1.2 Subgrafos. 8 Conceitos Basicos

(1)

Exerccio 8. Considere o caso geral do exerccio 1: Um qumico deseja embarcar os produtos p1, p2, . . . , pn usando o menor numero de caixas. Alguns produtos n~ao podem ser colocados numa

mesma caixa porque reagem. Seja G o grafo que modela esse problema, onde vertices s~ao produtos e arestas os pares que reagem, e denote por χ(G) o numero de mnimo de caixas de modo que seja possvel encaixotar os produtos com seguranca. Prove que

χ(G) ≤ 1 2 +

r 2m +1

4

onde m e o numero de pares de produtos que reagem. (Dica: Em uma distribuic~ao mnima de caixas, a cada duas caixas, precisa existir pelo menos um produto em uma caixa reagindo com um produto da outra caixa. Assim podemos garantir um numero mnimo de arestas para o grafo, m.) Exerccio 9. Chico e sua esposa foram a uma festa com tr^es outros casais. No encontro deles houveram varios apertos de m~ao. Ninguem apertou a propria m~ao ou a m~ao da(o) esposa(o), e ninguem apertou a m~ao da mesma pessoa mais que uma vez.

Apos os cumprimentos Chico perguntou para todos, inclusive para a esposa, quantas m~aos cada um apertou e recebeu de cada pessoa uma resposta diferente. Quantas m~aos Chico apertou? Exerccio 10. Prove que δ(G) ≤ d(G) ≤ ∆(G) para todo grafo G.

Exerccio 11. Decida se pode existir um grafo G com vertices que t^em graus 2, 3, 3, 4, 4, 5, respec-tivamente. E graus 2, 3, 4, 4, 5? Se sim, descreva-os.

Exerccio 12. Seja G um grafo com 14 vertices e 25 arestas. Se todo vertice de G tem grau 3 ou 5, quantos vertices de grau 3 o grafo G possui?

Exerccio 13. Prove que em todo grafo de ordem pelo menos dois existem pelo menos dois vertices com o mesmo grau. (Dica: comece por um caso pequeno, por exemplo ordem 3, antes de tentar resolver o caso geral.)

Exerccio 14. Para um numero natural r, um grafo e r-regular se todos os vertices t^em grau r. Para um grafo r-regular com n vertices e m arestas, expresse m em func~ao de n e r.

Exerccio 15. D^e exemplo de um grafo 3-regular que n~ao e completo.

Exerccio 16. Dado G, o grafo linha de G, denotado por LG, e o grafo cujos vertices s~ao as arestas de G e um par de vertices dene uma aresta em LG se, e somente se, esses vertices s~ao arestas adjacentes em G. Dado G determine |V(LG)| e |E(LG)|.

Exerccio 17. Prove que num grafo G com δ(G) > 0 e |E(G)| < |V(G)| existem pelo menos dois vertices de grau 1.

1.2 Subgrafos

Dizemos que o grafo H e um subgrafo do grafo G se, e somente se, V(H) ⊆ V(G) e E(H) ⊆ E(G) e nesse caso escrevemos H ⊆ G para indicar que H e subgrafo de G.

Exemplo 3. Considerando o grafo G do exemplo 1 temos que

G′ = 1, 2, 5 ,{1, 5}, {5, 2}, {1, 2} e G′′ ₌ _{3, 5, 6} _{, ∅}

s~ao subgrafos de G, enquanto que

H = 1, 2, 3 ,{1, 2}, {3, 4} , I = 1, 2, 3, 4, 9 ,{1, 2}, {3, 4} e J = 1, 2, 3, 4, 8 ,{1, 2}, {3, 4}, {1, 8}

(2)

Dados um grafo G e um subconjunto de vertices U ⊆ V(G), escrevemos G[U] para o subgrafo induzido por Uque e o subgrafo

G[U] = U, E(G) ∩U 2 .

Analogamente, denimos subgrafo induzido por um subconjunto de arestas. Se M = {e1, e2, . . . , em} ⊆

E(G), ent~ao o subgrafo induzido por M, denotado , tem como conjunto de vertices e1∪e2∪· · ·∪em

e como conjunto de arestas o proprio M

G[M] = m [ i=1 ei, M .

