CSE-MME Revisão de Métodos Matemáticos para Engenharia

CSE-MME

Revisão de Métodos Matemáticos

para Engenharia

Engenharia e Tecnologia Espaciais – ETE

Engenharia e Gerenciamento de Sistemas Espaciais

Engenharia e Tecnologia Espaciais – ETE Engenharia e Gerenciamento de Sistemas Espaciais

07.02.2012

1.1 – Definições

1.2 – Classificação de Equações Diferenciais

Ordinárias (EDO)

1.3 – Solução de EDO de primeira ordem

1.4 – Solução de EDO de ordem superior

1.5 – Problemas de Valor Inicial

1.6 – Problemas de Valor de Contorno

1.6 – Equações diferenciais como modelos

1 - Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

Sumário

CSE-MME-b

Uma variedade de problemas em Física e Engenharia (e em outras áreas) são formulados em termos de equações

diferenciais.

De forma geral, uma equação diferencial expressa uma relação entre uma quantidade e suas variações com respeito a uma ou mais variáveis independentes.

Equações diferenciais ordinárias apresentam uma única variável independente ,enquanto que equações diferenciais parciais apresentam duas ou mais variáveis independentes. Nesta revisão, nos restringiremos às equações diferenciais ordinárias.

1.1 - Definições

Exemplo de notação utilizada:

CSE-MME Equações Diferenciais Ordinárias

Equações diferenciais ordinárias podem ser classificadas

quanto às seguintes características: tipo, ordem e linearidade. 1.2.1 – Classificação por Tipo

Se a equação contiver somente derivadas de uma ou mais funções dependentes em relação a uma única variável

independente, ela será denominada de equação diferencial ordinária (EDO), caso contrário será denominada de equação diferencia parcial (EDP).

1.2 – Classificação das Equações

Diferenciais

Exemplos: EDO:

EDP:

1.2.2 – Classificação por Ordem

A ordem de uma equação é definida como sendo igual à da derivada de maior ordem na equação.

Ex.: ordem 2;

ordem 2. ordem 1.

1.2.3 – Classificação por Linearidade Uma equação de ordem n

é classificada como linear quando F é linear em .

A forma geral de uma equação linear é dada por:

- potência 1 para todas as derivadas,

Exemplos:

lineares,

não lineares.

forma geral;

forma normal.

Nem toda equação diferencial pode ser expressa na forma normal (ex.: equações diferenciais que sejam transcedentais na maior derivada).

Nesta revisão, nos restringiremos às equações diferenciais que possam ser expressas em sua forma normal.

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1.3.1 – Existência de Solução Única Dada a equação de ordem 1

haverá uma solução única em uma região do plano x-y se, e somente se, e forem contínuas nesta região.

Exemplos:

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1.3 – Equações Diferenciais de Ordem 1

Soluções em regiões que incluem y = 0 não serão necessariamente únicas. Esta equação apresentará solução única para qualquer região do plano x-y.

1.3.2 – Soluções para Casos Especiais A)

B)

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1.3.2 – Soluções para Casos Especiais C) Separação de Variáveis

D) Equação Linear

onde é a solução da equação homogênea e uma solução particular.

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D) Equação Linear (cont.)

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07.02.2012

1.3.2 – Soluções para Casos Especiais E) Diferencial Exata

Exemplo. Considere a equação: Observa-se que:

de modo que:

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1.3 – Equações Diferenciais de Ordem 1

Diferencial será exata se e somente se esta condição for satisfeita.

1.3.2 – Soluções para Casos Especiais F) Diferencial Não-Exata Fator integrante: μ Requer-se que: Obtém-se:

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1.3.2 – Soluções para Casos Especiais F) Diferencial Não-Exata

Casos especiais:

Se depender somente de x, então um fator integrante será:

Se depender somente de y, então um fator integrante será:

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1.4.1 – Equações Lineares – Teoria Geral

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Teoria Geral

1- Existência de Solução

Se forem contínuas em um intervalo I da variável independente x e se em I, então existe uma única solução da equação neste intervalo.

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Teoria Geral

2-Solução da Equação Homogênea (g(x) = 0)

Uma equação diferencial linear homogênea de ordem n apresenta

n soluções linearmente independentes. A solução geral é dada

pela combinação linear de quaisquer n soluções linearmente

independentes. ( contínuos e )

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Teoria Geral

Complemento - Critério de independência linear

As n funções serão linearmente independentes em um intervalo I sse o determinante W(x) for diferente de zero para todo x em I, onde:

.

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Teoria Geral

3-Solução Geral

A solução geral de uma equação diferencial de ordem n é dada

pela soma da solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação não-homogênea.

