UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO DEPARTAMENTO DE PESQUISA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO DEPARTAMENTO DE PESQUISA

PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA - PIBIC CNPq

RELATÓRIO TÉCNICO-CIENTÍFICO Período: janeiro de 2015 a junho de 2015

( ) PARCIAL (X) FINAL

IDENTIFICAÇÃO DO PROJETO

Título do projeto de pesquisa (ao qual está vinculado o plano de trabalho): QUANTIZAÇÃO DE CAMPOS EM ESPAÇOS-TEMPOS CURVOS E MODELOS ANÁLOGOS.

Nome do Orientador: LUÍS CARLOS BASSALO CRISPINO Titulação do Orientador: DOUTOR

Faculdade: FÍSICA Unidade: ICEN

Laboratório: FÍSICA-PESQUISA

Título do Plano de Trabalho: RELATIVIDADE GERAL E APLICAÇÕES Nome do Bolsista: IVANILDO DE CARVALHO GOMES JUNIOR Tipo de Bolsa:

(X)PIBIC/CNPq ( )PIBIC/UFPa

Resumo do relatório anterior

O relatório anterior foi acompanhado de uma monografia intitulada Relatividade Especial e Eletromagnetismo, no qual tratava sobre a interdependência dos campos elétrico e magnético, suas transformações cinemáticas e sobre a invariância das equações de Maxwell.

Introdução

As leis da Mecânica de Newton e do Eletromagnetismo de Maxwell são incompatíveis, já que a Mecânica de Newton é invariante sob transformações de Galileu e o Eletromagnetismo de Maxwell não é invariante sob estas transformações. Esta incompatibilidade foi resolvida com a formulação de novas transformações de coordenadas, conhecidas como transformações de Lorentz, que deixam tanto a Mecânica (modificada) quanto o Eletromagnetismo de Maxwell invariantes.

Em 1905, foi o físico Albert Einstein que resolveu este problema de incompatibilidade, em seu artigo intitulado “Sobre a Eletrodinâmica dos Corpos em Movimento", onde enunciou seus dois postulados: (i) as leis da Física são as mesmas em todos os sistemas inerciais, i.e., não existe um sistema inercial preferencial (Princípio da Relatividade); (ii) a velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor em todos os sistemas inerciais (Princípio da Constância da Velocidade da Luz).

Em 1908, Hermann Minkowski introduziu uma nova definição de espaço e de tempo, passando estes a ser representados conjuntamente por um tempo com quatro dimensões, o espaço-tempo de Minkowski.

Em 1915, Einstein publicou a Teoria da Relatividade Geral, sendo uma teoria geométrica, ca-paz de descrever diversos fenômenos da natureza. A Teoria da Relatividade Geral estendeu a noção de espaço-tempo, introduzida por Minkowski, explicando diversos fenômenos gravitacionais. A gravitação passou a ser interpretada como resultante da curvatura deste espaço-tempo devido à pre-sença de matéria e energia. As equações de Einstein foram usadas para explicar fenômenos, como, por exemplo, o avanço do periélio de Mercúrio (a gravitação newtoniana explicava os 5700"de arco por século de avanço do periélio de Mercúrio por meio de cálculos perturbativos, i.e., levando em conta a órbita de outros planetas, mas faltava ainda explicar uma discrepância de 43"de arco por século, que só foram explicados corretamente com o advento da Teoria da Relatividade Geral).

Justificativa

A Teoria da Relatividade Geral foi, desde a época de sua publicação, de extrema importância na compreensão de diversos fenômenos da natureza, dentre os quais podemos citar a precessão do periélio do planeta Mercúrio, o encurvamento da trajetória da luz ao passar próxima de obje-tos massivos, o efeito de arrasto de referenciais, a predição teórica dos buracos negros e as ondas gravitacionais. O encurvamento da trajetória da luz foi o primeiro dentre estes fenômenos a com-provar experimentalmente a Teoria da Relatividade Geral através de observações do Sol durante eclipses totais.

Com o objetivo de descrever fenômenos quânticos na presença de campos gravitacionais, surge a Teoria Quântica de Campos em Espaços-Tempos Curvos (TQCEC). A TQCEC é um teoria efe-tiva para baixas energias que descreve o comportamento de campos quânticos, tendo como pano de fundo um espaço-tempo curvo descrito pela Relatividade Geral. Podemos citar alguns fenômenos importantes associados à TQCEC como a emissão de radiação por Buracos Negros (efeito Haw-king), a presença de um banho térmico de partículas vistas por um observador acelerado (efeito Fulling-Davies-Unruh) e, por fim, a criação de partículas devido à expansão do universo. Por-tanto, torna-se de grande importância o estudo da Teoria da Relatividade durante este período de iniciação científica, tendo em vista o objetivo proposto.

Objetivos

Entre os objetivos básicos, destacamos um de caráter geral e outro de caráter específico. O de caráter geral, refere-se ao objetivo primeiro de qualquer projeto de Iniciação Científica, qual seja, a formação geral do discente, introduzindo-o não somente ao método científico de trabalho, mas também consolidando conceitos de física básica e avançada.

O objetivo específico deste plano é o estudo da Relatividade Einsteiniana e o desenvolvimento de algumas aplicações desta teoria. Portanto, é necessário o estudo inicial das teorias da relati-vidade de Einstein. Nesta etapa do projeto de Iniciação Científica em questão pretende-se que o bolsista estude as Teorias da Relatividade Especial e Geral de Einstein.

