Um modelo de regressão linear múltipla para avaliação de imóveis urbanos do município de Piumhi - MG

(1)

Rev. Bras. de Iniciação Científica (RBIC),

UM MODELO DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA PARA

AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS

PIUMHI-MG

A MULTIPLE LINEAR REGRESSION MODEL FOR

EVALUATION OF URBAN PROPERTIES

MUNICIPALITY OF PIUMHI

UN MODELO DE REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE PARA

LA EVALUACIÓN DE INMUEBLES URBANOS EN EL

MUNICIPIO DE PIUMHI

Aguinaldo Manoel da Silva Junior Denilson Junio Marques Soares Resumo: Neste estudo buscou-se

urbanos no município de Piumhi

considerados dados de 466 imóveis urbanos, oriundos do setor de cobrança e tribu

município, que são utilizados para o cálculo do Imposto Predial Territorial Urbano (IPTU). Verificou adequabilidade do modelo estimado, bem como

sirva como instrumento de difusão

Palavras-chave:. Regressão linear múltipla.

Abstract: In this study we sought to

properties in the city Piumhi-MG

properties from the collection and taxation area of the city council,

ImpostoPredial Territorial Urbano (IPTU), were considered. The adequacy of the estimated model was verified, as well as the significance of its coefficients. It is hoped that this work will serve as an

diffusionthe use of statisticsin the evaluation of goods in general.

Keywords:Multiple linear regression.

Resumen: En este estúdio buscamos construir

propiedades urbanas en el municipio de Piumhi

construida. Se consideraron los datos de 466 propiedades urbanas del área de recaudación e impuestos del ayuntamiento, que se utilizan para calcular e

adecuación del modelo estimado, así como la importancia de sus coeficientes. Se espera que este trabajo sirva como instrumento para la difusión

Palabras clave: Regresión lineal múltiple. Ingeniería de evaluaciones.

Envio 25/07

1_{Graduando em Engenharia Civil pelo IFMG}

Mestrando em Ciências pela Universidade de Franca

2_{Doutorando em Educação pela UFES. Licenciado em Matemática e Mestre em Estatística Aplicada e Biometria}

pela UFV. Professor EBTT do IFMG

Rev. Bras. de Iniciação Científica (RBIC), Itapetininga, v. 7, n. 3, p. 173-188, abr./jun., 2020.

UM MODELO DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA PARA

DE IMÓVEIS URBANOS DO MUNICÍPIO DE

A MULTIPLE LINEAR REGRESSION MODEL FOR

EVALUATION OF URBAN PROPERTIESIN THE

OF PIUMHI-MG

UN MODELO DE REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE PARA

LA EVALUACIÓN DE INMUEBLES URBANOS EN EL

MUNICIPIO DE PIUMHI-MG

Aguinaldo Manoel da Silva Junior1

Denilson Junio Marques Soares2

se construir um modelo de regressão linear múltipla para avaliação de imóveis banos no município de Piumhi-MG considerando a localização, área do lote

considerados dados de 466 imóveis urbanos, oriundos do setor de cobrança e tribu

município, que são utilizados para o cálculo do Imposto Predial Territorial Urbano (IPTU). Verificou do modelo estimado, bem comoa significância de seus coeficientes. Espera

ento de difusão do uso da Estatística na avaliação de bens em geral. Regressão linear múltipla. Engenharia de avaliações.InferênciaEstatística.

we sought to construct a multiple linear regression model for the evaluation of urban MG considering the location, location area and building area. Data from 466 urban properties from the collection and taxation area of the city council, which are used to calculate the ImpostoPredial Territorial Urbano (IPTU), were considered. The adequacy of the estimated model was verified, as well as the significance of its coefficients. It is hoped that this work will serve as an

in the evaluation of goods in general.

Multiple linear regression. Engineering of evaluations.StatisticalInference.

estúdio buscamos construir un modelo de regresión lineal múltiple para la evaluación as en el municipio de Piumhi-MG considerando la ubicación, el área del lote y el área construida. Se consideraron los datos de 466 propiedades urbanas del área de recaudación e impuestos del ayuntamiento, que se utilizan para calcular el Imposto Predial Territorial Urbano (IPTU). Se verificó la adecuación del modelo estimado, así como la importancia de sus coeficientes. Se espera que este trabajo sirva como instrumento para la difusión de usode estadísticas en la evaluación de bienes en general.

: Regresión lineal múltiple. Ingeniería de evaluaciones. Inferencia Estadística

7/2019 Revisão 29/07/2019 Aceite 04/02

Graduando em Engenharia Civil pelo IFMG-Piumhi. Bacharel e Licenciado em Educação Física pela UFV. la Universidade de Franca E-mail: aguinaldosilva.engcivil@gmail.com

Doutorando em Educação pela UFES. Licenciado em Matemática e Mestre em Estatística Aplicada e Biometria pela UFV. Professor EBTT do IFMG-Piumhi. E-mail: denilson.marques@ifmg.edu.br.

, abr./jun., 2020.

173 UM MODELO DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA PARA

DO MUNICÍPIO DE

A MULTIPLE LINEAR REGRESSION MODEL FOR

IN THE

UN MODELO DE REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE PARA

LA EVALUACIÓN DE INMUEBLES URBANOS EN EL

construir um modelo de regressão linear múltipla para avaliação de imóveis e área construída. Foram considerados dados de 466 imóveis urbanos, oriundos do setor de cobrança e tributação da prefeitura do município, que são utilizados para o cálculo do Imposto Predial Territorial Urbano (IPTU). Verificou-se a . Espera-se que este trabalho na avaliação de bens em geral.

InferênciaEstatística.

construct a multiple linear regression model for the evaluation of urban and building area. Data from 466 urban which are used to calculate the ImpostoPredial Territorial Urbano (IPTU), were considered. The adequacy of the estimated model was verified, as well as the significance of its coefficients. It is hoped that this work will serve as an instrument for the

un modelo de regresión lineal múltiple para la evaluación de considerando la ubicación, el área del lote y el área construida. Se consideraron los datos de 466 propiedades urbanas del área de recaudación e impuestos del l Imposto Predial Territorial Urbano (IPTU). Se verificó la adecuación del modelo estimado, así como la importancia de sus coeficientes. Se espera que este trabajo sirva

general. Inferencia Estadística

2/2020

Piumhi. Bacharel e Licenciado em Educação Física pela UFV. aguinaldosilva.engcivil@gmail.com.

