A evolução do risco associado às ações PBR via modelo de regressão quantílica

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Luisa Santoro Teixeira Pontes

A evolu¸

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ao do Risco associado `

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oes PBR

via modelo de Regress˜

ao Quant´ılica

Niter´oi - RJ, Brasil 21 de dezembro de 2017

(2)

Universidade Federal Fluminense

Luisa Santoro Teixeira Pontes

A evolu¸

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oes PBR via modelo de Regress˜

ao

Quant´ılica

Trabalho de Conclus˜ao de Curso

Projeto Final I apresentado para obten¸c˜ao do grau de Bacharel em Estat´ıstica pela Universidade Federal Fluminense.

Orientador: Prof. Wilson Calmon Almeida dos Santos

Niter´oi - RJ, Brasil 21 de dezembro de 2017

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Universidade Federal Fluminense

Luisa Santoro Teixeira Pontes

A evolu¸

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ao do Risco associado `

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oes PBR

via modelo de Regress˜

ao Quant´ılica

Projeto Final I sob o t´ıtulo “A evolu¸cão do Risco associado às a¸cões PBR via modelo de Regressão Quant´ılica”, defendida por Luisa Santoro Teixeira Pontes e aprovada em 21 de dezembro de 2017, na cidade de Niterói, no Estado do Rio de Janeiro, pela banca examinadora constitu´ıda pelos professores:

Prof. Dr. Wilson Calmon Almeida dos Santos Departamento de Estat´ıstica – UFF

Prof. Dr. Fabio Nogueira Demarqui Departamento de Estat´ıstica – UFF

Prof. Dr. Eduardo Ferioli Gomes Departamento de Estat´ıstica – UFF

(4)

Ficha catalográfica automática - SDC/BIME Gerada com informações fornecidas pelo autor

Bibliotecário responsável: Ana Nogueira Braga - CRB7/4776

P813e Pontes, Luisa Santoro Teixeira

A evolução do risco associado às ações PBR via modelo de regressão quantílica / Luisa Santoro Teixeira Pontes ; Wilson Calmon Almeida dos Santos, orientador. Niterói, 2019. 60 f. : il.

Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em

Estatística)-Universidade Federal Fluminense, Instituto de Matemática e Estatística, Niterói, 2019.

1. Petrobrás e operação lava-jato. 2. Regressão Quantílica. 3. Valor em Risco. 4. CAViaR. 5. Produção

intelectual. I. Santos, Wilson Calmon Almeida dos, orientador. II. Universidade Federal Fluminense. Instituto de Matemática e Estatística. III. Título.

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-Resumo

As a¸cões da PETROBRAS [negociadas tanto no exterior quanto na bolsa de valores de São Paulo] vêm decaindo de maneira cont´ınua desde 2009. Já em 2014, a divulga¸cão dos esquemas de corrup¸cão da Opera¸cão Lava-Jato foi associada à queda de valor expressivo da empresa. No entanto, como as a¸cões vêm se desvalorizando desde antes da ”crise pol´ıtica” que atingiu os brasileiros na transi¸cão entre o primeiro e o segundo mandato da presidenta Dilma, outros fatores poderiam justificar esses números, como por exemplo a crise econômica e financeira internacional de 2008, e a consequente queda do pre¸co internacional do barril do petróleo. Já em tempos mais recentes, as a¸cões tem tido um comportamento mais volátil, o que poderia ser associado ao aumento do risco de se investir na companhia. No presente trabalho, empregamos o modelo de regressão quant´ılica, tal como proposto em Engle and Manganelli, 2004 [1], a fim de analisar a evolu¸cão do risco associado à a¸cão da Petrobras [PBR], usando para isto a medida Valor em Risco [VaR - Value at Risk], firmada no Segundo Acordo de Basiléia, e verificar se, de fato, houve um aumento do risco a partir do momento em que foram divulgados os escândalos de corrup¸cão envolvendo membros da empresa. Comparamos também o VaR estimado em diferentes modelos do tipo CAViaR. O melhor modelo CAViaR que ajustou-se aos dados, tanto da variável PBR, quanto das outras escolhidas para compara¸cões, foi o SAV. O modelo ADP se mostrou menos adaptativo na maioria dos casos. Verificou-se que o risco da a¸cão PBR se tornou substancialmente maior do que o de outras companhias do setor no mundo ou mesmo do que o de empresas que possuem a¸cões na bolsa de São Paulo ou nos Estados Unidos, o que pode ser um efeito da exposi¸cão negativa da imagem da companhia na m´ıdia por conta da opera¸cão Lava-Jato.

Palavras-chaves:

Petrobras; Opera¸c˜ao Lava-Jato; Regress˜ao Quant´ılica; Valor em Risco; Backtests; CAViaR;

(6)

Sum´

ario

Lista de Figuras 1 Introdu¸c˜ao p. 7 2 Objetivos p. 9 2.1 Objetivos Gerais . . . p. 9 2.2 Objetivos Espec´ıficos . . . p. 9 3 Materiais e M´etodos p. 10

3.1 Quantil e Perda Absoluta Assimétrica . . . p. 10 3.1.1 Quantil . . . p. 10 3.1.2 Fun¸cão perda . . . p. 13 . . . p. 13 3.2 Quantil Condicional . . . p. 16 3.2.1 Distribui¸cão condicional de Y dado X e Esperan¸ca condicional . p. 16 3.2.2 Quantil condicional . . . p. 17 3.3 Modelo de Regressão Quant´ılica . . . p. 18 3.3.1 Modelos Estat´ısticos . . . p. 18 3.3.2 Modelo de Regressão linear simples . . . p. 19 3.3.3 Modelo de Regressão Quant´ılica . . . p. 20 3.3.4 Funcionais Estat´ısticos, Fun¸cão de Distribui¸cão Emp´ırica e

Esti-mador Plug-in . . . p. 21 3.4 Valor em Risco via Regress˜ao Quant´ılica . . . p. 24

(7)

3.4.1 Valor em Risco . . . p. 24 3.4.2 Modelo Não Paramétrico Básico . . . p. 25 3.4.3 Modelo Paramétrico Básico Normal . . . p. 25 3.4.4 Modelo CAViaR . . . p. 26 3.5 Backtesting: testando aderência do VaR estimado . . . p. 28 3.5.1 Testes de cobertura incondicional (Kupiec-POF) . . . p. 28 3.5.2 Testes de cobertura condicional . . . p. 29 3.6 Dados: A¸cões PBR e variáveis correlatas . . . p. 31 3.6.1 Pre¸co da A¸cão PBR . . . p. 31 3.6.2 Outras variáveis . . . p. 32

4 An´alise dos Resultados p. 34

4.1 Análise Exploratória dos Dados . . . p. 34 4.2 Estimando do Risco da a¸cão PBR e outras variáveis . . . p. 38 4.2.1 CAViaR e abordagens tradicionais . . . p. 38 4.2.2 Evolu¸cão temporal do risco . . . p. 42

5 Conclus˜ao p. 45

Referˆencias p. 47

Anexo A -- Demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 3.1 p. 49

B -- Demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 3.2 p. 52

C -- Estat´ısticas Anuais p. 54

(8)

Lista de Figuras

1 O α-quantil QY,α da distribui¸cão N (0, 1). . . p. 11 2 Fun¸cão de distribui¸cão acumulada da Ber(0.5). . . p. 12 3 Fun¸cões perda segundo α . . . p. 14 4 Pre¸co diário das a¸cões PBR e PETRA . . . p. 31 5 Médias móveis do pre¸co das a¸cões da PBR . . . p. 35 6 Desvios-padrão móveis do log-retorno do pre¸co das a¸cões da PBR . . . p. 36 7 Desvios-padrão anuais do log-retorno diário: a¸cão PBR vs outras variáveis p. 37 8 Desvios-padrão do log-retorno diário: a¸cão PBR vs outras variáveis . . p. 38 9 Valor em risco estimado e Frequência de viola¸cões . . . p. 39 10 Viola¸cões: PBR x Outras variáveis . . . p. 42 11 Valor em risco estimado: PBR x Outras variáveis . . . p. 43 12 Boxplot das diferen¸cas por per´ıodos PBR x Outras variáveis . . . p. 44 13 Valor em risco estimado e Frequência de viola¸cões . . . p. 57 14 Valor em risco estimado e Frequência de viola¸cões . . . p. 58 15 Valor em risco estimado e Frequência de viola¸cões . . . p. 58 16 Valor em risco estimado e Frequência de viola¸cões . . . p. 58 17 Valor em risco estimado e Frequência de viola¸cões . . . p. 59 18 Valor em risco estimado e Frequência de viola¸cões . . . p. 59

(9)

7

1 Introdu¸

c˜

ao

As a¸cões da PETROBRAS [tanto as negociadas na bolsa de valores de São Paulo, como as negociadas no exterior] apresentaram quedas expressivas de valor a partir de 2009. No caso da a¸cão PBR [a¸cão da Petrobras negociada na bolsa NYSE], por exemplo, que chegou a ser vendida por mais de US$44 em 2009, no ano de 2016 foi comercializada por valores inferiores a US$4 1. Tal queda de valor das a¸cões [e, por conseguinte, da companhia] despertou o interesse da literatura acadêmica, revelado em diversos trabalhos.

Pereira, et al, 2015 [2] fazem uma revisão dos impactos econômicos e pol´ıticos causados pelas mudan¸cas da regula¸cão do setor de óleo e gás no Brasil. Já o artigo Fortunato, et al, 2017[3], investigam os impactos no pre¸co das a¸cões da PETROBRAS causados pelas mudan¸cas no modelo de concessão e os novos regulamentos para as reservas de pr´ e-sal. Finalmente Severich, 2016[4], aborda de maneira mais espec´ıfica os escândalos de corrup¸cão da PETROBRAS e suas influência na economia brasileira.

