PESQUISA OPERACIONAL AULA 2 – Revisão de Função, Derivada, Programação Linear e SIMPLEX

(1)

1

© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 26 de Fevereiro 2014

PESQUISA OPERACIONAL

AULA 2 – Revisão de Função, Derivada,

Programação Linear e SIMPLEX

2

REVISÃO

A desintegração da

persistência da memória

Salvador Dali

Sócrates

(2)

3

FUNÇÃO

Em várias situações é interessante saber como estão relacionadas diferentes quantidades. Por exemplo: (1) O preço de uma ação na bolsa de valores no tempo; (2) A demanda de energia elétrica (ou de um outro produto qualquer) no tempo;

Nos exemplos anteriores deseja-se conhecer a relação entre o valor de uma variável (preço ação, demanda, etc) com o valor de outra variável (tempo).

Valor de ação Demanda de energia Balança Comercial

4

FUNÇÃO

Definição de Função:

Uma função f é uma lei que associa cada elemento x em

um conjunto D exatamente a um elemento f(x) em um

conjunto E.

Nos exemplos anteriores, ao se fornecer um valor x,

correspondente ao tempo, automaticamente fica

determinado o valor f(x) (preço, demanda).

x

(entrada)

f

(saída)

(3)

5

FUNÇÃO

x

f

a

f(a)

D

f

E

Diagrama de flechas

Domínio

Imagem

Variável independente

Variável

dependente

Em geral, considera-se funções tais que D

e E são conjuntos de números reais.

6

FUNÇÃO

Visualizando uma função

0 f(1)

f(2)

f(x)

(x,f(x))

1

2 x

x

domínio

imagem

y=f(x)

(4)

7

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Modelos e Teoria de Estoque

Para se atender a demanda, muitas vezes, as

companhias devem empregar produtos disponíveis no

estoque. A Teoria de Estoque tenta determinar regras

de gerenciamento de modo que ao mesmo tempo o custo

de estoque seja minimizado e atenda a demanda. Para

tanto, modelos de estoque devem responde a duas

perguntas:

(1)Quando uma ordem de produção deve ser realizada?

(2)Quão grande ela deve ser?

ou

8

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Lote Econômico de Produção – Modelo Básico: Hipótese dos modelos:

(1)Demanda Constante: determística e ocorre a uma

taxa constante. D é o número de unidades

demandadas por ano tal que em um intervalo de t

anos será demandado um total de D*t unidades.

(2)Custo do Pedido: qualquer que seja o tamanho do

pedido (q unidades), o custo de setup é K.

(3)Tempo de processamento (lead time): É zero tal que

um pedido só é pedido se o nível de estoque L for

igual a zero (L = 0) para evitar custos de estoque

desnecessários (L > 0).

(4)Sem falta: toda a demanda é atendida.

(5)Custo de estoque: custo por unidade no período é

(5)

9

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Lote Econômico de Produção – Modelo Básico:

Graficamente:

t

I(t)

q

q/D

2q/D

3q/D

(i)Em t = 0 chega pedido tamanho q

(i)Em q/D anos o estoque é zero (iii)Declinar com inclinação -D

10

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Definição de ciclo:

Qualquer intervalo que comece com a chegada de um

pedido e termine no instante anterior a chegada de

outro pedido é chamado de ciclo.

t

I(t)

q

q/D

2q/D

3q/D

Ciclo Os ciclos têm tamanho:(q/D) Um ano contém:

(6)

11

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Suponha que TC(q) é a função do custo anual ao se

pedir q unidades por tempo quando L = 0. Para se

determinar o valor de q que minimiza o custo anual

(q*), detalha-se TC(q):

TC(q) = custo anual de realização de pedidos +

custo anual de compra +

custo anual de estoque

12

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Logo combinando os custos de realização de pedidos, compra e estoque:

(7)

13

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

TC(q) = KD_q + pD + hq 2

14

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Graficamente: Custo

anual

q 0

(8)

15

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

anual

q 0

Custo pedido: KD/q

16

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

anual

q 0

Custo estoque: (h/2)q Custo pedido:

(9)

