UMA DEMONSTRAÇÃO COMPLETA DO TEOREMA DO NÚCLEO E DA IMAGEM E APLICAÇÕES.

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UMA DEMONSTRAÇÃO COMPLETA DO TEOREMA DO NÚCLEO E

DA IMAGEM E APLICAÇÕES.

Edinara Mayra de Morais Oliveira1_{, Antonio Gomes Nunes (Orientador)}2

1_{Graduanda em Interdisciplinar em Ciência e Tecnologia na Universidade Federal Rural do Semiárido (UFERSA).} Mossoró, RN, Brasil. E-mail: [email protected].

2_{Doutor em Engenharia de Processos pela Universidade Federal de Campina Grande (UFCG). Professor efetivo} na Universidade Federal Rural do Semiárido (UFERSA). Mossoró, RN, Brasil. E-mail: [email protected].

Resumo: Neste artigo é proposta a apresentação de uma demonstração completa do Teorema do Núcleo e da Imagem, assim como de seus corolários. Nesse contexto, apesar da relevância de tal lei matemática, há uma deficiência dos discentes no tocante a esse tema, sendo, para muitos, complexa a tarefa de assimilar os conceitos abstratos existentes na Álgebra Linear. Dessa maneira, a realização de estudos relacionados à compreensão dos saberes e competências referentes ao entendimento de teoremas e suas demonstrações contribui para suprir essa limitação. Assim, expõe-se, através de uma sequência lógica e de forma clara, argumentos que comprovem tais afirmações matemáticas, contribuindo, consequentemente, para a percepção de definições dessa área do conhecimento. Por fim, aplicações relacionadas aos conceitos de dimensão infinita são exibidas e discutidas.

Palavras-chave: Álgebra Linear. Demonstração. Teorema do Núcleo e da Imagem.

1. INTRODUÇÃO

A Álgebra Linear é um dos pilares da Matemática, compreendendo o estudo da generalização de propriedades geométricas e algébricas que são válidas para conjuntos estritos, determinando sua aplicação em conjuntos mais amplos [1]. Esse ramo do conhecimento está presente em diversas grades curriculares de cursos de ensino superior, devendo ser tratado como saber indispensável para o entendimento de tópicos da Engenharia, da Física, da Economia, dentre outras ciências.

Ademais, é inevitável notar a importância dos teoremas e suas respectivas demonstrações para a Matemática e, consequentemente, para a Álgebra Linear. De fato, essas leis matemáticas possuem função de generalizar a informação produzida, considerando-a verdadeira para momentos posteriores. Já as demonstrações contribuem para um processo de verificação das proposições definidas na Matemática, mecanismo realizado em toda a história dessa ciência.

Nesse cenário, o registro de uma demonstração deve ser apoiado em fatos matemáticos comprovados e que o conjunto organizado desses fatos deve comprovar de forma irrefutável algum tipo de proposição matemática [2]. De fato, diferentes raciocínios, justificativas e argumentos têm sido apresentados para provar afirmações matemáticas.

Entretanto, ainda que possua imensa importância, não se abrange tais perspectivas nos Ensinos Fundamental e Médio. Assim, o aluno, ao se deparar com as demonstrações, apresenta dificuldades ímpares, mesmo porque ele nunca foi habituado a questionar se um resultado tinha ou não validade, os resultados eram apenas apresentados e, consequentemente, aplicados aos números [3]. Portanto, ao desenvolver as competências necessárias para o entendimento de demonstrações, o discente compreende, de fato, a essência da Matemática. Além disso, amplia sua capacidade argumentativa, racional e reflexiva.

Em vista disso, fica clara a importância da percepção tanto do enunciado como da demonstração do Teorema do Núcleo e da Imagem, o qual se configura como um dos mais relevantes para a Álgebra Linear. Esse teorema afirma que, para espaços vetoriais de dimensão finita, a soma das dimensões do núcleo da transformação e da imagem da transformação possui valor equivalente à dimensão do domínio. Pode-se observar ainda a existência de corolários resultantes desse teorema, que adicionam informações significativas ao conceito de transformação linear. Somado a isso, são numerosas as aplicações existentes relativas a esse teorema, tornando ainda mais significativo o valor de seu estudo. Entretanto os estudantes durante o curso de Álgebra Linear não têm a oportunidade de reconhecer sua importância, pois suas aplicações interessantes se encontram fora do contexto desse primeiro curso [4].