Em 2014, problemas de corrup¸cão têm sido apontados como causa para as perdas de valor da companhia. Em Miceli, 2016[5], a PETROBRAS é apontada como protagonista da Opera¸cão Lava-Jato, o que teria refletido diretamente na queda brusca das a¸cões da empresa no mercado. No entanto, os dados revelam que a queda do pre¸co das a¸cões da PETROBRAS tem ocorrido desde 2008 [antes da ”crise pol´ıtica”associada à transi¸cão do primeiro para o segundo governo Dilma].

Sendo assim, outros fatores além da corrup¸cão e dos escândalos envolvendo executivos da empresa poderiam justificar a perda de valor da companhia, como por exemplo a crise econômica e financeira internacional de 2008, a consequente crise da economia mundial e a queda do pre¸co internacional do petróleo 2.

Em anos mais recentes, porém, aparentemente, o pre¸co das a¸cões da PETROBRAS tem apresentado um comportamento mais volátil - isto pode significar um aumento do

1_A¸_c˜_{ao comercializada na bolsa NYSE dispon´ıvel em https://finance.yahoo.com/quote/PBR?p=PBR} 2_{O pre¸}_{co internacional do barril de Petr´}_{oleo [Brent] em 2012 ultrapassou a barreira de US$120. J´}_a

(10)

1 Introdu¸c˜ao 8

risco. Conforme Jorion, 2006[6], o Valor em Risco [VaR - Value at Risk] é uma das medidas de risco mais utilizadas desde o Segundo Acordo de Basiléia. Neste trabalho gostar´ıamos de analisar a evolu¸cão do risco associado à a¸cão PBR, usando para isto a medida VaR e investigar se, de fato, houve um aumento do risco a partir do momento em que se tornaram públicos os fatos que caracterizaram a corrup¸cão dentro da empresa.

Diversas metodologias foram propostas nos últimos 20 anos para a estima¸cão do VaR conforme Roccioletti, 2016[7]; Hull 2015[8]; Jorion, 2006[6]. Aqui, porém, utilizaremos o método CAViaR proposto em Engle and Manganelli, 2004[1], que é baseado na Regressão Quant´ılica.

O Cap´ıtulo 2 deste trabalho enuncia os objetivos [gerais e espec´ıficos]. No Cap´ıtulo 3 trata-se da metodologia que será empregada e dos conceitos que a cercam afim de justificar todos os métodos usados. Introduz-se os conceitos primários acerca das no¸cões de Quantil e Perda Absoluta Assimétrica na Se¸cão 3.1. Já na Se¸cão 3.2 define-se quantil condicional, estabelecendo-se, então, as bases para a melhor compreensão da Se¸cão 3.3, onde é definido o Modelo de Regressão Quant´ılica. Na Se¸cão 3.4. discute-se como a Regressão Quant´ılica pode ser utilizada na estima¸cão do Valor em Risco através do método CAViaR, para na Se¸cão 3.5 esse VaR estimado ser testado conforme a propor¸cão de viola¸cões esperadas e sua distribui¸cão através de 2 backtets. Por fim, na Se¸cão 3.6 discuti-se os dados a serem usados no trabalho: a variável PBR, e outras variáveis 6 variáveis escolhidas que possam estar correlatadas com essa variável. No cap´ıtulo 4 apresentaremos o VaR estimado para a a¸cão PBR e demais variáveis, bem como os resultados dos testes de ajuste dos diferentes Métodos CAViaR para cada uma das variáveis. O cap´ıtulo é encerrado com uma análise comparativa da evolu¸cão do risco PBR com rela¸cão às demais variáveis. A conclusão é apresentada no cap´ıtulo 5.

(11)

9

2 Objetivos

2.1 Objetivos Gerais

• Avaliar se o risco da a¸cão PBR aumentou desde que se tornaram públicos os fatos levantados na opera¸cão Lava Jato. Para isso, analisaremos a evolu¸cão do risco entre 2010 e 2017 usando a medida de risco Valor em Risco [VaR]. Estimaremos o VaR em cada instante utilizando o método proposto por Engle e Manganelli (2004)[1] que é baseado no Modelo de Regressão Quant´ılica.

2.2 Objetivos Espec´ıficos

• Avaliar a adequa¸cão da metodologia CAViaR para estimar o VaR da a¸cão PBR -através de testes de hipótese conhecidos como Backtests.

• Identificar se nos per´ıodos em que o risco [medido pelo VaR estimado] foi maior, também houve um aumento da volatilidade em variáveis que não são diretamente relacionadas com a corrupão: Pre¸co do Petróleo no mercado Internacional, Índices representativos do Mercado Financeiro Internacional [como NASDAQ, por exemplo].

(12)

10

3 Materiais e M´

etodos

3.1 Quantil e Perda Absoluta Assim´

etrica

3.1.1 Quantil

Uma variável aleat´_{oria Y definida sobre um espa¸co de probabilidade (Ω, A, P ) é uma} fun¸cão real definida no espa¸co amostral Ω tal que [Y ≤ y] é um evento aleatório para todo y ∈ R, i.e., Y : Ω −→ R é variável aleatória se [Y ≤ y] ∈ A, ∀ y ∈ R [9]. Dessa forma, é poss´ıvel associar a cada variável aleatória (de agora em diante, v.a.) Y uma fun¸cão FY, chamada de Fun¸cão de Distribui¸cão Acumulada [F.D.A.]. Tal fun¸cão, com dom´ınio real, associa a cada número y, a probabilidade do evento [Y ≤ y], ou seja:

FY(y) = P ([Y ≤ y]) = P (Y ≤ y)

Geralmente, lidamos com dois tipos de variáveis aleatórias: discretas e cont´ınuas. Uma variável aleatória Y é discreta se assume valores em um conjunto enumerável {y1, y2, . . .} ⊂ R ; e nesse caso, existe uma fun¸cão de probabilidade pY de Y tal que :

pY(yi) = P (Y = yi), i = 1, 2, . . . Note que se Y ´e v.a. discreta, FY(y) =

X

i:yi6y

p(yi).

Uma variável aleatória Y é cont´ınua se o conjunto de valores que ela pode assumir é não enumerável e existe uma fun¸cão de densidade de probabilidade [densidade, simplesmente] fY(y) > 0, ∀ y ∈ R tal que:

P (a < Y ≤ b) = Z b

a

fY(t)dt

Repare que se Y ´e v.a. cont´ınua , FY(y) = Ry

(13)

3.1 Quantil e Perda Absoluta Assim´etrica 11

A distribui¸cão de uma v.a. Y é uma fun¸cão PY(.) que associa a eventos da forma [Y ∈ B] sua probabilidade de ocorrência, ou seja, PY(B) = P ([Y ∈ B]). A distribui¸cão de Y determina a Fun¸cão de Distribui¸cão Acumulada de Y e, de forma análoga, é determinada de modo único por ela. No caso discreto, a distribui¸cão determina e é determinada pela fun¸cão de probabilidade também. De modo similar, no caso cont´ınuo, a distribui¸cão determina e é determinada pela densidade.

Muitas vezes, há o interesse em conhecer apenas alguns aspectos ou caracter´ısticas da distribui¸cão de Y. Tais caracter´ısticas costumam ser chamadas de parâmetros. Po-demos considerar, por exemplo, o valor esperado (da distribui¸cão) de Y, a variância (da distribui¸cão) de Y, etc. Aqui, será de particular interesse o estudo acerca do quantil (da distribui¸cão) de Y.

No caso cont´ınuo, assumindo que a F.D.A. é estritamente crescente em [0, 1], se 0 < α < 1, o α-quantil de Y será o (único) número real QY,α que satisfaz a equa¸cão a seguir

FY(QY,α) = P (Y ≤ QY,α) = α,

Quando Y tem distribui¸cão normal-padrão, por exemplo, (ver James, 2015[9] ), Y é v.a. continua com F.D.A. estritamente crescente. Observe que, neste caso, o gráfico do quantil de Y [Figura 1] é estritamente crescente, ou seja, apenas um número QY,α estará associado ao α-ésimo quantil.

(14)

Com base na defini¸cão de quantil, pode-se definir o conceito de fun¸cão quantil, deno-tada por QY, que está estritamente associado com o conceito de fun¸cão de distribui¸cão acumulada. No caso cont´ınuo, em que a F.D.A é estritamente crescente, a fun¸cão quantil, avaliada em um número real alfa, 0 < α < 1, será definida por:

QY(α) ≡ FY−1(α) = QY,α,

para qualquer valor α. Note que α = FY(QY,α) e QY,α= FY−1(α).

Observe agora o caso em que Y é v.a. discreta. Veja o gráfico [figura 2] da distribui¸cão acumulada de Y quando este assume distribui¸cão Bernoulli com parâmetro 1₂

Figura 2: Fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumulada da Ber(0.5).

Note que não existe um número real tal que F (y) = 1₄, e, de maneira similar existem vários valores para y que satisfazem F (Y ) = 1₂ no intervalo [0, 1). Sempre que a variável aleatória for discreta esse tipo de situa¸cão será recorrente. Dessa maneira, precisamos definir o quantil de modo mais geral.

Em shao, 2010, p.378[10], ´e definido, por exemplo, o α-quantil da v.a. Y como sendo:

QY,α = inf {y : FY(y) ≥ α}

Como destacado pelo autor, para todo α ∈ (0, 1) e Y v.a., o seu α-quantil está definido de forma única. Com a defini¸cão mais geral, tem-se que a fun¸cão quantil satisfaz:

(15)

QY : (0, 1) −→ R

∀ α ∈ (0, 1), QY(α) = QY,α= inf {y : FY(y) ≥ α}

OBS: Em alguns textos ´e comum representar a fun¸c˜ao quantil acima por F−1(F−1 = QY)(como em Shao 2010[10]).

