SIMULAÇÃO DE SISTEMAS LISTA 1 – RESOLUÇÃO PARCIAL

1

© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 08 de Agosto 2013

SIMULAÇÃO DE SISTEMAS

LISTA 1 – RESOLUÇÃO PARCIAL

2

© UNESP 6 Agosto 2008

Cadeias de Markov

Quebra Máquinas

Exercício 1: Encontrar a matriz P e o grafo deste problema.

Tempo 1

Tempo 0 Tempo 2

1/3

1/3 1/3

[1]

[0] [2]

?

© UNESP 6 Agosto 2008

Exercício 1: Encontrar a matriz P e o grafo deste problema.

[0]

[1]

[2]

[0]

[1]

[2]

_1/9

_1/3

_5/9

1

_{. Passo:}

4

© UNESP 6 Agosto 2008

Cadeias de Markov

Quebra Máquinas

Exercício 1: Encontrar a matriz P e o grafo deste problema.

Tempo 1

Tempo 0 Tempo 2

1/3

1/3 1/3

[1]

[0] [2]

?

[1] 1/3

[2] 2/3

5

© UNESP 6 Agosto 2008

Exercício 1: Encontrar a matriz P e o grafo deste problema.

[0]

[1]

[2]

[0]

[1]

[2]

1/9

1/3

5/9

0

1/3

2/3

2

_{. Passo:}

6

© UNESP 6 Agosto 2008

Cadeias de Markov

Quebra Máquinas

Exercício 1: Encontrar a matriz P e o grafo deste problema.

Tempo 1

Tempo 0 Tempo 2

1/3

1/3 1/3

[1]

[0] [2]

?

[1] 1/3

[2] 2/3

1

© UNESP 6 Agosto 2008

Exercício 1: Encontrar a matriz P e o grafo deste problema.

[0]

[1]

[2]

[0]

[1]

[2]

1/9

1/3

5/9

0

1/3

2/3

3

_{. Passo:}

0

0

1

8

© UNESP 6 Agosto 2008

Cadeias de Markov

Quebra Máquinas

Exercício 1.2: Encontrar a matriz P e o grafo deste problema.

Com identificação da máquina e não

do estado global do sistema !!! Possíveis estados

9

© UNESP 6 Agosto 2008

Quebra Máquinas

Exercício 1.2: Encontrar a matriz P e o grafo deste problema.

Com identificação da máquina e não do estado global do sistema !!!

Possíveis ações por máquina

[0] [1]

[1] 2/3

1/3

10

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Cadeias de Markov

Tempo 1

Tempo 0 Tempo 2

1/3 ××××1/3 = 1/9 [1 1]

[0 0] [1 0] 2/3 ××××1/3 = 2/9

[0 1] 2/3 ××××2/3 = 4/9

[1 1]

© UNESP 6 Agosto 2008

Exercício 1.2: Encontrar a matriz P e o grafo deste problema.

[0 0] [1 0]

[1 1]

[0 0]

[1 0]

[1 1]

_1/9

_2/9

_4/9

1

_{. Passo:}

[1 0]

[0 1]

2/9

12

© UNESP 6 Agosto 2008

Cadeias de Markov

Tempo 1

Tempo 0 Tempo 2

[1 1]

[0 0] [1 0] [0 1]

[1 1] [1 1]

[1 0] 2/3

1/3

[0 1]

[1 1] 1/3

13

© UNESP 6 Agosto 2008

Exercício 1.2: Encontrar a matriz P e o grafo deste problema.

[0 0] [1 0]

[1 1]

[0 0]

[1 0]

[1 1]

_1/9

_2/9

_4/9

2

_{. Passo:}

[0 1]

[0 1]

2/9

0

1/3

0

2/3

0

0

1/3

2/3

14

© UNESP 6 Agosto 2008

Cadeias de Markov

Tempo 1

Tempo 0 Tempo 2

[1 1]

[0 0] [1 0] [0 1] [1 1]

[1 1]

© UNESP 6 Agosto 2008

Exercício 1.2: Encontrar a matriz P e o grafo deste problema.

[0 0] [1 0]

[1 1]

[0 0]

[1 0]

[1 1]

_1/9

_2/9

_4/9

3

_{. Passo:}

[0 1]

[0 1]

2/9

0

1/3

0

2/3

0

0

1/3

2/3

0

0

0

1

16

© UNESP 6 Agosto 2008

Cadeias de Markov

[0 0] [1 0]

[1 1]

[0 0]

[1 0]

[1 1]

_1/9

_2/9

_4/9

[0 1]

[0 1]

2/9

0

1/3

0

2/3

0

0

1/3

2/3

0

0

0

1

[0]

[1]

[2]

[0]

[1]

[2]

1/9

1/3

5/9

0

1/3

2/3

0

0

1

[2]

17

© UNESP 6 Agosto 2008

Bola na Urna

Exercício 3: Encontrar a matriz P e o grafo deste problema.

