21037 AF2 0809

(1)

I. Considere a seguinte função:

x 0 1 2 3 4

( )

X

f

x

0,05 0,03 0,5 2k k

a) Determine K para que f_X( )x possa ser a função probabilidade da variável aleatória X correspondente ao número de livros encomendados num mês numa banca de jornais.

b) Calcule a função distribuição de X.

c) Calcule a probabilidade de num mês aleatoriamente seleccionado as encomendas serem de 3 livros.

II. Seja Y uma variável aleatória discreta, conhecendo-se a informação da respectiva função de probabilidade:

y 0 1 2 3

)

( y

f

_Y 0,2 0,3 0,3 0,2

Calcule para a variável aleatória Y: a) O valor esperado.

b) A variância e o desvio padrão.

c) A moda e a mediana.

Fazem parte integrante desta actividade formativa os exercícios resolvidos do livro da bibliografia obrigatória Fonseca, J. e Torres, D.(2000), Exercícios de Estatística, (vol. I ) Ed. Sílabo, capítulo 1 da-pg 41 à pg. 53; capítulo 2-da pg 79 à pg 93.

(2)

21037-AF2 2

III. Considere a variável aleatória X com a seguinte função de probabilidade:

x 0 1 2 3 4

)

(x

X

f

0,2 0,2 0,1 0,3 0,2 a) Calcule o E( X) e V( X). b) Considerando Y =1−3X , calcule o E(Y) e V(Y). c) Sendo

Z

= X

−

2

, determine E(Z) e V(Z).

IV. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias discretas, conhecendo-se a informação da função de probabilidade conjunta e das funções probabilidades marginais dada pela seguinte tabela:

Y X 0 1 2 fx(x) 0 0,10 0,20 0,45 1 0,15 0,15 2 0,05 fY(y) 0,25 0,40

a) Complete a tabela apresentada de forma a que represente uma função de probabilidade conjunta do par aleatório (X,Y).

b) Calcule a função densidade marginal de X.

c) Calcule o E( X) e V( X).

(3)

e) Calcule o ( )E Y e ( )V Y . f) Calcule a cov( , )X Y . g) Calcule a (V X−Y).

h) Calcule a o coeficiente de correlação linear entre X e Y e comente o seu valor. i) Obtenha a função distribuição conjunta.

V. A procura semanal de certo artigo em determinado estabelecimento é uma variável aleatória X, com a seguinte função distribuição:

X X < 0 0 ≤ X < 1 1 ≤ X < 2 X ≥ 2

FX(x) 0 0,2 0,6 1

O número de artigos em stock, também por semana, nesse estabelecimento, é uma variável aleatória Y com a seguinte função distribuição:

Y Y < 0 0 ≤ Y < 1 1 ≤ Y < 2 2 ≤ Y < 3 Y ≥ 3

FY(y) 0 0,2 0,5 0,8 1

Considerando as variáveis X e Y como independentes:

a) Determine a função distribuição conjunta do par aleatório (X,Y);

b) Num certa semana havia, em stock, um artigo. Qual a probabilidade de que, nessa semana, haja ruptura de stock?

VI. Diga qual das seguintes afirmações é verdadeira:

Conhecendo a função densidade conjunta das variáveis aleatórias contínuas X e Y pode obter-se a função marginal de Y do seguinte modo:

(4)

21037-AF2 4 dy y x f y f_Y

∫

_XY +∞ ∞ − = ( , ) ) ( .

( , )

( )

XY Y X Y

f

x y

f

y

f

x

=

.

( , )

( )

XY Y Y X

f

x y

f

y

f

y

=

.

∫ ∫

∞ − −∞ = x y XY Y y f u vdudv f ( ) ( , )

VII. De um lote de peças produzidas por uma máquina, das quais 90 são perfeitas e 10 defeituosas, extraem-se cinco. Sendo X a variável aleatória que representa o número de peças defeituosas, determine:

a) O valor médio, a variância e a função de probabilidade, supondo que a extracção foi feita com reposição.

a1) A probabilidade de nenhuma ser defeituosa. a2) A probabilidade de uma ser defeituosa.

b) O valor médio, a variância e a função de probabilidade, supondo que a extracção foi feita sem reposição.

c) A probabilidade da primeira peça defeituosa aparecer na 101 extracção, sabendo que se fazem extracções peça a peça com reposição.

VIII. Sabendo que a probabilidade de um indivíduo possuir uma determinada característica é 0,002.

a) Calcule a probabilidade exacta.

b) Calcule a probabilidade aproximada de numa amostra de 1000 indivíduos, pelo menos três terem essa característica.