3.1.2 Fun¸

c˜

ao perda

O α-quantil de uma variável aleatória é um parâmetro (caracter´ıstica) da distribui¸cão Y, assim como valor esperado. Considera-se a mediana (quantil 0,5) e o valor esperado parâmetros de grande importância pois são medidas de tendência central da v.a. de interesse. Davino, et al, 2014[11], por exemplo, comenta que a compara¸cão entre média e mediana ajuda a definir o padrão de assimetria da distribui¸cão.

A ideia de fun¸cão perda aparece quando o interesse é a avalia¸cão de parâmetros associados a uma determinada distribui¸cão, sendo responsável por quantificar o valor pelo qual a previsão baseada em uma estimativa se desvia dos valores verdadeiros. Em problemas de estima¸cão, tipicamente deseja-se minimizar alguma fun¸cão perda (ou sua esperan¸ca). A seguir, exibiremos alguns exemplos de fun¸cão perda.

• Fun¸c˜ao perda quadr´atica

O valor esperado de Y, denotado por µ = E(Y )1_{, ´}_{e o n´}_{umero real mais pr´}_oximo de Y quando se adota uma perda quadrática, ou seja, E[Y ] é o número real mais próximo da v.a. no sentido que ele minimiza a esperan¸ca da perda quadrática:

µ = arg min

c∈R E(Y − c) 2

(ver James, 2015, pg. 137[9]) • Fun¸c˜ao perda absoluta

Por outro lado, a mediana é o número real que minimiza a esperan¸ca da perda absoluta, isto é,

1_{Seja Y uma v.a. qualquer e F sua fun¸}_c˜_{ao de distribui¸}_c˜_{ao. A esperan¸}_{ca de Y ´}_{e dada por: E[Y ] =}

R∞

(16)

Q_Y,1

2 = arg min_c∈R E|Y − c|

(ver James, 2015, pg. 138[9])

Sendo assim, a fun¸cão `sq, tal que `sq(u) = u2 é chamada de perda quadrática, e a fun¸cão àbs, tal que àbs(u) = |u| é chamada de perda absoluta. Ambas as fun¸cões são utilizadas como medidas alternativas de discrepância.

No caso em que deseja-se avaliar a discrepância entre a v.a. Y e o número real c, tanto `sq(Y − c) quanto àbs(Y − c) são, também, variáveis aleatórias. Por isso, para avaliar a distância entre ”Y”e ”c”calcula-se o valor esperado de `sq(Y − c) e àbs(Y − c), como fizemos acima.

• Fun¸c˜ao perda absoluta assim´etrica

Em alguns contextos práticos, pode-se desejar dar mais peso para ”erros”ou ”des-vios”positivos de u em compara¸cão à desvios negativos de u ou vice versa. Uma maneira de lidar com isso seria, por exemplo, adotando a perda absoluta assimétrica, `α conforme a defini¸cão a seguir:

`α(u) = (

α|u|, se u ≥ 0,

(1 − α)|u|, se u < 0 (3.1)

Vejamos, agora, os gr´aficos de `sq e `α para alguns valores de α (α = 0.5, α = 0.2, α = 0.8 :

(17)

Na verdade, a metade da perda absoluta (simétrica) àbs é um caso particular da perda absoluta assimétrica `α com α = 0.5. Note ainda que as fun¸cões perda retornam valores menores quando u está próximo de 0.

Obs: Usualmente, representa-se a perda absoluta assim´etrica (Davino, 2014[11] e Koenker, 2005[12]) via:

`α(u) = [α − I(u < 0)]u

em que I() é a fun¸cão indicadora. I(S) = 1 se a senten¸ca S é verdadeira, I(S) = 0 se a senten¸ca S é falsa.

Observe que, de fato, as duas defini¸cões são equivalentes, pois, para qualquer α ∈ (0, 1), usando a fun¸cão indicadora podemos escrever a fun¸cão perda absoluta as-simétrica de n´ıvel α, denotada por `α, como:

`α(u) = ( α|u|, se u ≥ 0, (1 − α)|u|, se u < 0 = α|u|I(u ≥ 0) + (1 − α)|u|I(u < 0) = αuI(u ≥ 0) + (1 − α)(−u)I(u < 0) = αuI(u ≥ 0) − uI(u < 0) + αuI(u < 0) = αu((I(u ≥ 0)) + (I(u < 0))) − uI(u < 0) = αu − uI(u < 0) = [α − I(u < 0)]u

Note que na pen´_{ultima linha usamos o fato de que I(u ≥ 0)) + I(u < 0) = 1. Note} ainda que, se α = 0.5 obtemos a metade Perda Absoluta [sim´etrica], `0.5 = 1₂|u| . Segundo Shao 2010[10], o α-quantil de Y minimiza o valor esperado de `α(Y − c), isto ´e,

QY,α= arg min

c∈R E{`α(Y − c)}.

Aqui apresentaremos uma demonstra¸cão desse resultado que é uma extensão da Proposi¸cão 3.4 apresentada por James, 2015, pg. 138[9].

Proposi¸cão 3.1. Seja Y uma variável aleatória e seja QY,αo seu o α-quantil. Então E(Y ) minimiza E{`α(Y − c)}, c ∈ R i.e. (Demonstra¸cão no apêndice A).

E{`α(Y − QY,α)} = min

(18)

3.2 Quantil Condicional 16

3.2 Quantil Condicional

3.2.1 Distribui¸

c˜

ao condicional de Y dado X e Esperan¸

ca

condicional

Sejam Y e X variáveis aleatórias definidas sobre um mesmo espa¸co de probabilidade (Ω, A, P ). Nosso objetivo é definir a distribui¸cão condicional de Y dado X=x para todo X ∈ R. Usando o conceito de probabilidade condicional, podemos definir a distribui¸cão condicional de Y dado X=x através da rela¸cão abaixo [de acordo com James, 2015, pg. 170[9]].

Rela¸c˜ao 1. P (Y ∈ B|X = x) = lim ∆x−→0

P (Y ∈ B|X ∈ I), em que I é um intervalo que contém x, de comprimento ∆x e que contém o ponto x, e B é um subconjunto de R tal que [X ∈ B] é evento aleatório.

Uma outra forma de definir a distribui¸cão condicional de Y dado X=x é assumir que esta é representada pela Fun¸cão de Distribui¸cão Acumulada Condicional de Y dado X=x, destacada pelo autor, denotada pela fun¸cão FY(.|X = x) e que satisfaz a rela¸cão 2, a seguir:

Rela¸c˜ao 2. FY,X(y, x) = Rx

−∞FY(y|X = t)dFX(t), (y, x) ∈ R 2_.

Caso discreto. X discreta. Para a sequˆencia finita ou enumer´avel de valores x1, x2, . . . tais que P (X = xn) > 0, definimos:

P (Y ∈ B|X = xn) =

P (Y ∈ B, X = xn) P (X = xn)

, se[Y ∈ B] ´e evento aleat´orio.

Caso cont´ınuo. Y e X possuem densidade conjunta f (.., ..). Dado que X=x e fX(x) > 0, definimos a densidade condicional via:

fY |X=x(y) = f (y, x) R∞ −∞fY(t, x)dt = f (y, x) fX(x), y ∈ R

A F.D.A. condicional de Y dado X=x pode ser obtida, ent˜ao, via FY |X=x(y) = Ry

−∞fY |X=x(t)dt.

Assim como no caso não condicional, pode existir o interesse em avaliar carac-ter´ısticas espec´ıficas da distribui¸cão condicional de Y dado que X assume um valor espec´ıfico x. Modelos de regressão, por exemplo, geralmente assumem uma forma espec´ıfica para a fun¸cão de regressão, que nada mais é do que a Esperan¸ca Condici-onal, ou seja, o valor esperado associado à distribui¸cão condicional. Formalmente, definimos a esperan¸ca condicional de Y dado X=x via:

(19)

3.2 Quantil Condicional 17

E(Y |X = x) = Z

ydFY(y|X = x).

A esperan¸ca condicional possui (condicionalmente) todas as propriedades da espe-ran¸ca ordinária e, adicionalmente, uma propriedade de extrema importância que será enunciada para usos posteriores: E[E(Y |X)] = E[Y ]. Conhecida como lei das expectativas iteradas, esta propriedade equivale a dizer que:

E[Y ] = Z

E(Y |X = x)dFX(x).

Sendo assim, vamos verific´a-la quando Y e X tˆem densidade conjunta f (y, x) (Con-forme James, 2015, pg.190[9]):

E(Y |X = x) = R ydFY(y|X = x) = R∞ −∞yf (y, x)dy = R∞ −∞y f (y,x) fX(x)dy, se fX(x) > 0.

Logo, se estão definidas as integrais acima [e admitindo que as integrais abaixo também estão definidas] temos,

E{E(Y |X)} = Z E(Y |X = x)dFX(x) = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ yf (y, x) fX(x) dy fX(x)dx = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ yf (y, x)dydx = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ f (y, x)dx ydy = Z ∞ −∞ yfY(y)dy = E{Y }.

3.2.2 Quantil condicional

Com base na defini¸cão de quantil e de distribui¸cão condicional, pode-se definir o conceito de quantil condicional. Sendo assim, podemos definimos o α-quantil con-dicional de Y dado X que está diretamente associado com o conceito de F.D.A. condicional, denotado por QY |X=x,α, da seguinte maneira:

QY |X=x,α= infy ∈ R, FY |X=x(y) ≥ α

(20)

3.3 Modelo de Regress˜ao Quant´ılica 18

E, por consequinte, podemos definir a fun¸c˜ao Quantil Condiconal de Y dado X, conforme a seguinte defini¸c˜ao:

Defini¸c˜_{ao: Para todo α ∈ (0, 1), x ∈ R, Y e X vari´aveis aleat´orias, define-se :} QY |X(α; x) = QY |X=x,α= infy ∈ R, FY |X=x(y) ≥ α

Vamos, agora, verificar como o quantil condicional minimiza a perda absoluta as-sim´etrica.