Neste relatório, a monografia que o acompanha trata sobre as ferramentas matemáticas básicas para o estudo da Relatividade Geral.

Materiais e Métodos

A metodologia proposta para o período deste relatório tem base no estudo de livros-textos sobre a Teoria da Relatividade Geral. Além do estudo dos livros, toda a organização do grupo colabora com o entendimento do conteúdo, através de reuniões semanais, onde os membros deste grupo apresentam seminários sobre o conteúdo dos livros indicados ou de artigos relacionados, sendo possível assimilar grande quantidade de informação, estimulando as discussões e reflexões com o orientador e demais membros do grupo, que oferecem grande auxílio na compreensão do conteúdo em abordado.

Destaca-se também a ajuda que o estudante de iniciação científica recebeu por parte do aluno de doutorado Luiz Carlos dos Santos Leite, também orientado pelo Prof. Dr. Luís Carlos Bassalo Crispino.

Resultados

Neste período de iniciação científica, o principal resultado obtido foi a compreensão das fer-ramentas matemáticas fundamentais para os estudos sobre a Teoria da Relatividade Geral. Este complemento permitiu a elaboração da monografia que acompanha este relatório, que trata sobre a álgebra necessária para os estudos da geometria não euclidiana com exemplos de aplicações.

Atividades a serem desenvolvidas nos próximos meses

Nos próximos meses, iremos aprofundar os estudos sobre a Teoria da Relatividade Geral. Isto inclui entender como são deduzidas as equações da Relatividade para referenciais não inerciais, entendermos o encurvamento do espaço-tempo devido à presença de matéria e energia e encon-trarmos soluções para as métricas que descrevem o espaço-tempo ao redor de buracos negros, como é o caso da métrica de Schwarzschild, por exemplo.

Dificuldades

As dificuldades presentes neste período de iniciação científica ocorreram durante a tentativa de interpretar alguns conceitos matemáticos e na resolução de alguns exercícios. No entanto, estas dificuldades foram resolvidas com a ajuda do orientador, dos companheiros de iniciação científica e demais companheiros do grupo, em particular o doutorando Luiz Carlos dos Santos Leites, também orientado pelo Prof. Dr. Luís Carlos Bassalo Crispino, além disto, parte das dificuldades foi eliminada com o aprofundando no conteúdo, de modo a obter maior compreensão das definições matemáticas.

Conclusão

Durante este período de iniciação científica, as tarefas realizadas contribuíram bastante para a formação do aluno. O estudo dos livros-textos e a resolução de seus problemas ajudaram a consolidar uma base matemática e teórica imprescindível para as próximas etapas desta iniciação científica.

A monografia que acompanha este relatório destaca-se como exemplo das atividades realiza-das. Para tratar sobre as ferramentas matemáticas que servem de base à Relatividade Geral, o estudante precisou familiarizar-se com a álgebra estudada, uma vez que, o entendimento dos con-ceitos matemáticos exigiu certo raciocínio lógico para que o estudante compreendesse o assunto.

Referências Bibliográficas

[1] MOORE, T. A. A General Relativity Workbook (California, 2010).

[2] WALECKA, J. D. Introduction to General Relativity (World Scientific, Singapore, 2007). [3] ROBSON, M. P.; EFSTATHLOU, G.; LASEMBY, A. N. General Relativity, an introduction

of physicists(Cambridge University Press, New York, 2006).

[4] D’INVERNO, R. Introducing Einstein’s Relativity (Clarendon Press, Oxford, 1992). [5] RESNICK, R. Introdução à Relatividade Especial (EDUSP/Polígono, São Paulo, 1971). [6] LANDAU, L.; LIFCHITZ, E. Teoria do Campo (Hemus Livraria Editora Ltda, São Paulo, ca.

1980).

[7] VERSIGNASSI, A. et al. Por dentro da mente de 29 gênios (Super Interesante, Abril, São Paulo, 2012).

Parecer do orientador

Esta etapa do projeto de iniciação científica do aluno Ivanildo de Carvalho Gomes Junior foi desen-volvida a contento. O bolsista continua com certa dificuldade em realizar algumas das atividades propostas no tempo estabelecido, devido principalmente ao seu envolvimento com as atividades do curso de graduação. A monografia, ao final deste relatório, mostra parte dos assuntos estuda-dos pelo bolsista. Embora esta monografia pudesse ser melhorada, a mesma denota que o bolsista dedicou-se à iniciação científica.

DATA: 10/08/2015

LUÍS CARLOS BASSALO CRISPINO

UNIVERSIDADEFEDERAL DOPARÁ

INSTITUTO DE CIÊNCIASEXATAS ENATURAIS

FACULDADE DE FÍSICA

MONOGRAFIA

Introdução ao Formalismo Matemático da

Relatividade Geral

Aluno: Ivanildo de Carvalho Gomes Junior

Sumário

1 Introdução 10

2 Tensores 11

2.1 Coordenadas generalizadas . . . 11 2.2 Equações tensoriais . . . 15

3 Formalismo da Mecânica Lagrangeana 18

3.1 Equação de Euler-Lagrange . . . 18 3.2 Equação da geodésica . . . 21

4 Aplicações da equação da geodésica 26

4.1 Menor distância entre dois pontos numa superfície plana . . . 26 4.2 Movimento sobre uma superfície esférica . . . 27

Capítulo 1

Introdução

A Teoria Geral da Relatividade foi construída a partir de uma série de artigos, de autoria do físico Albert Einstein, publicada por volta de 1915 [1]. Dentre as diversas previsões da Teoria da Relatividade Geral, destacamos a demonstração de que a variação do tempo ocorre mais len-tamente em regiões de potencial gravitacional mais alto, o encurvamento da trajetória da luz nas proximidades de um campo gravitacional intenso etc. Além disso, Einstein ainda constatou que poderia provar sua teoria registrando o aparente deslocamento das estrelas fixas que se posicio-nam nas proximidades do Sol [1]. Grande parte destes fenômenos, em Relatividade Geral, ocorre devido ao encurvamento do espaço-tempo na presença de matéria.

