INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA

INE5403

F

UNDAMENTOS DE

M

ATEMÁTICA

D

ISCRETA

PARA A

C

OMPUTAÇÃO

PROF. DANIEL S. FREITAS

7 - E

STRUTURAS

A

LGÉBRICAS

7.1) Operações Binárias

7.2) Semigrupos

7.3) Produtos e Quocientes de Semigrupos

7.4) Grupos

P

RODUTOS E

Q

UOCIENTES DE

S

EMIGRUPOS

Modos de obter novos semigrupos a partir de outros existentes.

Teorema: Se (S, ∗) e (T, ∗0_{) são semigrupos, então:}

( S × T , ∗00 _{) é um semigrupo}

com ∗00 _{dado por: (s}

1, t1) ∗00 (s2, t2) = (s1 ∗ s2 , t1 ∗0 t2)

Prova: ??

Corolário: se S e T são monóides com identidades eS e eT:

R

ELAÇÕES DE

E

QUIVALÊNCIA SOBRE

S

EMIGRUPOS

Como um semigrupo não é simplesmente um conjunto:

certas relações de equivalência sobre um semigrupo ajudam a conhecer a sua estrutura.

Uma relação de equivalência R sobre um semigrupo (S, ∗) é chamada de Relação de congruência se:

R

ELAÇÕES DE

E

QUIVALÊNCIA SOBRE

S

EMIGRUPOS

Exemplo 1(/3): Seja o semigrupo _{(Z, +)},

e seja a relação de equivalência R sobre _Z:

a R b se e somente se 2 divide a − b

ou: a ≡ b (mod 2)

sejam: a ≡ b (mod 2) e c ≡ d (mod 2)

então 2 divide tanto a − b como c − d, de modo que:

a − b = 2m e c − d = 2n ⇒ (a − b) + (c − d) = 2m + 2n ⇒ (a + c) − (b + d) = 2(m + n) ⇒ a + c ≡ b + d (mod 2)

R

ELAÇÕES DE

E

QUIVALÊNCIA SOBRE

S

EMIGRUPOS

Exemplo 2(/3): Seja A = {0, 1},

considere o semigrupo livre (A∗ _{, · ) gerado por A}

seja a seguinte relação sobre A∗_:

α R β sse α e β possuem o mesmo nro de 1s

R é uma relação de equivalência: 1. α R α, ∀α ∈ A∗

2. se α R β, α e β têm o mesmo nro de 1s, logo: β R α

3. se α R β e β R γ, tanto α e β como β e γ têm o mesmo nro de 1s, logo: α e γ têm o mesmo nro de 1s e αRγ

R também é uma relação de congruência: suponha que temos: α R α0 _{e β R β}0

então tanto α e α0 _{como β e β}0 _{possuem o mesmo nro de 1s}

daí: “nro de 1s em α · β” = “nro de 1s em α” + “nro de 1s em β”

⇒ “nro de 1s em α · β” = “número de 1s em α0 _{· β}0 _”

R

ELAÇÕES DE

E

QUIVALÊNCIA SOBRE

S

EMIGRUPOS

Exemplo 3(/3): Seja o semigrupo _{(Z, +)}, seja: f (x) = x2 _{− x − 2}

e seja a relação sobre _Z:

a R b se e somente se f (a) = f (b)

fácil notar que R é uma relação de equivalência sobre _Z

no entanto, R não é uma relação de congruência sobre _Z, pois:

−1 R 2 ( f (−1) = f (2) = 0 ) −2 R 3 ( f (−2) = f (3) = 4 )

mas: −3 R/ 5

S

EMIGRUPOS

Q

UOCIENTES

Relembrando:

a relação de equivalência R sobre o semigrupo (S, ∗) determina uma partição de S

[a] = R(a) é a classe de equivalência que contém a

S

EMIGRUPOS

Q

UOCIENTES

Teorema:

Seja R uma relação de congruência sobre o semigrupo (S, ∗). E seja a relação ∗ , de S/R × S/R para S/R, dada por:

([a] , [b]) está relacionado com [a ∗ b] (a, b ∈ S)

Então:

