Extens~ao do isomorsmo C-H a (!; ^ ; _ )

Extens~ao do isomorsmo C-H a (!; ^ ; _ )

Extens~ao dos tipos simples a ^ (ou ) e a _ (ou + ) Extens~ao dos -termos tipicados a pares e somas disjuntas:

Se M : e N : s~ao -termos, ent~ao < M; N >: ^ e um -termo Se M : ^ , ent~ao ₁(M) : , ₂(M) : e um -termo

Se M : ent~ao in ^_ ₁ (M) : _ e um -termo.

Se M : ent~ao in ^_ ₂ (M) : _ e um -termo

Se M : _ , L : ⁰ e K : ⁰ s~ao -termos, ent~ao case(M; x:L; y:K) : ⁰ onde x e y s~ao variaveis (de tipos e )

Ao contrario do -calculus n~ao tipicado, aqui n~ao se podem escrever os termos acima a custa de e aplicac~oes... onde e que ja vi isto...

Regras de infer^encia

Correspondem a ^ E, ^ I, _ I e _ E, anotadas com termos...

` M : ` N :

` < M; N >: ^ ^{^ I}

` M : ^

` 1(M) : ^{^ E1}

` M : ^

` 2(M) : ^{^ E2}

` M :

` in ^_ ₁ (M) : _ ^{_ I1}

` M :

` in ^_ ₂ (M) : _ ^{_ I2}

` M : _ ; x : ` L : ; y : ` K :

` case(M; x:L; y:K) : ^{_ E}

` M : ?

` () ?^E

Regras de reduc~ao

A noc~ao de redex estende-se a estes constructores/destruidores:

1(< M; N >) ! M ₂(< M; N >) ! N

case(in ^_ ₁ (N); x:L; y:K) ! L[N=x]

case(in ^_ ₁ (N); x:L; y:K) ! K[N=y]

Variac~oes e extens~oes do isomorsmo C-H

sistemas axiomaticos estilo-Hilbert e sistemas de logica combinatoria (IPC( ! )corresponde a fB; C; K; Wg)

calculos de sequents de Gentzen

a logica proposicional classica (1990): interpretac~ao para o terceiro excludo

a logica de primeira ordem intuicionista corresponde a sistemas de tipos dependentes

a logica proposicional de segunda ordem intuicionista corresponde a sistemas de tipos polimorcos

Sistema de tipos L

; x : ` x :

` M : ; x : ` N : ⁰

; y : ! ` N[yM=x] : ⁰ (! L)

; x : ` M :

` (x:M) : ( ! ) (! R)

` M : ; x : ` N :

` N[M=x] : (Corte) Seja L^cf o sistema sem a regra Corte

Seja N o sistema de tipos TA

Proposic~ao 3.1. Para todo o e , `<sub>N</sub> M : ent~ao `_L M : . Dem. Por induc~ao nas derivac~oes. (! E)

`<sub>L</sub> M : ! `_L N : ; x : `_L x :

; y : ! `_L yN :

`L MN : 2

Lema 3.1. `<sub>N</sub> M : e M !<sup>?</sup> M<sup>0</sup>, ent~ao `_N M⁰ : .

Proposic~ao 3.2. Se `L M : ent~ao `N M⁰ : e M⁰ !^? M.

E ent~ao, se `L M : ent~ao `N M : . Dem. (! L)

; x : `N M :

`N (x:M) : !

; y : ! `N (x:M) : !

`N N :

; y : ! `N N : ; y : ! `N y : !

; y : ! `N yN :

; y : ! `N (x:M)(yN) :

E (x:M)(yN) ! M[yN=x]. Analogamente para Corte.

2 Proposic~ao 3.3. Se M esta em forma normal e `_N M : ent~ao

`_L^cf M :

Teorema 3.1. Eliminac~ao do Corte (Hauptsatz)Se `LJ₀ ent~ao

`_LJ^cf

0 .

Dem.

`LJ<sub>0</sub> ) <sup>0</sup> `L M : C H

0 `N M :

0 `N M^nf :

0 `_L^cf M^nf :

`_LJ^cf

0 C H

2

C-H para a logica proposicional classica

A regra (:: E) pode ser denina em NK0 por:

; ! ? ` ?

sendo : ! ?. Pode-se denir um novo operador tal que:`

; x : ! ? ` M : ?

` x:M :

equivale a incorporar em programas puramente funcionais o tratamento de excepc~oes.

Algumas Logicas Subestruturais

I-termos: para cada subtermo x:M, x ocorre livre em M pelo menos uma vez

BCK-termos: para cada subtermo x:M, x ocorre livre em M no maximo uma vez e cada variavel livre ocorre apenas uma vez

BCI-termos (lineares): s~ao BCK e I

A restric~ao destas classes a T A, corresponde os sistemas logicos (resp.):

Logica de relev^ancia (R_!): IPC( ! )onde n~ao s~ao permitidos cancela- mentos vazios (a hipotese deve ser relevante para a conclus~ao), ou seja a regra estrutural do enfraquecimento n~ao e permitida

Logica BCK: IPC( ! )onde n~ao s~ao permitidos cancelamentos multiplos:

ou vazios ou de uma so hipotese (informac~ao n~ao reusavel), ou seja, a regra estrutural da contrac~ao n~ao e permitida

Logica BCI: IPC( ! )onde cada cancelamento e exactamente de uma hipotese, ou seja, a regra estrutural da contrac~ao n~ao e permitida e os sequents n~ao podem ser vazios a esquerda

BCI BCK IPC( ! )(= BCKW) BCI R! IPC( ! )

