Determinação de Massas e Raios Estelares
1
Introdução
A massa de uma estrela é a sua característica mais importante. Conhecendo-se a massa inicial e a composição química inicial de uma estrela, devemos estar aptos a calcular todas as suas outras propriedades – tais como: raio, luminosidade, etc – em qualquer instante desde a sua formação até os últimos estágios de sua evolução.
A determinação da massa de uma estrela só pode ser obtida através de seus efeitos gra-vitacionais. Um destes efeitos é o deslocamento para o vermelho observado na radiação emergente da superfície de objetos extremamente densos, tal como uma anã branca. Para ou-tras estrelas, necessitamos da presença de um segundo corpo nas proximidades da mesma, o que restringe a nossa possibilidade de determinação de massas ao Sol e às estrelas binárias. Afortunadamente, entretanto, na Galáxia muitas estrelas são encontradas formando pares ou sistemas múltiplos.
Estima-se que mais da metade de todas as estrelas no céu possuem outras orbitando-as como companheirorbitando-as. Em uma pequena porcentagem desses casos, as duas estrelas encontram-se tão próximas que uma chega a causar efeitos profundos na história evolutiva da outra.
As estrelas binárias são classificadas de acordo com a maneira com que são observadas. Em alguns casos, a associação física de duas estrelas é inferida, apesar de que somente uma é realmente observada, porque o movimento próprio da estrela visível apresenta uma oscilação no céu. Este tipo de binária é designada por binária astrométrica. Quando duas estrelas são vistas separadamente como imagens que orbitam uma em torno da outra com o decorrer do tempo, designamo-as de binária visual. São chamadas binárias espectroscopicas os pares de estrelas que são inferidos a partir de observações espectroscopicas que mostram uma variação periódica do deslocamento Doppler de suas linhas espectrais. Algumas vezes observa-se as linhas das duas estrelas e outras vezes somente de uma delas. Ao primeiro caso chamamos binária espectroscópica de linha dupla, ao segundo binária espectroscópica de linha simples. Existem ainda os casos onde a natureza associativa de uma par de estrelas é observada através da variação periódica da luz total do sistema que pode ser interpretada em termos de eclipses de uma estrela pela outra.
2
Binárias Espectroscópicas
linhas são vistos superpostos no espectro. Um caso mais útil, e interessante, é a binária es-pectroscópica: aqui duas estrelas orbitam rapidamente seu centro de massa muito próximo (≤ 1 unidade astronômica) (P ≈ horas a alguns meses), e a inclinação orbital1, i, é diferente
de 0◦.
O espectro de uma binária espectroscópica exibe linhas que oscilam periódicamente em comprimentos de onda. Se a companheira for muito fraca de forma que seu espectro não é detectado, temos uma binária de linha simples, duas estrelas de luminosidades parecidas pro-duzem dois conjuntos de linhas espectrais que oscilam em sentidos opostos (em comprimento de onda), e chamamos a estes sistemas, binárias espectroscópicas de linha dupla. Apro-ximadamente 1000 binárias espectroscópicas são conhecidas, das quais algumas centenas possuem orbitas bem determinadas.
2.1
A curva de velocidade
Devemos interpretar o comportamento das linhas espectrais para obtermos informações úteis de um espectro de uma binária espectroscópica. Como as duas estrelas orbitam em um plano inclinado (ângulo i) com relação à esfera celeste, as componentes de suas velocidades ao longo da linha de visada irão produzir um deslocamento Doppler em suas linhas espectrais. (Note que não pode ocorrer deslocamento Doppler como resultado de um movimento orbital quando i = 0◦; o sistema aparecerá como uma binária de espectro.) Em adição, o centro de massa do sistema move-se com respeito ao Sol, assim que o espectro inteiro pode sofrer algum deslocamento Doppler.
O deslocamento Doppler pode ser expresso pela fórmula ∆λ λ0 ≡ (λ − λ0) λ0 = vr c (1)
onde λ0 é o comprimento de onda da linha espectral medida em laboratório, λ é o comprimento
de onda observado, vr é a velocidade radial (positiva para recessão, negativa para
aproxima-ção) da estrela, e c = 2, 9979250 × 1010cm sec−1 é a velocidade da luz. Devido à largura
finita das linhas espectrais, no visível estamos limitados a uma resolução do deslocamento de ∆λ ≥ 0, 001 nm; então, a velocidade radial precisa ser vr ≥ 1 Km s−1 para ser detectável.