Exemplo 4. Dos grafos G, H e I cujos diagramas s~ao dados na gura 1.2, podemos dizer que H e um subgrafo induzido de G enquanto que I e um subgrafo mas n~ao e induzido.

G

H

I

a

b

c

d

e

a

d

b

e

a

d

c

b

e

Figura 1.2: Diagrama dos grafos G, H e I.

Um subgrafo H ⊆ G onde V(H) = V(G) e chamado de subgrafo gerador. No exemplo acima Ie subgrafo gerador de G, enquanto que H n~ao e subgrafo gerador de G.

1.2.1 Clique e conjunto independente

Se o subconjunto U ⊆ V(G) induz um subgrafo completo em G ent~ao chamamos U de clique em G. Mais especicamente, se G[U] e um grafo completo com k vertices ent~ao dizemos que U e um k-cliqueem G.

O caso particular de um 3-clique num grafo G e chamado de tri^angulo de G.

Por outro lado, se U ⊆ V(G) e tal que G[U] = (U, ∅) e chamado de conjunto independente de G, ou k-conjunto-independente no caso |U| = k.

Exemplo 5. O subgrafo G′ _{do exemplo 3 e um 3-clique e G}′′ _{do exemplo 3 e um}

3-conjunto-independente.

No grafo G do exemplo 1 os conjuntos {3, 5, 6} e {1, 4, 6, 8} s~ao independentes; no caso de {1, 4, 6, 8} temos um conjunto independente de cardinalidade maxima pois n~ao ha naquele grafo conjunto independente com 5 ou mais vertices. Nesse mesmo grafo, {8}, {6, 7} e {1, 2, 5} s~ao cliques, o ultimo de cardinalidade maxima.

Observac~ao 2. O tamanho do maior clique e o tamanho do maior conjunto independente num grafo Gs~ao difceis de serem calculados computacionalmente. Eles pertencem a classe dos problemas NP-difceis (veja [5], pagina 53). Uma consequência desse fato e que n~ao e sabido se existem algoritmos cujo tempo de execuc~ao no pior caso e um polinômio em |V(G)|+|E(G)| para resolver esse problemas. A descoberta de um algoritmo com tempo de pior caso polinomial no tamanho de G, ou a prova de que ele n~ao existe, e um dos problemas n~ao-resolvidos mais importantes da atualidade, o problema P × NP. Trata-se de um dos sete problemas do milênio [6], dos quais restam seis n~ao resolvidos, cada um com uma recompensa de US$1.000.000,00 para uma soluc~ao, paga pelo Clay Mathematics Institute.

(3)

1.2.2 Grafo bipartido e corte

Chamamos um grafo G de grafo bipartido se existem dois conjuntos independentes A e B em G que particionam V(G), isto e, A e B s~ao tais que A ∩ B = ∅ e A ∪ B = V(G). Por exemplo, o seguinte grafo e bipartido

V(G) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

E(G) = {{1, 6}, {6, 2}, {3, 7}, {3, 8}, {7, 4}, {7, 5}},

pois V(G) = {1, 2, 3, 4, 5} ∪ {6, 7, 8} e tanto {1, 2, 3, 4, 5} quanto {6, 7, 8} s~ao conjuntos independentes. Notemos que a bipartic~ao pode n~ao ser unica, no caso do exemplo acima podemos escrever V(G) = {6, 3, 4, 5} ∪ {1, 2, 7, 8}e tanto {6, 3, 4, 5} quanto {1, 2, 7, 8} s~ao conjuntos independentes. Para evitar ambiguidades escrevemos um grafo bipartido G com bipartic~ao {A, B} como G = (A ∪ B, E). Sejam G um grafo, A e B ⊂ V(G) dois subconjuntos disjuntos em V(G). Denimos o subconjunto de arestas

E(A, B) ={u, v} ∈ E(G) : u ∈ Ae v ∈ B; (1.11) e o subgrafo bipartido induzido por A e B e o grafo bipartido

A ∪ B, E(A, B).

Exemplo 6. A gura abaixo mostra as arestas de E(A, B) para A = {0, 1, 8} e B = {3, 4, 5, 6}.

