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MODELAGEM E SIMULAÇÃO DO FENÔMENO DE
ENDURECIMENTO
POR PRECIPITAÇÃO EM BARRAS DE
ALUMÍNIO
Abstract
The present work is concerned with the modeling of the coupling between the aging hardening phenomenon and the elasto-plastic behavior in aluminium bars. Such a microstructural process, caused by the diffusion of precipitates in the solid matrix, has a very strong influence on the yield stress, affecting the hardening behavior. The plastic deformation,on the other side,affects thevelocityof precipitation (aging).The coupling between these phenomena is described through a constitutive theoryinwhich an additional variable, related with the parcel of the isotropic hardening caused by aging, is introduced. To check the potentiality of the proposed theory, examples concerning 2024 aluminium bars are presented and analyzed.,showing a good agreement between experiments and model prevision. .
Keywords
Elasto-plasticity,aluminium-copper alloys, age hardening,precipitation hardening
1.INTRODUÇÃO
Segundo Krempl (1979) o envelhecimento pode ser definido como a modificação da
microestrutura de um material tal que, um mesmo carregamento aplicado no mesmo ambiente
mas em diferentes instantes resulte em respostas mecânicas diferentes.
No caso de algumas ligas de alumínio, o endurecimento causado pela difusão de
precipitados na matriz sólida pode ser considerado como uma forma de envelhecimento. Neste
trabalho, apresenta-se um modelo para o fenômeno de endurecimento por precipitação em
barras. de alumínio. Nele são desenvolvidas equações constitutivas elasto-plásticas para ligas metálicas que envelhecem devido à difusão de precipitados na rede cristalina. Este tipo de fenômeno pode ser causado por diferentes fatores como, por exemplo, a ação de algum tipo de radiação ou devido a algum tratamento térmico.
Tradicionalmente, o envelhecimento tem sido tratado de forma muito simplificada,
adaptando-se equações constitutivas para a elastoplasticidade apenas considerando
empiricamente as constantes mecânicas como função do tempo. Isto não permite uma
modelagem perfeita, uma vez que o acoplamento entre os diversos mecanismos atuantes
.., MODELAGEM E SIMULAÇÃO DO FENÔMENO DE ...
estas limitações foi dado em Costa Mattos e Marquis (1988, 1989). No entanto, apenas
simulações com comportamento elasto-viscoplástico, pouco realistas no caso de ligas de
alumínio a temperatura ambiente, foram realizadas.
Os mecanismos de precipitação sólida em algumas ligas metálicas podem ser ativados pela ação de algum tipo de radiação ou através de uma têmpera rápida. Estudos realizados em
barras constituídas por uma liga alumínio-cobre 2024, submetidas a tratamento térmico de
dissolução seguido de têmpera em água (Marquis, 1987), mostram uma difusão do cobre, sob
diferentes formas, na matriz de alumínio. A formação de precipitados (zonas de
Guinier-Preston) resultantes dessa difusão têm forte influência no comportamento macroscópico. Esta
alteração da estrutura cristalina causa um endurecimento do material sem afetar suas
propriedades elásticas (módulo de Young e coeficiente de Poisson). Este endurecimento afeta
o comportamento plástico da barra e a plastificação, por sua vez, influencia a cinética de
transformação, acelerando ou retardando a precipitação. Portanto, diferentes curvas tensão
-deformação podem ser obtidas dependendo do instante inicial do teste de tração. Diferentes velocidades de envelhecimento serão obtidas dependendo da história da deformação plástica. 2. MODELO SEM ENVELHECIMENTO
Inicialmente será apresentado, sem detalhes, um conjunto de equações constitutivas
que descrevem adequadamente o comportamento elasto-plástico de ligas metálicas a
temperatura ambiente. Seja uma barra de comprimento L e seção transversal A com
a
=
F / Ae E
=
&/
L. As equações a seguir foram propostas por Marquis (1978) e estão discutidas, emdetalhes em Lemaitre e Chaboche (1992).
(1) (2.a) (2.b) (2.c) p";2O,
f
=
I
a - Xl-
Y::;
O,
p
f
=
O (2.d) {1se
a
-
x
";2 OS
=
'
g -1,
se a
-x::
;
O (2.e) ( )('1p)onde <p(p)=<Poo
+
1- <Poo ,com, E, a, <P00' 11, VI, V2,a
y sendo constantescaracterísticas do material e Sgcaracteriza se o carregamento é trativo ou compressivo. Para a
liga de alumínio considerada neste trabalho tem-se:
E = 72.5 GPa a=140.4 GPa VI = 40.5 MPa V2= 5
MODELAGEM E SIMULAÇÃO DO FENÔMENO DE ...
