Evolução de Schramm-Loewner Estocástica e Teorias Conformes

Teorias Conformes

Rodrigo Pereira IF-UFF

6a. Oficina de Teoria Quântica de Campos Instituto de Física - UERJ

Teoria de Campos Conforme

Teoria quântica de campos sem massa (especial em 2d)

Descreve o limite contínuo de modelos estatísticos críticos em 2d Ising, q-Potts, O(n)...

Operadores de escala (densidade de energia, magnetização...) −→ operadores de campo

Dimensões de escala determina expoentes críticos e funções de correlação

Problemas

Não é adequada para tratar a relação entre sistemas estatísticos e geometria estocástica: propriedades geométricas das paredes de domínios

Falta de rigor dos métodos algébricos

“What exactly are these renormalised local opera-tors whose correlation functions the field theorists so happily manipulate, according to rules that sometimes seem to be a matter of cultural conven-tion rather than any rigorous logic?”

Curvas aleatórias e sistemas estatísticos

Ising triangular

Propriedade Markoviana:

Curvas aleatórias e sistemas estatísticos

Ising triangular

Propriedade Markoviana:

Curvas aleatórias e sistemas estatísticos

Ising triangular

Propriedade Markoviana:

Curvas aleatórias e sistemas estatísticos

Ising triangular: Exploração

Propriedade Markoviana:

Curvas aleatórias e sistemas estatísticos

Ising triangular: Exploração

Propriedade Markoviana:

Limite contínuo

Propriedade Markoviana: µ(γ2|γ1; D, r1, r2) = µ(γ2; D\γ1, τ, r2)

Invariância Conforme: (Φ ∗ µ)(γ; D, r1, r2) = µ(Φ(γ); D0, r₁0, r0₂)

Teorema do mapeamento de Riemann → Curvas em H O hull Kt

Limite contínuo

Propriedade Markoviana: µ(γ2|γ1; D, r1, r2) = µ(γ2; D\γ1, τ, r2)

Invariância Conforme: (Φ ∗ µ)(γ; D, r1, r2) = µ(Φ(γ); D0, r₁0, r0₂) Teorema do mapeamento de Riemann → Curvas em H

Limite contínuo

Propriedade Markoviana: µ(γ2|γ1; D, r1, r2) = µ(γ2; D\γ1, τ, r2)

Invariância Conforme: (Φ ∗ µ)(γ; D, r1, r2) = µ(Φ(γ); D0, r₁0, r0₂) Teorema do mapeamento de Riemann → Curvas em H O hull Kt

Evolução de Loewner

Linha vertical

Evolução de Loewner

Linha vertical

gt(z) = (z2+ `2)1/2

Evolução de Loewner

Linha vertical

gt(z) = a +(z − a)2+ 4t1/2

gt+δt= at+(gt(z) − at)2+ 4δt 1/2 lim δt→0 gt+δt− gt δt ⇒ dgt(z) dt = 2 gt(z) − at

gt+δt= at+(gt(z) − at)2+ 4δt 1/2 lim δt→0 gt+δt− gt δt ⇒ dgt(z) dt = 2 gt(z) − at

Evolução de Schramm-Loewner estocástica

O. Schramm (2000)

Propriedade Markoviana e invariância conforme

⇒ Incrementos ∆n= at_n+δt− atn são independentes

⇒ até um random walk na reta real

at=√κBt κconstante, hBti = 0 e h(Bt2− Bt1)

