Elementos de Matemática

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Elementos de Matem´atica

An´

alise Combinat´

oria - Atividades did´

aticas de 2007

Vers˜ao compilada no dia 31 de Julho de 2007.

Departamento de Matem´atica - UEL

Prof. Ulysses Sodr´e: ulysses(a)uel(pt)br

Matem´atica Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/

Resumo: Notas de aulas constru´ıdas com materiais usados em nossas aulas na UEL. Elas devem ser usadas como roteiro e n˜ao espero que elas venham a substituir qualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Sugiro que o leitor pesquise na Internet para obter materiais gratuitos para os seus estudos.

Mensagem: ‘Tudo tem a sua ocasião própria, e há tempo para todo propósito debaixo do céu. Há tempo de nascer, e tempo de morrer; tempo de plantar, e tempo de arrancar o que se plantou; tempo de matar, e tempo de curar; tempo de derrubar, e tempo de edificar; tempo de chorar, e tempo de rir; tempo de prantear, e tempo de dan¸car; tempo de espalhar pedras, e tempo de ajuntar pedras; tempo de abra¸car, e tempo de abster-se de abra¸car; tempo de buscar, e tempo de perder; tempo de guardar, e tempo de deitar fora; tempo de rasgar, e tempo de coser; tempo de estar calado, e tempo de falar; tempo de amar, e tempo de odiar; tempo de guerra, e tempo de paz. Que proveito tem o trabalhador naquilo em que trabalha? Tenho visto o trabalho penoso que Deus deu aos filhos dos homens para nele se exercitarem. Tudo fez formoso em seu tempo; também pôs na mente do homem a idéia da eternidade, se bem que este não possa descobrir a obra que Deus fez desde o princ´ıpio até o fim.’ A B´ıblia Sagrada, Eclesiastes 3

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CONTE ´UDO ii

Conte´

udo

1 Introdu¸cão à Análise Combinatória 1

2 Arranjos 1

2.1 Arranjo simples. . . 1

2.2 Arranjo com repeti¸c˜ao . . . 2

2.3 Arranjo condicional . . . 2

3 Permuta¸c˜oes 3 3.1 Permuta¸c˜ao simples . . . 3

3.2 Permuta¸c˜ao com repeti¸c˜ao. . . 3

3.3 Anagrama . . . 4

3.4 Permuta¸c˜ao circular . . . 5

4 Combina¸c˜oes 6 4.1 Combina¸c˜ao simples . . . 6

4.2 Combina¸c˜ao com repeti¸c˜ao . . . 7

5 Regras para An´alise Combinat´oria 8 5.1 Regra da soma . . . 8

5.2 Regra do Produto . . . 8

5.3 N´umero de Arranjos simples . . . 9

5.4 N´umero de Permuta¸c˜oes simples. . . 11

5.5 N´umero de Combina¸c˜oes simples . . . 12

5.6 N´umero de arranjos com repeti¸c˜ao . . . 13

5.7 Número de permuta¸cões com repeti¸cão . . . 14

5.8 Número de combina¸cões com repeti¸cão . . . 14

5.9 Propriedades das combina¸c˜oes . . . 15

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Se¸cão 1 Introdu¸cão à Análise Combinatória 1

1 Introdu¸

c˜

ao `

a An´

alise Combinat´

oria

Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que permite construir grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.

Na maioria das vezes, tomaremos conjuntos com m elementos e os grupos formados com elementos deste conjunto terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p ≤ m.

Arranjos, Permuta¸cões e Combina¸cões, são os três tipos principais de agru-pamentos, sendo que eles podem ser simples, com repeti¸cão ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.

Observa¸cão 1. É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em questões em uma forma dúbia!

2 Arranjos

Defini¸cão 1 (Arranjo). É um grupo formado com p elementos escolhidos de uma cole¸cão com m elementos, sendo p < m de forma que os p elementos sejam distintos entre si pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repeti¸cão.

2.1 Arranjo simples

Defini¸cão 2 (Arranjo simples). É um arranjo que não permite a repeti¸cão de qualquer elemento em cada grupo de p elementos. O número de arranjos simples é dado pela fórmula:

A(m, p) = m! (m − p)!