0

1

4

5

6

7

8

3

2

Figura 1.3: E {0, 1, 8}, {3, 4, 5, 6} e formado pelas arestas{0, 4}, {0, 5}, {1, 3}, {1, 6}, {8, 3}, {6, 8} .

O conjunto de arestas E(A, A) e chamado de corte definido por A.

Exemplo 7. A gura abaixo mostra as arestas de E(A, B) para A = {0, 1, 8} e B = {3, 4, 5, 6}.

0

1

4

5

6

7

8

2

3

Figura 1.4: O corte denido pelo conjunto {0, 1, 2, 7, 8} e formado pelas arestas

{0, 4}, {0, 5}, {1, 3}, {1, 6}, {8, 3}, {6, 8}, {5, 7}, {6, 7}, {2, 3}, {2, 4} . Da denic~ao de corte podemos escrever

E(G) = E(G[A]) ∪ E(G[A]) ∪ E(A, A). (1.12)

(4)

1.2.3 Teorema de Mantel

Suponha que G = (V, E) e um grafo que n~ao contenha tri^angulo. Vamos determinar o numero maximo de arestas que pode haver em G.

Seja A um conjunto independente em G de cardinalidade maxima. Como G n~ao contem tri^angulos a vizinhanca de qualquer vertice e um conjunto independente, portanto temos

d(v) ≤ |A|, para todo v ∈ V. (1.13)

Como A e um conjunto independente em G podemos classicar as arestas de E(G) em dois tipos: E1 s~ao as arestas de G que t^em exatamente um dos extremos fora de A e E2 s~ao as arestas de G

que tem ambos extremos fora de A. Dessa forma, o numero de arestas em E e |E1|+ |E2| e

X

u∈A

d(u) = |E1|+ 2|E2| ≥ |E|.

Usando (1.13) chegamos a _X

u∈A

d(u) ≤ X

u∈A

|A| = |A||A|,

portanto |E| ≤ |A||A|. Usando a desigualdade entre as medias aritmetica e geometrica1

|A||A| = |A|(|V| − |A|) ≤|V|

2

4 . (1.14)

Assim, provamos o seguinte resultado que foi mostrado pela primeira vez por Mantel em 1906. Teorema(Mantel, 1906). Se G e um grafo sem tri^angulos ent~ao |E(G)| ≤ |V(G)|2_/4_.

Esse teorema e um caso particular do famoso Teorema de Turan, que foi o princpio de um ramo da teoria dos grafos chamada de Teoria Extremal de Grafos (veja mais sobre esse assunto em [1]).

Exerc´ıcios

Exerccio 18. Quantos subgrafos tem o grafo {1, 2, 3, 4, 5, 6}, {{1, 2}}?

Exerccio 19. Quantos subgrafos completos tem o grafo completo de ordem n?

Exerccio 20. Sejam G um grafo e M ⊆ E(G). Tome o subconjunto U = Se∈Mede vertices de G.

Prove ou d^e um contra-exemplo para G[U] = G[M]. Exerccio 21. Descubra um subgrafo induzido de

V(G) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}e

E(G) = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 6}, {8, 5}, {8, 6}, {5, 6}, {3, 4}, {5, 7}}

1-regular e com o maior numero possvel de arestas. (Qual a relac~ao com a resoluc~ao do exerccio 2?)

Exerccio 22. Mostre que em qualquer grafo G com pelo menos 6 vertices vale: ou G tem um 3-clique e G tem um 3-conjunto-independente, ou G tem um 3-conjunto-independente e G tem um 3-clique. (Dica: exerccio 7 e princpio da casa dos pombos sobre EK6(v), para algum vertice v.) Exerccio 23. Dado um grafo G, denotamos por α(G) a cardinalidade do maior conjunto indepen-dente em G,

α(G) =max|A| : A ⊂ V(G)e um conjunto independente . Prove que se d(G) > α(G) ent~ao G contem tri^angulo, para todo G.

1_{Desigualdade: (a}₁a2· · · an)

1

n _≤ a1+ a2+ ···+an

n .O caso n = 2 e simples e pode ser derivado do fato de que (a − b)2

(5)

Exerccio 24. Para todo grafo G, denotamos por ω(G) a cardinalidade do maior clique em G ω(G) =max|A| : A ⊂ V(G)e um clique .