Doutorando em Educação pela UFES. Licenciado em Matemática e Mestre em Estatística Aplicada e Biometria mail: denilson.marques@ifmg.edu.br.

(2)

Introdução

A ciência conhecida como Engenharia de Avaliações surgiu

com a necessidade da obtenção de estimações justas dos valores de bens e imóveis, no mundo industrializado, evitando o mercado especulador.

buscamcorrelacionar aspectos próprios do imóvel ao seu valor de mercado, transmitindo um referencial que se baseia em ciência aplicada.

Para Dantas (2003),

engenharia civil, da arquitetura e outras ciências, um bem, de seus direitos, frutos

de decisões que envolvem bens de qualquer natureza. al. (2008), esta prática pode ser

dentro de sua habilitação profissional respectivos conselhos profissionais.

De acordo com Fiker (1997) avaliatórias ocorreram por volta de 1918,

partir de 1929. Após este marco, diversos estudos e publicações surgiram no país focados no desenvolvimento de uma metodologia científ

imobiliário.

Em 1941 é publicado o livro intitulado

Berrini e, pouco tempo depois, o autor Alberto de Zagottis publica sobre a importância de se utilizar métodos estatísticos como instrumentos de avaliação pelo método científico.

Estas obras foram u

a primeira norma sobre avaliação de imóveis, elaborada pelo Departamento de Engenha Caixa Econômica Federal,

no ano de 1957.

Na década de 1970, ocorreu em São Paulo, o dando início a diversos eventos

ampliarama divulgação desta ciência em âmbito nacional e internacional.

A ciência conhecida como Engenharia de Avaliações surgiu no final do século XIX da obtenção de estimações justas dos valores de bens e imóveis, no mundo

o mercado especulador. No setor imobiliário, o

buscamcorrelacionar aspectos próprios do imóvel ao seu valor de mercado, transmitindo um referencial que se baseia em ciência aplicada.

), a Engenharia de Avaliações reúne um bloco de conhecimentos da engenharia civil, da arquitetura e outras ciências, para determinar, tecnicamente,

um bem, de seus direitos, frutos e custos de reprodução, trazendo subsídios para as tomadas bens de qualquer natureza. Dessa forma, de acordo com Steriner et ode ser realizada por engenheiros, arquitetos e agrônomos; cada um habilitação profissional e em conformidade com as leis e diretrizes de seus respectivos conselhos profissionais.

De acordo com Fiker (1997), no Brasil os primeiros estudos que trazem técnicas avaliatórias ocorreram por volta de 1918, mas a sistematização desses

Após este marco, diversos estudos e publicações surgiram no país focados no desenvolvimento de uma metodologia científica visando a ciência aplicada ao setor

Em 1941 é publicado o livro intitulado Avaliação de Terrenos,

e, pouco tempo depois, o autor Alberto de Zagottis publica sobre a importância de se utilizar métodos estatísticos como instrumentos de avaliação pelo método científico.

utilizadas por diversos profissionais no país até 1952 quando surgiu a primeira norma sobre avaliação de imóveis, elaborada pelo Departamento de Engenha Caixa Econômica Federal, recebendo após a submissão à ABNT a nomenc

da de 1970, ocorreu em São Paulo, o I Congresso Brasileiro de Avaliações diversos eventos científicos que ocorreram no final do século passado e que ampliarama divulgação desta ciência em âmbito nacional e internacional.

, abr./jun., 2020.

174

no final do século XIX da obtenção de estimações justas dos valores de bens e imóveis, no mundo No setor imobiliário, os estudos nesta área buscamcorrelacionar aspectos próprios do imóvel ao seu valor de mercado, transmitindo um reúne um bloco de conhecimentos da para determinar, tecnicamente, o valor de trazendo subsídios para as tomadas Dessa forma, de acordo com Steriner et e agrônomos; cada um as leis e diretrizes de seus os primeiros estudos que trazem técnicas processossó vieram a Após este marco, diversos estudos e publicações surgiram no país focados no ica visando a ciência aplicada ao setor , do autor Luiz Carlos e, pouco tempo depois, o autor Alberto de Zagottis publica sobre a importância de se utilizar métodos estatísticos como instrumentos de avaliação pelo método científico.

até 1952 quando surgiu a primeira norma sobre avaliação de imóveis, elaborada pelo Departamento de Engenharia da recebendo após a submissão à ABNT a nomenclatura P-NB-74 R I Congresso Brasileiro de Avaliações, científicos que ocorreram no final do século passado e que ampliarama divulgação desta ciência em âmbito nacional e internacional.

(3)

Rev. Bras. de Iniciação Científica (RBIC), Atualmente, o profi

normas que o complementam, regularizadas pela a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT, 2011):

• NBR 12.721/2007

incorporação imobiliária e outras disposições para condomínios edifícios

• NBR 14.653

De fato, devem ser consultadas avaliação aumenta. Entretanto, acredita

científica para um bom desenvolvimento de um trabalho, considerando sua legalidade. Diante disto, o presente artigo procura, através da constr

sólido e consistente, utilizar métodos estatísticos matemática capaz de predizer o valor venal de imóveis em que se encontra um dos

ilustra a localização do município em questão.

Fig

Fonte:

Trata-se de um município localizado na mesorregião centro acordo com o censo 2010

habitantes e cuja economia está predominantemente voltada para a agropecuária, com destaque para as produções de café e feijão.

Rev. Bras. de Iniciação Científica (RBIC), Itapetininga, v. 7, n. 3, p. 173-188, abr./jun., 2020. Atualmente, o profissional que se engaja nesta área deve ter conh

normas que o complementam, regularizadas pela a Associação Brasileira de Normas Técnicas NBR 12.721/2007 – Avaliação de custos unitários de construção para

ria e outras disposições para condomínios edifícios

NBR 14.653-2/2011 – Avaliação de bens: Parte 2 – Imóveis urbanos NBR 14.653-3/2004 – Avaliação de bens: Parte 3 – Imóveis rurais

devem ser consultadas outras normas à medida que a complexidade da . Entretanto, acredita-se que estas normas formam uma base legal e científica para um bom desenvolvimento de um trabalho, considerando sua legalidade.

Diante disto, o presente artigo procura, através da construção de um referencial teórico sólido e consistente, utilizar métodos estatísticos na determinação de

matemática capaz de predizer o valor venal de imóveis urbanos do município de Piumhi em que se encontra um dos campi do Instituto Federal de Minas Gerais (IFMG)

ilustra a localização do município em questão.

