Entropias geométricas em Teoria Quântica de Campos

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David Rosa Junior

Niter´oi

Janeiro de 2017

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Resumo

Neste trabalho estudaremos alguns tipos de entropias geométricas que podem ser definidas em teoria quântica de campos. Uma atenção especial será dada à informação mútua de Shannon. Sugerir-se-á uma maneira de calculá-la para o estado fundamental de um campo escalar livre sem massa em dimensão arbitrária. Além disso, será obtida uma forma expl´ıcita para probabili-dade de encontrar uma configuração de campo φ com suporte em SD−1ou em seu complemento, para qualquer D.

Vários conceitos necessários para o cálculo, tais como a representação de configurações de campo bem definidas de uma teoria quântica de campos, o laplaciano fracionário, e o determi-nante de um operador diferencial, serão introduzidos e discutidos ao longo do trabalho.

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Sum ´ario . . . . 3

2 OBSERVAÇ ÕES SOBRE NOTAÇ ÃO . . . . 5

3 INTRODUC¸ ˜AO . . . . 7

4 ENTROPIAS CL ´ASSICAS E QU ˆANTICAS . . . . 9

5 OBSERVAÇ ÕES ÚTEIS SOBRE MEC ÂNICA QU ÂNTICA . . . . 15

6 DETERMINANTES E TEORIA QU ˆANTICA DE CAMPOS EM OR-DEM ~ . . . . 19

7 REGULARIZAÇ ÃO, RENORMALIZAÇ ÃO E ANOMALIAS . . . . . 23

7.1 Regularizaç ão e renormalizaç ão . . . . 23

7.2 Anomalias . . . . 24

8 DETERMINANTES . . . . 27

8.1 M étodo da funç ão zeta . . . 27

8.2 Uma outra definic¸ ˜ao . . . . 31

9 ENTROPIAS GEOM ´ETRICAS . . . . 35

9.1 Representaç ão de formas bem definidas de uma teoria qu ântica de campos . . . . 37

9.2 C álculo da entropia de emaranhamento para uma esfera em tr ês dimens ões via discretizaç ão . . . . 39

9.3 C ´alculo da R ´enyi-n . . . . 41

10 T ÉCNICAS ÚTEIS PARA O C ÁLCULO DA INFORMAÇ ÃO M ÚTUA DE SHANNON . . . . 45

11 C ´ALCULO DA PROBABILIDADE REDUZIDA ASSOCIADA A UMA REGI ˜AO . . . . 51

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12 C ÁLCULO DA INFORMAÇ ÃO M ÚTUA DE SHANNON PARA UMA VARIEDADE ARBITR ÁRIA . . . . 57 13 CONCLUS ÕES . . . . 61 REFER ÊNCIAS . . . . 63

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Ao longo deste trabalho, a não ser que seja dito explicitamente, o espaço f´ısico é RD_{. As}

coordenadas nesse espaço serão denotadas por x. As unidades são tais que ~ = c = kB = 1.

Quando isso não for feito, deve ficar claro pelo contexto ou será dito explicitamente. Produtos internos serão denotados por · quando o espaço tiver assinatura euclidiana. SD quer dizer a D-esfera e seu interior.

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3 Introduc¸ ˜ao

O estudo de entropias geométricas em teoria quântica de campos visa medir as correlações entre os graus de liberdade dentro e fora de uma certa região do espaço. Esse estudo começou com o cálculo da entropia de emaranhamento de uma região esférica para o estado fundamental do campo escalar livre sem massa [1], obtendo-se o valor S = 0.30_a12R

2 _{(a ´e um parˆametro}

que vai a 0 no limite do cont´ınuo). Tal resultado foi interpretado como uma “lei da área”, em analogia com a entropia de um buraco negro de Kerr-Newman [2], que é proporcional à área do horizonte de eventos.

Desde então, uma variedade de resultados foi obtida para a entropia de emaranhamento, con-siderando teorias e estados diferentes [3], [4], [5]. Novas entropias, como a “Rényi-n” [6] e a informação mútua de Shannon [7], [8] também passaram a ser consideradas. Entre os resul-tados obtidos, estão uma definição mais rigorosa do que se quer dizer com “lei da área” e a descoberta de que é poss´ıvel obter informações importantes sobre a teoria a partir do cálculo da parte divergente dessas entropias. Para teorias conformes, se sabe que na Rényi-n e na en-tropia de emaranhamento estão presentes informações sobre a anomalia conforme. Em D = 1, por exemplo, é poss´ıvel obter a carga central a partir delas. A busca por novas conexões desse gênero constitui uma importante motivação para continuar explorando essas entropias. Também existem aplicações em outros contextos [8], [3].

Porém, os resultados para informações mútuas de Shannon são escassos, principalmente no cont´ınuo. Um dos poucos cálculos feitos se encontra na ref. [7], em D = 1, com a região geométrica sendo um segmento de reta. O resultado confirma a expectativa de que essa entropia fornece informações importantes sobre a teoria, pois o coeficiente da divergência logar´ıtmica é proporcional à carga central.

O presente trabalho começa com uma breve introdução aos diferentes tipos de entropias na mecânica clássica e quântica. A continuação, são feitas algumas observações importantes sobre mecânica quântica e teoria quântica de campos para o cálculo das entropias, principalmente para o caso da informação mútua de Shannon. Na seção sobre teoria de campos, é dada uma motivação para o estudo de determinantes de operadores diferenciais, que também será útil para o cálculo das entropias. Finalmente, as entropias são definidas em teoria quântica de cam-pos e são apresentados métodos para calcular as entropias de emaranhamento e Rényi-n. Nos

(8)

8 Cap´ıtulo 3. Introduc¸˜ao

cap´ıtulos 11, 12 apresentamos, respectivamente, um cálculo original da probabilidade reduzida associada a uma região Σ = SD−1 e da informação mútua de Shannon associada a uma varie-dade arbitrária, para o estado fundamental de um campo escalar livre sem massa em dimensão arbitrária.

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4 Entropias cl ´assicas e qu ˆanticas

Existem diversas maneiras de medir as correlações entre duas regiões espaciais em teo-ria quântica de campos. As mais conhecidas são a entropia de emaranhamento, Rényi-n e a informação mútua de Shannon. Para motivar as definições usadas, será feita uma breve revisão das definições da entropia nos contextos clássico e quântico.

Começaremos com a noção de informação clássica. Adotaremos o ponto de vista de que a informação de um certo evento está relacionada com a probabilidade de ele acontecer: um evento possui mais informação se é menos provável [9]. Além disso, é razoável pedir que a informação contida em um par de eventos seja a soma da informação que cada um contém. Pode-se mostrar que com essas exigências existe uma única definição, a menos de constantes aditivas e multiplicativas, que é a informação de Shannon de um evento x:

I(x) = −ln(px), (4.1)

onde px ´e a probabilidade do evento x ocorrer. Com esse resultado, a entropia de Shannon de

uma distribuição de probabilidades X é definida como sendo o valor esperado da informação de Shannon:

S(X) = −X

i

pi ln(pi). (4.2)

A partir dessa definição pode-se definir várias medidas úteis de correlações entre duas variáveis aleatórias A e B, como a entropia relativa, entropia conjunta, entropia condicional e, finalmente, a informação mútua de Shannon. Aqui estaremos interessados na última, que mede quão inde-pendentes as variáveis A e B são:

S(A : B) ≡ S(A) + S(B) − S(A, B), (4.3)

que tamb´em pode ser escrita como, denotando a probabilidade de Ai e Bj ocorrerem

simulta-neamente por pAiBj, −X i pAi ln(pAi) − X i pBi ln(pBi) + X ij pAiBj ln(pAiBj), (4.4) onde pAi ≡ X j pAiBj, (4.5)

(10)

10 Cap´ıtulo 4. Entropias cl´assicas e quˆanticas

pBi ≡

X

j

pAjBi. (4.6)

Note que, se as vari´aveis forem independentes,

pAiBj = pAipBj, (4.7)

de modo que

S(A, B) = 0. (4.8)

No formalismo quântico, as probabilidades aparecem de maneira natural: dado um estado |ψi, pode-se escolher uma base qualquer e calcular as entropias clássicas associadas à distribuição de probabilidade obtida. Uma consequência interessante desse fato é que a entropia de um estado em geral dependerá da base que é escolhida para fazer o cálculo. Um sistema que pos-sui uma distribuição estreita no espaço de posição, por exemplo, terá uma entropia de Shannon nessa base bastante pequena, enquanto que, pelo princ´ıpio da incerteza, ele necessariamente terá uma distribuição de probabilidades bastante larga no espaço de momentos, implicando em uma entropia elevada. É claro que o mesmo valerá para as outras informações clássicas definidas an-teriormente, como a informação mútua: duas part´ıculas podem estar bastante correlacionadas no espaço de posição e com pouca correlação no espaço de momentos. É bastante impressio-nante, portanto, que essa informação mútua, no contexto de teoria quântica de campos, possa ter informações universais sobre a teoria subjacente, como será visto mais adiante.

