DISSERTAÇÃO DE MESTRADO. Comparação do Modelamento da Recristalização 3D pelo Método do Autômato Celular com Resultados Experimentais

DISSERTAÇÃO DE

MESTRADO

Comparação do Modelamento da

Recristalização 3D pelo Método do

Autômato Celular com Resultados

Experimentais

ALUNA: Tatiana Caneda Salazar Ribeiro

ORIENTADOR: Prof. Ph.D. Paulo Rangel Rios

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE CENTRO TECNOLÓGICO

ESCOLA DE ENGENHARIA METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA METALÚRGICA

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

TATIANA CANEDA SALAZAR RIBEIRO

COMPARAÇÃO DO MODELAMENTO DA

RECRISTALIZAÇÃO 3D PELO MÉTODO DO AUTÔMATO

CELULAR COM RESULTADOS EXPERIMENTAIS

Volta Redonda 2007

TATIANA CANEDA SALAZAR RIBEIRO

COMPARAÇÃO DO MODELAMENTO DA

RECRISTALIZAÇÃO 3D PELO MÉTODO DO AUTÔMATO

CELULAR COM RESULTADOS EXPERIMENTAIS

Dissertação apresentada ao curso de Mestrado em Engenharia Metalúrgica do programa de Pós-Graduação da Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Engenharia Metalúrgica Área de Concentração: Materiais Avançados

Orientador: Prof. Ph.D. PAULO RANGEL RIOS

Volta Redonda 2007

TATIANA CANEDA SALAZAR RIBEIRO

COMPARAÇÃO DO MODELAMENTO DA

RECRISTALIZAÇÃO 3D PELO MÉTODO DO AUTÔMATO

CELULAR COM RESULTADOS EXPERIMENTAIS

Aprovada em __/__/2007

BANCA EXAMINADORA

________________________________________________ Prof. Paulo Rangel Rios, Ph.D. – Orientador

Universidade Federal Fluminense

_________________________________________________ Prof. Flávio Ferreira, D.Sc.

Universidade Federal Fluminense

_________________________________________________ Profª. Ivani de Souza Bott, Ph.D.

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro

UFF- Universidade Federal Fluminense Volta Redonda

Dedicatória

Este trabalho é dedicado a toda a minha família e amigos, em especial à minha mãe Jane Salazar, ao meu pai Francisco Salazar, ao meu irmão Renato Salazar e ao meu marido João Vitor Ribeiro

AGRADECIMENTOS

Primeiramente a Deus por ter me proporcionado capacidade para concluir este trabalho; Ao meu orientador Paulo Rangel Rios por ter contribuído no meu aprendizado;

Aos membros e amigos do NMM que estão sempre prontos a ajudar nos momentos de dificuldade;

SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS... 08 LISTA DE TABELAS... 11 SIMBOLOGIA... 12 RESUMO... 13 ABSTRACT... 14 1.0 INTRODUÇÃO... ₁₅ 2.0 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA... ₁₇

2.1 Processo de recozimento de metais deformados a frio... ₁₇

2.1.1 Recuperação... 17

2.1.2 Recristalização... ₁₈

2.2. Evolução microestrutural durante a recristalização... ₁₉

2.2.1 O estado microestrutural... ₁₉

2.2.2 A evolução microestrutural... 21

2.3 Comparação de expressões analíticas com as simulações pelo AC... 23

2.4 Teoria clássica de Johnson-Mehl, Avrami e Kolmogorov (JMAK)... ₂₇

2.4.1 Kolmogorov... 28

2.4.2 Johnson e Mehl... 31

2.4.3 O modelo de Melvin Avrami... 33

2.5 O autômato Celular... 35

2.5.1 Introdução... 35

2.5.2 Fundamentos e estrutura do modelo... 37

2.5.2.1 A geometria da célula... ₃₇

2.5.2.2 Tamanho da vizinhança... 38

2.5.2.3 Regras de transição... ₃₈

2.5.2.5 Condições de contorno... ₃₉

2.5.3 Descrição formal do Autômato Celular... ₃₉

2.5.4 Autômato Celular Probabilístico... ₄₁

3.0 METODOLOGIA... 42

3.1 Obtenção dos dados experimentais da literatura... 42

3.1.1 Taxa de migração da interface... 45

3.1.2 Número de grãos recristalizados... 46

3.2 Metodologia computacional... 46

3.2.1 Descrição da simulação... 46

3.2.2 Dimensionalização do Autômato Celular... 48

3.2.2.1 Dimensionalização do espaço... 48

3.2.2.2 Dimensionalização do tempo... 49

4.0 RESULTADOS E DISCUSSÕES... 50

4.1 Validação do programa computacional... 50

4.2 Dimensionalização do Autômato Celular... 56

4.2.1 Dimensionalização do espaço... 56

4.2.2 Dimensionalização do tempo... 58

4.3 Determinação do valor de p ( p t v = 1 )... ₅₉

4.4 Outros resultados a partir de p=0,4... 64

4.5 Simulação variando o tamanho da matriz e mantendo A = 1,5µm... ₆₉

5.0 CONCLUSÕES... 71

6.0 RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS... 75

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1: Gráfico típico da cinética de recristalização durante recozimento isotérmico... 19

Figura 2.2: Ocorrência do impingement durante uma evolução microestrutural simulado pelo autômato celular em três dimensões... 22

Figura 2.3: Ocorrência do impingement durante uma evolução microestrutural simulado pelo autômato celular em duas dimensões... 23

Figura 2.4: Resultados analíticos x resultados simulados – fração de volume em função do tempo. (a)saturação de sítios e (b) taxa de nucleação constante... 24

Figura 2.5: Resultados analíticos x resultados simulados – área interfacial em função do tempo.(a)saturação de sítios e (b) taxa de nucleação constante... 25

Figura 2.6: Resultados analíticos x resultados simulados – caminho microestrutural.(a) saturação de sítios e (b) taxa de nucleação constante... 26

Figura 2.7: Desenho esquemático da ocorrência de interferência entre os grãos: a área listrada corresponde à área de interferência entre dois grãos e a área quadriculada corresponde à área de interferência entre três grãos... 33

Figura 2.8: Representação gráfica de um sítio (célula) inserido em uma matriz tridimensional... 36

Figura 2.9: Dimensões que são possíveis a um autômato celular... 37

Figura 2.10: Exemplos de formatos das células possíveis de serem utilizadas no método dos Autômatos Celulares... 37

Figura 2.11: Tipos de vizinhança que podem ser impostas aos autômatos celulares... 38

Figura 2.12: (a) Exemplo da configuração da vizinhança de Von Neumann em duas dimensões. (b) Exemplo da configuração de Moore em duas dimensões... 40

cinco temperaturas (dl x tempo normalizado)...