Proposi¸cão.3.2 E{`α(Y − QY |X(α; X))} ≤ E{`α(Y − g(X))} se α ∈ (0, 1) (De-monstra¸cão no apêndice B).

3.3 Modelo de Regress˜

ao Quant´ılica

3.3.1 Modelos Estat´ısticos

Sejam (z1, . . . , zn) realiza¸cões de uma amostra aleatória (Z1, . . . , Zn) formada por variáveis aleatórias [ou vetores aleatórios] independentes e identicamente distribu´ıdos (i.i.d) de uma F.D.A. desconhecida FZ. Usualmente, refere-se a (Z1, . . . , Zn) como uma amostra aleatória de F [X ∼ F], onde “∼”designa “ é distribuido como ”ou, mais especificamente, ” possui distribui¸cão que pode ser representada pela F.D.A. FZ”. Formalmente, define-se um modelo com uma classe de distribui¸cões da forma:

P = {Pθ : θ ∈ Θ}

em que Pθ representa uma distribui¸cão poss´ıvel para Z. Usualmente, são considera-das classes conheciconsidera-das de distribui¸cões como, por exemplo, a classe das distribui¸cões normais ou a classe das distribui¸cões gama, etc. Quando cada uma das distribui¸cões na classe pode ser representada por um conjunto de parâmetros espec´ıfico, diz-se que o modelo é paramétrico. Caso contrário, tem-se um modelo não paramétrico. Exemplo 1. Modelo Normal bivariado

No modelo normal bivariado, cada observa¸cão zi é um vetor bidimensional zi = (xi, yi) e supõe-se que zi é realiza¸cão do vetor aleatório(Xi, Yi) tal que (Xi, Yi) ∼ N2(µY, µX, σY2, σX2, ρ), em que µY, µX, σY2, σX2, ρ são parâmetros (constantes e desco-nhecidos) da distribui¸cão de Z. Neste caso, o modelo pode ser representado, alter-nativamente, pela classe de densidades conjuntas normais bivariadas 2

(21)

3.3 Modelo de Regress˜ao Quant´ılica 19 P = f (., ..|θ) : θ = (µX, µY, σX2, σY2, ρ) ∈ Θ sendo, f (x, y|θ) = 1 2πσYσX √ 1−ρ2 exp{ −1 2(1−ρ2₎[( y−µY σY ) 2_{− 2ρ(}y−µY σY )( x−µX σX ) + ( x−µX σX ) 2_]} e Θ = R2_{× (0, +∞)}2_{× [−1, 1]}

3.3.2 Modelo de Regress˜

ao linear simples

O tipo mais elementar de modelo de regressão é o modelo de regressão linear simples (LRM), que pode ser expresso pela seguinte equa¸cão:

yi = β0 + β1xi+ ei (3.1)

em que o subindice “i”é usado para associa¸cão com as observa¸cões da amostra. O número total das observa¸cões, também chamado de tamanho amostral, é denotado por “n”. Sendo assim, “i”varia de 1 à n. Cada observa¸cão compreende uma rea-liza¸cão yi da variável dependente Yi e, por vezes, supõe-se que xi é realiza¸cão da variável independente Xi.

Os parâmetros desconhecidos β0 e β1 e a distribui¸cão do erro ei 3 são comuns para todas as n observa¸cões. De acordo com (3.1), para cada i, o valor de yi é dado pela soma de uma fun¸cão linear de xi e pelo erro ei. Essa fun¸cão linear, que nesse caso ´

e β0+ β1xi, é chamada de fun¸cão de regressão.

O modelo (3.1)pode ser interpretado como um modelo para a média de Yi condici-onada a Xi = xi. Vamos assumir que o termo de erro ei tem média condicionada a Xi = xi igual a 0. Sendo assim, aplicando a esperan¸ca condicional dos dois lados da equa¸cão populacional que define o modelo de regressão linear, ou seja,

Yi = β0+ β1Xi+ ei temos que,

E(Yi|Xi = xi) = β0+ E(β1xi|Xi = xi) + E(ei|Xi = xi) = β0+ β1xi .

(22)

Obs: Sem assumir que E(ei|xi) = 0 a segunda igualdade n˜ao se sustenta.

A hip´otese da esperan¸ca condicional linear ´e compat´ıvel com o modelo normal bi-variado visto no exemplo 1. De fato, se (X, Y ) ∼ N2(µY, µX, σY2, σ2X, ρ),

Y |X = x ∼ N (µY + ρ σY σX (x − µX), σ2Y(1 − ρ 2 )), conforme James, 2015, p.194[9], e, portanto,

E{Y |X = x} = µY + ρ σY σX (x − µX) = (µY − ρ σY σX µX) + (ρ σY σX )x = α + βx, onde α = µY − ρσ_σY_XµX e β = ρσ_σY_X.

3.3.3 Modelo de Regress˜

ao Quant´ılica

Segundo Koenker e Basset (1978)[13], o modelo de regress˜ao quant´ılica linear (MRG) pode ser expresso por:

yi = β0α+ β1αxi+ eαi em que Qeα

i|Xi(α; xi) = 0 para todo i = 1, 2, . . . , n é condi¸cão básica para que o

modelo se sustente.

No QRM se especifica que o α− quantil condicional ´e determinado pelos parametros βα

0 eβ1α, e pelo valor espec´ıfico da covari´avel xide forma linear. Sendo assim o quantil condicional dado xi pode ser expresso por:

QYi|Xi(α, xi) = β α 0 + β α 1xi+ Qeα i|Xi(α; xi) = β α 0 + β α 1xi

A hipótese do quantil condicional linear é compat´ıvel com o modelo normal bivariado visto no Exemplo 1, assim como foi visto na se¸cão anterior para a esperan¸ca con-dicional. Sendo assim, de forma análoga, como Y |X = x ∼ N2(µY, µX, σY2, σX2, ρ), segue que o α−quantil condicional é dado por:

(23)

3.3 Modelo de Regress˜ao Quant´ılica 21 QY |X=x(α; x) = µY + ρ σY σX (x − µX) + σY p 1 − ρ2_z α = (µY − ρ σY σX µX + σY p 1 − ρ2_.z α) + (ρ σY σX )x = β₀α+ β₁αx,

em que zαrepresenta o α−quantil da normal (0,1) e β0α = µY−ρ_σσY

XµX+σYp1 − ρ 2_z

α e β₁α = ρσY

σX.

3.3.4 Funcionais Estat´ısticos, Fun¸

c˜

ao de Distribui¸

c˜

ao Emp´ırica

e Estimador Plug-in

Em muitos problemas de inferência, estamos interessados em estimar caracter´ısticas (parâmetros) da popula¸cão desconhecida e não de toda popula¸cão. Assumindo que Y1, Y2, . . . , Yn são variáveis i.i.d. com F.D.A. desconhecida F , a maioria das caracter´ısticas de F pode ser escrita como T(F ), em que T é um funcional conhecido de F. Se estimarmos F por ˆF , então, um estimador natural de T (F ) seria T ( ˆF ) [método plug-in que será visto adiante] (Shao, 2010, pg. 338[10]). Vejamos alguns exemplos abaixo de funcionais importantes.

Exemplo 1. T(F )=R xdF (x) = E(X), X tem F.D.A. F. i)T(Φ)=0, em que Φ ´e F.D.A. da Normal Padr˜ao.

ii)T(FBer(p))=p, em que FBer(p) ´e a F.D.A. da Bernoulli de parˆametro p. Exemplo 2. T(F )=inf {x : F (x) ≥ α} i)T(Φ)=zα, em que Rzα −∞ 1 √ 2πe −1 2 z 2 dz = α.

ii)T(FU (0,1))=α, em que FU(0, 1) ´e a F.D.A. da Uniforme-Padr˜ao.

Um estimador simples da F.D.A. é dado pela chamada Fun¸cão de Distribui¸cão Emp´ırica, definida em Wasserman, 2003[14], como abaixo.

Defini¸cão: A fun¸cão de distribui¸cão emp´ırica ˆFn é a estat´ıstica que associa a cada número real y o valor:

ˆ Fn(y) =

Pn

i=1I(Yi 6 y)

(24)

I(Yi 6 y) = (

1, se Yi ≤ y, 0, se Yi > y

Exemplo. (M´edia) Suponhamos que µ = T (F ) = R ydF (y) = E(Y ) se Y tem F.D.A. F. Um estimador bastante popular de µ ´e dado por:

ˆ µ = T ( ˆFn) = Z yd ˆFn(y) = 1 n n X i=1 Yi = ¯Y .

Exemplo. (Quantil) Se ϕY,α = T (F ) = inf {y; F (y) ≥ α} = arg min

c∈R E{`α(Y − c)}, em que Y tem F.D.A. F , ent˜ao, podemos estimar ϕY,α via:

ˆ

ϕY,α = T ( ˆFn) = inf {y : ˆFn(y) ≥ α} = arg min

c∈R E{`α( ˜Y − c)},

em que ˜Y tem F.D.A. ˆFn. Conforme citado, vamos agora definir o estimador de plug-in segundo Wasserman, 2003[14]:

Defini¸c˜ao. Um estimador de plug-in para θ = T (F ) ´e definido por

ˆ

θ = T ( ˆF ),

em que ˆF ´e um estimador qualquer de F . Em particular, podemos estimar θ via ˆ

θ = T ( ˆFn), sendo, como antes, ˆFn a Fun¸c˜ao de Distribui¸c˜ao Emp´ırica.