Figura 1: Localização de Piumhi em Minas Gerais

Fonte: https://bit.ly/2YJ7Jp5, Acesso em 20 mar 2019.

se de um município localizado na mesorregião centro-oeste mineira

acordo com o censo 2010 (IBGE, 2010), possui uma população estimada em 34 525 tes e cuja economia está predominantemente voltada para a agropecuária, com

s produções de café e feijão.

, abr./jun., 2020.

175

conhecimento amplo nas normas que o complementam, regularizadas pela a Associação Brasileira de Normas Técnicas Avaliação de custos unitários de construção para ria e outras disposições para condomínios edifícios - Procedimento;

Imóveis urbanos Imóveis rurais

medida que a complexidade da se que estas normas formam uma base legal e científica para um bom desenvolvimento de um trabalho, considerando sua legalidade.

ução de um referencial teórico na determinação de uma equação do município de Piumhi-MG, do Instituto Federal de Minas Gerais (IFMG). A Figura 1

oeste mineira que, de ), possui uma população estimada em 34 525 tes e cuja economia está predominantemente voltada para a agropecuária, com

(4)

Acredita-se que o modelo que se pretende estimar arrecadação tributária deste m

demais, considerando o rigor estatístico que envolvem as té particularidades de cada um.

Referencial Teórico

Os estudos que envolvem a Engenharia

imobiliário, buscamrelacionar aspectos próprios do imóvel ao seu valor de mercado, transmitindo um referencial que se baseia em ciência aplicada.

caso esta relação seja exata ou probabilístico. Entretanto,

não é determinística, ou seja, os problemas são probabilísticos por natureza. Sendo assim, a análise

matemáticapara se estimar o valor esperado de uma variável dependente ( valores dados ou fixados das variáveis regressoras (

análise “está condicionada aos valores fixados dos regressores e o que obtemos é o valor médio de ou a resposta média de

PORTER, 2011, p. 207).

Uma regressão é dita linear quando o comportamento dos dados analisados é retilíneo. Caso contrário, a regressão é dita não

regressora, também dita variável independente

Os problemas relacionados a área da engenharia, em sua maioria, necessitam de mais de uma variável independente no modelo de regressão

Para ilustração, suponhaa existência de dependente e variáveis independentes situação é dado por:

Fazendo i variar de 1 até n, temos:

Rev. Bras. de Iniciação Científica (RBIC), Itapetininga, v. 7, n. 3, p. 173-188, abr./jun., 2020. se que o modelo que se pretende estimarpossa auxiliar diretame

arrecadação tributária deste município e que esta prática pode ser utilizada em todos os demais, considerando o rigor estatístico que envolvem as técnicas da análise de

particularidades de cada um.

que envolvem a Engenharia de Avaliações, considerando o setor buscamrelacionar aspectos próprios do imóvel ao seu valor de mercado, um referencial que se baseia em ciência aplicada.Segundo Walpole et. al. (2009)

exata será denominada determinística, não tendo componente aleatório Entretanto, em inúmeros fenômenos científicos e de engenharia es

não é determinística, ou seja, os problemas são probabilísticos por natureza.

análisede regressão múltipla procura encontrar uma matemáticapara se estimar o valor esperado de uma variável dependente (

alores dados ou fixados das variáveis regressoras ( , , ⋯ , ). Em outras palavras, esta análise “está condicionada aos valores fixados dos regressores e o que obtemos é o valor

ou a resposta média de para os valores dos regressores” (GU

Uma regressão é dita linear quando o comportamento dos dados analisados é retilíneo. Caso contrário, a regressão é dita não-linear. Caso haja a presença de apenas uma variável regressora, também dita variável independente (ou explanatórias), a regressão é dita simples. Os problemas relacionados a área da engenharia, em sua maioria, necessitam de mais de uma variável independente no modelo de regressão, nestes casos, a regressão linear é dita múltipla

suponhaa existência de uma relação linear entre uma variável variáveis independentes . Neste caso, o modelo estatístico que modela a

Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + ... + βkXki + εi endo i variar de 1 até n, temos:

⋯

, abr./jun., 2020.

176

auxiliar diretamente na ser utilizada em todos os da análise de regressão e as

e Avaliações, considerando o setor buscamrelacionar aspectos próprios do imóvel ao seu valor de mercado, Segundo Walpole et. al. (2009), não tendo componente aleatório em inúmeros fenômenos científicos e de engenharia esta relação não é determinística, ou seja, os problemas são probabilísticos por natureza.

procura encontrar uma equação matemáticapara se estimar o valor esperado de uma variável dependente ( ) condicionado aos Em outras palavras, esta análise “está condicionada aos valores fixados dos regressores e o que obtemos é o valor para os valores dos regressores” (GUJARATI & Uma regressão é dita linear quando o comportamento dos dados analisados é retilíneo. linear. Caso haja a presença de apenas uma variável , a regressão é dita simples. Os problemas relacionados a área da engenharia, em sua maioria, necessitam de mais de uma , nestes casos, a regressão linear é dita múltipla.

uma relação linear entre uma variável . Neste caso, o modelo estatístico que modela a

(5)

Rev. Bras. de Iniciação Científica (RBIC), ⋮

que em notação matricial pode ser escrito como

… 1 1 … 1

Para obter o modelo ajustado, (MMQ), que, segundo Gujarati&

b1, ... ,bk, que minimizem a soma de quadrados dos Assim, considerando o modelo

a soma dos quadrados dos desvios será dada por

em que o produto desta relação resulta em um escalar, a notação matriz enquanto que ´ e

Ao utilizar a técnica de derivação matricial obtemos

Igualando a zero e substituindo o vetor

Rev. Bras. de Iniciação Científica (RBIC), Itapetininga, v. 7, n. 3, p. 173-188, abr./jun., 2020. ⋯

⋱ ⋮ ⋯

que em notação matricial pode ser escrito como … …

… … … …

… … … ⇒

Para obter o modelo ajustado, podemos utilizar o método dos mí

, segundo Gujarati& Porter (2011, p. 209), consiste na escolha dos parâmetros que minimizem a soma de quadrados dos desvios.

Assim, considerando o modelo

⇒ a soma dos quadrados dos desvios será dada por

! _"# $ "%&

´ ' (´' (

m que o produto desta relação resulta em um escalar, a notação ´ representa o tra e ´ representam os transpostos dos vetores

Ao utilizar a técnica de derivação matricial obtemos )*

) # ´ # ´

Igualando a zero e substituindo o vetor por +, temos

' ´ (+ ´

, abr./jun., 2020.

177

o método dos mínimos quadrados Porter (2011, p. 209), consiste na escolha dos parâmetrosb0,

representa o transposto da e , respectivamente.