No entanto, é importante lembrar que, além da ignorância quântica, que é intr´ınseca à teoria, é poss´ıvel também ter ignorância clássica sobre um sistema quântico. Isso pode acontecer no caso de não se conhecer exatamente qual o estado quântico do sistema, por uma questão de falta de precisão suficiente nos equipamentos ou algum outro tipo de ignorância clássica. É muito importante entender a diferença entre esses dois tipos de ignorância. A clássica, em princ´ıpio, poderia ser eliminada completamente com um aumento na precisão das medidas, da mesma maneira que o lançamento da moeda, em n´ıvel fundamental, não é um evento probabil´ıstico, já que se a velocidade inicial de lançamento da moeda e todas as forças fossem conhecidas, seria poss´ıvel prever o resultado. O mesmo não pode ser dito sobre a ignorância quântica: quando se diz que não se pode conhecer os valores de duas grandezas não comutantes, se quer dizer que isso nunca será poss´ıvel, nem com uma precisão infinita de qualquer tipo de equipamento. Para ser capaz de descrever ignorâncias clássicas juntamente com as quânticas, é necessário in-troduzir o operador densidade. Dado um sistema quântico cuja probabilidade de estar no estado

(11)

|Ψii ´e pi, esse operador ´e definido como

ρ =X

i

pi|Ψii hΨi| . (4.9)

Com esse operador podemos calcular médias sobre ensembles: a média de um operador A é dada por

hAi = tr(ρA). (4.10)

Com isso, ´e poss´ıvel definir a entropia de Von Neumann de um sistema quˆantico:

S(ρ) = −tr(ρ ln ρ). (4.11)

Essa quantidade possui várias propriedades [9], algumas das quais são listadas a seguir: • S(ρ) é nula se e somente se o sistema se encontra num estado quântico puro.

• S(ρ) é máxima para um estado de ignorância (clássica) máxima, isto é , quando tem-se uma mistura de N estados poss´ıveis, cada um com uma mesma probabilidade igual a _N1.

• S(ρ) independe da base em que ´e calculada.

• S(ρ) ´e aditiva: S(ρA⊗ ρB) = S(ρA) + S(ρB).

A operação ⊗ é conhecida como produto tensorial e é definida por exemplo em [9]. Nota-se, portanto, que essa entropia mede quão misturado é o estado quântico do sistema.

Um conceito que será importante para as definições que seguem é o de traço parcial de um operador. Considere um espaço de Hilbert HAB que pode ser escrito como o produto tensorial

de dois subespac¸os HAe HB, com uma certa base ortonormal

|ψAiBji = |ψAii ⊗ |ψBji , (4.12)

onde |ψAii e |ψBji s˜ao bases ortonormais de HAe HB, respectivamente. O trac¸o parcial de um

operador A ⊗ B com respeito a B é um operador que atua no espaço A, definido pela relação

(12)

12 Cap´ıtulo 4. Entropias cl´assicas e quˆanticas

Mais concretamente, suas componentes s˜ao dadas por hψAi| trB(A ⊗ B) |ψAji ≡

X

k

(hψAi| ⊗ hψBk|)(A ⊗ B)(|ψAji ⊗ |ψBki) = Aij(trB). (4.14)

Com essa definic¸˜ao, tem-se, para um operador qualquer em HAB,

trA(trBO) = trO. (4.15)

O significado dessa operação pode ser entendido da seguinte maneira: considere um observável OAdefinido somente no subsistema A. Se o sistema A fosse o sistema completo, o valor

espe-rado desse observ´avel seria

hOAi = tr(ρAOA), (4.16)

enquanto que, no caso em que A est´a embutido no sistema maior, essa m´edia seria

hOAi = tr((OA⊗ IB)ρAB). (4.17)

Mas isso pode ser escrito como

hOAi = tr(OAtrB(ρAB)). (4.18)

Essa operação é útil quando se está interessado nas propriedades de um subsistema A de um sistema maior. Outra utilidade vem do fato de que dois sistemas estão emaranhados quando seu estado conjunto não pode ser descrito como um simples produto de estados separados. Isso quer dizer que dado um sistema com dois subsistemas A e B emaranhados, o traço parcial da matriz densidade desse sistema com respeito a um dos subsistemas deve fornecer um operador que descreve um estado misto. Mas, como foi dito anteriormente, a entropia de Von Neumann mede quão misturado um sistema está. Isso faz com que seja natural definir a entropia de emaranhamento de um sistema A com relação a B como segue

−tr(ρAln(ρA)) = −tr(ρBln(ρB)), (4.19)

onde

ρA= trB(ρAB), (4.20)

ρB= trA(ρAB), (4.21)

sendo ρABa matriz densidade do sistema AB. Essa quantidade possui uma generalizac¸˜ao

natu-ral, conhecida como entropia R´enyi-n, definida por 1

1 − nln tr(ρ

n

(13)

com n ∈ N∗. Note que no limite em que n → 1 a entropia de emaranhamento é recuperada. Essa propriedade é importante no cálculo de entropias em teoria quântica de campos, já que em algumas circunstâncias será mais fácil calcular o trρn

(14)

(15)

5 Observaç ões úteis sobre mec ânica

qu ˆantica

Existem diversas maneiras de abordar problemas de mecânica quântica. Uma delas é usar a representação de Schrödinger, na qual os estados evoluem no tempo e os operadores não. No caso de um estado puro, representado por um vetor de estado |Ψ(t)i, a evolução é dada pela equação de Schrödinger:

i~d |Ψ(t)i

dt = H |Ψ(t)i , (5.1)

onde H é o hamiltoniano do sistema. Ao projetar esta equação no espaço de posição, se obtém

− ~ 2 2m N X i=1 ∇2 iψ(x1, ..., xN, t) + V (x1, ..., xN, t)ψ(x1, ..., xN, t) = i~ dψ(x1, ..., xN, t) dt , (5.2) onde ψ(x1, ..., xN, t) ≡ hx1, ..., xN|Ψ(t)i . (5.3)

Dessa maneira, o estado do sistema e, portanto, qualquer informação que possa ser obtida sobre ele, pode ser obtida através da solução da equação diferencial parcial acima.

Quando H não depende do tempo, a equação (5.1) tem a solução

|Ψ(t)i = e−iHt/~|Ψ(0)i . (5.4)

Essa relação é útil para derivar outra representação conhecida como integral de caminhos. Con-sidere a amplitude de probabilidade de medir uma part´ıcula em xN +1 ≡ xf no instante tf se em

um instante t0ela se encontrava com posição bem definida x0(em uma dimensão, por exemplo):

hxN +1|e−iH(tN +1−t0)/~|x0i . (5.5)

Agora divida o intervalo tN +1−t0em N +1 intervalos de tamanho ∆ e insira v´arias identidades:

Z

dx1...dxNhxN +1|e−iH∆/~|xNi ... hx1|e−iH∆/~|x0i . (5.6)

No limite em que ∆ → 0 usando um hamiltoniano da forma H(x, p) = p

2

(16)

16 Cap´ıtulo 5. Observações úteis sobre mecânica quântica mostra-se [10] que hxN +1|e−iH(tN +1−t0)/~|x0i = lim ∆→0 m 2πi~∆ N +1₂ Z dx1...dxN e i ~ PN l=1 m 2 _xl+1−xl ∆ 2 −V (xl) ∆ . (5.8) Ou seja, k(xf, tf; xi, ti) ≡ hxf|e−iH(tN +1−t0)/~|xii = Z x(tf)=xf x(ti)=xi [Dx]ei~S[x], (5.9)

onde [Dx] ´e uma integral sobre trajet´orias com extremos fixos.

Uma propriedade importante que k satisfaz, para um t1 < t < t2, é a lei de composição

k(xf, tf; xi, ti) =

Z

dx k(x2, t2; x, t)k(x, t; x1, t1). (5.10)

Note que essa relação fornece uma maneira de separar uma integral de caminhos com condições de contorno em duas integrais sobre configurações que moram em duas subregiões, com a integração de um v´ınculo de continuidade na fronteira compartilhada. Essa propriedade será fundamental para o cálculo da informação mútua de Shannon numa teoria quântica de campos. Uma maneira de fazer a integral de caminhos (eq. (5.9)) é usar a aproximação de ponto de sela, que precisa do conceito de derivada funcional. Este último, é definido de maneira natural: dado um funcional F de x(t) da forma

F [x] = Z t2

t1

dtf (x(t)), (5.11)

varia-se x de um δx pequeno (no sentido de que (δx)2 pode ser desprezado em relação a δx), com δx = 0 fora do dom´ınio de integração, e analisa-se a diferença

F [x + δx] − F [x] ≡ δF. (5.12)

Em primeira ordem, isto ser´a igual a algo da forma Z t2

t1

dt g(x(t)) δx(t). (5.13)

A derivada funcional de F com relação a x(t0) será, então, g(x(t0)). Para ilustrar, considere F [x] = x(t) = Z t2 t1 dt0δ(t − t0)x(t0). (5.14) Fazendo a variação: δF = Z t2 t1 dt0δ(t − t0)δx(t0), (5.15) obtemos, δx(t) δx(t0₎ = δ(t − t 0 ). (5.16)

(17)

Voltando a questão do ponto de sela, a análise será restrita ao caso de interesse, que é uma ação da forma S[x] = Z dt x(t)O 2x(t), (5.17)

onde O ´e um operador definido por um n´ucleo K: Ox(t) = Z dt0K(t, t0)x(t0). (5.18) Queremos encontrar Z x(t2)=x2 x(t1)=x1 [Dx]e~iS[x] (5.19)

O primeiro passo do método do ponto de sela é expandir a ação em torno da solução clássica, que é encontrada da maneira usual: faz-se um δx em S[x], com δx = 0 fora de (t1, t2) e

procura-se o x12

c para o qual S[x + δx] = 0. Com isso, a expans˜ao fica:

S[xc+ δx] = S[xc] + Z t2 t1 dt δS δx(t) x=xc δx(t) + 1 2 Z t2 t1 dt Z t2 t1 dt0δx(t)K(t, t0)δx(t0) (5.20) Ao escrever o terceiro termo da expansão, foi assumido que o intervalo da integral na eq. (5.18) contém [t1, t2]. Isso acontecerá para os casos de interesse. O segundo termo do segundo membro