Assim, o período das binárias espectroscópicas observáveis são necessariamente curtos. Quando convertemos (utilizando a equação (1)) os deslocamentos Doppler em velocidades radiais e construimos um gráfico dos resultados como função do tempo, obtemos a curva de velocidade. O caso mais simples é orbita circular com inclinação i = 90◦ (sistema visto de lado); as duas curvas (uma para cada estrela) são senoidais e oscilam com fases exatamente opostas com relação à velocidade do centro de massa do sistema com período P , como repre-sentado na Figura 1. Neste caso, encontramos as distâncias ao centro de massa notando-se que em um período, a primária descreve a circunferência 2πr1 a velocidade constante V .
En-tão, V P = 2πr1 e r1 = V P 2π e r2 = vP 2π. (2)
Figura 1. Correspondência entre
posi-ções na órbita e pontos na curva de velo-cidade radial. A ilustração mostra o caso em que a relação de massas para as es-trelas A e B é 2:1.
Diagrama superior esquedo: Órbita das duas componentes em torno do centro de massa, marcado com +.
Diagrama superior direito: Órbita relativa da estrela B em torno da estrela A. Diagrama inferior: Curvas das velocida-des radiais correspondentes. A ampli-tude da curva B é duas vezes a de A.
A razão das massas estelares é
M m = r2 r1 = v V (3)
o semieixo relativo maior a é r1+ r2, e pela 3−alei de Kepler modificada por Newton, a soma das
massas é dada por
M + m = a
3
P2 (4)
onde as massas são dadas em unidades de massas solares (M ) e o período em anos side-rais.
Em geral, essa configuração simples não ocorre. Para uma binária espectroscópica de linha simples, pode-se determinar somente r1e a chamada função massa — dada por: m3sen3i/(M +
m)2. Um valor razoável para M pode ser obtido do tipo espectral da primária; e então o sistema pode ser razoávelmente determinado. Uma dificuldade maior é que a menos que o sistema também seja uma binária eclipsante, não temos uma idéia clara de sua inclinação orbital. Se a curva de velocidade é puramente senoidal, sabemos somente que estamos lidando com um sistema cuja órbita é circular e cujo plano orbital está inclinado de algum ângulo i com rela-ção à esfera celeste. As amplitudes das curvas de velocidade fornecem a velocidade circular observada
V0 = V sen i v0 = v sen i.
Então, podemos determinar a razão exata das massas porque M m = r2 r1 = v V = v0 V0
mas somente o limite inferior, a sen i, do semieixo relativo maior pode ser obtido.
Se a órbita não for circular, possuindo excentricidade e, as curvas de velocidade serão distorcidas e não senoidais puras. As curvas de binárias de linha dupla são imagens especula-res uma da outra mas possuindo amplitudes diferentes — uma inclinação orbital i meramente reduzirá todas as velocidades radiais pelo mesmo fator sen i. A periodicidade e as formas ca-racterísticas destas curvas permitem-nos encontrar imediatamente P , e, e Ω (a orientação do eixo maior com respeito à linha de visada). Quando i = 90◦, o semieixo relativo maior e ambas as massas estelares podem ser obtidos.
3
Binárias Eclipsantes
Quando a inclinação da órbita de uma binária é próxima de 90◦, cada uma das estrelas pode eclipsar a outra periódicamente — chamamos estes sistemas de binárias eclipsantes. Alguns milhares destes sistemas são conhecidos; muitos são também binárias espectroscópicas, e pouquissimos binárias visuais. Para uma órbita relativa com raio igual a ρ, inclinada de um ângulo φ com relação à linha de visada (φ = 90◦− i), eclipses podem ocorrer somente quando ρ sen φ < R(primária) + R(companheira), onde R é o raio estelar (vide Figura 2). Assim, órbitas pequenas são favorecidas; como tais órbitas possuem períodos curtos e altas velocidades orbitais, isto, em geral, implica que os sistemas são também observados como sendo binárias espectroscópicas.
3.1
Interpretação da curva de luz
Binárias eclipsantes são frequentemente detectáveis por sua variação periódica no brilho. Se representarmos graficamente a magnitude aparente ou fluxo de tal binária em função do tempo, obteremos a curva de luz, que geralmente exibe dois mínimos com profundidades diferentes no brilho, correspondendo aos dois eclipses possíveis por órbita.
Figura 2. Representação es-quemática de uma estrela biná-ria. A inclinação orbital, i, é definida como o ângulo entre o plano da órbita e o plano do céu, neste caso, i = 90◦− φ.