Exemplo 1. Para o conjunto {A, B, C, D}, o n´umero de arranjos simples dos m = 4 elementos tomados com a taxa p = 2 ´e formado por 12 grupos, pois

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2.2 Arranjo com repeti¸c˜ao 2

Os grupos não possuem a repeti¸cão de qualquer elemento mas os elementos podem aparecer na ordem trocada. Todos os grupos estão no conjunto:

{AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC}

2.2 Arranjo com repeti¸c˜ao

Defini¸cão 3 (Arranjo com repeti¸cão). É um arranjo em que todos os m elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos. O número de arranjos com repeti¸cão é dado pela fórmula:

Ar(m, p) = mp

Exemplo2. Para o conjunto {A, B, C, D}, o número de arranjos com repeti¸cão dos m = 4 elementos com a taxa p = 2 é formado por 16 grupos, pois

Ar(4, 2) = 42 = 16

Aparecem repeti¸c˜oes em cada grupo. Os grupos est˜ao no conjunto:

{AA, AB, AC, AD, BA, BB, BC, BD, CA, CB, CC, CD, DA, DB, DC, DD}

2.3 Arranjo condicional

Defini¸cão 4 (Arranjo condicional). É um arranjo em que todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condi¸cão que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos. O número de arranjos condicionais ´

e dado pela f´ormula:

Ac = A(m1, p1) × A(m − m1, p − p1)

Exemplo 3. Vamos construir todos os arranjos com 4 elementos do conjunto {A, B, C, D, E, F, G}, come¸cando com 2 letras escolhidas no subconjunto {A, B, C}.

Aqui temos um total de m = 7 letras, a taxa é p = 4, o subconjunto escolhido tem m1 = 3 elementos e a taxa de forma¸cão para este subconjunto é p1 = 2.

Com as letras A, B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que est˜ao no conjunto: PABC = {AB, BA, AC,CA, BC, CB}

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Se¸c˜ao 3 Permuta¸c˜oes 3

Com as letras D, E, F e G tomadas 2 a 2, obtemos 12 grupos que est˜ao no conjunto:

PDEF G = {DE, DF, DG, ED, EF, EG, F D, F E,F G, GD, GE, GF }

Usando a regra do produto, temos 72 possibilidades obtidas pela jun¸c˜ao de um elemento do conjunto PABC com um elemento do conjunto PDEF G. Um

t´ıpico arranjo para esta situa¸cão é CAF G. Cálculo para o exemplo:

Ac = A(3, 2) × A(7 − 3, 4 − 2) = A(3, 2) × A(4, 2) = 6 × 12 = 72

3 Permuta¸

c˜

oes

Defini¸cão 5 (Permuta¸cão). Permuta¸cão é um agrupamento formado com m elementos, de modo que todos os m elementos sejam distintos entre si pela ordem. As permuta¸cões podem ser simples, com repeti¸cão ou circulares.

3.1 Permuta¸c˜ao simples

Defini¸cão 6 (Permuta¸cão simples). Permuta¸cões são agrupamentos com to-dos os m elementos distintos. O número de permuta¸cões simples é:

P (m) = m!

Exemplo 4. Para o conjunto {A, B, C}, o número de permuta¸cões simples desses m = 3 elementos é formado por P (3) = 3! = 6 grupos que não podem ter a repeti¸cão de qualquer elemento em cada grupo mas que aparecem na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

P = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}

3.2 Permuta¸c˜ao com repeti¸c˜ao

Defini¸cão 7 (Permuta¸cão com repeti¸cão). Para os m elementos de um con-junto {x1, x2, x3, ..., xm}, vamos supor que existem m1 elementos iguais a x1,

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3.3 Anagrama 4

m2 elementos iguais a x2, m3 elementos iguais a x3, ..., mn elementos iguais

a xn, tal que m = m1 + m2 + m3 + ... + mn.