é zero, pela definição de trajetória clássica. Com isso, a amplitude de probabilidade é e~iS[xc] Z [Dδx]e~i 1 2 Rt2 t1dt Rt2 t1 dt0δx(t)K(t,t0)δx(t0)_, _(5.21)

com a condic¸˜ao de contorno de que δx = 0 fora de (t1, t2). Nessa linguagem, a eq. (5.10) pode

ser escrita Z x(t2)=x2 x(t1)=x1 [Dx]e−~iS[x] = Z dxte i ~S[x 1t c] Z [Dδx1t]e i ~ 1 2 Rt t1dt Rt t1dt 0_δx 1t(t)K(t,t0)δx1t(t0) ei~S[x t2 c ]_× Z [Dδxt2]e i ~ 1 2 R_t2 t dt R_t2 t dt0δxt2(t)K(t,t0)δxt2(t0)_, _(5.22) onde x1t

c , xt2c são as soluções clássicas nos intervalos [t1, t] e [t, t2], respectivamente. δx1t, δxt2

são as variações associadas aos intervalos [t1, t] , [t, t2] e xt ≡ x(t). Outra maneira de escrever

´e Z x(t2)=x2 x(t1)=x1 [Dx]e~iS[x] = Z x(t2)=x2 x(t)=xt e~iS[x] Z dxte i ~S[x 1t c] Z [Dδx1t]e i ~ 1 2 Rt t1dt Rt t1dt 0_δx 1t(t)K(t,t0)δx1t(t0) , (5.23)

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18 Cap´ıtulo 5. Observações úteis sobre mecânica quântica

esse tipo de partição será usado no cálculo da informação mútua de Shannon (eq. (12.3)). Para tratar melhor esse tipo de integral é conveniente definir β ≡ −it e substituir na eq. (5.9):

k(x2, β2; x1, β1) = M Z x(β2)=x2 x(β1)=x1 [Dx]e−SE [x]~ , (5.24) onde SE[x] = Z βf βi dτ " m 2 dx dτ 2 + V (x) # . (5.25)

Com isso, a equação (5.21) ficará e−SE [xc]~ Z [Dδx]e−1~ 1 2 Rβ2 β1dt Rβ2 β1 dt 0_δx(t)K(t,t0_)δx(t0₎ , (5.26)

e será obtido um resultado que depende de β1, β2. Caso se deseje obter em função de t1, t2,

basta fazer a continuação anal´ıtica da expressão final obtida. Note que as integrais no tempo imaginário são mais bem comportadas. Como esse tipo de integral gaussiana irá aparecer repe-tidamente, será útil encontrar uma expressão geral para ela. Considere uma integral da forma

Z dx1...dxne− 1 2 Pn i,j=1Aijxixj ₌ Z dxne−12x T_Ax , (5.27)

com A sendo uma matriz simétrica, sendo, portanto, diagonalizável através de uma transformação ortogonal:

AD = OTAO. (5.28)

Mudando variáveis para y = Ox e usando que o jacobiano de uma transformação ortogonal é 1, a integral anterior pode igualar-se a

Z dyne−12 P iλiy_i2_, _(5.29) resultando portanto, s (2π)n Q iλi = r (2π)n detA. (5.30)

Para uma integral de caminhos da forma Z

[Dφ]e−12

R

ΣdDxφ(x)Aφ(x), (5.31)

sendo A um operador diferencial com um n´ucleo A(x, x0), o resultado seria cNΣ2

√

detA, (5.32)

onde c é uma constante independente da geometria e NΣ é um termo volumétrico em Σ, também

ser´a ´util definir LΣ ≡ c

NΣ

2 e L ≡ c N

2, onde N ´e um termo volum´etrico em RD. Esses

determi-nantes de operadores diferenciais desempenham um papel fundamental na mecânica quântica e em teoria quântica de campos. Esses objetos serão estudados no cap´ıtulo 8.

(19)

6 Determinantes e Teoria qu ˆantica de

campos em ordem ~

Nesta seção, x são as coordenadas no espaço-tempo D + 1 dimensional.

Uma teoria quântica de campos, assim como a mecânica quântica, possui várias representações. Em geral, o interesse está em calcular amplitudes de espalhamento para processos f´ısicos. Es-tas, por sua vez, podem ser usadas para calcular seções de choque a serem medidas em um laboratório. Para esse fim, utiliza-se a fórmula LSZ, que relaciona a função de correlação

h0| T φ(x1)...φ(xn) |0i (6.1)

com a amplitude de espalhamento para um certo processo [11], [12] (T indica ordenamento temporal: campos à direita estão a tempos menores). Neste trabalho, a atenção será restrita a uma teoria com um único campo escalar em D dimensões espaciais.

Para calcular um objeto da forma

hqf, tf| T ˆq(tl)ˆq(tm) |qi, tii , (6.2)

o procedimento é análogo ao adotado na eq. (5.5). Ao inserir as identidades, o ordenamento cronológico será automaticamente implementado, já que este ordenamento permite atuar nos autovetores nos tempos corretos. Isto é, se tl> tm, podemos escrever

A generalização para campos é imediata:

hφf, tf| T ˆφ(x1)...ˆq(xn) |φi, tii = N

Z

[Dφ]φ(x1)...φ(xn)eiS, (6.5)

Este não é ainda o objeto que aparece na fórmula LSZ, mas ele pode ser obtido facilmente notando que hφf, tf| T ˆφ(x1)... ˆφ(xn) |φi, tii hφf, tf|φi, tii = R [Dφ]φ(x1)...φ(xn)e iS R [Dφ]eiS , (6.6)

(20)

20 Cap´ıtulo 6. Determinantes e Teoria quˆantica de campos em ordem ~

hφf, tf| T ˆφ(x1)... ˆφ(xn) |φi, tii =

X

n,m

(6.7)

=X

n,m

e−iEntf_eiEmti_hφ

f|ni hn| T ˆφ(x1)... ˆφ(xn) |mi hm|φii . (6.8)

Fazendo ti → ti(1 − i), tf → tf(1 − i) e ti → ∞, tf → −∞, apenas o estado fundamental

onde as quantidades devem ser calculadas com o tempo “inclinado” por um ângulo → 0. Analogamente ao que foi feito no caso da mecânica quântica, é conveniente continuar incli-nando o tempo até chegar a π₂, o que corresponde a fazer t → iT , obtendo,

h0| T ˆφ(x1)... ˆφ(xn) |0iE =

R [Dφ]φ(x1)...φ(xn)e−SE

R [Dφ]e−SE , (6.12)

onde o ´ındice E indica que a quantidade ´e euclidiana. ´

E conveniente definir um funcional que gere as quantidades acima a partir de derivac¸˜oes funci-onais, conhecido como funcional gerador:

Z[J ] = R D[φ]e

iS+iR dD+1_{xJ (x)φ(x)}

R [Dφ]eiS . (6.13)

Note que os produtos ordenados podem ser obtidos derivando-se Z em relação a J em diferentes pontos. Além disso, é conveniente definir uma ação efetiva: algum tipo de ação que consiga incorporar os efeitos quânticos da teoria utilizando variáveis clássicas. Para isso, primeiro se define a funcional, (recolocando os fatores ~ por um momento)

W [J ] = −i~ lnZ. (6.14) Note que δW [J ] δJ (x) = ~ R [Dφ]φ(x)eiSJ/~ R [Dφ]eiSJ/~ = ~ h0| ˆφ(x) |0iJ ≡ ~φJ(x), (6.15)

(21)

onde

SJ = S + ~

Z

dD+1xJ (x)φ(x). (6.16)

φJ(x) representa a média no vácuo(|0iJ) do operador ˆφ(x) na presença de uma fonte externa

J, contendo, portanto, informações não triviais sobre a teoria, como a média do operador de campo no vácuo (J = 0), que fornece informações sobre a existência de quebra espontânea de simetria, por exemplo [10], [12].

Uma definição útil para estudar φJ(x) é a de ação efetiva Γ[φ], que é um objeto que satisfaz

δΓ[φJ]

δφJ(x) = −~J(x).

(6.17) Colocando J = 0 é obtida uma equação que permite encontrar h0| ˆφ(x)|0i! Note que como φJ

é função de J então J é função de φJ. Tentando

Γ[φJ] = W [J ] − ~ Z dD+1x φJ(x)J (x), (6.18) tem-se δΓ[φJ] δφJ(x) = δW [J ] δφJ(x)− ~ Z dD+1x0δ(x − x0)J (x0_{) − ~} Z dD+1x0φJ(x0) δJ (x0) δφJ(x) (6.19) = Z dD+1x0 δW δJ (x0₎ δJ (x0) δφJ(x) − ~J(x) − ~ Z dD+1x0φJ(x0) δJ (x0) δφJ(x) . (6.20)

Finalmente, usando a eq. (6.15):

δΓ[φJ]

δφJ(x) = −~J(x).

(6.21) Essa é, portanto, uma boa definição de ação efetiva.