Considerando o encurvamento de trajetórias livres, iremos abordar ao longo desta monografia uma das formas de relacionar dinâmica e geometria. Primeiramente, iremos demonstrar algumas propriedades fundamentais do formalismo matemático necessário para tal, a notação indicial e a álgebra tensorial. Com isto, através da Mecânica de Lagrange, iremos deduzir a equação que descreve uma linha geodésica, i.e., a equação que descreve a extrema distância entre dois pontos sobre uma superfície arbitrária. Desta forma, aplicaremos a equação da geodésica para algumas situações.

Capítulo 2

Tensores

2.1

Coordenadas generalizadas

A notação indicial, utilizada na Relatividade Geral, que descreve as coordenadas generaliza-das, ou arbitrárias, de uma determinada variedade, é uma forma mais elegante e flexível para se manipular matrizes e vetores. Principalmente pelo fato de que, em Relatividade Geral, deve-se trabalhar constantemente com vetores quadridimensionais, assim como com matrizes quadradas de quarta ordem.

Em geral, uma variedade é qualquer conjunto − neste caso, refere-se a geometria do espaço − que pode ser parametrizado continuamente. O número de parâmetros independentes necessários para especificar qualquer ponto deste conjunto é unicamente a dimensão desta variedade, sendo estas suas coordenadas [2].

Uma variedade local trata-se de um espaço, com dimensões bem definidas, infinitesimal em comparação com outras variedades, onde funcionam as leis da geometria euclidiana e uma vari-edade global trata-se de um espaço onde as leis da geometria euclidiana não funcionam perfeita-mente, ou seja, trata-se de espaços, ou espaços-tempos, curvos.

Um vetor tridimensional, pode ser escrito da seguinte forma

~r = x_bx + yy + z_b z,_b (2.1)

se quisermos resumir sua notação, podemos deixar suas componentes subentendidas, resumindo-as em um somatório da seguinte forma

~ r = 3 X i=1 xi~ei, (2.2)

sendo xi a componente de comprimento generalizada do vetor ~r e ~ei o versor generalizado, que

indica a direção de uma determinada componente de comprimento deste vetor. Onde para i = 1, 2 e 3, temos as coordenadas x, y e z, respectivamente.

Como exemplo inicial, podemos citar a norma do espaço euclidiano. Em um sistema cartesi-ano, a norma da posição em um ponto P , é definida da seguinte forma

| ~rp|2 = ~rp· ~rp, (2.3)

em termos de coordenadas generalizadas, podemos escrever o produto escalar da seguinte forma

| ~rp|2 = 3 X i=1 xi~ei ! · 3 X j=1 xj~ej ! ∴ | ~rp|2 = 3 X i=1 3 X j=1 (~ei· ~ej)xixj. (2.4)

Por definição, sabemos que o produto escalar entre dois vetores unitário que estão perpendicu-lares é nulo e quando estiverem paralelos é igual a 1. Desta forma, quando i = j o resultado do produto entre ~ei· ~ej será 1, de outra forma, quando i 6= j o resultado será nulo. Sendo assim,

defi-nimos ~ei· ~ej como uma matriz gij, sendo gij o tensor métrico do espaço euclidiano, cuja principal

característica é dada pelo fato de ser uma matriz identidade. Portanto,

~

ei· ~ej ≡ gij. (2.5)

Deste modo, a expressão para a Eq. (2.4) toma a seguinte forma:

| ~rp|2 = 3 X i=1 3 X j=1 gijxixj. (2.6)

Podemos reescrever a Eq. (2.6) de forma mais compacta. Para isto, utilizamos a convenção do somatório de Einstein[3], que consiste em omitir o símbolo de somatório e interpretar os índices repetidos como uma soma destas componentes. Desta forma, temos

| ~rp|2 = gijxixj. (2.7)

Nota-se que o tensor métrico do espaço euclidiano gij tem as mesmas propriedades da Delta

de Kronecker δ_ij. Podemos então afirmar que, no espaço euclidiano em coordenadas cartesianas, temos: gij = δ j i =      1 0 0 0 1 0 0 0 1      . (2.8)

Outro exemplo é o tensor métrico de Riemann. Primeiramente, Geometria de Riemann, ou Riemanniana, é o ramo da geometria que estuda variedades com curvas suaves, estabelecendo uma métrica bem definida, diferenciável ao longo de suas curvas, sobre um espaço tangente que varia de ponto a ponto. As informações e interações locais, particulares de uma pequena região, podem muito bem contribuir com a busca por informações sobre grandezas globais.