(6)

Rev. Bras. de Iniciação Científica (RBIC), De forma geral, a matriz

estimadores para parâmetros são dados pelo vetor

De acordo com Cecon et. al. (2012 seguinte forma: ´ , -. ! /% ! /% ! /%

As estimativas obtidas pelo MMQ possuem propriedades no teorema de Gauss-Markov (

0 , 0 ,⋯, 0 obtidos são considerados os melhores estimadores lineares não tendenciosos (ou Rev. Bras. de Iniciação Científica (RBIC), Itapetininga, v. 7, n. 3, p. 173-188, abr./jun., 2020.

De forma geral, a matriz (X´X) é não singular e, portanto, é invertível, assim os estimadores para parâmetros são dados pelo vetor

+ ' ´ (1& _´

Cecon et. al. (2012, p. 182), pode-se construir as matrizes

, -. 2 ! / /% ! / /% ! / ! / /% ! / /% 3 ! / ! / /% 3 ! / /% ⋮ ⋱ ⋱ ! 4/ ! / /% 43 ⋯ ⋯ ! /% ⋯ ! / /% ⋯ ! / /% ⋯ ⋮ ⋯ ! /% ´ , -. ! / /% ! _{/ /} /% ! / / /% ⋮ ! 4/ /% / 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7

As estimativas obtidas pelo MMQ possuem propriedades ideais ou ótimas, contidas Markov (GUJARATI & PORTER, 2011, p. 93

obtidos são considerados os melhores estimadores lineares não tendenciosos (ou , abr./jun., 2020.

178

é não singular e, portanto, é invertível, assim os

se construir as matrizes ´ e ´ da 8/ / 83 / 83 4/ 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 ,

ideais ou ótimas, contidas

PORTER, 2011, p. 93).Os estimadores obtidos são considerados os melhores estimadores lineares não tendenciosos (ou

(7)

BLUE, do inglês Best Linear UnbiasedEstimator atenderem às seguintes condições:

• Linearidade

uma mudança linear na variável dependente, ou seja, uma função linear de uma variável aleatória de X em Y no modelo de regressão.

• Não tendenciosidade (ou sem viés) igual ao valor verdadeiro

• Variância mínima

o que possui a menor variância. De posse dos estimadores dos parâmetros, é relação linear entre a variável dependente

Para isto, podemos realizar o

Caso a hipótese de nulidade seja rejeitada, temos que pelo menos uma das variáveis independentes é significativa para o modelo. A Tabela 1

estatística F.

Tabela 1: Análise de variância da regressão linear múltipla

Fonte Graus de liberdade

Regressão k Resíduo n – (k+1) Total n - 1

em que,

Rev. Bras. de Iniciação Científica (RBIC), Itapetininga, v. 7, n. 3, p. 173-188, abr./jun., 2020. Best Linear UnbiasedEstimator) de , , ⋯ , ,

atenderem às seguintes condições:

Linearidade: para cada mudança de valores na variável independente ocor uma mudança linear na variável dependente, ou seja, uma função linear de uma variável aleatória de X em Y no modelo de regressão.

Não tendenciosidade (ou sem viés): seu valor esperado (ou igual ao valor verdadeiro '9'+( (

Variância mínima na classe de todos os estimadores não o que possui a menor variância.

De posse dos estimadores dos parâmetros, é possível verificar se

relação linear entre a variável dependente e alguma variável independente podemos realizar o teste Fpara significância da regressão, cuja

H0: β1 = β2 = ... = βk = 0 H1: βj≠ 0 para algum j.

de nulidade seja rejeitada, temos que pelo menos uma das variáveis cativa para o modelo. A Tabela 1 serve de auxílio na obtenção da

: Análise de variância da regressão linear múltipla

Graus de liberdade Soma dos quadrados Quadrado médio

SQR _{QMR =}:;< SQE _{QME =} :;= 1' > ( SQT ?@A + ´ '∑%₂ ( ; ?@9 ?@D ?@A ; ?@D ´ '∑%₂ ( , abr./jun., 2020.

179

, respectivamente, por : para cada mudança de valores na variável independente ocorre uma mudança linear na variável dependente, ou seja, uma função linear de uma variável aleatória de X em Y no modelo de regressão.

do (ou valor médio) é na classe de todos os estimadores não tendenciosos, este é

verificar se realmente existe uma e alguma variável independente , , . . . , . para significância da regressão, cujashipóteses são:

de nulidade seja rejeitada, temos que pelo menos uma das variáveis serve de auxílio na obtenção da

Quadrado médio Quociente F

(8)

Rev. Bras. de Iniciação Científica (RBIC), O quociente F tem distribuição F graus de liberdade.

Para um análise individual dos coeficientes da regressão, podemos associado a _{2 H 1 graus de liberdade, cuja estatística}

obtida por:

em que + J _I _/, representam os valores estimado e observado e caso, rejeitamos a hipótese

O coeficiente de determinação para regressão linear múltipla proporção da variação total que é explicada pelo método de regressão,

Valores altos de A

segundo Cecon et. al. (2012), um R

considerado significativo a 5% de probabilidade.

De acordo com Gujarati& Porter (2011), quanto maior no número de variáveis independentes no modelo de regres

contornar esta situação, podemos utilizar o coeficiente de determinação ajustado de analisar a qualidade do ajustamento, dado por:

Rev. Bras. de Iniciação Científica (RBIC), Itapetininga, v. 7, n. 3, p. 173-188, abr./jun., 2020. O quociente F tem distribuição F de Fisher-Snedecor (central) com

Para um análise individual dos coeficientes da regressão, podemos

graus de liberdade, cuja estatística, segundo Walpole et. al. (2009), é

K + _LM 'βI / O( ,

, representam os valores estimado e observado e LM, o desvio caso, rejeitamos a hipótese de nulidade H0: βj = 0, caso |K_QRS| T K_{'U, 1 1}

determinação para regressão linear múltipla

proporção da variação total que é explicada pelo método de regressão, é definido por

A ?@A_{?@D , V0 X A X 1 Y.}

revelam forte interação entre as variáveis analisadas. En

Cecon et. al. (2012), um R2 em torno de 0,40 é suficiente para que o modelo seja considerado significativo a 5% de probabilidade.

De acordo com Gujarati& Porter (2011), quanto maior no número de variáveis independentes no modelo de regressão, maior tende a ser o coeficiente de regressão. Para contornar esta situação, podemos utilizar o coeficiente de determinação ajustado

de analisar a qualidade do ajustamento, dado por:

AZZZZ A '2 1( H_{2 H 1}

, abr./jun., 2020.

