Aula Teórica nº 18 LEM-2006/2007
Magnetostática no Vácuo
Iremos aqui estudar o campo magnético criado por correntes eléctricas estacionárias. Os ímans são conhecidos desde a Antiguidade tendo sido descritos por filósofos Gregos. Conta a lenda que circa 900 A.C., Magnus, um pastor grego, descobriu ao atravessar um campo umas pedras negras (vd. Fig.1) que jaziam no solo e que atraíam o fecho metálico das suas sandálias. Foi a partir daqui que se passou a chamar de magnetes a estas pedras, porque eram de Magnesia1. Na Europa os ímans são conhecidos desde 1269, quando Petrus Peregrinus, um italiano, descobre que agulhas feitas com essas pedras se alinham com as linhas de longitude.
Em 1600, William Gilbert descobre que a Terra é um gigantesco magnete em tudo
parecido com as pedras de P
eregrinus e explica como funciona o compasso. A Fig.2 mostra um antigo compasso chinês.
A descoberta da existência de forças entre corpos que não se encontravam electrizados levou ao aparecimento de um novo capítulo da Física chamado de magnetismo.
A não existência de qualquer força entre um íman e uma carga eléctrica parecia sugerir que o magnetismo e a electricidade eram capítulos da Física completamente independentes.
No entanto a situação foi alterada, em virtude de uma experiência realizada por Oersted2 em 1819, onde se verifica que uma corrente eléctrica a passar num circuito agia sobre uma agulha magnética, provocando nesta uma deflexão em tudo semelhante à ocasionada por um íman.
1Provavelmente na dinastia Qin (221-206 A.C.) os chineses teriam inventado o compasso. O compasso
encontrava-se colocado sobre uma tábua quadrada onde encontrava-se deencontrava-senhavam os pontos cardeais e as constelações. Inicialmente a agulha era um magnete com a forma de ma colher de sopa com uma espátula que sempre apontava para o polo sul. No Séc. VIII D.C. apareceram as primeiras agulhas em lugar da pedra emforma de colher de sopa e a partir de 850 e 1050 D.C. tornaram-se um aparelho de navegação nos navios. O primeiro registo de alguém que terá usado a agulha par a navegação maritime parece ser um chinês, de nome Zheng He (1371-1435), natural da províciade Yunnan que terá feito sete viagens oceânicas entre 1405 and 1433.
2 Hans Christian Oersted (1777-1851), cientista dinamarquês. A sua descoberta no decorrer de uma aula
foi acidental.
Fig. 2 - Compasso chinês datando da dinastia Qin (221-206) A.C.
Mais tarde, em 1827, Ampère3 verificou que o mesmo tipo de interacção era também observado entre dois circuitos percorridos por correntes.
[1]
Este facto levou Ampère a postular que no interior dos ímans deveriam existir correntes elementares (correntes de Ampère) e que era a acção destas correntes a responsável pelo aparecimento das forças magnéticas. Note-se que hoje sabe-se que os átomos têm electrões e que estes originam correntes microscópicas no interior dos átomos, mas em 1827 não se conheciam os electrões.
No decurso das experiências realizadas por Ampère este determinou experimentalmente a força que se exerce entre dois circuitos eléctricos filiformes, percorridas por corrente estacionária, no vácuo.
[1]
Assim, sejam os dois circuitos assinalados e considere-se em cada um, um dado troço de comprimento sd e com uma orientação espacial determinada pela orientação do
vector sd . Seja r a distância entre os filamentos de circuito d e s1 d (usar um s s2
minúsculo ou então um l, isto é, dl1e dl2): [2]
Ampère determinou que a força elementar que o troço i exerce sobre o troço 1ds1 i 2ds2
é dada por: [3]
3 André Marie Ampère (1775-1836), cientista francês, conhecido pelas suas contribuições fundamentais à Electrodinâmica (palavra por si inventada). Ampère inventou agulha estática permitindo o desenvolvimento do galvanómetro estático. Mostrou pela primeira vez que dois condutores paralelos percorridos por corrente eléctrica com o mesmo sentido atraíam-se e, quando percorridos por correntes opostas se repeliam.