Para a geometria pseudoriemanniana tem-se uma generalização do tensor métrico de Riemann, neste caso a assinatura da métrica não é positiva definida, como na geometria Riemanniana. Em um espaço quadridimensional, onde utilizamos este último conceito geométrico mencionado, nosso elemento de linha ds pode ser escrito de maneira compacta, da seguinte forma

ds2 = ηµνdxµdxν, (2.9)

onde ηµν representa o tensor métrico de Minkowski, definido como

ηµν ≡         −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1         . (2.10)

A Eq. (2.9) implica que, devido ao tensor métrico ser uma matriz quadrada de quarta ordem, deveríamos somar 16 termos. Porém, como a matriz (2.10) tem apenas os elementos da diagonal diferentes de zero, a Eq. (2.9) se reduz a

ds2 = ηttdt2+ ηxxdx2+ ηyydz2+ ηzzdz2 ∴

ds2 = −dt2+ dx2+ dz2 + dz2, (2.11) onde ηtt, ηxx, ηyy e ηzz representam, respectivamente, as componentes η11= −1, η22 = 2, η33= 1

e η44 = 1 da matriz (2.10).

Para conhecermos termos que serão úteis mais adiante, vamos tomar como exemplo a equação Pµ0 = Λµ_αP₁α+ Λµ_βP₂β. (2.12) Para cada termo da Eq. (2.12), o índice µ aparece somente uma vez. Isto implica que somos livres para lhe atribuirmos qualquer valor. Estes índices são denominados índices livres. Já os índices α e β, da mesma equação, aparecem duas vezes para cada termo. Isto implica que devemos expandi-los em uma soma, para cada parcela separadamente. Estes índices são chamados de índices mudos. Para transformarmos coordenadas u e w em novas coordenadas p(u, w) e q(u, w), por exemplo, precisamos fazer as seguintes transformações:

dp = ∂p ∂udu + ∂p ∂wdw (2.13) e dq = ∂q ∂udu + ∂q ∂wdw. (2.14)

De modo que podemos resumí-las a uma única expressão utilizando a notação indicial. Desta forma temos dxµ0 = ∂x µ0 ∂xν dx ν_, (2.15) de modo que as transformações inversas podem ser dadas por

dxµ = ∂x

µ

∂xν 0dx ν 0

. (2.16)

Onde os termos que representam as derivadas parciais das duas equações anteriores, se tratam exatamente da matriz Jacobiana para transformação de coordenadas.

O produto da matriz Jacobiana de transformação de coordenadas pela sua inversa, nos fornece a delta de Kronecker. Sendo esta uma propriedade importante. Desta forma

Se exigirmos que o elemento de linha ds2 seja invariante em forma, para qualquer que seja a transformação de coordenadas, implica que

ds2 = gµν0dxµ0dxν 0 = gαβdxαdxβ. (2.18)

Dadas as transformações de coordenadas, temos ds2 = gµν0 ∂xµ0 ∂xαdx α∂xν 0 ∂xβdx β ∴ ds2 = gµν0 ∂xµ0 ∂xα ∂xν 0 ∂xβdx α_dxβ_{. (2.19)}

Por igualdade polinomial com a Eq. (2.18), temos gµν0 =

∂xα ∂xµ0

∂xβ

∂xν 0gαβ, (2.20)

sendo esta a equação de transformação de coordenadas para a matriz métrica.

2.2

Equações tensoriais

As componentes contravariantes de um vetor, descrito por uma transformação de coordenadas, podem ser generalizadas da seguinte forma

Aµ0= ∂x

µ0

∂xν dA ν

. (2.21)

As componentes covariantes de um vetor são entidades matemáticas que se transformam da se-guinte forma

Bν0 =

∂xµ

∂xν 0dBµ. (2.22)

Colocar os índices na posição subscrita, em vez da posição sobrescrita, distingue componentes de vetores covariante de componentes de vetores comuns [3].

Podemos citar dois tipos importantes de quantidades que se transformam como vetores cova-riantes. O primeiro destes é gradiente de uma função escalar. O gradiente de uma dada função é definida como sendo

∂µΦ ≡

∂Φ

Esta entidade apresenta componentes em cada um dos valores do índice livre µ (assim como em um espaço quadridimensional, temos quatro componentes)[3]. Utilizando a regra da cadeia, as componentes do gradiente se transformam da seguinte forma

∂ν0Φ =

∂xµ

∂xν 0∂µΦ. (2.24)

A segunda entidade importante que se transforma como um vetor covariante é a quantidade que temos quando multiplicamos um vetor por tensor métrico e contraímos um dos índices. Por exemplo, temos

Aµ ≡ gµνAν. (2.25)

A ordem de um tensor é definida pela quantidade de índices n presentes nesta entidade ma-temática. A quantidade de componentes de um tensor é dado por Dn_{, onde D é a dimensão da}

geometria em questão. Como nossa geometria é quadridimensional, podemos dizer que D = 4. Desta forma, podemos dizer que, por exemplo, um tensor de ordem zero representa um escalar, pois não apresenta índices que impliquem na existência de componentes. Portanto, para organizar-mos esta ideia, segue a tabela abaixo:

Ordem Componentes Outro nome Símbolo Exemplos

0 40 _{= 1 Escalar Φ Massa m de uma partícula}

1 41 _{= 4 Vetor} A µ Aµ Quadrivetor posição qµ Quadrivetor momento pµ 2 42 _{= 16 Tensor} Tµν Tµ ν Tµν