No modelo de regressão linear, em geral, os parâmetros são estimados pelo método de M.Q.O. Tais estimadores são estimadores de plug-in quando se assume que a média condicional de Y |X = x é linear.

Sabemos que E(Y |X) minimiza E(Y − g(X))2_{. Assumindo que E(Y |X) = α + βX,} temos que

(α, β) = arg min

a,b E[Y − a − bX]

2_{, em que (Y, X) ∼ F} Y,X.

Usando o m´etodo Plug-In e, trocando, portanto, FY,X por ˆFn (neste caso, associa-se probabilidade 1

n a cada par (xi, yi)), nos deparamos com a vers˜ao amostral do problema populacional acima. Sendo assim temos o estimador de Plug-In:

(25)

3.3 Modelo de Regress˜ao Quant´ılica 23 ( ˆα, ˆβ) = arg min a,b E( ˜Y − a − b ˜X) 2_{, em que ( ˜}_{Y , ˜}_{X) ∼ ˆ}_F n. Note que: E( ˜Y − a − b ˜X)2 = n X i=1 (yi− a − bxi)2. 1 n (3.2) = 1 n n X i=1 (yi− a − bxi)2 (3.3)

Dessa forma, temos:

( ˆα, ˆβ) = arg min a,b 1 n n X i=1 (yi− a − bxi)2,

ou seja, encontramos exatamente as estimativas obtidas pelo Método de M´ınimos Quadrados Ordinários. De maneira análoga, lembramos que na Regressão Quant´ılica, QY |X(α; X) = β0α+ β1αX, e, portanto,

(β₀α, β₁α) = arg min

a,b E{`α(Y − a − bX)}, onde (Y, X) ∼ FY,X Novamente, usando o m´etodo plug-in, podemos definir::

( ˆβ0 α , ˆβ1 α ) = arg min a,b E{`α( ˜Y − (a + b ˜X))} (3.4) = arg min a,b 1 n n X i=1 `α(yi− (a + bxi)). (3.5) Ou seja, ( ˆβ0 α , ˆβ1 α ) = arg min a,b 1 n n X i=1 [α − I((yi− (a + bxi)) ≥ 0)](yi− (a + bxi))

Para encontrar as estimativas dos parâmetros do modelo de regressão quant´ılica devemos, portanto, resolver o problema acima. Como destacado em Koenker, 2005, o mesmo consiste em um problema de programa¸cão linear. Maiores detalhes na referência citada.

(26)

3.4 Valor em Risco via Regress˜ao Quant´ılica 24

3.4 Valor em Risco via Regress˜

ao Quant´ılica

3.4.1 Valor em Risco

O valor em risco provavelmente é a medida de risco mais amplamente utilizada em finan¸cas, sendo usada como uma medida clássica que os executivos financeiros usam para quantificar o risco de mercado (Roccioletti, 2016, pg.7[7]). Muitas vezes, a carteira (portfólio) de uma institui¸cão financeira depende de inúmeras variáveis de mercado e, dessa maneira, o Valor em Risco (VaR, de Value-at-Risk) é uma tentativa de fornecer um único número que resume o risco total em uma carteira (Hull, 2015[8]).

Suponha que foi realizado um investimento W0 no ativo [ou carteira] no instante inicial. No instante final de tempo, o valor do ativo [ou carteira] acrescido de eventuais dividendos recebidos será dado por W1 - que, obviamente, não é conhecido no instante 0. O ganho, denotado por G, corresponde à diferen¸ca W1 − W0. A perda, L, é definida via L = −G = W0 − W1. Tanto o ganho quanto a perda são desconhecidos no instante inicial e, portanto, considerados variáveis aleatórias. Segue abaixo a defini¸cão formal de VaR.

Defini¸cão (Valor em Risco): Dado algum n´ıvel de confian¸ca 1 − α ∈ (0, 1), o VaR associado é dado pelo menor número Vα tal que a probabilidade de que a perda L exceda Vα seja α.

Note que, supondo que a perda L seja uma v.a. cont´ınua, a defini¸c˜ao acima implica na equa¸c˜ao

P (L > Vα) = α. Como G = −L, temos ainda

P (−G > Vα) = P (G < −Vα) = α

e, portanto, o oposto do VaR de n´ıvel α corresponde ao α-quantil do ganho. O retorno percentual do investimento ´e dado por R = (W1−W0)

W0 . Utilizaremos a

hipótese [padronizadora e simplificatória] de que o investimento inicial seja de uma unidade monetária [ou seja, W0 = 1], teremos R = W1−W0 = G. Ou seja, o retorno percentual, com esta padroniza¸cão, se torna igual ao ganho G. Dessa forma, o valor em risco de n´ıvel alfa satisfaz

(27)

P (−R > Vα) = P (R < −Vα) = α e, portanto, corresponde ao oposto do α-quantil do retorno.

3.4.2 Modelo N˜

ao Param´

etrico B´

asico

Na descri¸cão do modelo não paramétrico do VaR proposto por Jorion, 2006, não assume-se nenhum pressuposto acerca do modelo da distribui¸cão dos retornos. Se R é uma v.a. cont´ınua, QR,α satisfaz:

α =RQR,α

−∞ fR(r)dr, onde fR representa a densidade do Retorno.

Na prática, fR é desconhecida. Porém, uma maneira simples de estimar R∗ [sem pressupor nenhum formato particular] é através da estat´ıstica quantil amostral, aplicada aos retornos observados no passado. É interessante perceber, como visto na se¸cão 3.3.4., que tal quantil amostral é o estimador do quantil populacional obtido pelo método plug-in através da Fun¸cão de Distribui¸cão Emp´ırica.

3.4.3 Modelo Param´

etrico B´

asico Normal

Na abordagem paramétrica normal, tem-se como hipótese básica que R tem uma distribui¸cão normal com os parâmetros desconhecidos média (µ) e variância (σ2_). Sendo assim, estima-se a variância (ˆσ2_{) e m´}_{edia (ˆ}_{µ) com base nos retornos} obser-vados no passado. Por exemplo, se observamos uma série temporal de retornos r1, r2, . . . , rn, podemos simplificadamente empregar os estimadores usuais

ˆ µ = ¯reˆσ = v u u t 1 n − 1 n X i=1 (ri− ¯r)2

Usando novamente o método Plug-In [porém, neste caso trocando a distribui¸cão normal verdadeira desconhecida pela N ∼ (ˆµ, ˆσ2_{)], podemos estimar o α-quantil de} R a partir da seguinte igualdade:

α = P (R − ˆµ ˆ

σ ≤ −zα) (3.6)

α = P (R ≤ ˆµ − zασˆ2), emqueR ∼ N (ˆµ, ˆσ2) (3.7)

(28)

ˆ

QR,α = ˆµ − zασˆ2, em que zα ´e o α−quantil da distribui¸c˜ao normal.

3.4.4 Modelo CAViaR

Engle and Manganelli 2004[1] propuseram estimar o VaR através da modelagem direta do quantil [condicional] da taxa de retorno, denotada anteriormente por R. O método proposto é conhecido como CAViaR [Conditional Autoregressive VaR]. Quando falamos da abordagem quant´ılica, propõe-se a estima¸cão de maneira dife-rente: modela-se o quantil diretamente, sem a necessidade de modelar a distribui¸cão. O VaR econtra-se fortetamente relacionado ao desvio-padrão da distribui¸cão, que, por sua vez, tipicamente apresenta dependência temporal em séries financeiras. Essa caracter´ıstica motivou os autores a propor um modelo de regressão quant´ılica au-torregressivo em que o α-quantil condicional no instante t depende do α-quantil condicional no instante t − 1.

Suponha que observamos uma série temporal rt, em que t ≥ 1, com os retornos históricos do ativo [carteira], 1 − α será o n´ıvel de confian¸ca do VaR e xt será um vetor de variáveis observadas no instante t. β denotará o vetor p-dimensional dos parâmetros desconhecidos e ft(β) ≡ ft(xt−1, β) denota o α−quantil da distribui¸cão condicional dos retornos no tempo t − 1. Um modelo genérico CAViaR seria:

Rt= β0+ q X i=1 β1ft−i(β) + v X i=1 βi+ql(xt−j) + eαt onde Qeα t|Z=z(α; z) = 0 e Z = (xt, xt−1, xt−1, xt−2, . . .)

que tamb´em pode ser representado via:

ft(β) = β0+ q X i=1 βift−1(β) + V X j=1 βi+jl(xt−j)

Os termos autoregressivos garantem que o quantil mude de forma suave durante o tempo. Espera-se que o VaR aumente quando rt−1 se torna negativo. Abaixo s˜ao exibidos os modelos CAViaR apresentados na proposta orginal de Engle and Manganelli 2004[1].

(29)

Modelo Adaptativo:

ft(β1) = ft−1(β1) + β1{[1 + exp(G[rt−1− ft−1(β1)])]−1− α},

em que G ´e uma constante a ser definida - os autores utilizaram G = 10 no artigo original.

Modelo Absoluto Sim´etrico:

ft(β) = β1+ β2ft−1(β) + β3|rt−1|.

Modelo com Inclina¸c˜ao Asim´etrica:

ft(β) = β1+ β2ft−1(β) + β3(rt−1)++ β4(rt−1)−, em que (x)+ _{= max(x, 0) e (x)}− _{= −min(x, 0)}

GARCH indireto:

ft(β) = (β1 + β2ft−12 (β) + β3r2t−1) 1 2

O primeiro e o terceiro respondem simetricamente para os retornos passados, en-quanto o segundo permite que a resposta aos retornos positivos e negativos sejam diferentes.