´

E instrutivo calcular a função de partição para uma teoria bosônica geral da forma L = 1

2∂

µ_φ∂

µφ − U (φ). (6.22)

O cálculo de Z pode ser feito usando o método do ponto-sela discutido na seção anterior: eiW/~ = N eiSJ[φc]/~ Z [Dφ]e−2~1 R d D+1_xφ(x)(_2+U00_(φ c))φ(x)+1 ~O(φ 3₎ . (6.23) Fazendo a substituição φ ~ 1

2 → φ, e usando a eq. (5.30) obtem-se,

W [J ] = SJ[φc] + i~

2lndet(2 + U

00

(φc)) + O(~2), (6.24)

onde φc é a configuração de campo que extremiza a ação clássica. Esse funcional é

(22)

22 Cap´ıtulo 6. Determinantes e Teoria quˆantica de campos em ordem ~

semelhantes podem ser feitas para a ação efetiva [10]. No fim, o resultado é que as primeiras correções quânticas para Γ são

i~

2lndet(2 + U

00

(φJ)). (6.25)

Uma outra utilidade de Γ vem de que, para vácuos invariantes sob translações e transformações de Lorentz, [10]

Γ[φJ] = −Uef f(φJ)

Z

dD+1x. (6.26)

Esse Uef f ´e conhecido como potencial efetivo e cumpre um papel fundamental na an´alise dos

poss´ıveis vácuos da teoria no n´ıvel quântico [10]. Esses resultados (eq. (6.24)), (eq. (6.25)) e (eq. (6.26)) ilustram a importância do estudo dos determinantes funcionais, que será desenvol-vido no cap´ıtulo 8.

(23)

7 Regularizac¸ ˜ao,

renormalizac¸ ˜ao

e

anomalias

7.1 Regularizaç ão e renormalizaç ão

Numa teoria de campos geral, a expressão (6.25) é divergente, assim como as derivadas do funcional Z[J ], que fornecem quantidades importantes para o cálculo de seções de choque. As entropias que serão calculadas também serão divergentes. A primeira impressão é que teorias quânticas de campos não poderiam possuir um significado f´ısico. No entanto, um pouco de reflexão mostra que isso não é verdade. A sutileza está no fato de que os parâmetros que apare-cem na Lagrangiana, como m ou constantes de acoplamento, não são necessariamente f´ısicos. A massa de uma part´ıcula, por exemplo, é o polo do propagador da teoria, que deve ser finito, e não o parâmetro m da lagrangiana, que pode ser divergente. Portanto, para que tudo faça sentido, é necessário aprender como relacionar os parâmetros da lagrangiana com a f´ısica. Suponha que uma certa quantidade f´ısica F seja uma função dos parâmetros da lagrangiana: F = F (λ1, ...λn, m) e que seja calculada em primeira ordem em teoria de perturbação. Em

geral, essa função apresentará divergências. Para manipulá-la, será necessário regularizar a ex-pressão. Regularizar significa colocar algum parâmetro na expressão de modo que ela seja finita para 6= 0 e a divergência apareça quando → 0. Um exemplo é a regularização dimen-sional, que consiste em calcular as expressões em dimensão D − arbitrária [12], [13], [14]. Nesse método, surge uma escala de massa µ para manter a dimensão original dos acoplamen-tos. Em outras regularizações também surgem escalas de massa, por exemplo, ao introduzir um “cut-off”ultravioleta. Este tipo de escala será denotado genéricamente por κ.

A seguir, a divergência em F quando → 0 deve ser eliminada, já que F é uma quantidade f´ısica. Aqui também existem várias maneiras de se fazer isso, cada uma correspondendo a um esquema de renormalização diferente. No caso da regularização dimensional, uma delas se chama esquema de subtração m´ınima, na qual a parte polar, termos proporcionais a 1n,

são subtra´ıdos. Isso quer dizer que são adicionados novos termos à F, o que pode ser inter-pretado como uma redefinição dos parâmetros da lagrangiana. Muitas vezes são necessários parâmetros (β1, ..., βa) que não estavam presentes na lagrangiana inicial. Em teorias

(24)

24 Cap´ıtulo 7. Regularização, renormalização e anomalias

quantidades convergentes,

F = F (λ1(κ), ...λn(κ), m(κ), κ). (7.1)

Desta forma, aparece nas expressões uma dependência com a escala κ. Por outro lado, as grandezas f´ısicas não podem depender desta escala,

dF

dκ = 0. (7.2)

Outras grandezas f´ısicas Gi obviamente também têm que satisfazer esse tipo de equação. Esse

conjunto de equações é conhecido como equações do grupo de renormalização. As condições iniciais dessas equações vêm da f´ısica: é necessário medir (F, Gi) em alguma escala κ0, que no

caso da regularização dimensional, por exemplo, tem relação direta com a escala de energia do experimento. Depois desse processo, a teoria será finita na ordem considerada, e terá poder de predição.

7.2 Anomalias

Um aspecto interessante associado às entropias geométricas é a possibilidade de calcular quantidades da teoria, como a carga central de uma teoria conforme. Essas quantidades podem ser usadas para calcular anomalias, por exemplo, que serão discutidas brevemente nesta seção. Uma anomalia ocorre quando uma simetria clássica da ação não é uma simetria da teoria quântica. Isso pode ser entendido notando que

Z[J ] = Z

[Dcampos]eiSJ_. _(7.3)

Para que a teoria seja invariante por alguma transformação, não basta que a ação seja invariante: a medida de integração também tem que ser.

Exemplos de anomalias ocorrem em algumas teorias conformes. Uma teoria é dita conforme se sua ação é invariante por transformações conformes. Uma transformação conforme é uma mudança de coordenadas x → x0 que induz uma mudança na métrica do tipo g(x) → g0(x) = Ω2_{(x)g(x). Mostra-se que uma condição necessária para que a ação seja invariante sob essas}

transformações é que Tµ_µ = 0, onde Tαβ = √1_g_δgδSαβ é o tensor de energia-momento. Em uma

dimensão espacial, para uma teoria conforme em um espaço-tempo curvo obtêm-se [15] hTµ

µi = −

c

(25)

Portanto, no n´ıvel quântico, a simetria conforme é quebrada. Isso quer dizer, por exemplo, que as funções β da teoria podem ser não nulas. Um exemplo bastante importante de onde isso ocorre é na cromodinâmica quântica, uma teoria que é conforme classicamente mas não no n´ıvel quântico, o que abre a possibilidade da existência de confinamento [12], [10].

Na expressão acima, c é a carga central, uma quantidade importante em uma teoria conforme. Para D campos escalares livres, c = D. Assim, essa constante mede de alguma forma o número de graus de liberdade na teoria conforme. Isso não deve ser encarado com muito rigor, já que c pode assumir valores não inteiros. Em dimensões maiores surgem anomalias similares. Por exemplo, em 3 + 1 dimensões, novamente em um espaço-tempo curvo, tem-se [15]

hTµ_µi = c 16π2CρσκλC ρσκλ₋ a 16π2R˜ρσκλR˜ ρσκλ , (7.5)

onde C é o tensor de Weyl , ˜R é o dual do tensor de Riemann e a é outra quantidade intr´ınseca da teoria conforme. Note que conhecer c e a é conhecer essas anomalias.

(26)

(27)

8 Determinantes

8.1 M étodo da funç ão zeta

Existem vários métodos para definir o determinante de um operador diferencial, o que fisi-camente corresponde a diferentes maneiras de regularizar e renormalizar a teoria. Um deles é conhecido como método da função zeta do operador diferencial, onde é definida a função

ζO,µ(s) = X i λi µ2 −s , (8.1)

para s ∈ C tal que a soma converge. A escala µ foi introduzida para manter o lado direito da equação adimensional, onde λisão os autovalores do operador, que dependem tanto de O como

das condições de contorno do problema. A seguir, é feita a continuação anal´ıtica de ζO,µ(s)

para todo s ∈ C, a menos de poss´ıveis polos, e o logaritmo do determinante do operador O ´e definido como

ln det O ≡ −ζ_O,µ0 (0). (8.2)

A continuação anal´ıtica de uma função f : D ⊆ C → C anal´ıtica em D é uma função g anal´ıtica em um dom´ınio E tal que D ⊆ E e g = f em D. Pode-se demonstrar que tal continuação anal´ıtica é única. Considere o caso em que D = R+e que f tenha um polo simples em z0 = 0. Suponha que existam duas continuações anal´ıticas g e h que não possuem polos

fora de D e defina m ≡ h − g. Tem-se m = 0 em D. Como m é uma diferença de funções anal´ıticas, possui uma série de Taylor centrada em qualquer ponto x0 ∈ D com um raio de

convergˆencia |x0|. Com isso garante-se que g = h em um dom´ınio maior do que D (Figura

1). Agora escolhe-se um ponto x1 no dom´ınio extendido e repete-se o processo. Iterando esse

racioc´ınio um número suficiente de vezes conclui-se que a continuação anal´ıtica é única. ´

E instrutivo fazer a continuação anal´ıtica de uma função que sempre aparece no cálculo de determinantes, conhecida como função zeta de Riemann, definida por

ζ(s) =

∞

X

n=1

n−s. (8.3)

Primeiro, usando a identidade

λ−s= 1 Γ(s)

Z ∞

0

(28)

28 Cap´ıtulo 8. Determinantes

Figura 1 – o dom´ınio D é a reta preta. A região cinza é onde a expansão em série de Taylor em torno de x0garante

a unicidade da continuac¸˜ao anal´ıtica.

´e poss´ıvel escrever,

ζ(s) = 1 Γ(s) Z ∞ 0 dt t s−1 et_{− 1}. (8.5)

Depois, separa-se a integral ζ(s) = 1 Γ(s) Z 1 0 dt t s−1 et_{− 1}+ 1 Γ(s) Z ∞ 1 dt t s−1 et_{− 1}, (8.6) e usa-se a identidade t et_{− 1} = ∞ X k=0 Bk k!t k , (8.7)

onde Bks˜ao os n´umeros de Bernoulli, tabelados. A primeira integral converge ∀s > 1, sendo s

real e a segunda converge ∀s ∈ C. Considerando s > 1 e real, portanto, tem-se: ζ(s) = 1 Γ(s) ∞ X k=1 Bk k! 1 k + s − 1 + 1 Γ(s) Z ∞ 1 dt t s−1 et_{− 1}. (8.8) Como, para m ∈ N, 1 Γ(−m + ) = (−1) m_{m!(1 + O()),} (8.9) o lado direito da eq. (8.8) vale, para s = −m ,

(−1)mBm+1

m + 1. (8.10)

Isso mostra que o único ponto onde o lado direito da eq. (8.8) tem problemas é em s = 1! Ele define uma função anal´ıtica em C − { 1 } que é igual a ζ(s) em seu dom´ınio original, portanto é a continuação anal´ıtica da função zeta de Riemann!