Tensor métrica inversa gµν Tensor de Einstein Gµν

Delta de Kronecker δµ ν

Para casos mais gerais, um tensor segue a seguinte regra de transformação T_α...µν...0 = ∂x µ0 ∂xβ ∂xν 0 ∂xγ... ∂xσ ∂xα0...T βγ... σ... . (2.26)

A soma de tensores só é possível entre tensores de mesma ordem e que apresentem a mesma posição dos índices. O resultado desta soma é um tensor de mesma ordem, como ilustra a Eq. (2.27) abaixo:

O produto entre tensores é definido como o produto entre cada um dos possíveis pares de cada componente dos tensores em questão. Se o produto for entre dois tensores, por exemplo, de ordem n1e n2, o resultado será um tensor de orde n1+ n2, como ilustra a Eq. (2.28) abaixo:

AµBν = Mνµ. (2.28)

A contração entre índices superior e inferior, de um mesmo tensor, só é posível entre ten-sores de ordem maior ou iqual a dois, havendo uma soma (pois se trata de índices repetidos) entre índices superior e inferior. Se inicialmente a ordem do tensor é n, o resultado será um tensor de ordem n − 2, como ilustra a Eq. (2.29) abaixo:

B_µανα = Bµν. (2.29)

Para “levantar e baixar” índices basta utilizarmos o tensor métrico de forma conveniente para cada equação na qual se queira resolver. Desta forma, podemos multiplicar pelo tensor métrico nos dois lados da equação ou pelo seu inverso. Portanto, o exemplo que segue, de como “descer” e “baixar” índices, é dado pelas Eqs. (2.30) e (2.31) respectivamente:

gµαTαν = Tµν, (2.30)

gµαTαν = Tνµ. (2.31)

Sabemos que “subir” e “baixar” índices são apenas jargões científicos para as operações mais intrínsecas ao cálculo tensorial.

Capítulo 3

Formalismo da Mecânica Lagrangeana

3.1

Equação de Euler-Lagrange

O formalismo Lagrangeano da Mecânica é uma das ferramentas matemáticas necessárias, não sendo a única, para compreendermos a Teoria Geral da Relatividade. Para compreendermos este formalismo, primeiramente vamos considerar um sistema com apenas um grau de liberdade, i.e., um sistema unidimensional. Vamos considerar a trajetória de uma partícula descrita por uma função q dependente do tempo t.

Figura 3.1: Trajetória unidimensional de uma partícula descrita por um gráfico da posição q de-pendente de t, onde as condições de contorno são conhecidas.

Vamos supor que a trajetória de uma partícula seja descrita por uma curva suave. Supomos, também, que há condições de contorno conhecidas para o tempo inicial ti e para o tempo final

representa a posição inicial da partícula, e q(tf) = qf, que representa a posição final da mesma,

como ilustra a Fig. (3.1).

Antes de prosseguirmos, precisamos definir o conceito de Ação. Trata-se de um funcional, i.e., uma função que depende de outra(as) função(ões), onde a Ação S depende da posição q(t) e da velocidade ˙q(t) da partícula. Portanto, o funcional Ação será definido da seguinte forma:

S[q(t), ˙q(t)] ≡ Z tf

ti

L(q, ˙q)dt, (3.1)

onde L representa a função lagrangeana, que também se trata de um funcioanl.

Dada uma trajetória entre dois pontos, este funcional S nos dará determinado valor, de modo que para outras trajetórias iremos obter outros valores. Portanto, para condições de contorno espe-cíficas, existe somente um valor corresponde à trajetória física, real, da partícula.

O princípio de Hamilton nos afirma que a trajetória física de uma partícula corresponde a um extremo da ação [5]. Ou seja, se a trajetória de uma partícula não for conhecida, podemos conhecê-la fazendo uma variação do funcional Ação. Desta forma, para aqueconhecê-la trajetória cuja variação é nula, temos a trajetória real da partícula.

Para isto, vamos supor que q(t) corresponda a trajetória real da partícula. Vamos considerar uma trajetória genérica, próxima a trajetória física, com uma pequena variação em relação a esta, mas que tenha as mesmas condições de contorno. Portanto, esta segunda trajetória será dada por q(t) + δq(t). Devido a suposição de que as condições de contorno são as mesmas para a trajetória genérica, implica que δq(ti) = 0 e δq(tf) = 0, como ilustra a Fig. (3.2).

Figura 3.2: Imagem contendo a trajetória real da partícula descrita por q(t) e uma trajetória gené-rica descrita por q(t) + δq(t).

Calculemos esta variação entre as duas trajetórias no funcional ação. Desta forma, temos δS = Z tf ti L(q + δq, ˙q + δ ˙q)dt − Z tf ti L(q, ˙q)dt, (3.2)

onde a Eq. (3.2) pode ser escrita em termos de uma única integral da seguinte forma

δS = Z tf

ti

[L(q + δq, ˙q + δ ˙q)dt − L(q, ˙q)]dt. (3.3) Analisemos, primeiramente, o argumento desta integral, portanto

L(q + δq, ˙q + δ ˙q)dt − L(q, ˙q) = ∂L ∂qδq +

∂L

∂ ˙qδ ˙q, (3.4)

sabemos que ˙q representa a primeira derivada de q em relação a t, portanto podemos reescrever a Eq. (3.4) da seguinte forma