´

E importante ressaltar que estes modelos não pressupõem ausência de heterocedas-ticidade condicional ou alguma distribui¸cão espec´ıfica para o termo de erro.

De acordo com Engle and Manganelli 2004[1], para qualquer uma das formas acima os parâmetros do modelo CAViaR podem ser estimados através da resolu¸cão do seguinte problema: min β 1 T T X t=1 [α − I(rt < ft(β))][rt− ft(β)]}

Repare que o problema acima é similar ao que introduzimos ao final da Se¸cão 3.3. De fato, o modelo CAViaR é um modelo de regressão quant´ılica [porém, não linear]. Maiores detalhes sobre como resolver o problema na prática podem ser encontrados na referência4_.

4_{Os autores disponibilizaram um c´}_{odigo para a estima¸}_c˜_{ao dos parˆ}_{ametros no programa MATLAB}

(30)

3.5 Backtesting: testando aderˆencia do VaR estimado 28

3.5 Backtesting: testando aderˆ

encia do VaR

esti-mado

Vamos supor que temos os dados observados dos retornos di´arios de uma a¸c˜ao na ´

epoca t = 0, e observa-se apenas os retornos do passado r0, r1, r2, . . .. No instante 0 podemos utilizar um dos quatro modelos CAViaR ou algum outro m´etodo para estimar o Valor em Risco nos pr´oximos instantes V1, . . . , VT para algum n´ıvel de confian¸ca 1-α.

Depois de observar os retornos r1, r2, . . . , rT podemos compará-los aos valores em risco estimados V1_{, . . . , V}T_{, de maneira que ´}_{e poss´ıvel calcular, por exemplo, o} número de instantes nos quais foram observadas viola¸cões do VaR estimado. No instante t, podemos observar:

rt < −Vt a perda ´e maior do que a perda esperada - ocorreu viola¸c˜ao.

rt ≥ −Vt - 0 - ganho ou perda inferior à perda máxima esperada - não ocorreu viola¸cão.

´

E poss´ıvel associar a tais eventos vari´aveis aleat´orias I1, I2, . . . , IT de modo que:

It = (

1, se ocorrer viola¸c˜ao no instante t

0, se n˜ao ocorrer viola¸c˜ao no instante t (3.8) ´

E razoável assumir que It∼Ber(p), onde p é a probabilidade desconhecida de ocorrer viola¸cão [esperamos que p seja igual a α].

3.5.1 Testes de cobertura incondicional (Kupiec-POF)

Assumindo que, adicionalmente, I1, I2, . . . , IT são independentes, podemos testar se p = α usando um Teste de Razão de Verossimilhan¸ca - teste de cobertura não condicional [teste de Kupiec].

Suponha que I1, I2, . . . , IT são independentes e identicamente distribu´ıdos (i.i.d.) com distribui¸cão de Bernoulli (p). Sua fun¸cão de verossimilhan¸ca será dada por:

L(p) = pPTj=1ij_{(1 − p)}T −PTj=1ij

onde x =PT

(31)

O teste da razão verossimilhan¸ca irá testar H0 : p = α contra H1 : p 6= α, e sua estat´ıstica de teste será dada por,

Tuc = −2ln( L(ˆp) L(ˆpr) ) ∼ X_r2 ou seja, Tuc= −2ln( αx_{(1 − α)}T −x x T x_{(1 −} x T) T −x)

onde _Tx, a frequência observada de viola¸cões, é o estimador de máxima verossimi-lhan¸ca irrestrito de p e α é o estimador restrito.

Sob a hipótese nula, tal estat´ıstica tem distribui¸cão assintótica qui-quadrada com 1 grau de liberdade, conforme Roccioletti, 2015 [15].

3.5.2 Testes de cobertura condicional

A hipótese de independência, feita no teste não condicional, não é necessariamente razoável. Todavia, na literatura, há uma proposta que permite testá-la simultanea-mente com a hipótese p = α.

Suponha que a estrutura de dependência da sequência de sucesso pode ser represen-tada como uma cadeia Markov de primeira ordem com a matriz de probabilidade de transi¸cão subsequente: Π1 = " 1 − π01 π01 1 − π11 π11 #

Podemos interpretar os n´umeros na matriz da seguinte maneira:

(a) π01é a probabilidade de ter uma viola¸cão amanhã, ao evento não ocorre viola¸cão hoje;

(b) π11 é a probabilidade de amanhã ser uma viola¸cão dada hoje também é uma viola¸cão;

(c) π00 = 1 − π01 de que não ocorra viola¸cão amanhã dado que hoje não ocorre viola¸cão;

(d) π10 = 1 − π11 de que não ocorra viola¸cão amanhã dado que hoje ocorra uma viola¸cão.

(32)

Se tivermos dispon´ıvel uma amostra de T observa¸cões, então podemos escrever a fun¸cão de verossimilhan¸ca como,

L(π1) = (1 − π01)T00π01T01(1 − π11)T10π11T11

onde Tij, i, j = 0, 1 é o número de observa¸cões com um j sucedendo um i. Para encontrar as estimativas de Máxima Verossimilhan¸ca devemos tomar tomar as pri-meiras derivadas em rela¸cão a π01 e π11, e igualando a zero. Assim teremos,

ˆ π01= T01 T00+ T01 , ˆπ11= T11 T10+ T11 E dada a defini¸c˜ao de probabilidade, temos

ˆ

π00= 1 − ˆπ01, ˆπ10= 1 − ˆπ11

Estamos interessados em descobrir se ˆπ01é estatisticamente diferente de ˆπ11, e mais precisamente se ˆπ11 é maior do que ˆπ01. Isso implicaria que será mais provável ter duas viola¸cões consecutivas, do que ter uma viola¸cão após uma não viola¸cão. Podemos testar a hipótese de independência

H0 : π01= π11 usando a estat´ıstica de raz˜ao de verossimilhan¸ca

LRind = −2ln((1 − π) T00+T10_πT 01+ T11 (1 − π01)T00 πT01 01 (1 − π11)T10πT1111, onde π = T01+T11 T00+T01+T10+T11

Assintoticamente, o teste segue uma distribui¸c˜ao de Qui-quadrado com um grau de liberdade, LRind ∼ X2

1.

Podemos testar conjuntamente a independˆencia e a hip´otese p = α usando a es-tat´ıstica de teste.

LRcc= LRuc+ LRind,

(33)

3.6 Dados: A¸c˜oes PBR e vari´aveis correlatas 31

3.6 Dados: A¸

c˜

oes PBR e vari´

aveis correlatas

3.6.1 Pre¸

co da A¸

c˜

ao PBR

A a¸cão PBR, emitida pela companhia Petróleo Brasileiro S.A. [Petrobras] é comer-cializada na bolsa NYSE (New York Stock Exchange - Bolsa de Valores de Nova Iorque) em dólar. A Petrobras emite a¸cões ordinárias e preferenciais5.

Existem a¸cões da Petrobras que são negociadas na Bolsa de Valores de São Paulo [BOVESPA], onde as ordinárias têm o s´ımbolo PETR3 e as preferenciais PETR4. As a¸cões PBR são do tipo ordinária e sua principal diferen¸ca em rela¸cão a PETR4 são as bolsas de valores onde elas são comercializadas, a PETR4 é negociada na BOVESPA e a PBR é negociada na bolsa NYSE. Há também uma a¸cão preferencial da Petrobras negociada na NYSE, cujo s´ımbolo é PBRA.

Figura 4: Pre¸co di´ario das a¸c˜oes PBR e PETRA

Observando o gráfico das 4 a¸cões acima, percebe-se que as séries evoluem de maneira similar e apresentam os mesmos padrões de crescimento. No entanto, como a PBR e PBRA são medidas em dólar, elimina-se problemas de varia¸cão na taxa de câmbio, questões arbitrárias são resolvidas.

Atualmente, as a¸cões ordinárias correspondem a cerca de 57, 1% do capital social da companiha e as a¸cões preferenciais por 42, 9% (http://www.investidorpetrobras.com.br).

5_{”A a¸}_c˜_{ao ordin´}_{aria (ON – s´ımbolo na Bovespa: PETR3) d´}_{a ao acionista direito de participa¸}_c˜_{ao na}

administra¸cão da empresa, pelo fato de seus proprietários terem direito a voto. A autoridade maior de administra¸cão da empresa é a Assembléia dos Acionistas. A a¸cão preferencial (PN – s´ımbolo na Bovespa: PETR4) não dá direito ao acionista de participar da administra¸cão da empresa, pelo fato de seus proprietários não terem direito a voto. Por outro lado, estes acionistas (“preferenci-alistas”) têm preferência de receber os dividendos, além de possu´ırem direito a dividendos m´ınimos anuais.”(http://www.investidorpetrobras.com.br/pt/acoes-e-dividendos/acoes)

(34)

Em 2005, as a¸cões PBR come¸caram a passar por processos de desobramentos afim de facilitar a compra de a¸cões da Petrobras por pequenos e médios investidores e conse-quentemente ampliar a base de acionistas da Companhia. Assim, em 28/04/2008, no ´

ultimo desdobramento, as cota¸cões unitárias das a¸cões foram divididas por 2 o que significa que cada acionista passou a duplicar sua posi¸cão acionária, não havendo, portanto, nenhuma perda financeira para estes.

A a¸cão PBR tem dados disponibilizados no site https://finance.yahoo.com desde o ano de 2007. No presente estudo, os desdobramentos dessa a¸cão serão considerados de forma que as análises a serem feitas terão o ano de 2009 como ano de partida.