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1.4.2 – Coeficientes Constantes

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Equações Homogêneas

(1)

-Uma equação diferencial homogênea de ordem n terá n soluções linearmente independentes. A solução geral é expressa por uma combinação linear destas n soluções. - Forma geral das soluções: , onde m é uma constante.

Substituindo-se esta forma em (1), obtém-se a seguinte equação para m:

,

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Casos:

a) Raízes reais

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Casos:

b) Raízes imaginárias

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Casos:

c) Raízes múltiplas

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Equações Não-Homogêneas

A solução geral de uma equação não-homogênea de ordem n é dada por:

onde é a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação não-homogênea.

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Equações Não-Homogêneas Como obter ?

Um caminho consiste em estabelecer uma função tentativa a partir das características da função .

a)  polinômio

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1.4 – Equações de Ordem Superior a 1

Substituindo-se a

função-tentativa na equação diferencial,

obtém-se um conjunto de equações que definem as constantes .

Equações Não-Homogêneas

b)  função trigonométrica Ex.:

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Equações Não-Homogêneas

b)  função trigonométrica Ex.: (cont.)

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Equações Não-Homogêneas c)  função exponencial Ex.:

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Equações Não-Homogêneas c)  função exponencial Ex.: (cont.)

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Equações Não-Homogêneas

d)  combinações polinômio+f. trigonométrica+exponencial Ex.:

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Resolver:

sujeito à:

Se e g(x) forem contínuos em I,

e para todo x em I, e é um ponto pertencente a I, sempre haverá uma solução única para o problema acima.

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Resolver:

em um intervalo I, sujeito a condições que envolvem os valores da função e suas derivadas (até ordem n) em dois ou mais pontos do intervalo I.

Ex.:

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Um problema de valor de contorno poderá ter uma, muitas ou nenhuma solução.

Ex.:

a)  A = 0, B sin(2*pi) = 0  número infinito de soluções.

b)  A = 0, B sin(pi/2) = 1  uma única solução.

c)  A = 0, B sin(2*pi) = 1  não existe solução para o problema.

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a) Dinâmica populacional

Seja P o número de indivíduos em uma dada população. Em certas circunstâncias, observa-se que, em um intervalo de tempo, a variação de P é proporcional a P: .

O crescimento da população com o tempo pode, então, ser modelada através da equação diferencial:

.

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1.7 – Equações diferenciais como modelos de

fenômenos

b) Decaimento radiativo

Seja A(t) o número de núcleos radiativos no tempo t em uma dada amostra. Observa-se experimentalmente que, em um

pequeno intervalo de tempo, o número de núcleos que decaem radiativamente é proporcional a A(t):

O número de núcleos com o tempo, nesta amostra, pode, então, ser modelado através da equação diferencial:

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1.7 – Equações diferenciais como modelos de

fenômenos

b-1) Datação por Carbono-14 (Willard Frank Libby )

O isótopo radioativo C-14 é produzido na atmosfera pela ação de raios cósmicos sobre o N. A razão entre C e C-14 na

atmosfera é praticamente constante ao longo do tempo. Em organismos vivos aeróbicos, esta razão é igual à da atmosfera. Quando cessa a vida, cessa, também, a absorção de C-14, via respiração ou alimentação. Assim, comparando a razão entre C e C-14 em um fóssil com aquela da atmosfera, pode-se

chegar a uma estimativa da idade do fóssil.

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1.7 – Equações diferenciais como modelos de

fenômenos

b-1) Datação por Carbono-14 (cont.)

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1.7 – Equações diferenciais como modelos de

fenômenos

b-1) Datação por Carbono-14 (cont.) Exemplo:

T1/2 = 5.700 anos

Seja a razão medida em uma amostra igual 0,10 do valor encontrado na atmosfera. Então:

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1.7 – Equações diferenciais como modelos de

fenômenos

c) Disseminação de uma doença

Sejam X(t) o número de pessoas que contraíram uma gripe e Y(t) o número de pessoas que ainda não contraíram a gripe, ambos no tempo t. É razoável supor que o crescimento de X(t) seja proporcional a X(t)Y(t): , uma vez que a gripe se

espalha de pessoa para pessoa. Assumindo uma população constante: , o número de pessoas infectadas com a gripe com o tempo, nesta população, pode, então, ser

modelado através da equação diferencial: .

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1.7 – Equações diferenciais como modelos de

fenômenos

d) Uma massa m sujeita à força produzida por uma mola de constante elástica K em um sistema massa-mola é descrito pela equação (2ª Lei de Newton): . Efetuando as substituições e , obtém-se a equação diferencial

,

cuja solução proporciona a posição de uma partícula de

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1.7 – Equações diferenciais como modelos de

fenômenos

Tipo: ordinárias e parciais Ordem: Ordem 1, 2, 3, ....

Linearidade: lineares e não-lineares

Classificação das Equações Diferenciais

Y = (x**2/4 + 1)**2