L(q + δq, ˙q + δ ˙q)dt − L(q, ˙q) = ∂L ∂qδq + ∂L ∂ ˙q d dtδq, (3.5)

analisando o último termo da Eq. (3.5), temos

d dt  ∂L ∂ ˙qδq  = d dt  ∂L ∂ ˙q  δq +∂L ∂ ˙q d dtδq ∴ ∂L ∂ ˙q d dtδq = d dt  ∂L ∂ ˙qδq  − d dt  ∂L ∂ ˙q  δq, (3.6)

substituindo a Eq. (3.6) na Eq. (3.4), temos

L(q + δq, ˙q + δ ˙q)dt − L(q, ˙q) = ∂L ∂qδq + d dt  ∂L ∂ ˙qδq  − d dt  ∂L ∂ ˙q  δq. (3.7)

Voltando para a variação da Ação, iremos substituir a Eq. (3.7) na Eq. (3.3). Temos

δS = Z tf ti  ∂L ∂qδq + d dt  ∂L ∂ ˙qδq  − d dt  ∂L ∂ ˙q  δq  dt ∴ δS = Z tf ti  ∂L ∂q − d dt ∂L ∂ ˙q  δqdt + ∂L ∂ ˙qδq tf ti . (3.8)

δS = Z tf ti  ∂L ∂q − d dt ∂L ∂ ˙q  δqdt. (3.9)

O princípio de Hamilton nos diz que a variação da Ação δS deve ser igual a zero para obtermos a trajetória real da partícula. A única possibilidade da Eq. (3.9) ser igual a zero será se, e somente se, o integrando desta equação for igual a zero, pois δq é arbitrário. Portanto deve ser satisfeita a seguinte equação diferencial

∂L ∂q − d dt ∂L ∂ ˙q = 0, (3.10)

onde a Eq. (3.10) é conhecida como Equação de Euler-Lagrange. É evidente que a análise acima pode ser trivialmente estendida a um número arbitrário de variáveis. Na mecânica clássica, isto conduz a formulação do princípio de Hamilton para um sistema com um número arbitrário de graus de liberdade. A afirmativa do princípio é a mesma de antes. O resultado essencial é um conjunto de equações diferenciais acopladas [4]

∂L ∂qi − d dt ∂L ∂ ˙qi = 0. (3.11)

3.2

Equação da geodésica

Primeiramente, consideremos uma partícula localizada em um determinado instante de uma superfície bidimensional M , sendo esta superfície uma variedade com curvas suaves, como ilustra a Fig. (3.3). A posição desta partícula será descrita por um vetor ~r(t) e a velocidade da mesma será descrita pelo vetor ~v. Sendo este vetor velocidade definido como a derivada da posição ~r(t) em relação ao tempo t.

Vamos supor que as únicas forças que atuam sobre esta partícula são as forças de vínculo que a mantem sobre a superfície. Portanto, nossa lagrangeana contem somente um termo de energia cinética, desta forma

l = 1 2mv

2_{, (3.12)}

onde a velocidade ao quadrado representa o produto escalar de v por ele mesmo, podendo ser compreendida como

Figura 3.3: Localização dada pelo vetor ~r da partícula p sobre uma superfície bidimensional M .

v2 = d~r dt ·

d~r

dt. (3.13)

Podemos dizer que esta partícula encontra-se em um ponto P sobre a superfície M . Vamos supor que esta superfície M seja suave o suficiente para que, em cada ponto desta superfície, seja possível adicional uma superfície plana e tangente. Ao plano tangente ao ponto P , onde podemos chamá-lo de T , como ilustra a Fig. (3.4), vamos definir vetores de base ~e1e ~e2, não necessariamente

unitários ou ortogonais.

O deslocamento infinitesimal desta partícula, sobre o plano T , pode ser descrito como uma combinação linear destes vetores de base. Neste caso, os coeficientes desta combinação linear são os deslocamentos infinitesimais ao longo das coordenadas generalizadas dq1 e dq2. Desta forma, temos

d~r = ~e1dq1+ ~e2dq2, (3.14)

portanto, sua velocidade será definida como

~v = d~r dt ∴ = ~e1 dq1 dt + ~e2 dq2 dt ∴ = ~e1q˙1+ ~e2q˙2,

Figura 3.4: Ilustração do plano T tangente ao ponto p localizado sobre a superfície bidimensional M . Os vetores de base ~e1 e ~e2 pertencem ao plano T , que servem para descrever o deslocamento

infinitesimal sobre este plano.

~v = ~eiq˙i. (3.15)

Desta forma, o produto escalar do vetor velocidade v por ele mesmo, será definido como

v2 _{= ~v · ~v ∴}

= (~eiq˙i) · (~ejq˙j) ∴

= (~ei· ~ej) ˙qiq˙j,

onde o resultado do produto escalar (~ei·~ej) resulta no escalar que representa o elemento da métrica

gij, portanto

v2 = gijq˙iq˙j. (3.16)

A lagrangeana (3.12) pode ser escrita da seguinte forma

l = 1 2mgijq˙

i_q˙j_{. (3.17)}

Portanto, substituindo nossa lagrangeana (3.17) na Eq. (3.11), temos ∂ ∂qi  1 2mgkjq˙ k ˙ qj  − d dt ∂ ∂ ˙qi  1 2mgkjq˙ k ˙ qj  = 0, (3.18)

neste caso, os índices i da Eq. (3.17) foram substituídos por k, para não serem confundidos com os índices da Eq. (3.11). Resolvendo o primeiro termo da Eq. (3.18), temos