Pelo Isomorsmo de Curry-Howard:

teoremas tipos de termos fechados

R_! I-termos

BCK BCK-termos

BCI BCI-termos

Calculi categoriais

A ordem das premissas tambem e importante!: isto e a regra estrutural da permutac~ao tambem n~ao e permitida(para alem do enfraquecimento e do contrac~ao)

1. Ajdukiewicz (1935)

So (! E) (aplicac~ao funcional, -termos sem ) 2. Bar-Hillel (1964):Calculo direcional:

(=E) e (nE)

n

=

3. Lambek (1958): calculos de Lambek(Van Benthem 1983, relac~ao com o ICH)

Calculo L

sequ^encia n~ao nula

; ` `

` =(=I) ` = `

; ` (=E)

; `

` n(nI) ` ` n

; ` (nE)

` `

; ` (I) ` [; ] `

[] ` (E)

L corresponde fracamente a gramaticas independentes de contexto (1995 e 1999)

Outros: LP (com permutac~ao), NL (n~ao associativo), NLP (com per- mutac~ao, n~ao associativo)

Calculo LP

Calculo de Lambek com permutac~ao...

=; n ) ! (LP )

cada subtermo contem uma variavel livre

nenhum subtermo contem mais que uma ocorr^encia livre de uma variavel cada ocorr^encia de um liga uma variavel

(LP ) ) derivac~oes em LP

Deduc~ao Natural generalizada [NvP01]

Considerar regras de eliminac~ao para ! e ^ semelhantes as do _ . ...

_

[] []

... ...

^{_ E}

...

^

[;]...

^{^ E}

...

!

[]...

^!E

Vantagens:

Resultados sobre a normalizac~ao e normalizac~ao forte Isomorsmo com os Calculos de Sequentes

Eliminac~ao do Corte em sistemas com axiomas[NvP01]

Normalmente pretende-se usar os sistemas dedutivos com axiomas n~ao logicos (que caracterizem um dado domnio...). Normalmente para estes sistemas n~ao a eliminac~ao do Corte n~ao se verica.

Mas isso pode ser feito para sistemas especiais de axiomas, transformando-os em regras que garantem a eliminac~ao do Corte.

Outros sistemas dedutivos analticos

Tableaux Sem^anticos Tableaux KE

Calculo de estruturas

Tableaux Sem^anticos (LC)

Para cada formula seja ? e > as correspondentes formulas com sinal.

As regras dos tableaux podem ser denidas por:

>:

?

?:

>

>( ^ )

> >

?( ^ )

? j ?

>( _ )

> j >

?( _ )

? ?

>( ! )

? j >

?( ! )

? >

Uma derivac~ao por tableaux e uma arvore em que cada no e uma formula com sinal, obtida pelas regras acima. Um ramo e fechado se contem ?p e

>p, para alguma formula atomica. Um tableaux e fechado se todos os seus ramos est~ao fechados. e uma tautologia sse existe um tableaux fechado para ?.

Exerccio 3.1. Obter um tableaux fechado para

?((p ^ q) _ r) ! ((p _ r) ^ (q _ r))

Sequents e Tableaux

Considerar tableaux em que cada no e etiquetado por um conjunto de formulas com sinal.

Se um no tiver f>1; : : : >n; ? 1; : : : ? mg, corresponde a um sequent 1; : : : ; n ` 1 : : : m.

As regras de tableaux anteriores correspondem a um calculo de sequents para a logica classica sem Corte.

Deci^encias dos Tableaux e eliminac~ao do Corte

Um sequent ` e valido se em qualquer modelo, pelo menos uma das formulas de e verdade sempre que todas as formulas de s~ao verdade.

No caso da regra do corte:

` ; `

` Corte

Para todos os modelos e para todas as formulas , ou e verdade ou e falsa.(que corresponde de algum modo ao terceiro excludo...principio da bival^encia)

( <sub>;: ` :L</sub><sup>` ;</sup>

; `

No entanto, regra do Corte pode ser usada analticamente se a formula de corte ja existir como subformula.

Por outro lado, os tableaux sem^anticos t^em muita redund^ancia com as regras que criam novos ramos (disjuntivos).

p _ q; p _ :q; :p _ r; :p _ :r ` ;

Tableaux KE (LC)

Introduz o princpio da Bival^encia e esta e unica regra que cria novos ramos.

> _

?

>

> _

?

>

? _

? ?

? ^

>

?

? ^

>

?

> _

>

> ! >

>

>

> !

?

>

? _

>

?: ?

>

?:

> > j ? P B

Um conjunto de formulas com sinal e n~ao satisfazvel sse existe um tableaux fechado em que a aplicac~ao de PB preserva a propriedade da subformula.

Existem Tableaux KE para:

logica intuicionista logicas substruturais logicas modais

Assistente de Demonstrac~oes KE e bibliograa:

http://www.dcs.kcl.ac.uk/staff/endriss/WinKE/

Leituras

[GLM97] Cap.4: 1.1-3.2 [PU96]Cap 1,3,4,5,6,7,8 [Hin97] Cap.6 [BG02]

[NvP01] [?]

Refer^encias

[BG02] Henk Barendregt and Sylvia Ghilezan. Lambda terms for natural dedution, sequent calculus and cut elimination. J. of Functional Programming, 2002.

[GLM97] Jean Goubault-Larrecq and Ian Mackie. Proof Theory and Auto- mated Deduction. Kluwer Academic Press, 1997.

[Hin97] J. Roger Hindley. Basic simple type theory. Number 42 in Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science. CUP, 1997.

[NvP01] Sara Negri and Jan von Plato. Structural Proof Theory. Cam- bridge University Press, 2001.

[PU96] Morten B. Sorensen Pawel Urzyczyn. Lecture on the curry-howard isomorphism. Technical report, University of Copenhagen, 1996.

http://zls.mimuw.edu.pl/ urzy/ftp.html.