Para ilustrar o cálculo de um determinante, considere o operador laplaciano unidimensional no intervalo [0, a] com condições de Dirichlet nos extremos do intervalo. Seus autovalores são

n2_π2

a2 , com n ∈ N. A função zeta desse problema é

π2 µ2_a2 −s ∞ X n=1 n−2s = π2 µ2_a2 −s ζ(2s), (8.11)

(29)

onde ζ(2s) é a função zeta de Riemann usual. Com isso, o logaritmo desse determinante é ln π2 µ2_a2 ζ₋d2 dx2,µ (0) − 2ζ0(0) = ln π2 µ2_a2 ζ(0) − 2ζ0(0) = ln(2π) −1 2ln π2 µ2_a2 (8.12) Note que a dependência em µ está acompanhada de ζ₋d2

dx2,µ

(0) . Veremos mais adiante que isso sempre acontece. Sempre que se conhece o espectro do operador no problema de interesse, esse é o procedimento: escreve-se sua função zeta e tenta-se expressá-la em termos de funções cujas continuações anal´ıticas já são conhecidas. No entanto, em uma enorme variedade de proble-mas, o espectro do operador não é conhecido. Nesses casos, o conceito de núcleo da equação do calor de um operador diferencial será útil.

Imagine que se tem um problema de contorno de um operador O em alguma variedade dife-renciável M com condições de contorno em ∂M . O núcleo da equação do calor FO de um

operador O é definido pela equação d

dtFO(x, y, t) + OFO(x, y, t) = 0, (8.13)

junto com a condic¸˜ao

FO(x, y, 0) = δ(x − y), (8.14)

onde FOsatisfaz as mesmas condições de contorno que o operador O nas variáveis x, y. Essa

quantidade representa a difusão de uma quantidade unitária de calor colocada em y em t = 0 e tem a solução formal

FO(x, y, t) =

X

i

φi(x)φi(y)e−λit, (8.15)

onde φi são as autofunções ortonormais do problema de contorno em M e λiseus autovalores.

Sua primeira utilidade vem da relação de seu traço em M YO(t) ≡ Z M dDx√g FO(x, x, t) = X n e−λnt_, _(8.16)

onde g é o determinante da métrica em M , com a função zeta do operador, que pode ser obtida a partir da eq. (8.4): ζO,µ(s) = 1 Γ(s) Z ∞ 0 dt ts−1X n e−tλnµ2_. _(8.17)

A segunda, e mais importante, é que esse traço possui uma expansão [16] quando t → 0 para o caso em que O possui a forma geral,

(30)

onde ∇a ´e a derivada covariante e R o escalar de curvatura. Esta expans˜ao tem a forma

YO t µ2 ≈ (µ 2₎D₂ (4πt)D/2 ∞ X j=0 Cj t µ2 j/2 , (8.19) com Cj = Aj + Bj = Z M dDx√g aj+ Z ∂M dD−1y√g0 bj. (8.20)

Os a’s dependem de potências do tensor de Riemann e contrações, e são independentes das condições de contorno. Os coeficientes bj são polinômios escalares da métrica, do vetor normal

à fronteira e suas derivadas covariantes e dependem do tipo de condição de contorno imposta (Dirichlet, Neumann, Robin, etc). Também demonstra-se que aj = 0 para j ´ımpar e b0 = 0.

Essas quantidades estão tabeladas por exemplo em [17], [18], [19]. Os primeiros coeficientes para condições de contorno de Dirichlet de um operador ∇a∇a+ ξR são os seguintes,

a0 = 1, (8.21) a2 = ξ − 1 6 R, (8.22) a4 = 1 180 R abcd_R abcd− RabRab+ 30(1 − ξ)2R2− (6 − 30ξ)∇2R , (8.23) a2k+1 = 0, (8.24) b0 = 0, (8.25) b1 = − √ π 2 , (8.26) b2 = χ 3, (8.27) b3 = √ π 192(3(3 − 32ξ)χ 2_{+ 6(16ξ − 1)χ} jkχjk − 16(1 − 6ξ) ˆR − 24(8ξ − 1)Rabnanb), (8.28)

onde χa_b ≡ −∇bna , χ ≡ gjkχjk e ˆR ´e a curvatura na fronteira. Um algoritmo para

(31)

funções ´ımpares do vetor normal. Além disso, sabe-se que YO(t) decai exponencialmente para

t grande. Essa expans˜ao, a f´ormula (8.17) e o comportamento para t grande de YO(t) implicam

(esquecendo da escala µ por um momento) ζO(s) = 1 Γ(s) " 1 (4π)D/2 X j Cj j−D 2 + s + F (s) # , (8.29)

onde F (s) é uma contribuição finita para todo s. Isso pode ser visto separando a integralR₀∞ = R1

0 +

R∞

1 na eq. (8.17) e integrando termo a termo. Com essa identidade, ´e poss´ıvel entender

como o determinante depende da escala µ e como ele se comporta com uma mudanc¸a na escala de comprimentos: considere uma mudanc¸a g0 = rg e µ → µ0. Os autovalores do laplaciano se transformam λ0 = r−1λ, de modo que o determinante se transforma em

lndet A 0 µ0 = −ζ_A00_,µ0(0) = lndet A µ2 − ζA,µ(0) ln r2− ζA,µ(0)ln µ02 µ2 . (8.30)

Repare que conhecer ζO(0) é conhecer como o determinante se comporta mediante essas transformações.

Isso está de acordo com o que foi obtido na eq. (8.12) , onde a dependência em µ ficou propor-cional à ζ d2

dx2

(0) = ζ(0) = 0. De volta `a eq. (8.29), note que

ζO(0) =

1

(4π)D/2CD. (8.31)

8.2 Uma outra definic¸ ˜ao

Existe outra maneira de definir o determinante que permite calcular sua parte divergente e geométrica, que é a que estaremos interessados, diretamente da expansão de Y (t). Para motivá-la, considere a integral

Z ∞ 0 e−tm2YO(t)dt = X n (λn+ m2)−1. (8.32)

Aqui fizemos µ = 1. Com isso,

Z ∞ 0 dm2 Z ∞ 0 e−tm2YO(t)dt =X n ln(λn+ m2)|∞0 . (8.33)

Mudando a ordem de integrac¸˜ao, X n ln(λn+ m2)|∞0 = − Z ∞ 0 dt t−1YO(t). (8.34) Assim, chegamos a, X n ln λn µ2 = Z ∞ 0 dtt−1X i e−µ2λit_{+ ... = lim} →0 Z ∞ 2 dt t−1X i e−µ2λit_{+ ...,} _(8.35)

(32)

onde “...” na expressão acima e até o fim desta seção quer dizer contribuições que não são geométricas e divergentes. Mudando variáveis, a escala µ some e t adquire dimensão de comprimento2_: lndet(O) = Z ∞ 0 dtt−1YO(t) + ... = lim →0 Z r2 a2 2 dt t−1YO(t) + ..., (8.36)

onde r ´e alguma escala de comprimento do problema e a uma constante que ´e escolhida de modo que r_a << 1. Usando a eq. (8.19)

lndetO() = 1 (4π)D2 ∞ X j=0 Z r2 a2 2 dt Cj tj/2−D/2−1+ ... (8.37) = − 1 (4π)D2 C0 −D 2 (2)−D2 + C1 1−D 2 (2)1−D2 + C2 2−D 2 (2)2−D2 + ... + 2C Dln r ! + ... (8.38) = 1 (4π)D2 C0 D 2 (2)−D2 + 1 (4π)D2 C1 D−1 2 (2)1−D2 + 1 (4π)D2 C2 D−2 2 (2)2−D2 +...+2C_Dln r +.... (8.39)

Um operador que será importante nos cálculos deste trabalho é o laplaciano fracionário (−∆)1/2. Uma pergunta natural é se existe alguma relação entre seu determinante e o do laplaciano. Para responder isso, considere a equação do calor para esse operador

(−∆)1/2u(x, y, t) + d

dtu(x, y, t) = 0, (8.40)

u(x, y, 0) = δ(x − y). (8.41)

As condições de contorno na variável x são as mesmas do problema de contorno de interesse, que podemos considerar como sendo Dirichlet. Existe uma diferença importante entre o lapla-ciano fracionário e o laplalapla-ciano usual no que se refere a problemas de contorno Dirichlet: não é suficiente especificar as condições na borda de M num problema de contorno fracionário, é preciso especificá-las em todo ¯M (o complemento de M). Isso será discutido com mais cuidado no cap´ıtulo 11. Por enquanto, basta considerar que u satisfaz as equações acima em M e vale 0 em ¯M . Aplicando (−∆)1/2 _{na eq. (8.40) e voltando a usar a mesma equação fracionária:}

∆u(x, y, t) + ∂

2

(33)

onde −∆ ´e o laplaciano usual. Note que u(x, y, t) =X i φi(x)φi(y)e−λ 1/2 i t, _(8.43)

onde φi são as autofunções de −∆ e λi seus autovalores, é uma solução para esse problema.