Para os nossos c´alculos vamos usar m = m1 + m2 + m3 e o n´umero de

permuta¸cões com repeti¸cão é dado pela fórmula:

Pr(m; m1+m2+m3) = C(m, m1) C(m−m1, m2) C(m−m1−m2, m3) = m! m1! (m−m1)! (m−m1)! m2! (m−m1−m2)! (m−m1−m2)! m3! 0! = m! m1! m2! m3!

Em geral, se m = m1 + m2 + m3 + ... + mn, o n´umero de permuta¸c˜oes com

repeti¸cão é dado pela fórmula:

Pr(m; m1+m2+m3+...+mn) =

m!

m1! m2! m3! ... mn!

3.3 Anagrama

Defini¸cão 8 (Anagrama). Um anagrama é uma (outra) palavra constru´ıda com as mesmas letras da palavra original trocadas de posi¸cão.

Se as letras da palavra original s˜ao:

1. distintas, o número de anagramas é dado pelo número de permuta¸cões simples.

2. repetidas, o número de anagramas é dado pelo número de permuta¸cões com repeti¸cão.

Exemplo 5. Para obter os anagramas da palavra ARARAT, observamos que a letra A ocorre m1 = 3 vezes, a letra R ocorre m2 = 2 vezes e a letra T ocorre

m3 = 1 vez. O número de permuta¸cões com repeti¸cão desses elementos

do conjunto {A, R, T } em agrupamentos de m = 6 elementos é dado por 60 grupos com a repeti¸cão de todos os elementos do conjunto aparecendo também na ordem trocada.

C´alculo: Aqui m1 = 3, m2 = 2, m3 = 1, m = m1 + m2 + m3 = 6, logo

Pr(6; 3 + 2 + 1) =

6! 3! 2! 1! =

720

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3.4 Permuta¸c˜ao circular 5

Todos os 60 anagramas da palavra ARARAT est˜ao listados na tabela: N Inicial Anagramas formados com as trˆes letras iniciais indicadas

1 RRT RRTAAA

1 RTR RTRAAA

1 TRF TRRAAA

3 AAA AAARRT, AAARTR, AAATRR

3 AAT AATARR, AATRAR, AATRRA

3 ARR ARRAAT, ARRATA, ARRTAA

3 ART ARTAAR, ARTARA, ARTRAA

3 ATA ATAARR, ATARAR, ATARRA

3 ATR ATRAAR, ATRARA, ATRRAA

3 RRA RRAAAT, RRAATA, RRATAA

3 RTA RTAAAT, RTAATA, RTATAA

3 TAA TAAARR, TAARAR, TAARRA

3 TAR TARAAR, TARARA, TARRAA

3 TRA TRAAAR, TRAARA, TRARAA

6 AAR AARART, AARATR, AARRAT, AARRTA, AARTAR, AARTRA 6 ARA ARAART, ARAATR, ARARAT, ARARTA, ARATAR, ARATRA 6 RAA RAAART, RAAATR, RAARAT, RAARTA, RAATAR, RAATRA 6 RAR RARAAT, RARATA, RARTAA, RATAAT, RATATA, RATTAA

3.4 Permuta¸c˜ao circular

Defini¸cão 9 (Permuta¸cão circular). Este tipo de permuta¸cão ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando um c´ırculo. O número de permuta¸cões circulares é dado pela fórmula:

Pc(m) = (m − 1)!

Exemplo 6. De quantos modos distintos as pessoas do conjunto {A, B, C, D} poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem haver repeti¸cão das posi¸cões?

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Se¸c˜ao 4 Combina¸c˜oes 6

no conjunto:

Pc = {ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB,

BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA} Acontece que junto a uma mesa circular temos que:

ABCD=BCDA=CDAB=DABC ABDC=BDCA=DCAB=CABD ACBD=CBDA=BDAC=DACB ACDB=CDBA=DBAC=BACD ADBC=DBCA=BCAD=CADB ADCB=DCBA=CBAD=BADC Assim, existem somente

P (4) = (4 − 1)! = 6 grupos distintos, que s˜ao:

Pc = {ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB}

4 Combina¸

c˜

oes

Defini¸cão 10 (Combina¸cão). Combina¸cão é um arranjo formado por um agru-pamentos com p elementos de uma cole¸cão com m elementos, sendo p ≤ m, de forma que os p elementos sejam distintos entre si apenas pela espécie.