O mínimo mais profundo — eclipse primário — ocorre quando a estrela mais quente passa atrás da estrela mais fria; o outro eclipse — o secundário — é menos profundo. Vários tipos de eclipses são possíveis: (1) quando i = 90◦, ambos os eclipses, o total (estrela menor
atrás da maior) e o anular (estrela menor na frente da maior) são chamados centrais; (2)
quando ρ sen i < [R(primária) − R(companheira)], temos eclipses total e anular; e (3) quando [R(primária) − R(companheira)] < ρ sen i < [R(primária) + R(companheira)], ocorrem somente eclipses parciais. Note que se as órbitas são circulares, em todos os três casos, exatamente a mesma área é coberta em ambos os mínimos, primário e secundário, .
Considere a curva de luz associada a um eclipse central e órbitas estelares relativas cir-culares, para a situação onde a estrela maior possui menor temperatura superficial do que a estrela menor. A Figura 3 apresenta uma representação esteriotipada dessa situação. Um dos eclipses é total e a luz do sistema permanece constante enquanto a estrela ocultada passa de um lado para o outro da estrela ocultante. Na Figura, esse caso corresponde ao eclipse primário. O eclipse secundário é anular e também permaneceria constante em seu mínimo se a estrela maior (ocultada) fosse uniformemente brilhante sobre seu disco. Como, entretanto, qualquer estrela é mais brilhante no centro de seu disco devido a um efeito chamado de escu-recimento de borda, o perfil do mínimo varia continuamente. Note que a curva de luz mostrada na Figura não apresenta brilho constante para as regiões entre eclipses. Por quê?
Figura 3. direita: Representação esteriotipada da órbita relativa de uma estrela binária eclipsante vista
da Terra com inclinação ângular igual a 90◦. Os pontos marcados indicam os instantes quando: (1) começa o eclipse; (2) a estrela menor é totalmente eclipsada; (3) final do eclipse total; e (4) final do
Existem quatro pontos (durante um eclipse) onde as bordas das duas estrelas se tangen-ciam; dizemos que ocorre o primeiro contato (t1) quando o eclipse começa; segundo contato
(t2) quando atinge-se o mínimo no brilho; terceiro contato (t3) quando a estrela menor começa
a deixar o disco da maior; e quarto contato (t4) quando o eclipse termina. Na Figura 3 estes
pontos estão representados para o caso do eclipse total.
Se denotarmos os raios estelares por Rg(estrela maior) e Rp(estrela menor) e a velocidade
orbital relativa da estrela menor por v, pela geometria do sistema (Figura 3 – esquerda) teremos
2Rp ≈ v(t2− t1) = v(t4− t3) (5a)
2(Rp+ Rg) ≈ v(t4− t1). (5b)
Entretanto, o raio a da órbita relativa circular é a = vP
2π (6)
onde P é o período orbital. Combinando-se as equações (5), e (6), podemos determinar as razões entre os raios estelares e o raio orbital, que são dadas por,
Rp a = π(t2− t1) P (7) Rg a = π(t4− t2) P (8)
4
Procedimento
Para exemplificarmos, iremos estudar o sistema eclipsante Zeta Phoenicis (ζ Phe). Esse sis-tema foi escolhido por ser separado2, possuir órbita relativa praticamente circular (e ≈ 0) e
apresentar eclipses quase centrais — a inclinação do sistema foi determinada como sendo igual a i = 87,◦8). Devemos ter em mente que a análise que faremos é muito simplificada e que em geral, estrelas binárias eclipsantes são sistemas bem mais complicados que requerem modelos muito mais eleborados do que o apresentado aqui. Como exemplo, podemos citar que em alguns sistemas, devido à proximidade das estrelas, observam-se efeitos tais como: (1) deformação das componentes por efeitos de maré; (2) efeito reflexão — isto é, a luz emi-tida por uma das componentes na direção da companheira é reemiemi-tida por esta produzindo um efeito semelhante a uma reflexão; (3) transferência de massa em sistemas em semi-contato; etc.
O objetivo desse exercício é mostrar como, através do conhecimento das curvas de velo-cidade e de luz de um sistema binário eclipsante, pode-se determinar alguns dos parametros fundamentais das estrelas. Na Tabela 1 são apresentadas medidas as das velocidades radiais de cada uma das duas componentes principais que formam o sistema eclipsante ζ Phe3. A
2Um sistema separado é aquele em que as estrelas estão suficientemente longe uma da outra, de maneira
que não ocorre contato entre elas. Existem também os sistemas chamados “em contato” e “semi-contato”. Nestes últimos não ocorre o contato físico entre as componentes, mas uma das componentes possui uma atmosfera tão extendida, que ocorrem transferências de massa desta para a outra estrela.