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMIÁRIDO - UFERSA CURSO DE BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA

2. DESENVOLVIMENTO

2.1. Definições

2.1.1. Transformação Linear

Sejam 𝑉 e 𝑊 espaços vetoriais. Uma transformação ou aplicação linear é uma função de 𝑉 em 𝑊, 𝑇: 𝑉 → 𝑊, a qual o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais e as variáveis, sejam dependentes ou

independentes, são vetores. Tal função deve satisfazer duas condições, as quais são indicadas a seguir:

𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣) (1)

𝑇(𝛼𝑢) = 𝛼𝑇(𝑢) (2)

2.1.2. Núcleo

Seja𝑇: 𝑉 → 𝑊 uma transformação linear, conceitua-se núcleo dessa transformação o conjunto de todos os vetores que são transformados no vetor nulo, isto é,

𝑁(𝑇) = {𝑣 ∈ 𝑉 | 𝑇(𝑣) = 0} (3)

É válido notar que 𝑁(𝑇) ⊂ 𝑉. Veja a Figura 1, a seguir.

Figura 1. Núcleo de uma transformação. (Autoria própria).

2.1.3. Imagem

Seja 𝑇: 𝑉 → 𝑊 uma transformação linear, conceitua-se imagem dessa transformação o conjunto de todos os vetores 𝑤 ∈ 𝑊 que são imagens de pelo menos um vetor 𝑣 ∈ 𝑉, isto é,

𝐼𝑚(𝑇) = {𝑤 ∈ 𝑊 | 𝑤 = 𝑇(𝑣) para algum 𝑣 ∈ 𝑉} (4)

É válido notar que 𝐼𝑚(𝑇) ⊂ 𝑊. Veja a Figura 2, a seguir.

___________________________________________________________________________ 2.1.4. Transformação injetora

Dada uma transformação 𝑇: 𝑉 → 𝑊, diz que 𝑇 é injetora se as imagens de vetores diferentes são distintas, ou seja, sejam 𝑢 ∈ 𝑉, 𝑣 ∈ 𝑉 com 𝑇(𝑢) = 𝑇(𝑣), tem-se 𝑢 = 𝑣, como mostra a Figura 3, a seguir.

Figura 3. Transformação injetora. (Autoria própria). 2.1.5. Transformação sobrejetora

Dada uma transformação 𝑇: 𝑉 → 𝑊, diz que 𝑇 é sobrejetora se a imagem da aplicação coincidir com o contradomínio da função, isto é, 𝐼𝑚(𝑇) = 𝑊, conforme mostrado na Figura 4, a seguir.

Figura 4. Transformação sobrejetora. (Autoria própria). 2.1.6. Transformação bijetora

Dada uma transformação 𝑇: 𝑉 → 𝑊, diz que 𝑇 é bijetora se for, simultaneamente, injetora e sobrejetora, como mostra a Figura 5, a seguir.

2.2. Teorema do Núcleo e da Imagem

Sejam 𝑉 e 𝑊 espaços vetoriais com dimensão finita. Caso exista uma aplicação linear tal que 𝑇: 𝑉 → 𝑊, então

dim 𝑁(𝑇) + dim 𝐼𝑚(𝑇) = dim 𝑉 (5)

2.2.1. Demonstração do Teorema do Núcleo e da Imagem

Com o objetivo de demonstrar o Teorema do Núcleo e da Imagem, verifica-se que, sejam 𝑉 e 𝑊 espaços vetoriais com dimensão finita e 𝑇: 𝑉 → 𝑊 uma transformação linear, se {𝑣1, … , 𝑣𝑛} é um conjunto gerador de 𝑉, então {𝑇(𝑣1), … , 𝑇(𝑣𝑛)} é um conjunto gerador de 𝐼𝑚(𝑇).