Fazem parte integrante desta actividade formativa os exercícios resolvidos do livro da bibliografia obrigatória Fonseca, J. e Torres, D.(2000), Exercícios de Estatística, (vol. I ) Ed. Sílabo, capítulo 1 da pg 53 à pg. 75.

(5)

IX. De um lote de peças produzidas por uma máquina, das quais 90 são perfeitas e 10 defeituosas, extraem-se cinco. Sendo X a variável aleatória que representa o número de peças defeituosas, determine:

a) Com reposição o valor médio, a variância e a função de probabilidade. b) Sem reposição o valor médio, a variância e a função de probabilidade.

X. A média de ocorrência de cheias numa determinada região é uma cheia de 5 em 5 anos. Suponha que o modelo de Poisson é adequado para descrever o número de cheias. Determine a probabilidade de num período de oito anos:

a) Não haver cheias.

b) Haver no máximo três cheias.

XI. Suponha que o número de avarias por semana, de uma máquina automática de venda de bebidas e chocolates, tem distribuição de Poisson de parâmetroλ=1, 2. Assim calcule a probabilidade de numa semana:

a) Não haver avarias.

b) Haver uma avaria, sabendo que de facto ocorreram avarias nessa semana.

XII. A uma central telefónica chegam em média duas chamadas por minuto, sendo X a variável aleatória que representa o número de chamadas por minuto, calcule a probabilidade:

a) De chegarem três chamadas no primeiro minuto. b) De chegarem zero chamadas em seis minutos.

c) De chegar pelo menos uma chamada em seis minutos.

XIII. Considere a variável aleatória X com a seguinte função:

0,25 0 ; 0 ( ) 1 ; 0 X _x x F x e− x ≤  = − >  a) Calcule o valor médio e a variância.

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21037-EPE-ActF2 6

b) Calcule a probabilidade de em três observações independentes da variável aleatória X se obter, em todas elas, valores superiores a 1,5.

XIV. Sabe-se que as vendas de certa empresa, nos últimos 50 anos, têm aproximadamente distribuição N

(

µ σ, 2

)

. Atendendo a que as vendas foram inferiores a 13 milhões de euros com probabilidade 0,344578 e inferiores a 25 milhões de euros com probabilidade 0,97725, determine o valor esperado das vendas, nesse período, bem como o respectivo desvio padrão.

XV. Suponha que o tempo de vida de certa componente electrónica tem distribuição Uniforme no intervalo 0 4, em centenas de horas. Determinado equipamento funciona com uma componente que ao falhar é substituída automaticamente por outra, sabendo que existem 117 dessas componentes. Calcule a probabilidade aproximada de que ele falhe após 235,2 centenas de horas de utilização.

XVI. Uma máquina enche caixas com um certo detergente. De acordo com a especificação estabelecida, o peso do conteúdo de cada caixa deve estar entre 500 e 510 gramas. O peso do detergente introduzido pela máquina, em cada caixa, tem distribuição Normal. Na sequência de experiências anteriores, que consistiram em pesar grupos de 16 caixas, sabe-se que a média amostral do peso de uma caixa, tem valor médio igual a 507 gramas e desvio padrão igual a 1 grama.

a) Determine a proporção de caixas defeituosas, isto é, daquelas que não satisfazem a especificação.

b) Suponha desconhecida a distribuição da população, mas admita que cada caixa tem peso médio 507 gramas com desvio padrão igual a 1,2 gramas. Encheram-se 1500 conjuntos de 16 caixas para serem transportadas por um veículo que apenas poderá arrancar, se não levar carga superior 12 toneladas. Qual a probabilidade aproximada de que o veículo não arranque?

(7)

XVII. Sendo X a variável aleatória que representa o número de acertos em três tiros e sendo a probabilidade de um individuo acertar cada tiro de 0,4. Determine a função geradora de momentos e a partir dela o valor médio e a variância.

XVIII. Diga qual das seguintes afirmações é verdadeira:

a) Dadas duas variáveis aleatórias: X com distribuição de Bernoulli e Y com distribuição geométrica ambas de parâmetro p, pode afirmar-se que:

pq X E( )= e 2

1 )

(

p

Y

V

=

−

com q= 1−p. pq X V( )= e ( ) ₂ q p Y V = com q= 1−p. p X V( )= e p Y V( )= 1 . pq X V( )= e 2 ) ( p q Y V = com q= 1−p.

Fazem parte integrante desta actividade formativa os exercícios resolvidos do livro da bibliografia obrigatória Fonseca, J. e Torres, D.(2000), Exercícios de Estatística, (vol. I ) Ed. Sílabo, capítulo 2-da pg 93 à pg. 116 e da pg.119 à pg. 127.

Bom Trabalho!