Figura 3.2: Dados experimentais obtidos da recristalização de cristal de ferro puro em cinco temperaturas (Xvex x tempo normalizado)... 44

Figura 3.3: Dados experimentais obtidos da recristalização de cristal de ferro puro em cinco temperaturas (Svex x tempo normalizado)... 44

Figura 3.4: Dados experimentais obtidos da recristalização de cristal de ferro puro em cinco temperaturas (Svex x Xvex)... 45

Figura 3.5: Representação gráfica de uma matriz e sua dimensionalização... 48

Figura 4.1: Caminho microestrutural para simulações com variação apenas da velocidade de evolução... 51

Figura 4.2: Ajuste dos parâmetros da curva do caminho microestrutural obtida através de simulação computacional... 52

Figura 4.3: Curvas cinéticas para vários valores de p ( p t

v = 1 )... ₅₃ Figura 4.4: Micrografia dos planos bidimensionais, antes da ocorrência do

impingement, de uma simulação com regra probabilística de transição... 54

Figura 4.5: Micrografia dos planos bidimensionais, antes da ocorrência do

impingement, de uma simulação sem regra probabilística de transição... 54

Figura 4.6: Micrografia dos grãos em 3D, antes da ocorrência do impingement, de uma simulação com regra probabilística de transição... 55

Figura 4.7: Micrografia dos grãos em 3D, antes da ocorrência do impingement, de uma simulação sem regra probabilística de transição... 55

Figura 4.8: Comparação da cinética (Xvex x tempo) para uma mesma matriz, mas com

variação dos valores de A... 57

Figura 4.9: Gráfico da velocidade versus tempo para simulação com p = 0,5... 59

Figura 4.10: Comparação da cinética de reação dos dados experimentais com a simulação para p=0,5... 60

Figura 4.11: Gráfico da velocidade versus tempo para simulação com p = 0,4... 61

Figura 4.12: Comparação da cinética de reação dos dados experimentais com a simulação para p=0,4... 62

Figura 4.13: Gráfico da velocidade versus tempo para simulação com p = 0,3... 63

Figura 4.14: Representação gráfica do formato de um grão, em duas dimensões, gerado pelo Autômato Celular... 64

Figura 4.16: Comparação dos resultados experimentais da área interfacial em função do tempo com a simulação antes da normalização... 65

Figura 4.17: Comparação dos resultados experimentais da área interfacial em função do tempo com a simulação depois da normalização ... 66

Figura 4.18: Comparação dos resultados experimentais do caminho microestrutural com a simulação... 67

Figura 4.19: Micrografias da evolução da simulação de uma matriz 3003, 220 núcleos,

p=0,4... 69

LISTA DE TABELA

Tabela 2.1: Estado microestrutural para estruturas recristalizadas (α = matriz deformada a frio e β = grãos recristalizados)... ₂₀ Tabela 2.2: Estado microestrutural quantitativo para microestruturas recristalizadas (α= matriz deformada a frio e β = grãos recristalizados). Todas as propriedades são por unidade de volume... 20

Tabela 3.1: Valores experimentais obtidos por Vandermeer e Rath para a cinética de recristalização do monocristal de ferro puro... 46

Tabela 3.2: Configuração das principais simulações... 49

Tabela 4.1: Parâmetros ajustáveis da curva do caminho microestrutural... 52

Tabela 4.2: Parâmetros da equação 3.2 para matriz de 300x300x300 células, p=0,5 e variação dos valores da aresta... 57

Tabela 4.3: Resultados da dimensionalização do tempo para cada simulação... 58

Tabela 4.4: Parâmetros ajustáveis do gráfico da velocidade versus tempo para simulação com p = 0,5... 59

Tabela 4.5: Ajuste da simulação com a equação 3.2... 60

Tabela 4.6: Parâmetros ajustáveis do gráfico da velocidade versus tempo para simulação com p = 0,4... 61

Tabela 4.7: Ajuste da simulação com a equação 3.2... 62

Tabela 4.8: Parâmetros ajustáveis do gráfico da velocidade versus tempo para simulação com p = 0,3... 63

Tabela 4.9: Ajuste da simulação com a equação 3.3... 67

Tabela 4.10: Parâmetros ajustáveis da cinética de duas matrizes com tamanhos diferentes... 70

SIMBOLOGIA

N

V Número de núcleos por unidade de volume

I

0 Taxa de nucleação

G

Velocidade de avanço das interfaces

X

v Fração de volume transformada

S

r Área interfacial entre regiões transformadas e não transformadas por

unidade volume

X

vex Fração de volume estendido

S

vex Área interfacial estendida entre regiões transformadas e não transformadas

por unidade de volume

p

Parâmetro que indica a probabilidade de transformação

A.C

Autômato Celular

JMAK

Johnson- Mehl- Avrami- Kolmogorov

t

Tempo

t

n Tempo normalizado

c

Constante da equação do caminho microestrutural

q

Constante da equação do caminho microestrutural

K

v

e K

s Constantes de forma

RESUMO

A cinética de recristalização tem sido analisada pelo método computacional do Autômato Celular. Os resultados obtidos por esse método têm sido comparados a modelos analíticos como, por exemplo, a teoria JMAK. Ao contrário do que se tem feito, este trabalho mostra a comparação dos resultados da simulação com resultados experimentais da cinética de recristalização do ferro puro obtidos da literatura. No entanto todos os resultados obtidos por esse método computacional são adimensionais e por isso foi realizada também uma tentativa de dimensionalização do tempo e do espaço do Autômato Celular. O Autômato Celular foi utilizado com uma regra de transição probabilística com o propósito de promover uma queda na velocidade de avanço das interfaces.

ABSTRACT

The kinetic of recrystallization has been analyzed for the computational method of the Cellular Automaton. The results gotten for this method have been compared the analytical models as, for example, JMAK theory. In contrast of this fact, this work will show the comparison of the results of the simulation with experimental results of the kinetic of recrystallization of the ‘ pure iron gotten of literature. However all the results gotten for this computational method doesn’t have dimension and therefore it will also have an attempt of dimensionalization of the time and the space of the Cellular Automaton. The Cellular Automaton will be used with a rule of probabilistic transition with the intention to promote a fall in the speed of advance of the interfaces.

1.0 Introdução

Durante o processamento, grande parte dos aços produzidos sofre tanto recristalização a quente quanto a frio. Por esse motivo é de grande importância o conhecimento de fenômenos como encruamento, recuperação, recristalização, crescimento de grão, não só para se processar corretamente esses materiais, mas também para controlar suas microestruturas e conseqüentemente suas propriedades.

O estudo da evolução microestrutural durante a recristalização utilizando a técnica do Autômato Celular iniciou-se, no NMM, com o desenvolvimento do código em duas dimensões[1,2,3,4,5] e prosseguindo com o desenvolvimento do código em três dimensões[6] .

Esse método possuiu grande versatilidade, podendo ser usado em diversas áreas. Foi caracterizado detalhadamente por Wolfram[7,8].

É uma tendência irreversível a utilização, cada vez maior por parte das indústrias, de simulação computacional para otimização de processos. Simulações que visam a obtenção de da microestrutura, como o método do Autômato Celular[9,10,11], estão crescendo em relação às simulações baseadas em métodos numéricos.

Tradicionalmente, a cinética de recristalização é analisada através da clássica teoria de Johnson-Mehl, Avrami e Kolmogorov (JMAK)[12,13,14,15,16]. Essa teoria tem em seu desenvolvimento suposições como: nucleação aleatória, crescimento com velocidade constante, forma dos grãos esférica e homogeneidade energética na matriz deformada. Existem teorias para o caso de nucleação periódica[17] _{e para alguns casos quando ocorrem} “clustering”(agrupada)[18].