De fato, se 𝑇(𝑣) ∈ 𝐼𝑚(𝑇), existe 𝑣 ∈ 𝑉 e, consequentemente, 𝑣 pode ser escrito como combinação linear dos elementos geradores de V, conforme pode ser visto na Equação 6.

𝑣 = 𝑎1𝑣1+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛 (6)

Logo, 𝑇(𝑣) pode ser escrito como

𝑇(𝑣) = 𝑇(𝑎1𝑣1+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛) (7)

Utilizando a definição de transformação linear, tem-se

𝑇(𝑣) = 𝑎1𝑇(𝑣1) + ⋯ + 𝑎𝑛𝑇(𝑣𝑛) (8)

Desse modo, pode-se que notar que 𝑇(𝑣) é igual à combinação linear dos componentes do conjunto {𝑇(𝑣1), … , 𝑇(𝑣𝑛)} isto é, tal conjunto é um conjunto gerador de 𝐼𝑚(𝑇).

∎ Em posse das definições e do teorema acima, pode-se mostrar a prova do Teorema do Núcleo e da Imagem. Considera-se três situações: 𝑁(𝑇) = {0}, 𝑁(𝑇) = 𝑉 e 𝑁(𝑇) sendo um subespaço próprio de 𝑉, isto é, 𝑁(𝑇) ≠ {0} e 𝑁(𝑇) ≠ 𝑉.

No primeiro caso, tem-se 𝑁(𝑇) = {0}, ou seja, dim 𝑁(𝑇) = 0. Logo, com o intuito de mostrar que a Equação 5 é válida, deve-se mostrar que dim 𝐼𝑚(𝑇) = dim 𝑉. Considerando que o conjunto {𝑣1, … , 𝑣𝑛} é uma base de 𝑉, então o conjunto {𝑇(𝑣1), … , 𝑇(𝑣𝑛)} gera 𝐼𝑚(𝑇), conforme visto no início desse subtópico. Desse modo, basta verificar que o conjunto {𝑇(𝑣1), … , 𝑇(𝑣𝑛)} é linearmente independente.

𝑎1𝑇(𝑣1) + ⋯ + 𝑎𝑛𝑇(𝑣𝑛) = 0 (9)

Pelo conceito de transformação linear, pode-se escrever

𝑇(𝑎1𝑣1+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛) = 0 (10)

É possível afirmar que 𝑎1𝑣1+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛 ∈ 𝑁(𝑇). Assim, como 𝑁(𝑇) = {0},

𝛼𝑣1+ ⋯ + 𝛽𝑣𝑛= 0 (11)

Contudo, {𝑣1, … , 𝑣𝑛} é uma base de 𝑉, logo, esse conjunto é linearmente independente, então

𝑎1= ⋯ = 𝑎𝑛= 0 (12)

Portanto, observando a Equação 9, {𝑇(𝑣1), … , 𝑇(𝑣𝑛)} é base de 𝐼𝑚(𝑇), e, consequentemente, dim 𝐼𝑚(𝑇) = dim 𝑉 = 𝑛.

No segundo caso tem-se dim 𝑉 = dim 𝑁(𝑇) e, consequentemente, 𝑉 = 𝑁(𝑇). Dessa forma, 𝐼𝑚(𝑇) = {0} e, por definição, dim 𝐼𝑚(𝑇) = 0, sendo válida, portanto, a Equação 5. Na Figura 6 é possível observar a visualização geométrica de tal cenário, denominado transformação nula.