∂ ∂qi  1 2mgkjq˙ k ˙ qj  = 1 2m ∂gkj ∂qi q˙ k ˙ qj, (3.19)

resolvendo, agora, o segundo termo da Eq. (3.18), temos d dt ∂ ∂ ˙qi  1 2mgkjq˙ k_q˙j  = d dt  1 2m ∂ ∂ ˙qi gkjq˙ k_q˙j
 ∴ = d dt  1 2m gijq˙ j_{+ ˙q}k_g ki
 ,

podemos observar que k é um índice mudo, portanto pode ser substituido por qualquer outro índice. Por conveniência, vamos trocar k por j, resultando em

d dt ∂ ∂ ˙qi  1 2mgkjq˙ k_q˙j  = d dt mgijq˙ j
_{. (3.20)}

Antes de resolvermos a Eq. (3.20), notemos que o elemento de métrica gkj depende das

coor-denadas e vamos supor que esta não depende explicitamente do tempo. Portanto, devemos levar em consideração somente a dependência implícita do elemento de métrica com o tempo. Desta forma, podemos reescrever a Eq. (3.20) da seguinte forma

d dt ∂ ∂ ˙qi  1 2mgkjq˙ k_q˙j  = mdgij dt q˙ j _{+ mg} ijq¨j ∴ = m∂gij ∂qk dqk dt q˙ j _{+ mg} ijq¨j,

desta forma, temos

d dt ∂ ∂ ˙qi  1 2mgkjq˙ k ˙ qj  = m∂gij ∂qkq˙ k ˙ qj + mgijq¨j. (3.21)

Substituindo as partes (3.19) e (3.21) na Eq. (3.18), temos

m∂gij ∂qkq˙ k ˙ qj + mgijq¨j− 1 2m ∂gkj ∂qi q˙ k ˙ qi = 0, (3.22)

gij,kq˙kq˙j −

1 2gkj,iq˙

k_q˙i_{+ g}

ijq¨j = 0, (3.23)

podemos ainda, reescrever o primeiro termo da Eq. (3.23) da seguinte forma 1

2(gij,k+ gik,j) ˙q

k_q˙j_,

(3.24) isto porque os índice k e j são índices mudos. Portanto, rescrevendo a Eq. (3.23) utilizando a expressão (3.24), temos

1 2q˙

k_q˙j_(g

ij,k+ gik,j− gkj,i) + gijq¨j = 0. (3.25)

No exemplo desta seção, estamos tratando de um movimento sobre uma superfície, portanto o índice i pode tomar somente dois valores. Portanto, temos um conjunto de duas equações diferen-ciais de segunda ordem acopladas não lineares cujos coeficientes envolvem a métrica e derivadas parciais da métrica [5].

Vamos definir as componentes gij, com índices em cima, como sendo as componentes da matriz inversa de gij. Como i representa o índice livre, iremos multiplicar toda a da Eq. (3.25) por gmi,

criando assim uma expressão com índice livre superior. O produto entre gmi e gij ira resultar na

delta de Kronecker δm_j . Desta forma

gmigijq¨j + gmi

1 2q˙

k_q˙j_(g

ij,k+ gik,j− gkj,i) = 0,

¨ qm+1

2g

mi

(gij,k+ gik,j− gkj,i) ˙qkq˙j = 0, (3.26)

Conhecemos o termo 1₂gmi(gij,k+ gik,j− gkj,i), da equação anterior, como conexão afim ou,

em livros textos mais antigos, como símbolo de Christoffel [2]. Portanto, a Eq. (3.27) pode ser reescrita da seguinte maneira

¨

qm+ Γm_kjq˙kq˙j = 0, (3.27) Sendo esta, a expressão que descreve uma linha geodésica, i.e., a equação que descreve a menor distância entre dois pontos (que serve também para descrever o movimento de uma partícula livre) em uma determinada superfície com N graus de liberdade.

Capítulo 4

Aplicações da equação da geodésica

4.1

Menor distância entre dois pontos numa superfície plana

O espaço em questão, neste exemplo, se trata de uma variedade não curva. Iremos abordar a distância entre dois pontos sobre uma métrica pseudoriemanniana. Para isto, usaremos a métrica do espaço de Minkowski, sendo sua componente representada por ηµν. Portanto, utilizando a Eq.

(3.27) temos ¨ qm+ Γm_kjq˙kq˙j _{= 0 ∴} ¨ qm+ 1 2η mi_(η

ij,k+ ηik,j− ηkj,i) ˙qkq˙j = 0. (4.1)

Sabemos que a assinatura da métrica pseudoriemanniana é dada pela matriz (2.10). As deriva-das desta métrica em relação a qk, qj e qi devem ser nulas, por se tratar de uma matriz diagonal de valores constantes. Portanto, da Eq. (4.1) resta apenas

¨

qm = 0, (4.2)

resolvendo esta equação diferencial homogênea de segunda ordem, temos d2qm dt2 = 0 ∴ dqm dt = a ∴ qm = Z adt ∴ qm = at + b. (4.3)

4.2

Movimento sobre uma superfície esférica

Vamos aplicar o formalismo da equação que descreve uma geodésica sobre o movimento de uma partícula em uma superfície esférica. Primeiramente, precisamos encontrar a assinatura da métrica correspondente a uma superfície esférica. Para isto, vamos analisar a Fig. (4.1).