A comparação quantitativa dos resultados simulados com a teoria JMAK apresenta bons resultados, quando impomos a ela as mesmas suposições definidas pela teoria. No entanto, algumas das suposições consideradas para o desenvolvimento da teoria analítica de JMAK fogem da realidade dos fenômenos. Um exemplo é considerar a energia armazenada,

após o processo de deformação, como sendo uniforme. Quando o material é deformado, a distribuição de energia armazenada não é uniforme devido a alguns fatores como: diferença de taxa de deformação de uma região para outra, átomos de impureza e/ou precipitados que restringem o movimento das discordâncias. Consequentemente, como a energia armazenada é a força motriz para o processo de recristalização, a nucleação não é aleatória pois ela ocorre em locais de maior energia armazenada e o crescimento não ocorre com velocidade constante. Por outro lado, efeitos importantes, frequentemente observados na prática, tais como, anisotropia do crescimento, não possuem teoria analítica disponível. Essa é uma grande vantagem da simulação: investigar casos mais próximos da realidade que muitas vezes são demais complexos para permitir solução analítica.

Outra vantagem da simulação é poder compará-la a resultados experimentais reais tanto obtidos pelo NMM ou publicados na literatura. Nesse trabalho, o foco será exatamente esse ponto, comparar os resultados da simulação pelo método do Autômato Celular com os resultados, obtidos da literatura, para a recristalização do ferro puro.

2.0 Revisão bibliográfica

2.1 Processo de recozimento de metais deformados a frio

Metais trabalhados a frio possuem uma quantidade de discordâncias entre 109 e 1012/ cm2, defeitos pontuais e consequentemente as propriedades físicas e mecânicas diferentes do material antes do processo de deformação. Para reversão desse quadro, o material é submetido a um processo conhecido como recozimento que é dividido em duas etapas: recuperação e recristalização. O termo recuperação é usado para designar o processo que não resulta da transformação de grãos deformados por novos grãos, mas propicia mudanças estruturais. A recristalização é o resultado da absorção dos grãos deformados por novos grãos equiaxiais livres de deformação. Em cada um desses processos ocorrem fenômenos diferentes. A força motriz, para os dois processos, é a redução da energia armazenada pela remoção do excesso de defeitos de pontos e de discordâncias.

O estudo desses fenômenos pode ser feito pelas análises das mudanças das propriedades físicas e mecânicas do metal deformado quando este é aquecido. Essas mudanças nas propriedades são reflexos das mudanças do movimento, rearranjo e aniquilação dos defeitos de pontos e das discordâncias. O uso de técnicas experimentais, como difração de raios-X, microscopia óptica e eletrônica, podem também ser usadas para esse tipo de estudo.

2.1.1 Recuperação

O termo recuperação é devido às mudanças que ocorrem nas propriedades dos materiais deformados. Essas mudanças restauram parcialmente as propriedades os seus valores antes da deformação. A recuperação ocorre primeiramente devido às mudanças na estrutura das discordâncias do material, por isso em se tratando de recuperação, o aspecto microestrutural é mais relevante.

O início da recuperação caracteriza-se pela ocorrência de mudanças microestruturais que não podem ser observadas em microscópio ótico. Entretanto, técnicas como difração de raios X e microscopia eletrônica de transmissão permitem evidenciar a grande redução da densidade de discordâncias e a sua reordenação em uma estrutura celular de subgrãos. Esse processo de recuperação é conhecido como poligonização, o qual se torna mais completo e leva ao aumento do tamanho de subgrão à medida que a temperatura torna-se mais elevada. Com pouca energia térmica, a alta densidade de discordâncias pode mover-se para acomodar a tensão residual armazenada, formando uma estrutura de subgrãos poligonizados, que concentram os defeitos da rede cristalina em uma pequena parte do volume do grão. Isto aumenta a ductilidade sem diminuir muito a resistência. A velocidade desse processo depende da composição química da liga, sendo tanto maior, quanto maior for o grau de pureza da liga. A recuperação leva ao aumento da condutividade elétrica e à redução das tensões internas e da energia armazenada., sendo que a mudança de algumas propriedades pode ser observada em temperaturas baixas, sendo porém mais intensas e rápidas em temperaturas mais elevadas. Entretanto, o retorno às propriedades que o material possuía antes do encruamento somente é possível através da recristalização.

2.1.2 Recristalização

A recristalização proporciona um retorno das propriedades físicas e mecânicas de um metal deformado a frio após o processo de recozimento. Propriedades mecânicas dos metais como dureza, limite de escoamento, limite de ruptura e alongamento variam de maneira lenta durante o período de recuperação. Entretanto, durante o período de recristalização, elas mudam de maneira drástica para uma variação de temperatura muito pequena. As propriedades físicas como resistividade elétrica e densidade são submetidas a grande variação tanto no processo de recuperação quanto no processo de recristalização.

A microestrutura ao longo do tempo é dividida em regiões recristalizadas e não recristalizadas e a fração recristalizada varia de 0 a 1 durante a transformação.

Recristalização de uma microestrutura deformada é também chamada de recristalização primária para distinguir o processo de crescimento anormal de grão que pode ocorrer no material totalmente recristalizado e que também é chamada de recristalização secundária.

O processo de recristalização primária é dividido em duas partes, nucleação que corresponde ao aparecimento de novos grãos na microestrutura e crescimento durante o qual os novos grãos substituem o material deformado.

O progresso da recristalização com o tempo durante recozimento isotérmico é representado pelo gráfico da fração de volume do material recristalizado (XV) como uma

função do log (tempo). O gráfico usualmente tem característica sigmoidal como mostrado na figura 2.1.

Figura 2.1: Gráfico típico da cinética de recristalização durante recozimento isotérmico.

2.2 Evolução microestrutural durante a recristalização 2.2.1 O estado microestrutural

Segundo DeHoff[19,20], o estado geométrico da microestrutura pode ser caracterizado por três diferentes estágios de complexidade:

a) o estado microestrutural qualitativo: pode ser demonstrado por classes de características dimensionais que existem na estrutura. A tabela 2.1 mostra uma lista com as características microestruturais que podem ser esperadas, por exemplo, em um material que passou pelos processos de deformação e recristalização.

dimensão característica designação

grãos deformados a frio α

1

grãos recristalizados β

limite do grão na fase deformada a frio αα limite do grão na fase recristalizada ββ 2

interface entre os dois estados anteriores αβ

Tabela 2.1: Estado microestrutural para estruturas recristalizadas (α = matriz deformada a frio e β = grãos recristalizados).

b) os estado microestrutural quantitativo: é obtida pela evolução geométrica das propriedades de algumas das características indicadas na tabela 2.1. A tabela 2.2 mostra uma lista de propriedades que são geralmente usadas para descrever o estado microestrutural, particularmente da recristalização. Mesmo em materiais que apresentam estruturas com maior grau de complexidade, essas propriedades são utilizadas.

Símbolo Propriedade

V

V

α

Fração de volume de uma matriz deformada a frio α

V

V

β

Fração de volume dos grãos recristalizados β

S

V

αα Área da superfície do limite αα

S

V

ββ

Área da superfície do limite ββ

S

V

αβ

Área da interface αβ

M

V

αβ _{Integral da curvatura da interface αβ}

N

V

β

Número de grãos recristalizados

Tabela 2.2: Estado microestrutural quantitativo para microestruturas recristalizadas (α= matriz deformada a frio e β = grãos recristalizados). Todas as propriedades são por unidade de

volume.

c) o estado microestrutural topográfico: mostra características não uniformes da microestrutura, incluindo anisotropia e gradientes.