3.6.2 Outras vari´

aveis

Visando identificar se houve um aumento da volatilidade em outros ´ındices que não estão diretamente relacionadas com a corrupão, aqui apresentaremos as variáveis que terão seu risco avaliado durante o per´ıodo da opera¸cão Lava Jato. São elas: Pre¸co internacional do Petróleo Nominal comercializado no mercado mercado Inter-nacional, Taxa de Câmbio [R$/Dólar], IBOVESPA [mercado brasileiro], S&P 500 [mercado norte americano], S&P GLOBAL OIL INDEX.

O pre¸co nominal do petróleo [pre¸co por barril] geralmente é medido em dólares norte-americanos por barril, o pre¸co real do petróleo é calculado ajustando o pre¸co nominal do petróleo para quaisquer mudan¸cas no n´ıvel de pre¸cos dos EUA. Consideraremos duas variáveis para tratar sobre o pre¸co internacional do Petróleo nominal, são elas o BRENT (Europe Brent Spot Price FOB), que tem dados diários dispon´ıveis desde 1987, e o WTI (West Texas Intermediate), que tem dados diários dispon´ıveis desde 1986 (https : //www.eia.gov/).

A taxa de câmbio nominal em um ponto espec´ıfico no tempo é expressa em moeda nacional por dólar norte-americano [R$/Dólar], o que implica que um aumento reflete uma valoriza¸cão nominal do dólar norte-americano ou uma desvaloriza¸cão do real frente ao dólar. A a¸cão da taxa de câmbio nominal é expressa pelo simbolo BRL=X e tem dados diários dispon´ıveis desde 2004 (http : //www.bcb.gov.br). O Índice Ibovespa é o indicador do desempenho médio das cota¸cões dos ativos de maior negociabilidade e representatividade do mercado de a¸cões brasileiro. A a¸cão

da Ibovespa possui dados diários dispon´ıveis desde 1993 (http : //www.bmf bovespa.com.br). O S&P 500 é amplamente considerado como o melhor indicador único de a¸cões

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aproximadamente 80% de cobertura de capitaliza¸cão de mercado dispon´ıvel. O S&P 500 possui dados diários dispon´ıveis desde 1950 (https : //us.spindices.com) O S&P GLOBAL OIL INDEX é o ´ındice que mede o desempenho de 120 das maiores empresas de capital aberto envolvidas em explora¸cão e extra¸cão de petróleo e gás de toda a parte do mundo. O S&P GLOBAL OIL INDEX possui dados diários dispon´ıveis desde 2007(https : //us.spindices.com).

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34

4 An´

alise dos Resultados

4.1 An´

alise Explorat´

oria dos Dados

Seja {xt}t, uma série temporal. A média móvel centrada com janela 2k + 1 é a série {¯xt}t, definida via: ¯ xt= 1 2k + 1 2k X i=−2k xt+i.

Chamaremos de volatilidade a s´erie {st}t definida via:

st = 1 2k + 1 2k X i=−2k (xt− ¯xt)2 !12 .

A volatilidade é uma espécie de desvio-padrão móvel.

Na sequência exibimos gráficos com a média móvel do pre¸co da a¸cão PBR e a volatilidade do eu log-retorno.

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4.1 An´alise Explorat´oria dos Dados 35

Figura 5: Médias móveis do pre¸co das a¸cões da PBR

Olhando para a figura 5, acompanhando a linha cinza que indica a série da média móvel, percebemos que houve uma tendência acentuada de crescimento ao longo do ano de 2007 e no primeiro semestre de 2008 - per´ıodo imediatamente posterior à descoberta do pré sal, conforme Schutte, 2012 [16]. No segundo semestre de 2008, porém, há uma forte queda no valor das a¸cões PBR, exatamente no mesmo per´ıodo em que o mundo sofria com as conseqüências da crise financeira internacional ini-ciada no mercado norte-americano um ano antes - Bresser-Pereira, 2010 [17] e que ocorreu o último desdobramento das a¸cões PBR. Depois de uma breve recupera¸cão em 2009, iniciou-se um processo de deteriora¸cão do valor da a¸cão. Os pre¸cos des-pencaram de algo em torno de 40 dólares entre 2010 e 2011 para menos de 8 dólares em 2016 [entre 2015 e o primeiro semestre de 2017 o valor da a¸cão não ultrapassou a barreira dos 20 dólares]. É interessante notar que a queda dos pre¸cos [que implica em perda de valor da Petrobras] tem in´ıcio quase que 5 anos antes da divulga¸cão dos primeiros ind´ıcios de corrup¸cão envolvendo executivos da companhia de acordo com a opera¸cão lava-jato .

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Figura 6: Desvios-padrão móveis do log-retorno do pre¸co das a¸cões da PBR Já analisando o gráfico dos log-retornos diários do pre¸co da a¸cão PBR, podemos acompanhar a evolu¸cão da volatilidade do investimento na a¸cão PBR. Acompa-nhando a linha azul que representa uma espécie de intervalo de confian¸ca para o retorno médio, percebemos que em 2014 esse intervalo aumenta, assim, a volatili-dade aumenta. Destacamos o fato de que a partir de 2009 as maiores volatilivolatili-dades são observadas a partir de 2014. Se, por um lado, a tendência de queda dos pre¸cos ´

e anterior à opera¸cão Lava-Jato, aparentemente os retornos diários se tornam mais voláteis, o que indica um poss´ıvel aumento do risco de se investir nessas a¸cões. Dessa maneira, podemos olhar para o Log-Retorno de outras variáveis que não são diretamente ligadas com a Petrobras e verificar se houve o aumento da volatilidade no mesmo per´ıodo em que se tornaram públicos os fatos oriundos da investiga¸cão de corrup¸cão na companhia.

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Figura 7: Desvios-padrão anuais do log-retorno diário: a¸cão PBR vs outras variáveis Olhando para as compara¸cões dos desvios-padrão do pre¸co da a¸cão PBR com as variáveis BRENT [Pre¸co do Petróleo BRENT] e WTI [Pre¸co do Petróleo WTI] percebemos que de 2013 até 2016 houve um deslocamento do risco (medido pelo desvio-padrão) dessas a¸cões, sendo o risco da a¸cão PBR bem mais acentuado. Isso nos leva a tentar explicar o risco associado ao BRENT e WTI por outros fenômenos que não estão relacionados ao pre¸co do petróleo, como problemas de produ¸cão e demanda.

Já por outro lado, comparando o risco da a¸cão PBR com com a variável BVSP [´ındice IBOVESPA] e BRL [Taxa de Câmbio], percebemos que a evolu¸cão do risco da PBR também se dá de maneira mais acentuada do que estas variáveis no per´ıodo 2013-2017. Aparentemente, o aumento da volatilidade do retorno da a¸cão PBR não se justifica apenas por um aumento da volatilidade no mercado de a¸cões Brasileiro ou da taxa de câmbio. Isso nos leva a crer esse fenômeno não é algo espec´ıfico do Brasil mas sim da a¸cão PBR por si só.

E, por fim, olhando os ´ındices que tratam do mercado norte-americano [GSPC = Índice S&P500] e das maiores empresas do setor de explora¸cão e produ¸cão de Petróleo no mundo [SEP500GOI], observamos que a volatilidade oscila relativamente pouco no per´ıodo analisado.

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4.2 Estimando do Risco da a¸c˜ao PBR e outras vari´aveis 38

Figura 8: Desvios-padrão do log-retorno diário: a¸cão PBR vs outras variáveis Já olhando para os gráficos do desvio-padrão do log-retorno diário das variáveis no per´ıodo de 2009 à 2017, percebemos que a¸cão da PBR se descola das outras variáveis a partir de 2013. Esse descolamento ocorre de maneira mais brusca quando em compara¸cão às variáveis BRL, GSPC, BVSP e SEP500GOI. Já em compara¸cão às variáveis BRENT e WTI esse descolamento se dá de maneira mais suave porém também significativa.

4.2 Estimando do Risco da a¸

c˜

ao PBR e outras

vari´

aveis

4.2.1 CAViaR e abordagens tradicionais

Estimamos o Valor em Risco das variáveis de interesse com base nos quatro modelos CAViaR apresentados por Engle e Manganelli (2004), conforme se¸cão 3.4: Modelo Absoluto Simétrico (SAV), Modelo Adaptativo (ADP), Modelo GARCH indireto (GAR) e Modelo com Inclina¸cão Assimétrica (ASY). Para estima¸cão dos parâmetros de cada modelo utilizamos dados diários de 2009 até 2015. Com base nas estimativas obtidas, realizamos previsões um passo a frente para os dados diários oservados a partir de 2016. Os resultados das previsões para o retorno da a¸cão PBR são apresentados na sequência.

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Figura 9: Valor em risco estimado e Frequˆencia de viola¸c˜oes

Olhando para a figura 9 podemos perceber que em todos os modelos as propor¸cões de viola¸cões observadas não ultrapassaram a propor¸cão esperada de 5%, sendo o modelo SAV o que mais se aproximou dessa frequência. O modelo ADP, foi o que se mostrou menos adaptativo por se manter praticamente constante em todo o intervalo de tempo.

Tabela 1: P-valores dos Backtests Modelo LRTuc LRTcc

SAV 0.9555 0.6720 ADP 0.6104 0.4652 GAR 0.4581 0.3477 ASY 0.7788 0.9596

Aplicando os testes de cobertura incondicional (LRTuc) e cobertura condicional (LRTcc), podemos testar a aderência das metodologias de estima¸cão do VaR ado-tadas. De acordo com a tabela 1, percebe-se que as hipóteses nulas para todos os modelos não foram rejeitadas nos dois testes, ou seja, a frequência de viola¸cões condiz com a esperada segundo o teste incondicional e, além disso, essas viola¸cões ocorrem de maneira bem distribu´ıda (independente) ao longo do tempo. Sendo assim, todos os quatro modelos CAViaR se mostraram adequados para a variável PBR.