2_{i = |t} 2− t1| κ: assinatura da curva

Evolução de Schramm-Loewner estocástica

O. Schramm (2000)

Propriedade Markoviana e invariância conforme

⇒ Incrementos ∆n= at_n+δt− atn são independentes

⇒ até um random walk na reta real

at=√κBt

κconstante, hBti = 0 e h(Bt2− Bt1)2i = |t2− t1|

Evolução de Schramm-Loewner estocástica

O. Schramm (2000)

Propriedade Markoviana e invariância conforme

⇒ Incrementos ∆n= at_n+δt− atn são independentes

⇒ até um random walk na reta real

at=√κBt

κconstante, hBti = 0 e h(Bt2− Bt1)2i = |t2− t1| κ: assinatura da curva

Dimensão fractal

Probabilidade da curva cruzar um disco de raio  : P (z, ) ∝ 2−df

hdt= gdt− adt P (x, y, ) → Px + _x2xdt2_+y2 − √ κ dBt, y −_x2ydt2_+y2,  h 1 − 2dt(x_(x2_+y2−y2₎22) i P (x, y, ) =DPx + 2xdt x2_+y2 − √ κ dBt, y −_x2ydt2_+y2,  h 1 − 2dt(x_(x2_+y2−y2₎22) iE  _2x x2_{+ y}2 ∂ ∂x − 2y x2_{+ y}2 ∂ ∂y + κ 2 ∂2 ∂x2 − 2 (x2− y2₎ (x2_{+ y}2₎2 ∂ ∂  P = 0 Ansatz: P = 2−df_yα_(x2_{+ y}2₎β_{, com α + 2β = df}− 2 ⇒ df = 1 +κ 8 κ ≤ 8

Dimensão fractal

Probabilidade da curva cruzar um disco de raio  : P (z, ) ∝ 2−df

hdt= gdt− adt P (x, y, ) → Px + _x2xdt2_+y2 − √ κ dBt, y −_x2ydt2_+y2,  h 1 − 2dt(x_(x2_+y2−y2₎22) i P (x, y, ) =DPx + 2xdt x2_+y2 − √ κ dBt, y −_x2ydt2_+y2,  h 1 − 2dt(x_(x2_+y2−y2₎22) iE  _2x x2_{+ y}2 ∂ ∂x − 2y x2_{+ y}2 ∂ ∂y + κ 2 ∂2 ∂x2 − 2 (x2− y2₎ (x2_{+ y}2₎2 ∂ ∂  P = 0 Ansatz: P = 2−df_yα_(x2_{+ y}2₎β_{, com α + 2β = df}− 2 ⇒ df = 1 +κ 8 κ ≤ 8

Dimensão fractal

Probabilidade da curva cruzar um disco de raio  : P (z, ) ∝ 2−df

hdt= gdt− adt P (x, y, ) → Px + _x2xdt2_+y2 − √ κ dBt, y −_x2ydt2_+y2,  h 1 − 2dt(x_(x2_+y2−y2₎22) i P (x, y, ) =DPx + 2xdt x2_+y2 − √ κ dBt, y −_x2ydt2_+y2,  h 1 − 2dt(x_(x2_+y2−y2₎22) iE  _2x x2_{+ y}2 ∂ ∂x − 2y x2_{+ y}2 ∂ ∂y + κ 2 ∂2 ∂x2 − 2 (x2− y2₎ (x2_{+ y}2₎2 ∂ ∂  P = 0 Ansatz: P = 2−df_yα_(x2_{+ y}2₎β_{, com α + 2β = df}− 2 ⇒ df = 1 +κ 8 κ ≤ 8

Dimensão fractal

Probabilidade da curva cruzar um disco de raio  : P (z, ) ∝ 2−df

hdt= gdt− adt P (x, y, ) → Px + _x2xdt2_+y2 − √ κ dBt, y −_x2ydt2_+y2,  h 1 − 2dt(x_(x2_+y2−y2₎22) i P (x, y, ) =DPx + 2xdt x2_+y2 − √ κ dBt, y −_x2ydt2_+y2,  h 1 − 2dt(x_(x2_+y2−y2₎22) iE  _2x x2_{+ y}2 ∂ ∂x − 2y x2_{+ y}2 ∂ ∂y + κ 2 ∂2 ∂x2 − 2 (x2− y2₎ (x2_{+ y}2₎2 ∂ ∂  P = 0 Ansatz: P = 2−df_yα_(x2_{+ y}2₎β_{, com α + 2β = df}− 2 ⇒ df = 1 +κ 8 κ ≤ 8

Dimensão fractal

Probabilidade da curva cruzar um disco de raio  : P (z, ) ∝ 2−df

hdt= gdt− adt P (x, y, ) → Px + _x2xdt2_+y2 − √ κ dBt, y −_x2ydt2_+y2,  h 1 − 2dt(x_(x2_+y2−y2₎22) i P (x, y, ) =DPx + 2xdt x2_+y2 − √ κ dBt, y −_x2ydt2_+y2,  h 1 − 2dt(x_(x2_+y2−y2₎22) iE  _2x x2_{+ y}2 ∂ ∂x − 2y x2_{+ y}2 ∂ ∂y + κ 2 ∂2 ∂x2 − 2 (x2− y2₎ (x2_{+ y}2₎2 ∂ ∂  P = 0 Ansatz: P = 2−df_yα_(x2_{+ y}2₎β_{, com α + 2β = df}− 2 ⇒ df = 1 +κ 8 κ ≤ 8