3Este sistema possui ainda uma terceira e mais distante componente, que não chega a afetar sensivelmente
Tabela 2 contêm valores da diferença de magnitudes entre ζ Phe e uma estrela de comparação (ζ Phe − HR 191) para o filtro b do sistema de Strömgren.
1. Utilizando uma folhas de papel milimetrado construa um gráfico das velocidades radiais, dadas na Tabela 1, para cada uma das componentes como função da fase. Por motivos de clareza, utilize simbolos diferentes para cada estrela.
2. Como a órbita é praticamente circular, as curvas serão senoidais. Os pontos observados poderão então ser ajustados através de uma curva do tipo,
Vi = Ai+ Bisen (2π ×fase).
Utilize o método de mínimos quadrados para encontrar as constantes Ai e Bi de cada
curva de velocidade. Com estes valores desenhe as curvas que se ajustam aos dados observacionais.
Como você já deve ter percebido, o coeficiente Ai fornece a velocidade comum com
que o sistema binário está se aproximando (negativo) ou afastando (positivo) do Sol, e deveriam ser os mesmos para ambas as estrelas. Os valores encontrados são iguais? A amplitude de cada uma das curvas — coeficiente Bi — fornece a projeção da velocidade
tangencial de cada estrela ao longo da linha de visada (no presente caso, como i ≈ 90◦, esta amplitude é praticamente igual à velocidade tangencial da estrela).
3. Utilize a equação (3) para determinar a razão das massas estelares. A soma das mas-sas pode ser obtida através da equação (4). O semi-eixo relativo pode ser calculado utilizando-se a velocidade relativa entre as duas componentes (equação (6)). O período deste sistema foi determinado como sendo igual a P = 1,d6697724. Note que na equação
(4) devemos utilizar o período em unidades de anos siderais (365,d2564)4 e o semi-eixo
em unidades astronômicas5. O valor encontrado expressa a soma das massas em uni-dades de massas solares (M ). Determine as massas individuais de cada componente
deste sistema binário.
4. Utilizando outra folha de papel milimetrado construa a curva de luz deste sistema (Tabela 2). Identifique o mínimo correspondente ao eclipse total. Selecione uma região em torno desse mínimo e construa um terceiro gráfico ampliando essa região. Identifique os qua-tro instantes de contato e através das equações (7) e (8) estime os raios de ambas as estrelas. A órbita é realmente circular? Por quê?
4Um dia sideral médio é igual a 23h56m4,s091.
TABELA 1. Observações de velocidade radial de ζ Phoenicis. As colunas fornecem a data da
observação, a fase, e a velocidade radial para cada uma das componentes da estrela.
HJD fase Comp. A Comp. B HJD fase Comp. A Comp. B
− 2440000 Km s−1 Km s−1 − 2440000 Km s−1 Km s−1 3788,7201 0,6248 107,9 −141,1 3791,5984 0,3486 −88,7 171,0 3788,8475 0,7011 136,0 −187,7 3791,6433 0,3755 −73,5 158,2 3788,8597 0,7084 139,8 −184,4 3791,6790 0,3969 −65,4 128,1 3789,6141 0,1602 −98,2 188,5 3793,7385 0,6303 121,8 −142,1 3789,6517 0,1828 −103,8 198,4 3793,7609 0,6437 115,8 −138,4 3789,7259 0,2272 −113,2 216,8 3793,7946 0,6639 128,9 −157,3 3789,8040 0,2740 −111,8 209,0 3793,8181 0,6779 131,9 −161,8 3789,8333 0,2915 −109,0 208,1 3793,8728 0,7107 148,3 −179,8 3790,5789 0,7380 150,0 −192,4 3793,8942 0,7235 149,1 −183,1 3790,6082 0,7556 150,0 −190,0 3794,5685 0,1274 −79,6 154,3 3790,6448 0,7775 146,9 −191,4 3794,6081 0,1511 −87,9 177,1 3790,7010 0,8112 140,8 −179,6 3794,6672 0,1865 −106,0 191,3 3790,7610 0,8471 125,5 −156,5 3794,7165 0,2160 −111,7 211,7 3790,7943 0,8670 119,0 −140,1 3794,7687 0,2472 −112,7 214,7 3791,5271 0,3059 −106,2 203,6 3794,7907 0,2604 −110,7 210,6 3791,5613 0,3264 −98,8 197,1
TABELA 2. Curva de luz de ζ Phoenicis. As colunas fornecem a data da observação, fase, e
diferença (ζ Phe − HR 191) de magnitude na cor b do sistema de Strömgren.
