1. A representação por reta será feita em sala. a)

 

2, 5 b)

 

3,  c)



x |1 x 4



d)



x | 1−  x 3



e)



x |0 x 4



(12)

QUESTÕES EXTRAS

1. D 2. A 3. E 4.



x | 10−   −x 3 ou 4<x<10



5. 1 256 6. 12h15 7. C 8. E