17

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

TC(q) = KD_q + pD + hq 2

18

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

anual

q 0

Custo total anual: TC(q)

(10)

19

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

anual

q

0 q*

KD/q Menor

custo

20

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Definição:

Uma função tem máximo absoluto (global) em c se f(c)

≥≥≥≥ f(x) para todo x em D, onde D é o domínio de f, e

f(c) é dito valor máximo de f em D. Analogamente, f

tem um mínimo absoluto em D se f(c) ≤ f(x) para todo

x em D e f(c) é dito valor mínimo de f. Os valores

máximo e mínimo de f são ditos valores extremos. Máximo Global

Mínimo Global

x

y

(11)

21

Definição:

Uma função f tem máximo local em c se f(c) ≥≥≥≥ f(x)

quando x estiver na vizinhança de c. Analogamente, f

tem um mínimo local em c se f(c) ≤ f(x) quando x está

na vizinhança de c.

Máximo local

Mínimo local

x

y

f(x)

Vizinhança

MÁXIMOS E MÍNIMOS

22

Definição:

Um número crítico de uma função f é um número c no

domínio de f onde f’(c) = 0 ou f’(c) não existe.

f’(c2) = 0

x

y

f(x)

c

1

c

2

c

3

c

₄

no. crítico

f’(c1) = 0

f’(c₃) = 0

(12)

23

LIMITES E DERIVADAS

Máximo Global

Mínimo Global

x

y

f(x)

Definição:

Se f tiver um máximo ou mínimo local em c, então, c é

um número crítico de f.

c

1

c

2

c

3

c

4

no. crítico

f’(c1) = 0

Máximo local

Mínimo local

24

Teste da derivada segunda:

Suponha que f’’ seja contínua na proximidade de c

podem ocorrer 3 casos:

Caso 1: Se o f’(c) = 0 e f’’(c) < 0, então, f tem um

máximo local em c.

Caso 2: Se o f’(c) = 0 e f’’(c) > 0, então, f tem um

mínimo local em c.

Caso 3: Se o f’(c) = 0 e f’’(c) = 0, então, f não tem

nem máximo nem um mínimo local em c.

(13)

25

Exemplo 14: Análise dos exemplos 7, 8 e 9:

Caso 1

Seja y = 1-x2_:

y’ = -2x →→→→ y’ = 0

→ →→

→ x = 0

y’’ = -2 < 0

Se y’’ em x=0 é -2 < 0. Logo, x=0

é ponto crítico e ponto de máximo.

Caso 2

Seja y = x2_:

y’ = 2x →→→→ y’ = 0

→ → →

→ x = 0

y’’ = 2 > 0

Se y’’ em x=0 é 2 < 0. Logo, x=0

é ponto crítico e ponto de mínimo.

Caso 3

Seja y = x3_:

y’ = 3x2 _→_→_→_→ _{y’ = 0}

→ →→

→ x = 0

y’’ = 6x

Se y’’ em x=0 é 0. Logo, x=0

não é ponto de

máximo nem mínimo.

MÁXIMOS E MÍNIMOS

26

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

TC(q) = + +

Para achar q que minimiza TC(q), usa-se TC’(q) = 0:

KD

q pD

(14)

27

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

TC(q) = + +

Para achar q que minimiza TC(q), usa-se TC’(q) = 0:

TC’(q) = - + = 0 KD

q pD

hq 2

KD q2

h 2

1/2

h

2KD

q*













=

28

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

A fórmula encontrada para q* é denominada de lote

econômico de compra (Economic Order Quantity – EOQ).

Pode ser demonstrado q* minimiza TC(q). Para tanto,

seja TC’’(q) = 2KD/q3 _{> 0}_{, para todo} _{q > 0}_{, então,}

(15)

29

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Observações:

(1) O EOQ não depende do preço de compra por unidade

p, pois o tamanho do lote não modifica este valor.

Assim, o custo de compra anual independe de q. Essa

hipótese será modificada mais para frente.

(2) Se cada lote tem q* unidade, então, no ano será

realizado um total de D/q* pedidos.