Portanto, o traço do núcleo da equação do calor do laplaciano fracionário é Y (t) =X

i

e−λ1/2i t. (8.44)

Olhando para a eq. (8.35), nota-se que, denotando-se por wios autovalores de (−∆)1/2:

lndet(−∆)1/2 =X i lnwi = Z ∞ 0 t−1X j e−λ1/2j t_{+ ... =}X i lnλ1/2_i = 1 2 X i lnλi = 1 2lndet(−∆) + ..., (8.45)

que é a propriedade que se esperaria intuitivamente. Finalmente, comentamos sobre a relação entre os determinantes de A e B tais que A = cB, com c uma constante arbitrária. Nesse caso,

lndet(A) = X i lnai = X i ln(cbi) = X i ln(bi) + d = lndet(B) + ..., (8.46)

Nos nossos cálculos estaremos interessados apenas nas contribuições geométricas e divergentes, então esses termos que não são geométricos e divergentes serão descartados.

(34)

(35)

9 Entropias geom ´etricas

Uma teoria quântica de campos não se resume à obtenção de amplitudes de espalhamento. Pode-se fazer outras perguntas interessantes. Por exemplo, ainda se tem o conceito de estado |Ψi. Isso permite definir a matriz densidade associada a um certo estado na teoria, que por sua vez abre as portas para todas as definições de entropia que são usadas na mecânica quântica que foram discutidas no cap´ıtulo 4. Uma definição importante é a de entropia de emaranhamento geométrica de um estado: dado um estado, quão emaranhados estão o interior e o exterior de uma certa região espacial V ? A resposta é dada por

−tr(ρVln(ρV)) = −tr(ρ_V¯ln(ρ_V¯)). (9.1)

Também é definida a entropia Rényi-n de emaranhamento entre as duas regiões geométricas: 1

1 − nln tr(ρ

n

V). (9.2)

A última quantidade que será estudada neste trabalho é a informação mútua de Shannon, cujo significado f´ısico será discutido depois de uma breve introdução à representação de formas bem definidas de uma teoria quântica de campos. O fato é que se terá uma distribuição de probabi-lidades P [φ] e, com isso, será natural se perguntar sobre como as correlações entre as variáveis aleatórias φ(x) definidas em uma região V e ¯V , por exemplo, dependem do tamanho e forma de V . A quantidade que será útil para medir essa correlação é conhecida como informação mútua de Shannon e é definida pela fórmula

S[PV[φ]] + S[P_V¯[φ]] − S[P [φ]], (9.3)

onde PV[φ] ´e a probabilidade de medir uma certa forma em V sem se preocupar pelo seu valor

fora dessa regi˜ao, e S ´e a entropia de Shannon usual.

A entropia de emaranhamento já foi estudada e calculada em uma grande variedade de situações. Em D dimensões espaciais esta entropia possui um comportamento da forma [3]

S(V ) = gD−1[∂V ]−(D−1)+ .. + g1[∂V ]−1+ g0[∂V ]ln() + S0(V ). (9.4)

Os gisão proporcionais à potência (i − 1) de alguma escala de comprimento caracter´ıstica de V

como o raio, no caso em que V é uma esfera. O parâmetro é um regulador: a entropia é obtida no limite → 0 sendo, portanto divergente. S0 é a parte finita. Note que a maior potência de

(36)

36 Cap´ıtulo 9. Entropias geom´etricas

vem multiplicada por gD−1, que tem dimens˜ao de comprimentoD−1. A esse fato ´e dado o

nome de lei da área. Os termos proporcionais a gi, com i > 0, não são universais, no sentido

de que dependem da regularização escolhida no cálculo. Isso levanta um questionamento sobre seu significado f´ısico: essa lei da área se manifesta concretamente em resultados observáveis da teoria? A resposta não é clara e consiste em um problema interessante para ser abordado no futuro.

Ao contrário dos gi para i > 0, acredita-se que g0 independa da regularização e, portanto,

forneça informações importantes sobre a teoria. Em geral, acredita-se que nos pontos fixos conformes de uma teoria quântica de campos relativ´ıstica geral, a entropia de emaranhamento associada a uma região V possua uma divergência logar´ıtmica com informações não triviais [6]. Isso foi confirmado em 1 + 1 dimensões para teorias conformes, onde g0 = c₃, c ≡ carga central

da teoria. Também existe uma proposta de relação entre g0 e quantidades importantes de uma

teoria conforme em 3 + 1 e 5 + 1 dimensões, como os coeficientes da anomalia de Weyl [6]. As entropias de Rényi-n não possuem tantos resultados quanto à de emaranhamento, mas ainda assim já existem conexões conhecidas entre g0 e quantidades importantes da teoria conforme

[6]. Por outro lado, cálculos de informação mútua de Shannon são escassos na literatura. Um resultado de que se tem conhecimento é o apresentado em [7], [8], onde é feito o cálculo em 1 + 1 dimensões para um segmento de reta de tamanho l, contido em uma reta de tamanho L >> l , para um campo escalar livre sem massa em seu estado fundamental. Em [7], é feito o cálculo para duas definições distintas de probabilidades reduzidas I1 e I2. Para I2, o resultado

para o coeficiente g0 ´e

g0 =

1

4, (9.5)

enquanto que o c0 de I1 ´e duas vezes o de I2. No cap´ıtulo 12 ser´a proposta uma maneira

de calcular a parte geométrica e divergente da informação mútua de Shannon e, portanto, o coeficiente g0associado a uma região V suave qualquer, para um campo escalar livre sem massa

(37)

9.1 Representac¸ ˜ao de formas bem definidas de uma

teo-ria qu ˆantica de campos

Tem-se na teoria, para cada ponto do espaço, uma variável operatorial ˆφ(x) e seu momento conjugado ˆπ(x), que satisfazem a relação de comutação natural

[ ˆφ(x), ˆπ(x0)] = iδ(x − x0). (9.6)

Uma construção que pode ser feita inspirada na representação de posição da mecânica quântica é a de formas bem definidas do campo, isto é, estados |φi que satisfazem

ˆ

φ(x) |φi = φ(x) |φi . (9.7)

Tem-se, portanto, uma variável aleatória φ(x) para cada ponto do espaço. Uma pergunta natural é como determinar a distribuição de probabilidades dessas variáveis em um certo estado |Ψi, e a resposta pode ser praticamente copiada da mecânica quântica:

P [φ] = | hφ|Ψi |2 ≡ |Ψ[φ]|2, (9.8)

onde Ψ[φ] é conhecido como o funcional de onda do estado. Este funcional evolui conforme a equação de Schrödinger da teoria, dada por

ˆ

H |Ψi = id

dt|Ψi , (9.9)

onde ˆH é o gerador de translações temporais da teoria, que pode ser obtido via teorema de Noether.

Várias perguntas naturais podem ser feitas sobre a distribuição de probabilidades P [φ], inspira-das pela discussão da primeira seção: as variáveis são independentes? Se não, como exatamente elas se relacionam? Quão independentes elas são? Além disso, não é necessário restringir esse tipo de questionamento apenas às variáveis individualmente. Também é natural se perguntar como o conjunto de variáveis associado a uma certa região R do espaço se relaciona com o conjunto associado a outra região V . No caso de um campo escalar livre de massa m, por exemplo, tem-se ˆ H = Z dDx 1 2πˆ 2_{(x) +} 1 2 ˆ φ(x)(−∇2 + m2) ˆφ(x). (9.10)

Na representação de configurações φ(x), os operadores atuam segundo, ˆ

(38)

ˆ

π(x) → −i δ

δφ(x), (9.12)

de modo que a equação de Schrödinger é Z dDx −1 2 δ2_Ψ[φ] δφ2_(x)+ φ(x)(−∇ 2_{+ m}2_)φ(x)Ψ[φ] = idΨ[φ] dt . (9.13)

Para soluc¸˜oes de energia bem definida, Z dDx −1 2 δ2Ψ[φ] δφ2_(x) + φ(x)(−∇ 2 + m2)φ(x)Ψ[φ] = E Ψ[φ]. (9.14)

No caso do campo escalar livre, esta equação admite uma fatoração completamente anàloga à do oscilador harmônico quântico, que pode ser obtida definindo os operadores

ˆ a†(x) ≡ √1 2 √ −∇2_{+ m}2_{φ(x) − iˆ}ˆ _π(x)_, _(9.15) ˆ a(x) ≡ √1 2 √ −∇2_{+ m}2_{φ(x) + iˆ}ˆ _π(x)_. _(9.16)

O operador√−∇2_{+ m}2_{φ(x) pode ser definido da seguinte maneira}ˆ

√ −∇2_{+ m}2 _{φ(x) ≡}ˆ Z dDk (2π)D √ k2_{+ m}2 _φ(k)eˆ ikx_. _(9.17) ´

E poss´ıvel encontrar uma expressão para a atuação do operador √−∇2 _{no espaço x a partir}

dessa definição. Isso será feito no cap´ıtulo 10. A relação entre derivadas no espaço de momentos e de posição também é útil:

δΨ[φ] δφ(x) = Z _dD_k (2π)De −ikxδΨ[ ˜φ] δ ˜φ(k), (9.18)

onde Ψ[φ] e Ψ[ ˜φ] expressam o funcional de onda como funcional de φ e sua transformada de Fourier, respectivamente. Com isso, ˆH fica

ˆ H = Z dDx ˆa†(x)ˆa(x) + 1 2 √ −∇2_{+ m}2_δ(0). _(9.19)

O segundo termo é claramente a energia de ponto zero da teoria, e o primeiro representa um conjunto infinito de osciladores harmônicos quânticos. Com essas simplificações, é poss´ıvel encontrar o estado fundamental (Ψ0) facilmente, notando que esse é o estado que satisfaz

(39)

Ou seja,

δΨ0[φ]

δφ(x) = −

√

−∇2_{+ m}2_φ(x). _(9.21)

A solução pode ser encontrada calculando no espaço de momentos. No fim, o resultado é: Ψ0[φ] = Ae−

1 2R d

D_xφ(x)√_−∇2_+m2_φ(x)

, (9.22)

que ´e mais facilmente interpretada no espac¸o de momentos: Ψ0[ ˜φ] = Ae −1₂R dD k (2π)D √ k2_+m2_{φ(k) ˜}˜ _φ(−k) . (9.23)

Para obter a constante de normalizac¸˜ao, faz-se Z [Dφ]Ψ∗₀[φ]Ψ0[φ] = Z [D ˜φ]Ψ∗₀[ ˜φ]Ψ0[ ˜φ] = 1 = A2 Z [Dφ]e− R _{dD k} (2π)Dωk ˜ φ(k) ˜φ(−k) = A2Y k r π ωk , (9.24) onde ωk≡ √ k2_{+ m}2_, _(9.25) [D ˜φ] ≡ Y k d ˜φ(k) (2π)D. (9.26) Assim, Ψ0[ ˜φ] = Y k ω_k π 1₄ e− 1 2 1 (2π)Dωk ˜ φ2_(|k|) . (9.27)

Que é um produto de funções de onda de osciladores harmônicos de frequências ωk. Nada mais

natural, já que o ˆH já indicava que o sistema é um conjunto infinito de osciladores.