∗ é uma função de S/R × S/R para S/R

· usual: “∗ ([a], [b])” denotado por “[a] ∗ [b]”

· ou seja: [a] ∗ [b] = [a ∗ b] (S/R , ∗) é um semigrupo. Prova: ⇒

S

EMIGRUPOS

Q

UOCIENTES

Prova:

suponha que ([a], [b]) = ([a0_{], [b}0_])

então a R a0 _{e b R b}0_{, de modo que:}

a ∗ b R a0 _{∗ b}0 _{(pois R é relação de congruência)}

portanto [a ∗ b] = [a0 _{∗ b}0_]

ou seja, ∗ é uma função

ou seja, ∗ é uma operação binária sobre S/R

além disto: [a] ∗ ([b] ∗ [c]) = [a] ∗ [b ∗ c] = [a ∗ (b ∗ c)] = [(a ∗ b) ∗ c)] (associatividade de ∗ em S) = [a ∗ b] ∗ [c] = ([a] ∗ [b]) ∗ [c] (associatividade de ∗) portanto, S/R é um semigrupo ₂

S

EMIGRUPOS

Q

UOCIENTES

S/R: Semigrupo Quociente ou Semigrupo Fator.

Note que ∗ é uma espécie de “relação binária quociente” sobre S/R

construída a partir da relação binária original ∗ sobre S

pela relação de congruência R

Corolário:

Seja R uma relação de congruência sobre o monóide (S, ∗). Defina a operação ∗ em S/R por [a] ∗ [b] = [a ∗ b].

Então (S/R, ∗) é um monóide.

Prova: Se e é a identidade em (S, ∗):

S

EMIGRUPOS

Q

UOCIENTES

Exemplo:

Considere o exemplo já visto:

monóide (A∗_{, ·) gerado por A = {0, 1}}

R sobre A∗_{: α R β sse α e β possuem mesmo nro de 1s}

Como R é uma relação de congruência sobre S = (A∗_{, ·):}

concluímos que (S/R, ) é um monóide, aonde:

S

EMIGRUPOS

Q

UOCIENTES

Exemplo(1/2):

Seja a relação sobre o semigrupo _{(Z, +)}: a R b sse n | (a − b)

R é uma relação de equivalência escrita como “≡ (mod n)” assim: 2 ≡ 6 (mod 4), pois: 4 | (2 − 6)

Classes de equivalência determinadas por “≡ (mod 4)” sobre _Z:

[0] = {. . . , −8, −4, 0, 4, 8, 12, . . .} = [4] = [8] = · · · [1] = {. . . , −7, −3, 1, 5, 9, 13, . . .} = [5] = [9] = · · · [2] = {. . . , −6, −2, 2, 6, 10, 14, . . .} = [6] = [10] = · · · [3] = {. . . , −5, −1, 3, 7, 11, 15, . . .} = [7] = [11] = · · ·

Estas são todas as classes de equivalência que formam o “conjunto quociente”

Z/ ≡ (mod 4).

O conjunto quociente _{Z/ ≡ (mod n)} é denotado por _Zn

S

EMIGRUPOS

Q

UOCIENTES

Exemplo(2/2):

Tabela de adição para o semigrupo _Z4 com operação + :

+ [0] [1] [2] [3] [0] [0] [1] [2] [3] [1] [1] [2] [3] [0] [2] [2] [3] [0] [1] [3] [3] [0] [1] [2]

Elementos da tabela obtidos de: [a] + [b] = [a + b]

exemplo: [2] + [3] = [2 + 3] = [5] = [1]

Em geral:

Zn tem n classes de equivalência: [0], [1], [2], . . . , [n − 1]

S

EMIGRUPOS

Q

UOCIENTES

& H

OMOMORFISMOS

Há uma conexão entre as estruturas do semigrupo (S, ∗) e do semigrupo quociente (S/R, ∗).