(3) Pelo EOQ o tamanho do lote aumenta conforme K

(custo de setup) aumenta, mas diminui se h (custo de

estoque) aumenta. Se D (demanda) aumenta 4x, então,

q* só aumenta 2x devido ao fator de D1/2_.

1/2

h

2KD

q*













=

30

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

Observações:

(4) Para q* o custo anual de estoque e de pedido são

iguais. Isto é:

Custo estoque = = =

(16)

31

LOTE ECONÔMICO DE PRODUÇÃO

anual

q

0 q*

Custo estoque: h(q/2) Custo pedido:

KD/q

32

FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

EXERCÍCIO 1:Em uma fábrica deve ser decidido a quantidade de produção x1 e x2 de dois produtos P1 e P2. O

lucro com o produto P1 é de R$ 5,00 por unidade e do produto P2 é de R$ 2,00 por unidade. Existe uma máquina para processar apenas o produto P1 cuja capacidade máxima é de 3 unidades de tempo e para o produto P2, 4 unidades. Nestas duas máquinas gasta-se 1 unidade de tempo para processar 1 produto. Existe uma máquina capaz de processar tanto o produto P1 como o produto P2 cuja capacidade máxima de tempo é de 9 unidades de tempo. Assumindo que nesta máquina o tempo para processar o produto P2 é o dobro do gasto para processar o produto P1 e P1 gasta-se 1 unidade de tempo, pede-se:

(A) Formular o problema de otimização.

(B) Encontrar a solução gráfica deste problema.

(17)

33

FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

x

1

x

2

Máquina 1

3 unidades

de tempo

Máquina 2

4 unidades

de tempo

x

₁

x

₂

Máquina 3

9 unidades

de tempo

x

₂

x

₁

Tempo

1x

Tempo

2x

Tempo

1x

Tempo

1x

34

Max Z=5x

₁

+ 2x

₂

S.a.: x

₁

≤ 3

x

₂

≤ 4

x

₁

+ 2x

₂

≤ 9

x

₁

, x

₂

≥ 0

Função Objetivo

Restrições

Variáveis

De

Decisão

(18)

35

Max Z=5x

₁

+ 2x

₂

S.a.: x

₁

≤ 3

x

₂

≤ 4

x

₁

+ 2x

₂

≤ 9

x

₁

, x

₂

≥ 0

Lucro por unidade

de cada produto

Restrições:

••••

Tempo maq.1

••••

Tempo maq.2

••••

Tempo maq.3

••••

não neg.

Quantidades

dos produtos

p

1

e p

2

FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

36

RESOLUÇÃO GRÁFICA

4 x

₂

(19)

37

RESOLUÇÃO GRÁFICA

4 x

₂

0 x

₁

≤

3

3 x

₂

≤ 4

0 ≤x

₂

0 ≤x

₁

0≤x

₁

≤3

0≤x

₂

≤4

x

₁

5

38

RESOLUÇÃO GRÁFICA

4 x

₂

0

3

1 (1,4)

(3,3)

x

₁

+ 2x

₂

≤ 9

Se x

₁

= 3:

3+ 2x

₂

= 9

x

₂

= 3

Se x

₂

= 4:

x

₁

+ 8 = 9

x

₁

= 1

x

₁

(20)

39

RESOLUÇÃO GRÁFICA

Min Z = 5x

₁

+ 2x

₂

40

RESOLUÇÃO GRÁFICA

(21)

41

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

Para funções de mais de uma variável (p. ex., z = 5x₁+2x₂) a variação da função pode ser obtida com o Gradiente (∇∇∇∇f):

      =           ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ 2 5 2 1 x z x z f

Variação de f em relação à x1

Variação de f em relação à x2

Deve-se utilizar a informação do Gradiente (∇∇∇∇f) no gráfico para se obter a direção de crescimento !

Sucessivas retas perpendiculares ao gradiente, correspondentes às curvas de nível, deverão ser traçadas

até se atingir o limite da região factível. As curvas de nível permitem determinar o crescimento da função, porém, sua obtenção é extremamente cara !!!