Figura 4.1: Ilustração do plano cartesiano e suas componentes de descrição de um ponto p em coordenadas esféricas.

Através das coordenadas esféricas, podemos compreender que r = R é a distância da origem até o ponto p, sendo R uma constante; θ é o ângulo entre o eixo z e o raio R e φ é o ângulo que a projeção de R no plano xy faz com o eixo x. Portanto, concluímos que

x = R sin θ cos φ, y = R sin θ sin φ, z = R cos θ.

(4.4)

Desta forma, qualquer ponto sobre esta superfície esférica de raio R pode ser descrita por x2+ y2+ z2 = R2. Estes pontos poderão ser especificados por um vetor posição ~S, portanto

~

S = (x, y, z) ∴ ~

S = (R sin θ cos φ, R sin θ sin φ, R cos θ) ∴ ~

Os vetores de base associados a estas coordenadas podem ser obtidos da seguinte forma ~eθ =

∂~s ∂θ ∴

~eθ = R(cos θ cos φ, cos θ sin φ, − sin θ) (4.6)

e

~eφ =

∂~s ∂φ ∴

~eφ= R(− sin θ sin φ, sin θ cos φ, 0), (4.7)

ilustramos as componentes dos vetores de base ~eθ e ~eφna Fig. (4.2).

Figura 4.2: Ilustração dos vetores de base ~eθe ~eφ.

Uma componente qualquer de um vetor pertencente ao espaço tangente desta superfície esfé-rica, pode ser escrito por uma combinação linear destes dois vetores de basse. Notemos que estes dois vetores de base, ~eθe ~eφ, são perpendiculares entre si, portanto o produto escalar destes vetores

será nulo. Desta forma, podemos notar facilmente que ~eθ· ~eφ= 0. Portanto, em relação a métrica

desta superfície, temos

gθφ= gφθ = 0. (4.8)

Para a componente gθθ, temos

gθθ = R2 (4.9)

e para gφφ, temos

gφφ= ~eφ· ~eφ ∴

gφφ= R2(sin2θ sin2φ + sin2θ cos2φ) ∴

gφφ = R2sin2θ. (4.10)

A matriz métrica terá a seguinte forma

gµν =   gθθ gθφ gφθ gφφ  =   R2 0 0 R2_sin2_θ  . (4.11)

Portanto, nosso elemento de linha para uma superfície esférica será dado por dS2 _{= g}

µνdxµdxν ∴

dS2 = gθθdθ2+ gφφdφ2 ∴

dS2 = R2(dθ2+ sin2θdφ). (4.12)

Dessa forma, podemos determinar os valores dos símbolos de Christoffel, utilizando a Eq. (3.27). Desta forma, temos

¨ qm+ Γm_kjq˙kq˙j _{= 0 ∴} ¨ qm+1 2g mi_(g

ij,k+ gik,j− gkj,i) ˙qkq˙j = 0, (4.13)

onde temos que

Γm_kj = 1 2g

mi_(g

ij,k+ gik,j− gkj,i) . (4.14)

Podemos concluir que os únicos valores não nulos para os símbolos de Christoffel são dados por: Γ1 22 = − sin θ cos θ, Γ2 12 = cos θ/ sin θ, Γ2 21 = cos θ/ sin θ.

Portanto, as equações de movimento para este sistema são

− sin θ cos θ ˙φ2+ ¨θ = 0, (4.15)

Capítulo 5

Conclusão

A notação indicial possui grande relevância nos estudos sobre a Relatividade Geral, pois ao explorar esta teoria precisamos manipular constantemente expressões contendo vetores, matrizes e tensores. Em cálculo tensorial a soma, produto, contração de índices e a possibilidade de “levantar” e “baixar” índices, sendo estes dois últimos jargões científicos, são exemplos fundamentais que devemos conhecer para trabalharmos com álgebra tensorial.

A Relatividade Geral pode ser abordada através do formalismo da Mecânica Lagrangeana. To-mando a variação do funcional ação de uma trajetória física com uma trajetória genérica, podemos encontrar a equação de Euler-Lagrange, servindo esta para descrever diversos sistemas físicos. Desta forma, podemos resolver a equação Euler-Lagrange para um sistema que descreve a tra-jetória de uma partícula livre sobre uma variedade qualquer, obtendo desta forma a equação da geodésica.

Utilizando a equação da geodésica, provamos que a menor distância entre dois pontos sobre uma superfície plana é uma reta e deduzimos as equações de movimentos de uma partícula livre sobre uma superfície esférica bidimensional. A equação da geodésica serve para obtermos as equações de movimento de qualquer partícula livre sobre uma determinada variedade. Portanto, podemos utilizar esta equação para descrever diversos sistemas físicos no contexto da Relatividade Geral, como o deslocamento dos raios de luz, entre outros fenômenos.

Referências Bibliográficas

[1] RESNICK, R. Introdução à Relatividade Especial (EDUSP/Polígono, São Paulo, 1971). [2] ROBSON, M. P.; EFSTATHLOU, G.; LASEMBY, A. N. General Relativity, an introduction

of physicists(Cambridge University Press, New York, 2006). [3] MOORE, T. A. A General Relativity Workbook (California, 2010).

[4] BUTKOV, E. Física Matemática (Guanabara Dois S.A., Rio de Janeiro, 1978).