4.1 Combina¸c˜ao simples

Defini¸cão 11 (Combina¸cão simples). É uma combina¸cão em que não ocorre a repeti¸cão de qualquer elemento em cada grupo de p elementos. O número de combina¸cões é dado pela fórmula:

C(m, p) = m!

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4.2 Combina¸c˜ao com repeti¸c˜ao 7

Exemplo7. Considerando o conjunto {A, B, C, D}, o número de combina¸cões simples desses m = 4 elementos tomados com a taxa p = 2 é formado por C(4, 2) = 4!

2!2! = 24

4 = 6 grupos que não podem ter a repeti¸cão de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Cs = {AB, AC, AD, BC, BD, CD}

4.2 Combina¸c˜ao com repeti¸c˜ao

Defini¸cão 12 (Combina¸cão com repeti¸cão). É uma combina¸cão em que todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes. O número de combina¸cões com repeti¸cão é dado pela fórmula:

Cr(m, p) = C(m + p − 1, p)

Exemplo 8. Para o conjunto {A, B, C, D}, o número de combina¸cões com repeti¸cão desses m = 4 elementos tomados com a taxa p = 2 é formado por

Cr(4, 2) = C(4 + 2 − 1, 2) = C(5, 2) =

5!

2!3! = 10

grupos que possuem todas as repeti¸c˜oes poss´ıveis de elementos em grupos de 2 elementos n˜ao podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. Em geral, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos:

Cr = {AA, AB, AC, AD, BA, BB, BC, BD,

CA, CB, CC, CD, DA, DB, DC, DD}

mas para obter as combina¸cões com repeti¸cão, deveremos excluir deste con-junto os 6 grupos que já apareceram antes, pois

AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB, CD=DC

assim as combina¸cões com repeti¸cão dos elementos de K tomados 2 a 2, são: Cr = {AA, AB, AC, AD, BB, BC, BD, CC, CD, DD}

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Se¸cão 5 Regras para Análise Combinatória 8

5 Regras para An´

alise Combinat´

oria

Em geral, problemas de Análise Combinatória são muito dif´ıceis mas eles po-dem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.

5.1 Regra da soma

A regra da soma garante que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento ocorrerá de m + n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro.

5.2 Regra do Produto

A regra do produto garante que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H, M ) nesta ordem poder´a ser realizada de m × n formas.

Exemplo 9. Sejam duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a primeira reta r contém m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda reta s contém n outros

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5.3 N´umero de Arranjos simples 9

De quantos modos podemos tra¸car segmentos de retas com uma extremidade na reta r e a outra extremidade na reta s?

Ligando r1 a todos os pontos de s temos n segmentos, depois ligando r2 a

todos os pontos de s temos n segmentos, e continuamos até o último ponto rm para obter também n segmentos. Como existem m pontos na reta r e n

pontos na reta s, temos m × n segmentos poss´ıveis.

5.3 N´umero de Arranjos simples

De quantas maneiras diferentes podemos escolher p elementos de um conjunto com m elementos, com p ≤ m?

Cada uma dessas escolhas é um arranjo de m elementos tomados p a p. Constru´ımos uma seqüência com os m elementos do conjunto.

{c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm−2, cm−1, cm}

Cada vez que um elemento ´e retirado, indicamos esta opera¸c˜ao com a mudan¸ca da cor do elemento para a cor vermelha.

Para escolher o primeiro elemento do conjunto com m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha ca´ıdo sobre o elemento de ordem m.

{c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm−2, cm−1,cm}

Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m − 1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o ´ultimo elemento dentre os que sobraram no conjunto. O elemento retirado na segunda fase ´e aquele de ordem m − 1.

{c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm−2,cm−1,cm}

Ap´os a segunda retirada, sobraram m − 2 possibilidades para a pr´oxima re-tirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem m − 2, teremos algo que pode ser visualizado como:

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5.3 N´umero de Arranjos simples 10

Continuando o processo de retirada, cada vez temos 1 elemento a menos que na fase anterior. Para retirar o elemento de ordem p, restam m − p + 1 possibilidades de escolha.