42 Eixo x1 E ix o x 2

Curvas de nível

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 1 2 3 4 5

RESOLUÇÃO GRÁFICA

z=10 z=15 z=12 z=14 _z=18

(22)

43

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

₁

4 x

₂

0

3

1 (1,4)

(3,3)

z =0

z =13

z =21

5

2

      =           = ∇ 2 5 2 1 dx dz dx dz f 44

RESOLUÇÃO GRÁFICA

4 x

₂

0

3

1 (1,4)

(3,3)

Solução ótima

z =5x

₁

+ 2x

₂

**=53+23**

=21

x

₁

(23)

45

PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

Em 2 variáveis, porém, é possível identificar 4 tipos de solução que um PPL pode oferecer.

46

Min

z=6x

₁

+ 10x

₂

S.a.: -x

₁

+ x

₂

≤ 2

x

₁

≤ 5

x

₂

≤ 6

3x

₁

+ 5x

₂

≥ 15

5x

₁

+ 4x

₂

≥ 20

x

₁

, x

₂

≥ 0

Exemplo 1:Encontrar a solução ótima.

(24)

47

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

₁

8 x

₂

0

2

10

6

4

2

4

6

8 -2

Múltiplas

soluções

      − − =           ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∇ − 10 6 2 1 x z x z f       =           ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ 10 6 2 1 x z x z f 48

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

₁

8 x

₂

0

2

10

6

4

2

4

6

8 -2

Múltiplas

soluções

(x₁, x₂) = (5, 0) z = 6x₁ + 10x₂

= 6*5 + 10*0 =30

(x1, x2) = (3, 6/5)

z= 6x1 + 10x2

(25)

49

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

₁

8 x

₂

0

2

10

6

4

2

4

6

8 -2

3x

₁

+ 5x

₂

= 15

5x

₂

= 15- 3x

₁

x

₂

= 3-3/5 x

₁

6x

₁

+ 10x

₂

=0

10x

₂

=- 6x

₁

x

₂

= -3/5 x

₁

Coeficiente angular da restrição e da

função objetivo são iguais !

Múltiplas soluções

50

Max

z=6x

₁

+ 10x

₂

S.a.: -x

₁

+ x

₂

≤ 2

x

₁

≤ 5

x

₂

≤ 6

3x

₁

+ 5x

₂

≥ 15

5x

₁

+ 4x

₂

≥ 20

x

₁

, x

₂

≥ 0

Exemplo 2:Encontrar a solução ótima.

(26)

51

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

₁

8 x

₂

0

2

10

6

4

2

4

6

8 -2

Região

factível

      =           ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ 10 6 2 1 x z x z f 52

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

₁

8 x

₂

0

2

10

6

4

2

4

6

8 -2

Solução ilimitada

(27)

53

Max

z=x

₁

+ x

₂

S.a.: x

₁

+ x

₂

≤ 2

x

₁

+ x

₂

≥ 6

x

₁

, x

₂

≥ 0

Exemplo 3:Encontrar a solução ótima.

FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

54

RESOLUÇÃO GRÁFICA

8 x

₂

6

4

2 Região factível

vazia

Solução inviável

(28)

55

PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

A resolução de um PPL para mais do que 3 variáveis de decisão depende do desenvolvimento de um método analítico como, por exemplo, o método SIMPLEX.

56

Max Z=5x

₁

+ 2x

₂

S.a.: x

₁

≤ 3

x

₂

≤ 4

x

₁

+ 2x

₂

≤ 9

x

₁

, x

₂

≥ 0

Max Z=5x

₁

+ 2x

₂

S.a.: x

₁

+ x

₃

= 3

x

₂

+ x

₄

= 4

x

₁

+ 2x

₂

+ x

₅

= 9

x

₁

, x

₂

, x

₃

, x

₄

, x

₅

≥ 0

MÉTODO SIMPLEX

(29)