9.2 C ´alculo da entropia de emaranhamento para uma

es-fera em tr ês dimens ões via discretizaç ão

Existem várias maneiras de calcular entropias de emaranhamento e uma grande variedade de resultados é conhecida [4], [3]. Aqui será comentada a ideia por trás do cálculo da entropia de emaranhamento do estado fundamental de um campo escalar livre sem massa em 3 dimensões espaciais. O cálculo se baseia na discretização da teoria. A expressão formal para a matriz reduzida, chamando V de região in e ¯V de região out, é

ρ(φin, φ0in) =

Z

(40)

O cálculo é feito explorando a propriedade de que pode-se interpretar o campo como uma coleção de osciladores acoplados. Primeiro, calcula-se a entropia de emaranhamento de dois osciladores acoplados com H = 1₂(p2

1+ p22+ k0(x21+ x22) + k1(x1− x2)2) tomando-se o trac¸o

sobre o oscilador “de fora”:

ρout(x2, x02) =

Z

dx1ψ0∗(x1, x2)ψ0(x1, x02). (9.29)

Nesse caso, os autovalores podem ser obtidos por meio de um ansatz e o cálculo da entropia não é dif´ıcil [1]. Depois, considera-se um sistema da forma

H = 1 2 X i p2_i +X i,j xiKijxj ! . (9.30)

Depois de algumas manipulações, mostra-se que ρout(xn+1, ..., xN, xn+10, ..., x0 N) = Z dx1...dxnψ∗0(x1, ..., xn, xn+1, ...xN)ψ0(x1, ..., xn, x0n+1, ...x 0 N) (9.31) é um produto de matrizes densidades de 2 osciladores. A entropia é então calculada somando a contribuição de cada um dos termos do produto.

O próximo passo é discretizar o hamiltoniano do campo escalar livre. Isso é feito decompondo o campo φ(x) e seu momento π(x) em harmônicos esféricos :

φl,m(r) = r Z dΩ Yl,m(θ, Φ)φ(x), (9.32) πl,m(r) = r Z dΩ Yl,m(θ, Φ)π(x), (9.33) [φl,m(r), πl,m(r0)] = iδll0δ_mm0δ(r − r0). (9.34)

Essa relação de comutação é escolhida de modo a garantir que a relação fundamental de comutação [ ˆφ(x), ˆπ(x0)] = iδ(x − x0) seja obedecida. Com isso, H se tornaP

l,m Hl,m, com Hlm = 1 2 ∞ Z 0 dr π_l,m2 + r2 ∂ ∂r φ(r) r 2 + l(l + 1) r2 φ 2 l,m(r) ! . (9.35)

A variável radial cont´ınua r é então substitu´ıda por uma rede de pontos discretos com espaçamento a e o sistema todo é colocado em uma caixa esférica de raio L = (N + 1)a de modo que φl,m(r)

se anula para r ≥ L. As componentes Hlmdiscretizadas tˆem a forma

Hlm = 1 2a N X j=1 π_lm,j2 + j + 1 2 2_φ lm,j j − φlm,j j + 1 2 +l(l + 1) j2 φ 2 lm,j ! , (9.36)

(41)

com

[φlm,j(r), πlm,j0(r0)] = iδ_ll0δ_mm0δ_jj0. (9.37)

Note que o fator global _a1 é completamente irrelevante já que não muda o estado fundamental, de modo que pode ser descartado. Os Hlm, portanto, são da forma dada na eq. (9.30) e o cálculo

da entropia pode ser feito numericamente, resultando em

S = 0.3M2R2, (9.38)

com M = a−1.

Um fato curioso é que o parâmetro de discretização a simplesmente desapareceu do problema no momento em que o traço parcial foi tomado, já que ele apareceu como um fator global multiplicativo que não altera o estado fundamental. Olhando para a eq. (9.31) e lembrando que os xisão os φ(ri), parece que todas as configurações de campo poss´ıveis vão dar contribuições

finitas. Isso é muito diferente do que acontece quando se calcula, por exemplo, R DφeiS[φ], já que S contém termos como ∇φ que se representam por φ(x+ ~_δ δ) após a discretização, suprimindo fortemente configurações de campo que sejam descont´ınuas. Uma pergunta que podemos fazer é se essas formas descont´ınuas deveriam estar contribuindo fortemente para o cálculo. Pensando por exemplo na energia associada a uma configuração de campo φ

E = 1

2 Z

d3xπ2(x) + |∇φ(x)|2, (9.39)

notamos que uma função descont´ınua claramente terá uma energia infinita, já que δ2 _é

diver-gente. Isso sugere que a intuição de que campos descont´ınuos deveriam contribuir pouco pode estar correta. A importância de considerar formas cont´ınuas ficará clara na abordagem que apresentaremos no cap´ıtulo 11.

9.3 C ´alculo da R ´enyi-n

Existem várias maneiras de calcular essa entropia [20], [3], [6]. Uma delas é relacioná-la com a função de partição em um espaço mais complicado do que o da teoria. Começa-se com a seguinte representação do funcional de onda do estado fundamental:

Φ(α) = h0|αi A

Z φ(x,t=0)=α(x)

φ(x,t=−∞)=0

[Dφ]e−SE[φ]_. _(9.40)

Os tempos nessa expressão são euclidianos. Essa integral é feita na região −∞ < t < 0. Se o espaço da teoria é M , isso corresponde a integrar na metade de baixo do espaço N = M ×

(42)

(−∞, ∞). Essa metade será chamada de semiespaço de N . A matriz densidade desse estado é ρ(α, α0) = Φ∗(α)Φ(α). Para tomar o traço sobre os graus de liberdade em ¯V , consideram-se funções α = β ⊕ αV, α0 = β ⊕ α0V que são iguais a β em ¯V ≡ −V e integra-se sobre todas as

funções β. Usando a representação do funcional de onda da eq. (9.40), isso corresponde a colar duas cópias do semiespaço N em ¯V e fazer a integral nesse espaço com as seguintes condições de contorno (Figura 2):

Figura 2 – À esquerda, o semiespaço N. À direita, a colagem.

ρV(αV, α0V) = Z [Dβ]Φ(β ⊕ αV)∗Φ(β ⊕ αV) = A Z φ(x,0+)=α0_V(x),x∈V φ(x,0−_)=α V(x),x∈V [Dφ]e−SE[φ]_. _(9.41)

Para o c´alculo de ρ2_{, ficaria algo da forma}

ρ2(αV, α00V) =

Z

[Dα0_V]ρV(αV, α0V)ρV(α0V, α 00

V), (9.42)

que representa uma integral funcional em duas folhas do espaço à direita da Figura 2, que chamaremos de π, com as condições de que φ = αV na parte inferior de V na primeira folha,

que a parte superior de V na primeira folha seja colada com a parte inferior de V na segunda folha, e que φ = α00_V na parte superior de V na segunda folha. Logo, o trρ2consiste em integrar em um espac¸o que ´e formado por duas folhas π identificando o lado superior de V da primeira folha com o inferior de V da segunda e o lado superior de V da segunda folha com o inferior de V da primeira. Com isso, o trρn

V consiste em pegar n c´opias do espac¸o π e colar o lado de

cima de V da k-ésima cópia com o lado de baixo de V da (k + 1)-ésima cópia, de modo que a (n + 1)-ésima cópia coincide com a primeira. O espaço resultante consiste de n folhas de π com singularidades de multivaloração localizadas na fronteira ∂V de V (Figura 3) . Logo,

trρn_V = Z(n)

(43)

Figura 3 – Colagem das cópias, resultando em um espaço com singularidades cônicas.

onde Z(n) é a integral funcional nessa variedade resultante complicada. O fator de normalização foi escolhido de modo que trρV = 1. Com isso, a entropia Rényi-n é

Sn(V ) =

ln(Z(n)) − nlnZ(1)

1 − n , (9.44)

e o problema foi reduzido ao cálculo da função de partição em um espaço complicado. Nova-mente, o resultado dessa Z em primeira ordem será o logaritmo de um determinante, conforme já discutido nas seções anteriores. No entanto, como são determinantes em espaços com sin-gularidades de multivaloração, a expansão (8.19) deve ser modificada [19]. Também é poss´ıvel calcular a entropia de emaranhamento a partir dessa fórmula fazendo a continuação anal´ıtica para n = 1, no entanto existem algumas sutilezas nesse procedimento que surgem de só se conhecer a função em um número discreto de pontos, o que não é suficiente para garantir a unicidade da continuação anal´ıtica [3].