Para obter o n´umero total de arranjos poss´ıveis de m elementos tomados com a taxa p, basta multiplicar os n´umeros que aparecem na segunda coluna da tabela:

Retirada N´umero de possibilidades

1 m 2 m-1 3 m-2 ... ... p m-p+1 N´umero de arranjos: m(m − 1)(m − 2)...(m − p + 1)

Denotamos o número de arranjos de m elementos com a taxa p, por A(m, p) e a expressão para o seu cálculo é dada por:

A(m, p) = m(m − 1)(m − 2)...(m − p + 1)

Exemplo 10. Quais e quantas s˜ao as possibilidades de dispor as 5 vogais A,E,I,O,U em grupos de 2 elementos diferentes?

O conjunto solu¸c˜ao ´e:

{AE, AI, AO, AU, EA, EI, EO, EU, IA, IE, IO, IU, OA, OE, OI, OU, U A, U E, U I, U O} A solu¸cão numérica é A(5, 2) = 5 × 4 = 20.

Exemplo 11. Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas s˜ao as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (n˜ao necessariamente diferentes)?

Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que há 5 × 5 = 25 possibilidades.

O conjunto solu¸c˜ao ´e:

{AA, AE, AI, AO, AU, EA, EE, EI, EO, EU, IA, IE, II, IO, IU, OA, OE, OI, OO, OU, U A, U E, U I, U O, U U }

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5.4 N´umero de Permuta¸c˜oes simples 11

Exemplo 12. Quantas placas de carros da forma XYZ-1234 são obtidas no sistema brasileiro de trânsito com 3 letras iniciais e 4 algarismos no final? Sugestão: Use as 26 letras do nosso alfabeto tomadas 3 a 3 e 10 algarismos dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.

5.4 N´umero de Permuta¸c˜oes simples

Este é um caso particular de arranjo com p = m. Para obter o número de permuta¸cões com m elementos distintos de um conjunto, basta escolher os m elementos em uma certa ordem. A tabela de arranjos com as linhas até a ordem p = m, permitirá obter o número de permuta¸cões de m elementos:

Retirada N´umero de possibilidades

1 m 2 m-1 ... ... p m-p+1 ... ... m-2 3 m-1 2 m 1

Denotaremos o número de permuta¸cões de m elementos, por P (m) e a ex-pressão para o seu cálculo será dada por:

P (m) = m(m − 1)(m − 2)...(m − p + 1)...3 × 2 × 1 Em fun¸c˜ao da forma como constru´ımos o processo, podemos escrever:

A(m, m) = P (m)

Como o uso de permuta¸cões é intenso em Matemática e nas ciências, costuma-se simplificar a permuta¸cão de m elementos e escrever simplesmente:

P (m) = m!

Este s´ımbolo de exclama¸cão posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um número natural.

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5.5 N´umero de Combina¸c˜oes simples 12

Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a defini¸cão de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m = 0 e para isto podemos escrever:

0! = 1

Em contextos mais avan¸cados, existe a fun¸cão gama que generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informa¸cões pode-se demonstrar que 0! = 1.

O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da fun¸cão P = P (m) ou com o uso do sinal de exclama¸cão:

(m + 1)! = (m + 1) · m!, 0! = 1

Exemplo 13. De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A,B,C difer-entes em uma estante? O número de arranjos é P (3) = 6 e o conjunto solu¸cão:

P = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}

Exemplo 14. Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos é P (4) = 24 e o conjunto solu¸cão é:

P = {AM OR, AM RO, AROM, ARM O, AORM, AOM R, M ARO, M AOR, M ROA, M RAO, M ORA, M OAR, OAM R, OARM, ORM A, ORAM, OM AR, OM RA, RAM O, RAOM, RM OA, RM AO, ROAM, ROM A}

5.5 N´umero de Combina¸c˜oes simples

Seja um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, obser-vamos que podemos escolher p elementos deste conjunto, mas ao realizar tais escolhas pode ocorrer que duas cole¸cões com p elementos tenham os mes-mos elementos em ordens trocadas. Uma situa¸cão t´ıpica é a escolha de um casal (H, M ). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posi¸cão (H, M ) ou (M, H), assim não precisamos escolher duas vezes as mesmas pes-soas para formar o referido casal. Para evitar a repeti¸cão de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduzimos o conceito de combina¸cão.