18

© UNESP 6 Agosto 2008

Cadeias de Markov

Exercício 3: Encontrar a matriz P e o grafo deste problema.

[0 1 1] [0 2 0] [0 0 2] [2 0 0][1 1 0] [1 0 1]

[0 1 1]

[0 2 0]

[0 0 2]

[2 0 0]

[1 1 0]

[1 0 1]

Estados possíveis:

© UNESP 6 Agosto 2008

Exercício 4: Encontrar a matriz P e o grafo deste problema.

[0 1 1] [0 2 0] [0 0 2] [2 0 0][1 1 0] [1 0 1]

[1 1 0]

1

_{. Caso:}

1/2

1/2

1/4

1/2

1/4

1/2

1/2

1/2

1/4

1/4

[0 2 0]

[0 1 1]

[1 0 1]

[2 0 0]

20

© UNESP 6 Agosto 2008

Cadeias de Markov

Exercício 3: Encontrar a matriz P e o grafo deste problema.

[0 1 1] [0 2 0] [0 0 2] [2 0 0][1 1 0] [1 0 1]

[1 1 0]

1/2

1/2

1/4

1/2

1/4

1/2

1/2

1/2

1/4

1/4

[0 2 0]

[0 1 1]

[1 0 1]

[2 0 0]

1/4

1/4

1/4

1/4

21

© UNESP 6 Agosto 2008

Exercício 3: Encontrar a matriz P e o grafo deste problema.

[0 1 1] [0 2 0] [0 0 2] [2 0 0][1 1 0] [1 0 1]

[0 2 0]

1/2

1/2

1/4

1/2

1/4

1/2

1/2

1/2

1/4

1/4

[0 1 1]

[1 1 0]

[0 1 1]

[1 1 0]

1/2

1/2

2

_{. Caso:}

22

© UNESP 6 Agosto 2008

Cadeias de Markov

Exercício 3: Encontrar a matriz P e o grafo deste problema.

[0 1 1] [0 2 0] [0 0 2] [2 0 0][1 1 0] [1 0 1]

[0 0 2]

1/2

1/2

1/4

1/2

1/4

1/2

1/2

1/2

1/4

1/4

[0 1 1]

[1 0 1]

[0 1 1]

[1 0 1]

1/2

1/2

© UNESP 6 Agosto 2008

Exercício 3: Encontrar a matriz P e o grafo deste problema.

[0 1 1] [0 2 0] [0 0 2] [2 0 0][1 1 0] [1 0 1]

[2 0 0]

1/2

1/2

1/4

1/2

1/4

1/2

1/2

1/2

1/4

1/4

[1 1 0]

[1 0 1]

[1 1 0]

[1 0 1]

1/2

1/2

4

_{. Caso:}

24

© UNESP 6 Agosto 2008

Cadeias de Markov

Exercício 3: Encontrar a matriz P e o grafo deste problema.

[0 1 1] [0 2 0] [0 0 2] [2 0 0][1 1 0] [1 0 1]

[1 1 0]

1/2

1/2

1/4

1/2

1/4

1/2

1/2

1/2

1/4

1/4

[0 2 0]

[0 1 1]

[1 0 1]

[2 0 0]

1/4

1/4

1/4

1/4

25

© UNESP 6 Agosto 2008

Exercício 3: Encontrar a matriz P e o grafo deste problema.

[0 1 1] [0 2 0] [0 0 2] [2 0 0][1 1 0] [1 0 1]

[1 0 1]

1/2

1/2

1/4

1/2

1/4

1/2

1/2

1/2

1/4

1/4

[0 1 1]

[0 0 2]

[1 1 0]

[2 0 0]

1/4

1/4

1/4

1/4

6

_{. Caso:}

26

© UNESP 6 Agosto 2008

Cadeias de Markov

Exercício 3: Encontrar a matriz P e o grafo deste problema.









































=

0

4

1

4

/

1

4

1

0

4

1

4

1

0

4

/

1

0

4

1

4

1

2

1

2

1

0

0

0

0

2

/

1

0

0

0

0

2

/

1

0

2

/

1

0

0

0

2

/

1

4

/

1

0

4

/

1

0

4

/

1

4

/

1

P

[0 1 1] [0 2 0] [0 0 2] [2 0 0] [1 1 0]

[1 0 1]

[0 1 1]

[0 2 0]

[0 0 2]

[2 0 0]

[1 1 0]

© UNESP 6 Agosto 2008

[0 1 1]

[0 2 0]

[0 0 2]

[2 0 0]

[1 1 0]

[1 0 1]

1/4

1

1/2

1/2

1/2

1/4

1/4

1/2

1/4

1/4

Exercício 3: Encontrar a matriz P e o grafo deste problema.