2.2.2 A evolução microestrutural

A evolução da microestrutura durante o processo de recristalização pode ser formulada de três maneiras:

a) A mudança do caminho microestrutural é a seqüência de estados microestruturais pelo qual o sistema passa durante o processo. O estado microestrutural de um sistema pode ser visto como o de um ponto no espaço cujo número de dimensões igual ao número de variáveis quantificadas referentes ao estado identificado. O caminho é então uma curva obtida da conexão da seqüência de estados que caracterizam o processo. Na prática, o caminho microestrutural é representado pela coleção de valores da variável utilizada versus uma propriedade geométrica escolhida para mostrar a extensão total do processo. A determinação do caminho geralmente é feita a partir da natureza do processo que não são necessariamente obtidas de observações cinéticas, uma vez que seu foco é obter uma relação geométrica do processo[21,22].

b) A cinemática da evolução microestrutural está contida nas equações de deslocamento da interface, que relatam as taxas de mudanças das propriedades geométricas.

c) A cinética da evolução microestrutural conecta o caminho e a cinemática com a física do processo. As equações da cinemática são convertidas em equações cinéticas pela avaliação da velocidade de interface local, v, em termos do fluxo de material através dessa interface. Um exemplo seria o controle do movimento das interfaces que é dado por:

(

H H0

)

k

v= − _(2.1)

onde k é a combinação da taxa de reação da interface com fatores termodinâmicos. H é a curvatura local e H0 é valor efetivo da curvatura que corresponde à concentração na fase

matriz.

Para modelar a evolução microestrutural, é preciso conhecer quatro elementos básicos e essenciais.

1. Comportamento da nucleação: descreve a taxa de formação dos novos núcleos e pode ser

processo, pelo modelo de nucleação constante ou pelo modelo em que a taxa de nucleação depende do tempo.

2. A dimensão de crescimento: descreve em que dimensão ocorre o crescimento (uma, duas

ou três dimensões).

3. A taxa de crescimento: é expressa como a taxa de mudança de uma mesma característica

em função do tempo. A taxa de crescimento pode ser constante, ou ter uma dependência do tempo e/ou dependência do tamanho. A relação entre a média da velocidade da interface e a taxa de mudança da dimensão não é necessariamente constante se o crescimento não é isotrópico.

4. O impingement: o impingement ocorre quando os novos grãos crescem e um começa a

interferir no crescimento do outro. Assis[23] mostrou a evolução microestrutural durante uma simulação com autômato celular de um processo de recristalização (figuras 2.1 e 2.2). Em um dado tempo desta evolução, é possível observar a interferência que ocorre entre os grãos. As figuras 2.2 e 2.3 mostram o estado microestrutural em um determinado tempo da evolução e nelas pode-se observar com clareza o que é o impingement.

Figura 2.2: Ocorrência do impingement durante uma evolução microestrutural simulado pelo autômato celular em três dimensões.[23]

Figura 2.3: Ocorrência do impingement durante uma evolução microestrutural simulado pelo autômato celular em duas dimensões.[23]

2.3 Comparação de expressões analíticas com as simulações pelo A.C.

Rios e colaboradores[24], promoveram uma comparação de expressões analíticas da fração de volume em função do tempo, área da interface entre regiões transformadas e não transformadas e do caminho microestrutural com resultados obtidos da simulação pelo método do autômato celular em três dimensões. As comparações foram feitas para dois tipos distintos de comportamento da nucleação: nucleação com saturação de sítios e para nucleação com taxa constante.

Para núcleos aleatórios, a fração de volume estendido, VVE, e a fração de volume real, Vv, são relatadas pela equação de Avrami:

(

X

_VEX

)

X

V =

1

−

exp

−

(2.2)

A fração de volume estendida, VVE, é a soma do volume de todos os grãos individuais sem considerar a ocorrência do impingement. As equações a seguir descrevem essa fração de volume estendido:

→ = 3 3 4 t N

XVEX v nucleação com saturação de sítios

(2.3)

4

3

1

It

X

_vex

=

taxa de nucleação constante

(2.4)

onde Nv é o número de núcleos por unidade de volume e I é a taxa de nucleação por unidade

de volume. Então: →       − − = 3 3 4 exp 1 N t

X_{V V} nucleação com saturação de sítios

(2.5) →       − − = 34 3 1 exp 1 It

XV taxa de nucleação constante

(2.6)

(a) (b)

Figura 2.4 : Resultados analíticos x resultados simulados – fração de volume em função do tempo. (a)saturação de sítios e (b) taxa de nucleação constante.[24]

As figuras 2.4(a) e 2.4(b) mostram a comparação entre Vv calculado pela solução

analítica e o Vv obtido pela simulação pelo método do autômato celular.

A área interfacial estendida por unidade de volume entre regiões transformadas e não transformadas, SVE, é a soma das áreas de todos os grãos individuais supondo crescimento

sem impingement. A expressão de DeHoff[19] mostra a relação entre a área interfacial estendida e área interfacial real:

(

V

)

VE V X S S = 1− (2.7) e → =12N t2

Sve V nucleação com saturação de sítios

(2.8)

→ =4It3

S_ve taxa de nucleação constante

(2.9) então: →      − = 2 3 3 4 exp 12N t N t

Sv v V nucleação com saturação de sítio

(2.10) →       − = 3 4 3 1 exp 4It It

S_v taxa de nucleação constante

(2.11)

As figuras 2.5(a) e 2.5(b) mostram a comparação das expressões analíticas com a simulação com autômato celular para área interfacial entre regiões transformadas e não transformadas em função do tempo.

(a) (b)

Figura 2.5: Resultados analíticos x resultados simulados – área interfacial em função do tempo.(a)saturação de sítios e (b) taxa de nucleação constante.[24]

A curva no plano (VV, SV) descreve o caminho microestrutural em três dimensões. As

expressões analíticas para essas duas grandezas são conhecidas. Substituindo uma na outra teremos a equação para o caminho microestrutural.

(

) (

)

 →            − − = 3 2 3 1 1 1 ln 1 36 3 V V V V X X N

S nucleação com saturação de sítios

(2.12)

(

) (

)

 →            − − = 4 3 4 1 1 1 ln 1 27 4 V V V X X I

S taxa de nucleação constante

(2.13)

As figuras 2.6(a) e 2.6(b) mostram a comparação da expressão analítica do caminho microestrutural com resultados obtidos pela simulação com autômato celular.

(a) (b)

Figura 2.6: Resultados analíticos x resultados simulados – caminho microestrutural. (a)saturação de sítios e (b) taxa de nucleação constante.[24]

Além das grandezas de fração volumétrica, área interfacial e caminho microestrutural mostradas acima, Canh e Hagel[25] desenvolveram um método para estimar a velocidade média de movimento das interfaces utilizando grandezas já conhecidas como VV e SV. Então a

taxa de crescimento de Canh-Hagel é dada por:

dt dX S S S ds Vds V G V V V V 1 / _ _ = = =

∫∫

∫∫

(2.14)

2.4 Teoria clássica de Johnson-Mehl, Avrami e Kolmogorov (JMAK)

A equação clássica, desenvolvida entre os anos de 1937 e 1941, para a fração transformada para uma fração infinita que sofre uma transformação de fase isotérmica sólido-sólido ou líquido-sólido-sólido, é a de Kolmogorov-Johnson-Mehl-Avrami (JMAK). Esta equação descreve corretamente o processo cinético ao assumir uma distribuição aleatória dos sítios de nucleação e a razão de crescimento linear do grão como constante até a ocorrência do impingiment.