Uma cole¸cão de p elementos de um conjunto com m elementos é uma com-bina¸cão de m elementos tomados p a p, se as cole¸cões com p elementos não

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5.6 N´umero de arranjos com repeti¸c˜ao 13

possuem os mesmos elementos que já apareceram em outras cole¸cões com o mesmo número p de elementos.

Aqui, temos um outro caso de arranjo, mas não acontece a repeti¸cão do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente, o que significa que dentre todos os A(m, p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos. Para obter o número de combina¸cões de m elementos com a taxa p, devemos dividir o número de arranjos A(m, p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contém conjuntos distintos, ou seja:

C(m, p) = A(m, p) p! = m(m−1)(m−2)...(m−p + 1) p! = m(m−1)(m−2)...(m−p + 1) 1 · 2 · 3 · 4....(p−1)p = m(m−1)(m−2)...(m−p + 1) 1 · 2 · 3 · 4....(p−1)p (m−p)(m−p−1)...2 × 1 (m−p)(m−p−1)...2 × 1 = m! p!(m − p)!

A express˜ao simplificada para a combina¸c˜ao de m elementos tomados p a p, ´

e uma das seguintes:

C(m, p) =m p

= m!

p! (m − p)!

5.6 N´umero de arranjos com repeti¸c˜ao

Tomemos um conjunto com m elementos distintos e consideremos p elementos escolhidos neste conjunto em uma certa ordem. Cada uma dessas escolhas é um arranjo com repeti¸cão de m elementos tomados p a p. Como existem m possibilidades para a coloca¸cão de cada elemento, o número total de arranjos com repeti¸cão de m elementos escolhidos p a p é dado por mp. Assim, indicamos este número por:

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5.7 Número de permuta¸cões com repeti¸cão 14

5.7 Número de permuta¸cões com repeti¸cão

Problema: Sejam 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas. Para colocar estas bolas em uma ordem determinada, devemos obter o número de permuta¸cões com repeti¸cão dessas bolas. Usaremos o seguinte procedimento: 1. Tomemos 10 compartimentos numerados onde serão colocadas as bolas. 2. Coloque as 3 bolas vermelhas em 3 compartimentos, o que dá C(10, 3)

possibilidades.

3. Coloque as 2 bolas azuis nos compartimentos que sobraram, para obter C(10 − 3, 2) possibilidades e

4. Coloque as 5 bolas amarelas, para obter C(10 − 3 − 2, 5) possibilidades. O n´umero total de possibilidades pode ser calculado como:

Pr = C(10, 3) C(10 − 3, 2) C(10 − 3 − 2, 5) = 10! 3!7! × 7! 2!5! × 5! 5!0! = 10! 3!2!5! Tal metodologia pode ser generalizada.

5.8 Número de combina¸cões com repeti¸cão

Sejam m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e ordene estes elementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é denominado uma combina¸cão com repeti¸cão de m elementos com a taxa p, denotado por Cr(m, p). Aqui a taxa p poderá ser maior do que o

n´umero m de elementos.

Exemplo 15. Seja o conjunto A = {a, b, c, d, e} e p = 6. As cole¸cões {a, a, b, d, d, d}, {b, b, b, c, d, e} e {c, c, c, c, c, c} são exemplos de combina¸cões com repeti¸cão de 5 elementos escolhidos 6 a 6.