1/4

1/4

1/2

1/2

1/4

1/4

1/4

1/4

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© UNESP 6 Agosto 2008

Cadeias de Markov

Exercício 6: Cada família pode ser classificada quanto a sua moradia como urbana, rural ou suburbana. Em um dado ano, 15% de todas as famílias urbanas se movem para uma moradia suburbana, 5% para um localidade rural. Quanto as famílias suburbanas 6% se movem para uma localização urbana e 4% para uma localidade rural. Por fim, 4% das famílias rurais se movem para uma localidade urbana e 6% para o subúrbio.

1

2

3

0.05

0.15

0.06

0.04

0.06

0.04

0.80

_0.90

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© UNESP 6 Agosto 2008

ITEM (A): Se uma família vive em uma localidade urbana, qual a probabilidade de que daqui a dois anos ela permaneça nesta localidade? E no subúrbio? E na área rural?           = 90 . 0 06 . 0 04 . 0 04 . 0 90 . 0 06 . 0 05 . 0 15 . 0 80 . 0 P           =                     = = 8144 . 0 1140 . 0 0716 . 0 0750 . 0 8214 . 0 1036 . 0 0910 . 0 2580 . 0 6510 . 0 90 . 0 06 . 0 04 . 0 04 . 0 90 . 0 06 . 0 05 . 0 15 . 0 80 . 0 * 90 . 0 06 . 0 04 . 0 04 . 0 90 . 0 06 . 0 05 . 0 15 . 0 80 . 0 * 2 _{P P}

P

1

1

2

3

Estado inicial

Estados finais

Urbana →→→→Urbana Urbana →→→→Suburb Urbana →→→→ Rural

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Cadeias de Markov

ITEM (B): Suponha que atualmente, 40% das famílias vivam na área urbana, 35% vivam na área suburbana e 25% na área rural. Daqui a dois anos qual a percentagem de famílias vivendo na área urbana?

          = 8144 . 0 1140 . 0 0716 . 0 0750 . 0 8214 . 0 1036 . 0 0910 . 0 2580 . 0 6510 . 0 2 P

[0.40 0.35 0.25]

[0.6510]

[0.1036]

[0.0716]

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Exercício 7: Para cada Cadeia de Markov dada a seguir determine se é ou não ergódica e justifique. Além disso, indique se elas possuem estados, e quais são, recorrentes, transientes e absorventes.





















=

1

.

5

.

4

.

0

7

.

3

.

2

.

8

.

0

1

P

32

© UNESP 6 Agosto 2008

Cadeias de Markov

1

2

3

Todos os estados são

comunicáveis, pois existe um caminho de i

para j e vice-versa.

Caminho 1-2

1

2

3

Caminho 2-1

Caminho 1-3

Caminho 3-1

33

© UNESP 6 Agosto 2008

1

2

3

Todos os estados são

comunicáveis, pois existe um caminho de i

para j e vice-versa.

Caminho 2-1-3

1

2

3

Caminho 2-1

Caminho 3-1-2 ou 3-2 2 é comunicável com 3

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Cadeias de Markov

1

2

.8

.3

3

.2

.7

.4

.5

.1

1

2

.8

.3

3

.2

.7

.4

.5

.1

(...) com período

k > 1 se k é o menor número inteiro (...)





















=

1

.

5

.

4

.

0

7

.

3

.

2

.

8

.

0

1

© UNESP 6 Agosto 2008

1

2

3

(...)todos os caminhos que saem do estado i e retornam têm comprimento

que é um múltiplo de k.

Caminho 1-2 : 2 passos

Caminho 1-3-2: 3 passos

Caminho 1-3-3: 3 passos Caminho 1-2-2: 3 passos

1

2

3

Caminho 1-3 : 2 passos

Caminho 1-3-3-2-2: 5

36

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Cadeias de Markov

Exercício 11: Para cada uma das Cadeias de Markov determine as probabilidades de estado estacionário.













=

2

/

1

2

/

1

3

/

1

3

/

2

37

© UNESP 6 Agosto 2008

1

2













=

2

/

1

2

/

1

3

/

1

3

/

2

P

1

2

2

1

2/3

_1/3

1/2

1/2

[

] [

]













=

2

/

1

2

/

1

3

/

1

3

/

2

1

π

π

π

π

2

/

1

3

/

1

2

/

1

3

/

2

π

π

π

π

π

π

+

=

+

=

Substituindo a segunda equação por ππππ₁ + ππππ2 = 1:

2 1 2 1 1

1

2

/

1

3

/

2

π

π

π

π

π

+

=

+

=

4

.

0

5

/

2

6

.

0

3

/

5

=

=

=

=

π

π

Exercício 11: Para cada uma das Cadeias de Markov determine as probabilidades de estado estacionário.

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