Apesar do tempo, esse modelo foi e ainda é muito usado devido sua extrema simplicidade. De fato, a essência do modelo pode ser resumida com uma relação muito simples:

(

)

(

Kt

)

X

V =

1

−

exp

−

n (2.15)

onde, t é o tempo efetivo, n é o expoente de Avrami e K é uma dependência da constante cinética. Essa constante cinética é uma dependência da constante de velocidade de Arrhenius com a temperatura:      − = RT E K K _exp c 0 (2.16)

onde, K0 é o fator de freqüência, Ec é a energia de ativação e T é a temperatura.

Antes de demonstrar a equação 2.15, vamos saber um pouco sobre a contribuição de cada um dos quatro cientistas que deram nome ao modelo. Kolmogorov foi um dos maiores matemáticos do século passado, mas podemos afirmar que a equação 2.15 é resultado de um grande esforço dos metalurgistas para descrever e compreender reações isotérmicas tais como o processo de cristalização, de recristalização de metais e ligas entre outras. Kolmogorov iniciou sua pesquisa para resolver um problema metalúrgico proposto por um amigo. Usando a teoria da probabilidade, Kolmogorov resolve o problema de uma maneira completamente geral e aplica o modelo ao exemplo da nucleação constante e simultânea. Este trabalho, escrito no Rússia e publicado na União Soviética em 1937, permanece desconhecido nos Estados Unidos e na Europa ocidental até, dois anos mais tarde, Johnson e Mehl conseguirem os mesmos resultados por um caminho matemático mais desenvolvido. Entre1939 e 1940 Avrami publica dois, agora famosos, trabalhos no assunto.

2.4.1 Kolmogorov

O trabalho de Kolmogorov[13] é no sentido de obter uma solução rigorosa para o problema da taxa de cristalização, mas com a utilização de suposições gerais. Estudar o processo de crescimento de cristais após formação aleatória de centros de cristalização era de grande importância para a metalurgia.

Alguns pesquisadores tinham desenvolvido fórmulas aproximadas para o crescimento de cristais. A partir de mais suposições, kolmogorov desenvolve uma fórmula exata da probabilidade p(t) que um ponto aleatório do volume. Considera-se que p(t) é a quantidade de substância cristalizada após um tempo t.

Primeiramente foi preciso ajustar matematicamente o problema. Considerando V um volume. Inicialmente (t = 0) esse volume é ocupado pelo que ele chama de “fase mãe”. Após um tempo t, uma parte V1(t) do volume V é ocupada por substâncias cristalizadas. O volume

V1(t) cresce com o tempo da seguinte maneira:

a) no intervalo V-V1, novos centros de cristalização aparecem. Para um volume V<V- V1, a

probabilidade de formar um centro de cristalização durante o tempo entre t e t+ ∆t é

)

(

)

(

'

t

o

t

V

t

∆

+

∆

α

(2.17)

onde o

( )

∆ é um infinitesimal relacionado com t ∆t. Essas probabilidades não dependem da distribuição dos centros cristalizados formados antes do tempo t e que não há nenhum volume de cristal em '

V .

b) O volume de cristal cresce em torno dos novos centros de cristalização formados em uma taxa linear

)

(

)

(

)

,

(

t

n

k

t

c

n

c

=

(2.18)

dependente do tempo t e da direção n. Foi assumido que o tamanho final do vetor comprimento c

( )

n é medido na direção n a partir da origem até uma superfície convexa. Apesar dessas condições, uma importante restrição é que embora c

( )

t,n dependa de n, essa dependência será a mesma em todos os pontos. Isso significa que, as formulas serão deduzidas a partir de uma hipótese simplificada de crescimento uniforme em todas as direções.

Para determinar a probabilidade, iniciou-se pela determinação da variável c. Esta é definida pela equação:

( )

,

4

1

3 3

σ

π

c

n

d

c

s

∫

=

(2.19)

onde a integração é feita sobre a superfície de uma esfera unitária S. Concluindo, para t > t0

o volume do cristal cresce livremente ao redor do centro de cristalização formada no tempo t0

e é dada por:

( )

3 3 0

3

4

















∫

t

t

d

k

c

τ

τ

π

(2.20)

Agora se considera um ponto arbitrário P em V, a uma distancia maior do que

( ) ( )

n

∫

k

τ

d

τ

c

max

t 0 (2.21) a partir do limite de V.

Para que um ponto P comece no volume cristalizado no tempo t, é necessário e suficiente que um centro de cristalização seja formado em certo tempo t’< t no ponto P’ cuja distância de P seja menor que:

τ τ

∫

k( )d ) n ( c t ' t (2.22) onde n− é a direção

_P

'

_P

_______

. Para um tempo fixo '

t , o volume ocupado pelos pontos P', satisfazendo as condições, é:

( )

( )

3 ' 3 3 4 ' ' _       =

∫

t t d k c t V π τ τ (2.23)

A probabilidade de formar um centro cristalizado durante o tempo ' t ∆ em V'(t')é:

( ) ( )

t'V' t'∆t'+o

( )

∆t' α (2.24)

e a probabilidade que isto não aconteça é:

( )

{

1

( ) ( )

' ' ' '

}

(1) 1 o t t V t t q s i + ∆ − =

_∏

= α (2.25)

Conseqüentemente a probabilidade que o ponto P não pertence ao volume cristalizado no momento t é:

( )

{

1

( ) ( )

' '

}

(1) 1 o t t V t t q s i i i ∆ + − =

∏

= α (2.26) onde , '_, ' t i t t s

t = ∆ _i = ∆ , e o(1) é infinitesimal se ∆t'é infinitesimal.

Calculando o logaritmo da equação 2.26, temos:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

'

( )

' 3 4 ' ' ' ' ) 1 ( ' ' ' ' log ' 0 3 0 1 dt d k t c dt t V t o t t V t t q t t t t s i         − = − = + ∆ =

∫

∫

∫

∑

= τ τ α π α α (2.27)

Para a probabilidade desejada:

) ( 1 ) (t q t p = − (2.28)

Para P pertencer ao volume cristalizado, obtemos finalmente:

      Ω π − − = 3 3 4 exp 1 ) (t c p (2.29)

onde:

( )

'

( )

' ' 0 dt d k t t t t         = Ω

∫

α

∫

τ τ (2.30)

Concluindo, quando V é grande o suficiente quando comparado com os tamanhos de grãos individuais, pode-se dizer que V1

( )

t =Vp

( )

t , então:

            Ω π − − = 3 1 ₃ 4 exp 1 ) (t V c V (2.31)

O valor de Ω é definido pela equação 2.30. A equação 2.31 para o volume V₁

( )

t de uma substância cristalizada após um tempo t tem uma solução mostrada a seguir. Se α(t) e c(t,n) não dependem do tempo, então:

1 ) ( ) ( = = t k t α α (2.32) Neste caso: 4 4 t α = Ω (2.33)

E a equação 2.31 se apresenta da seguinte maneira:             − − = 3 4 1 3 exp 1 ) (t V c t V π α (2.34) 2.4.2 Johnson e Mehl[12]

Muitos pesquisadores que estudavam diversos tipos de processos isotérmicos, que ocorriam por nucleação e crescimento, obtiam curvas semelhantes. Esses processos referidos acima são: processo de congelamento, decomposição eutetóide, formação da perlita a partir da ferrita, formação da perlita a partir da austenita, decomposição da fase β (eutetóide) em liga de alumínio entre outros.