Prove que ω(G) = α(G).

Exerccio 25. Demonstre que as desigualdades abaixo valem para todo grafo G (i) α(G) ≥ |V(G)|/(∆(G) + 1);

(ii) α(G) ≤ |E(G)|/δ(G), se δ(G) 6= 0; (iii) ω(G) ≤ ∆(G) + 1.

Exerccio 26. Suponha H ⊆ G. Prove ou refute as desigualdades: (i) α(H) ≤ α(G);

(ii) α(G) ≤ α(H);

(iii) ω(G) ≤ ω(H); (iv) ω(H) ≤ ω(G).

Exerccio 27. Seja G um grafo bipartido. Prove que todo subgrafo de G e bipartido.

Exerccio 28. Seja G = (A ∪ B, E) um grafo bipartido qualquer e suponha que |A| < |B|. E verdade que α(G) = |B|? Determine ω(G).

Exerccio 29. Um grafo bipartido G com partes A e B e dito completo se E(G) = {{a, b} ⊆ V(G) : a ∈ Ae b ∈ B}.

Um grafo bipartido completo sobre {A, B} com partes de cardinalidade |A| = n e |B| = m e denotado por Kn,m_{(A, B)}. Determine |E(Kn,m_{(A, B))|}.

Exerccio 30. Prove que todo grafo G tem um subgrafo bipartido H com |E(H)| ≥ |E(G)|/2. Exerccio 31. Prove que todo grafo G tem um subgrafo gerador bipartido H tal que dH(v) ≥

dG(v)/2para todo v ∈ V(G).

Exerccio 32. Prove a armac~ao da equac~ao (1.12).

Exerccio 33. Dado um grafo G, dena para todo U ⊆ V(G) a vizinhan¸ca de U, denotada NG(U),

por

NG(U) =

[

u∈U

NG(u).

E verdade que |E(U, U)| = |NG(U)|? Justique.

Exerccio 34. Um grafo G e dito k-partido, para k ∈ N, se existem k conjuntos independentes A1,

A2, . . . , Akque particionam V(G), ou seja, V(G) = A1∪ A2∪ · · · ∪ Ak, o conjunto Aie um conjunto

independente em G para todo i ∈ {1, 2, . . . , k} e Ai∩ Aj= ∅para quaisquer i e j distintos. Prove

que dentre os grafos k-partidos (k ≥ 2) completos com n vertices o numero maximo de arestas e atingido quando |Ai|− |Aj| ≤ 1para todos i, j ∈ {1, 2, . . . , n} distintos. D^e uma descric~ao desse grafo

k-partido de ordem n e com o maior numero possvel de arestas.

Exerccio 35. Mostre que, se n = kq + r com 0 ≤ r < k, ent~ao o numero de arestas do grafo do exerccio anterior e 1 2 k − 1 k (n2_{− r}2_{) +}r 2 e que esse numero e limitado por

≤ k − 1 k n 2 .

Exerccio 36. Redena para todo grafo G o par^ametro χ(G) dado no exerccio 8 em func~ao dos conjuntos independentes de G. Esse par^ametro de um grafo e conhecido na literatura como numero cromatico2 _{do grafo (veja [4], captulo 5).}

(6)

Exerccio 37. Prove que G e bipartido se e somente se χ(G) < 3.

Exerccio 38. Prove que as duas desigualdades dadas a seguir valem para todo grafo G com pelo menos um vertice

ω(G) ≤ χ(G)e χ(G) ≥ |V(G)|

α(G). (1.15)

Exerccio 39. Prove que todo grafo G satisfaz

χ(G) ≤ 1 +max

H⊆Gδ(H).

1.3 Isomorfismo

Dizemos que os grafos G e H s~ao isomorfos e, nesse caso escrevemos G ≃ H, se existe uma func~ao bijetora

f : V(G) → V(H) (1.16)

tal que

{u, v} ∈ E(G) ⇐⇒ {f(u), f(v)} ∈ E(H) (1.17) para todos u, v ∈ V(G). Uma func~ao f como acima e chamada de isomorfismo.

