Mat.
Semana 12
PC Sampaio
Alex Amaral
Gabriel Ritter
Rafael Jesus
(Roberta Teixeira)
(Gabriella Teles)
CRONOGRAMA
04/05
05/05
11/05
12/05
Progressão Aritmética08:00
18:00
Progressão Geométrica8:00
18:00
Progressão Geométrica - continuação08:00
18:00
Introdução à matemática financeira: porcentagem08:00
18:00
Exercícios de PA11:00
21:00
Exercícios de PG11:00
21:00
18/05
19/05
26/05
25/05
Juros Simples08:00
18:00
Combinatória: princípio fundamental de contagem e arranjos08:00
18:00
Revisão de juros simples e compostos08:00
18:00
Combinatória: combinação08:00
Juros Compostos11:00
21:00
Combinatória: permutação simples e anagramas11:00
21:00
Progressão
aritmética
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01. Resumo 02. Exercícios de Aula 03. Exercícios de Casa 04. Questão Contexto95
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RESUMO
Definição
Progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se o termo anterior com uma constante. Essa constante é chamada razão da P.A.
→ (-6,-1,4,9,14,...)-> é uma p.a. De razão r=5. → (150,140,1300,120…)-> é uma p.a. De razão r=-10
Obs.: Note então que nos exemplos anteriores a razão de uma p.a. Pode ser obtida calculando-se a diferença entre um termo qualquer ( a partir do segundo) e o termo que o antecede, isto é : numa progressão escrita como (a1, a2, a3….)
R= a2 - a1=a3 - a2=a4 - a3 = …=an-an-1
Classificação
De acordo com a razão podemos classificar as pro-gressões aritméticas da seguinte forma
✓ r>0, Dizemos que a p.a. é crescente. ✓ r=0, Dizemos que a p.a. É constante. ✓ r<0 dizemos que a p.a. É decrescente.
Termo geral
Vamos agora encontrar a expressão para uma pro-gressão aritmética:
Seja uma p.a. (a1, a2, a3…) de razão R temos que: a2-a1= R => a2=a1+R
a3-a2= R => a3=a2+R => a3=a1+2r
De modo geral temos então que o termo an que ocu-pa a n-ésima posição na sequência é dado por:
an = a1 + (n-1) . r
Soma dos n primeiros termos
de uma p.a.
Muitas foram as contribuições do alemão Carl F. Gauss à ciência em particular, à matemática . Sua incrível vocação para matemática se manifestou desde cedo, perto dos 10 anos de idade. Conta-se que Gauss surpreendeu seu professor ao responder o valor da soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5…+ 99 + 100) em pou-quíssimo tempo!
Que ideia Gauss teria tido? Ele notou a seguinte propriedade! a1+a100= 1+100 =101 a2+a99= 2 + 99= 101 a3+a98 = 3 + 98 =101 . . . a50+a51 = 50 + 51 =101
Assim, Gauss teria agrupado os 100 termos da soma em 50 pares de números cuja a soma é 101 . Obtendo 50 x 101 = 5 050
Então a soma dos 100 termos desta sequência é 5 050
Portanto algebricamente o que Gauss fez foi: S100 = (1+100).100 = 5050
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Então podemos dizer que numa sequência de n ter-mos, podemos escrever genericamente, como:
Sn = (a1 + an) . n 2
Onde: a1 → primeiro termo da sequência an → último termo da sequência n → número de termos da sequência
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2.
EXERCÍCIOS DE AULA
1.
3.
Numa sala de aula cada um dos 100 alunos recebe um número que faz parte de uma sequência que está em progressão aritmética. Sabendo que a soma de to-dos os números é 15050 e que a diferença entre o 46° e o 1° é de 135, determine o 100° número.
As projeções para a produção de arroz no período de 2012 - 2021, em uma deter-minada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento cons-tante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em tonela-das, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.
A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de a) 497,25. b) 500,85. c) 502,87. d) 558,75. e) 563,25.
Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um ca-nudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir:
1ª questão com progressão aritmética – Enem 2010
Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura?
a) C = 4Q. b) C = 3Q + 1. c) C = 4Q – 1 d) C = Q + 3. e) C = 4Q – 2.