Já no terceiro caso, dispõe-se de 𝑁(𝑇) ≠ {0} e 𝑁(𝑇) ≠ 𝑉. Nesse contexto, sabe-se que é possível adicionar vetores a um subconjunto de 𝑉 linearmente independente, com o objetivo de encontrar uma base para 𝑉. Assim,

se {𝑢1, … , 𝑢𝑚} é uma base para 𝑁(𝑇), adiciona-se 𝑘 vetores a esse conjunto e obtém-se {𝑢1, … , 𝑢𝑚, 𝑣1, … , 𝑣𝑘}, uma base de 𝑉. À vista disso, é simples observar que dim 𝑁(𝑇) = 𝑚 e dim 𝑉 = 𝑚 + 𝑘 e,

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Figura 6. Transformação nula. (Autoria própria).

Sabe-se que, como {𝑢1, … , 𝑢𝑚, 𝑣1, … , 𝑣𝑘} gera V, então {𝑇(𝑢1), … , 𝑇(𝑢𝑚), 𝑇(𝑣1), … , 𝑇(𝑣𝑘)} gera 𝐼𝑚(𝑇). Como {𝑢1, … , 𝑢𝑚} ⊂ 𝑁(𝑇), então

𝑇(𝑢1) = ⋯ = 𝑇(𝑢𝑚) = 0 (13)

Logo, {𝑇(𝑣1), … , 𝑇(𝑣𝑘)} gera 𝐼𝑚(𝑇). Por fim, verifica-se se tal conjunto é linearmente independente.

𝑎1𝑇(𝑣1) + ⋯ + 𝑎𝑘𝑇(𝑣𝑘) = 0 (14)

Pelo conceito de transformação linear, pode-se escrever

𝑇(𝑎1𝑣1+ ⋯ + 𝑎𝑘𝑣𝑘) = 0 (15)

Pela Equação 15 é possível afirmar que 𝑎1𝑣1+ ⋯ + 𝑎𝑘𝑣𝑘 ∈ 𝑁(𝑇). Assim, pode-se escrever esse vetor como sendo combinação linear dos vetores da base de 𝑁(𝑇).

𝑎1𝑣1+ ⋯ + 𝑎𝑘𝑣𝑘= 𝑏1𝑢1+ ⋯ + 𝑏𝑚𝑢𝑚 (16)

Rearranjando os termos da Equação 16, obtém-se

𝑏1𝑢1+ ⋯ + 𝑏𝑚𝑢𝑚− 𝑎1𝑣1− ⋯ − 𝑎𝑘𝑣𝑘 = 0 (17)

Observa-se que o conjunto {𝑢1, … , 𝑢𝑚, 𝑣1, … , 𝑣𝑘} é base de 𝑉 e, consequentemente, é linearmente independente. Desse modo,

𝑎1= ⋯ = 𝑎𝑘 = 𝑏1= ⋯ = 𝑏𝑚= 0 (18)

Portanto, verifica-se que a solução trivial é a única para a Equação 14 e que o conjunto {𝑇(𝑣1), … , 𝑇(𝑣𝑘)} é uma base para 𝐼𝑚(𝑇). Dessa forma, é possível observar não só que dim 𝐼𝑚(𝑇) = 𝑘 mas

também que a Equação 5 é válida.

∎ 2.3. Corolários do Teorema do Núcleo e da Imagem

2.3.1. Primeiro Corolário do Teorema do Núcleo e da Imagem

Sejam 𝑉 e 𝑊 espaços vetoriais com a mesma dimensão, sendo uma transformação linear tal que 𝑇: 𝑉 → 𝑊, então são equivalentes as assertivas:

1) T é sobrejetora; 2) T é injetora; 3) T é bijetora;

4) Caso {𝑣1, … , 𝑣𝑛} seja uma base de 𝑉, então {𝑇(𝑣1), … , 𝑇(𝑣𝑛)} é uma base de 𝑊, ou seja, 𝑇 transforma uma base de 𝑉 em uma de 𝑊.