180

cor (central) com 'H, 2 H 1(

Para um análise individual dos coeficientes da regressão, podemos utilizar o Teste t, Walpole et. al. (2009), é

M, o desvio-padrão. Neste 1 (.

determinação para regressão linear múltipla, que representa a é definido por

revelam forte interação entre as variáveis analisadas. Entretanto, em torno de 0,40 é suficiente para que o modelo seja

De acordo com Gujarati& Porter (2011), quanto maior no número de variáveis são, maior tende a ser o coeficiente de regressão. Para contornar esta situação, podemos utilizar o coeficiente de determinação ajustado AZZZZ para fins

(9)

Rev. Bras. de Iniciação Científica (RBIC), Uma medida estreitamente rela coeficiente de correlação linear (

de associação entre duas variáveis que pode ser calculada

O coeficiente de correlação linear

um estudo estão linearmente relacionadas, traçando

como a variabilidade de uma afeta a outra. Seu valor pode ser positivo ou negativo e se situa entre os limites de _{& e}

correlação entre as variáveis.

Para verificar a adequabilidade do modelo de regressão ajustado, é necessário validar também alguns pressupostos dos resíduos gerados, de modo a obter r

realizando o que em estatística é conhecido como Análise dos Resíduos. Basicamente, os pressupostos que precisa-se verificar dizem a respeito da normalidade, homocedasticidade e independência dos resíduos.

Ainda segundo Gujarati&

resíduos, pode-se proceder a testes de hipótese, cujos mais utilizados são o teste de Kolmogorov-Smirnov (KS) e de Shapiro

amostras pequenas. A homogeneidade das variâncias (homocedasticidade) dos resíduos pode ser verificada pelo teste de Bartllet e a independência dos resíduos,

Watson.

Metodologia

Utilizou-se, como recurso metodológico

trabalhos acadêmicos recentes e relevantes, associados ao tema, buscando um suporte teórico científico para um bom desenvolvimento do trabalho.

Posteriormente, cons

amostragem aleatória simples e disponibilizados pelo Prefeitura Municipal de Piumhi

Uma medida estreitamente relacionada ao[², embora conceitualmente distinta, é o coeficiente de correlação linear (]), introduzido por Pearson. Trata-se de uma medida do grau

variáveis que pode ser calculada como:

] ^_[#

O coeficiente de correlação linear pode ser utilizado para verificar se as variáveis de m estudo estão linearmente relacionadas, traçando panoramas na busca por compreender como a variabilidade de uma afeta a outra. Seu valor pode ser positivo ou negativo e se situa &, sendo que quanto mais próximo desses limites, mais intensa é a correlação entre as variáveis.

Para verificar a adequabilidade do modelo de regressão ajustado, é necessário validar também alguns pressupostos dos resíduos gerados, de modo a obter r

realizando o que em estatística é conhecido como Análise dos Resíduos. Basicamente, os se verificar dizem a respeito da normalidade, homocedasticidade e independência dos resíduos.

Gujarati& Porter (2011), para verificar a hipótese da normalidade dos se proceder a testes de hipótese, cujos mais utilizados são o teste de (KS) e de Shapiro-Wilk, sendo este último mais adequado para amostras pequenas. A homogeneidade das variâncias (homocedasticidade) dos resíduos pode ser verificada pelo teste de Bartllet e a independência dos resíduos,

como recurso metodológico inicial, uma revisão de literatura, pautada trabalhos acadêmicos recentes e relevantes, associados ao tema, buscando um suporte teórico científico para um bom desenvolvimento do trabalho.

Posteriormente, considerou-se 466 dados quantitativos oriundos

amostragem aleatória simples e disponibilizados pelo setor de cobrança e tributação da unicipal de Piumhi, quesão utilizados no cálculo do Imposto Predial Territorial

, abr./jun., 2020.

181

, embora conceitualmente distinta, é o se de uma medida do grau

verificar se as variáveis de na busca por compreender como a variabilidade de uma afeta a outra. Seu valor pode ser positivo ou negativo e se situa , sendo que quanto mais próximo desses limites, mais intensa é a Para verificar a adequabilidade do modelo de regressão ajustado, é necessário validar também alguns pressupostos dos resíduos gerados, de modo a obter resultados confiáveis, realizando o que em estatística é conhecido como Análise dos Resíduos. Basicamente, os se verificar dizem a respeito da normalidade, homocedasticidade e verificar a hipótese da normalidade dos se proceder a testes de hipótese, cujos mais utilizados são o teste de Wilk, sendo este último mais adequado para amostras pequenas. A homogeneidade das variâncias (homocedasticidade) dos resíduos pode ser verificada pelo teste de Bartllet e a independência dos resíduos, pelo teste de

Durbin-revisão de literatura, pautada em trabalhos acadêmicos recentes e relevantes, associados ao tema, buscando um suporte

teórico-dados quantitativos oriundos de uma processo de or de cobrança e tributação da cálculo do Imposto Predial Territorial

(10)

Rev. Bras. de Iniciação Científica (RBIC), Urbano (IPTU). A Figura 2

prefeitura do município.

Figura 2

Embora trouxesse informações como número de inscrição municipal,

quadra e testada do lote e valor venal do terreno, foram utilizados em nossas análises apenas o valor venal do imóvel, a área construída, a área do terreno e a localização do imóvel, pois se interpretou serem as variáveis mais significativas no c

as disponibilizadas.

Para a variável localização do imóvel, considerou

endereço físico da Prefeitura Municipal de Piumhi. Para isto utilizou software Google Earth Pro (Google, 2018), tomando

com deslocamento automotivo, como ilustra a Figura 3

A Figura 2 representa um fragmento do relatório disponibilizado pela

Figura 2: Fragmento do relatório disponibilizado.

Fonte: Prefeitura Municipal de Piumhi-MG

Embora trouxesse informações como número de inscrição municipal,

valor venal do terreno, foram utilizados em nossas análises apenas o valor venal do imóvel, a área construída, a área do terreno e a localização do imóvel, pois se interpretou serem as variáveis mais significativas no cálculo do valor venal do imóvel, dentre Para a variável localização do imóvel, considerou-se como ponto de referência o endereço físico da Prefeitura Municipal de Piumhi. Para isto

utilizou-ro (Google, 2018), tomando-se a menor distância por vias públicas omotivo, como ilustra a Figura 3.

, abr./jun., 2020.