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5.
4.
Um trem partiu da estação com 100 passageiros a cada estação entraram outros 12 passageiros e ninguém saiu. Ao sair de que estação o trem estava com 268 passageiros? a) 16° estação b) 14° estação c) 15° estação d) 17° estação e) 13° estaçãoA fim de organizar a convocação dos funcionários de uma empresa para o exame médico, decidiu-se numerá-los de 1 a 500. Na primeira semana, foram convoca-dos os funcionários, cujos os números representavam os múltiplos de 2 e, na se-gunda semana, foram convocados os funcionários identificados por múltiplos de 3 e que ainda não haviam sido chamados. Qual é o número de funcionários que não haviam sido convocados após essas duas semanas?
EXERCÍCIOS PARA CASA
1.
Numa progressão aritmética de 7 termos, a soma dos dois primeiros é 14 e a dos dois últimos é 54. Calcule a razão e o último termo desta P.a.2.
Para um show musical foram vendidos 6 200 ingressos para pessoas que serão expostas em filas a partir do palco. A primeira fila será formada por 120 pessoas, a segunda por 140, a terceira por 160 e assim por diante nas filas seguintes: O número dessas filas é de:a) 25 b) 23 c) 20 d) 17
3.
As progressões aritméticas (2,9,16,...,k) e (382,370,358,...,k) são finitas e tem o mesmo número de termos. O valor de k é igual a :a) 156 b) 170 c) 135 d) 142
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7.
6.
8.
5.
4.
O triângulo retângulo seguinte tem perímetro 96 cm , e área de 384 cm2. Quais são as medidas de seus lados se (x, y, z) é nessa ordem uma p.a. crescente?Dada a progressão aritmética 2, 5, 8, 11. Então a soma dos termos PA desde o 21° termo até o 41° inclusive é igual a:
a) 1954 b) 1666 c) 1932 d) 1656 e) 1931
Uma dívida deve ser paga em três prestações cujos valores estão em p.a sabendo que a 3° prestação deve ser R$100,00 a mais do que a 1° e que a soma das duas últimas deve ser igual a R$1050,00 determine o valor da dívida.
Uma criança organizou suas 1378 figurinhas, colocando 3 na primeira fileira , 7 na segunda e 11 na terceira , e assim por diante, até esgotá-las. Quantas fileiras a criança conseguiu formar?
Utilizando-se um fio de comprimento L é possível construir uma sequência de 16 quadrados em que o lado de cada quadrado, a partir do segundo é 2 cm maior que o lado do quadrado anterior. Sabendo que para a construção do sétimo qua-drado são necessários 68 cm determine o valor de L.
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QUESTÃO CONTEXTO
Jogos Olímpicos são um evento multiesportivo global com modalidades de ve-rão e de inverno, em que milhares de atletas participam de várias competições. Atualmente os Jogos são realizados a cada dois anos, em anos pares, com os Jogos Olímpicos de Verão e de Inverno se alternando, embora ocorram a cada quatro anos no âmbito dos respectivos Jogos sazonais.
Jogos Olímpicos de Verão de 1896, oficialmente conhecidos como Jogos da I Olimpíada, foram os primeiros Jogos Olímpicos da era moderna, realizados em Atenas, Grécia, berço dos Jogos da Antiguidade, entre os dias 6 e 15 de abril de 1896, com a participação de 241 atletas masculinos, representantes de catorze países. O evento realizou-se graças ao empenho do francês Pierre de Frédy, o Barão de Coubertin, idealizador do renascimento dos Jogos existentes na Gré-cia Antiga, mentor do movimento olímpico e fundador do Comitê Olímpico In-ternacional.
A 1° edição dos jogos olímpicos foi no ano de 1896, considere os jogos de inverno e de verão, Calcule qual foi a edição dos jogos Rio2016.
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GABARITO
01.
Exercícios para aula
1. 299 2. d 3. b 4. c 5. 167
02.
Exercícios para casa
1. 29 2. c 3. d 4. x=24, y=32, z=40 5. c 6. R$1500,00 7. 26 fileiras. 8. 12,8 M