O"y=76MPa 11 =12 <1'00 =0.81
As técnicas para identificação destas constantes podem ser encontradas em Lemaitre e
Chaboche (1992). A equação (1) é a tradicional relação tensão-deformação elástica e as
equações (2) são chamadas de lei de evolução. Ep é a deformação plástica, p é a deformação
plástica acumulada, X e Y são chamados, respectivamente, de endurecimento cinemático e de
endurecimento isotrópico e são definidos da seguinte maneira: Sejam
0":
e O"~,a cada instante,respectivamente os limites de elasticidade a tração e a compressão (ambos considerados
positivos) da barra. O endurecimento cinemático X corresponde a coordenada central da
região elástica EL(t) definida como o conjunto das tensões O"tais que -O"~(t) < O"< O":(t). O
endurecimento isotrópico Y num dado instante t, corresponde a metade do tamanho da região EL(t) • at _ aO X=_e __ e 2 (3.a) d+ac y=_e __ e 2 (3.b)
Na ausência de plastificação (EP
=
P=
O) tem-se que X =°
e Y = O"y.O
processo deplastificação altera o endurecimento, causando um aumento da região elástica (aumento de Y)
e induzindo uma anisotropia (variação de X correspondendo a translação da região elástica).
3. INFLUÊNCIA DO ENVELHECIMENTO NAS VARIÁVEIS X e Y
Testes foram realizados em barras de alumínio constituídas de uma liga de alumínio
com a seguinte composição química percentual (Costa Mattos, 1988).
Tabela 1: Composição química percentual
Fe Si Cu Mg Mn Zn Cr
0,25 0,49 4,07 0,72 0,60 0,07 0,04
e submetidas ao seguinte tratamento térmico - aquecimento de uma hora à 500°C seguido de
uma têmpera em água. A precipitação, principalmente de Al-Cu, sob a forma de zonas de
Guinier Preston, causa um endurecimento do material. Observa-se que o endurecimento
isotrópico Y é bastante afetado, evoluindo do valor de 76 MPa logo após a têmpera até o valor
limite de 210 MPa em 48 horas. O endurecimento cinemático X, entretanto, não é
praticamente afetado. Como existe uma contribuição Yp para a variável Y devida a
plastificação (endurecimento isotrópico induzido pela plastificação) e uma contribuição YE
devida ao envelhecimento (endurecimento isotrópico devido a precipitação sólida), Y pode ser
escrito na forma:
(4. a) (4.b)
MODELAGEM E SIMULAÇÃO DO FENÔMENO DE ...
A expressão (4.b) para Ypé obtida resolvendo-se analiticamente a equação (2.c). Resta
definir uma lei de evolução para YE. Caso não haja evolução no tempo da deformação plástica,
não haverá evolução da parcela Yp . Quando a barra é submetida a uma deformação plástica
rápida logo após a têmpera, e definindo-se este instante como o instante t = O, a evolução da
parcela YE é afetada (tanto na sua velocidade bem como no seu valor limite ou de saturação,
que é sempre mais baixo, ver a figura 1). O valor máximo possível de YE (valor de saturação
obtido num processo de envelhecimento sem nenhuma deformação plástica presente) será
notado c.
Figura 1-Evolução de Ye para diferentes valores da deformação plástica inicial.
Curva 1:
e
P (t =0) = OCurva 2:eP (t =0) = 0.05
Curva 3:eP (t =0) = 0.1
Para se propor uma lei de evolução para a variável YEem função das demais variáveis
do problema , é conveniente fazer uma mudança de variáveis introduzindo-se uma variável
auxiliar (e) tal que O ~ e ~ 1 e definida da seguinte forma:
(4.c)
O endurecimento assim como a plastificação causam um aumento no valor de Y,
afetando, consequentemente, o tamanho a região elástica .