Exemplo 8 (Grafo de Petersen). Os grafos representados na gura 1.5 s~ao isomorfos pelo isomor-smo f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c, f(4) = d, f(5) = e, f(6) = f, f(7) = g, f(8) = h, f(9) = i, f(10) = j. Esse grafo e chamado de grafo de Petersen, e um dos grafos mais conhecidos na Teoria dos Grafos. 6 1 10 ₂ 7 9 ₈ 4 3 5 a b j g d i h e c f

Figura 1.5: Grafos isomorfos (grafo de Petersen).

Notamos que quaisquer dois grafos completos G e H de mesma ordem s~ao isomorfos. Mais que isso, qualquer bijec~ao entre V(G) e V(H) dene um isomorsmo entre eles. Nesse caso, dizemos que o grafo e unico a menos de isomorsmos e por isso usamos a mesma notac~ao para todos eles, a saber Kn_{, quando o conjunto dos vertices n~ao e relevante.}

Exemplo 9. Ha oito grafos distintos com tr^es vertices, eles est~ao descritos nas representac~oes da gura 1.6 abaixo. 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1

(7)

Figura 1.7: Grafos n~ao-isomorfos de ordem 3.

No entanto, ha apenas 4 grafos n~ao-isomorfos com tr^es vertices, representados pelos diagramas da gura 1.7

N~ao existe uma caracterizac~ao simples de grafos isomorfos. Isso signica que n~ao ha algoritmo eciente que recebe dois grafos e decide se eles s~ao isomorfos.

Exemplo 10. Nenhum dos grafos G, H e K representados na gura 1.8 s~ao isomorfos.

1

2

3

4 G

H

K

1

2

3

1

2

3

4

5

6

4

5

6

5

6

Figura 1.8: Grafos n~ao-isomorfos.

Temos que G n~ao e isomorfo a H porque G n~ao tem um vertice de grau quatro enquanto que o vertice 5 em H tem grau quatro, portanto n~ao ha como haver uma bijec~ao entre os vertices desse grafo que preserve as adjacências. Pelo mesmo motivo H n~ao e isomorfo a K. Agora, G n~ao e isomorfo a K porque caso existisse um isomorsmo f: V(G) → V(K) ent~ao a imagem por f do conjunto {2, 3, 5} ⊂ V(G) e, obrigatoriamente, o conjunto {2, 3, 5} ⊂ V(K), mas qualquer bijec~ao f n~ao preserva adjacência entre esses vertices pois {2, 3, 5} em G induz um triângulo e em K n~ao (veja o exerccio 42 abaixo).

Nesse exemplo foram dados argumentos diferentes para concluir o mesmo fato, o n~ao-isomorsmo entre pares de grafos. Ainda, existem exemplos de grafos n~ao isomorfos para os quais esses argu-mentos n~ao funcionam (da mesma forma que a exist^encia de um vertice de grau quatro funciona para mostrar que G n~ao e isomorfo a H mas n~ao serve para mostrar que G n~ao e isomorfo a K pois 1, 2, 2, 3, 3, 3s~ao os graus dos vertices de ambos os grafos).

Observac~ao 4. E difcil caracterizar de modo eciente o n~ao-isomorsmo entre grafos:

O problema do n~ao-isomorsmo de grafos: Dados os grafos G = (V, E) e H = (V, E′₎_decidir

se eles s~ao n~ao-isomorfos.

N~ao se conhece algoritmo de tempo polinomial no tamanho dos grafos para decidir se dois grafos n~ao s~ao isomorfos. Mais do que isso, n~ao se conhece um algoritmo de tempo polinomial que receba como entrada uma terna (G, H, P) onde P e uma prova de que G e H n~ao s~ao isomorfos e que devolva sim se G1n~ao e isomorfo a G2e devolva n~ao caso contrario. Em linguagem tecnica dissemos que

n~ao se sabe se o problema do n~ao-isomorsmo de grafos esta na classe NP de complexidade computacional.