HJD fase ∆b HJD fase ∆b HJD fase ∆b
− 2440000 − 2440000 − 2440000 1643,61486 −0,044 −0,322 1946,57771 0,396 −0,462 1950,81128 −0,069 −0,442 1643,62594 −0,038 −0,254 1946,60174 0,410 −0,462 1950,81535 −0,066 −0,438 1643,63539 −0,032 −0,198 1946,61438 0,418 −0,456 1950,83200 −0,056 −0,401 1643,64410 −0,027 −0,151 1946,62431 0,424 −0,453 1950,84561 −0,048 −0,349 1643,65130 −0,023 −0,098 1946,64046 0,433 −0,448 1954,62565 0,216 −0,471 1643,65819 −0,018 −0,050 1946,64834 0,438 −0,450 1954,63752 0,223 −0,468 1643,66543 −0,014 −0,010 1946,65102 0,440 −0,451 1954,67929 0,248 −0,470 1643,67063 −0,011 −0,006 1946,65565 0,442 −0,444 1954,71083 0,267 −0,477 1643,68342 −0,003 0,012 1946,65757 0,444 −0,437 1954,75470 0,293 −0,469 1643,69161 0,002 0,019 1946,66109 0,446 −0,439 1954,81395 0,328 −0,470 1643,69718 0,005 0,016 1946,66308 0,447 −0,433 1955,62115 −0,188 −0,464 1643,70261 0,008 0,010 1946,67257 0,453 −0,415 1955,68949 −0,147 −0,459 1643,70634 0,010 0,005 1946,67440 0,454 −0,408 1955,74821 −0,112 −0,453 1643,70821 0,012 −0,004 1946,68383 0,459 −0,385 1955,76047 −0,105 −0,450 1643,71981 0,018 −0,051 1946,69439 0,466 −0,349 1955,77800 −0,094 −0,447 1643,72896 0,024 −0,108 1946,70260 0,471 −0,317 1955,79100 −0,087 −0,447 1643,73622 0,028 −0,164 1946,71960 0,481 −0,259 1956,63041 0,416 −0,456 1643,74607 0,034 −0,230 1946,73144 0,488 −0,210 1956,64982 0,428 −0,459 1643,75328 0,038 −0,276 1946,74001 0,493 −0,192 1956,66456 0,437 −0,459 1643,75918 0,042 −0,306 1946,74534 0,496 −0,192 1956,89069 0,572 −0,452 1936,85400 0,572 −0,448 1946,76573 0,508 −0,192 1961,63345 0,412 −0,459 1937,64824 0,048 −0,345 1946,77630 0,515 −0,194 1961,64864 0,422 −0,456 1937,66995 0,061 −0,415 1946,78478 0,520 −0,191 1961,65003 0,422 −0,454 1937,67670 0,065 −0,437 1946,78915 0,522 −0,200 1961,73530 0,473 −0,300 1937,68474 0,070 −0,448 1946,79813 0,528 −0,220 1961,75629 0,486 −0,229 1937,71725 0,089 −0,448 1946,81096 0,535 −0,270 1961,76556 0,492 −0,197 1937,77792 0,126 −0,451 1946,83415 0,549 −0,353 1961,77530 0,497 −0,190 1937,82949 0,157 −0,459 1946,84446 0,556 −0,393 1961,79845 0,511 −0,192 1937,87740 0,185 −0,456 1946,85116 0,560 −0,406 1961,79994 0,512 −0,196 1943,59201 0,608 −0,457 1946,86345 0,567 −0,437 1961,83557 0,534 −0,255 1943,60103 0,613 −0,450 1946,86812 0,570 −0,444 1961,84844 0,541 −0,307 1943,62806 0,629 −0,456 1946,87522 0,574 −0,448 1962,59450 −0,012 0,003 1943,63624 0,634 −0,464 1946,88483 0,580 −0,448 1962,59763 −0,010 0,008 1943,67933 0,660 −0,463 1946,89922 0,588 −0,452 1962,60067 −0,008 0,012 1943,73231 0,692 −0,468 1946,90214 0,590 −0,455 1962,70380 0,053 −0,383 1943,76040 0,709 −0,469 1948,79230 0,722 −0,470 1962,80046 0,111 −0,451 1943,86824 0,773 −0,460 1948,83886 0,750 −0,474 1963,56351 0,568 −0,443 1943,88074 0,781 −0,464 1948,88880 0,780 −0,468 1963,57967 0,578 −0,451 1946,51060 0,356 −0,472 1950,58749 0,797 −0,468 1963,58296 0,580 −0,453 1946,52888 0,367 −0,465 1950,79246 −0,080 −0,440 1963,59805 0,589 −0,462