Podemos representar tais combina¸cões por meio de s´ımbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido (e colocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø serve para separar os objetos em fun¸cão das suas diferen¸cas

{ a, a, b, d, d, d } equivale a # # Ø # Ø Ø # # # Ø { b, b, b, c, d, e } equivale a Ø # # # Ø # Ø # Ø # { c, c, c, c, c, c } equivale a Ø Ø # # # # # # Ø Ø

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5.9 Propriedades das combina¸c˜oes 15

Cada s´ımbolo possui 10 lugares com exatamente 6 # e 4 Ø. Para cada com-bina¸cão existe uma correspondência biun´ıvoca com um s´ımbolo e reciproca-mente. Podemos construir um s´ımbolo pondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espa¸cos vazios são preenchidos com barras. Isto pode ser feito de C(10, 6) modos. Assim:

Cr(5, 6) = C(5 + 6 − 1, 6)

Generalizando isto, podemos mostrar que:

Cr(m, p) = C(m + p − 1, p)

5.9 Propriedades das combina¸c˜oes

Seja m um n´umero de elementos e o n´umero p a taxa que define a quantidade de elementos de cada escolha dentre os m elementos dados.

1. Taxas complementares: C(m, p) = C(m, m − p).

2. Rela¸c˜ao de Stifel: C(m, p) = C(m − 1, p) + C(m − 1, p − 1).

5.10 N´umeros Binomiais

Se m e p são números inteiros não negativos, o número de combina¸cões de m elementos tomados com a taxa p, indicado antes por C(m, p), é denominado coeficiente binomial ou número binomial, denotado por:

m p

= m!

p!(m − p)!

Extensão: Existe uma extensão do conceito de número binomial ao conjunto dos números reais e podemos calcular o número binomial de qualquer número real r que seja diferente de um número inteiro negativo, tomado a uma taxa inteira p, mas neste caso, não podemos mais utilizar a nota¸cão de combina¸cão C(m, p) pois esta somente tem sentido quando m e p são números inteiros não negativos. Tomando π = 3, 1415926535, obtemos π 2 = π(π − 1) 2 = 3, 36400587375

(18)

5.10 N´umeros Binomiais 16

A fun¸cão citada acima que permite a extensão é a fun¸cão gama. Tais cálculos são utilizados em Probabilidade e Estat´ıstica.

Existem duas rela¸cões muito importantes, que podem ser escritas em fun¸cão da nota¸cão binomial:

Teorema 1 (Taxas complementares). Se n, k ∈ N com n ≥ k, ent˜ao n k = n n − k Exemplo: 12₁₀ = 12₂ = 66.

Teorema 2 (Rela¸c˜ao de Stifel). Se n, k ∈ N com n > k, ent˜ao n k + n k + 1 = n + 1 k + 1

Desenvolvendo o membro da esquerda, obtemos: n k + n k + 1 = n! k!(n − k)! + n! (k + 1)!(n − k − 1)! = n!(k + 1) (k + 1)k!(n − k)! + n!(n − k) (k + 1)!(n − k)(n − k − 1)! = n!(k + 1) (k + 1)!(n − k)! + n!(n − k) (k + 1)!(n − k)! = n!(k + 1 + n − k) (k + 1)![(n + 1) − (k + 1)]! = (n + 1)n! (k + 1)![(n + 1) − (k − 1)]! = (n + 1)! (k + 1)![(n + 1) − (k − 1)]! = n + 1 k + 1 Exemplo: 12₁₀ = 11₁₀ + 11₉ = 605.

Teorema 3 (Binomial para n finito). Se h > 0 e n ∈ N , ent˜ao

(1+h)n = n X k=0 n k hn = 1+nh+n(n − 1) 2! h 2₊n(n − 1)(n − 2) 3! h 3_+...+hn

(19)

Teorema 4 (Desigualdade de Bernoulli com 2 termos). Se 1+h > 0 e n ∈ N , ent˜ao:

(1 + h)n ≥ 1 + nh

Demonstra¸cão: Se n = 1, então (1 + h)1 ≥ 1 + 1h. Se (1 + h)n _{≥ 1 + nh é}

verdadeiro, mostraremos que (1 + h)n+1 ≥ 1 + (n + 1)h.