É importante notar que, caso se verifique uma afirmação, as outras também serão verdadeiras. Inicialmente, tem-se como hipótese o primeiro item, o qual afirma que 𝑇 é sobrejetora. Deseja-se mostrar que 𝑇 é injetora. Sendo 𝑇 sobrejetora, 𝑊 = 𝐼𝑚(𝑇) e, consequentemente, dim 𝑊 = dim 𝐼𝑚(𝑇). Utilizando-se a Equação 5, é possível

observar que dim 𝑁(𝑇) = 0, o que resulta em N(T) = {0}, ou seja, 𝑇 é injetora, confirmando segundo item. Nesse cenário, como 𝑇 é sobrejetora e injetora, 𝑇 é, consequentemente, bijetora. Logo, o terceiro item é comprovado.

Dado o conjunto {𝑣1, … , 𝑣𝑛} uma base de 𝑉, deseja-se mostrar que {𝑇(𝑣1), … , 𝑇(𝑣𝑛)} é uma base de 𝑊. Como dim 𝑉 = dim 𝑊 e as bases tem o mesmo número de elementos, resta somente observar que {𝑇(𝑣1), … , 𝑇(𝑣𝑛)} é linearmente independente. Tem-se

𝑎1𝑇(𝑣1) + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑇(𝑣𝑛) = 0 (19)

Utilizando-se a definição de aplicação linear, obtém-se

𝑇(𝑎1𝑣1+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛) = 0 (20)

Assim, 𝑎1𝑣1+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛 ∈ 𝑁(𝑇). Contudo, 𝑇 é injetora, isto é, 𝑁(𝑇) = {0}, logo,

𝑎1𝑣1+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛= 0 (21)

Todavia, como o conjunto {𝑣1, … , 𝑣𝑛} é uma base de 𝑉, consequentemente, é linearmente independente. Desse modo,

𝑎1= ⋯ = 𝑎𝑛= 0 (22)

Portanto, {𝑇(𝑣1), … , 𝑇(𝑣𝑛)} é uma base para 𝑊, mostrando que o quarto item é válido. Por fim, deseja-se mostrar que, se 𝑇 transforma uma base de 𝑉 em uma de 𝑊, 𝑇 é sobrejetora, fechando-se o ciclo. Por hipótese, se {𝑣1, … , 𝑣𝑛} é uma base de 𝑉, então, {𝑇(𝑣1), … , 𝑇(𝑣𝑛)} é uma base para 𝑊. Dessa forma, dado 𝑤 ∈ 𝑊, pode-se escrever o vetor 𝑤 como combinação dos elementos da base. Assim,

𝑤 = 𝑏1𝑇(𝑣1) + ⋯ + 𝑏𝑛𝑇(𝑣𝑛) (23)

Utilizando-se o conceito de transformação linear, obtém-se

𝑤 = 𝑇(𝑏1𝑣1+ ⋯ + 𝑏𝑛𝑣𝑛) (24)

Uma vez que {𝑣1, … , 𝑣𝑛} é uma base de 𝑉, então, se 𝑣 ∈ 𝑉, esse elemento pode ser escrito como

𝑣 = 𝑏1𝑣1+ ⋯ + 𝑏𝑛𝑣𝑛 (25)

Desse modo, 𝑤 = 𝑇(𝑣), para um 𝑣 ∈ 𝑉 e, assim, T é sobrejetora.

∎ 2.3.2. Segundo corolário do Teorema do Núcleo e da Imagem

Uma outra consequência direta do teorema é o fato de que, se a transformação é sobrejetora, então dim 𝑉 ≥ dim 𝑊. De fato, sendo sobrejetora, então 𝐼𝑚(𝑇) = 𝑊, ou seja, dim 𝐼𝑚(𝑇) = dim 𝑊. Observando a Equação 5 é simples verificar que dim 𝑉 ≥ dim 𝐼𝑚(𝑇). Dessa forma, dim 𝑉 ≥ dim 𝑊.

∎ 2.3.3. Terceiro corolário do Teorema do Núcleo e da Imagem

Sabe-se ainda que, se a transformação é injetora, então dim 𝑊 ≥ dim 𝑉. De fato, se injetora, 𝑁(𝑇) = {0}, ou seja, dim 𝑁(𝑇) = 0. Observando a Equação 5, verifica-se que dim 𝐼𝑚(𝑇) = dim 𝑉. Contudo, dim 𝑊 ≥ dim 𝐼𝑚(𝑇), uma vez que 𝐼𝑚(𝑇) ⊂ 𝑊, assim, dim 𝑊 ≥ dim 𝑉.