MODELAGEM E SIMULAÇÃO DO FENÔMENO DE ...
Este trabalho restringe-se aos casos de ensaios de tração monótonos. Nestes casos, a deformação plástica acumulada p coincide com a deformação plástica
e" (e"
= p, \j t). Para simplificar a notação, será usado o símbolo p no lugar dee"
,
Baseado em observações experimentais propõe-se a seguinte lei de evolução para e :
e(t=O)=O com (5. a)
v
F(P)=
-
(
-
)
e
oo p (5.b) eoo =A+(1-A)exp (-kp) (5.c)Na equação (5.a) usou-se a seguinte notação: (x)
=
max{O,x}. Para o uso da lei de evolução (5.a), é necessário identificar as constantes V, A e k ..No instante inicial t=O, tem-se p=po e, de (5.a) segue que
(6)
então V é a derivada da variável (e) no instante inicial.
Para um dado valor inicial
Pe
da deformação plástica e supondo-se que ela não evolui no tempo (p=
O, \j t), a equação (5.a) se reduz ae(t = 0)
=
O
(7)Cuja solução analítica é:
(8)
eoo(po) é o valor de saturação de (e) para uma deformação plástica inicial
Pe
.
Isto é, a variável (e) aumenta até atingir o valor de saturação e00(p o)
quandoe
= O.As constantes A e k na equação (5.c) podem ser identificadas medindo-se o valor de saturação de (e) em ensaios de envelhecimento com diferentes deformações plásticas iniciais (ver a figura 2)
(9)
MODELAGEM E SIMULAÇÃO DO FENÔMENO DE ... de<X) -=-(l-A)K dp (10) 0.8 0.9 0.7 0.6 A 0.5 -
-=..':":'
..':":'
..-:-:
..'":":
..".,-.,....,
---~
0.4 0.3 0.2 0.1 0~----~---4---+---~---4---+---~----~1 O 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4p
Figura 2- Variação de e; em relação ao aumento de plasticidade
4. COMPARAÇÃO DO MODELO COM ENSAIOS EXPERIMENTAIS
Foram realizados ensaios em barras de alumínio- cobre 2024 (Marquis, 1987).
As figuras a seguir mostram a comparação entre curvas experimentais e analíticas, utilizando as equações do modelo para um intervalo de 8 horas.
A figura 3 apresenta o caso quando a barra sofre uma deformação pláastica inicial de 0.05. A figura 4 apresenta o caso quando a deformação plástica inicial é de 0.01. A curva contínua representa a predição do modelo e os pontos representam o resultado experimental.
Foram considerados os seguintes valores para as constantes utilizadas no modelo:
A=0.5
V
=O
260h-l
K=30 c= 130Mpa5. CONCLUSÃO
Foi apresentado um modelo macroscopico para descrever o acoplamento entre o endurecimento por precipitação (envelhecimento) e a plastificação em barras de alumínio. Ele descreve adequadamente o efeito de uma deformação plástica inicial na cinética de
transformação. O resultado da comparação do modelo com experimentos é bastante
satisfatório, mostrando que, quanto maior a deformação plástica inicial, maior será o valor da parcela Yp e menor o valor da parcela YE devida ao envelhecimento. Consequentemente o valor de saturação da variável (e), que está associada com a densidade máxima de precipitados na matriz sólida, também será menor.
MODELAGEM ESIMULAÇÃO DO FENÔMENO DE ... 0.6
•
e 0.5 004 0.3 0.2 0.1 7 T(H)Figura 3- Evolução de e para uma defo
r
mação inicial
p=O.05.0.6
•
•
e
0.5 004 0.3 2 3 4 5 6 7 8T(H)
Figura 4- Evolução de e para uma deformação inicial
p=O. 1MODELAGEM E SIMULAÇÃO DO FENÔMENO DE ...
6. BmLIOGRAFIA
COSTA MATTOS, H,
Uma
Contribuição
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Tese de Doutorado, Dept" de Engenharia Mecânica, Puc-Rio, agosto de 1988.KREMPL E.,
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MARQUIS, D., COSTA MATTOS, H,