Dimensão fractal

Probabilidade da curva cruzar um disco de raio  : P (z, ) ∝ 2−df

hdt= gdt− adt P (x, y, ) → Px + _x2xdt2_+y2 − √ κ dBt, y −_x2ydt2_+y2,  h 1 − 2dt(x_(x2_+y2−y2₎22) i P (x, y, ) =DPx + 2xdt x2_+y2 − √ κ dBt, y −_x2ydt2_+y2,  h 1 − 2dt(x_(x2_+y2−y2₎22) iE  _2x x2_{+ y}2 ∂ ∂x − 2y x2_{+ y}2 ∂ ∂y + κ 2 ∂2 ∂x2 − 2 (x2− y2₎ (x2_{+ y}2₎2 ∂ ∂  P = 0 Ansatz: P = 2−df_yα_(x2_{+ y}2₎β_{, com α + 2β = df}− 2 ⇒ df = 1 +κ 8 κ ≤ 8

SLE e Teorias Conformes

|γti : Estados contendo uma curva γt

Mapeamento de Loewner z0= z + dgt dgt → 2L−2dt − L−1dat |gt₁(γt)i = T exphRt1 0 (2L−2dt 0_{− L} −1dat0) i |γti Propriedades da SLE ⇒ c = (3κ − 8)(6 − κ) 2κ Modelo de Ising: c = 1/2 ⇒ κ = 3 ⇒ df = 11/8

SLE e Teorias Conformes

|γti : Estados contendo uma curva γt

Mapeamento de Loewner z0= z + dgt dgt → 2L−2dt − L−1dat |gt₁(γt)i = T exphRt1 0 (2L−2dt 0_{− L} −1dat0) i |γti Propriedades da SLE ⇒ c = (3κ − 8)(6 − κ) 2κ Modelo de Ising: c = 1/2 ⇒ κ = 3 ⇒ df = 11/8

SLE e Teorias Conformes

|γti : Estados contendo uma curva γt

Mapeamento de Loewner z0= z + dgt dgt → 2L−2dt − L−1dat |gt₁(γt)i = T exphRt1 0 (2L−2dt 0_{− L} −1dat0) i |γti Propriedades da SLE ⇒ c = (3κ − 8)(6 − κ) 2κ Modelo de Ising: c = 1/2 ⇒ κ = 3 ⇒ df = 11/8

SLE e Teorias Conformes

|γti : Estados contendo uma curva γt

Mapeamento de Loewner z0= z + dgt dgt → 2L−2dt − L−1dat |gt₁(γt)i = T exphRt1 0 (2L−2dt 0_{− L} −1dat0) i |γti Propriedades da SLE ⇒ c = (3κ − 8)(6 − κ) 2κ Modelo de Ising: c = 1/2 ⇒ κ = 3 ⇒ df = 11/8

SLE e Teorias Conformes

|γti : Estados contendo uma curva γt

Mapeamento de Loewner z0= z + dgt dgt → 2L−2dt − L−1dat |gt₁(γt)i = T exphRt1 0 (2L−2dt 0_{− L} −1dat0) i |γti Propriedades da SLE ⇒ c = (3κ − 8)(6 − κ) 2κ Modelo de Ising: c = 1/2 ⇒ κ = 3 ⇒ df = 11/8

SLE e Teorias Conformes

|γti : Estados contendo uma curva γt

Mapeamento de Loewner z0= z + dgt dgt → 2L−2dt − L−1dat |gt₁(γt)i = T exphRt1 0 (2L−2dt 0_{− L} −1dat0) i |γti Propriedades da SLE ⇒ c = (3κ − 8)(6 − κ) 2κ Modelo de Ising: c = 1/2 ⇒ κ = 3 ⇒ df = 11/8

κ = 8/3 ←→ Self-avoiding walks κ = 2 ←→ Loop-erased random walks κ = 3 ←→ Modelo de Ising crítico

κ = 4 ←→ Explorador harmônico e Potts com 4 estados κ = 6 ←→ Fronteiras de clusters de percolação

Temas de pesquisa atual

Provas de conjecturas:

q-Potts → q = 2 + 2 cos(8π/κ) O(n) → n = −2 cos(4π/κ)

Evoluções por processos não brownianos

Turbulência em 2d, vidros de spin, gravidade quântica... Questões energéticas