∎ 2.4. Outras aplicações e curiosidades

2.4.1. Corpo real sobre o corpo dos racionais

Um corpo real ℝ é um espaço vetorial de dimensão infinita sobre o corpo ℚ dos racionais. Uma das maneiras para compreender tal fato é observar o conceito de número algébrico e número transcendente. Um número real é algébrico quando é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros. Já um número transcendente é aquele que não

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é algébrico, isto é, não é raiz de polinômio algum com coeficientes inteiros. Nesse contexto, o número 𝜋 é transcendente, ou seja, não é raiz de nenhum polinômio não-nulo sobre ℚ [5].

Com o intuito de mostrar que ℝ é de dimensão infinita sobre ℚ, afirmamos que o conjunto {1, 𝜋, 𝜋2_{, … , 𝜋}𝑛_{} é} linearmente independente, para todo 𝑛 ∈ ℕ. De fato, supondo por absurdo que tal conjunto é linearmente dependente, tem-se escalares 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛 ∈ ℚ não todos nulos tal que

𝑎0∙ 1 + 𝑎1∙ 𝜋 + ⋯ + 𝑎𝑛∙ 𝜋𝑛= 0 (26)

Contudo, observando a Equação 26, o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎0+ 𝑎1∙ 𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛∙ 𝑥𝑛 _{com coeficientes em ℚ} teria como raiz o número 𝜋, o que não ocorre, já que 𝜋 é transcendente. Logo, os vetores 1, 𝜋, 𝜋2_{, … , 𝜋}𝑛 _são linearmente independentes em ℝ sobre ℚ.

Ademais, sabe-se que em um espaço vetorial de dimensão 𝑘, qualquer conjunto de vetores linearmente independentes possui no máximo 𝑘 elementos. Nesse cenário, tem-se que o conjunto {1, 𝜋, 𝜋2_{, … , 𝜋}𝑛_{} possui} 𝑛 + 1 elementos linearmente independentes sobre ℚ. Desse modo, para todo 𝑛 finito, ℝ não pode ser de dimensão 𝑛 sobre ℚ, isto é, ℝ é de dimensão infinita sobre ℚ.

∎ 2.4.2. Núcleo de uma aplicação linear com domínio de dimensão infinita e contradomínio de dimensão finita Sejam 𝑉 um espaço de dimensão infinita, 𝑊 um espaço de dimensão finita e 𝑇: 𝑉 → 𝑊 uma transformação linear, então o núcleo possui dimensão infinita.

Inicialmente, considera-se que a dimensão do núcleo seja finita e que {𝑢1, … , 𝑢𝑚} seja sua base. Se {𝑇(𝑣1), … , 𝑇(𝑣𝑛)} é uma base para 𝐼𝑚(𝑇), então {𝑣1, … , 𝑣𝑛, 𝑢1, … , 𝑢𝑚} é uma base para 𝑉 e dim 𝑉 = 𝑛 + 𝑚, isto é, possui dimensão finita.

De fato, seja 𝑣 ∈ 𝑉 e 𝑇(𝑣) ∈ 𝐼𝑚(𝑇), então

𝑇(𝑣) = 𝑎1𝑇(𝑣1) + ⋯ + 𝑎𝑛𝑇(𝑣𝑛) (27)

Logo,

𝑇(𝑣) = 𝑇(𝑎1𝑣1+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛) (28)

Todavia, 𝑣 − (𝑎1𝑣1+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛) ∈ 𝑁(𝑇), assim

𝑣 − (𝑎1𝑣1+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛) = 𝑏1𝑢1+ ⋯ + 𝑏𝑚𝑢𝑚 (29)

Rearranjando os termos, tem-se

𝑣 = 𝑎1𝑣1+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛+ 𝑏1𝑢1+ ⋯ + 𝑏𝑚𝑢𝑚 (30)

Assim, {𝑣1, … , 𝑣𝑛, 𝑢1, … , 𝑢𝑚} é um conjunto gerador de 𝑉. Além disso, tal conjunto é linearmente independente.