Os quatro modelos CAViaR também foram utilizados para estimar o VaR para os demais ativos considerados neste trabalho: WTI, BRENT, GSPC, BVSP, BRL e SEP500GOI. As estimativas dos parâmetros foram feitas com dados para o mesmo per´ıodo: 2009-2005. Da mesma maneira, realizamos previsões um passo-a-frente

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para os dias observados de 2016 a 2017. Os gráficos com os retornos observados e VaR estimado em cada modelo são apresentados no apêndice. Na sequência apresen-tamos as frequências de viola¸cões observadas e os p-valores dos testes incondicionais e condicionais para cada ativo.

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Tabela 2: P-valores dos Backtests

Vari´avel Modelo LRTuc LRTcc Frequˆencia(%)

WTI SAV 0.7207 0.3543 4.63 ADP 0.0001 0.0005 9.49 GAR 0.7596 0.2608 5.32 ASY 0.4138 0.3267 4.17 BRENT SAV 0.9555 0.9976 4.94 ADP 0.0000 0.0000 14.35 GAR 0.7788 0.9596 4.71 ASY 0.9555 0.3341 4.94 BRL SAV 0.9826 0.9948 4.98 ADP 0.0000 0.0002 9.73 GAR 0.8453 0.7622 5.02 ASY 0.2155 0.3090 6.33 BVSP SAV 0.9733 0.6404 4.95 ADP 0.0625 0.1762 7.09 GAR 0.7958 0.5500 4.73 ASY 0.9733 0.6050 4.95 GSPC SAV 0.0008 0.0030 1.88 ADP 0.0255 0.0460 7.53 GAR 0.0008 0.0030 1.88 ASY 0.0001 0.0003 1.41 SEP500GOI SAV 0.6885 0.5391 4.59 ADP 0.0000 0.0000 10.78 GAR 0.5297 0.8062 4.36 ASY 0.5297 0.8062 4.36

Analisando a tabela 2, observamos que para as variáveis WTI, BRENT, BRL e SEP500GOI todos os modelos com exce¸cão do ADP se mostraram adequados para ambos os testes condicional e não condicional. Já para a variável BVSP todos os modelos se adequaram à metodologia proposta pelos dois backtests.

Por outro lado, nenhum dos modelos se mostrou adequado quando falamos da vari´avel GSPC.Em ambos os backtests, rejeitou-se cada um dos poss´ıveis mode-los do tipo CAViaR.

Para interpretar os resultados [próxima subse¸cão], devemos escolher uma melhor metodologia. Embora SAV, GAR e ASY não tenham sido rejeitadas em pratica-mente todos os casos [exceto para a variável GSPC] ao n´ıvel de significância de 5%, a frequência de viola¸cões no método SAV esteve mais próxima da propor¸cão espe-rada [5%]. Por isso, utilizaremos como medida de risco as estimativas obtidas pelo emprego de tal método.

(44)

4.2.2 Evolu¸

c˜

ao temporal do risco

Para a análise da evolu¸cão do risco ao longo dos anos de 2009 à 2017, iremos utilizara metodologia SAV que se mostrou mais dequada conforme os backtests realizados e de acordo com a taxa de viola¸cões observadas. Essa análise será feita através da compara¸cão do valor em risco da variável PBR com as demais; como veremos, as evidências emp´ıricas são de que, de fato, houve um aumento do risco em investir na a¸cão da PETROBRAS no per´ıodo 2014-2017.

Figura 10: Viola¸c˜oes: PBR x Outras vari´aveis

Olhando para a Figura 10, observamos que a partir de 2014 as viola¸cões diárias das a¸cões da PBR se tornam mais agrupadas, ou seja, é mais comum observar uma viola¸cão hoje dado que ontem também ocorreu viola¸cão. Esse agrupamento é pouco atrativo para os investidores do mercado de a¸cões.

Observa-se, também, que em poucos dias as viola¸cões das a¸cões PBR coincidem com as viola¸cões das outras variáveis analisadas. Sendo assim, podemos dizer que as viola¸cões da PBR se dão por motivos que não estejam tão relacionados com outras variáveis, e sim por alguma particularidade dessa a¸cão.

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Figura 11: Valor em risco estimado: PBR x Outras vari´aveis

Analisando o gráfico do Valor em Risco estimado da PBR versus as outras variáveis escolhidas para as devidas compara¸cões, percebemos que no ano de 2014 há um descolamento das séries em respeito a a¸cão PBR. Esse descolamento também é ind´ıcio de que o fato do Valor em risco da a¸cão PBR ter aumentado a partir de 2014 possa ser explicado por fator intr´ınseco à companhia PETROBRAS.

Note que as séries WTI e BRENT que são as séries do pre¸co do petróleo internacional possuem o mesmo padrão de crescimento da série PBR. No entando, ainda sim, em 2014 há um descolamento da série em rela¸cão à série da PBR. Ou seja, apesar do pre¸co da a¸cão da PBR sofrer uma forte influência do pre¸co do petróleo internacional, em 2014 outro motivo pode explicar o aumento do risco de se investir na Petrobrás.

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Figura 12: Boxplot das diferen¸cas por per´ıodos PBR x Outras vari´aveis

Acima, temos a figura da diferen¸ca entre o VaR da PBR e o VaR das outras variável separados em dois grupos: de 2009 à 2013 e de 2014 à 2016. Sendo assim, conforme os gráficos, a média dessa diferen¸ca aparenta ser maior de fato no per´ıodo de 2014 `

a 2016 em todos os casos.

Tabela 3: P-valores do teste V´ariavel P-valor WTI 1.63e-87 BRENT 7.76e-161 BRL 1.50e-146 BVSP 4.69e-187 GSPC 3.85e-232 SEP500GOI 4.35e-231

Foi aplicado o Teste T-Student em cada uma dessas diferen¸cas para confirmar as suspeitas. Conforme a Tabela 3 percebemos que o teste rejeita a hipótese nula de que essas médias são iguais nos dois per´ıodos de tempo análisados. Sendo assim, o risco da a¸cão PBR de fato se distância do risco das outras variáveis no per´ıodo da opera¸cão Lava-Jato.

(47)

45

5 Conclus˜

ao

Nesse trabalho mostramos uma forma de avaliar o risco associado as a¸cões da PE-TROBRAS. A metodologia escolhida para a estima¸cão do Valor em Risco foi a modelagem direta do quantil condicional da taxa de retorno, conhecida como me-todologia CAViaR. Essa modelagem se deu a partir de 4 modelos: Modelo Adapta-tivo (ADP), Modelo Absoluto Simétrico (SAV), Modelo com Inclina¸cão Assimétrica (ASY) e Modelo GARCH indireto (GAR). Em consequinte foi testada a aderencia do VaR estimados em cada um dos 4 modelos CAViaR segundo 2 backtests: Teste de Cobertura Incondicional (Kupiec-POF) e Teste de Cobertura Condicional. O primeiro verifica se a frequência de viola¸cões em cada modelo CAViaR condiz com a frequência esperada de 5% e o segundo verifica se essas viola¸cões se dão de maneira distribu´ıda ao longo do tempo. De maneira análoga, o VAR da série de a¸cões de ou-tras variáveis (BRENT, WTI, BRL, BVSP,GSPC e SEP500GOI) que são de alguma forma ligadas às a¸cões do Petróleo brasileiro também foram estimados segundo a metodologia CAViaR e testados segundo os backtests para fins de compara¸cões. Nas variáveis consideradas, o modelo mais adequado segundo a metodologia CAViaR foi o modelo SAV de acordo com os resultados apontados pelos backtests e com a frequência observada. O modelo ADP foi o que teve o pior desempenho também de acordo com os resultados dos backtests. Quando trata-se apenas da variável PBR, todos os modelos se mostraram adequados mas sendo de fato o modelo SAV o melhor por ter a frequência observada mais próxima da frequência esperada (5%). No que diz respeito às compara¸cões das variáveis em rela¸cão a PBR, fica evidente que no per´ıodo do 2013 a 2016 o risco associado à PBR se torna maior de maneira que visualmente podemos observar essa série do risco se distanciar das séries dos riscos das outras variáveis. Esse descolamento se dá de maneira mais suave com as variáveis BRENT e WTI (pre¸co do petróleo internacional).

Analisando a distribui¸cão das viola¸cões que ocorreram do VaR da variável PBR observamos que de 2014 em diante essas viola¸cões acontecem de maneira mais

(48)

agru-5 Conclus˜ao 46

pada, o que siginifica que é mais provável a ocorrência de viola¸cões em dias seguidos. E, também, é vis´ıvel notar que essas viola¸cões na maior parte do tempo não ocorrem no mesmo dia que as viola¸cões do VaR das outras variáveis. Sendo assim há mais um ind´ıcio de que o fato do VaR da PBR ter aumentado a partir de 2013 é uma particularidade dessa a¸cão e do contexto histórico do Brasil.

Por fim, mais um teste foi feito fim de avaliar se a diferen¸ca entre o VaR da PBR e o VaR das outras variáveis foi maior no per´ıodo de 2014 à 2016. O teste proposto foi o teste t-student para compara¸cões de médias entre 2 variáveis que confirmou o aumento dessa diferen¸ca em tempos mais recentes. É poss´ıvel que, dentre outras coisas, a divulga¸cão dos boatos envolvendo altos executivos da PETROBRAS seja um dos motivos para explicar, dessa forma, o aumento significativo do risco da a¸cão PBR. Ao contrário do que ocorre com o pre¸co da a¸cão, que aparentemente manteve uma tendência de queda, houve um abrupto aumento do risco quase que no mesmo momento em que se tornaram públicas as denúncias oriundas da opera¸cão Lava-Jato.