Teorema: Sejam:

R uma relação de congruência sobre um semigrupo (S, ∗) (S/R, ∗) o semigrupo quociente correspondente

Então:

a função fR : S → S/R, definida por fR(a) = [a],

é um homomorfismo sobrejetivo

chamado de homomorfismo natural Prova: ⇒

S

EMIGRUPOS

Q

UOCIENTES

& H

OMOMORFISMOS

Prova:

fR é uma função sobrejetiva:

se [a] ∈ S/R, então fR(a) = [a]

fR é um homomorfismo:

se a e b são elementos de S, então:

fR(a ∗ b) = [a ∗ b]

= [a] ∗ [b]

S

EMIGRUPOS

Q

UOCIENTES

& H

OMOMORFISMOS

Teorema (Fundamental do Homomorfismo): Sejam:

f : S → T um homomorfismo do semigrupo (S, ∗) sobre o semigrupo (T, ∗0₎

R a relação sobre S definida por a R b sse f (a) = f (b) · (R definida com base no homomorfismo)

Então:

(a) R é uma relação de congruência

(b) (T, ∗0_{) e o semigrupo quociente (S/R, ∗) são isomórficos}

S

EMIGRUPOS

Q

UOCIENTES

& H

OMOMORFISMOS

Prova da parte (a):

(i) R é uma relação de equivalência:

a R a, ∀a ∈ S, pois f (a) = f (a)

se a R b, então f (a) = f (b), de modo que b R a

se a R b e b R c:

· então: f (a) = f (b) e f (b) = f (c)

· de modo que: f (a) = f (c) e, portanto: a R c

(ii) R é uma relação de congruência: suponha que a R a₁ e b R b₁ então: f (a) = f (a₁) e f (b) = f (b₁) ⇒ f (a) ∗0 _{f (b) = f (a} 1) ∗0 f (b1) ⇒ f (a ∗ b) = f (a₁ ∗ b₁) (pois f é um homomorfismo) logo: (a ∗ b) R (a₁ ∗ b₁) 2

S

EMIGRUPOS

Q

UOCIENTES

& H

OMOMORFISMOS

Prova da parte (b): Seja a relação de S/R para T:

f = { ([a], f (a)) | [a] ∈ S/R}

f é uma função: suponha que [a] = [a0_]:

então: a R a0 _{e f (a) = f (a}0₎

logo, f é a função f : S/R → T, aonde: f ([a]) = f (a) f é injetiva: suponha que f ([a]) = f ([a0_]):

então: f (a) = f (a0₎

⇒ a R a0 _{⇒ [a] = [a}0_]

f é sobrejetiva: suponha que b ∈ T:

f (a) = b para algum elemento a em S (pois f é sobrejetiva)

então: f ([a]) = f (a) = b

f preserva a estrutura das operações ∗ e ∗0_:

f ([a] ∗ [b]) = f ([a ∗ b]) = f (a ∗ b) = f (a) ∗0 _{f (b) = f ([a]) ∗}0 _{f ([b])}

S

EMIGRUPOS

Q

UOCIENTES

& H

OMOMORFISMOS

Exemplo:

Considere o semigrupo livre A∗ _{gerado por A = {0, 1} sob concatenação}

note que A∗ _{é um monóide, aonde a identidade é Λ}

Seja N o conjunto dos inteiros não-negativos então (N, +) é um semigrupo

A seguinte função f : A∗ _{→ N é um homomorfismo:}

f (α) = número de 1s em α

Seja R a seguinte relação sobre A∗_:

α R β sse f (α) = f (β)

Segundo o Teorema: A∗_{/R ' N}

sob o isomorfismo f : A∗_{/R → N definido por:}

S

EMIGRUPOS

Q

UOCIENTES

& H

OMOMORFISMOS

Teorema (Fundamental do Homomorfismo): (relembrando) Sejam:

f : S → T um homomorfismo de (S, ∗) sobre (T, ∗0₎

R a relação sobre S definida por a R b sse f (a) = f (b)

Então:

(a) R é uma relação de congruência

(b) (T, ∗0_{) e o semigrupo quociente (S/R, ∗) são isomórficos}

S

EMIGRUPOS

Q

UOCIENTES

& H

OMOMORFISMOS

fR é o homomorfismo natural

f ◦ fR = f pois:

(f ◦ fR)(a) = f (fR(a))

P

RODUTOS E

Q

UOCIENTES DE

S

EMIGRUPOS

Final deste item.