Uma característica importante observada era que para todos os processos não ocorria mudança de concentração na matriz onde a reação ainda não havia ocorrido.

Para Johnson e Mehl, uma análise da curva de reação isotérmica era de grande importância, pois conhecendo a forma exata da curva seria uma maneira de obter valores importantes como a taxa de nucleação e a taxa de crescimento. Por isso eles se empenharam em desenvolver uma expressão em termos dessas grandezas. Eles dividiram os estudos em três partes. Primeiro eles estudaram a hipótese de uma nucleação com a taxa de nucleação Nv

e a taxa de crescimento G eram constantes. Depois eles estudaram o efeito da variação de Nv e

G durante a reação. Também estudaram o efeito da nucleação quando ocorrem nos contornos de grão. Estudaram também o efeito do tamanho de grão e o efeito da taxa de nucleação.

A primeira análise é a uma das mais importantes para o caso da recristalização, e segue as seguintes hipóteses:

• A reação ocorre por nucleação e crescimento;

• A taxa de nucleação Nv, expressada pelo número de núcleos por unidade de volume e

a taxa de crescimento G, em termos da unidade de comprimento em função do tempo são constantes;

• A nucleação ocorre em locais aleatórios ao longo da matriz e não possuem a mesma estrutura dos grãos da matriz;

• A reação produz formas esféricas exceto durante o impingiment.

Eles obtiveram uma expressão para a fração transformada em função do tempo.

4 3 3 /

1

)

(

NvG t

e

t

f

=

−

−π (2.35)

Quando ocorre a variação de Nv e G durante a reação, consideraram que essas

grandezas variam linearmente com o tempo de modo que: ) 1 ( 0 t N N_V = _V +α (2.36) ) 1 ( 0 t G G= +α (2.37)

2.4.3 O modelo de Melvin Avrami[14,15,16]

Muitas regiões do espaço estendido podem ser identificadas da seguinte maneira (figura 2.7):

Figura 2.7: Desenho esquemático da ocorrência de interferência entre os grãos: a área listrada corresponde à área de interferência entre dois grãos e a área quadriculada corresponde à área

de interferência entre três grãos.

• Regiões de núcleo único correspondem à porção que não se sobrepõe e possui a denotação de V1’;

• Regiões de núcleos duplos correspondem a região de sobreposição de dois núcleos e possuí a denotação de V2’;

• Regiões de núcleos triplos correspondem a região de sobreposição de três núcleos e possuí a denotação de V3’;

Da mesma maneira, em outras ordens Vm’ é identificada. A representação do volume que a região de ordem k teria se as regiões de uma ordem mais elevada não o sobrepusessem. Baseado em considerações geométricas, a seguinte relação entre o volume estendido Vkex’ e o volume sobreposto Vm’ pode ser proposta:

( )

'

)

(

_m k m m k kex

t

V

V

∑

∞ =

=

(2.38)

Considerando o volume transformado e através de considerações geométricas, Avrami encontrou a seguinte relação:

)

(

)

(

)

(

1 1

t

V

t

V

m mex m

∑

∞ = +

−

=

(2.39)

Duas considerações são importantes: a primeira é que a teoria de avrami é independente da dimensão do espaço e da forma do núcleo e a segunda e que a solução 2.39, devido a sua complexidade, não tem utilidade para se obter uma informação significativa da cinética real. Então Avrami demonstrou que a equação 2.39 pode ser simplificada para a hipótese de nucleação aleatória. Uma expressão para taxa de nucleação é dada por:

dt

dN

t

V

dt

dN

_a p

)]

(

1

[ −

=

(2.40)

onde V(t) é a fração de volume transformada no tempo t e dNp / dt é a taxa de nucleação. Os

subscritos a e p representam os núcleos atuais e os incluídos respectivamente. A razão entre regiões não sobrepostas e a porção estendida é dada por:

)

(

1

)

(

)

(

' 1 ' 1

_V

_t

t

V

t

V

ex

−

=

(2.41) e

dz

z

t

v

dz

dN

t

V

_ex t p ex

(

)

1

(

,

)

0 ' 1

=

∫

(2.42)

onde v1ex (t,z) é o volume estendido, no tempo t, de um único núcleo que começa a crescer no

tempo z < t. V1ex (t,z) é volume incluindo todas as sobreposições. Então Avrami assume a

equação 2.41 no caso incrementos infinitesimal:

)

(

1

)

(

)

(

' 1 ' 1

_V

_t

t

dV

t

dV

ex

−

=

(2.43)

O incremento do volume não sobreposto é igual ao incremento do volume transformado e então:

)

(

)

(

1

)

(

1 1

_dV

_t

t

V

t

dV

ex

=

−

(2.44)

Combinando a equação 2.43 e 2.44 temos:

) ( 1

1

)

(

V_ex t

e

t

V

=

−

− (2.45) 2.5 O autômato Celular 2.5.1 Introdução

O autômato celular foi originalmente introduzido por Von Neumann[26,27] _{(sob o nome} de “espaços celulares”) como uma possível idealização de sistemas biológicos com o propósito particular de auto-reprodução de um modelamento biológico. Ele tem sido aplicado e reintroduzido para uma ampla variedade de propósitos[28]_{, e chamado por uma variedade de} nomes, incluindo “autômato enxadrezado”, “estruturas homogêneas”, “estruturas celulares”, “estruturas enxadrezadas” e “matrizes interativas”.

Autômato Celular são algoritmos que descrevem o espaço discreto e a evolução temporal de sistemas dinâmicos complexos. O autômato é representado por uma malha (ou matriz), usualmente infinita em extensão, dividida em sítios e com uma variável distinta de cada sítio (célula), como pode ser visto na figura 2.8. Esse conjunto de células é contínuo e podem ser arranjadas em uma, duas ou três dimensões. Certas qualificações são atribuídas às células para determinar o estado da célula. Essas qualificações são variáveis associadas ao que

está sendo modelado. No caso do modelamento de um processo de recristalização, o estado de uma célula pode ser recristalizado ou não recristalizado. Existem vários trabalhos que abordam a aplicação do Autômato Celular na recristalização[29,30,31].

A evolução dinâmica do autômato é conduzida através da aplicação de regras determinísticas ou probabilísticas que atuam em cada célula. Essas regras determinam o estado de uma célula, no tempo seguinte, em função do seu estado e de seus vizinhos, no tempo presente. O autômato celular trabalha com intervalos de tempos discretos. Após cada intervalo de tempo, as variáveis de estado, em cada célula, são atualizadas simultaneamente. Todos os resultados adquiridos pelo autômato são adimensionais.

Portanto, os autômatos celulares apresentam três características fundamentais[32]: • Paralelismo → os estados dos elementos são atualizados simultaneamente;

• Localidade → o novo estado de uma célula é determinado pelo seu estado anterior e pelo estado de seus vizinhos;

• Homogeneidade → todas as células aplicam as mesmas regras de evolução em relação aos vizinhos.

Figura 2.8: Representação gráfica do espaço discreto (célula) inserido em uma matriz tridimensional.