182

representa um fragmento do relatório disponibilizado pela

Embora trouxesse informações como número de inscrição municipal, número da valor venal do terreno, foram utilizados em nossas análises apenas o valor venal do imóvel, a área construída, a área do terreno e a localização do imóvel, pois se álculo do valor venal do imóvel, dentre se como ponto de referência o -se como facilitador o se a menor distância por vias públicas

(11)

Figura 3: Ilustração da mensuração entre o ponto de referência e o endereço do imóvel.

A escolha da prefeitura como ponto de referência se deu por se tratar do centro administrativo municipal e ser circundado por instituições financeiras e judiciárias do município.

Os dados foram tabelados em uma planilha do eletrônica utilizando Microsoft – Excel® e em seguida partiu

software R (R CORE TEAM

Primeiramente foi realizada uma análise descritiva para caracterizar os dados em termos de posição e dispersão

verificar uma possível existência de

seguida, estimou-se um modelo de regressão linear múltipla, do modelo ajustado, através da análise dos resíduos.

coeficientes da regressão e de determinação ajustados.

Para verificar a significância da regressão realizou (ANOVA) e para uma análise indiv

de Student. Em todas estas etapas considerou

: Ilustração da mensuração entre o ponto de referência e o endereço do imóvel.

Fonte: Google Earth

prefeitura como ponto de referência se deu por se tratar do centro administrativo municipal e ser circundado por instituições financeiras e judiciárias do

Os dados foram tabelados em uma planilha do eletrônica utilizando Excel® e em seguida partiu-se para as análises estatísticas com

CORE TEAM, 2019).

Primeiramente foi realizada uma análise descritiva para caracterizar os dados em termos de posição e dispersão e calculou-se o coeficiente de correlação linear de Pearson para

uma possível existência de relação linear entre as variáveis, tomadas duas a duas se um modelo de regressão linear múltipla, verificando

modelo ajustado, através da análise dos resíduos.Nesta etapa também foram calculados os coeficientes da regressão e de determinação ajustados.

Para verificar a significância da regressão realizou-se uma análise de variância (ANOVA) e para uma análise individual da significância das variáveis rea

Em todas estas etapas considerou-se 5% de significância.

, abr./jun., 2020.

183

: Ilustração da mensuração entre o ponto de referência e o endereço do imóvel.

prefeitura como ponto de referência se deu por se tratar do centro administrativo municipal e ser circundado por instituições financeiras e judiciárias do Os dados foram tabelados em uma planilha do eletrônica utilizando-se o software se para as análises estatísticas com o auxílio do Primeiramente foi realizada uma análise descritiva para caracterizar os dados em se o coeficiente de correlação linear de Pearson para , tomadas duas a duas. Em verificando-se a adequabilidade Nesta etapa também foram calculados os se uma análise de variância idual da significância das variáveis realizou-se um teste t

(12)

Resultados e Discussão

A Tabela 2 nos traz a análise descritiva das variáveis, objetivando caracterizar dados que constituem a amostra

Tabela 2: Estatística descritiva para os dados da

Estatística Valor venal do imóvel (R$)

Média 191632,00 Desvio padrão 304684,20 Mínimo 300 Máximo 4159596

O Gráfico 1 ilustra o comportamento dos dados coletados. De forma subjetiva, é possível observar que existe uma possível

demais variáveis. Para verificar se estas variáveis estão correlacionadas, uti coeficiente de correlação linear

Tabela 3: Coeficiente de Correlação

Valor Venal do Imóvel Distância

Área do lote Área construída

*Significativo considerando 5% de nível de significância

Rev. Bras. de Iniciação Científica (RBIC), Itapetininga, v. 7, n. 3, p. 173-188, abr./jun., 2020. nos traz a análise descritiva das variáveis, objetivando caracterizar tituem a amostra utilizada neste estudo.

ela 2: Estatística descritiva para os dados da amostra.

Valor venal do

imóvel (R$) Distância (m) Área do lote (m

191632,00 1639,00 544,11 304684,20 520,75 3054,39

300,00 190,00 69,59 4159596,00 2800,00 63500,00

O Gráfico 1 ilustra o comportamento dos dados coletados. De forma subjetiva, é observar que existe uma possível relação linear entre o valor venal dos imóveis e as demais variáveis. Para verificar se estas variáveis estão correlacionadas, uti

inear de Pearson, cujo resultado encontra-se na Tabela 3.

Gráfico 1: Comportamento dos dados coletados

Coeficiente de Correlação Linear de Pearson para as variáveis analisadas

Valor Venal do Imóvel

Distância Área do lote

1 -0,052 0,164* -0,052 1 0,157* 0,164* 0,157* 1 0,695* -0,012 0,121 *Significativo considerando 5% de nível de significância

, abr./jun., 2020.

184

nos traz a análise descritiva das variáveis, objetivando caracterizar os 466

Área do lote (m2) Área construída (m2₎

104,13 105,58 20,00 1159,20

O Gráfico 1 ilustra o comportamento dos dados coletados. De forma subjetiva, é valor venal dos imóveis e as demais variáveis. Para verificar se estas variáveis estão correlacionadas, utilizou-se o

se na Tabela 3. Área construída 0,695* -0,012 0,121 1

(13)

Considerando os resultados apresentados, procedeu

um modelo de regressão linear múltipla que considera o valor venal do imóvel como dependente ( ) e a área construída

Não houve indícios para considerarmos a variável Distância no modelo. Dessa forma, foi gerada a seguinte equação:

em que representa uma estimativa para o valor venal do imóvel, área do lote.

Em seguida, realizou

Tabela 4, podendo ser verificada a significância do modelo estimado.

Tabela 4: Análise de variância

Fonte Graus de liberdade Área construída 1 Área do lote 1 Resíduos 463 Total 465 *Significativo a

Também realizou-se o Teste t para confirmar modelo. Os resultados encontram

Tabela 5: Teste t para os dados da Intercepto

Área construída Área do lote

* Significativo a

A qualidade do ajustamento

determinação e coeficiente de determinação ajustado e de AZZZZ 0,4876, respectivamente,

Considerando os resultados apresentados, procedeu-se ao processo de estimação de um modelo de regressão linear múltipla que considera o valor venal do imóvel como

a área construída ( ) e a área do lote ( )e como variáveis

Não houve indícios para considerarmos a variável Distância no modelo. Dessa forma, foi

&def, e&g & e, dh# # &fehe, #he

representa uma estimativa para o valor venal do imóvel, a

ealizou-se uma análise de variância, cujo resultado encontra Tabela 4, podendo ser verificada a significância do modelo estimado.

de variância para os dados da amostra

de liberdade Soma dos quadrados Quadrado médio Quociente F 2,0877 x 1013 _{2,0877 x 10}13 _438,9040 2,6675 x 1011 _{2,6675 x 10}11 2,2023 x 1013 _{4,7566 x 10}10 *Significativo a i 0,05

se o Teste t para confirmar a significância dos parâmetros do delo. Os resultados encontram-se na Tabela 5.