Esta lei é conhecida por Lei de Ampère, é uma lei experimental e desenpenha aqui o mesmo papel que a lei de Coulomb desenpenhava na electrostática. Note-se que
1
2 dF
F
d ≠ − , pois que se tem:
[
]
[
d
s
2
×
d
s
1
×
gra
d
2
r
]
≠
−
[
d
s
1
×
[
d
s
2
×
gra
d
1
r
]
]
A força máxima exercida entre os dois filamentos ocorre quando eles estiverem paralelos:
[4]
µ0 é a chamada permeabilidade magnética do vácuo. O seu valor é determinado experimentalmente e no Sistema S.I. é: µ0 = 4π10−7 Hm−1, onde H é abreviatura de Henry4, que é a unidade de coeficiente de indução. Mais tarde ir-se-á ver que 1H=1Ω
.s.
As dimensões de µ0 são:
[ ] [ ] [ ]
20 = F ⋅ i − µ
Tendo em conta que 0 10 9 Fm 1
36 1 − − = π ε e µ0 = 4π10−7 Hm−1, pode-se dizer desde já que 0 0 1 µ
ε tem as dimensões de uma velocidade e que o seu valor é
1
8 ms
10
3× −
=
c . Esta é uma primeira indicação de que a luz é uma perturbação
electromagnética, e que a velocidade de propagação é independente do tipo de perturbação que se considere, pois só depende das características do meio.
Campo de indução magnética B
4 Joseph Henry (1797-1878), foi um dos maiores cientistas norte-americanos ao mesmo nível que
Benjamin Franklin. Ao construir electromagnetes descobriu o fenómeno de auto-indução.
Fig.3 – Montagem experimental usada por Ampere.
Viu-se que existe uma força de interacção à distância entre os dois filamentos percorridos por corrente eléctrica. Podemos pensar agora, tal como quando estudámos o campo electrostático, que o primeiro filamento cria em todo o espaço, independentemente da existência ou não do segundo filamento, um campo de indução magnética dB2 :
[5]
Que se chama de Lei de Biot-Savart , 5 e que este campo junto do filamento (2), actua-o com uma força dF2, dada por6:
[6]
É fácil verificar que se introduzirmos a expressão da lei de Biot-Savart 7 na expressão da lei de Laplace, obtemos a lei de Ampère.
Para obtermos o campo de indução magnética total junto do filamento (2) temos de integrar sobre o circuito (1)
[7]
Enquanto que para obtermos a força total que actua o circuito (2) temos de integrar sobre este circuito:
[8]
A unidade de B no sistema S.I. é o Tesla, abreviatura T, enquanto que no sistema electromagnético C.G.S. a unidade é o Gauss,
G 10 T
1 = 4
5 Jean-Baptist Biot (1774-1862), cientista francês, grande parte das suas investigações foi sobre a
polarização da luz e rotação óptica. Com Savart, em 1820, obteve a fórmula conhecida por lei de Biot-Savart.
6 Esta fórmula foi de facto obtida por Hermann Günter Grassmann (1809-1877) mas é incorrectamente
referida como a Lei de Ampère nos textos modernos.
7 Félix Savart (1791-1841). Junto com Biot consideravam ser o magnetismo uma propriedade
fundamental, contrariamente à abordagem de Ampère que considerava o magnetismo derivado das correntes eléctricas.
LEI DE BIOT-SAVART
A unidade T é muito grande e, a título de curiosidade, note-se que o campo magnético terrestre à latitude de Lisboa é 0.5 G.
Exemplo – Considere-se agora o Prob. 121 da colectânea de problemas, no qual um fio
rectilíneo infinito é percorrido por uma corrente eléctrica estacionária i. Pretende-se calcular o campo B a uma distância d do fio.
Trata-se portanto de uma aplicação da lei de Biot-Savart [9]
Vamos de seguida proceder à seguinte mudança de variáveis:
α α α α α sec . cos . . sec . . 2 d r r d d d dy tg d y = ⇒ = = ⇒ = [10]
Se tivessemos considerado um ponto do lado esquerdo do fio o campo seria para cá e como o seu módulo só depende da distância ao fio, facilmente concluímos que as l.d.f. de B são circulares, assentes num plano perpendicular ao fio, com o sentido da corrente
i, pela regra do produto externo, ou regra do saca-rolhas.
y r
d
As l.de f. de B são linhas fechadas.