𝑎1𝑣1+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛+ 𝑏1𝑢1+ ⋯ + 𝑏𝑚𝑢𝑚= 0 (31)

Entretanto, aplicando a transformação linear e verificando que {𝑢1, … , 𝑢𝑚} ⊂ 𝑁(𝑇), obtém-se

𝑎1𝑇(𝑣1) + ⋯ + 𝑎𝑛𝑇(𝑣𝑛) = 𝑇(0) = 0 (32)

Como {𝑇(𝑣1), … , 𝑇(𝑣𝑛)} é uma base para 𝐼𝑚(𝑇), então

𝑎1= ⋯ = 𝑎𝑛= 0 (33)

Observando a Equação 31 e que {𝑢1, … , 𝑢𝑚} é base de 𝑁(𝑇), tem-se que

𝑏1= ⋯ = 𝑏𝑛= 0 (34)

Portanto, se a imagem e o núcleo da transformação possuem dimensão finita, então o domínio também possui dimensão finita, conforme já visto no Teorema do Núcleo e da Imagem. Dessa forma, como 𝑉 é um espaço de dimensão infinita e 𝐼𝑚(𝑇) possui dimensão finita, logo, o núcleo não pode possuir dimensão finita.

3. CONCLUSÕES

Através do seguinte trabalho foi possível expor uma demonstração completa, utilizando-se de conceitos elementares, do Teorema do Núcleo e da Imagem. Tal lei matemática se configura como uma das mais fundamentais para a Álgebra Linear, a qual relaciona às dimensões do núcleo e da imagem de uma transformação linear com a do seu domínio.

Ademais, os corolários também foram mostrados e possuíram as suas respectivas provas exibidas. Além disso, aplicações no tocante ao conceito de dimensão infinita foram discutidas e tiveram suas argumentações correspondentes explanadas.

4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] FERNANDES, Luana Fonseca Duarte. Álgebra Linear. 2 ed. rev. e atual. Curitiba: InterSaberes, 2017. 202 p.

[2] ALMOULOUD, Saddo Ag. Prova e demonstração em Matemática: problemática de seus processos de ensino e aprendizagem. In: 30º Encontro Anual da ANPED, 2007, Caxumbu. 30º Reunião Anual da ANPED. Timbauda-PE: Espaço Livre, 2007. 18 p. Disponível em: <http://30reuniao.anped.org.br/trabalhos/GT19-2957--Int.pdf>. Acesso em: 30 dez. 2018.

[3] FARIAS, Juliano Espezim Soares. Demonstrações no Ensino Fundamental e Médio. 2002. 65 f. TCC (Graduação) - Curso de Licenciatura em Matemática, Departamento de Matemática, Universidade Federal de

Santa Catarina, Florianópolis, 2002. Disponível em:

<https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/97063/Juliano%20Espezim%20Soares%20Faria0.PDF? sequence=1>. Acesso em: 30 dez. 2018.

[4] CARIELLO, D.; OLIVEIRA, A. C. Aplicações do Teorema do Núcleo e Imagem. In: CONGRESSO NACIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL, 34., 2012, Águas de Lindóia. Anais...

Águas de Lindóia: UFU, 2012. Disponível em:

<http://www.sbmac.org.br/eventos/cnmac/xxxiv_cnmac/pdf/121.pdf>. Acesso em: 05 nov. 2018.

[5] OLIVEIRA, João Milton de. A irracionalidade e Transcendência do Número π. 2013. 45 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, Universidade Estadual Paulista,

Rio Claro, 2013. Disponível em:

<http://www.rc.unesp.br/igce/pos/profmat/arquivos/dissertacoes/A%20Irracionalidade%20e%20Transcend%C3 %AAncia%20do%20N%C3%BAmero%20Pi.pdf>. Acesso em: 03 jan. 2019.