Teste t para os dados da amostra

Estimativa Valor t

35994,880 -1,317 1973,396 20,500 8,807 2,368 * Significativo a _{i 0,05}

qualidade do ajustamento do modelo foi verificada pelos coeficiente de determinação e coeficiente de determinação ajustado, em que obteve-se

respectivamente, considerado adequado, conforme Cecon et. al. (2012). , abr./jun., 2020.

185

se ao processo de estimação de um modelo de regressão linear múltipla que considera o valor venal do imóvel como variável variáveis independentes. Não houve indícios para considerarmos a variável Distância no modelo. Dessa forma, foi

a área construída e a sultado encontra-se na

Quociente F Valor-p

438,9040 0 * 5,6079 0,0183 *

a significância dos parâmetros do

Valor-p

0,0188 * 0 * 0,0183*

do modelo foi verificada pelos coeficiente de se valores de R2 = 0,488 , conforme Cecon et. al. (2012).

(14)

Rev. Bras. de Iniciação Científica (RBIC), Para ilustração, considere um lote com metragem de 600m

aqui estimado, pode ser obtida através dos seguintes cálculos:

'&def

Dessa forma, o imóvel em questão terá um valor venal que pode ser utilizado para

por exemplo.

Os dados disponibilizados pela Prefeitura Municipal de Piumhi/MG demonst imóveis com as características descritas no exemplo tem seu valor venal entre R$

e R$ 679.000,00. Portanto a equação gerada no presente estudo demonstra uma boa aproximação entre estimativa e valor real determinado pelo órgão público re

Na análise dos resíduos, a normalidade foi verificada através do teste de Smirnov (KS), obtendo-se valor

teste de Bartllet, cujo valor

resíduos, foi ajustado o teste de Durbin

pressuposto também foi atendido, confirmando a adequabilidade do modelo proposto.

Considerações Finais

A Engenharia de Avaliações

na determinação de valores de diversos tipos uma equação para determinar

características.

No modelo de regressão linear múltipla apresentado

apenas as variáveis área do lote, área construída e localização afetam no valor venal do imóvel, sendo que esta última não apresentou indícios de significância estatística, considerando um nível de significância igual a 5%. Entretanto, há diversas outras variáveis que possivelmente afetam no valor venal do imóvel, como a topografia, a situação de

Para ilustração, considere um imóvel, de 350 m² de área construída, edificado em um 600m2. Uma estimativa de seu valor venal, considerando o modelo aqui estimado, pode ser obtida através dos seguintes cálculos:

&def, e&g & e, dh# # &fehe, #he &def, e&g ∗ lmh( 'e, dh# ∗ ghh( &fehe,

gef. mfn, mdl

o imóvel em questão terá um valor venal esperado

que pode ser utilizado para base de cálculo de impostos referentes ao uso e ocupação de solo, Os dados disponibilizados pela Prefeitura Municipal de Piumhi/MG demonst

imóveis com as características descritas no exemplo tem seu valor venal entre R$

e R$ 679.000,00. Portanto a equação gerada no presente estudo demonstra uma boa aproximação entre estimativa e valor real determinado pelo órgão público re

Na análise dos resíduos, a normalidade foi verificada através do teste de se valor-p 0,8117. A homocedasticidade foi

, cujo valor-p obtido foi 0,5786. Para a verificação da

foi ajustado o teste de Durbin-Watson, cujo valor-p obtido de 0,3123 indica que este pressuposto também foi atendido, confirmando a adequabilidade do modelo proposto.

A Engenharia de Avaliações, com o auxílio da estatística, pode ser bastante explorada na determinação de valores de diversos tipos de bens. A análise realizada, permitiu encontrar

para determinar o valor venal esperado de imóveis, condicionando

lo de regressão linear múltipla apresentado assumiu-se implicitamente que apenas as variáveis área do lote, área construída e localização afetam no valor venal do imóvel, sendo que esta última não apresentou indícios de significância estatística, ndo um nível de significância igual a 5%. Entretanto, há diversas outras variáveis que possivelmente afetam no valor venal do imóvel, como a topografia, a situação de

, abr./jun., 2020.

186

de 350 m² de área construída, edificado em um , considerando o modelo

, #he

esperado de [$ gef. mfn, gh, base de cálculo de impostos referentes ao uso e ocupação de solo, Os dados disponibilizados pela Prefeitura Municipal de Piumhi/MG demonstram que, imóveis com as características descritas no exemplo tem seu valor venal entre R$ 678.500,00 e R$ 679.000,00. Portanto a equação gerada no presente estudo demonstra uma boa aproximação entre estimativa e valor real determinado pelo órgão público responsável.

Na análise dos resíduos, a normalidade foi verificada através do teste de Kolmogorov-A homocedasticidade foi verificada através do p obtido foi 0,5786. Para a verificação da independência dos p obtido de 0,3123 indica que este pressuposto também foi atendido, confirmando a adequabilidade do modelo proposto.

, pode ser bastante explorada bens. A análise realizada, permitiu encontrar condicionando-osàs suas se implicitamente que apenas as variáveis área do lote, área construída e localização afetam no valor venal do imóvel, sendo que esta última não apresentou indícios de significância estatística, ndo um nível de significância igual a 5%. Entretanto, há diversas outras variáveis que possivelmente afetam no valor venal do imóvel, como a topografia, a situação de

(15)

Rev. Bras. de Iniciação Científica (RBIC), conservação do imóvel e a pavimentação.

analisados, que foram disponibilizados pelo Setor de Tributação Municipal de Piumhi por não serem considerados para o cálculo do IPTU do município e, por este motivo, não foram adicionadas às análises aqui propostas.