Num nível microscópico, os sítios podem representar pontos numa rede cristalina, com valores dados por algum quantizado observável (tal como o componente spin) ou correspondente aos tipos de átomos ou unidades. Num nível mais macroscópico, cada sítio em um autômato celular pode representar uma região contendo muitas moléculas (com um

tamanho de escala talvez dado por uma correlação de comprimento apropriado), e seu valor pode rotular uma das várias fases distintas possíveis ou composições.

2.5.2 Fundamentos e estrutura do modelo

O autômato celular consiste de uma rede, isto é, um campo de células (figura 2.7), e é caracterizado pela geometria das células.

2.5.2.1 A geometria da célula

O sistema do autômato celular necessita de uma geometria regular. Para especificá-la é necessário escolher a dimensão e o formato da célula.

O autômato celular pode apresentar uma, duas ou três dimensões conforme figura 2.9.

Figura 2.9: Dimensões que são possíveis a um autômato celular.

Quanto ao formato, as células têm que apresentar formas regulares, por exemplo, triangulares, quadradas, hexagonais. Veja figura 2.10.

Figura 2.10: Exemplos de formatos das células possíveis de serem utilizadas no método dos Autômatos Celulares em duas dimensões.

2.5.2.2 Tamanho da vizinhança

É necessário também especificar quais serão os vizinhos de uma célula, pois as regras de transição serão aplicadas baseadas nos estados desses vizinhos e da própria célula. Há algumas formas de vizinhança que seguem uma lógica ou regra (Von Neumann e Moore) e há formas que são arbitrárias.

Na figura 2.11, as células pintadas de cinza escuro estão representando as vizinhas da célula preta. (e r é o raio da vizinhança).

Figura 2.11: Tipos de vizinhança que podem ser impostas aos autômatos celulares.

2.5.2.3 Regras de transição

As regras de transição para uma célula são o que determinam o estado de cada célula no próximo instante, o estado atual da célula é dependente do seu estado e do estado das células vizinhas, conforme vizinhança escolhida, no passo anterior. Por exemplo, o estado de uma célula i no tempo t depende apenas do seu estado e dos estados das células vizinha no tempo t-1. Em cada instante, todas as células do autômato celular, compreendem a malha total, e é atualizada simultaneamente de acordo com as regras de transição.

A definição da vizinhança e a regra de transição são consideradas como variáveis. Elas são usadas para a adaptação do modelo a diferentes tipos de comportamentos.

Além das regras de transição, é preciso determinar a velocidade em que elas ocorrerão. Podemos simular fenômenos onde seja necessário impor uma variação na velocidade e há fenômenos em que a velocidade é mantida constante durante a simulação. A velocidade ser mantida constante significa que as regras de transição serão impostas a todas as células em casa passo do tempo. Essa característica é conhecida como autômato determinístico. Para variar a velocidade, é preciso impor outra regra de transição: a probabilidade. Para uma dada configuração dos vizinhos, uma célula pode partir para outro

estado com uma probabilidade definida.. Autômatos celulares probabilísticos possuem um fator probabilidade de transição para atingir o novo estado da célula no tempo seguinte.

2.5.2.4 O número e tipos de estados que uma célula pode possuir

No modelo de recristalização, cada célula tem dois estados possíveis: ela está recristalizada ou não. A proporção do recristalizado, e o número total de células definem a fração recristalizada, conforme aequação 2.40.

Total Área zada Recristali Área = A A (2.40) 2.5.2.5 Condições de contorno

As limitações computacionais fazem com que a malha seja limitada. No entanto, há uma necessidade que ele seja infinito, uma vez que estamos reproduzindo um fenômeno real. Por isso, é preciso estabelecer condições de limite para simular um autômato infinito. Estas condições são também necessárias para completar o conjunto de vizinhos das células que se encontram nos limites da malha do autômato.

É fácil entender o que isso significa. Imagine as células que estão em uma das extremidades não terão vizinhos em um de seus lados. A condição limite irá justamente simular o comportamento daquelas células que não existem.

2.5.3 Descrição formal do Autômato Celular

A interação local entre uma célula e seus vizinhos em uma matriz é especificada através das regras de transformação. Os autômatos introduzidos inicialmente por Von Neumann usam regras determinísticas de transformação, entretanto podemos utilizar regras probabilísticas. O valor que uma variável arbitrária (φ) atribui a cada célula em um momento (t + ∆t ) é determinado pelo seu estado e o estado de seus vizinhos no tempo t.

Exemplificando melhor a descrição acima, consideraremos os dois últimos passos de uma evolução em uma dimensão utilizando o método do autômato. Uma função formal pode ser escrita da seguinte maneira:

      = + − ∆ − + ∆ − ∆ − − ∆ +

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

t j t j t j t t j t t j t t j t t j f 1 , , 1 , 1, , 1 (2.41) onde

_φ

t

j indica o valor da variável no tempo t e na célula j. As posições (j+1) e (j-1) indica

os vizinhos imediatos da célula j, para uma dimensão. A função f especifica as regras de transformação.

Se o estado de uma célula depende de seus vizinhos mais próximos, é preciso especificar uma maneira de identificá-los. As especificações mais usadas são as vizinhanças de Von Neumann e de Moore. A figura 2.12(a) mostra de Von Neumann e a figura 2.12(b) a de Moore.

x(2,2) = f{ x(1,2), x(2,1), x(2,3), x(3,2)} x(2,2) = f{ x(1,1), x(1,2), x(1,3), x(2,1), x(2,3), x(3,1), x(3,2), x(3,3)}

(a) (b)

Figura 2.12: (a) Exemplo da configuração da vizinhança de Von Neumann em duas dimensões. (b) Exemplo da configuração de Moore em duas dimensões.[33]

Mesmo para autômatos muito simples existe uma variedade enorme de regras possíveis da transformação. Em um autômato unidimensional com vizinhança de Von Neumann, cada célula pode assumir uma das duas possibilidades:

φ

=1

j ou

φ

j=0 e as

regras de transformação seguem a forma       = + − ∆ +

φ

φ

φ

φ

o o to j t j t j t t j f 1, , 1 0 .

2.5.4 Autômato Celular Probabilístico

Raabe[34] desenvolveu um modelo para simular com autômato celular probabilístico. O modelo é designado como autômato celular em três dimensões com regra de transformação probabilística. Isso significa que a transição de uma célula da matriz não é feita de forma determinística, mas com certa probabilidade. A regra básica de transição do autômato consiste de uma analogia probabilística da equação para o movimento termicamente ativado dos contornos de grão sob a influência de gradientes de energia livre como introduzido por Turnbull[35]. De acordo com essa equação a regra de transição é calculada para cada ponto do matriz usando a força motriz máxima local, a textura máxima e a máxima mobilidade local. O algoritmo é dividido em uma parte puramente determinística e outra probabilística. Esta ultima é a integração da função probabilidade que é parte da equação de Turnbull.

3.0 Metodologia

3.1 Obtenção dos dados experimentais da literatura

Os dados experimentais e as conclusões e modelos desenvolvidos a partir deles foram obtidos por Vandermeer e Rath[36] Esses dados serão a base experimental deste trabalho. Por isso é importante conhecer os principais resultados e as principais conclusões obtidas a partir deles.