57

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

Todo problema de programação linear (PPL) pode ser formulado como um problema que possui apenas restrições de igualdade, isto é, pode ser colocado na Forma Padrão. Isto é importante, pois permite a resolução analítica (numérica), e, portanto por meio de um computador, do PPL. Para tanto, é necessário escrever as restrições de modo que um conjunto de variáveis, chamadas de variáveis básicas, depende de um outro conjunto de variáveis, denominadas de variáveis

não-básicas. No exemplo anterior, têm-se 3 equações e logo são

necessárias 3 variáveis básicas e 2 variáveis não-básicas:

x

₃

= 3 – x

₁

x

₄

= 4 – x

₂

x

₅

= 9 – x

₁

– 2x

₂

x

₁

+ x

₃

= 3

x

₂

+ x

₄

= 4

x

₁

+ 2x

₂

+ x

₅

= 9

variáveis básicas variáveis não-básicas

58

4 x

₂

0

3

1 (1,4)

(3,3)

x

₁

+ 2x

₂

+ x

₅

=9

x

₁

5 x

₁

+ x

₃

= 3

x

₂

+ x

₄

= 4

RESUMO MÉTODO SIMPLEX

(30)

59

4 x

₂

0

3

1 (1,4)

(3,3)

x

₁

+ 2x

₂

+ x

₅

=9

x

₁

5

Solução: z = 0 ( x₁, x₂, x₃, x₄, x₅)

=

(0, 0, 3, 4, 9)

x

₁

+ x

₃

= 3

x

₂

+ x

₄

= 4

MÉTODO SIMPLEX

60

4 x

₂

0

3

1 (1,4)

(3,3)

x

₁

+ 2x

₂

+ x

₅

=9

x

₁

5 x

₁

+ x

₃

= 3

x

₂

+ x

₄

= 4

A variável não-básica x₁(valor zero) vira básica e

passa a valer 3.

(31)

61

4 x

₂

0

3

1 (1,4)

(3,3)

x

₁

+ 2x

₂

+ x

₅

=9

x

₁

5 x

₁

+ x

₃

= 3

x

₂

+ x

₄

= 4

Solução: z = 15 ( x₁, x₂, x₃, x₄, x₅)

=

( 3, 0, 0, 4, 6 )

MÉTODO SIMPLEX

62

4 x

₂

0

3

1 (1,4)

(3,3)

x

₁

+ 2x

₂

+ x

₅

=9

x

₁

5 x

₁

+ x

₃

= 3

x

₂

+ x

₄

= 4

A variável não-básica x₂(valor zero) vira básica e

passa a valer 3.

(32)

63

4 x

₂

0

3

1 (1,4)

(3,3)

x

₁

+ 2x

₂

+ x

₅

=9

x

₁

5 x

₁

+ x

₃

= 3

x

₂

+ x

₄

= 4

Solução: z = 21 ( x₁, x₂, x₃, x₄, x₅)

=

( 3, 3, 0 , 1 , 0 )

MÉTODO SIMPLEX

64

4 x

₂

0

3

1 (1,4)

(3,3)

x

₁

5 Max Z =

21 – 4x

₃

- x

₅

(33)

65

4 x

₂

0

3

1 (1,4)

(3,3)

x

₁

5

MÉTODO SIMPLEX

MÉTODO SIMPLEX

66

RESOLUÇÃO GRÁFICA

4 x

₂

0

3

1 (1,4)

(3,3)

Solução ótima

z =5x

₁

+ 2x

₂

**=53+23**

=21

x

₁

(34)

67

O que é um Algoritmo?

É uma sequência finita de passos que resolve um dado problema ! Um bom exemplo de algoritmo é uma receita de bolo, pois a ordem

dos passos pode mudar o resultado final!

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

+

=

68

RESOLUÇÃO ANALÍTICA

Início

Determine uma solução inicial

Z tem coef. positivos?

Encontrou a solução ótima

Fim

1. Escolha uma variável

não-básica xi com

coeficiente positivo.

2. Determine a variável

básica xj que limita xi e vira não-básica.

3. Modifique as equações

das restrições e a

função objetivo.

Sim

Não

(35)

69

PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

Uma alternativa ao método SIMPLEX é o método de pontos interiores que percorre o interior do conjunto factível até alcançar o vértice relativo ao ponto ótimo.

Ponto

Ótimo

Ponto

Ótimo

Método Simplex Método de Pontos Interiores

Ponto Interior

Passo

70

(36)

71

PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

72

(37)

73

PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

74

(38)

75