Observac~ao 5. Por outro lado, podemos considerar o problema do isomorsmo de grafos:

O problema do isomorsmo de grafos: Dados os grafos G = (V, E) e H = (V, E′₎_{decidir se}

(8)

Atualmente n~ao se conhece algoritmo polinomial no tamanho do grafo que resolva o problema. Entretanto, n~ao e difcil projetar um algoritmo de tempo polinomial que recebe a terna (G, H, f) onde f: V(G) → V(H) e devolve sim caso G e H s~ao isomorfos e f e o isomorsmo, caso contrario devolve n~ao. Em linguagem tecnica dizemos que o problema do isomorsmo de grafos esta na classe NP de complexidade de problemas computacionais. Entretanto, n~ao e sabido se esse problema e NP-completo.

Exerc´ıcios

Exerccio 40. Determine quais pares dentre os grafos abaixo s~ao isomorfos. (i) G1dado por V(G1) = {v1, u1, w1, x1, y1, z1}e

E(G1) = {{u1, v1}, {u1, w1}, {v1, w1}, {v1, x1}, {w1, y1}, {x1, y1}, {x1, z1}};

(ii) G2dado por V(G2) = {v2, u2, w2, x2, y2, z2}e

E(G2) = {{u2, v2}, {u2, w2}, {v2, w2}, {v2, x2}, {w2, y2}, {x2, y2}, {y2, z2}};

(iii) G3dado por V(G3) = {v3, u3, w3, x3, y3, z3}e

E(G3) = {{u3, v3}, {u3, w3}, {v3, w3}, {v3, x3}, {w3, y3}, {x3, y3}, {u3, z3}}.

Exerccio 41. Mostre que existem 11 grafos n~ao-isomorfos com 4 vertices.

Exerccio 42. Sejam G e H grafos isomorfos e f: V(G) → V(H) um isomorsmo. E verdade que G[U]e isomorfo a H[f(U)] para todo U ⊆ V(G)? Justique.

Exerccio 43. Mostre que o grafo de Petersen e isomorfo ao complemento do grafo linha do K5_.

Exerccio 44. Um automorfismo de um grafo e um isomorsmo do grafo sobre ele mesmo. Quantos automorsmos tem um grafo completo?

Exerccio 45. Mostre que o conjunto de automorsmos de um grafo com a operac~ao de composic~ao de func~oes denem um grupo.

Exerccio 46. Qual o numero de grafos distintos sobre um conjunto de vertices V de tamanho n? Exerccio 47. Prove que ha pelo menos 2(

n 2)

n! grafos n~ao isomorfos sobre um conjunto de vertices

de ordem n.

Exerccio 48. Um grafo G = (V, E) e v´ertice-transitivo se para quaisquer u, v ∈ V existe um automorsmo f de G com f(v) = u. Analogamente, G e aresta-transitivo se para quaisquer arestas {x, y}, {z, w} ∈ E existe um automorsmo f de G tal que {f(x), f(y)} = {z, w}.

Dê um exemplo de grafo vertice-transitivo. Dê um exemplo de grafo aresta-transitivo. Dê um exemplo de grafo aresta-transitivo mas n~ao vertice-transitivo.

1.4 Outras no¸

c˜

oes de grafos

Em algumas situac~oes podemos ter um modelo para um problema a ser resolvido e esse modelo seria um grafo se desconsiderassemos algumas peculiaridades da situac~ao. Por exemplo, um mapa rodoviario pode ser modelado denindo-se um vertice para cada cidade e duas cidades formam uma aresta no grafo (modelo) se existe rodovia ligando essas cidades correspondentes aos vertices. Normalmente, distância e um parâmetro importante nesses mapas e assim as arestas devem ter um comprimento associado a elas. Entretanto, \comprimento de aresta" n~ao faz parte da denic~ao de um grafo. Num outro exemplo, se estamos interessados em rotas de trafego dentro de uma cidade podemos denir um vertice por esquina e duas esquinas consecutivas numa mesma rua formam uma aresta. Nesse caso, as ruas têm sentido (m~ao e contra-m~ao) e as arestas tambem deveriam ter mas, novamente, essa caracterstica n~ao faz parte da denic~ao de grafos.

Esses problemas e muitos outros podem ser modelados com \outros tipos" de grafos. Alguns desses outros tipos s~ao