O material utilizado[36] foi um monocristal de ferro puro (111) [112] deformado via laminação. A cinética de recristalização foi caracterizada experimentalmente para temperaturas entre 450º e 550ºC, usando metalografia quantitativa. Eles utilizaram o método da transformada de Laplace para separar o comportamento de nucleação do comportamento cinético da migração da interface e desenvolveram um modelo detalhado da nucleação e do crescimento para explicar quantitativamente todas as observações. O modelo possui importantes características, como:

• Os sítios nucleiam de forma aleatória;

• A nucleação ocorre por saturação de sítios para todas as temperaturas estudadas; • Os grãos crescem em três dimensões e possuíam formas esféricas;

• Todos os grãos recristalizados crescem aproximadamente com a mesma taxa dentro do erro experimental;

• A taxa de migração da interface não é constante, mas decresce com o tempo. Para todas as temperaturas a taxa de decréscimo é de t-0,38_.

Uma vez que o crescimento dos grãos durante o processo de recristalização é um processo termicamente ativado, os dados das cinco temperaturas estudadas foram normalizados. Alguns parâmetros experimentais foram extraídos. As figuras 3.1 a 3.4 mostram os ajustes feitos por Vandermeer e Rath a partir dos resultados experimentais obtidos por eles.

As seguintes equações foram utilizadas para analisar os dados experimentais e serão usadas na análise dos resultados obtidos nesta dissertação:

S n l C t d = ( ) _(3.1) n n n Vex B t X = ( ) _(3.2) m n n Vex K t S = ( ) _(3.3) q Vex Vex A X S = ( ) _(3.4) 0,1 1 10 10 100 1000

d

_l

= 60,81 (t

_n

)

0,6 550ºC 525ºC 500ºC 475ºC 450ºC dl ( µµµµ m ) tempo normalizado, t_T / t₀ = t_n

Figura 3.1: Dados experimentais obtidos da recristalização de um monocristal de ferro puro em cinco temperaturas (dl x tempo normalizado).

0,1 1 0,01 0,1 1 550ºC 550ºC 550ºC 550ºC 550ºC X V E X tempo normalizado, t_T / t₀ = t_n X VEX = 0,118(tn) 1,9

Figura 3.2: Dados experimentais obtidos da recristalização de um monocristal de ferro puro em cinco temperaturas (Xvex x tempo normalizado).

0,1 1 10 1 10 100 1000 10000 S_vex = 157 (tn)1,28 550ºC 525ºC 500ºC 475ºC 450ºC Sv e x tempo normalizado, t_T / t_o = t_n

Figura 3.3: Dados experimentais obtidos da recristalização de um monocristal de ferro puro em cinco temperaturas (Svex x tempo normalizado).

0,1 1 10 0,01 0,1 1 525ºC 475ºC 500ºC 450ºC 550ºC S ve x Xvex Svex = A (Xvex)q Svex = 650 (Xvex)0,64

Figura 3.4: Dados experimentais obtidos da recristalização de um monocristal de ferro puro em cinco temperaturas (Svex x Xvex).

3.1.1 Taxa de migração da interface

Vandermeer e Rath usaram dois métodos diferentes para calcular as taxas de migração das interfaces. A primeira, Gl, foi baseada no crescimento dos grãos recristalizados e é definida como: dt d d Gl l ) ( 2 1 = (3.5)

A segunda, é a taxa média de migração da interface derivada da equação de Cahn-Hangel (equação 3.6).

(

)

dt dX S G Vex Vex 1 − = (3.6)

Em termos dos parâmetros experimentais, as equações acima são reescritas da seguinte forma:

[

t d

]

t

(

s RT

)

C s G_l ( ) s s exp 80000 / 2 1 1 0 −       = − − (3.7)

[

t S

] [

t X

]

t

[

(

n m

)

RT

]

K nB G = _{n n}−1 ₀( ) m ₀( ) −n n−m−1exp−80000 − / _(3.8)

Os valores de t0(d), t0(X), t0(S) se referem à normalização do tempo feita para os

gráficos das figuras 3.1, 3.2, 3.3 respectivamente.

A tabela 3.1 compara a dependência do tempo, a dependência da temperatura e a componente pré-exponencial das duas equações acima.

_{Gl <G>}

expoente do tempo -0,4 -0,38

Q(Kcal/mol) 48 50 constante pré-exponencial 1,38E-10 2,5E-10

Tabela 3.1: Valores experimentais obtidos por Vandermeer e Rath para a cinética de recristalização do monocristal de ferro puro.

3.1.2 Número de grãos recristalizados

Para nucleação com saturação de sítios e em três dimensões, as seguintes equações são verdadeiras:

{

}

3 0 0

∫

= V t VEX N K Gd X τ _(3.9)

{

}

3 0 0

∫

= S t VEX N K Gd S τ _(3.10) Reescrevendo-as teremos:

(

)

13

(

)

2 3

(

)

2 3 0 S V VEX VEX N K K X S = − _(3.11)

onde Kv e Ks são fatores de forma. 3.2 Metodologia computacional 3.2.1 Descrição da simulação

A simulação ocorreu pelo método do autômato celular e foi escrito em FORTRAN 90/95. O programa, até então utilizado em trabalhos anteriores pelo NMM (Núcleo de Modelamento Microestrutural)(2,4), utilizava a premissa de velocidade constante, ou seja,

todos os núcleos evoluem a cada passo de tempo com a mesma velocidade. O autômato celular evolui em passos de tempos distintos, com o valor da variável em um sítio sendo afetado pelos valores das variáveis nos sítios em sua vizinhança no instante anterior. As variáveis de cada sítio são atualizadas ao mesmo tempo, baseado nos valores das variáveis em sua vizinhança, no instante precedente, e de acordo com um grupo de “regras locais”.

Para a realização desse trabalho era necessário que a evolução dos núcleos com o tempo ocorresse com certa velocidade. Essa necessidade se fez presente, uma vez que o resultado da simulação será comparado com os resultados experimentais descritos acima e eles mostram que a cinética de recristalização do ferro puro ocorreu com o decréscimo da velocidade de avanço das interfaces.

Para criar uma velocidade de transformação na simulação, foi necessário implementar ao código o que chamamos de probabilidade de transformação[20]. Além das “regras locais”, a evolução vai seguir certa probabilidade de ocorrência. Essa probabilidade é mais um dado de entrada.

No programa utilizado, os valores dessa probabilidade variam de p=0,1 a p=0,9 e significa que a probabilidade de transformação é igual a:

p

t

1

(3.12)

e quanto maior o tempo de reação, menor será a probabilidade de reação.

A ocorrência dos eventos a cada passo do tempo ocorrem da seguinte maneira: no tempo t, todas as células recebem um valor atribuído aleatoriamente pelo programa. Uma célula que se transformaria no tempo t + 1, se a transformação ocorresse de maneira determinística (velocidade constante), agora só se transforma se o valor atribuído a ela for maior ou igual ao valor da probabilidade citada acima.

Para esse trabalho as simulações foram feitas com matriz em três dimensões implementada por Rios e Pereira[6]. Foram realizadas simulações com matrizes diferentes, que serão especificadas adiante.

Além desses dados, a nucleação ocorreu por saturação de sítios, núcleos distribuídos aleatoriamente e p variando de 0,3 a 0,6.

Algumas suposições são adotadas para o desenvolvimento do código computacional: 1 – O potencial termodinâmico da estrutura é constante durante a reação (não ocorre recuperação);