(44)

(45)

10 T écnicas úteis para o c álculo da

informaç ão m útua de Shannon

O ponto de partida são as equações (9.22) e (9.27). Considere m=0, por simplicidade. Conforme já comentado, para o cálculo dessa informação tem-se interesse na probabilidade de medir uma forma φΣ em uma região Σ sem se importar pelos valores de φ fora de Σ. Como

a região Σ é uma região do espaço de posição e não de momentos, a fórmula (9.27) é inútil, apesar de mais agradável. Será necessário definir o que se quer dizer com o operador√−∇2

que aparece na eq. (9.22). Para isso, será útil o conceito de função generalizada ou distribuição. Uma distribuição ζ é um funcional linear que atua em algum espaço Γ de funções bem com-portadas [21]. Por exemplo, a distribuição δ unidimensional atua em funções f : R → R bem definidas na origem e é definida pela seguinte relação:

(δ, f ) = f (0). (10.1)

Um conceito importante é o de convergência de uma sequência de funções generalizadas. Uma sequência ζ1, ζ2, ..., ζn, ... de distribuições converge para ζ se

limn→∞(ζn, f ) = (ζ, f ), ∀f ∈ Γ. (10.2)

No caso em que n ´e substitu´ıdo por um r´otulo α cont´ınuo, ζα converge para ζ em α = α0 se

limα→α0 (ζα, f ) = (ζ, f ), ∀f ∈ Γ. (10.3)

Um outro conceito útil é o de transformada de Fourier de uma distribuição. A transformada de de ζ é definida pela relação

(ζ, f ) = 1

(2π)D(˜ζ, ˜f ), (10.4)

que é inspirada pelo teorema de Parseval Z dDx ζ∗(x)f (x) = Z dDx Z dD_k (2π)Dζ˜ ∗_(k)e−ik.z Z dD_k0 (2π)Df (k˜ 0 )eik0.z = Z dD_k (2π)Dζ˜ ∗_{(k) ˜}_{f (k),} (10.5) que vale quando as distribuições são regulares, isto é, quando se associam a funções ζ(x) e

˜ ζ(k).

´

(46)

46 Cap´ıtulo 10. Técnicas úteis para o cálculo da informação mútua de Shannon

núcleo, análogo ao discutido na eq. (5.18). O ponto de partida é a ação do operador no espaço de momentos, dada por

Oαf (x) = Z

dD_k

(2π)D|k|

α_{f (k)e}_˜ ik.x_, _(10.6)

onde Oα _{≡ (−∇)}α₂_{. Essa definic¸˜ao garante que O}α_Oβ _{= O}α+β_{, por exemplo.}

Um conceito útil é o de medida de uma distribuição, que existe quando esta é regular. A medida ζ(x) de uma distribuição regular ζ é a que aparece na representação, dada uma função f de prova qualquer,

(ζ, f ) = Z

dDx ζ∗(x)f (x). (10.7)

Procedendo para o c´alculo, a transformada de |k|α ´e Oα(x) = Z _dD_k (2π)D|k| α eik.x. (10.8) Temos, com λ ∈ R, Oα(λz) = Z _dD_k (2π)D|k| α_eiλk.z_. (10.9) Fazendo k0 = λk, Oα(λz) = Z dDk0 (2π)Dλ −α−D_|k|α_eik0.z _{= λ}−α−D Oα(z). (10.10)

A medida |k|α _{tem simetria esférica. Como a transformada de Fourier de uma função}

esferi-camente simétrica é também esferiesferi-camente simétrica, e Oα(λz) = λ−α−DOα(z), esta deve ser proporcional a r−α−D,

Z _dD_k

(2π)D|k| α

eik.z = Cαr−α−D. (10.11)

A constante pode ser encontrada exigindo que a ação da distribuição de medida Cα r−α−D no

espaço de posição seja igual à ação de sua transformada no espaço de Fourier (eq. (10.4)). Por exemplo, considere a função e−r22 , cuja transformada de Fourier é e

−ρ2 2 π D 2 (ρ ≡ |k|). Ent˜ao, πD2 (2π)D Z dD ke−ρ22 ρα = C_α Z dDx e−r22 r−α−D. (10.12)

Essas integrais podem ser calculadas indo para coordenadas hiperesf´ericas: πD2 (2π)D Z dρ e−ρ22 ρα+D−1= C_α Z dr e−r22 r−α−1, (10.13) πD2 (2π)D2 1 2(α+D−2)Γ α + D 2 = Cα2− α 2−1Γ −α 2 , (10.14) Cα = 2α−D2 πD2 Γ(α+D 2 ) Γ(−α₂ ) . (10.15)

(47)

Essa dedução é válida apenas para −D < α < 0. Vamos calcular a transformada da convolução Kα(x) ≡ Z dDy Oα(x − y)f (y). (10.16) ˜ Kα(k) = Z dDx Kα(x)e−ik.x = Z dDx Z dDy Oα(y − x)f (y)e−ik.x, (10.17) , fazendo (y − x) ≡ z, ˜ Kα(k) = Z dDx Z dDz Oα(z)f (x + z)e−ik.x, (10.18) usando (10.4), ˜ Kα(k) = Z dDx Z dD_k0 (2π)D|k| α_eik0.x_{f (k}_˜ 0 )e−ik.x = |k|αf (k)˜ (10.19) Portanto, o núcleo desse operador nesse dom´ınio de α é

Oα(x − y) = Cα|x − y|−α−D, (10.20) pois (−∆)α2f (x) ≡ Z _dD_k (2π)D|k| α_{f (k)e}_˜ ik.x ₌ Z _dD_k (2π)DK˜α(k)e ik.x ₌ Z dDy Oα(x − y)f (y). (10.21) Considere um x0 fixo. Tem-se que Kα(x0) é uma função anal´ıtica de α para −D < α < 0.

Imagine que é feita uma continuação anal´ıtica para 0 < α < 2, resultando em um Gα(x0)

definido em um dom´ınio maior. Repetindo esse processo para todo x, é obtida uma fam´ılia de funções Gα(x) rotuladas pelo parâmetro cont´ınuo α. Para −D < α < 0, essa fam´ılia consiste

nas transformadas de Fourier de Pα(k) ≡ |k|α_{f (k). Imagine que H}_˜

α(x) sejam as transformadas

de Fourier de Pα_{(k), sempre que existirem. Isso quer dizer que}

Hα(x) =

Z _dD_k

(2π)DP α

(k)eik.x. (10.22)

Isso implica que, se Hα(x) existe para 0 < α < 2, então é uma função anal´ıtica de α nesse

dom´ınio. Além disso, Hα = Kα para −D < α < 0. Isso quer dizer que Hα é uma continuação

anal´ıtica de Kα. Como a continuação anal´ıtica de uma função é única, Gα = Hα, ∀α. A

transformada de Fourier de |k|αf (k) na região de interesse 0 < α < 2 pode ser obtida a partir˜ da continuação anal´ıtica de Kα(x) !

Quer-se continuar analiticamente a express˜ao Kα(y) = CαR dDx r−α−Dφ(x). Onde r ´e a

(48)

48 Cap´ıtulo 10. Técnicas úteis para o cálculo da informação mútua de Shannon

fim da realização da continuação anal´ıtica, qualquer hiperesfera que for referida quer dizer uma que seja centrada em y . A continuação anal´ıtica de Cαpode ser feita sem grandes dificuldades,

já que a função Γ possui uma continuação conhecida. O restante da expressão é igual a Z S1 dDx r−α−n(φ(x) − φ(y)) + Z Rn_\S1 dDx r−α−Dφ(x) + Z S1 dDx r−α−Dφ(y), (10.23) onde S1 _{é a (D − 1)-esfera de raio 1 e seu interior. Note que o segundo termo é bem definido}

na regi˜ao α de interesse (0 < α < 2). O primeiro e terceiro termos devem ser tratados com cuidado. O primeiro pode ser escrito como

Z

S1

dr r−α−1 Z

dΩD(φ(x) − φ(y)) (10.24)

Expandindo φ(x) em torno de y e notando que Z

dΩDφ(x) =

Z

dΩD(φ(y) + zi∂iφ(y) + zizj∂i∂jφ(y) + ...), (10.25)

qualquer termo com um n´umero ´ımpar de zi ≡ (x − y)|idar´a 0, portanto

Z dΩDφ(x) = Z dΩD(φ(y) + c2r2+ c4r4+ ...). (10.26) Logo, Z S1 dr r−α−1 Z dΩD(φ(x) − φ(y)) = Z S1 dr r−α+1(c2+ c4r2+ ...), (10.27)

que é bem comportada na região de interesse. O último termo é Z

S1

dDx r−α−Dφ(y) = ΩD(1)

Z

dr r−α−1φ(y), (10.28)

onde ΩD(1) é a área da (D − 1)-esfera de raio unitário. Para α < 0, essa expressão é igual a

−ΩD(1)φ(y)

α , (10.29)

que é uma função anal´ıtica de α em C \ { 0 }. Além disso, note que Z RD_\S1 dDx φ(y)r−α−D = SD(1)φ(y) Z RD_\S1 dnx r−α−1. (10.30)

Para α > 0, esta integral ´e igual a

ΩD(1)φ(y)

α . (10.31)

O módulo dessa expressão é idêntico ao módulo do último termo da expressão (10.23). Por-tanto, para 0 < α < 2, pode-se escrever

(−∆)α2φ(x) ≡

Z

dDx Cα

(φ(x) − φ(y))