Assim, o estudo em questãotrata

utilizadapara predizer o valor venal de imóveis urbanos, como os do município de Piumhi MG, adotados neste trabalho. Entretanto, considerando as diversas variáveis externas que podem ser significativas e que não fo

encontrado seja adequado para a predição caminho para tal. Além disso, deve econômicos são dinâmicos

crescimento e da economia,

Por fim, espera-se que este trabalho sirva como um instrumento de difusão de conhecimento para além das áreas de engenharia, destacando a apl

teóricos estatísticos muitas vezes desconsiderad estas podem contribuir, consideravelmente cobrança de impostos aos quais todos estamos suj

Agradecimentos

Agradecemos ao Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Minas Gerais (IFMG) – Campus Avançado Piumhi

no desenvolvimento deste trabalho

Referências

Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). (NBR 14.653-2/2011). Rio de Janeiro: ABNT, 2011. __________________________________________. (NBR 14.653-3/2004). Rio de Janeiro: ABNT, 2004. __________________________________________.

orçamento de construção para incorporação de edifícios em condomínio

12721/2007). Rio de Janeiro: ABNT, 2007.

imóvel e a pavimentação. Estas informações não constavam nos documentos alisados, que foram disponibilizados pelo Setor de Tributação Municipal de Piumhi por não serem considerados para o cálculo do IPTU do município e, por este motivo, não foram adicionadas às análises aqui propostas.

em questãotrata de uma metodologia piloto, que pode vir a ser redizer o valor venal de imóveis urbanos, como os do município de Piumhi MG, adotados neste trabalho. Entretanto, considerando as diversas variáveis externas que podem ser significativas e que não foram aqui incluídas, não considera

adequado para a predição proposta, mas acredita-se que o mesmo aponta um Além disso, deve-se considerar que esses tipos de modelos matemáticos

dinâmicos, podendo sofrer reajustes periódicos em decorrência do rescimento e da economia, por exemplo, em um aspecto geral.

se que este trabalho sirva como um instrumento de difusão de conhecimento para além das áreas de engenharia, destacando a aplicabilidade de conceitos teóricos estatísticos muitas vezes desconsiderados, devido a sua complexidade.

estas podem contribuir, consideravelmente, para a transparência nos processos de gestão e na cobrança de impostos aos quais todos estamos sujeitos.

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Minas Gerais vançado Piumhie a Prefeitura Municipal de Piumhi

deste trabalho.

Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Avaliação de bens: parte 2 2/2011). Rio de Janeiro: ABNT, 2011.

__________________________________________. Avaliação de bens: parte 3 de Janeiro: ABNT, 2004.

__________________________________________. Avaliação de custos unitários e preparo de

orçamento de construção para incorporação de edifícios em condomínio –

12721/2007). Rio de Janeiro: ABNT, 2007.

, abr./jun., 2020.

187

Estas informações não constavam nos documentos alisados, que foram disponibilizados pelo Setor de Tributação Municipal de Piumhi-MG, por não serem considerados para o cálculo do IPTU do município e, por este motivo, não ma metodologia piloto, que pode vir a ser redizer o valor venal de imóveis urbanos, como os do município de Piumhi-MG, adotados neste trabalho. Entretanto, considerando as diversas variáveis externas que

ram aqui incluídas, não considera-se que o modelo se que o mesmo aponta um se considerar que esses tipos de modelos

matemáticos-sofrer reajustes periódicos em decorrência do se que este trabalho sirva como um instrumento de difusão de icabilidade de conceitos os, devido a sua complexidade. Ações como para a transparência nos processos de gestão e na

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Minas Gerais e a Prefeitura Municipal de Piumhi pelo apoio e fomento

Avaliação de bens: parte 2 – imóveis urbanos Avaliação de bens: parte 3 – imóveis rurais Avaliação de custos unitários e preparo de

(16)

CECON, P. R.; SILVA, A. R.; NASCIMENTO, M.; FERREIRA, A. Viçosa/MG, Editora UFV, 2012.

DANTAS, R.A. Engenharia de Avaliações: uma introdução à metodologia científica Editora Pini, 2012.

FIKER, J. Avaliação de Imóveis Urbanos GOOGLE. Google Earth. Version X. ano 2018.

<https://www.google.com.br/earth>. Acesso em 01/12/2018. GUJARATI, D. N.; PORTER, D. C.

Ltda, 2011.

IBGE CENSO DEMOGRÁFICO. População municipal de Piumhi/MG. Disponível em: https://www.ibge.gov.br/estatisticas/sociais/populacao/9662

2010.html?edicao=9754&t=resultados

R DEVELOPMENT CORE TEAM. R: A Language and Environment for Sta Vienna: R Foundation on Statistical Computing, 2019

Acesso: 11/05/2019.

STEINER, M. T. A.; NETO, A. C.; BRAULIO, S. N.; ALVES, V.

multivariados aplicados à engenharia de avaliações

n. 1, p. 23-32, jan.-abr. 2008.

WALPOLE, R. E.; MYERS, R. H.; MYERS, S. L.; YE, K.

engenharia e ciências. São P

; SILVA, A. R.; NASCIMENTO, M.; FERREIRA, A. Métodos Estatísticos Viçosa/MG, Editora UFV, 2012.

Engenharia de Avaliações: uma introdução à metodologia científica Avaliação de Imóveis Urbanos. São Paulo: Editora Pini, 1997.

Google Earth. Version X. ano 2018. Nota (Piumhi-MG). Disponível em: <https://www.google.com.br/earth>. Acesso em 01/12/2018.

GUJARATI, D. N.; PORTER, D. C. Econometria Básica. 5ª ed. Porto Alegre/RS: Editora AMGH

IBGE CENSO DEMOGRÁFICO. População municipal de Piumhi/MG. Disponível em: https://www.ibge.gov.br/estatisticas/sociais/populacao/9662-censo-demografico

2010.html?edicao=9754&t=resultados

R DEVELOPMENT CORE TEAM. R: A Language and Environment for Statistical Computing. n on Statistical Computing, 2019. Disponívelem: https://www.r

STEINER, M. T. A.; NETO, A. C.; BRAULIO, S. N.; ALVES, V. Métodos estatísticos

multivariados aplicados à engenharia de avaliações. Revista Gestão & Produção, São Carlos, v. 15,

WALPOLE, R. E.; MYERS, R. H.; MYERS, S. L.; YE, K. Probabilidade e Estatística para . São Paulo: Editora Pearson, 2009.

, abr./jun., 2020.

188

Métodos Estatísticos.

Engenharia de Avaliações: uma introdução à metodologia científica. São Paulo:

MG). Disponível em:

. 5ª ed. Porto Alegre/RS: Editora AMGH

IBGE CENSO DEMOGRÁFICO. População municipal de Piumhi/MG. Disponível em:

demografico-tistical Computing. https://www.r-project.org.

estatísticos

. Revista Gestão & Produção, São Carlos, v. 15,