(1 + h)n+1 = (1 + h).(1 + h)n ≥ (1 + h).(1 + nh) = 1 + h + nh + nh2 ≥ 1 + (n + 1)h

Teorema 5 (Desigualdade de Bernoulli com 3 termos). Se h > 0 e n ∈ N , ent˜ao

(1 + h)n ≥ 1 + nh + n(n − 1)

2! h

2

Demonstra¸c˜ao: Se n = 1 ent˜ao (1 + h)1 ≥ 1 + 1h + 0.h2_.

Se (1 + h)n ≥ 1 + nh + n(n − 1)

2! h

2 _´_{e verdadeiro, mostraremos que}

(1 + h)n+1 ≥ 1 + (n + 1)h + (n + 1)n 2 h 2 (1 + h)n+1 = (1 + h).(1 + h)n ≥ (1 + h).(1 + nh + n(n − 1) 2 h 2₎ = 1 + nh + n(n − 1) 2! h 2 _{+ h + nh}2 ₊ n(n − 1) 2 h 3 = 1 + (n + 1)h + n(n − 1) 2 h 2 ₊ 2n 2 h 2 ₊ n(n − 1) 2! h 3 ≥ 1 + (n + 1)h + n(n − 1) 2 h 2 ₊ 2n 2 h 2 = 1 + (n + 1)h + (n + 1)n 2 h 2

Alguns casos particulares do Teorema binomial, s˜ao: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(20)

Teorema 6 (Binomial). Se m é um número natural, então:

(a + b)m = am +m 1 am−1b +m 2 am−2b2 + m 3 am−3b3 + ... +m m bm A demonstra¸cão do teorema será constru´ıda com o uso do Princ´ıpio da Indu¸cão Matemática. Iremos considerar a Proposi¸cão P (m) de ordem m, dada por:

(a + b)m = am +m 1 am−1b +m 2 am−2b2 + m 3 am−3b3 + ... +m m bm P (1) ´e verdadeira pois (a + b)1 = a + b.

Vamos considerar verdadeira a proposi¸c˜ao P (k), com k > 1:

(a + b)k = ak+ k 1 ak−1b +k 2 ak−2b2 + k 3 ak−3b3 + ... +k k bk Para mostrar que ´e verdadeira a proposi¸c˜ao P (k + 1), devemos concluir que:

(a+b)k+1 = ak+1+k+1 1 akb+k 2 ak−1b2+k−1 3 ak−2b3+...+k+1 k +1 bk+1 Assim (a + b)k+1 = (a + b)(a + b)k = (a + b)[ak + k₁ak−1b + k₂ak−2b2 + k₃ak−3b3 + ... + k_kbk] = a[ak + k₁ak−1b + k₂ak−2b2 + k₃ak−3b3 + ... + k_kbk] +b[ak + k₁ak−1b + k₂ak−2b2 + k₃ak−3b3 + ... + k_kbk] = ak+1+ k₁akb + k₂ak−1b2 + k₃ak−2b3 + ... + k_kabk +akb + k₁ak−1b2 + k₂ak−2b3 + k₃ak−3b4 + ... + k_kbk+1 = ak+1+ [ k₁ + 1]akb + [ k₂ + k₁]ak−1b2 + [ k₃ + k₂]ak−2b3

+[ k₄ + k₃]ak−3b4 + ... + [ _k−1k + _k−2k ]a2bk−1 +[ k_k + _k−1k ]abk+ k_kbk+1

= ak+1+ [ k₁ + k₀]akb + [ k₂ + k₁]ak−1b2 +[ k₃ + k₂]ak−2b3 + [ k₄ + k₃]ak−3b4 + ...

(21)

A rela¸cão de Stifel garante as três primeiras e as três últimas as identidades:

k 1 + k 0 = k+1₁ _k−2k + _k−1k = k+1_k−2 k 2 + k 1 = k+1₂ _k−1k + _k−2k = k+1_k−1 k 3 + k 2 = k+1₃ k_k + _k−1k = k+1_k E assim podemos escrever:

(a + b)k+1 = k+1 0 ak+1 +k+1 1 akb +k+1 2 ak−1b2 +k+1 3 ak−2b3 +... + k+1 k − 1 a2bk−1 +k+1 k abk +k+1 k +1 bk+1 que garante que a propriedade P (m + 1) ´e verdadeira.